rl-apostila-de-logica

Prévia do material em texto

NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
 
1
Lógica 
 
Existem muitas definições para a palavra “lógica”, porém no caso do nosso estudo não é 
relevante um aprofundamento nesse ponto, é suficiente apenas discutir alguns pontos de 
vista sobre o assunto. Alguns autores definem lógica como sendo a “Ciência das leis do 
pensamento”, e neste caso existem divergências com essa definição, pois o pensamento é 
matéria estudada na Psicologia, que é uma ciência distinta da lógica (ciência). Segundo 
Irving Copi, uma definição mais adequada é: “A lógica é uma ciência do raciocínio”, pois 
a sua idéia está ligada ao processo de raciocínio correto e incorreto que depende da 
estrutura dos argumentos envolvidos nele. Assim concluímos que a lógica estuda as formas 
ou estruturas do pensamento, isto é, seu propósito é estudar e estabelecer propriedades das 
relações formais entre as proposições. Veremos nas próximas linhas a definição do que 
venha a ser uma proposição, bem como o seu cálculo proposicional antes de chegarmos ao 
nosso objetivo maior que é estudar as estruturas dos argumentos, que serão conjuntos de 
proposições denominadas premissas ou conclusões. 
 
1 - DEFINIÇÃO: 
1.1 - Proposição: 
Chamaremos de proposição ou sentença, a todo conjunto de palavras ou símbolos que 
exprimem um pensamento de sentido completo. Sendo assim, vejamos os exemplos. 
1) Exemplo: 
a) O Professor Joselias é bonito. 
b) O Brasil é um País da América do Sul. 
c) A Receita Federal pertence ao Poder Judiciário. 
 
Evidente que você já percebeu que as proposições devem assumir os valores falsos ou 
verdadeiros, pois elas expressam a descrição de uma realidade, e também observamos que 
uma proposição representa uma informação enunciada por uma oração, portanto pode ser 
expressa por distintas orações, tais como: “Pedro é maior que Carlos”, ou podemos 
expressar também por “Carlos é menor que Pedro”. 
Observe ainda que as proposições receberão os valores lógicos como sendo verdadeiro(V) 
ou falso(F). 
 
2) Exemplo: 
Se a proposição p = “O Brasil é um País da América do Sul” é verdadeira então 
representaremos o valor lógico da proposição p por VAL(p) = V. 
Se a proposição p = “O Brasil é um País da América do Sul” é falsa então representaremos 
o valor lógico da proposição p por VAL(p) = F. 
 
Sendo assim a frase “Bom dia!” não é uma proposição, pois não admite o atributo 
verdadeiro ou falso. 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
 
2
Portanto não serão proposições as seguintes expressões: 
Exclamações: “Que belo dia!”, “Boa sorte!”. 
Interrogações: “Joselias é um bom professor?”, “Que horas são?”, “ O jogo terminou 
empatado?”. 
Imperativos: “Faça seu trabalho corretamente.”, “ Estude e limpe o quarto.”. 
Paradoxos: “Esta proposição é falsa”. 
 
Em resumo, teremos dois princípios no caso das proposições: 
1 – Princípio da não-contradição: 
Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa simultaneamente. 
 
2 – Princípio do Terceiro Excluído: 
Uma proposição só pode ter dois valores verdades, isto é, é verdadeiro (V) ou falso (F), 
não podendo ter outro valor. 
 
Logo, voltando ao exemplo anterior temos: 
a) “O Professor Joselias é bonito” é uma proposição verdadeira. 
b) “O Brasil é um País da América do Sul” é uma proposição verdadeira. 
c) “A Receita Federal pertence ao poder judiciário”, é uma proposição falsa. 
 
As proposições serão representadas por letras do alfabeto: a, b, c, . . . , p, q, . . . 
As proposições simples (átomos) combinam-se com outras, ou são modificadas, através de 
operadores (conectivos), gerando novas sentenças chamadas de moléculas(ou compostas). 
Os conectivos serão representados da seguinte forma: 
¬ corresponde a “não” 
∧ corresponde a “e” (conjunção) 
∨ corresponde a “ou” (disjunção) 
→ corresponde a “então” (condicional) 
↔ corresponde a “se e somente se” (bi-condicional) 
 
Sendo assim, a partir de uma proposição podemos construir uma outra correspondente com 
a sua negação; e com duas ou mais, podemos formar: 
• Conjunções: a ∧ b (lê-se: a e b) 
Exemplo: 
3) Sejam a e b proposições tal que: a = “Chove” b = “Faz frio”, então temos que: 
a ∧ b = “Chove e faz frio” 
 
• Disjunções: a ∨ b (lê-se: a ou b, ou também ou a ou b) 
Exemplo: 
4) Sejam a e b proposições tal que: a = “Chove” b = “Faz frio”, então temos que: 
a ∨ b = “Chove ou faz frio” 
 
• Condicionais: a → b (lê-se: Se a então b) 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
 
3
Exemplo: 
5) Sejam a e b proposições tal que: a = “Chove” b = “Faz frio”, então temos que: 
a → b = “Se chove então faz frio” 
 
• Bi-condicionais: a ↔ b (lê-se: a se e somente se b) 
Exemplo: 
6) Sejam a e b proposições tal que: a = “Chove” b = “Faz frio”, então temos que: 
a ↔ b = “Chove se e somente se faz frio” 
 
Exemplo: 
7) Seja a sentença: “Se Cacilda é estudiosa então ela passará no concurso” 
Sejam as proposições: 
p = “Cacilda é estudiosa” 
q = “Ela passará no concurso” 
Então poderemos representar a sentença da seguinte forma: 
Se p então q ( ou p → q ). 
 
1.2 - TABELA VERDADE 
Representaremos então o valor lógico de cada molécula com seu respectivo conectivo 
através da tabela verdade. 
 
a. Valor verdade de ¬P 
P ¬P 
V F 
F V 
A negação da proposição P é a proposição ¬P, de maneira que se P é verdade então ¬P é 
falso, e vice-versa. 
 
b. Valor verdade de P∧Q 
P Q P∧Q
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
O valor verdade da molécula P∧Q é tal que VAL (P∧Q) é verdade se e somente se VAL (P) 
e VAL (Q) são verdades. 
 
c. Valor verdade de P∨Q 
P Q P∨Q
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
 
4
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
O valor verdade da molécula P∨Q é tal que VAL(P∨Q) é falso se e somente se VAL(P) e 
VAL (Q) são falsos. 
 
d. Valor verdade de P → Q 
P Q P → Q 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
O valor verdade da molécula P → Q é tal que VAL(P → Q) = F se e somente se VAL(P) = 
V e VAL (Q) = F 
 
e. Valor verdade de P ↔ Q 
O valor verdade da molécula P ↔ Q é tal que VAL( P↔Q ) = V se e somente se VAL (P) e 
VAL (Q) tem os mesmos valores verdade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Então, para α e β sendo moléculas, teremos a tabela verdade completa da seguinte 
forma: 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
8) Sejam as proposições p e q, tal que: 
p = ”Está calor” 
q = ”Está chovendo” 
P Q P ↔ Q
V V V 
V F F 
F V F 
F F V 
α β ¬α α ∧ β α ∨ β α → β α ↔ β 
V V F V V V V 
V F F F V F F 
F V V F V V F 
F F V F F V V 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
 
5
Descrever as seguintes proposições abaixo: 
a) ¬p 
b) p ∨ q 
c) p ∧ q 
d) p → q 
e) p ↔ q 
Solução: 
a) ¬p = “Não está calor” 
b) p ∨ q = “Está calor ou está chovendo” 
c) p ∧ q = “Está calor e está chovendo” 
d) p → q = “Se está calor, então está chovendo” 
e) p ↔ q = “Está calor se e somente se está chovendo” 
 
9) Seja p = “Joselias é magro” e q = “ Joselias é bonito”. Represente cada uma das 
seguintes afirmações em função de p e q: 
a) “Joselias é magro ou bonito” 
b) “Joselias é magro e bonito” 
c) “Se Joselias é magro, então é bonito” 
d) “Joselias não é magro, nem bonito” 
Solução: 
a) “Joselias émagro ou bonito” = p ∨ q 
b) “Joselias é magro e bonito” = p ∧ q 
c) “Se Joselias é magro, então é bonito” = p → q 
d) “ Joselias não é magro, nem bonito” = ¬p ∧ ¬q 
 
10) Se p é uma proposição verdadeira, então: 
a) (p → q) é uma proposição verdadeira, para qualquer que seja a proposição q. 
b) (p ∧ q) é uma proposição verdadeira, para qualquer que seja a proposição q. 
c) (p ↔ q) é uma proposição verdadeira, para qualquer que seja a proposição q. 
d) (p ∨ q) é uma proposição verdadeira, para qualquer que seja a proposição q. 
e) (¬p) é uma proposição verdadeira, para qualquer que seja a proposição q. 
Solução 
a) A opção é incorreta, pois se q é uma proposição falsa e p verdadeira teremos a 
proposição (p → q) falsa. 
b) A opção é incorreta, pois se q é uma proposição falsa teremos a proposição (p ∧ q) falsa. 
c) A opção é incorreta, pois se q é uma proposição falsa e p verdadeira teremos a 
proposição (p ↔ q) falsa. 
d) A opção é correta, pois se p é uma proposição verdadeira teremos a proposição (p∨q) 
sempre verdadeira. 
e) A Opção é incorreta, pois se p é uma proposição verdadeira teremos a proposição (¬p) 
sempre falsa. 
Opção correta: D. 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
 
6
 
11) Se (p → q) é uma proposição verdadeira então podemos afirmar que: 
a) p é uma proposição verdadeira. 
b) q é uma proposição verdadeira. 
c) Se p é uma proposição falsa, então q é uma proposição verdadeira. 
d) se q é uma proposição verdadeira então p é uma proposição verdadeira. 
e) se q é uma proposição falsa então p é uma proposição falsa. 
Solução 
a) A opção é incorreta, pois se p e q são proposições falsas teremos a proposição (p → q) 
verdadeira. 
b) A opção é incorreta, pois se p e q são proposições falsas teremos a proposição (p → q) 
verdadeira. 
c) A opção é incorreta, pois se p e q são proposições falsas teremos a proposição (p → q) 
verdadeira. 
d) A opção é incorreta, pois podemos ter a proposição q verdadeira e a proposição p falsa. 
e) A opção é correta, pois se q é uma proposição falsa teremos a proposição p 
necessariamente falsa. 
Opção correta: E. 
 
