Exercícios Resolvidos

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1- [Magalhães] Página 110 – Seção 2.5 – Ex. 23 Determine c, para a expressão abaixo ser função de probabilidade de uma variável discreta X.
Sendo A = { x ∈ ℕ; x = 2k + 1, k ∈ ℕ} e B = {x ∈ ℕ, x = 3k + 1, k ∈ ℕ}, obtenha as probabilidades P(X ∈ A) e P(X ∈ B ).
1º) Achar a constante
Sabemos que e que a série geométrica se comporta então:
2º) Calcular P(X ∈ A) e P(X ∈ B ).
P(X ∈ A)= 
P(X ∈ B)= 
2- Foi lançado um dado equilibrado e observamos o número da face que ocorreu, Seja X esse número, então X= 1,2,3,4,5,6. P(X=k)=1 /6, k=1,...,6. Calcule a Função de Distribuição de Probabilidade (FDP) de X 
: ℝ→ [0,1] (x) = P(X ≤ x) ⍱ x ∈ ℝ 
Caso x < 0 : 	 (x) = P(X ≤ x) = 0
Caso 0 ≤ x < 1: (x) = P(X ≤ x)= P(X ≤ 0) = (1-p)
Caso x ≥ 1:	 (x) = P(X ≤ x) = P(X ≤ 0) = (1-p)+p = 1
(x) = 	 
3- A taxa de imunização de uma vacina é de 80%, se um grupo de 20 pessoas foi vacinadas, desejamos saber o comportamento probabilistico do número de pessoas imunizadas desse grupo.
Sucesso = Pessoas Imunizadas
X~Binomial(20, 0.8)
Probabilidade de k pessoas serem imunizadas: P(X = x)= 
4- Considere uma urna com N bolas, nas quais M são brancas e N-M são pretas. Retiram-se sucessivamente ‘n’ bolas brancas da urna, recolocando-as após cada retirada da bola selecionada (extração com reposição). Seja X = Nº de bolas brancas observadas. Então X~Bin(M, p=(M/N). Verifique que P=(M/N) é a probabilidade de retirar bola branca em cada extração.
Sucesso: Retirar bola branca = 
5 - Uma linha de fabricação de uma equipamento de precisão é interrompida na 1ª ocorrência de um defeito. A partir da manutenção, o equipamento tem probablidade p=0.01 de apresentar defeito em um dia qualquer. Deseja-se planejar o cronograma de manutenção preventiva, para tal, decidiu-se avaliar probabilisticamente a espera até a produção ser interrompida. Denote X pelo o nº de dias que antecedem a interrupção e suponha que o desempenho do equipamento nos dias sucessivos sejam independentes então X~Geo(p). Qual seria o intervalo ideal para uma manutenção preventiva, se desejamos uma probabilidade de pelo menos 0,9 de que o defeito não ocorra?
X=Nº de dias antes de apresentar defeito
K= Nº de dias da interrupção
P(X = k) = P(passar k dias até a interrupção)
P(X ≤ k) =P(ocorrer interrupção nos primeiros k dias)
P(X > k) = P(ñ ocorrer interrupção até o dia k)
P(X > k) = P(X≥k+1) = 
 ⇔ ⇔ (k+1)= ⇔ k=9,48
Para uma probabilidade de 0,9 de não ocorrer o defeito, temos que, a manutenção deve ser feita a cada 9 dias.
6 - Verifique que f(k) = é uma função de probabilidade (Poisson (λ))
 = lembrando que , então 
7 - Verifique que, k = 0,1,...,∞ é função de probabilidade (Geométrica)
- [Magalhães] Seção 2.5 – Pág 111 – 27 Seja X uma v.a. contínua com função de distribuição. 
a)Verifique que F(x) Satisfaz as propriedades de função de distribuição
Continuidade
b) Obtenha f(x)
 
9- Uma máquina produz 2000 parafusos, dos quais 20 são defeituosos e estão misturados entre os 2000. Calcule a probabilidade de que não tenha parafusos defeituosos em uma caixa com 200 parafusos.
 
