Apostila

Prévia do material em texto

Centro Univerisita´rio de Joa˜o Pessoa - Departamento de Cieˆncias Exatas
Coordenac¸a˜o de Engenharia Civil
Apostila de F´ısica Geral II
Professor: Ms. Jose´ Jacinto Cruz de Souza (UNIPEˆ)
Fonte: Bechtold, Ivan Helmuth e Branco, Nilton da Silva. F´ısica ba´sica C-II.2.ed. Floriano´polis: UFSC, 2011.
Joa˜o Pessoa - PB
2014
Sumário
Apresentação ............................................................................. 9
1. Estática dos Fluidos............................................................ 11
1.1 Propriedades dos �uidos........................................................... 13
1.2 Pressão num �uido .................................................................... 15
1.3 Variação de pressão em um �uido em repouso..................... 19
1.4 Aplicações.................................................................................... 24
1.4.1 Princípio de Pascal ............................................................. 24
1.4.2 Vasos comunicantes........................................................... 27
1.4.3 Medidas de pressão ........................................................... 29
1.4.4 Empuxo: Princípio de Arquimedes ................................. 30
Resumo.............................................................................................. 35
Exercícios........................................................................................... 36
Bibliogra�a básica ............................................................................ 38
Bibliogra�a complementar comentada ......................................... 38
2. Dinâmica dos Fluidos........................................................ 41
2.1 Introdução ................................................................................... 43
2.2 Conservação da massa: equação de continuidade ................ 45
2.3 Conservação da energia: equação de Bernoulli ..................... 49
2.4 Viscosidade ................................................................................. 56
Resumo.............................................................................................. 60
Questões ............................................................................................ 60
Problemas...........................................................................................61
Bibliogra�a básica ............................................................................ 62
Bibliogra�a complementar comentada ......................................... 62
3. Temperatura e Calor........................................................... 63
3.1 Introdução ................................................................................... 65
3.2 Temperatura................................................................................ 66
3.2.1 Escalas de temperatura ..................................................... 67
3.3 Expansão térmica....................................................................... 68
3.4 Calor............................................................................................. 72
3.4.1 Capacidade térmica e calor especí�co............................. 72
3.4.2 Transição de fase e calor latente....................................... 77
3.5 Transferência de energia térmica............................................. 79
3.5.1 Condutividade térmica...................................................... 81
Resumo.............................................................................................. 85
Questões ............................................................................................ 87
Bibliogra�a básica ............................................................................ 89
Bibliogra�a complementar comentada ......................................... 90
4. Primeira Lei da Termodinâmica...................................... 91
4.1 Introdução ................................................................................... 93
4.2 Equivalente mecânico de caloria.............................................. 94
4.3 Trabalho adiabático.................................................................... 95
4.3.1 Análise grá�ca.................................................................... 98
4.4 Transferência de calor.............................................................. 100
4.5 Primeira lei da termodinâmica .............................................. 100
4.6 Processos reversíveis ................................................................101
4.7 Aplicação em processos termodinâmicos............................. 104
4.7.1 Processo adiabático .......................................................... 104
4.7.2 Processo isocórico ............................................................ 104
4.7.3 Processo isobárico ............................................................ 105
4.7.4 Processo isotérmico.......................................................... 106
4.7.5 Processo cíclico ................................................................. 106
4.8 Gás ideal .................................................................................... 109
4.8.1 Energia interna de um gás ideal .....................................112
4.8.2 Capacidade térmica de um gás ideal .............................113
4.8.3 Processo adiabático de um gás ideal..............................116
Resumo............................................................................................ 122
Exercícios......................................................................................... 123
Bibliogra�a básica .......................................................................... 127
Bibliogra�a complementar comentada ....................................... 127
5. Teoria Cinética dos Gases............................................... 129
5.1 Introdução ..................................................................................131
5.2 Modelo de gás ideal ..................................................................131
5.3 Pressão ...................................................................................... 134
5.4 Temperatura: interpretação cinética ...................................... 138
5.5 Fluido de Van der Waals ......................................................... 139
Resumo............................................................................................ 144
Questões ...........................................................................................145
Problemas.........................................................................................145
Bibliogra�a básica ...........................................................................146
6. Segunda Lei da Termodinâmica e Entropia................ 147
6.1 Introdução ..................................................................................149
6.2 Segunda Lei da Termodinâmica: 
 enunciados de Clausius e Kelvin ............................................151
6.3 Motor térmico e refrigerador.................................................. 155
6.3.1 Motor térmico ................................................................... 155
6.3.2 Refrigerador.......................................................................157
6.4 Equivalência dos enunciados de Kelvin e Clausius ............ 158
6.4.1 O enunciado de Kelvin leva ao de Clausius ................. 158
6.4.2 O enunciado de Clausius leva ao de Kelvin................. 159
6.5 Ciclo de Carnot..........................................................................160
6.6 A escala termodinâmica de temperatura ............................. 165
6.7 Exemplos de máquinas térmicas.............................................166
6.7.1 Refrigerador doméstico.....................................................1666.7.2 Bomba de calor ..................................................................167
6.7.3 Ciclo Otto............................................................................167
6.7.4 Ciclo Diesel.........................................................................169
6.8 Teorema de Clausius................................................................ 171
6.9 Entropia ..................................................................................... 172
6.9.1 Entropia e processos reversíveis..................................... 172
6.9.2 Entropia e processos irreversíveis.................................. 175
6.9.3 O princípio do aumento da entropia ..............................178
Resumo............................................................................................ 183
Questões .......................................................................................... 183
Problemas........................................................................................ 184
Bibliogra�a básica .......................................................................... 186
Apresentação
Este livro contempla de forma simples e direta os conteúdos per-
tencentes às áreas de teoria dos �uidos e termodinâmica. Ao lon-
go dos textos as discussões relacionam os fenômenos físicos a 
situações práticas, com o intuito de facilitar o entendimento por 
parte dos estudantes.
Iniciamos esta disciplina com o estudo da estática dos �uidos no 
Capítulo 1: nesse contexto consideramos �uidos em equilíbrio, 
onde propriedades como pressão e empuxo são discutidas em 
detalhes.
No Capítulo 2 veremos uma introdução à dinâmica dos �uidos, 
onde �uidos idealizados em movimentos simples serão estuda-
dos. Apesar da simplicidade dos modelos tratados, as aplicações 
são várias, desde o escoamento de �uidos em encanamentos até a 
sustentação de aviões.
Dando seqüência ao conteúdo, iniciamos o estudo das proprieda-
des térmicas da matéria no Capítulo 3, que discute os fenômenos 
relacionados com temperatura e calor e onde abordamos as es-
calas térmicas, os efeitos de dilatação térmica e os processos de 
transferência de calor. 
No Capítulo 4 é apresentada a primeira lei da termodinâmica, a 
qual é baseada nos conceitos de conservação de energia, sendo o 
calor e o trabalho as formas de energia transferidas entre os sis-
temas considerados. Essa lei é aplicada a diversos processos ter-
modinâmicos e é dada uma ênfase à importância dos processos 
reversíveis na determinação dos parâmetros citados acima. Nesse 
Capítulo também é introduzido o conceito de gás ideal, bem como 
as condições em que é observado.
No Capítulo 5 apresentamos a Teoria Cinética dos Gases, a qual se 
propõe a dar uma interpretação microscópica às leis termodinâ-
micas estudadas nos Capítulos anteriores. Assim, estabelecemos 
a pressão e a temperatura como médias de grandezas microscó-
picas. Veremos ainda um modelo de gás que vai além daquele de 
gás ideal, o chamado gás de Van der Waals.
Finalmente, no Capítulo 6 será estudada a Segunda Lei da Termo-
dinâmica, nos seus vários enunciados. Discutiremos máquinas 
térmicas (motores e refrigeradores), ciclos termodinâmicos - es-
pecialmente o de Carnot, que permite a de�nição de uma escala 
termodinâmica de temperatura - e um conceito importante e de-
licado em Termodinâmica, o de entropia.
Ivan Helmuth Bechtold
Nilton da Silva Branco
Capítulo 1
Estática dos Fluidos
Capítulo 1
Estática dos Fluidos
Neste Capítulo, iremos estudar as propriedades de fluidos 
em equilíbrio. Vamos analisar conceitos básicos de densi-
dade, pressão, empuxo e tensão superficial. Ao final des-
te estudo você deverá ser capaz de: aplicar os conceitos de 
pressão, entender o Princípio de Pascal e o problema dos 
vasos comunicantes; definir densidade e explicar o empuxo 
sobre os corpos (por exemplo, sobre barcos e balões de ar 
quente) mediante o princípio de Arquimedes; resolver pro-
blemas envolvendo variações de pressão e problemas com 
forças de empuxo sobre corpos flutuantes e imersos. 
1.1 Propriedades dos fluidos
Usualmente, costumamos classi�car a matéria em sólidos, líquidos 
e gases. Um corpo sólido tem geralmente volume e forma bem de-
�nidos, que só se alteram (geralmente pouco) em resposta a forças 
externas. Uma das principais propriedades dos líquidos e gases é o 
escoamento, por isso ambos são denominados �uidos. Os líquidos 
têm volume bem de�nidos, mas não a forma, sendo que o volume 
amolda ao recipiente que o contém. Já os gases não apresentam nem 
forma nem volume bem de�nidos, expandindo até ocupar todo o 
volume do recipiente que os contém. Em alguns casos, a separação 
entre sólidos e �uidos não é bem de�nida; é o caso de �uidos como o 
vidro quente e o piche: eles escoam tão lentamente que se comportam 
como sólidos nos intervalos de tempo que trabalhamos com eles.
