Exercícios de Limites com resposta

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Instituto Nacional de Telecomunicações 
 
Curso de NBT002 - Cálculo I 
 
Lista de exercícios 
 
Limites 
 
 
 
 
Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações 
Lista de exercícios de Cálculo I – Capítulo 2 1 
LIMITES 
 
01) Calcule os limites a seguir. 
1) 





+
−
→ 3
9lim
2
3 x
x
x
 
2) )1002(lim 24 −+
−∞→
xx
x
 
3) )825(lim 3 +−
−∞→
xx
x
 
4) 
17
16lim
3x
x
−
−∞→
 
5) 1lim 2 ++
∞→
xx
x
 
6) 
5
2lim
3x
x
−
−∞→
 
7) 





∞→ xx
1lim 
8) 





∞→ xx
4010lim 
9) 





+−∞→ 3
20lim 3
xx
 
10) 
3
1lim
xx −∞→
 
11) 
xx
1lim
0+→
 
12) 20
1lim
xx +→
 
13) 20
1lim
xx −→
 
14) 20
1lim
xx→
 
 
15) 




 −
−→ xx
5lim
0
 
16) 




 −
+→ xx
5lim
0
 
17) 




 −
→ xx
5lim
0
 
18) 





−
−→ 1
5lim
1 xx
 
19) 





−
+→ 1
5lim
1 xx
 
20) 





−
→ 1
5lim
1 xx
 
21) 





+
+
−
−→ 2
1lim
2 x
x
x
 
22) 





+
+
+
−→ 2
1lim
2 x
x
x
 
23) 





−
−→ 4
1lim 22 xx
 
24) 





−
+→ 4
1lim 22 xx
 
25) 





−
+
−→ 9
5lim 23 x
x
x
 
26) 





−
+
+→ 9
5lim 23 x
x
x
 
27) x
x
2lim
−∞→
 
 
28) 22lim x
x −∞→
 
29) x
x
−
−∞→
2lim
 
30) x
x
2lim
∞→
 
31) x
x
−
→ −
1
1
1
2lim 
32) x
x
−
→ +
1
1
1
2lim 
33) 2
1
2 5
2lim
−
→






−
x
x
 
34) 2
1
2 5
2lim
−
→






+
x
x
 
35) x
x
x
1
0
)52(lim −
+→
 
36) 





→
2
5
15
1loglim
xx
 
37) )1ln(lim 2 +
−∞→
x
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações 
Lista de exercícios de Cálculo I – Capítulo 2 2 
02) Calcule os limites a seguir. 
 
1) 
6
44lim 2
2
2
−+
+−
→ xx
xx
x
 
2) 
74
85lim 23
45
−+−
+−
−∞→ xx
xx
x
 
3) )15(lim 23
1
+++
→
xxx
x
 
4) 
4
12lim
2 +
+
−→ x
x
x
 
5) 
13
75lim 2
2
1 ++
+−
→ xx
xx
x
 
6) 
1383
192lim 24
7
+−−
−
−∞→ xx
x
x
 
7) 
152
127lim 2
4
++−
−−
∞→ xx
xx
x
 
8) 1lim
3
+
→
x
x
 
9) 
3
9lim
9
−
−
→ x
x
x
 
10) 
2
lim
2 +→ x
x
x
 
11) 
1
1lim
5
1
−
−
→ x
x
x
 
12) 
1
1lim
3
1
−
+
−→ x
x
x
 
13) 
x
xx
x
−−+
→
11lim
0
 
14) 21 )1(
21lim
−
−+
→ x
xx
x
 
15) 
x
xxxx
x
335lim
22
0
++−++
→
 
16) 
2
2
13
lim 2
−
+
−
+
++
∞→
x
x
x
x
x
x
x
 
17) 
824
351
lim
2
2
0
+−
−+
→
xx
xx
x
 
18) 
3
1372lim
33
3
−
−+
→ x
x
x
 
19) 
bxb
x
x
−−
→0
lim 
20) 
3
3lim
55
3
−
−
→ x
x
x
 
21) 
pnxmx
cbxax
x ++
++
∞→ 2
2
lim 
22) ( )[ ]aa
a
senlim +
∞→
 
23) x
x
1
0
3lim
+→
 
24) x
x
1
0
3lim
−→
 
25) n
n
n
1
lim
+
∞→
pi 
26) 43
2
5
1lim
−
+
∞→





 n
n
n
 
27) 
12167
43lim 23
23
2 +++
−+
−→ xxx
xx
x
 
 
 
