Correcção de 3ª Teste 2012

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Instituto Superior Polite´cnico de Songo
Terceiro Teste Cursos: Engenharia Ele´trica, Termote´cnica e Hidrau´lica
Disciplina: Matema´tica I Durac¸a˜o: 120 min
Data: 05.05.2012 Ano: Primeiro
Nome do aluno Curso:
Atenc¸a˜o!! E´ permitido, somente, o uso de material de escrita e calculadora. Durante
o teste o estudante esta´ proibido de ir a´ casa de banho, falar com os colegas e pedir
emprestado qualquer material. BOM TRABALHO!
Correcc¸a˜o
1. (2.5 Valores). Calcule
∫ (
x2
1 + x2
+
x+ 1
1− x2 − sin 2x
)
dx .
Resoluc¸a˜o:
Aplicando a linearidade, teremos:∫ (
x2
1 + x2
+
x+ 1
1− x2 − sin 2xdx
)
=
∫
x2
1 + x2
dx+
∫
x+ 1
1− x2dx−
∫
sin 2xdx ;
Seja A =
∫
x2
1 + x2
dx , B =
∫
x+ 1
1− x2dx e C =
∫
sin 2xdx , daqui teremos:
A =
∫
x2
1 + x2
dx =
∫
1 + x2 − 1
1 + x2
dx =
∫
1 + x2
1 + x2
− 1
1 + x2
dx = x− arctanx+ C ;
B =
∫
x+ 1
1− x2dx =
∫
x
1− x2dx+
∫
1
1− x2dx = −
1
2
∫
d(1− x2)
1− x2 +
∫
1
1− x2dx =
= −1
2
ln |1− x2|+ 1
2
ln
∣∣∣∣1 + x1− x
∣∣∣∣+ C = −12 ln ∣∣(1− x)2∣∣+ C ;
C =
∫
sin 2xdx =
1
2
∫
sin 2xd2x = −1
2
cos 2x+ C .
Logo,∫ (
x2
1 + x2
+
x+ 1
1− x2 − sin 2xdx
)
= x− arctanx− 1
2
[(1− x)2 + cos 2x] + C �
2. (2.5 Valores). Calcule
∫
sin 2x
cos 2x
dx .
Resoluc¸a˜o:
Vamos fazer algumas transformac¸o˜es alge´bricas de
sin 2x
cos 2x
, isto e´,
sin 2x
cos 2x
=
2 sin x cosx
cos2 x− sin2 x = 2
sin x cos x
2 cos x− 1 . Daqui, teremos:∫
sin 2x
cos 2x
dx = 2
∫
cos x sin x
cos2 x− sin2 xdx = −2
∫
cos xd cosx
2 cos2 x− 1 = −
∫
cos xd cos x
cos2 x− 1
2
dx . Fa-
zendo a substituic¸a˜o t = cos x , teremos:
−
∫
tdt
t2 − 1
2
= −1
2
∫
d
(
t2 − 1
2
)
t2 − 1
2
= −1
2
ln
∣∣∣∣t2 − 12
∣∣∣∣ + C , mas como t = cos x , teremos∫
sin 2x
cos 2x
dx = −1
2
ln
∣∣cos2 x− 1
2
∣∣+ C �
2
3. (2.5 Valores). Calcule
∫
dx
x lnx ln(lnx)
.
Resoluc¸a˜o:∫
dx
x lnx ln(lnx)
=
∫
d lnx
lnx ln(ln x)
; fazendo a substituic¸a˜o t = ln x , teremos:∫
dt
t ln t
=
∫
d ln t
ln t
= ln | ln t|+ C , mas como t = ln x , teremos:∫
dx
x lnx ln(lnx)
= ln | ln lnx|+ C � .
4. (2.5 Valores). Usando me´todo de integrac¸a˜o por partes, calcule
∫
x3 arctanx2dx .