O plasma, caracterizado como um gás altamente ioniza-
do, é frequentemente chamado de “o quarto estado da 
matéria”, em meio às três classes de estado já existentes
14
(sólido, líquido e gasoso). Além disso, existem os materiais 
que se enquadram na chamada “matéria condensada mole”, 
os quais apresentam uma grande variedade de formas e 
cujas principais características são: elasticidade, interações 
fracas entre os elementos estruturais, grande variedade de 
graus internos de liberdade etc. Alguns exemplos são: ar-
gila, sistemas granulares como a areia, polímeros como a 
borracha e o plástico, espuma, sistemas coloidais e micro-
emulsões (maionese), membranas e outros materiais bioló-
gicos, géis, cristais líquidos (para saber mais sobre matéria 
condensada mole, consulte o artigo da Revista Brasileira de 
Ensino de Física, que pode ser obtido no endereço: <http://
www.sb�sica.org.br/rbef/Vol27/Num3/>) etc. Os estudos 
nessa área renderam o Prêmio Nobel de física de 1991 a 
Pierre-Gilles de Gennes. 
Para uma de�nição mais precisa de sólidos e �uidos, é preciso classi-
�car os diferentes tipos de forças que atuam sobre eles. Essas forças 
são geralmente proporcionais à área de um elemento de superfície 
(que pode ser interna ou externa ao meio) sobre o qual estão sendo 
aplicadas. A força por unidade de área é de�nida como tensão: as 
tensões podem ser normais ou tangenciais às superfícies sobre as 
quais atuam, veja a Figura 1.1 abaixo:
m
T
m
T
m
T
1
T
2
Cola
A B C
Figura 1.1 – (a) e (b) são exemplos de tensões normais sobre o teto e 
sobre o solo, respectivamente, e (c) é um exemplo de tensões tangenciais
sobre as superfícies laterais adjacentes ao corpo de massa m.
15
Na Figura 1.1, (a) e (b) são exemplos de tensões normais. Em (a) um 
bloco de massa m puxa o �o que exerce uma tensão T
G
 num elemen-
to de superfície do teto, também chamada de tração. Em (b) o bloco 
está sobre o chão e exerce diretamente uma tensão T
G
 sobre um ele-
mento de superfície deste, chamada de pressão. Na Figura 1.1, em 
(c), o bloco está colado entre duas paredes e, como se pode notar, 
exerce as tensões 
1
T
G
 e 
2
T
G
 sobre as superfícies de cola que aparecem 
paralelas às paredes. Esse é um exemplo de tensões tangenciais, 
também chamadas de tensões de cisalhamento.
A diferença fundamental entre sólidos e �uidos está na forma com 
que estes respondem às tensões tangenciais sobre si. No caso de um 
sólido, a força externa pode deformar um pouco a sua estrutura, 
até que se atinja o equilíbrio com as tensões tangenciais internas 
e o corpo permaneça em repouso. Se a força externa não for muito 
grande e o sólido voltar à condição inicial depois dela ser retirada, a 
deformação é dita elástica.Essas deformações, em geral, são muito 
menores que as dimensões do corpo sólido. 
Um �uido não consegue equilibrar uma força externa tangencial (por 
menor que seja), o resultado disso é o escoamento. Fisicamente esse 
fenômeno está relacionado com o deslizamento relativo entre as partí-
culas constituintes do �uido. A resistência a esse deslizamento é cha-
mada de viscosidade e será vista no Capítulo seguinte.
Lembrando de (c) na Figura 1.1, enquanto a cola estiver �uida ela es-
coa ao longo das paredes devido à ação da gravidade; apenas depois 
de solidi�cada ela consegue equilibrar as forças tangenciais exerci-
das pelo bloco.
1.2 Pressão num fluido
Comumente vamos nos referir a elementos de volume num �uido 
V x y z' ' ' ' , onde suas dimensões , ,x y z' ' ' devem ser muito me-
nores que as distâncias macroscópicas (ex.: a medida de uma caixa) 
e ao mesmo tempo muito maiores que as distâncias interatômicas. 
Essa proposição é necessária para que V' contenha um grande nú-
mero de átomos e as �utuações nas propriedades do �uido sejam 
desprezíveis, resultando na condição de continuidade do �uido.
No caso de um pneu de 
automóvel ou bicicleta, a 
pressão interna do pneu 
está relacionada com as 
colisões das moléculas de 
ar com a superfície interna 
(mais detalhes no Capí-
tulo 5), mas existe ainda 
a pressão atmosférica na 
superfície externa do pneu 
(que é igual a 1 atm quando 
próximo ao nível do mar). 
A pressão medida com 
um calibrador equivale à 
diferença entre as pressões 
interna e externa, diferença 
essa que é compensada pela 
elasticidade do material de 
que é feito o pneu. 
Um fluido se comporta 
como um meio contínuo 
porque, na escala 
macroscópica, suas 
propriedades variam 
continuamente de um 
ponto para outro. 
16
Vamos imaginar uma quantidade de �uido com massa m' fechada 
em um elemento de volume V' . Podemos então de�nir a densidade 
do �uido nessa região como: 
U
0
lim
V
m dm
V dV
r ' o
'§ · ¨ ¸'© ¹ . (1.1)
onde o limite 0V' o nessa expressão signi�ca que V' é um 
in�nitésimo físico, portanto a densidade pode variar continuamente 
na escala macroscópica. A unidade de densidade no Sistema Inter-
nacional de medidas (SI) é 
3
Kg
m
. Na Tabela 1.1, apresentamos alguns 
valores de densidades de algumas substâncias.
Substância Densidade 
Hidrogênio a 0°C e 1atm 9,0 × 10-2
Ar: 0°C e 1atm
100°C e 1atm
0°C e 50atm
1,29
0,95
6,50
Isopor 1,0 × 102
Petróleo (valor médio) 8,0 × 102
Gelo 9,2 × 102
Água: 0°C e 1atm
 100°C e 1atm
 0°C e 50atm
1,000 × 103
0,958 × 103
1,002 × 103
Sangue 1,06 × 103
Glicerina 1,26 × 103
Alumínio 2,7 × 103
Ferro, Aço 7,8 × 103
Prata 1,05 × 104
Mercúrio 1,36 × 104
Ouro 1,93 × 104
Platina 2,14 × 104
Tabela 1.1 – Densidades de algumas substâncias
Um �uido está em equilíbrio quando o resultado da soma das for-
ças que agem em cada porção do �uido é igual a zero. Essas forças 
podem ser divididas em volumétricas e super�ciais. Um exemplo de 
forças volumétricas é a força gravitacional, a qual é de longo alcance 
e atua em todos os elementos do �uido, sendo dada por F mg' 'G G ,
Infinitésimo físico
Um elemento infinitesimal é 
definido como sendo muito 
pequeno, porém maior que 
zero.
17
onde e representa a massa de um elemento de �uido. Te-
mos então: 
. (1.2) 
onde g
G
 é a aceleração da gravidade.
Como discutimos anteriormente, os �uidos escoam quando submeti-
dos a forças tangenciais à superfície, por isso a força super�cial deve 
ser sempre perpendicular à superfície para um �uido em repouso.
A força super�cial F' G do �uido sobre um elemento de superfície 
S' é proporcional à área desse elemento. É conveniente então de-
�nir a pressão P como o número que mede a força por unidade de 
área. Na Figura 1.2 a seguir, nˆ representa um vetor unitário normal 
a S' , onde convencionamos que nˆ aponta sempre para fora de uma 
superfície fechada. Dessa forma, podemos escrever: 
ˆF P Sn' 'G . (1.3) 
onde F' G e nˆ têm a mesma direção e sentido, portanto a pressão 
pode ser escrita como:
F
P
S
' ' . (1.4)
Tomando o limite onde o elemento de área tende a zero, obtemos a 
seguinte equação diferencial para P:
0
lim
S
F dF
P
S dS' o
' ' . (1.5)
S∆
S
F∆
n^
Figura 1.2 – Representação esquemática de um elemento de superfície ¨6
(parte de uma superfície S), indicando o sentido da força sobre S, bem como 
o vetor unitário nˆ normal à superfície em ¨6.
As forças superficiais 
ocorrem em uma dada 
porção do meio limitada 
por uma superfície. 
Por exemplo: a força que a 
água exerce na superfície 
interna de um copo.
18
Em geral, a pressão pode variar de um ponto a outro da superfície, 
o que vem do fato dela depender diretamente da força aplicada no 
ponto em questão. Sendo A a área de uma superfície e F a força 
resultante sobre ela, a pressão pode ser escrita como:
F
P
A
 . (1.6)
É importante notar que a pressão é uma grandeza escalar, 
ou seja, não depende de . O que determina a direção da 
força é a orientação da superfície, ou seja, .
A unidade de pressão no SI é o Pascal, abreviatura Pa, sendo que 
2
1Pa 1N/m . Há outras unidades bastante comuns como: atmosfera 
( 51atm 1,013 10 Pa u ) e mmHg (1atm 760 mmHg ).
Exemplo 1. Calcule a massa e o peso do ar no interior de uma 
sala contendo 2,0 m de altura e um piso com área de 3,0 m 4,0 mu .
Quais seriam a massa e o peso do mesmo volume de água? Encon-
tre ainda a força total sobre o piso dessa sala exercida de cima para 
baixo pela pressão do ar.
Solução: Na tabela 1.1, encontramos os valores da densidade da água 
e do ar (vamos considerar a densidade do ar igual a 31,2Kg/m na 
temperatura ambiente). 
O volume da sala é 3(2,0m)(3,0m)(4,0m) 24mV , portanto a 
massa do ar pode ser obtida pela equação abaixo, partindo da equa-
ção 1.1:
3 3
(1, 2Kg/m )(24m ) 28,8Kgar arm V U .
O peso do ar é dado em Newtons:
(28,8Kg)(9,8N/Kg) 282,2Nar arw m g .
A princípio é surpreendente que o peso de um volume tão gran-
de de ar seja igual ao de uma criança de aproximadamente 30Kg ,
mas agora faça as mesmas contas considerando a água no lugar do 
ar e você vai encontrar que a massa do mesmo volume de água é 
3
24 10 Kgáguam u e consequentemente seu peso é 423,5 10 Náguaw u .
Em homenagem ao cientista 
e filósofo francês Blaise 
Pascal (1623-1662).