12) Sejam p e q proposições. Complete a tabela verdade abaixo 
 
 
 
 
 
 
Solução 
Desenvolvendo a tabela verdade teremos: 
p q ¬p ¬q p ∨ q p ∧ q
V V F F V V 
V F F V V F 
F V V F V F 
F F V V F F 
 
13) Sejam p e q proposições. Complete a tabela verdade abaixo 
p q ¬p ¬q p → q q → p p ↔ q 
V V V 
V F F F 
F V F 
F F V 
 
p q ¬p ¬q p ∨ q p ∧ q
V V F 
V F V 
F V V F 
F F V 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
 
7
Solução 
Desenvolvendo a tabela verdade teremos: 
p q ¬p ¬q p → q q → p p ↔ q 
V V F F V V V 
V F F V F V F 
F V V F V F F 
F F V V V V V 
 
14) Sejam p e q proposições. Complete a tabela verdade abaixo 
 
p q ¬p ¬q p ∨ q p ∧ q ¬p ∧ ¬q ¬p ∨ ¬q 
V V F V V F 
V F F 
F V V V F 
F F V V V 
Solução 
Desenvolvendo a tabela verdade teremos: 
p q ¬p ¬q p ∨ q p ∧ q ¬p ∧ ¬q ¬p ∨ ¬q 
V V F F V V F F 
V F F V V F F V 
F V V F V F F V 
F F V V F F V V 
 
15) Determinar o valor verdade da proposição (P ∧ Q) →R, sabendo-se que VAL (P) = 
V, VAL (Q) = V e VAL (R) = F. 
Solução 
P Q R p ∧ q (P ∧ Q) →R 
V V V V V 
V V F V F 
V F V F V 
F V V F V 
V F F F V 
F V F F V 
F F V F V 
F F F F V 
 
Logo o VAL(P ∧ Q) →R) = F 
 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
 
8
1.3 - Exercícios Propostos 
Texto para os itens de 01 a 05. (CESPE) 
Considere as sentenças abaixo. 
I Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam. 
II Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à saúde. 
III Se fumar não faz bem à saúde, deve ser proibido. 
IV Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que muitos europeus fumam, então 
fumar deve ser proibido. 
V Tanto é falso que fumar não faz bem à saúde como é falso que fumar deve ser 
proibido; conseqüentemente, muitos europeus fumam. 
 
Com base nas informações acima e considerando a notação introduzida no texto, 
julgue os itens seguintes. 
 
1) A sentença I pode ser corretamente representada por P ∧ (¬ T). 
 
2) A sentença II pode ser corretamente representada por ( ¬ P) ∧ ( ¬ R). 
 
3) A sentença III pode ser corretamente representada por R → P. 
 
4) A sentença IV pode ser corretamente representada por (R ∧ (¬ T)) → P. 
 
5) A sentença V pode ser corretamente representada por T→(( ¬ R) ∧ ( ¬ P)). 
 
Texto para os itens de 06 a 10. (CESPE) 
Considere que as letras P, Q, R e T representem proposições e que os símbolos ¬ , ∧ , 
∨ e → sejam operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e, 
ou e então, respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um 
único valor (valor-verdade), que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca 
ambos. 
Com base nas informações apresentadas no texto acima, julgue os itens a seguir. 
 
6) Se as proposições P e Q são ambas verdadeiras, então a proposição (¬ P) ∨ (¬ Q) 
também é verdadeira. 
 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
 
9
7) Há duas proposições no seguinte conjunto de sentenças: 
(I) O BB foi criado em 1980. 
(II) Faça seu trabalho corretamente. 
(III) Manuela tem mais de 40 anos de idade. 
 
8) Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa, então a proposição R → ( ¬ T) 
é falsa. 
 
9) A proposição simbólica ( )P Q R∧ ∨ possui, no máximo, 4 avaliações V. 
 
10) Se as proposições P e Q são verdadeiras e a proposição R é falsa, então a proposição 
(P ∧ R) → (¬ Q) é verdadeira. 
 
11) Determine o valor verdade da sentença 
[A ∧ (B → C)] ↔ [¬ A ∧ (B ∨ C)]. 
 Sabendo-se que: VAL (A) = V, VAL (B) = F e VAL (C) = V 
Resposta: {[ A ∧ (B → C)] ↔ [¬ A ∧ (B ∨ C)]} = F 
Obs.:Doravante nos exercícios usaremos a notação VAL(X) para representar o valor verdade de X. 
 
12) Determinar o valor da sentença A → [(¬ B ↔C) ∧ (C ∨ D)], sabendo-se que: 
 VAL (A) = V, VAL (B) = F, VAL (C) = F e VAL (D) = V 
Resposta: VAL {A → [(¬ B ↔ C) ∧ (C ∨ D)]} = F 
 
TAUTOLOGIA 
São moléculas que possuem o seu valor verdade sempre verdadeiro independentemente dos 
valores lógicos das proposições (átomos) que as compõem. Para verificar se uma 
proposição é uma tautologia basta fazer a tabela verdade da proposição. Se todos os valores 
da proposição forem verdadeiros teremos uma tautologia. 
 
Exemplo: 
16) Assinale quais das proposições abaixo são tautologias. 
a) (p ∨ ¬p) 
b) (p → p) 
c) ¬(¬p) ↔ p 
Solução 
a) (p ∨ ¬p) é uma tautologia, pois é sempre verdadeira. Veja a tabela verdade: 
 
p ¬p p ∨ ¬p
V F V 
F V V 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
 
10
 
b) (p → p) é uma tautologia, pois é sempre verdadeira. Veja a tabela verdade: 
 
p p → p 
V V 
F V 
 
c) ¬(¬p) ↔ p é uma tautologia, pois é sempre verdadeira. Veja a tabela verdade: 
 
p (¬p) ¬(¬p) ¬(¬p) ↔ p 
V F V V 
F V F V 
 
CONTRADIÇÕES 
São moléculas que são sempre falsas, independentemente do valor lógico das proposições 
(átomos) as compõem. Para verificar se uma proposição é uma contradição basta fazer a 
tabela verdade da proposição. Se todos os valoresda proposição forem falsos teremos uma 
contradição. 
 
Exemplo: 
17) Assinale quais das proposições abaixo são contradições. 
a) (p ∧ ¬p) b) (p ↔ ¬p) 
Solução 
a) (p ∧ ¬p) é uma contradição, pois é sempre falsa. Veja a tabela verdade: 
 
p ¬p p ∧ ¬p
V F F 
F V F 
 
b) (p ↔ ¬p) é uma contradição, pois é sempre falsa. Veja a tabela verdade: 
 
p ¬p p ↔ ¬p 
V F F 
F V F 
 
CONTINGÊNCIA 
São moléculas em que os valores lógicos dependem dos valores das proposições (átomos). 
Para verificar se uma proposição é uma contingência basta fazer a tabela verdade da 
proposição. Se os valores da proposição forem alguns verdadeiros e outros falsos teremos 
uma contingência. 
 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
 
11
Exemplo: 
18) Assinale quais das proposições abaixo são contingências. 
a) ¬p ∨ ¬q b) ¬p ∨ q 
Solução 
a) ¬p ∨¬q é uma contingência, pois pode ser falsa ou verdadeira. Veja a tabela 
verdade: 
 
 
 
 
 
 
b) ¬p∨q é uma contingência, pois pode ser falsa ou verdadeira. Veja a tabela verdade: 
 
 
 
 
 
 
EQUIVALÊNCIA LÓGICA 
Duas moléculas são equivalentes se elas possuem as mesmas tabelas verdade. Para verificar 
se duas proposições são equivalentes basta calcular a tabela verdade de cada uma, se as 
tabelas forem iguais elas são equivalentes. 
 
Exemplo: 
19) Assinale se as proposições abaixo são equivalentes. 
a) ¬(p∧q) é equivalente a (¬p∨ ¬q) 
b) ¬(p∨q) é equivalente a (¬p ∧ ¬q) 
c) (p→q) é equivalente a (¬p∨q) 
d) (p→q) é equivalente a (¬q → ¬p) 
Solução 
a) ¬(p∧q) é equivalente a (¬p∨ ¬q). Veja que as tabelas-verdade são iguais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
p q ¬p ¬q ¬p ∨ ¬q
V V F F F 
V F F V V 
F V V F V 
F F V V V 
p q ¬p ¬p ∨ q
V V F V 
V F F F 
F V V V 
F F V V 
p q (p∧q) ¬(p∧q) ¬p ¬q (¬p∨ ¬q) 
V V V F F F F 
V F F V F V V 
F V F V V F V 
F F F V V V V 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
 
12
b) ¬(p∨q) é equivalente a (¬p ∧ ¬q). Veja que as tabelas-verdade são iguais. 
 
 
 
 
 
 
 
c) (p→q) é equivalente a (¬p∨q). Veja que as tabelas-verdade são iguais. 
 
