Espaço Vetorial AL

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Álgebra Linear 
1. Vetores 
Grandezas escalares e vetoriais. As grandezas escalares são aquelas que ficam completamente 
definidas por um número real. (comprimento, área, volume, densidade). Grandezas Vetoriais 
para ficarem bem caracterizadas, se faz necessário conhecer o módulo (comprimento ou 
intensidade), a direção e sentido (força, velocidade, aceleração, dentre outras grandezas). 
Reta Orientada – Eixo 
Uma reta r é orientada quando se fixa um sentido de percurso, considerando positivo e 
indicado por uma seta. 
 
Segmento Orientado é determinado por um par ordenado de pontos, o primeiro chamado 
origem do segmento, o segundo chamado extremidade. O segmento orientado de origem A e 
extremidade B será representado por AB. 
Segmento Nulo é aquele cuja extremidade coincide com a origem. 
Segmentos Opostos 
Se AB é um segmento Orientado, o segmento orientado BA é oposto de AB. 
 
Medida do segmento orientado é seu comprimento ou seu módulo. O comprimento do 
segmento AB é indicado por ̅̅ ̅̅ . 
 
Direção e Sentido 
Dois segmentos orientados não nulos AB e CD têm mesma direção se as retas suportes desses 
segmentos são paralelas ou coincidentes. 
 
Segmentos Equipolentes 
Dois segmentos orientados AB e CD são equipolentes quando têm a mesma direção, o mesmo 
sentido e o mesmo comprimento. 
 
Obs.: 
Dois segmentos nulos são sempre equipolentes. 
A equipolência dos segmentos AB e CD è representada por AB ~ CD. 
1.1 Vetor 
Vetor determinado por um segmento orientado AB é o conjunto de todos os 
segmentos orientados equipolentes a AB. 
 
 
O vetor determinado por AB é indicado por ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ou B – A ou ⃗⃗⃗ . 
O mesmo vetor ⃗⃗⃗⃗ ⃗ é determinado por uma infinidade de segmentos orientados chamados 
representantes desse vetor, e todos equipolentes entre si. Assim, um segmento determina um 
conjunto que é o vetor, e qualquer um destes representantes determina o mesmo vetor. 
As características de um vetor são as mesmas de qualquer um de seus representantes, isto é: 
o módulo, a direção e o sentido do vetor são o módulo, a direção e o sentido de qualquer um 
de seus representantes. 
O módulo de ⃗⃗⃗ se indica por | |. 
Vetores Iguais 
Dois vetores ⃗⃗⃗⃗ ⃗ e ⃗⃗⃗⃗ ⃗ são iguais se, e somente se, AB ~ CD. 
Vetor Nulo 
Os segmentos nulos, por serem equipolentes entre si, determinam um único vetor, chamado 
vetor nulo ou vetor zero, e que é indicado por ⃗ . 
Vetores Opostos 
Dado um vetor ⃗⃗⃗⃗ ⃗, o vetor ⃗⃗⃗⃗ ⃗ é oposto de ⃗⃗⃗⃗ ⃗ e se indica por ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ou por . 
 
Vetor Unitário 
Um vetor é unitário se | | = 1. 
Versor de um vetor não nulo é o vetor unitário de mesma direção e mesma sentido de . 
Vetores Colineares 
Dois vetores ⃗ e são colineares se tiverem a mesma direção. Os vetores ⃗ e são colineares 
se tiverem representantes AB e CD pertencentes a uma mesma reta ou a retas paralelas. 
 
Vetores Coplanares 
Se os vetores não nulos ⃗ , e ⃗⃗ possuem representantes AB, CD e EF pertencentes a um 
mesmo plano , diz-se que eles são coplanares. 
 
 Três vetores coplanares. 
Três vetores que não são coplanares. 
1.2 Operação com vetores 
Adição de Vetores 
Sejam os vetores ⃗ e representadospelos segmentos orientados AB e BC. 
 
 
 
 
 
Diferença de Vetores 
Chama-se diferença de dois vetores ⃗ e , e se representa por ⃗ , ao vetor ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ . 
 
Multiplicação por um número real 
Dado um vetor ⃗ e um número real K , chama-se produto do número real K pelo vetor 
 o vetor . 
 
 
 
 
Espaço Vetorial 
Conjunto (de vetores) no qual estão definidos uma soma vetorial e uma multiplicação por 
escalar. 
Definição (escalar) 
Escalares são um conjunto de números no qual estão bem definidas as operações de soma, 
subtração, multiplicação e divisão. Neste curso, entenderemos sempre por escalar um número 
real. 
Espaço Vetorial 
Seja um conjunto V, não vazio, sobre o qual as operações adição e multiplicação por escalar, 
isto é: 
 u, v  V, u+v  V 
α,  u  V, αu  V 
O conjunto V com essas operações è chamado espaço vetorial real (ou espaço vetorial sobre ) 
se forem verificados os seguintes axiomas. 
Axiomas da soma vetorial 
comutativa: u + v = v + u, 
associativa: (u + v) + w = u + (v + w), 8 u, v,w 
elemento neutro: existe 0 t.q. u + 0 = u 8 u 
inverso aditivo: dado u, existe (−u) t.q. u + (−u) = 0 
Axiomas da multiplicação por escalar 
(αβ)u = α(βu), para qualquer α, para qualquer u 
elemento neutro: 1u = u, para qualquer u 
Axiomas distributivos 
α(u + v) = αu + αv, para qualquer α, u, v 
(α+ β)u = αu + βu, para qualquer α, β, u 
Observação: 
Os elementos do espaço vetorial são chamados de vetores, independentemente de sua 
natureza. Pode parecer estranho, e a primeira vista não deixa de ser, o fato de se chamar 
de vetores os polinômios, as matrizes, os números (conjunto numérico). 
 
Definição (Subespaço Vetorial) 
Sejam V um espaço vetorial e S um subconjunto não vazio de V. O subconjunto S é um 
subespaço vetorial de V se S é um espaço vetorial em relação à adição e a multiplicação por 
escalar definidas em V. 
Critérios (Primeira Caracterização de Subespaço) 
S  V é subespaço vetorial se 
 0  S, 
 S é fechado para a soma vetorial e 
 S é fechado para a multiplicação por escalar. 
Exemplos: 
1 V  V é subespaço vetorial de V. 
2 {0}  V é subespaço vetorial de V. 
3 Seja u  V. 
S = {v  V | v = αu, α  R} é subespaço de V. 
0  S 
v1 = α1u, v2 = α2u ) v1 + v2= (α1+ α2)u  S 
v = u, β  R  βv = (αβ)u  S 
 
Combinação Linear 
Sejam os vetores v1, v2, ... , vn do espaço vetorial V e os escalares a1, a2, ... , an. Qualquer vetor u 
 V da forma: 
v = a1 v1 + a2 v2 + ... + an vn 
é uma combinação linear dos vetores v1, v2, ... , vn.