19
A pressão de 1atm (quando próximo ao nível do mar) sobre o piso de 
área 2(3,0m)(4,0m) 12mA produz uma força total de cima para 
baixo que é dada pela equação abaixo, a partir da equação 1.6:
5 2 2 5
(1,013 10 N/m )(12m ) 12 10 NF PA u | u .
Essa força é equivalente ao peso de aproximadamente 120 tonela-
das de água. Assim, como o piso suporta um peso tão grande? A 
resposta é que existe uma força de mesma magnitude apontando 
de baixo pra cima sobre o piso, da mesma maneira como um livro 
�ca parado sobre uma mesa: seu peso está atuando para baixo, mas 
existe uma força que atua de baixo para cima. E no caso de ser o piso 
de um apartamento no segundo andar? Aí precisamos lembrar que 
o apartamento de baixo também está preenchido de ar, e que esse ar 
produz uma força igual de baixo para cima no piso.
1.3 Variação de pressão em um fluido 
em repouso
Vamos considerar um pequeno elemento de um �uido, situado no 
interior deste e, além disso, supor que esse elemento tem forma de 
disco com pequena espessura e está situado a uma distância de re-
ferência z, como mostra a Figura 1.3. 
AP’
z
z = 0
dzA
P
Figura 1.3
20
A espessura do disco é dz e cada face tem uma área A . Partindo da 
equação 1.1, podemos escrever a massa desse elemento como:
dm dV AdzU U . (1.7)
As forças super�ciais atuando no elemento de volume provêm do 
�uido que a este rodeia e são perpendiculares a sua superfície em 
todos os pontos. A resultante das forças nos eixos horizontais é 
nula, pois o elemento não tem aceleração ao longo desses eixos. As 
forças horizontais são devidas apenas às pressões do �uido e, por 
simetria, a pressão deve ser a mesma em todos os pontos do plano 
horizontal com altura z.
O elemento de �uido também não tem aceleração na direção ver-
tical, logo a resultante das forças que agem nessa direção também 
é nula; entretanto as forças verticais não provêm unicamente das 
pressões nas faces do disco, mas existe também uma contribuição 
do seu peso. Sendo P a pressão na face inferior e P P dPc � a pres-
são na face superior, a condição de equilíbrio é obtida observando 
que a força sobre a face superior mais o peso do elemento de �uido 
é igual à força sobre a face inferior do elemento, que é escrita a partir 
da equação 1.6:
( )PA P dP A dw � � . (1.8)
onde dw AgdzU é o peso do elemento de volume, e aponta para 
baixo.
Desenvolvendo a equação 1.8, temos:
( )PA P dP A Agdz � � U ,
AdP A gdzU � ,
logo,
dP
g
dz
U � . (1.9)
A equação 1.9 mostra que a pressão no �uido varia com a altura em 
relação a um certo referencial. Essa variação de pressão equivale ao 
peso por unidade de volume do elemento de �uido compreendido 
21
entre os pontos onde ocorre a variação de pressão (lado direito da 
equação anterior).
Se 
1
P é a pressão na altura 
1
z e 
2
P é a pressão na altura 
2
z , acima de 
um nível de referência, a integração da equação 1.9 fornece:
2 2
1 1
P z
P z
dP gdzU �³ ³
ou
 . (1.10)
A equação 1.10 foi obtida considerando U e g constantes de 
1
z a z
2
.
Para líquidos, a densidade U varia muito pouco, portanto, com boa 
aproximação, podemos tratar um líquido como incompressível na 
estática dos �uidos, ou seja, U = constante. Em geral, as diferenças 
de nível não são muito grandes para que seja necessário considerar 
as variações de g, por isso a aproximação “g = constante” também é 
consistente.
A superfície livre de um líquido em contato com a atmosfera é uma 
superfície onde a pressão é constante, pois todos os seus pontos 
estão submetidos à pressão atmosférica 
0
P . Esse valor é o mesmo 
para todas as superfícies livres em líquidos na vizinhança numa 
mesma altitude. Assim, é conveniente de�nir essa superfície livre 
como sendo o nível natural de referência, e então podemos escrever 
2 0
P cte P . Consideremos 
1
z um nível arbitrário e que a pressão 
nessa altura é dada por P . Logo:
0 2 1
( )P P g z z� � �U ,
mas 
2 1
z z� representa uma profundidade h abaixo da superfície li-
vre, onde a pressão é P (veja a Figura 1.4), então temos que:
0
P P ghU � . (1.11)
A equação 1.11 é conhecida como Lei de Stevin e diz que a pressão 
no interior de um �uido aumenta linearmente com a profundidade. 
Além disso, ela mostra claramente que a pressão é a mesma em to-
dos os pontos de mesma profundidade. Uma consequência impor-
A densidade da água, 
por exemplo, aumenta 
aproximadamente 0,5% 
quando a pressão varia 
de 1atm a 100atm em 
temperatura ambiente.
22
tante é que a pressão não depende do volume do �uido; a pressão 
da água a 1m abaixo da superfície de uma piscina é igual à pressão 
da água a 1m abaixo da superfície da Lagoa dos Patos (RS), conside-
rando que ambas estão na mesma altitude e estão preenchidas com 
o mesmo líquido.
1
P P=
2
z
1
z
2 1
z z h− =
Figura 1.4 – Líquido confinado num recipiente, onde a 
superfície superior está aberta para a atmosfera.
Um exemplo da aplicação da equação 1.11 ocorre na construção de 
represas ou barragens: a base é projetada mais larga que a parte su-
perior e isso se deve ao fato que a pressão da água no fundo é maior 
que na superfície.
Para os gases, U é bem menor que para os líquidos (ver tabela 1.1), 
por isso a diferença de pressão entre dois pontos nas proximidades 
da superfície da Terra é desprezível. No entanto, se o resultado de 
2 1
z z h� for muito grande, poderá haver uma diferença de pressão 
entre as duas extremidades do objeto (o que não ocorrerá quando o 
h for muito pequeno): sabemos que a pressão do ar varia bastante 
quando subimos a grandes altitudes na atmosfera terrestre. Nesses 
casos, onde a densidade varia com a altitude, precisamos conhecer 
a função que relaciona U com z , ( )zU , antes de fazermos a integral 
que resultou na equação 1.10. 
Exemplo 2. Achar a pressão a 10 m de profundidade, abaixo da su-
perfície de um lago, quando a pressão na superfície for de 1atm .
A pressão atmosférica está 
relacionada com o peso 
da coluna de ar acima 
da superfície da Terra. O 
peso de uma coluna de 
ar com área de 21cm é 
aproximadamente 10 N,
resultando numa pressão de 
5
1,013 10 Pau .
23
Solução: Para resolver esse problema, vamos utilizar a equação 1.11, 
0
p p ghU � .
Sendo: 5 2
0
1atm 1,013 10 N/mp u , 31000Kg/m U e 
9,8 N/Kgg , temos:
5 2 3
1,013 10 N/m (1000 Kg/m )(9,8 N/Kg)(10m)p u �
3 2
199,3 10 N/m 1,97atmp u .
Ou seja, a 10m de profundidade, a pressão é quase o dobro da pres-
são na superfície do lago, por isso é dito que cada 10m de diferença 
de profundidade na água corresponde a 1atm de pressão.
Exemplo 3. Uma represa retangular, de 50 m de largura, suporta uma 
massa de água com 20 m de profundidade (veja o esquema na Figura 
1.5 abaixo). Calcule a força horizontal total que age sobre a represa.
H = 20 m
L = 50 m
dA
= Ldh
Figura 1.5 – Represa retangular indicada no exemplo 3.
Solução: Pelo fato da pressão variar com a profundidade, não po-
demos simplesmente multiplicar a pressão pela área da represa para 
encontrar a força exercida pela água. Para resolver o problema, é 
necessário integrar os elementos de força sobre os elementos de su-
perfície em diferentes alturas dh , da base até o nível superior da 
água, ou seja, de 0h até 20mh H . A pressão da água numa 
determinada profundidade h é dada pela equação 1.11, mas, nesse 
caso, não precisamos considerar a pressão atmosférica 
0
p , pois ela 
age nos dois lados da parede da represa. O elemento de força é então 
escrito como:
onde dA Ldh , sendo que L é a largura da represa. A força é obtida 
através da integral:
24
2
2
0 0 0
1
2 2
Hh H H
h
h
F dF gLhdh gL gLHU U U
 
 
 ³ ³ .
Substituindo os valores, obtemos:
3 2 71
(1000Kg/m )(9,8 N/Kg)(50m)(20m) 9,8 10 N
2
F u .
1.4 Aplicações
A seguir serão estudadas as aplicações dos fundamentos apresenta-
dos anteriormente.
1.4.1 Princípio de Pascal
Pela Lei de Stevin (equação 1.11), a diferença de pressão entre dois 
pontos de um �uido em equilíbrio é constante, dependendo apenas 
do desnível entre estes pontos. Assim, se produzirmos uma diferen-
ça de pressão num ponto de um �uido em equilíbrio, essa variação 
se transmitirá a todos os pontos. O resultado prático disso é que 
todos os pontos do �uido sofrem a mesma variação de pressão. Esse 
princípio foi enunciado por Pascal em seu “Tratado sobre o equilí-
brio dos líquidos” e é conhecido como Princípio de Pascal.
Uma aplicação prática disso é o macaco 
hidráulico utilizado nas o�cinas mecâ-
nicas para levantar carros (veresque-
ma da Figura 1.6). A ideia básica é que, 
quando o pistão da esquerda é baixado 
pela aplicação de uma força f , o au-
mento da pressão é transmitido para 
todos os pontos do �uido (em geral 
óleo), inclusive na outra extremidade 
onde existe um pistão com área A bem 
maior que a área a do primeiro. Como 
a pressão nos dois pistões é a mesma, 
pois estão no mesmo nível, a força para 
cima no pistão da direita F será maior 
que a força f .
d
a
A
F D
f
Figura 1.6 – Esquema de um macaco hidráulico. Uma pequena 
força aplicada num pistão pequeno produz uma grande força 
para movimentar um pistão grande.