 
 
 
 
 
d) (p→q) é equivalente a (¬q → ¬p). Veja que as tabelas-verdade são iguais. 
 
p q (p→q) ¬q ¬p (¬q → ¬p) 
V V V F F V 
V F F V F F 
F V V F V V 
F F V V V V 
 
Observações: 
 Sobre o emprego dos parênteses é importante convencionar que o ¬ afeta a 
proposição mais próxima à sua direita. Deste modo a proposição (¬p ∨ q) é uma disjunção, 
pois o não(¬) só afeta a proposição p. Por outro lado ¬(p ∨ q) é uma negação pois o 
não(¬) só afeta a proposição (p ∨ q). Vale a pena ressaltar que os conectivos ∨, ∧ e o ∨ 
têm prioridade sobre o → e o ↔. 
 É conveniente que o aluno tenha conhecimento de algumas equivalências 
importantes. Abaixo fornecemos uma tabela de equivalências: 
 
EQUIVALÊNCIAS IMPORTANTES: 
a) (p∨q) é equivalente a (q∨p) 
b) (p∧q) é equivalente a (q∧p) 
c) (p ↔ q) é equivalente a (q ↔ p) 
d) (p→q) é equivalente a (¬p∨q) 
e) (p→q) é equivalente a (¬q → ¬p) 
p q (p∨q) ¬(p∨q) ¬p ¬q (¬p ∧ ¬q) 
V V V F F F F 
V F V F F V F 
F V V F V F F 
F F F V V V V 
p q (p→q) ¬p (¬p∨q)
V V V F V 
V F F F F 
F V V V V 
F F V V V 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
 
13
f) ¬(p∧q) é equivalente a (¬p∨ ¬q) 
g) ¬(p∨q) é equivalente a (¬p ∧ ¬q) 
h) ¬(¬p) é equivalente a p 
i) ¬ (¬(¬p)) é equivalente a (¬p) 
j) ¬ (p→q) é equivalente a (p ∧ ¬q) 
l) ¬ (p ↔ q) é equivalente a (p ↔ ¬q) 
 
 Sabemos que duas proposições são equivalentes se e somente se elas possuem a 
mesma tabela verdade. Sendo assim se relacionarmos duas proposições equivalentes 
através do conectivo ↔(bi-condicional) teremos uma tautologia. Abaixo fornecemos uma 
tabela das principais tautologias para os concursos públicos: 
 
TAUTOLOGIAS IMPORTANTES: 
a) (p ∨ ¬p) 
b) (p → p) 
c) (p ↔ p) 
c) ¬(¬p) ↔ p 
d) (p→q) ↔ (¬p∨q) 
e) (p→q) ↔ (¬q → ¬p) (Contra-positiva) 
f) ¬(p∧q) ↔ (¬p∨ ¬q) (Morgan) 
g) ¬(p∨q) ↔ (¬p ∧ ¬q) (Morgan) 
h) ¬(¬p) ↔ p 
i) ¬ (p→q) ↔ (p ∧ ¬q) 
j) ¬ (p ↔ q) ↔ (p ↔ ¬q) 
 
Exercícios Propostos 
13) Assinale quais das sentenças abaixo são proposições: 
a) O Professor Joselias é bonito. 
b) O Brasil é um País da América do Sul. 
c) A Receita Federal pertence ao Poder Judiciário. 
d) Que belo dia! 
e) Boa sorte! 
f) Joselias é um bom professor? 
g) Que horas são? 
h) O jogo terminou empatado? 
i) Faça seu trabalho corretamente. 
j) Estude e limpe o quarto. 
l) Esta frase é falsa 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
 
14
m) 2 + 3 > 5 
n) x + y > 5 
o) A terra é um planeta. 
p) x é um planeta. 
 
14) (FGV) A proposição ¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q) representa um: 
a. Contradição 
b. Contingência 
c. Tautologia 
d. Paradoxo 
e. N.R.A 
 
15) (FGV) A proposição ¬(p ∨ q) ↔ (¬p ∧ ¬q) representa um: 
a. Contradição 
b. Contingência 
c. Tautologia 
d. Paradoxo 
e. N.R.A 
 
16) A proposição (¬p ∨ q) ↔ (p → q) representa um: 
a. Contradição 
b. Contingência 
c. Tautologia 
d. Paradoxo 
e. N.R.A 
 
17) A proposição (p → q) ↔ (¬q → ¬p) representa um: 
a. Contradição 
b. Contingência 
c. Tautologia 
d. Paradoxo 
e. N.R.A 
 
18) A proposição (p ∨ ¬p) representa um: 
a. Contradição 
b. Contingência 
c. Tautologia 
d. Paradoxo 
e. N.R.A 
 
19) A proposição (p ∧ ¬p) representa um: 
a. Contradição 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
 
15
b. Contingência 
c. Tautologia 
d. Paradoxo 
e. N.R.A 
 
20) A proposição ¬ (¬p) ↔ p representa um: 
a. Contradição 
b. Contingência 
c. Tautologia 
d. Paradoxo 
e. N.R.A 
 
21) A proposição ¬ (¬ (¬p)) ↔ ¬p representa um: 
a. Contradição 
b. Contingência 
c. Tautologia 
d. Paradoxo 
e. N.R.A 
 
22) (FGV) – Quando se afirma que P → Q (P implica Q) então: 
a. Q é condição suficiente para P. 
b. P é condição necessária para Q. 
c. Q não é condição necessária para P 
d. P é condição suficiente para Q. 
e. P não é condição suficiente nem necessária para Q. 
 
23) Uma sentença lógica equivalente a “Se Pedro é economista, então Luisa é 
solteira.” é: 
a) Pedro é economista ou Luisa é solteira. 
b) Pedro é economista ou Luisa não é solteira. 
c) Se Luisa é solteira, Pedro é economista. 
d) Se Pedro não é economista, então Luisa não é solteira. 
e) Se Luisa não é solteira, então Pedro não é economista. 
 
24) Dizer que “André é artista ou Bernardo não é engenheiro” é logicamente 
equivalente a dizer que: 
a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro. 
b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro. 
c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro 
d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista. 
e) André não é artista e Bernardo é engenheiro 
 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
 
16
25) Dizer que “Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista” é, do ponto de vista lógico, 
o mesmo que dizer que: 
a) se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista 
b) se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiroc) se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista 
d) se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista 
e) se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista 
 
26) A negação da afirmação condicional “se estiver chovendo, eu levo o guarda-
chuva” é: 
a) se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva 
b) não está chovendo e eu levo o guarda-chuva 
c) não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva 
d) se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva 
e) está chovendo e eu não levo o guarda-chuva 
 
27) (FCC-ICMS-SP)Se p e q são proposições, então a proposição é 
equivalente a 
 
 
28) (FCC-ICMS-SP)Das proposições abaixo, a única que é logicamente equivalente a 
é 
 
 
29) Das proposições abaixo, a única que é logicamente equivalente a (~p∧~q) é 
a) ~(p ∨ q) 
b) (~p ∧ q) 
c) (p ∨ q) 
d) (p ∧ ~q) 
e) (~p ∨ q) 
 
IMPLICAÇÕES 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
 
17
(p → q) 
Condições necessárias e suficientes: 
 Na proposição condicional (p → q) denotamos a proposição p como antecedente e 
a proposição q como conseqüente . A proposição antecedente p é chamada de condição 
suficiente para a proposição conseqüente q, e a proposição conseqüente q é chamada de 
condição necessária para p. 
Exemplo: 
19) Sejam as proposições: 
p = “ Joselias é carioca”. 
q = “Joselias é brasileiro”. 
Temos que a proposição p → q representa a seguinte sentença: “Se Joselias é carioca 
então Joselias é brasileiro”. 
 Podemos dizer que a sentença “Joselias é carioca” é condição suficiente para a 
sentença “Joselias é brasileiro”. Por outro lado a sentença “Joselias é brasileiro” é 
condição necessária para a sentença “Joselias é carioca”. 
 
 A proposição (p → q) é lida de várias maneira distintas, como segue: 
a) Se p, então q. 
b) Se p, q. 
c) q, se p 
d) p implica q. 
e) p acarreta q. 
f) p é suficiente para q. 
g) q é necessário para p. 
h) p somente se q. 
i) p apenas se q. 
 
Exemplo: 
20) A proposição “Se ele me ama, então casa comigo” pode ser enunciada também das 
seguintes maneiras: 
a) “Se ele me ama, então casa comigo”. 
b) “Se ele me ama, casa comigo”. 
c) “Ele casa comigo, se ele me ama”. 
d) “Ele me ama implica em casa comigo”. 
e) “Ele me ama carreta casa comigo”. 
f) “Ele me amar é suficiente para casar comigo”. 
g) “ Casar comigo é necessário para me amar”. 
h) “Ele me ama somente se casa comigo”. 
i) “Ele me ama apenas se casa comigo”. 
 
Recíproca contrária e contra-positiva: 
Se p e q são proposições então: 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
 
18
a) Chamamos de recíproca de (p → q) a proposição (q → p). 
b) Chamamos de contrária de (p → q) a proposição (¬p → ¬q). 
c) Chamamos de contra-positiva de (p → q) a proposição (¬q → ¬p). 
 
Exemplo: 
21) Considere a sentença condicional “Se Joselias é carioca então Joselias é 
brasileiro”. Temos então: 
a) A recíproca é “Se Joselias é brasileiro então Joselias é carioca”. 
b) A contrária é “Se Joselias não é carioca então Joselias não é brasileiro”. 
c) A contra-positiva é “Se Joselias não é brasileiro então Joselias não é carioca”. 
 
Equivalência de (p → q): 
 Entre as equivalências da proposição (p → q) destacamos algumas das mais 
freqüentes: 
a) (p → q) é equivalente a (¬p ∨ q). 
 Isto quer dizer que “(Se p então q) é equivalente a (não p ou q)”. Podemos então 
afirmar que a sentença “Se ele me ama, então casa comigo” é equivalente a “Ele não me 
ama ou casa comigo”. 
 
b) (p → q) é equivalente a (¬q → ¬p) (contra-positiva) 
 Isto quer dizer que “(Se p, então q) é equivalente a (Se não q, então não p)”. 
Podemos então afirmar que a sentença “Se ele me ama, então casa comigo” é equivalente 
a “Se ele não casa comigo, então ele não me ama”. 
 
c) ¬ (p → q) é equivalente a (p ∧ ¬q) 
 Isto quer dizer que a negação de (Se p, então q) é equivalente a (p e não q). 
Podemos então afirmar que a negação da sentença “Se ele me ama, então casa comigo” é 
equivalente a “Ele me ama e não casa comigo” 
 
BI-CONDICIONAL(IMPLICAÇÃO DUPLA) 
(p ↔ q) 
Na proposição bicondicional (p ↔ q) denotamos a proposição p como antecedente e a 
proposição q como conseqüente . A proposição antecedente p é chamada de condição 
necessária e suficiente para a proposição conseqüente q, e a proposição conseqüente q é 
chamada de condição necessária e suficiente para p. 
 
Exemplo: 
22) Sejam as proposições: 
p = “ Joselias é carioca”. 
q = “Joselias é brasileiro”. 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
 
19
Temos que a proposição (p ↔ q) representa a seguinte sentença: “Joselias é carioca se e 
somente se Joselias é brasileiro”. 
 Podemos dizer que a sentença “Joselias é carioca” é condição necessária e 
suficiente para a sentença “Joselias é brasileiro”. Por outro lado a sentença “Joselias é 
brasileiro” é condição necessária e suficiente para a sentença “Joselias é carioca”. 
 A proposição (p ↔ q) é lida de várias maneira distintas, como segue: 
a) p se e somente se q. 
b) p se e só se q. 
c) p é condição necessária e suficiente para q 
e p é equivalente a q 
 
Exemplo: 
23) A proposição “Se ele me ama se e somente se casa comigo” pode ser enunciada 
também das seguintes maneiras: 
a) “Se ele me ama se e somente se casa comigo”. 
b) “Se ele me ama se e só se casa comigo”. 
c) “Ele me ama é condição necessária e suficiente para ele casa comigo”. 
d) “Ele me ama é equivalente a ele casa comigo”. 
 