 
 
 
Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações 
Lista de exercícios de Cálculo I – Capítulo 2 3 
03) Verifique se as funções a seguir são contínuas nos pontos indicados. 
 
a) 3
9
23)( 2 −=
−
+
= xem
x
x
xf b) 1
1
1)( 2 =+
+
= xem
x
x
xf 
c) 3
3
27)(
3
=
−
−
= xem
x
x
xf d) 0
0,1
0,0)( =



>
<
= xem
xse
xse
xf 
e) 3
3,5
3,
3
9
)(
2
=





=
≠
−
−
= xem
xse
xse
x
x
xf 
f) 1
1,2
1,
1
1
)(
2
=





=
≠
−
−
= xem
xse
xse
x
x
xf 
g) 1
1,2
1,1)( =



≤−
>+
= yem
ysey
ysey
yf 
 
04) O gráfico cartesiano de uma função real )(xfy = está esboçado na figura a seguir. 
A partir desse gráfico, complete o quadro seguinte com informações a respeito da 
função f(x). 
 
Raízes f (0) )(lim
5
xf
x −−→
 )(lim
0
xf
x −→
 
Domínio f (5) )(lim
5
xf
x +−→
 )(lim
0
xf
x +→
 
Imagem f (7) )(lim
5
xf
x −→
 )(lim
0
xf
x→
 
f (-7) )(lim
7
xf
x −−→
 )(lim
2
xf
x −−→
 )(lim
5
xf
x −→
 
f (-5) )(lim
7
xf
x +−→
 )(lim
2
xf
x +−→
 )(lim
5
xf
x +→
 
f (-2) )(lim
7
xf
x −→
 )(lim
2
xf
x −→
 )(lim
5
xf
x→
 
 
 
 5 7 
o o
 -7 -5 -2 
o
6
 
oo
x 0 
y 
Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações 
Lista de exercícios de Cálculo I – Capítulo 2 4 
05) Calcule os seguintes limites: 
 
a) 
5
)23()32(lim 5
23
+
−+
→∞ x
xx
x
 b) 
49
32lim 27
−
−−
→ x
x
x
 c) )2(
)52()23(lim 6
34
−
−+
−∞→ xx
xx
x
 
d) 
x
x
x 2
)3sen(lim
0→
 e) 





+
+
−→ 5
125lim
3
5 x
x
x
 f) 






−+
→ x
x
x
24lim
0
 
g) 10
1
10 10
1lim
+
−→






+
x
x
 h) 





+−
+−
→ 36254
20173lim 2
2
4 xx
xx
x
 i) 24
422
)52(2
)62()34(lim
+
−+
∞→ x
xx
x
 
 
06) Considere a seguinte função: 





>
≤≤−
<−
=
2 2
20 33
0 4
)(
2
xse
xsex
xsex
xf . Pede-se: 
 
a) O gráfico de )(xf . b) Domínio e imagem de )(xf . 
c) )(lim
0
xf
x→
 d) )(lim
1
xf
x→
 e) )(lim
2
xf
x→
 
f) )0(f g) )1(f h) )2(f 
 
07) Considere a seguinte função: 





>+−
≤≤
<+−−
=
2 2
20 2
0 32
)(
2
xsex
xsex
xsexx
xf . Pede-se: 
 
a) O gráfico de )(xf . b) Domínio e imagem de )(xf . 
c) )(lim
0
xf
x→
 d) )(lim
1
xf
x→
 e) )(lim
2
xf
x→
 
f) )0(f g) )1(f h) )2(f 
 
08) Considere a seguinte função: 







>−
≤≤+−
<+−
=
3 62
30 482
0 6
2
3
)( 2
2
xsex
xsexx
xse
x
xf . Pede-se: 
a) O gráfico de )(xf . b) Domínio e imagem de )(xf . 
c) )(lim
0
xf
x→
 d) )(lim
2
xf
x→
 e) )(lim
3
xf
x→
 
f) )0(f g) )2(f h) )3(f 
 
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Lista de exercícios de Cálculo I – Capítulo 2 5 
09) Considere a seguinte função: 