25
Para obtermos a relação entre as forças f e F , consideramos a 
igualdade da pressão no pistão da esquerda (
eP ) com a pressão no 
pistão da direita (
dP ), e dP P , logo:
f F
a A
 
então:
A
F f
a
 . (1.12)
Ou seja, a força f é aumentada pela razão entre as áreas. Sendo d e 
D as distâncias de deslocamento dos pistões da esquerda e direita, 
respectivamente, e considerando o �uido incompressível, o volume 
deslocado pelo pistão da esquerda ( )eV ad deve ser igual ao vo-
lume deslocado pelo pistão da direita ( )dV AD , então obtemos a 
seguinte relação entre as distâncias: ad AD . Utilizando a equação 
1.12, encontramos uma relação entre as forças e as distâncias nos 
dois pistões:
.fd FD (1.13)
A equação 1.13 parece indicar que o trabalho realizado pela força 
externa no pistão da esquerda é igual ao trabalho realizado pelo 
�uido no pistão da direita. No entanto é importante lembrar que a 
equação 1.13 é obtida considerando a igualdade entre as pressões na 
equação 1.12, ou seja, isso é válido apenas quando ambos os pistões 
estão na mesma altura. Dessa forma, a equação 1.13 passa a ser uma 
boa aproximação para deslocamentos in�nitesimais dos pistões. 
Para deslocamentos maiores, que produzem uma diferença 
de altura entre o pistão da esquerda e o da direita, estando 
este último mais elevado, é necessário considerar também a 
pressão devido ao peso da coluna do �uido no pistão da di-
reita, ou seja: . O resultado prático disso é que a 
força no pistão da esquerda tem que ser um pouco maior 
que a dada pela equação 1.12, pois precisa empurrar a colu-
na do �uido, além disso essa força precisa ser maior com o 
aumento da altura . Nesse caso, vemos que a equação 1.13 
não é satisfeita, ou seja, o trabalho devido ao deslocamento
26
dos dois pistões não é o mesmo. Esse fato merece uma aten-
ção especial, pois alguns livros de física básica não tratam 
desse problema.
Exemplo 4. O pistão grande de um macaco hidráulico tem 40 cm de 
diâmetro. Que força deve ser aplicada ao pistão pequeno, de 8 cm de 
diâmetro, para elevar uma massa (m = 1.800 Kg), que inclui a massa 
do carro mais a plataforma que o sustenta, a uma altura de 1,5 m?
Solução: Para visualizar a situação, observe a Figura 1.6. A fim de 
resolver o problema, vamos inicialmente utilizar a equação 1.12, que 
relaciona as forças nos dois pistões e as áreas destes. O objetivo é 
determinar a força f a ser exercida no pistão pequeno para elevar o 
carro no pistão grande, cuja força F mg . Inicialmente, precisamos 
determinar as áreas dos pistões:
2
(4cm)a S e 2(20cm)A S
Então:
2
2
(4cm)
(1.800Kg)(9,8 N/Kg) 705,6 N.
(20cm)
a
f mg
A
 SS
Uma força de 705,6 N equivale ao peso de uma pessoa de 72Kg .
Esse resultado é obtido considerando a igualdade das pressões entre 
os dois pistões durante todo o processo, o que na prática não ocorre 
porque o pistão da direita precisa subir para elevar o carro. Conside-
rando que o pistão da esquerda permaneça no nível do solo e o da 
direita se eleve a uma altura 1,5mh , sabemos que será necessária 
uma força f fc ! devido ao peso da coluna de fluido a ser eleva-
da no pistão da direita. O valor de f c aumenta com o aumento da 
altura, sendo máximo na altura máxima 1,5mh . Nessa situação, 
vamos calcular então o valor máximo dessa força, considerando que 
os pistões estão preenchidos com óleo cuja densidade volumétrica é 
aproximadamente 3820Kg/m . Nesse caso, a equação 1.12 se torna:
f F
gh
a A
Uc �
ou seja, 
.
a
f mg a gh
A
Uc �
27
Assim:
2 3
705,6 N (0,04m) (820Kg/m )(9,8 N/Kg)(1,5m)
705,6 N 60,6 N 766, 2 N.
f
f
c �
c � 
S
Nessa situação, a força máxima (a ser aplicada no pistão da esquer-
da), para elevar o carro a uma altura de 1,5m do solo, precisa ser 
incrementada de 60,6 N , que equivale a um aumento de 8,6% em 
relação à situação de equilíbrio das pressões.
1.4.2 Vasos comunicantes
A equação 1.11 dá a relação entre as pressões em dois pontos quais-
quer de um �uido, independentemente da forma do recipiente que o 
contém. Portanto, se um recipiente é formado por diversos ramos que 
comunicam entre si e possuem as superfícies livres (ver exemplo (a) 
na Figura 1.7 a seguir), o líquido sobe à mesma altura h em todos os 
ramos. Note que, nesse caso, o �uido também tem a mesma pressão 
em quaisquer pontos dos diferentes ramos que estejam à mesma al-
tura z. Esse é conhecido como o Princípio dos Vasos Comunicantes. 
B
p
0
h
2 h
1
�
1
�
2
p
0
A
C C’h
zA A
p
0
p
0
p
0
Superfície de
separação
z
A B
Figura 1.7 – (a) Vasos comunicantes e (b) dois líquidos imiscíveis com 
densidades diferentes em um vaso com forma de U.
Agora, se compararmos os dois vasos externos no exemplo (a) da Fi-
gura 1.7, à primeira vista, seríamos induzidos a pensar que a pressão 
do líquido é maior na base do vaso da esquerda que na base do vaso 
da direita (apesar de ambos possuírem a mesma área A). Essa intui-
ção deve ao fato que, se os dois vasos fossem independentes e pesa-
dos em separado, o vaso da esquerda acusaria um peso maior, pois 
existe um volume de água maior nesse vaso. Se isso fosse verdade, a 
28
altura da coluna de água deveria ser maior no vaso da direita, o que 
não é observado experimentalmente. Esse é conhecido como o pa-
radoxo hidrostático. A explicação para essa situação resulta do fato 
que no vaso da esquerda a resultante das forças provenientes das 
pressões que atuam sobre as superfícies laterais têm uma compo-
nente para baixo, a qual gera uma reação das paredes do vaso com 
uma componente para cima que tende a contrabalançar parte do 
peso do líquido. No caso do vaso da direita, as forças de reação pro-
venientes das pressões das paredes verticais são horizontais, logo 
elas não têm componente vertical (observe as setas indicativas no 
exemplo (a) da Figura 1.7). O mesmo raciocínio é válido para o tubo 
do meio, com forma curvada, se a área da base for a mesma que a 
dos tubos laterais.
Consideremos agora um tubo em forma de U que contém dois líqui-
dos imiscíveis com densidades diferentes; por exemplo, um líquido 
mais denso no ramo da direita (
1
U ) e um menos denso no ramo da 
esquerda (
2
U ). A pressão pode ser diferente num mesmo nível dos 
dois ramos do tubo. Essa situação está ilustrada pelo exemplo (b) 
da Figura 1.7, onde se pode ver que a superfície do líquido é mais 
alta no ramo da esquerda que no da direita. A pressão em C e Cc
é a mesma em ambos os lados, os quais estão à mesma altura z .
No entanto, a pressão diminui menos de C para A que de Cc para 
B , porque a coluna do líquido do lado esquerdo pesa menos que 
a coluna do líquido do lado direito. Assim, a pressão no ponto A
deve ser maior que no ponto B. Se P é a pressão em C e Cc , da 
equação 1.11 temos:
0 1 1 0 2 2
P P gh P ghU U � � ,
de modo que:
1 2
2 1
h
h
U
U .(1.14)
Através da expressão 1.14 acima, podemos determinar a relação entre 
as densidades de dois líquidos imiscíveis a partir da medida das altu-
ras das colunas de cada líquido em relação à superfície de separação 
entre eles.
29
1.4.3 Medidas de pressão
Podemos usar o fato de a diferença de pressão ser proporcional à 
profundidade de um líquido para medir pressões desconhecidas. Na 
Figura 1.8 a seguir, apresentamos um modelo simples de medidor 
de pressão, chamado de manômetro de tubo aberto. Nesse disposi-
tivo, um lado �ca aberto à pressão atmosférica 
0
P , enquanto a outra 
extremidade �ca em contato com a pressão P a qual deseja medir 
(essa extremidade pode estar conectada a qualquer sistema, como 
exemplo estufas e cilindros de gás). A diferença 
0
P P� é chamada de 
pressão manométrica e, de acordo com a equação 1.11, é igual a ghU ,
onde U é a densidade do líquido no tubo. Dessa forma, conhecendo 
a pressão atmosférica e a densidade do líquido, podemos determi-
nar a pressão absoluta P .
P
�
h
1
h
2
P
0
h
Figura 1.8 – Manômetro de tubo aberto para a medição de uma pressão desconhecida.
Outro tipo comum de manômetro é o barômetro de mercúrio, uti-
lizado pela primeira vez em meados do século XVII para medir a 
pressão atmosférica. Ele consiste de um longo tubo de vidro (apro-
ximadamente 1m ), fechado em uma extremidade, previamente pre-
enchido com mercúrio e posteriormente invertido em um recipiente 
contendo a mesma substância (ver Figura 1.9 ao lado). O líquido que 
está no tubo tende a descer, mas é impedido pela pressão atmosféri-
ca atuando na superfície do líquido que está no recipiente, mantendo 
assim uma coluna de mercúrio dentro do tubo. O espaço que se for-
ma acima da coluna contém apenas vapor de mercúrio, e sua pressão 
é muito pequena, podendo ser desprezada, de modo que a pressão 
nesse volume é considerada nula. Assim, o barômetro de mercúrio 
Figura 1.9 – Barômetro de 
mercúrio, utilizado para medir a
pressão atmosférica P
0
.
P� P�
h
P����
A pressão manométrica 
é justamente aquela 
pressão medida para o 
pneu de seu automóvel 
no posto de gasolina. 