Equivalência de (p ↔ q): 
 Entre as equivalências da proposição (p ↔ q) destacamos algumas das mais 
freqüentes: 
a) (p ↔ q) é equivalente a (p → q) ∧(q → p). 
 Isto quer dizer que “(p se e somente se q ) é equivalente a (Se p então q) e (Se q 
então p)”. Podemos então afirmar que a sentença “Ele me ama se e somente se casa 
comigo” é equivalente a “Se ele me ama então casa comigo, e se ele casa comigo então 
ele me ama”. 
 
b) (p ↔ q) é equivalente a (¬q ↔ ¬p) (contra-positiva) 
 Isto quer dizer que “(p se somente se q) é equivalente a (não q se e somente se 
não p)”. Podemos então afirmar que a sentença “Ele me ama se e somente se casa 
comigo” é equivalente a “Ele não casa comigo se e somente se ele não me ama”. 
 
c) (p ↔ q) é equivalente a (q ↔ p) (recíproca) 
 Isto quer dizer que “(p se somente se q) é equivalente a (q se somente se p)”. 
Podemos então afirmar que a sentença “Ele me ama se e somente se casa comigo” é 
equivalente a “Ele casa comigo se e somente se ele me ama”. 
 
d) (p ↔ q) é equivalente a (¬p ↔ ¬q) (contrária) 
 Isto quer dizer que (p se somente se q) é equivalente a (não p se e somente se não 
q)”. Podemos então afirmar que a sentença “Ele me ama se e somente se casa comigo” é 
equivalente a “Ele não me ama se e somente se ele não casa comigo” 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
 
20
 
d) ¬ (p ↔ q) é equivalente a (p ↔¬q) 
 Isto quer dizer que a negação de (p se e somente se q) é equivalente a (p se 
somente se não q) Podemos então afirmar que a negação da sentença “Se ele me ama se e 
somente se casa comigo” é equivalente a “Ele me ama se somente se não casa comigo”. 
 
OU EXCLUSIVO 
p ∨ q 
(ou p ou q mas não ambos) 
 
 A proposição p ∨ q representará a disjunção exclusiva(ou exclusivo), e significa 
ou p ou q mas não ambos. A tabela verdade desta proposição composta seráF quando 
ambos p e que forem verdadeiros ou ambos falsos, caso contrário será verdadeira. Assim 
teremos a seguinte tabela verdade: 
p q p ∨ q 
V V F 
V F V 
F V V 
F F F 
 
Exemplo: 
24) Sejam as proposições: 
p = “Eu trabalho” 
q = “Eu estudo” 
 A proposição p ∨ q significa “Ou eu trabalho ou estudo, mas não ambos”. 
 
Equivalência de p ∨ q: 
 Entre as equivalências da proposição p ∨ q destacamos algumas das mais 
freqüentes: 
a) p ∨ q é equivalente a (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q). 
 Isto quer dizer que (p ou q, mas não ambos) é equivalente a (p e não q) ou (não p 
e q)”. Podemos então afirmar que a sentença “Ele me ama ou casa comigo, mas não 
ambos” é equivalente a “Ele me ama e não casa comigo, ou ele não me ama e casa 
comigo”. 
 
b) ¬(p ↔ q) é equivalente a p ∨ q. 
 Isto quer dizer que a negação de (p se e somente se q) é equivalente a (p ou q, 
mas não ambos). Podemos então afirmar que a negação da sentença “Ele me ama se e 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
 
21
somente se casa comigo” é equivalente a “Ele me ama ou casa comigo, mas não 
ambos”. 
 
NEGAÇÃO 
(¬, ~) 
 A proposição ¬p representa a negação da proposição p. Se a proposição p é 
verdadeira então a proposição ¬p é falsa. Se a proposição p é falsa então a proposição 
¬p é verdadeira. Sendo assim a negação da sentença p= “Eu estudo” é ¬p = “Eu não 
estudo”. 
 Conforme as equivalências podemos negar as proposições compostas conforme o 
quadro abaixo: 
PROPOSIÇÃO NEGAÇÃO 
p ¬p 
(¬p) p 
(p ∨ q) (¬p ∧ ¬q) 
(p ∧ q) (¬p ∨ ¬q) 
( p→ q) ( p ∧ ¬q ) 
(p ↔ q) (p ↔ ¬q) 
(p ↔ q) p ∨ q. 
 
Exemplos: 
25) Conforme o quadro acima podemos negar as sentenças da seguinte forma: 
a) A negação da sentença “ Eu trabalho” é “Eu não trabalho” 
b) A negação da sentença “ Eu trabalho ou estudo” é “Eu não trabalho e não estudo” 
c) A negação da sentença “ Eu trabalho e estudo” é “Eu não trabalho ou não estudo”. 
d) A negação da sentença “ Se eu trabalho então estudo” é “Eu trabalho e não 
estudo”. 
e) A negação da sentença “ Eu trabalho se e somente se estudo” é “Eu trabalho se 
somente se não estudo”. 
f) A negação da sentença “ Eu trabalho se e somente se estudo” é “Ou trabalho ou 
estudo, mas não ambos”. 
 
26) (CESGRANRIO)Uma proposição logicamente equivalente a “Se eu me chamo 
André, então eu passo no vestibular.” é: 
(A) Se eu não me chamo André, então eu não passo no vestibular. 
(B) Se eu passo no vestibular, então me chamo André. 
(C) Se eu não passo no vestibular, então me chamo André. 
.(D) Se eu não passo no vestibular, então não me chamo André. 
(E) Eu passo no vestibular e não me chamo André. 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
 
22
Solução 
Sejam as proposições: 
p = “Eu me chamo André”. 
q = “Eu passo no vestibular”. 
Sendo assim a sentença: 
 “Se eu me chamo André, então eu passo no vestibular.” 
 ( p → q) 
 é equivalente a 
 (¬q → ¬p) 
 (Se eu não passo no vestibular, então não me chamo André). 
Resposta: D 
 
27) (CESGRANRIO) A negação de “se hoje chove então fico em casa” é: 
(A) hoje não chove e fico em casa. 
.(B) hoje chove e não fico em casa. 
(C) hoje chove ou não fico em casa. 
(D) hoje não chove ou fico em casa. 
(E) se hoje chove então não fico em casa. 
Solução 
Sejam as proposições: 
p = “Hoje chove”. 
q = “Fico em casa”. 
Sendo assim a negação da sentença sentença: 
 ¬ (Se hoje chove então fico em casa) 
 ¬ ( p → q) 
é equivalente a 
 ( p ∧ ¬q ) 
 (Hoje chove e não fico em casa) 
Resposta: B 
 
 
 
28) (CESGRANRIO) Considere as fórmulas: 
I - (p ∧ q) → p 
II - (p ∨ q) → p 
III - (p ∧ q) → (p ∨ q) 
É(São) tautologia(s) a(s) fórmula(s): 
(A) I, somente. 
(B) II, somente. 
(C) III, somente. 
(D) I e III, somente. 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
 
23
(E) I, II e III. 
Solução 
Considere a tabela verdade abaixo: 
p q (p ∧ q) (p ∨ q) (p ∧ q) → p (p ∨ q) → p (p ∧ q) → (p ∨ q) 
V V V V V V V 
V F F V V V V 
F V F V V F V 
F F F F V V V 
 
Observe que somente I e III são tautologias. 
Resposta: D 
 
Exercícios Propostos 
 
30) Das proposições abaixo, a única que é logicamente equivalente a (~p ∨ ~q) é 
a) ~(p ∨ q) 
b) ~ (p ∧ q) 
c) (p ∨ q) 
d) (p ∧ ~q) 
e) (~p ∨ q) 
 
31) Assinale qual das alternativas abaixo representa uma contradição. 
a) (p ∨ q) → (p ∧ q) 
b) (p ∨ q) → q 
c) (~p ∨ p) → (~p ∧ p) 
d) p→ (p ∧ q) 
e) p→ (p ∨ q) 
 
32)Assinale qual das alternativas abaixo representa uma tautologia. 
a) (~p ∨ p) → q 
b) (p ∨ q) → (p ∧ q) 
c) (p ∨ q) → q 
d) p→ (p ∧ q) 
e) p→ (p ∨ q) 
 
33) Na tabela-verdade abaixo, p e q são proposições. 
p q ? 
V V F 
V F F 
F V V 
F F F 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
 
24
A proposição composta que substitui corretamente o ponto de interrogação é 
a) (p ∧ q) 
b) (~p ∧ ~q) 
c) (p ∧ ~q) 
d) (~p ∧ q) 
e) (p → q) 
 
34) Na tabela-verdade abaixo, p e q são proposições. 
p q ? 
V V F 
V F F 
F V F 
F F V 
A proposição composta que substitui corretamente o ponto de interrogação é 
a) (p ∧ q) 
b) (~p ∧ ~q) 
c) (p ∧ ~q) 
d) (~p ∧ q) 
e) (p → q) 
 
35) Numa proposição composta s, aparecem as proposições simples p, q e r. Sua 
tabela-verdade é 
 
p q r s 
V V V F 
V V F V 
V F V V 
F V V F 
V F F F 
F V F F 
F F V F 
F F F F 
Usando a conjunção (∧), a disjunção(∨) e a negação(~), pode-se construir sentenças 
equivalentes a s. Uma dessas sentenças é 
a. [(~p) ∨ q ∨ (~r)] ∧ [p ∨ (~q) ∨ ( ~r)] 
b. [(~p) ∧ q ∧ (~r)] ∧ [p ∧ (~q) ∧ ( ~r)] 
c. [p∧ q ∧ (~r)] ∨ [p ∧ (~q) ∧ r] 
d. [p ∨ q ∨ r] ∧ [p ∧ q ∧ r] 
e. ~ [p ∧ q ∧ r] 
 
 
36) Na tabela-verdade abaixo, p e q são proposições. 
 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
 
25
p q ? 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
 
A proposição composta que substitui corretamente o ponto de interrogação é 
a) (p ∨ q) 
b) (~p ∧ ~q) 
c) (p ∧ ~q) 
d) (~p ∧ q) 
e) (p → q) 
 
37) Numa proposição composta s, aparecem as proposições simples p, q e r. Sua 
tabela-verdade é 
p q r s 
V V V V 
V V F V 
V F V F 
F V V F 
V F F V 
F V F V 
F F V V 
F F F V 
 
Usando a conjunção (∧), a disjunção(∨) e a negação(~), pode-se construir sentenças 
equivalentes a s. Uma dessas sentenças é 
a. [(~p) ∨ q ∨ (~r)] ∧ [p ∨ (~q) ∨ ( ~r)] 
b. [(~p) ∧ q ∧ (~r)] ∧ [p ∧ (~q) ∧ ( ~r)] 
c. [p ∨ q ∨ r] ∧ [p ∧ q ∧ r] 
d. [p ∨ q ∨ r] 
e. ~ [p ∧ q ∧ r] 
 
38) Considere as afirmações abaixo. 
I – Se p e q são proposições então ( ) ( )p q p q↔ ↔ ↔∼ ∼ é uma tautologia. 
II - Se p e q são proposições então ( ) )p q q→ ∨ ∼ é uma tautologia. 
III – Se p e q são proposições então a recíproca de ( )p q→ é ( )q p→ . 
É verdade o que se afirma APENAS em 
a. I. 
b. II e III 
c. I e III. 
d. I e II. 
NOTAS DE AULASDE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
 
26
e. I, II e III. 
 
