Curva de nivel, derivada direcional e vetor gradiente.pdf

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1 
 
Curva de nível 
 
Definição: As curvas de nível de uma função f de duas variáveis são aquelas com equação f(x,y) = 
k, onde k é uma constante (na imagem de f). 
 
Uma curva de nível f(x,y) = k é o conjunto de todos os pontos do domínio de f nos quais o valor f é 
k. Em outras palavras, ela mostra onde o gráfico de f tem altura k. As curvas de nível são também 
conhecidas como curvas de contorno cuja representação gráfica de uma série dessas curvas para uma mesma 
f é chamada de mapa de contorno de f. 
 
Exemplo. 
Consideremos f(x,y) = 
 
 
 
 
O gráfico de f é um parabolóide com vértice centrado em (3,4) e as curvas de nível são 
circunferências como mostra o mapa de contorno. 
 
 
Em k = 1, temos 
 
 
 
 
Essa equação nos dá uma circunferência 
centrada em (3,4) e raio √ . Analogamente 
temos, para essa função, curvas de nível geradas 
por circunferências com centro em (3,4) com raios 
iguais a √ , k < 8 
 
 
 
 
 
x
y
z
z = - ((x-3)^2 + (y-4)^2) + 8
k = 1
k = 2
k = 3
k = 4
k = 5
k = 6
k = 7
x
y
z
k = 1
k = 2
k = 3
k = 4
k = 5
k = 6
k = 7
2 
 
Derivada Direcional 
 
Outra aplicação das derivadas parciais é a derivada direcional. Utilizamos derivada direcional 
quando queremos encontrar a taxa de variação de z = f(x,y) na direção de um vetor unitário u = 〈 〉. Para 
tanto, devemos considerar uma superfície S com equação z = f(x,y). Consideremos um ponto Po = (xo,yo) no 
domínio de z. Temos ainda um plano vertical que passa por Po na direção de u. (veja figura) 
 
A inclinação da reta T que tangencia em Po à curva gerada pela interseção do plano com a superfície 
z = f(x,y) é a taxa de variação de z na direção do vetor u. 
Definição: Seja z = (x,y) diferenciável, então f tem derivada direcional na direção de qualquer vetor 
unitário u = 〈 〉 e 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vetor Gradiente 
 
Seja z = f(x, y) uma função de duas variáveis e 
x
z


, 
y
z


 suas derivadas parciais. Seja P0 (x0, y0), um 
ponto do plano xy; a projeção de “z” no plano dada por curvas de nível e 
0Px
z


, 
0Py
z


as derivadas 
calculadas no ponto Po, 

 plano R
2
 chamamos de vetor gradiente ao seguinte vetor: 
 
 〈
 
 
| 
 
 
| 〉 (
 
 
| ) ( 
 
 
| ) 
 
Graficamente temos: 
 
 
 
x
y
z
Po
u
T
z
3 
 
É importante destacar que o vetor gradiente é perpendicular à curva de nível no ponto P(xo,yo) e 
aponta para a direção de maior crescimento de z a partir de um ponto P(xo,yo) do domínio de z. 
 
Exemplos : 
 
● Determine o vetor gradiente das funções abaixo no ponto Po 

 plano R
2
. 
 
1 ) z = ln ( x² + y² ) em Po ( 0, 1 ). 
 
Resolução : 
 
◙ 
x
z


 = 
0
1
0
10
0.22
22)1,0(22






 x
z
yx
x
 
)1,0(z
= ( 0, 2 ) 
 
◙ 
y
z


 = 
2
1
2
10
1.22
22)1,0(22






 y
z
yx
y
 
 
2 ) z = x.sen y em Po ( 1, 
2

 ). 
 
Resolução : 
 
◙ 
x
z


 = 
1
2
sensen0.sen.1
2
,1












x
z
yxy
 
◙ 
y
z


 = 
0
2
cos
2
cos.1cos.cos.sen.0
2
,1












y
z
yxyxy
 
 





 

2
,1
z
= ( 1, 0 ) 
 
 
Exercícios : 
 
 
1 ) Idem para z = 3.x²y³.e
2xy
 em Po ( 1, -1 ) . 
 
2 ) Idem para z = 
32
22
yx
yx

 em Po ( -1, 1 ) . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   




x
y
a = (0i+2j)
4 
 
A notação de vetor gradiente nos possibilita reescrever a expressão da derivada direcional como 
 
 (Produto escalar) 
 
que expressa a derivada direcional na direção de u como a projeção escalar do vetor gradiente sobre u 
 
 
Maximizando a derivada direcional: 
Consideramos uma função f de duas ou três variáveis e consideremos todas as derivadas direcionais 
possíveis de f num ponto dado. Isso nos dará a taxa de variação em todas as possíveis direções. Em qual 
direção f varia mais rapidamente? O valor máximo da derivada direcional ocorre quando u tem a 
mesma direção do gradiente , temos, portanto: 
 
 | | 
 
 
Exemplos : DIRECIONAL 
 
1 ) Ache a derivada direcional de f(x,y) = 3x²y no ponto P0 ( 1, 2 ) na direção a = 3i + 4j. 
 
Resolução : 
 
Calculamos o gradiente: 
 
j3i12j)1.3(i)2.1.6(jx3ixy6j
y
z
i
x
z
)2,1()2,1( z)2,1(
2
)2,1()2,1()2,1(z 






 
 
Normalizamos o vetor caso não seja unitário: 
 
jiu
jiji
aa
jaia
a
a
a
a
u
5
4
5
3
25
4
25
3
43
43
.
1
222
2
2
1
21 






 
Calculamos a Derivada direcional. 
 
Duz =
0P
z
.u = 







5
12
5
36
5
4
.3
5
3
.12
5
4
5
3
).312( jiji
 Duz = 
5
48
 
 
2 ) Ache a derivada direcional de f(x,y) = x³y² no ponto P0 ( -1, 2 ) na direção a = 4i - 3j. 
 
Resolução : 
 
 
j4i12j2.)1(2i)2()1(3jyx2iyx3j
y
z
i
x
z
)2,1()2,1( z
322
)2,1(
3
)2,1(
22
)2,1()2,1(z 






 
 
 
jiu
jiji
aa
ji
a
a
a
a 5
3
5
4
25
3
25
4
)3(4
3434
.
1
222
2
2
1







 
 
Duz =
0P
z
.u = 







5
60
5
12
5
48
5
3
.4
5
4
.12
5
3
5
4
).412( jiji
 Duz = 12 
 
5 
 
 
Exercícios : 
 
1 ) Ache a derivada direcional de f(x,y) = e
2xy 
, P0 ( 4, 0 ) e u = 
ji
5
4
5
3

. 
 
2 ) Idem para z = x² - 5xy + 3y² , P0 ( 3, -1 ) e u = 
)(
2
2
ji 
. 
 
3 ) Idem para f(x,y) = 
149 22  yx
, P0 ( 3, -2 ) e a = i + 5j . 
 
4 ) Idem para f(x,y) = xcos²y , P0 ( 2, 
4

 ) , a = < 5, 1 > . 
 
5 ) Idem para f(x,y) = arctg 
x
y
, P0 ( 4, -4 ) , a = 2i – 3j . 
 
6 ) Idem para f(x,y) = 4x
3
y
2
, P0 ( 2, 1 ) , a = 3i – 4j .