30
mede a pressão atmosférica diretamente a partir da altura da coluna 
de mercúrio. Ao nível do mar, a altura da coluna é de aproximada-
mente 76 cm, sendo essa uma outra unidade de medida de pressão: 
76 cmHg = 1 atm; no alto de uma montanha, essa altura pode dimi-
nuir em até 8cm , indicando a diminuição da pressão externa.
1.4.4 Empuxo: Princípio de Arquimedes
Uma percepção familiar a todos nós é que um corpo imerso na água 
parece apresentar um peso menor que quando está no ar. Além dis-
so, sabemos que um corpo �utua quando sua densidade é menor 
que a do líquido. Aparentemente, parece existir uma força que ajuda 
a sustentar os corpos dentro de um líquido; essa força realmente 
existe e é denominada de força de empuxo. 
Vamos imaginar um corpo sólido cilíndrico, de área A na base e de 
altura h , totalmente imerso e em equilíbrio dentro de um recipiente 
contendo um �uido com densidade U. A condição de equilíbrio re-
quer que a somatória de todas as forças sobre esse corpo seja nula. 
Como ilustrado na Figura 1.10 a seguir, vemos por simetria que as 
forças sobre a superfície lateral do cilindro se cancelam, pois num 
mesmo eixo horizontal têm a mesma magnitude (que é o caso das 
pressões ,P P e ,P Pc c na �gura), entretanto a pressão 
2
P exercida 
pelo �uido sobre a base inferior é maior que a pressão 
1
P sobre a 
base superior. Pela equação 1.11, temos:
2 1
P P ghU� . (1.15)
Logo, a resultante das forças super�ciais exercidas pelo �uido sobre 
o cilindro será a força de empuxo ˆ.E E z G , que é dirigida para cima, 
onde:
2 1
E P A PA ghAU � . (1.16)
Como a altura multiplicada pela área dá o volume (hA V ) e a den-
sidade multiplicada pelo volume dá a massa ( V mU ), temos que o 
empuxo é dado por:
ˆ
fluidoE mgz w �
G G
. (1.17)
31
Ou seja, o empuxo é igual ao peso da porção de �uido deslocada 
( fluidow ), com o sinal invertido.
h
A
P�
1
P
P�
P P
2
P
Figura 1.10 – Pressões do líquido atuando sobre um cilindro sólido imerso num fluido.
Diante disso, como então o cilindro �ca em equilíbrio no �uido se 
existe uma resultante sobre ele de baixo para cima? Precisamos lem-
brar que, além do empuxo, atua sobre o sólido uma outra força vo-
lumétrica que é a força peso (w
G
), aplicada no centro de gravidade; é 
essa força que contrabalança o empuxo. No entanto, o equilíbrio só 
acontece se as densidades do sólido e do líquido forem as mesmas. 
Quando a densidade média do sólido for menor que a do �uido, ele 
não pode �car totalmente submerso, pois E w!G G . O sólido �cará 
então �utuando, com o empuxo, devido à porção submersa equili-
brando o seu peso. Como exemplo podemos citar os “icebergs” que 
�utuam com apenas 11% do seu volume fora da água; isso ocorre 
porque a densidade do gelo é aproximadamente 90% da densida-
de da água (ver Exemplo 6 no �nal desta Seção). Por outro lado, se 
E w�G G , o sólido afunda.
Essa observação representa o Princípio de Arquimedes, que pode 
ser enunciado da seguinte forma: Um corpo total ou parcialmente imer-
so em um �uido recebe do �uido uma força (o empuxo), que é igual e contrá-
ria ao peso da porção de �uido deslocado e aplicado no centro de gravidade 
do mesmo.
É importante enfatizar que, nesse enunciado, o resultado não depen-
de da forma do corpo imerso, o qual, para simpli�car, inicialmente, 
consideramos como sendo um cilindro. O fato é que o empuxo atua 
Esse princípio foi enunciado 
por Aquimedes no século 
III a.C., quando, segundo a 
lenda, ele teria comprovado 
a falsificação da coroa 
de ouro do rei Herão de 
Siracusa, comparando 
o volume de água 
transbordado pela coroa 
(quando imersa em um 
recipiente cheio de água) 
e um pedaço de ouro de 
igual massa. Se a coroa 
fosse mesmo de ouro, 
esse volume deveria ser o 
mesmo do volume de água 
transbordado, pois, como 
vimos, o volume deslocado 
depende da densidade do 
material. Para o azar do rei, 
a coroa era falsa. Para mais 
detalhes, visite o endereço: 
<http://nautilus.fis.uc.pt/
softc/Read_c/gradiva1/
eureka.htm>.
32
no centro de gravidade da porção de �uido deslocada pelo corpo, 
que é chamada de centro de empuxo. Nesse sentido, a geometria 
do casco de embarcações �utuantes torna importante para garantir 
a estabilidade de navegação, ou seja, é importante saber os pontos 
de apliacação dessas forças (peso e empuxo). O peso atua sempre no 
Centro de Gravidade (CG), que é �xo, enquanto o empuxo é aplicado 
no Centro de Empuxo (CE), que é variável e muda de acordo com a 
forma do volume do líquido deslocado, conforme a �gura:
E
��
G
C
P
��
E
��
G
C
P
��
A
B
Figura 1.11 – O Peso sempre atua no Centro de Gravidade da embarcação, que não varia com 
a inclinação, porém isso altera o Centro de Empuxo, pois a forma da água deslocada varia.
A lei do empuxo também explica o funcionamento de um sub-
marino. Ele possui vários compartimentos que são preenchidos 
com ar para �utuar na superfície da água, portanto E w!G G ; para 
afundar, bombeia água para o interior dos compartimentos até que 
E w�G G ; se a intenção é retornar à superfície, basta bombear a água 
para fora novamente. Note que, através desse processo, o coman-
dante pode controlar perfeitamente a profundidade de navegação 
do submarino. Da mesma forma, você pode entender porque um 
balão com ar quente ou hidrogênio sobe.
Existem outros fenômenos que muitasvezes são confundidos com 
o empuxo: um clipe de alumínio (daqueles de prender papel) pode 
�utuar sobre a superfície da água, embora sua densidade seja quase 
3 vezes maior que a da água; alguns insetos e até mesmo certos rép-
teis conseguem caminhar sobre a superfície da água sem afundar. 
Essas situações não são explicadas pelo empuxo, mas pelo fenôme-
no da tensão super�cial, no qual a superfície do líquido se comporta 
como uma membrana submetida a uma tensão. As moléculas de 
33
um líquido exercem forças de atração entre si, de modo que, se uma 
molécula for deslocada de sua posição, aparecerá uma força restau-
radora que tende a recolocá-la na sua posição de origem. No caso do 
clipe, quando este é colocado sobre a superfície, as moléculas super-
�ciais são ligeiramente deslocadas para baixo, e as moléculas adja-
centes exercem uma força restauradora para cima, o que o sustenta.
Exemplo 5: Uma estatueta de ouro de 15,0Kg está sendo elevada de 
um navio submerso. Qual é a tensão no cabo de sustentação quando 
a estatueta está em repouso: a) completamente submersa e b) fora 
da água?
Solução: 
Quando a estátua está submersa, ela sofre a ação de uma força a)
de empuxo com módulo igual ao peso da água deslocada. Para 
encontrar essa força, inicialmente, precisamos calcular o volume 
da estatueta utilizando a densidade do ouro da tabela 1.1.
4 3
3 3
15,0Kg
7,8 10 m
19,3 10 Kg/mouro
m
V � uuU .
Com esse valor, encontramos o peso da água do mar referente a 
esse volume deslocado (considere 3 31,03 10 Kg/mágua uU ):
água água águaw m g VgU 
3 3 4 3
(1,03 10 Kg/m )(7,8 10 m )(9,8 N/Kg) 7,8 N
� u u .
Esse valor é igual ao módulo da força de empuxo E. Logo, para 
achar a tensão no cabo T quando a estátua está em repouso, uti-
lizamos o princípio de que nessa condição a somatória de todas as 
forças que agem sobre ela é igual a zero, ou seja:
( ) 0F E T mg � � � ¦ , logo:
(15,0 Kg)(9,8 N/Kg) 7,8 NT mg E � �
147 N 7,8 N 139,2 NT � .
A estatueta submersa parece ter uma massa de 14, 2Kg , cerca de 
5% a menos que sua massa real.
34
Refazendo as mesmas contas e utilizando a densidade do ar na b)
temperatura ambiente como 31, 2Kg/mar U para determinar o 
empuxo do ar sobre a estatueta quando ela está fora da água, 
obtemos que:
3
9,1 10 N.ar arE Vg
� uU
Como esse valor é muito menor que o valor do peso real da 
estatueta ( 147 Nmg ), podemos considerar que a tensão no 
cabo é igual ao seu peso real. Veja na Figura 1.12 a seguir um dia-
grama de forças sobre a estátua, referente aos itens (a) e (b) do 
exemplo 5:
Submersa Fora da água
W
���
W
���
E
���
T
���
T
���
A B
Figura 1.12 – Figura citada no Exemplo 5.
Exemplo 6. Qual é a fração do volume total de um “iceberg” que �ca 
fora da água?
Solução. Da tabela 1.1 temos que a densidade do gelo é igual a 
2 3
9,2 10 Kg/mu , enquanto a da água do mar é aproximadamente 
3 3
1,03 10 Kg/mu . O peso do “iceberg” é dado por:
ice gelo icew V gU ,
onde 
iceV é o volume do “iceberg”. O peso da água do mar deslocada, 
de volume águaV , é igual ao empuxo E :
água águaE V gU ,
mas observe que 
iceE w , porque o “iceberg” está em equilíbrio com 
o meio, então:
gelo ice água águaV g V gU U 
e
35
3 3
3 3
0,92 10 Kg/m
0,89 89%
1,03 10 Kg/m
água gelo
ice água
V
V
u u
U
U .
