Geo_Anal_2013_respostas

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Assunto: Equações do plano.
Determine o ângulo entre os seguintes planos:
(a) e 
(b) e 
R.:
O ângulo entre dois planos é o menos ângulo formado pelos vetores normais aos planos.
A equação geral ou cartesiana de um plano é dada pelo plano , onde todos os planos paralelos a ele têm o mesmo vetor normal . 
Ou seja, num plano A : 2x + 3y + z = 4, o vetor do plano será A (2,3,1).
Para encontrar o ângulo entre dois planos utlizamos o produto escalar entre os seua dois vetores, conforme abaixo:
Com base nesta teoria encontramos os vetores de cada planos para solucionar o problema exposto.
(a)
No plano o vetor do plano será .
No plano o vetor do plano será .
Então,
(b)
No plano o vetor será .
No plano o vetor será .
 
Questão 2: (1,0 ponto)
Determinar m de modo que os planos e sejam perpendiculares.
R.:
Dois planos são perpendiculares se, e somente se, seus vetores normais são ortogonais, ou seja para que dois planos sejam perpendiculares o produto entre os seus vetores tem que ser nulo. Isto é, 
Sendo assim, definimos então o vetor de cada plano.
No plano o vetor será 
No plano o vetor será 
Encontrados os vetores realizamos assim seu produto.
Para que os planos e sejam perpendiculares, m = 1.
Assunto: Equações da reta.
Questão 1: (1,0 ponto)
Qual deve ser o valor de m para que os pontos A ( 3, m, 1), B ( 1, 1, -1) e C (-2, 10, -4) pertençam a mesma reta?
R.:
Dois ou mais pontos estão alinhados se, e somente se, pertencerem à mesma reta, quando isso ocorre dizemos que eles são colineares.
A partir de um ponto já pertencente à reta encontramos os outros através da sua direção, que é dada, parametricamente, por:
Em coordenadas: 
Sendo que P é um ponto qualquer da reta cujas coordenadas são P (x1, y1, z1) e direção = (). Quando não é dado o vetor, encontramos a partir da diferença entre dois pontos da reta. Com,
Onde P1 e P2 são pontos de uma mesma reta.
Com base nas informações solucionamos a questão.
Os pontos dados foram:
A (3, m, 1)
B (1, 1, -1)
C (-2, 10, -4)
Reta , ℝ
Como , então , portanto teremos:
Para que os pontos A (3, m, 1), B ( 1, 1, -1) e C (-2, 10, -4) pertençam à mesma reta, m = -5.
Questão 2: (1,0 ponto)
Determinar o ângulo entre as retas 
 	e	 
R.: 
De acordo com as equações paramétricas , podemos escrever como sendo , e . 
Então (r) = = = p/ x10, y10 e z10, sendo estas suas equações simétricas. 
As coordenadas referentes ao ponto A da reta r são as representadas pelas letras (- xo, - yo, - zo), as coordenadas do vertor A são as representadas pelas coordenadas (x1, y1, z1).
Com base nas equações desenvolvemos o exercício primeiramente achando as equações simétricas das retas dadas.
1º. Reta r
 
(r) : 
A (-2,0,3) e o vetor (-2,2,-4).
2º. Reta s
(r) : 
B (0,-6,1) e o vetor (4,2,2).
Os vetores diretores das retas r e s, são respectivamente:
 (-2,2,-4).
 (4,2,2).
Desta forma encontramos o ângulo entre as retas através da seguinte equação:
 = 
 = 
Questão 3: (1,0 ponto)
Calcular o valor de m para que as retas sejam paralelas:
 		e 	 
R.:
Duas retas são paralelas se, e somente se, possuírem a mesma inclinação ou seus coeficientes angulares forem iguais.
Neste caso vamos determinar o coeficiente angular de cada uma das retas. Para encontrar o coeficiente angular precisamos isolar y na equação geral da reta.
Reta 
 	 
Reta s
Encontrados os coeficientes de cada reta, igualamos para encontrar o valor de m para que r // s.
Portanto, para que r // s, m = -2.