≥−+−
<≤−−+
−<−
=
2 78
22 32
2 42
)(
2
2
xsexx
xsexx
xsex
xf . Pede-se: 
a) O gráfico de )(xf . b) Domínio e imagem de )(xf . 
c) Raízes de )(xf . d) )(lim
2
xf
x −→
 e) )(lim
2
xf
x→
 
f) )(lim xf
x→∞
 g) )(lim xf
x −∞→
 h) )2(−f 
i) )2(f 
 
10) Considere o gráfico da função f(x) representado a seguir. 
 
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
x
y
 
 
Determine: 
 
a) Domínio: D(f)= b) Imagem: Im(f)= 
c) )(lim xf
x −∞→
= d) )(lim xf
x ∞→
= 
e) )(lim
2
xf
x −→
= f) )(lim
0
xf
x→
= 
g) )(lim
2
xf
x→
= h) )(lim
4
xf
x→= 
i) )4(−f = j) )2(−f = 
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Lista de exercícios de Cálculo I – Capítulo 2 6 
k) )0(f = l) )2(f = 
m) )4(f = n) )5(f = 
 
11) Para a função a seguir, pede-se: 
 
 
 
a) Domínio 
b) Imagem 
c) )(lim xf
ax→
 
d) )(lim xf
dx→
 
e) )(lim xf
ex→
 
 
f) f(c) 
g) Raízes de f(x) 
h) f (e) 
i) )(lim xf
x −∞→
 
j) )(lim xf
bx→
 
 
12) Considere a seguinte função: 
 







>+−
<<−−+
−=
−<+
=
243
2232
23
222
)( 2
xsex
xsexx
xse
xsex
xf . 
 
Pede-se: 
 
a) O gráfico de )(xf 
b) Preencha a tabela a seguir, indicando (V) para verdadeiro e (F) para falso. 
 
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Lista de exercícios de Cálculo I – Capítulo 2 7 
( ) }2{)( −ℜ=fD ( ) )(lim
0
xf
x→
 não existe 
( ) ]5,()Im( −∞=f ( ) )(lim
2
xf
x→
 não existe 
( ) 2)(lim
2
−=
−
−→
xf
x
 ( ) −∞=
−∞→
)(lim xf
x
 
( ) 3)(lim
2
−=
+
−→
xf
x
 ( ) 2)2( −=f 
( ) )(xf possui apenas uma raiz ( ) 3)2( =−f 
 
 
13) Para a função definida pelas equações a seguir, pede-se: 
 








>−
<<+−
=
<+−
=
3 62
30 482
0 5
0 6
2
3
)(
2
2
xx
xxx
x
xx
xf 
 
a) Gráfico de )(xf . 
b) Domínio. 
c) Imagem. 
d) )(lim
0
xf
x −→
 
e) )(lim
0
xf
x +→
 
f) )(lim
0
xf
x→
 
g) )0(f 
h) )(lim
3
xf
x −→
 
i) )(lim
3
xf
x +→
 
j) )(lim
3
xf
x→
 
k) )3(f 
l) )(lim xf
x −∞→
 
m) )(lim xf
x +∞→
 
 
RESPOSTAS 
01) 
 
1) 0 2) ∞ 3) ∞− 4) ∞ 5) ∞ 6) ∞ 
 7) 0 
8) 0 9) 0 10) 0 11) ∞ 12) ∞ 13) ∞ 
 14) ∞ 
15) ∞ 16) ∞− 17) ∃/ 18) ∞− 19) ∞ 20) ∃/ 
 21) ∞ 
22) ∞− 23) ∞− 24) ∞ 25) ∞− 26) ∞ 27) 0 
 28) ∞ 
29) ∞ 30) 1 31) ∞ 32) 0 33) ∞ 34) 0 
 35) ∞ 
36) 1 37) ∞ 
 
 
 
 
02) 
1) 0 2) ∞− 3) 8 4) 
2
3
− 5) 
5
3
 
6) ∞ 7) ∞− 8) 2 9) 6 10) 1 
11) 5 12) 0 13) 1 14) 
4
1
 15) 
3
32
 
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Lista de exercícios de Cálculo I – Capítulo 2 8 
16) 
2
1
 17) 
4
1
 18) ( )
39
132 3
 19) b2− 20) 
15
35
 