Ou seja, o volume de água deslocada equivale a 89% do volume do 
“iceberg”, que representa a parte submersa, portanto apenas 11% do 
“iceberg” fica do lado de fora da água. Veja a seguinte representação 
conforme a Figura 1.13:
W
���E
��
Figura 1.13 – Figura citada no Exemplo 6.
Resumo
A densidade de uma substância é dada pela razão entre a sua massa 
e o seu volume. Quando a massa m está uniformemente distribuída 
em um volume V , a densidade U é dada por: 
m
V
U .
A pressão P de um �uido é a razão entre a força F exercida pelo 
�uido e a área A sobre a qual essa força está aplicada, logo:
F
P
A
 .
Num líquido como a água, que pode ser tratado como incompressí-
vel, a pressão cresce linearmente com a profundidade. Tomando a 
superfície da água como nível de referência e submetida à pressão 
atmosférica 
0
P , a pressão P num ponto a uma profundidade h é 
dada por:
0
P P ghU � .
36
Pelo princípio de Pascal, a pressão aplicada a um �uido num vaso 
fechado se transmite sem alteração a todos os pontos do �uido e às 
paredes do vaso. Essa propriedade foi utilizada na elaboração de 
macacos e prensas hidráulicas.
O princípio de Arquimedes a�rma que um corpo total ou parcial-
mente imerso num �uido sofre uma força, o empuxo, que é igual em 
módulo e sentido oposto ao peso do �uido deslocado.
ˆ .fluidoE mgz w �
G G
Exercícios
Você compra uma peça retangular de metal com massa de 1)
0,0158 Kg e com dimensões 5,0 × 15,0 × 30,0 mm. O vendedor 
diz que o metal é ouro. Para veri�car se é verdade, você deve 
calcular a densidade média da peça. Qual o valor obtido? Você 
foi enganado?
Resposta: 3 37,02 10 Kg/mU u ; Sim, o metal não é ouro.
Um balão de vidro de 60 ml está cheio de mercúrio a 0°C. 2)
Quando a temperatura sobe para 80°C, 1,47 g de mercúrio são 
derramados para fora do frasco. Admitindo que o volume do 
frasco é constante, calcule a densidade do mercúrio a 80°C, 
sendo a sua densidade igual a 13.645 Kg/m3 na temperatura 
de 0°C.
Resposta: 313.620 Kg/mU .
O líquido no manômetro de tubo aberto indicado na Figura 1.8 3)
é mercúrio, com h
1
 3,0 cm e h
2
 7,0 cm. Sendo assim: 
a) Qual é a pressão absoluta no fundo do tubo em forma de U? 
b) Qual é a pressão absoluta no tubo aberto a uma profundi-
dade de 4,0 cm abaixo da superfície livre? 
c) Qual é a pressão absoluta do gás no tanque da esquerda? 
37
Resposta: 
a) 411,06 10 PaP u ;
b) 410,66 10 PaP u ;
c) 410,66 10 PaP u .
Um tanque aberto cheio de água possui as seguintes dimen-4)
sões: 2,0 × 1,0 × 0,5 m. Dessa forma: 
a) Determine a pressão num ponto situado no fundo do tanque; 
b) Calcule a força total exercida pela água sobre o fundo do 
tanque;
c) Calcule a pressão sobre as paredes laterais a uma profundi-
dade h 0,25 m; 
d) Determine o módulo da força total resultante que atua so-
bre a parede lateral do tanque, a qual possui largura de 1 m 
e profundidade de 0,5 m.
Resposta: 
a) 410,62 10 PaP u ;
b) 52,12 10 NF u ;
c) 410,37 10 PaP u ;
d) 1.225 NF .
Muitas pessoas imaginam que, se fossem mergulhar com a 5)
parte superior de um tubo snorkel �exível para fora da água, 
elas seriam capazes de respirar através dele enquanto estives-
sem caminhando debaixo d’água, porém elas geralmente não 
consideram a pressão da água que se opõe à expansão do tórax 
e dos pulmões. Suponha que você pode respirar deitado no 
chão com um peso de 400 N sobre seu tórax que equivale a 
uma massa de 41 Kg. A que profundidade abaixo da superfí-
cie livre da água você conseguiria respirar, admitindo que seu 
tórax tem uma área frontal de 0,009 m2?
Resposta: 4,5mh .
38
Um pedaço grande de cortiça pesa 0,285 N no ar. Quando mer-6)
gulhado em água e acoplado a um dinamômetro preso no fun-
do do tanque, a tensão na corda que impede a cortiça de subir 
para a superfície da água é de 0,855 N. Calcule a densidade da 
cortiça.
Resposta: 3250Kg/mU .
Um bloco de gelo �utua sobre um lago de água doce. Qual 7)
deve ser o volume mínimo do bloco para que uma mulher de 
45 Kg possa �car em pé sobre o bloco sem que ela molhe seus 
pés?
Resposta: 2 356,25 10 mV � u .
Bibliografia básica
NUSSENZVEIG, H. M. Curso de física básica. São Paulo: Edgard 
Blücher, 1997. 2 v.
RESNICK, R.; HALLIDAY, D.; KRANE, K. S. Física. Rio deJaneiro: 
LTC, 2006. 2 v.
SEARS, Z. Física II: termodinâmica e ondas. 10. ed. São Paulo: 
Addison Wesley, 2003.
TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Física. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007. 1 v.
Bibliografia complementar comentada
NUSSENZVEIG, H. M. Curso de física básica. São Paulo: Edgard 
Blücher, 1997. 2 v.
Para saber mais sobre propriedades dos fluidos, sugerimos a leitura da seção 
1.1 Propriedade dos Fluidos.
RESNICK, R.; HALLIDAY, D.; KRANE, K. S. Física. Rio de Janeiro: 
LTC, 2006. 2 v.
Uma leitura mais aprofundada sobre pressão nos fluidos pode ser encontrada 
nas seções 17.2 Pressão e Massa Específica e 17.3 Variação de Pressão em 
um Fluido em Repouso.
39
TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Física. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007. 1 v.
Você encontrará mais detalhes sobre empuxo na seção 13.3 Empuxo e 
Princípio de Arquimedes.
Capítulo 2
Dinâmica dos Fluidos
Capítulo 2
Dinâmica dos Fluidos
No final deste Capítulo, você deve ser capaz de tratar si-
tuações simples de escoamento de fluidos sem turbulên-
cia e sem viscosidade. Os conceitos físicos por trás dessas 
situações idealizadas já são conhecidos do leitor: leis de 
Newton, conservação de massa e conservação de ener-
gia. Ao final do Capítulo, trataremos de escoamentos 
com viscosidade e, de forma qualitativa, de turbulência.
2.1 Introdução
Neste Capítulo iremos estudar a física de �uidos em movimento. 
Essa é uma das áreas mais interessantes da Física. Ela está por trás 
de vários fenômenos em nosso dia-a-dia, como ondas no mar, mo-
vimentos na atmosfera (comportamento climático), escoamento da 
água tratada que recebemos em casa e até mesmo na dinâmica do 
tráfego de veículos em cidades.
Mas essa área pode ser de difícil tratamento matemático, devido às 
equações que descrevem os fenômenos nela observados. Assim, ire-
mos iniciar nosso estudo com sistemas simples e aos poucos vamos 
introduzir efeitos mais realísticos. 
Apesar de usarmos conceitos já vistos por você nas disciplinas an-
teriores (conservação de massa e da energia por exemplo), no trata-
mento de escoamento de �uidos, temos um procedimento diverso 
do utilizado anteriormente. Não seguiremos mais cada partícula 
(ou grupo de partículas) do �uido. Iremos agora nos concentrar 
em pontos dele, especi�cando a densidade ( , , , )x y z t� �= , a veloci-
dade ( , , , )v v x y z t G G das partículas e a pressão ( , , , )P P x y z t em 
diferentes pontos ( , , )x y z e em diferentes instantes de tempo t .
Podemos classi�car o escoamento de �uidos de acordo com as se-
guintes características:
Na verdade, quase todos os 
estudos em Física Teórica 
seguem este padrão: 
modelos simplificados são 
estudados, a princípio, 
de tal forma que os 
ingredientes fundamentais 
das situações reais estejam 
presentes nesses modelos 
e que seu tratamento 
matemático seja possível. 
Posteriormente, modelos 
mais complexos, que 
estejam mais próximos 
do sistema real, são 
pesquisados.
Lembre-se que para falar de 
densidade não podemos nos 
concentrar em um ponto. 
Na verdade, o que chama-
mos de ponto é uma região 
do fluido grande o suficien-
te para termos muitas par-
tículas, e assim ser possível 
definir densidade, e peque-
na o suficiente para que as 
grandezas físicas relevantes 
(velocidade, pressão, altura 
etc.) não variem considera-
velmente dentro da região.
44
Estacionário ou não-estacionário: no escoamento estacionário, a)
as grandezas físicas não dependem do tempo, apesar de po-
derem ainda depender da posição. Essa condição é satisfeita, 
por exemplo, em escoamentos a baixas velocidades. O escoa-
mento pode ser não-estacionário e, nesse caso, as grandezas 
relevantes dependem do tempo. Um exemplo drástico desse 
tipo de escoamento é o que acontece em cachoeiras ou próxi-
mo aos raios de uma roda de bicicleta a grandes velocidades: o 
comportamento do �uido é aparentemente aleatório e temos o 
fenômeno da turbulência;
Compressível ou incompressível: no caso da densidade do �ui-b)
do variar, diz-se que o escoamento é compressível (nesse caso, 
ele pode depender só da posição ( , , )x y z , só do tempo t ou de 
ambos). Se U for constante, então o escoamento é incompres-
sível e, nesse caso, U não depende nem da posição nem do 
tempo;
Viscoso ou não-viscoso: uma aproximação comum nas disci-c)
plinas de Física Básica A e B é a de desprezar o atrito. O análo-
go ao atrito no caso de �uidos chama-se viscosidade e ela tem 
características bem diferentes daquelas do atrito entre corpos 
sólidos. Em muitas situações, como para óleos lubri�cantes, a 
viscosidade é uma propriedade fundamental;
Rotacional ou irrotacional (ou não-rotacional): essa característi-d)
ca pode ser melhor de�nida de um ponto de vista matemático, 
mas não iremos explorar esse caminho aqui. Fisicamente, um 
escoamento irrotacional é tal que uma pequena roda com pás, 
quando colocada a escoar junto com um �uido, deslocaria-se 
junto com ele sem girar sobre um eixo que passa pelo seu 
centro de massa. Uma analogia possível é a do movimento da 
Terra em torno do Sol: ele seria considerado rotacional, caso a 
Terra fosse um elemento de �uido, porque ela gira em torno de 
um eixo interno. Caso a Terra apenas se transladasse em torno 
do Sol, diríamos que seu movimento seria irrotacional. Nem 
sempre a noção intuitiva de um escoamento não-rotacional é 
correta. Assim, por exemplo, quando a água escoa pelo ralo de 
uma pia, o �uido gira, mas a roda descrita acima não giraria 
em torno de seu eixo, caracterizando assim um escoamento 
não-rotacional. 