Aproximando a Binomial (200, 0.01) para uma Poisson (λ) temos:
 
 sendo K= nºde defeitos detectados
10 - O nº de erros de digitação em uma única página de um livro pe uma v.a. com distribuição Poisson(). Calcule a probabilidade de existir pelo menos um erro nessa página.
11 - Suponha que a probabilidade de que um item produza por uma máquina seja defeituosa é 0,1. Calcule a proabilidade de que uma amostra com 10 itens contenha no máximo 1 defeituoso.
P=0,1 n=10 P(X≤1) aproximando 
P(X≤1) = P(X=1)+P(X=0) = +
Pela Binomial 
P(X≤1) = P(X=1)+P(X=0) = +=0,3974 + 0,3489 = 0,7460
12 - O número de mensagens eletrônicas, em centenas, recebidas por um provedor em hora comercial foi modelado por uma v.a. com distribuição poisson com taxa de 15 centenas por dia. As instalações disponíveis podem atender, com padrão de qualidade desejado até 200 mensagens diária você diria que tem havido muitas reclamações pelo serviço de provedor?
X~Po(15)
P(X≥2)= P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)= =128,5
13- Verifique se f(x) é uma densidade de probabilidade alguma v.a. x, caso afirmativo, calcule P(1/2 < X ≤ 2). 
P(1/2 < X ≤ 2) – Construindo a função de distribuição temos:
Caso x≤0: 
Caso x>0:
P(1/2 < X ≤ 2)= P(X≤ 2) – P(X≤ ½)= = 
14- Seja uma v.a. contínua com densidade dado por f(x). Esboçe seu gráfico e calcule P(0<x≤0.8) e P(0.3<x≤1.5). 
P(0 < x ≤ 0.8)=
P(0.3 < x ≤ 1.5)=
15-Seja X uma v.a. contínua cuja densidade é f(x) onde c ∈ ℝ é uma constante. Calcule P(X>1)
 =
16 - [Magalhães] Pág 198 – 5 – Determine E(x), sendo a função de distribuição da variável X, dada por:
17 – Determine E(x), sendo a função de distribuição da variável X dada por:
 
 
 
18 – Calcule o valor esperado de X com função de distribuição 
 
19 – [Magalhães] Seção 3.4 – 35 
Caso X ≤ 2 , então Y=2
Caso X > 2, então Y > 2
Y = X
P(Y ≤ y) = P(X ≤ y) = 1 - 
20 – [Magalhães] Seção 4.4 – 1
Calcule E(x) sem obter a densidade de x
Calcule E(x) a partir da densidade de x 
21- Seja X~U((0,1)), calcule a densidade de v.a. 
X~U((0,1)) – 0<x<1
Caso y ≤ 0 F(y) = P(Y ≤ y) = 0
Caso y > 0 F(y) = P(Y ≤ y) = P( sabendo que , então P( = P = P(1- x ≥ = P(x ≤1 = 
21- Seja Y~N(µ, ) e defina X = > 0 . Calcule a densidade de X.
 
Caso x ≤ 0: F(x) = P(X ≤ x) = 0
Caso x > 0: F(x) = P(X ≤ x)= P( = P(ln = 
22- Seja X~U(0,1) e Y=min{x, 1/2}. Classifique a v.a. Y com a F.D.P.
Caso Y < 0: F(y) = P(Y ≤ y)= 0
Caso 0 ≤ y < ½: F(y) = P(Y ≤ y) = P(0 ≤ x ≤ y) = y
Caso y ≥ ½: F(y) = P(Y ≤ y) = 1
23 – X~N(0,1), Calcule a densidade de Y=
Caso y ≤ 0: F(y) = P(Y ≤ y)= 0
Caso y > 0 = F(y)=P(Y ≤ y) = P( = P() = P(X ≤ ) – P(X ≤- ) = F()- F(-) = 
= = =
= 
Y tem distribuição Qui-quadrado com 1 grau de liberdade
24 – Seja X uma v.a. discreta assumindo todos os valores de Z. P(X=n) define uma função de probabilidade?
25 - Calcule a Esperança do item anterior.
= 
=
	 = -
=