39) Considere as afirmações abaixo. 
I – Se p e q são proposições então a recíproca de ( )p q→ é ( )q p→ . 
II - Se p e q são proposições então a contrária de ( )p q→ é ( )p q→∼ ∼ . 
III – Se p e q são proposições então a contra-positiva de ( )p q→ é ( )q p→∼ ∼ . 
É verdade o que se afirma APENAS em 
a. I. 
b. II e III 
c. I e III. 
d. I e II. 
e. I, II e III. 
 
40) A proposição ( ) [( ) ( )]p q p q p q↔ ↔ ∧ ∨ ∧∼ ∼ ∼ representa 
um: 
(A) Contradição 
(B) Contingência 
(C) Tautologia 
(D) Dilema 
(E) Inconsistência 
 
41) A proposição ( ) ( )p q p q↔ ↔ ↔∼ ∼ representa um: 
(A) Contradição 
(B) Contingência 
(C) Tautologia 
(D) Dilema 
(E) Inconsistência 
 
42) Considere a seguinte declaração: 
Ou o presidente não sabia, ou houve desacato a autoridade, mas não ambos. 
Assinale a alternativa que apresenta a negação formal desta declaração. 
a. Para que tenha havido desacato a autoridade é necessário e suficiente que o presidente 
sabia. 
b. Ou o presidente sabia, ou não houve desacato a autoridade, mas não ambos. 
c. Para que não tenha havido desacato a autoridade é necessário e suficiente que o 
presidente sabia. 
d. Se não houve desacato a autoridade então o presidente sabia. 
e. Se o presidente sabia então houve desacato a autoridade. 
 
43) A proposição ( ) [( ) ]p q p r q→ ↔ ∧ → representa um: 
(A) Contradição 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
 
27
(B) Contingência 
(C) Tautologia 
(D) Dilema 
(E) Inconsistência 
 
44) Pedro, após visitar uma aldeia distante, afirmou: “Não é verdade que todos os 
aldeões daquela aldeia não dormem a sesta”. A condição necessária e suficiente para 
que a afirmação de Pedro seja verdadeira é que seja verdadeira a seguinte 
proposição: 
(A) No máximo um aldeão daquela aldeia não dorme a sesta. 
(B) Todos os aldeões daquela aldeia dormem a sesta. 
(C) Pelo menos um aldeão daquela aldeia dorme a sesta. 
(D) Nenhum aldeão daquela aldeia não dorme a sesta. 
(E) Nenhum aldeão daquela aldeia dorme a sesta. 
 
45) A proposição ( )p p p→ ↔∼ representa um: 
(A) Contradição 
(B) Contingência 
(C) Tautologia 
(D) Dilema 
(E) Inconsistência 
 
46) A afirmação “Não é verdade que, se Pedro está em Roma, então Paulo está em 
Paris” é logicamente equivalente à afirmação: 
(A) É verdade que ‘Pedro está em Roma e Paulo está em Paris’. 
(B) Não é verdade que ‘Pedro está em Roma ou Paulo não está em Paris’. 
(C) Não é verdade que ‘Pedro não está em Roma ou Paulo não está em Paris’. 
(D) Não é verdade que “Pedro não está em Roma ou Paulo está em Paris’. 
(E) É verdade que ‘Pedro está em Roma ou Paulo está em Paris’. 
 
Sentenças Abertas e Sentenças Gerais 
 
 Conforme vimos nas páginas anteriores, as proposições são declarações que podem 
receber o atributo verdadeiro ou falso. Sendo assim as sentenças abaixo são proposições: 
a) Joselias é um professor. 
b) 2 é um número natural. 
c) 4 + 6 > 10 
 Podemos pensar nas seguintes sentenças abertas, que não podem receber o atributo 
verdadeiro ou falso: 
1) X é um professor. 
2) n é um número natural. 
3) x + y >10 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
 
28
 Concluímos que se atribuirmos um valor para as variáveis X, n, x e y, nas sentenças 
abertas acima, poderíamos ter, por exemplo, as proposições dos casos anteriores a, b e c 
respectivamente. Existe outra maneira de transformarmos as sentenças abertas em 
proposições, que consiste no uso do quantificador universal e do quantificador existencial. 
 
Quantificador universal: 
∀ - Significa “Para todo ...”, “Qualquer que seja ...”. 
Quantificador Existencial: ∃ - Significa “Existe ...”, “Há um ...”. 
 Utilizando-se os quantificadores podemos transformar as sentenças abertas em 
proposições falsas ou verdadeira, por exemplo: 
a) A sentença “ n∃ ∈\ , n é um número natural” é uma proposição verdadeira. 
b) A sentença “ ( )( )( )10x y x y∀ ∈ ∀ ∈ + >\ \ ” é uma proposição falsa. 
As proposições que iniciam com os quantificadores são chamadas de sentenças gerais. 
 
 As negações das sentenças gerais podem ser feitas da seguinte maneira: 
 Sejam Px, Qx, Rx,... sentenças abertas de variável x. 
 Então temos: 
 ( )( )x Px¬ ∀ é equivalente a ( )( )x Px∃ ¬ 
 ( ) ( )x Px¬ ∃ é equivalente a ( )( )x Px∀ ¬ 
 ( )( )x Px Qx¬ ∀ → é equivalente a ( )( )x Px Qx∃ ∧ ¬ 
 ( )( )x Px Qx¬ ∀ ∨ é equivalente a ( )( )x Px Qx∃ ¬ ∧ ¬ 
 ( )( )x Px Qx¬ ∀ ∧ é equivalente a ( )( )x Px Qx∃ ¬ ∨ ¬ 
 
Número de linha da tabela verdade 
 È comum questões de concursos perguntarem sobre o número de linhas da tabela 
verdade. No momento vamos apenas deixar algumas fórmulas, que serão demonstradas no 
capítulo de análise combinatória: 
 O número de linhas da tabela verdade de uma proposição composta de n 
proposições simples é 2n . 
 Aproveitamos também para esclarecer que o número de proposições não 
equivalentes a uma proposição composta de n proposições simples é 
22
n
. 
 
Exemplos: 
29) (ICMS_SP_VUNESP)Considere as seguintes frases: 
I. Ele foi o melhor jogador do mundo em 2005. 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
 
29
II.
5
x y+ é um número inteiro. 
III. João da Silva foi o Secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em 2000. 
É verdade que APENAS 
(A)) I e II são sentenças abertas. 
(B) I e III são sentenças abertas. 
(C) II e III são sentenças abertas. 
(D) I é uma sentença aberta. 
(E) II é uma sentença aberta. 
Solução 
I é uma sentença aberta definida no conjunto de jogadores do mundo. 
II é uma sentença aberta, pois pode apresentar várias soluções inteiras ou não. 
Logo apenas I e II são sentenças abertas e III é uma proposição. 
Opção correta A 
 
30) Escreva as sentenças a seguir na linguagem usual: 
a) ( )( )( )2x y x y∀ ∈ ∃ ∈ + <\ \ 
b) ( )( )( )2 2 0x y x y∀ ∈ ∀ ∈ + ≥\ \ 
Solução 
a) Para todo número x pertencente ao conjunto do números reais existe um número y 
também pertencente ao conjunto dos reais tal que x + y <2. 
b) Para qualquer números x e y pertencentes ao conjunto dos números reais temos que 
2 2 0x y+ ≥ . 
 
31) (CESGRANRIO) Sendo A e B conjuntos, considere a afirmação: 
“para todo x∈ A, existe y ∈B tal que x<y”. 
Negar tal afirmação equivale a afirmar que: 
(A) para todo x∈A, existe y∈B tal que x > y. 
(B) para todo x∈A, existe y∈B tal que x≥ y. 
(C) existe x∈A tal que, para todo y∈B, x > y. 
(D) existe x∈A tal que, para todo y ∈B, x ≥ y. 
(E) existem x∈A e y∈B tais que x ≥ y. 
Solução ( )para todo x A, existe y B tal que x<y¬ ∈ ∈ 
( )( x A)( y B)(x<y)¬ ∀ ∈ ∃ ∈ 
( x A)( ( y B)(x<y))∃ ∈ ¬ ∃ ∈ 
( x A)(( y B) (x<y))∃ ∈ ∀ ∈ ¬ 
( x A)(( y B)(x y))∃ ∈ ∀ ∈ ≥ 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
 
30
“existe x∈A tal que, para todo y ∈B, x ≥ y” 
Opção correta: D 
 
Exercícios Propostos 
47) Sendo " "x ∈\ a proposição “x é um número real” e " "x ∈` a proposição “x é 
um número natural”, podemos afirmar que a negação da sentença “ todos os números 
reais são naturais” e: 
a) ( )( )x x x∀ ∉ → ∉\ ` 
b) ( )( )x x x∀ ∈ ∨ ∉\ ` 
c) ()( )x x x∃ ∈ ∧ ∈\ ` 
d) ( )( )x x x∃ ∈ ∧ ∉\ ` 
e) ( )( )x x x∃ ∉ ∧ ∉\ ` 
 
48)Podemos afirmar que o número de linhas da tabela-verdade para proposições 
compostas de três átomos é: 
a) 3 
b) 4 
c) 6 
d) 8 
e) 9 
 
49) Podemos afirmar que o número de linhas da tabela-verdade para proposições 
compostas de n átomos é: 
a) 2 
b) 2n 
c) 2n 
d) 3n 
e) 3n 
 
50) A negação da proposição ( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y∀ ∀ + < → ≥ ∨ < é: 
a) ( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y∃ ∀ + ≥ → < ∨ ≥ 
b) ( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y∃ ∃ + < → < ∧ ≥ 
c) ( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y∃ ∃ + < ∧ < ∧ ≥ 
d) ( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y∀ ∃ + ≥ → ≥ ∧ ≥ 
e) ( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y∃ ∃ + ≥ ∧ < ∨ ≥ 
 
51) Assinale a opção correta: 
a) Uma condição necessária para que um número seja maior do que 2 é que ele seja 
positivo. 
b) Uma condição suficiente para que um número seja maior do que 2 é que ele seja 
positivo. 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
 
31
c) Uma condição necessária e suficiente para que um número seja maior do que 2 é que ele 
seja positivo. 
d) Toda condição suficiente para que um número seja positivo é também suficiente para 
que seja maior que 2. 
e) Nenhuma das opções anteriores. 
 