45
Como discutido anteriormente, começaremos nosso estudo pela si-
tuação mais simples e aos poucos discutiremos como a introdução 
de efeitos mais reais modi�caria os resultados obtidos.
2.2 Conservação da massa: 
equação de continuidade
Vamos supor um escoamento estacionário, isto é, a velocidade v
G
não depende do tempo. Imagine então um ponto P no �uido (veja 
Figura 2.1 a seguir): qualquer partícula que passe por esse ponto 
terá sempre a mesma velocidade e, portanto, seguirá sempre a mes-
ma trajetória. Podemos então de�nir as linhas de corrente como 
sendo coincidentes com as trajetórias das partículas nos �uidos e a 
velocidade delas é sempre tangente às linhas em cada ponto (mas 
lembre-se que o módulo da velocidade pode variar). É consequên-
cia direta dessa maneira de de�nir as linhas que, num escoamento 
estacionário, duas linhas de corrente nunca se cruzam (ou seja, uma 
situação como a desenhada em (b) na Figura 2.1 não é permitida). 
P
Qv
P
v
Q
R
A B
Figura 2.1 – (a) Representação de uma única linha de corrente, construída de tal forma que 
as partículas têm a trajetória especificada pela linha e, portanto, a velocidade em um dado 
ponto seja tangente à linha naquele ponto. (b) Note que a situação desta parte da figura não 
é permitida (veja também discussão na Figura 2.2 a seguir).
Podemos de�nir ainda o que se chama de tubo de corrente: esse 
tubo imaginário, formado por linhas de corrente, limita a porção de 
�uido em seu interior, de tal forma que o �uido nunca atravessa o 
tubo, já que duas linhas de corrente não se cruzam (veja a Figura 2.2 
a seguir). É como se, em um escoamento estacionário, houvesse real-
mente um “cano”, formado pelas linhas de corrente, que separasse o 
�uido em porções interior e exterior ao tubo de corrente.
46
Uma maneira de representar o módulo da velocidade numa região 
do �uido é através da densidade de linhas de corrente nessa região: 
quanto mais densa, maior a velocidade.
Figura 2.2 – Representação de um tubo de corrente: o fluido no interior (ou no exterior) 
desse tubo nunca cruzará sua fronteira, emum escoamento estacionário.
Vamos considerar agora um desses tubos de corrente, de tal forma 
que o �uido atravesse um elemento de área (com área 
1
A ) no ponto 
1
p de sua extremidade esquerda. Nesse ponto, o �uido tem densi-
dade 
1
U (note que permitimos que o escoamento seja compressível) 
e velocidade 1v
G
(de módulo 
1
v e direção perpendicular àquela de�-
nida pela área 
1
A ). Assim, durante um intervalo de tempo t' , uma 
massa 
1
m' de �uido, dada por:
1 1 1 1
,m A v tU' ' (2.1)
atravessa a área 
1
A (veja a Figura 2.3 a seguir).
Essa expressão vem do fato da massa ser igual ao produto da 
densidade pelo volume; deduza-a a partir dessa informação 
(veja o Capítulo 1 do livro). A grandeza 
1
m t∆ ∆ é o �uxo de 
massa para fora do volume hachureado, através da área 
1
A .
Durante esse mesmo intervalo de tempo t' , uma porção do �uido 
atravessa a área 
2
A , no ponto 
2
p ; se a velocidade nesse ponto for 
2
v
G
,
de módulo 
2
v , e a densidade do �uido for 
2
U , a massa de �uido 
atravessando a área 
2
A é:
2 2 2 2
.m A v tU' ' (2.2)
47
Supondo que não haja fonte ou sorvedouro de massa entre 
1
p e 
2
p ,
a quantidade de massa que passa pela área 
1
A é a mesma que passa 
pela área 
2
A . Assim, temos:
1 1 1 2 2 2
,A v A vU U (2.3)
ou, de forma mais geral:
constante,AvU (2.4)
ao longo de um tubo de corrente.
A�
A�
z�z�
v�
v� ��t
��
��
p�
p�
�t
Figura 2.3 – Representação de um tubo de corrente: a mesma quantidade de fluido que 
entra nesse tubo pela extremidade esquerda, em um intervalo de tempo t' , sai do tubo 
na extremidade direita, no mesmo intervalo de tempo.
Se o �uido for incompressível, U também é constante e então a equa-
ção 2.4 se reduz a:
Av = constante. (2.5)
O produto Av nesse caso mede o volume de �uido que atravessa 
a seção transversal do tubo por unidade de tempo e é a chamada 
vazão do tubo.
Note, na equação 2.5, que a velocidade em um tubo é maior em par-
tes onde sua seção reta é menor. Esse fenômeno é representado na 
Figura 2.4: a densidade de linhas na região de seção reta menor é 
maior que na região com seção reta maior.
Figura 2.4 – Representação do 
escoamento em um cano com seção reta 
variável. Note que a densidade de linhas 
é maior na região de seção reta menor, 
representando uma velocidade maior 
nessa região.
Você já deve ter usado esta 
propriedade: para aumentar 
a velocidade de saída da 
água em uma mangueira, 
diminuímos a área de saída 
no bico dela.
Sorvedouro
Lugar no mar ou rio, onde há 
redemoinho; o que leva para 
o fundo o que nele cai.
48
Você pode fazer uma experiência em casa ou no trabalho: 
abra uma torneira comum, deixando sair um �uxo nem 
muito pequeno nem muito grande de água, ou seja, um �u-
xo estacionário. O que você percebe em relação à área do 
�lete de água à medida que ela diminui a altura? Explique 
com o que discutimos nesta seção.
Exemplo 1. Um rio de 21m de largura e 4,5m de profundidade 
recebe a água de uma região de 2 9 28.500 km 8,500 10 m u de área, 
onde a precipitação pluviométrica média é de 48cm/ano . Suponha 
que um quarto desse volume de água volte à atmosfera por evapo-
ração. Qual a velocidade média da água nesse rio?
Solução: Usaremos as unidades do Sistema Internacional de unida-
des. Vamos supor que três quartos (3/4) do volume de água de chuva 
que cai na região seja drenado para o rio e por ele seja escoado para 
fora dela. Esse volume de água é dado por:
9 2 9 3
0, 48(m/ano) 8,500 10 m 4,1 10 m /ano.u u u
Três quartos desse volume anual têm o seguinte valor:
9 3 9 3
(3/4) 4,1 10 m /ano 3,1 10 m /ano.u u u
É esse o valor que escoa pelo rio em um ano, ou seja, supondo um ano 
de 365 dias, em 1s temos uma vazão de:
9 3
3
7
3,1 10 (m /ano)
97 (m /s)
3,1536 10 (s/ano)
u u .
Essa vazão é igual ao produto da área da seção reta do rio pela velo-
cidade média de escoamento da água:
3
97m /sA vu ,
Com 2(21m) (4,5m) 94mA u , temos que:
3
2
97 (m /s)
1,0(m/s)
94(m )
v .
49
2.3 Conservação da energia: 
equação de Bernoulli
Iremos mais uma vez aplicar um conceito já visto nas disciplinas 
anteriores, o da conservação de energia, a um �uido perfeito incom-
pressível, no regime de escoamento estacionário e sem viscosida-
de. Suponha um tubo de corrente muito �no, de tal maneira que 
as grandezas físicas relevantes não variem dentro de uma mesma 
seção reta desse tubo, o qual chamaremos de �lete de corrente (veja 
para referência a Figura 2.3, na qual supomos que as seções retas 
1
A e 
2
A sejam pequenas o su�ciente para que pressão, densidade e 
altura sejam aproximadamente constantes dentro da respectiva se-
ção). As alturas dessas seções, em relação a um plano horizontal de 
referência, são respectivamente 
1
z e 
2
z , e o �uido �ui da esquerda 
para a direita.
Lembramos a você, leitor, sobre a equação de conservação de energia, 
a qual diz que a variação de energia cinética de uma massa m' , en-
tre dois pontos quaisquer, é dada pelo trabalho feito pela resultante 
de todas as forças que atuam nessa massa, no caminho entre esses 
pontos. Como estamos supondo que não há viscosidade, essas for-
ças são conservativas e, especi�camente em nosso caso, têm duas 
origens: 1) forças derivadas da diferença de pressão entre os pontos 
1
p e 
2
p , e 2) força da gravidade. Como por suposição as forças são 
conservativas, o trabalho por elas realizado não depende do cami-
nho percorrido pela massa m' (esta é uma boa hora para você vol-
tar ao material de disciplinas anteriores e recordar o porquê desse 
resultado). Vamos juntar as informações: a diferença T' de energia 
cinética entre os pontos 
1
p e 
2
p da Figura 2.3 é dada por:
2 2
2 2 1 1
1 1
.
2 2
T m v m v' ' � ' (2.6)
Como supomos não haver fontes ou sorvedouros de �uido entre os 
pontos, 
1 2
m m m' ' { ' , e então:
2 2
2 1
1
( ).