Resoluc¸a˜o:∫
x3 arctanx2dx =
∫
x · x2 arctanx2dx =
∫
1
2
x2 arctanx2dx2 . Fazendo s substituic¸a˜o
t = x2 , teremos:
∫
1
2
x2 arctanx2dx2 =
1
2
∫
t arctan tdt .
Seja u = arctan t⇒ du = dt
1 + t2
e dv = tdt⇒ v = t
2
2
.
Usando a fo´rmula de integrac¸a˜o por partes
∫
udv = u · v −
∫
arctan vdu , teremos:∫
t arctan tdt =
t2
2
arctan t − 1
2
∫
t2
1 + t2
=
t2
2
arctan t − t
2
+
1
2
arctan t + C , onde∫
t2
1 + t2
dt = t− arctan t . Mas como t = x2 , enta˜o:∫
x3 arctanx2dx =
x4
2
arctanx2− x
2
2
+
1
2
arctanx2+C =
x4 + 1
2
arctanx2− x
2
2
+C �
5. (2.5 Valores). Usando o me´todo de coeficientes indeterminados, calcule
∫
x4
x4 − 1dx .
Resoluc¸a˜o:
6. (2.5 Valores). Calcule
∫ √
x√
x+ 3
√
x
dx .
Resoluc¸a˜o:
Fac¸amos a substituic¸a˜o x = t6 , enta˜o 6t5 = dx . Assim∫ √
x√
x+ 3
√
x
dx =
∫
t3 · 6t5dt
t3 + t2
= 6
∫
t6dt
t+ 1
.
O integrando do u´ltimo integral, e´ uma fracc¸a˜oimpro´pria. Vamos reescreveˆ-lo como a
soma da parte inteira mais a parte pro´pria:
t6
t+ 1
= t5 − t4 + t3 − t2 + t− 1 + 1
t+ 1
.
Deste modo, 6
∫
t6dt
t+ 1
= 6
∫
t5 − t4 + t3 − t2 + t− 1 + 1
t+ 1
dt =
3
= 6
∫
t5dt− 6
∫
t4dt+ 6
∫
t3dt− 6
∫
t2dt+ 6
∫
tdt−
∫
dt+ 6
∫
1
t+ 1
dt =
= t6 − 6
5
t5 +
3
2
t4 − 2t3 + 3t2 − 6t+ ln |t+ 1|+ C , mas como x = t6 , teremos:∫ √
x√
x+ 3
√
x
dx = x− 6
5
6
√
x5 +
3
2
3
√
x− 2√x+ 3 3√x− 6 6√x+ ln | 6√x+ 1|+ C �
7. (2.5 Valores). Calcule
∫
sin2 x cos3 xdx .
Resoluc¸a˜o:∫
sin2 x cos3 xdx =
∫
sin2 x cos2 x · cosxdx =
∫
sin2 x(1 − sin2 x)d sinx =
∫
sin2 x −
sin4 xd sin x =
sin3 x
3
− sin
5 x
5
+ C �
8. (2.5 Valores). Calcule
∫
dx
cos x+ sinx
2
+ 2
.
Resoluc¸a˜o:
Usando a substituic¸a˜o universal, onde t = tan
x
2
, sin x =
2t
1 + t2
, cos x =
1− t2
1 + t2
,
dx =
2dt
1 + t2
teremos:∫
dx
cos x+ sinx
2
+ 2
=
∫
1
1−t2
1+t2
+ 1
2
· 2t
1+t2
+ 2
· 2dt
1 + t2
= 2
∫
dt
1− t2 + t+ 2 + 2t2 = 2
∫
dt
t2 + t+ 3
= 2
∫
dt
t2 + t+
(
1
2
)2 − (1
2
)2
+ 3
= 2
∫
dt(
t+ 1
2
)2
+
(√
11
2
)2
= 2
1
√
11
2
arctan
(
tan(t) + 1
2
)
√
11
2
+ C , mas como t = tan
(x
2
)
, enta˜o∫
dx
cos x+ sinx
2
+ 2
=
4
√
11
11
arctan
2
√
11
(
tan
(
x
2
)
+ 1
2
)
11
+ C