52) Considerando a tabela-verdade, podemos afirmar que o número de proposições 
não equivalentes de um átomo é: 
a) 3 
b) 4 
c) 6 
d) 8 
e) 9 
 
53) Considerando a tabela-verdade, podemos afirmar que o número de proposições 
não equivalentes de dois átomos é: 
a) 4 
b)8 
c) 9 
d) 16 
e) 20 
 
54) Considerando a tabela-verdade, podemos afirmar que o número de proposições 
não equivalentes de três átomos é: 
a) 16 
b) 32 
c) 64 
d) 128 
e) 256 
 
55) Considerando a tabela-verdade, podemos afirmar que o número de proposições 
não equivalentes de n átomos é: 
a) n 
b) 2n 
c) 2n 
d) 22
n
 
e) 22 n 
 
56) Sabe-se que se 4>x então 2=y . Podemos daí concluir que: 
a) Se 4<x então 2≠y . 
b) Se 4≤x então 2≠y . 
c) Se 2=y então 4>x . 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
 
32
d) Se 2≠y então 4≤x . 
e) Se 2≠y então 4<x . 
 
57) Numa proposição composta s, aparecem as proposições simples p, q e r. Sua 
tabela-verdade é 
p q r s 
V V V V 
V V F V 
V F V V 
F V V V 
V F F V 
F V F V 
F F V V 
F F F F 
Usando a conjunção (∧), a disjunção(∨) e a negação(~), pode-se construir sentenças 
equivalentes a s. Uma dessas sentenças é 
a) [(~p) ∨ q ∨ (~r)] ∧ [p ∨ (~q) ∨ ( ~r)] 
b) [(~p) ∧ q ∧ (~r)] ∧ [p ∧ (~q) ∧ ( ~r)] 
c) [p ∨ q ∨ r] ∧ [p ∧ q ∧ r] 
d) [p ∨ q ∨ r] 
e) ~ [p ∧ q ∧ r] 
 
58) A negação da proposição " 3 2"x y≠ ∧ < é: 
a) " 3 2"x y= ∧ ≥ 
b) " 3 2"x y= ∧ > 
c) " 3 2"x y= ∨ ≥ 
d) " 2 3"x y≠ ∧ < 
e) " 3 2"x y≠ ∨ < 
 
59) Duas grandezas x e y são tais que “se x = 3 então y = 7”. Pode-se concluir que: 
a) se 3x ≠ então 7y ≠ 
b) se 7y = então 3x = 
c) se 7y ≠ então 3x ≠ 
d) se 7y > então 3x = 
e) 3x ≠ ou 7y ≠ 
 
60) (CESGRANRIO) Considere verdadeira a proposição: “Marcela joga vôlei ou 
Rodrigo joga basquete”. Para que essa proposição passe a ser falsa: 
(A) é suficiente que Marcela deixe de jogar vôlei. 
(B) é suficiente que Rodrigo deixe de jogar basquete. 
(C) é necessário que Marcela passe a jogar basquete. 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
 
33
(D) é necessário, mas não suficiente, que Rodrigo deixe de jogar basquete. 
(E) é necessário que Marcela passe a jogar basquete e Rodrigo passe a jogar vôlei. 
 
61) (CESGRANRIO) A negação de “João sempre vai de carro para o trabalho” é: 
(A) “João sempre vai a pé para o trabalho”. 
(B) “João nunca vai de carro para o trabalho”. 
(C) “João, às vezes, não vai de carro para o trabalho”. 
(D) “João, às vezes, vai a pé para o trabalho”. 
(E) “João nunca vai a pé para o trabalho”. 
 
62) (CESGRANRIO) A negação de “não sabe matemática ou sabe português” é: 
(A) não sabe matemática e sabe português. 
(B) não sabe matemática e não sabe português. 
(C) sabe matemática ou sabe português. 
(D) sabe matemática e não sabe português. 
(E) sabe matemática ou não sabe português. 
 
A expressão ( ) ( )( )( , )x y P x y∃ ∀ é uma fórmula sintaticamente correta da lógica de 
predicados clássica. Diz-se que uma tal fórmula é semanticamente válida quando as 
suas variáveis x e y e o predicado P têm alguma interpretação que os verifique. 
Quanto a esse assunto, julgue o item subseqüente. 
 
63) ( CESPE) Se x e y assumem valores no conjunto dos números inteiros e o 
predicado P(x, y) é interpretado como x < y, então a fórmula é semanticamente válida. 
 
 
ARGUMENTOS 
Argumento é um conjunto de proposições com uma estrutura lógica de maneira tal que 
algumas delas acarretam ou tem como conseqüência outra proposição. Isto é, o conjunto de 
proposições p1, p2, p3, . . . , pn que tem como conseqüência outra proposição q. 
Chamaremos as proposições p1, p2, p3, . . . , pn de premissas do argumento, e a proposição 
q de conclusão do argumento. 
Podemos representar por: 
p1 
p2 
p3 
. 
. 
. 
pn ∴q 
Exemplos: 
32) Se eu passar no concurso, então irei trabalhar. 
 Passei no concurso 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
 
34
 
 ∴ Irei Trabalhar 
 
33) Se ele me ama então casa comigo. 
 Ele me ama 
 
 ∴ Ele casa comigo 
 
34) Todos os brasileiros são humanos. 
 Todos os paulistas são brasileiros. 
 
 ∴Todos os paulistas são humanos 
 
35) Se o Palmeiras ganhar o jogo, todos os jogadores receberão o bicho. 
 Se o Palmeiras não ganhar o jogo, todos os jogadores receberão o bicho . 
 
 ∴Todos os jogadores receberão o bicho 
 
NOTAÇÃO: No caso geral representaremos os argumentos escrevendo as premissas e 
separando por uma barra horizontal seguida da conclusão com três pontos antes. 
Veja exemplo extraído do Irving M. Copi. 
Premissa: Todos os sais de sódio são substâncias solúveis em água. 
 Todos os sabões são sais de sódio 
 
Conclusão: ∴Todos os sabões são substâncias solúveis em água. 
 
VALIDADE DE UM ARGUMENTO 
 
Conforme citamos anteriormente uma proposição é verdadeira ou falsa. No caso de um 
argumento diremos que ele é válido ou não válido. 
A validade é uma propriedade dos argumentos dedutivos que depende da forma (estrutura) 
lógica das suas proposições (premissas e conclusões) e não do conteúdo delas. Sendo 
assim podemos ter as seguintes combinações para os argumentos válidos dedutivos: 
 
a) Premissas verdadeiras e conclusão verdadeira. 
Exemplo: 
36) 
Todos os apartamentos são pequenos. ( V ) 
Todos os apartamentos são residências. ( V ) 
∴ Algumas residências são pequenas. ( V ) 
 
b) Algumas ou todas as premissas falsas e uma conclusão verdadeira. 
Exemplo: 
37) 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
 
35
Todos os peixes têm asas. ( F ) 
Todos os pássaros são peixes. ( F ) 
∴ Todos os pássaros têm asas. ( V ) 
 
c) Algumas ou todas as premissas falsas e uma conclusão falsa. 
Exemplo: 
38) 
Todos os peixes têm asas. ( F ) 
Todos os cães são peixes. ( F ) 
∴ Todos os cães têm asas. ( F ) 
 
Todos os argumentos acima são válidos, pois se suaspremissas fossem verdadeiras então as 
conclusões também as seriam. 
Podemos dizer que um argumento é válido se quando todas as suas premissas são 
verdadeiras acarreta que sua conclusão também é verdadeira. Portanto um argumento será 
não válido se existir a possibilidade de suas premissas serem verdadeiras e sua conclusão 
falsa. 
Observe que a validade do argumento depende apenas da estrutura dos enunciados. 
Exemplo: 
39) 
Todas as mulheres são bonitas. 
Todas as princesas são mulheres. 
 
∴ Todas as princesas são bonitas. 
 
Observe que não precisamos de nenhum conhecimento aprofundado sobre o assunto para 
concluir que o argumento acima é válido. Vamos substituir mulheres, bonitas e princesas 
por A, B e C respectivamente e teremos: 
Todos os A são B. 
Todos os C são A. 
 
∴ Todos os C são B. 
 
Logo o que é importante é a forma do argumento e não o conhecimento de A, B e C, isto 
é, este argumento é válido para quaisquer A, B e C e portanto a validade é conseqüência 
da forma do argumento. O atributo Validade aplica-se apenas aos argumentos dedutivos. 
 
ARGUMENTOS DEDUTIVOS E INDUTIVOS 
Os argumentos são divididos em dois grupos: 
• dedutivos 
• indutivos 
O argumento será dedutivo quando suas premissas fornecerem prova conclusiva da 
veracidade da conclusão, isto é, o argumento é dedutivo quando a conclusão é 
completamente derivada das premissas. 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
 
36
Exemplo: 
40) 
Todo ser humano têm mãe. 
Todos os homens são humanos. 
 
∴Todos os homens têm mãe. 
 
O argumento será indutivo quando suas premissas não fornecerem o apoio completo para 
ratificar as conclusões. 
 
Exemplo: 
41) 
O Flamengo é um bom time de futebol. 
O Palmeiras é um bom time de futebol. 
O Vasco é um bom time de futebol. 
O Cruzeiro é um bom time de futebol. 
 
∴Todos os times brasileiros de futebol são bons. 
 