21) 
m
a
 22) ∞ 23) ∞ 24) 0 25) pi 26) 
5
253
 
27) 3− 
 
 
 
 
03) 
a) Não contínua b) Contínua c) Não contínua 
d) Não contínua e) Não contínua f) Contínua 
g) Não contínua 
 
 
04) 
 
 
Raízes = }7,2,5{ −− f (0) = ∃/ real )(lim
5
xf
x −−→
= 0 )(lim
0
xf
x −→
= 6 
Domínio 
= { }5,0 e ]7,7] ≠− x f (5) = ∃/ real )(lim5 xfx +−→ = 0 )(lim0 xfx +→ = ∞ 
Imagem = 6 e ),0[ ≠∞ y f (7) = 0 )(lim
5
xf
x −→
 = 0 )(lim
0
xf
x→
= ∃/ real 
f (-7) = ∃/ real )(lim
7
xf
x −−→
= 
∃/ real 
)(lim
2
xf
x −−→
= 6 )(lim
5
xf
x −→
= 6 
f (-5) = 0 )(lim
7
xf
x +−→
= 6 )(lim
2
xf
x +−→
 = 0 )(lim
5
xf
x +→
= 6 
f (-2) = 0 )(lim
7
xf
x −→
 
=
 
∃/ real 
)(lim
2
xf
x −→
 = ∃/ real )(lim
5
xf
x→
= 6 
 
 
 
05) 
a) 72 b) 
56
1
− c) 648 d) 
2
3
 e) 75 f) 
4
1
 
g) 0 h) 1 i) 32 
 
 
 
 
06) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ℜ=)( fD 
{ }4|)Im( −>ℜ∈= yyf 
∃/=
→
)(lim
0
xf
x
real 
0)(lim
1
=
→
xf
x
 
∃/=
→
)(lim
2
xf
x
real 
3)0( −=f 
0)1( =f 
3)2( =f 
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Lista de exercícios de Cálculo I – Capítulo 2 9 
07) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
08) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
09) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ℜ=)( fD 
{ }4|)Im( ≤ℜ∈= yyf 
∃/=
→
)(lim
0
xf
x
real 
2)(lim
1
=
→
xf
x
 
∃/=
→
)(lim
2
xf
x
real 
0)0( =f 
2)1( =f 
4)2( =f 
ℜ=)( fD 
ℜ=)Im( f 
∃/=
→
)(lim
0
xf
x
real 
4)(lim
2
−=
→
xf
x
 
∃/=
→
)(lim
3
xf
x
real 
4)0( =f 
4)2( −=f 
2)3( −=f 
ℜ=)( fD 
{ }9|)Im( ≤ℜ∈= yyf 
Raízes: { }7,1 
∃/=
−→
)(lim
2
xf
x
real 
5)(lim
2
=
→
xf
x
 
−∞=
∞→
)(lim xf
x
 
−∞=
−∞→
)(lim xf
x
 
3)2( −=−f 
5)2( =f 
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Lista de exercícios de Cálculo I – Capítulo 2 10 
10) 
 
a) Domínio: { }0,4)( −−ℜ=fD b) Imagem: ℜ=)( fD 
c) 0)(lim =
−∞→
xf
x
 d) 0)(lim =
∞→
xf
x
 
e) 1)(lim
2
−=
−→
xf
x
 f) ∃/=
→
)(lim
0
xf
x
 real 
g) ∃/=
→
)(lim
2
xf
x
real h) ∃/=
→
)(lim
4
xf
x
real 
i) ∃/=− )4(f real j) 2)2( =−f 
k) ∃/=)0(f real l) 1)2( −=f 
m) 0)4( =f n) 1)5( −=f 
 
 
11) 
 
a) { }dbaD ,,−ℜ=
 
 b) *Im ℜ= c) ∞+ d) 0 e) ∞+ 
f) f g) ∃/ h) g i) f j) ∃/
 
 
12) 
 
a) 
 
b) V F 
 F V 
 V V 
 V F 
 V V 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações 
Lista de exercícios de Cálculo I – Capítulo 2 11 
13)