2
T m v v' ' � (2.7)
No ponto 
1
p , a pressão é feita pela porção de �uido à esquerda da 
área hachurada na Figura 2.3 e, portanto, a força derivada dessa 
50
pressão está no mesmo sentido do movimento, de modo que o tra-
balho é positivo e igual a 
1 1 1 1 1
F x P A v t' ' , onde 
1 1
P A é a força atuan-
do no ponto 
1
p e 
1
v t' é o deslocamento próximo a esse ponto. No 
ponto 
2
p , a força de pressão é contrária ao movimento, e é devido à 
porção de �uido à direita da área hachurada, atuando contrária ao 
deslocamento. Portanto, o trabalho devido a ela é negativo e igual a 
2 2 2
,P A v t� ' onde 
2 2
P A é a força atuando no ponto 
2
p e 
2
v t' é o des-
locamento nesse ponto. Assim, o trabalho realizado pelas forças de 
pressão é representado por:
1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2
( ) .P A v t P A v t P A v P A v t' � ' � ' (2.8)
Essa equação pode ser reescrita usando as equações 2.1 e 2.2 e lem-
brando que 
1 2
m m m' ' { ' . O trabalho realizado pela força de pres-
são ( )pW é então:
1 2
( ) ,p
m
W P P
' � U (2.9)
onde U é a densidade do �uido (como este é suposto incompressí-
vel, a densidade é a mesma em qualquer ponto).
O trabalho devido à força da gravidade (
gW ) depende apenas da 
diferença de altura entre os pontos 
1
p e 
2
p e é dado por:
2 1
( ),gW mg z z �' �(2.10)
onde g é a aceleração da gravidade e 
2
z e 
1
z as alturas dos pontos 
1
p e 
2
p , respectivamente. Se 
2
z for maior que 
1
z , o trabalho feito 
pela força peso é negativo, como esperado, pois o peso tem sentido 
contrário ao deslocamento vertical de m' .
Como o trabalho total é a variação T' da energia cinética, ou seja, 
p gT W W' � , obtemos que:
2 2
2 1 1 2 2 1
1
( ) ( ) ( ).
2
m
m v v P P mg z z
'' � � �' �U
Cancelando m' e multiplicando todos os termos pela densidade U,
2 2
2 1 1 2 2 1
1
( ) ( ) ( ).
2
v v P P g z z� � � �U U
51
Finalmente, escrevendo todas as grandezas relativas ao ponto 
1
p em 
um lado da equação e, do outro, as relativas ao ponto 
2
p , obtemos:
2 2
2 2 2 1 1 1
1 1
.
2 2
v P gz v P gz� � � �U U U U (2.11)
Como os pontos 
1
p e 
2
p são quaisquer pontos de um �lete, a igual-
dade na equação 2.11 acima vale para qualquer ponto do �lete e 
podemos então escrever:
21
,
2
v P gz C� � U U (2.12)
onde C é uma constante ao longo de todo o �lete. Essa é a equa-
ção de Bernoulli. A rigor, a constante C pode variar de �lete a �-
lete, mas é comum encontrar aplicações nas quais C é o mesmo 
para todos os �letes. Se fazemos 0v na equação 2.12 acima, re-
obtemos o resultado conhecido da Hidrostática, onde P gz C� U ,
estudado no Capítulo 1.
Note que a equação 2.12 pode ser interpretada como a soma de três 
termos associados a densidades de energia (energia por unidade 
de volume): o primeiro termo é a densidade de energia cinética, o 
terceiro termo a densidade de energia potencial e o segundo ter-
mo uma densidade de energia associada à pressão. De fato, a força 
exercida pela pressão é o produto desta pela área, de modo que o 
trabalho feito por essa força (o qual é igual ao produto da força pelo 
deslocamento) é o produto da pressão pelo volume. Para encontrar 
a densidade de energia, dividimos a equação 2.2 pelo volume e en-
contramos a própria pressão.
Vamos agora estudar algumas situações onde a equação de Ber-
noulli é relevante.
Exemplo 2. Uma aplicação comum é a de um reservatório com uma 
grande superfície livre, na qual a pressão é a atmosférica (P
0
), con-
forme esquematizado na Figura 2.5 a seguir. Suponha-se um es-
coamento estacionário, com o �uido saindo por um orifício a uma 
determinada altura 
1
h , medida a partir da base do reservatório, de 
tal forma que o volume de líquido que sai pelo orifício é muito pe-
52
queno, e a superfície livre do reservatório tem, para quaisquer �ns 
práticos, altura constante (ou seja, a velocidade do �uido nessa su-
perfície é zero). Podemos aplicar a equação de Bernoulli a um dos 
�letes representados na Figura 2.5 a seguir: 
2
0 2 0 1
1
,
2
P gh P gh v� � �U U U
O lado esquerdo se refere à superfície livre e o lado direito à parte 
externa B do furo. Assim:
2 1
2 ( ) 2 ,v g h h gh � { (2.13)
ou seja, o módulo da velocidade na saída do orifício é o mesmo que 
teria um corpo material que caísse de uma altura 
2 1
h h h{ � sob ação 
exclusiva da força da gravidade.
BA
P
0
P
0
h
2
h
1
v
0
h � h
2
� h
1
v
Figura 2.5 – Reservatório com superfície livre muito grande, de modo que o escoamento pelo 
orifício A não modifica consideravelmente a altura 
2
h dessa superfície. 
Entre o ponto A e o ponto B , onde a pressão é a atmosférica (
0
P ), a 
seção reta do tubo de corrente sofre uma contração por um fator 0,6.
Você pode justi�car o porquê do fato da pressão em A ter de ser 
maior que 
0
p (use as equações de continuidade e de Bernoulli em 
seu argumento). 
Exemplo 3. O medidor de Venturi é um dispositivo usado para 
medir a velocidade de escoamento de um �uido em uma tubula-
ção. Considere a situação da Figura 2.6 a seguir, onde um �uido de 
densidade U escoa por um tubo com seções retas de áreas A e a ,
de tal forma que A a! , e um tubo com um �uido de densidade U
em seu interior é acoplado ao encanamento. 
Note que foi através desse 
procedimento que Torricelli, 
quando assistente de 
Galileu, enunciou a fórmula 
que leva seu nome.
53
A � a
1
2
h
�
Figura 2.6 – Medidor de Venturi: equipamento usado para medir a velocidade
de escoamento de um fluido em um encanamento. A densidade
 do fluido no encanamento é U e no tubo é U .
Devido à equação de continuidade, temos que:
2 1
,
A
v v
a
 (2.14)
onde 
1
v é a velocidade do �uido na parte da tubulação com seção 
reta A (ponto 1) e 
2
v é a velocidade na parte com seção reta a (pon-
to 2 ). Desconsiderando a diferença de altura entre os pontos, pode-
mos usar a equação de Bernoulli para escrever: 
2 2
2 2 1 1
1 1
.
2 2
P v P v� �U U
Aqui 
2
P é a pressão no ponto 2 e 
1
P a pressão no ponto 1. Usan-
do a equação 2.14 e o fato da diferença de pressão ser dada por 
1 2
P P ghU� , onde h é a diferença entre as alturas do líquido de 
densidade U nos dois lados do tubo, podemos mostrar (faça os cál-
culos como exercício) que: 
2 2
2
( )
gh
v a
A a
U
U � . (2.14.1)
Exemplo 4. Uma outra aplicação importante, usada na medição de 
velocidade de aviões (quando acoplada às extremidades das asas), 
é o chamado tubo de Pitot (este equipamento pode ter apresentado 
defeito no vôo da Air France que caiu, em 2009, quando ia do Rio de 
Janeiro para Paris). Nessa montagem (veja Figura 2.7 a seguir), uma 
abertura (ponto A) está em um ponto de acumulação, tal que a velo-
cidade nesse ponto seja zero, ou seja, a pressão é a pressão estática, 
A eP P . Na outra abertura no tubo (ponto B), a pressão é a dinâmica 
Usado para medir a 
velocidade de um fluido 
em relação a um avião ou, 
de forma equivalente, a 
velocidade de um avião se 
movendo em um fluido.
54
e a velocidade do �uido é supostamente não perturbável pela pre-
sença do aparato, o que é, formalmente, uma aproximação.
Tomando 0Av e supondo como desprezível a diferença de altu-
ra entre os pontos A e B , a equação de Bernoulli pode ser escrita 
como: 
2 21 1
,
2 2
e B e BP P v P P v � Ÿ � U U
onde U é a densidade do �uido externo ao tubo.
B
h
A
�
0
�
B
Figura 2.7 – Esquema do tubo de Pitot, usado para medir a velocidade de um fluido
em relação a um avião ou, de forma equivalente, a velocidade de um avião 
em relação ao fluido. O ponto A é um ponto de acumulação, no qual o fluido 
encontra-se em repouso; no ponto B , por outro lado, supõe-se que
o fluido não tem sua velocidade modificada pelo aparato. 
Podemos também relacionar a diferença entre as pressões eP e BP
com a diferença de altura no tubo, 
0
,e BP P gh� U onde 0U é a den-
sidade do �uido no interior do tubo. Assim: 
2 0
0
1
2 .
2
gh v v gh
UU U U Ÿ 
Exemplo 5. Um procedimento feito com certa frequên-
cia no passado, para remover combustível de um carro, 
está desenhado na Figura 2.8. O líquido do reservatório, 
de densidade U , é aspirado através da mangueira ABC ,
para que saia pela abertura C .
Vamos calcular a velocidade de escoamento do �uido na 
abertura C da mangueira, em função das alturas 
1
h e 
2
h
e da pressão 
0
P na superfície O do reservatório (se essa 
h
1
h
2
A
�
O
C
B
Figura 2.8 – Um fluido de densidade U é as-
pirado por uma mangueira delgada e sai pela 
sua abertura C . Esse esquema é utilizado 
(mas não é recomendado), por exemplo, para 
extrair combustível do tanque de um veículo.
55
superfície estiver aberta,