Portanto nos argumentos indutivos a conclusão possui informações que ultrapassam as 
fornecidas nas premissas. Sendo assim, não se aplica, então, a definição de argumentos 
válidos ou não válidos para argumentos indutivos. 
 
ARGUMENTOS DEDUTIVOS VÁLIDOS 
Vimos então que a noção de argumentos válidos ou não válidos aplica-se apenas aos 
argumentos dedutivos, e também que a validade depende apenas da forma do argumento e 
não dos respectivos valores verdades das premissas. Vimos também que não podemos ter 
um argumento válido com premissas verdadeiras e conclusão falsa. A seguir 
exemplificaremos alguns argumentos dedutivos válidos importantes. 
 
AFIRMAÇÃO DO ANTECEDENTE 
 
O primeiro argumento dedutivo válido que discutiremos chama-se “afirmação do 
antecedente” , (também conhecido como modus ponens). 
Então vejamos: 
Exemplo: 
42) 
Se José for reprovado no concurso, então será demitido do serviço. 
José foi reprovado no concurso. 
 
∴ José será demitido do serviço. 
 
Este argumento é evidentemente válido e sua forma pode ser escrita da seguinte forma: 
 
Se p, então q. 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
 
37
p. 
∴ q. 
 
ou 
 
p q→ 
p 
∴ q 
 
 
 
NEGAÇÃO DO CONSEQUENTE 
 
Outro argumento dedutivo válido é a “negação do conseqüente” (também conhecido como 
modus tollens). 
Obs.: Vimos nas páginas anteriores que ( )p q→ é equivalente a ( )q p¬ → ¬ . Esta 
equivalência é chamada de contra-positiva. 
Exemplo: 
43) 
 “Se ele me ama, então casa comigo” é equivalente a “Se ele não casa comigo, então 
ele não me ama”. 
 
Então vejamos o exemplo do modus tollens. 
Exemplo: 
44) 
• Se aumentamos os meios de pagamentos, então haverá inflação. 
• Não há inflação 
∴Não aumentamos os meios de pagamentos. 
 
Este argumento é evidentemente válido e sua forma pode ser escrita da seguinte maneira: 
 
Se p, então q. 
Não q. 
∴ Não p. 
 
ou 
 
p q→ 
q¬ 
∴ p¬ 
 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
 
38
Existe também um tipo de argumento válido conhecido pelo nome de dilema. Geralmente 
este argumento ocorre quando alguém é forçado a escolher entre duas alternativas 
indesejáveis. 
Exemplo: 
45) 
João se inscreveu no concurso de MS, porém não gostaria de sair de São Paulo, e seus 
colegas de trabalho estão torcendo por ele. 
Eis o dilema de João: 
• Ou João passa ou não passa no concurso. 
– Se João passar no concurso vai ter que ir embora de São Paulo. 
– Se João não passar no concurso ficará com vergonha diante dos colegas de trabalho. 
∴Ou joão vai embora de São Paulo ou João ficará com vergonha dos Colegas de 
trabalho. 
Este argumento é evidentemente válido e sua forma pode ser escrita da seguinte maneira: 
 
p ou q. 
Se p então r. 
Se q então s. 
∴ r ou s 
 
ou 
 
p q∨ 
p r→ 
q s→ 
∴ r s∨ 
 
ARGUMENTOS DEDUTIVOS NÃO VÁLIDOS 
 
Os argumentos dedutivos não válidos podem combinar verdade ou falsidade das premissas 
de qualquer maneira com a verdade ou falsidade da conclusão. Assim podemos ter, por 
exemplo, argumentos não-válidos com premissas e conclusões verdadeiras, porém as 
premissas não sustentam a conclusão. 
Exemplo: 
46) 
Todos os mamíferos são mortais. ( V ) 
Todos os gatos são mortais. ( V ) 
 
∴Todos os gatos são mamíferos. ( V ) 
 
Este argumento tem a forma: 
 
Todos os A são B 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
 
39
Todos os C são B 
 
∴Todos os C são A 
 
Podemos facilmente mostrar que este argumento é não-válido, pois as premissas não 
sustentam a conclusão, e veremos então que podemos ter as premissas verdadeiras e a 
conclusão falsa, nesta forma, bastando substituir A por mamífero, B por mortais e C por 
cobra. 
Todos os mamíferos são mortais. ( V ) 
Todos os as cobras são mortais. ( V ) 
 
∴ Todas as cobras são mamiferas. ( F ) 
 
FALÁCIA DA AFIRMAÇÃO DO CONSEQUENTE 
 
Com as premissas verdadeiras e a conclusão falsa nunca teremos um argumento válido, 
então este argumento é não-válido, chamaremos os argumentos não-válidos de falácias. A 
seguir examinaremos algumas falácias conhecidas que ocorrem com muita freqüência. O 
primeiro caso de argumento dedutivo não-válido que veremos é o que chamamos de 
“falácia da afirmação do conseqüente”. 
Exemplo: 
47) 
Se ele me ama então ele casa comigo. 
Ele casa comigo. 
∴Ele me ama. 
 
Podemos escrever este argumento como: 
 
Se p, então q. 
q. 
∴ p. 
 
ou 
 
p q→ 
q 
∴ p 
 
Este argumento é uma falácia, podemos ter as premissas verdadeiras e a conclusão falsa. 
 
FALÁCIA DA NEGAÇÃO DO ANTECEDENTE 
Outra falácia que ocorre com freqüência é a conhecida por “falácia da negação do 
antecedente”. 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
 
40
Exemplo: 
48) 
Se João parar de fumar ele engordará. 
João não parou de fumar. 
∴João não engordará. 
 
Observe que temos a forma: 
 
Se p, então q. 
Não p. 
∴ Não q. 
 
ou 
 
p q→ 
p¬ 
∴ q¬ 
 
Este argumento é uma falácia, pois podemos ter as premissas verdadeiras e a conclusão 
falsa. 
 
PROPOSIÇÕES UNIVERSAIS E PARTICULARES 
 
As proposições serão classificadas em: 
• universais 
• particulares 
As proposições universais são aquelas em que o predicado refere-sea totalidade do 
conjunto. 
Exemplo: 
49) “Todos os homens são mentirosos” é universal e simbolizamos por “todo S é P”. 
Nesta definição incluímos o caso em que o sujeito é unitário. 
 
Exemplo: 
50)“O cão é mamífero”. 
As proposições particulares são aquelas em que o predicado refere-se apenas a uma parte 
do conjunto. 
 
Exemplo: 
51) “Alguns homens são mentirosos” é particular e simbolizamos por “algum S é P”. 
 
PROPOSIÇÕES AFIRMATIVAS E NEGATIVAS 
As proposições também se classificam em: 
• afirmativas 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
 
41
• negativas 
 
No caso de negativa podemos ter: 
1. “Nenhum homem é mentiroso” é universal negativa e simbolizamos por “nenhum S 
é P”. 
 
2. “Alguns homens não são mentirosos” é particular negativa e simbolizamos por 
“algum S não é P”. 
 
No caso de afirmativa consideramos o item anterior. Chamaremos então de proposição 
categórica na forma típica as proposições dos tipos: “Todo S é P”, “algum S é P”, “algum 
S não é P” e “nenhum S é P”. 
Então teremos a tabela: 
 
 
SILOGISMO CATEGÓRICO DE FORMA TÍPICA 
Chamaremos de silogismo categórico de forma típica (ou silogismo) ao argumento 
formado por duas premissas e uma conclusão, de modo que todas as premissas envolvidas 
são categóricas de forma típica ( A, E, I, O ). 
Teremos também três termos: 
• Termo menor – sujeito da conclusão. 
• Termo maior – predicado da conclusão. 
• Termo médio – é o termo que aparece uma vez em cada premissa e não aparece na 
conclusão. 
Chamaremos de premissa maior a que contém o termo maior, e premissa menor a que 
contém o termo menor. 
Exemplo: 
52) 
Todas as mulheres são bonitas. 
Todas as princesas são mulheres. 
 
∴ Todas as princesas são bonitas. 
 
Termo menor: as princesas 
Termo maior: bonitas 
Termo médio: mulheres 
Premissa menor: todas as princesas são mulheres. 
Premissa maior: todas as mulheres são bonitas. 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
 
42
 
ALGUMAS REGRAS PARA A VALIDADE DE UM SILOGISMO: 
1. Todo silogismo deve conter somente três termos; 
2. O termo médio deve ser universal pelo menos uma vez; 
3. O termo médio não pode constar na conclusão; 
4. Nenhum silogismo categórico de forma típica que tenha duas premissas negativas é 
válido. 
5. De duas premissas particulares não poderá haver conclusão; 
6. Se há uma premissa particular, a conclusão será particular; 
7. Se há uma premissa particular negativa a conclusão será particular negativa. 
 
DIAGRAMA DE EULER 
Para analisar os argumentos, poderemos usar o diagrama de Euler. 
 
 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
 
43
Exemplo: 
53) Diga se o argumento abaixo é válido ou não válido: 
Todos os A são B 
Todos os C são A 
 
∴Todos os C são B 
Solução 
Se as duas premissas são verdadeiras teremos: 
 
Vemos que se as premissas forem verdadeira a conclusão será necessariamente verdadeira. 
Portanto o argumento é válido. 
 
Exemplo: 
54) Diga se o argumento abaixo é válido ou não válido: 
Todo A é B 
Todo C é B 
 
∴Todo C é A 
Solução 
 
Observe que podemos ter as premissas verdadeiras e a conclusão falsa. Logo o argumento 
não é válido. 
 
Exemplo: 
55) Diga se o argumento abaixo é válido ou não válido: 
Algum A é B 
Todo B é C 
 
∴Algum A é C 
Solução 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
 
44
 
Vemos que se as premissas forem verdadeira a conclusão será necessariamente verdadeira. 
Portanto o argumento é válido. 
 
Exemplo: 
55) (FGV) – Considere as seguintes proposições: 
I. “O ministro está numa enrascada: se correr, o bicho pega; se ficar, o bicho come”. 
II. “Ser ou não ser, eis a questão”. 
III. “ O Tejo é mais belo que o rio que corre pela minha aldeia; mas o Tejo não é mais 
belo que o rio que corre pela minha aldeia”. 
É correto então afirmar-se que: 
a)Em I está presente uma tautologia. 
b)Em II está presente uma contradição. 
c)Em III está presente um dilema. 
d) I e II são contradições. 
e) Nenhuma da opções anteriores 
Solução 
Observe que: 
I - “O ministro está numa enrascada: se correr, o bicho pega; se ficar, o bicho come” é um 
dilema. 
II - “Ser ou não ser, eis a questão” é uma tautologia. 
III - “ O Tejo é mais belo que o rio que corre pela minha aldeia; mas o Tejo não é mais belo 
que o rio que corre pela minha aldeia” é uma contradição. 
Resposta: E 
 
Exemplo: 
56) Sejam as declarações: 
Se o governo é bom então não há desemprego. 
Se não há desemprego então não há inflação. 
Ora, se há inflação podemos concluir que: 
a. A inflação não afeta o desemprego. 
b. Pode haver inflação independente do governo. 
c. O governo é bom e há desemprego. 
d. O governo é bom e não há desemprego. 
e. O governo não é bom e há desemprego. 
Solução 
Suponhamos que todas as premissas são verdadeiras. Então temos: 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
 
45
O governo é bom não há desemprego (V)
Não há desemprego não há inflação (V)
Há inflação (V) 
→
→ 
Como a terceira premissa é verdadeira temos: 
F
V
O governo é bom não há desemprego (V)
Não há desemprego não há inflação (V)
Há inflação (V)
→
→ ���	��
��	�
 
 
Temos que a segunda premissa é verdadeira e o seu conseqüente(não há inflação) é falso, 
sendo assim temos que o antecedente(Não há desemprego) tem que ser falso. Logo temos: 
 
FF
V
O governo é bom não há desemprego (V)
Não há desemprego não há inflação (V)
Há inflação (V)
→
→ ���	��
����	���
��	�
 
Conseqüentemente obtemos: 
F
FF
V
O governo é bom não há desemprego (V)
Não há desemprego não há inflação (V)
Há inflação (V)
→
→
����	���
���	��
����	���
��	�
 
 
 
Temos que a primeira premissa é verdadeira e o seu conseqüente(não há desemprego) é 
falso, sendo assim temos que o antecedente(O governo é bom) tem que ser falso. Logo 
temos: 
F F
FF
V
O governo é bom não há desemprego (V)
Não há desemprego não há inflação (V)
Há inflação (V)
→
→
����	���
 ����	���
���	��
����	���
��	�
 
Como o argumento é válido, as conclusões são as proposições verdadeiras: 
Há inflação.(V) 
Há desemprego.(V) 
O governo não é bom.(V) 
Resposta: E 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
 
46
 
Exemplo: 
57) Sejam as declarações: 
Se ele me ama então ele casa comigo. 
Se ele casa comigo então não vou trabalhar. 
Ora, se vou ter que trabalhar podemos concluir que: 
a. Ele é pobre mas me ama. 
b. Ele é rico mas é pão duro. 
c. Ele não me ama e eu gosto de trabalhar. 
d. Ele não casa comigo e não vou trabalhar. 
e. Ele não me ama e não casa comigo. 
Solução 
Suponhamos que todas aspremissas são verdadeiras. Então temos: 
Ele me ama ele casa comigo (V)
Ele casa comigo não vou trabalhar (V)
Vou trabalhar (V) 
→
→ 
Como a terceira premissa é verdadeira temos: 
F
V
Ele me ama ele casa comigo (V)
Ele casa comigo não vou trabalhar (V)
Vou trabalhar (V)
→
→ ����	���
���	��
 
Temos que a segunda premissa é verdadeira e o seu conseqüente(não vou trabalhar) é falso, 
sendo assim temos que o antecedente(Ele casa comigo) tem que ser falso. Logo temos: 
FF
V
Ele me ama ele casa comigo (V)
Ele casa comigo não vou trabalhar (V)
Vou trabalhar (V)
→
→ ����	���
���	��
���	��
 
Conseqüentemente obtemos: 
F
FF
V
Ele me ama Ele casa comigo (V)
Ele casa comigo não vou trabalhar (V)
Vou trabalhar (V)
→
→
���	��
����	���
���	��
���	��
 
Temos que a primeira premissa é verdadeira e o seu conseqüente(Ele casa comigo) é falso, 
sendo assim temos que o antecedente(Ele me ama) tem que ser falso. Logo temos: 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
 
47
F F
FF
V
Ele me ama Ele casa comigo (V)
Ele casa comigo não vou trabalhar (V)
Vou trabalhar (V)
→
→
��	�
 ���	��
����	���
���	��
���	��
 
Podemos então encontrar as proposições verdadeiras do argumento válido, que serão 
as conclusões: 
Vou trabalhar.(V) 
Ele não casa comigo.(V) 
Ele não me ama.(V) 
Resposta: E 
 
Exemplo: 
58) (ESAF) – Das premissas: 
A: “Nenhum herói é covarde”. 
B: “Alguns soldados são covardes”. 
Pode-se corretamente concluir que: 
a)Alguns heróis são soldados 
b)Alguns soldados não são heróis 
c)Nenhum herói é soldado 
d)Alguns soldados são heróis 
e)Nenhum soldado é herói 
Solução 
Vamos representar o conjunto de heróis, covardes e soldados pelas letras H, C e S 
respectivamente. Temos então o seguinte diagrama: 
 
Observamos então que sempre teremos alguns soldados que não serão heróis. 
Vale a pena ressaltar que quando temos, em um silogismo, exatamente uma proposição 
particular a conclusão será particular. 
Resposta: B 
 
Exemplo: 
59) (FGV) – Analise o seguinte argumento: 
Todas as proteínas são compostos orgânicos; em conseqüência, todas as enzimas são 
proteínas, uma vez que todas as enzimas são compostos orgânicos. 
a) O argumento é válido, uma vez que suas premissas são verdadeiras, bem como sua 
conclusão. 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
 
48
b) argumento é válido apesar de conter uma premissa falsa. 
c) Mesmo sem saber se as premissas são verdadeiras ou falsas, podemos garantir que o 
argumento não é válido. 
d) NDA. 
Solução 
Temos o seguinte argumento: 
 
Todas as proteínas são compostos orgânicos
Todas as enzimas são compostos orgânicos
Todas as enzimas são proteínas∴
 
Representado proteínas, compostos orgânicos e enzimas por A, B e C respectivamente 
temos: 
A B
C B
C A
Todas as proteínas são compostos orgânicos
Todas as enzimas são compostos orgânicos
Todas as enzimas são as proteínas∴
��	�
 ����	���
��	�
 ����	���
��	�
 ��	�
 
O nosso argumento tem a seguinte estrutura não válida.: 
Todo A é B 
Todo C é B 
∴Todo C é A 
Resposta: C 
 
 
 
 
Exemplo: 
60) (ESAF) 
Se não durmo, bebo. Se estou furioso, durmo. Se durmo, não estou furioso. Se não 
estou furioso, não bebo. Logo, 
a) não durmo, estou furioso e não bebo 
b) durmo, estou furioso e não bebo 
c) não durmo, estou furioso e bebo 
d) durmo, não estou furioso e não bebo 
e) não durmo, não estou furioso e bebo 
Solução 
Temos o seguinte argumento: 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
 
49
Se não durmo, bebo
Se estou furioso, durmo
Se durmo, não estou furioso
Se não estou furioso, não bebo.
 
 
Podemos escreve as premissas do argumento da seguinte maneira: 
Não durmo bebo
Estou furioso durmo
Durmo não estou furioso
Não estou furioso não bebo.
→
→
→
→
 
 
Vamos supor que todas as premissas são verdadeiras: 
Não durmo bebo (V)
Estou furioso durmo (V)
Durmo não estou furioso (V)
Não estou furioso não bebo (V)
→
→
→
→
 
Observamos que todas as premissas são proposições compostas condicionais e nesse caso 
não temos inicialmente informações sobre as proposições simples. Quando ocorrer essa 
situação devemos supor (“chutar”) um valor verdade para uma das proposições simples 
contida nas premissas. Se o nosso “chute” estiver correto encontraremos a resposta, mas se 
o chute estiver errado encontraremos um absurdo e nesse caso trocamos o chute e 
encontramos a resposta correta. 
Vamos supor então que a proposição “Não durmo” é verdadeira(chute). Teremos 
então a seguinte situação nas premissas: 
V
F
F
Não durmo bebo (V)
Estou furioso durmo (V)
Durmo não estou furioso (V)
Não estou furioso não bebo (V)
→
→
→
→
��	�
�	
�	
 
 
Analisando a tabela verdade na primeira e segunda premissa temos: 
N
VV
F F
F
Não durmo bebo (V)
Estou furioso durmo (V)
Durmo não estou furioso (V)
Não estou furioso não bebo (V)
→
→
→
→
��	�
���	��
 �	
�	
 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
 
50
Na quarta premissa temos que a proposição “Não bebo” é falsa. 
 
N
VV
F F
F
F
Não durmo bebo (V)
Estou furioso durmo (V)
Durmo não estou furioso (V)
Não estou furioso não bebo (V)
→
→
→
→
��	�
���	��
 �	
�	
��	�
 
Assim na quarta premissa a proposição “Não estou furioso” tem que ser falsa. 
N
VV
F F
F
F F
Não durmo bebo (V)
Estou furioso durmo (V)
Durmo não estou furioso (V)
Não estou furioso não bebo (V)
→
→
→
→
��	�
���	��
 �	
�	
����	���
 ��	�
 
 
Encontramos um absurdo na segunda premissa e na quarta premissa, pois não 
podemos ter simultaneamente as proposições “Estou furioso” falsa e a proposição 
“Não estou furioso” falsa. 
Portanto o nosso chute inicial estava errado. Vamos trocar o chute pois sabemos agora que 
a proposição “Não durmo” é falsa. 
F
V
V
Não durmo bebo (V)
Estou furioso durmo (V)
Durmo não estou furioso (V)
Não estou furioso não bebo (V)
→
→
→
→
��	�
�	
�	
 
Como todas as premissas são verdadeiras, pela tabela verdade, temos: 
F
V
V V
V
Não durmo bebo (V)
Estou furioso durmo (V)
Durmo não estou furioso (V)
Não estou furioso não bebo (V)
→
→
→
→
��	�
�	
�	
 ���	��
����	���
 
Pela quarta premissa temos que a proposição “não bebo” tem que ser verdadeira, logo: 
 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
NOTAS DE AULAS DE LÓGICA 
Professor Joselias – joselias@uol.com.br 
www.concurseiros.org 
 
51
N
FF
F V
V V
V V
Não durmo bebo