Determinantes e Formas Alternadas

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Determinantes
Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡
rodrigo.uff.math@gmail.com
‡
1
Suma´rio
1 Determinantes 3
1.1 Formas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Determinante de um operador linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Desenvolvimento de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1 Determinante de matriz triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Determinante por meio de permutac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.1 Congrueˆncia e determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Extensa˜o de determinante para ordem 0× 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6 Ca´lculo de alguns determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2
Cap´ıtulo 1
Determinantes
1.1 Formas
m Definic¸a˜o 1 (r-forma). Seja V um espac¸o vetorial sobre K, uma r-forma e´ uma
func¸a˜o f : V r → K linear em cada coordenada. V r e´ o produto cartesiano de r elementos
V . Uma r-forma, tambe´m e´ chamada de uma forma r-linear
Se f e´ uma r-forma, enta˜o
f(v1, · · · , vt−1, cvt + v′t︸ ︷︷ ︸, vt+1, · · · , vr) =
= cf(v1, · · · , vt−1, vt︸︷︷︸, vt+1, · · · , vr) + f(v1, · · · , vt−1, v′t︸︷︷︸, vt+1, · · · , vr)
onde esta´ marcada a t-e´sima coordenada da func¸a˜o.
$ Corola´rio 1. Se f e´ r-forma, e um dos (vk)r1 e´ nulo, enta˜o f(vk)r1 = 0. Supondo
vs = 0 = 0.0v enta˜o por linearidade temos
f(vk]
s−1
1 , 0.0v, vk]
r
s+1) = 0f(vk)
r
1 = 0.
m Definic¸a˜o 2 (r-forma alternada). Uma r-forma e´ dita alternada se f(vk)r1 = 0 onde
duas coordenadas se repetem.
m Definic¸a˜o 3 (r-forma antissime´trica). Uma r forma f e´ dita antisimme´trica se
f(v1, · · · , vi, · · · , vj, · · · , vr) = −f(v1, · · · , vj, · · · , vi, · · · , vr)
3
CAPI´TULO 1. DETERMINANTES 4
onde trocamos apenas vi e vj de posic¸a˜o.
Z Exemplo 1. se r = 1, f : V → K, uma 1-forma e´ simplesmente um funcional
f ∈ V ∗.
Z Exemplo 2. Sejam f, g ∈ V ∗, h = f.g : V × V → K com h(v1, v2) = f(v1)g(v2) e´
uma 2 forma, pois
ˆ
h(v1 + cv2, v3) = f(v1 + cv2)g(v3) = f(v1)g(v3) + cf(v2)g(v3) = h(v1, v3) + ch(v2, v3)
o mesmo para a segunda coordenada.
Z Exemplo 3 (Produto escalar). O produto escalar de R2×R2 → R e´ uma 2 -forma,
que na˜o e´ alternada.
Z Exemplo 4. D : K2 × K2 → K com D((a, b), (c, d)) = ad − bc e´ uma 2 forma
alternada.
m Definic¸a˜o 4. Denotamos por Ar(V ) = {f | f : V r → K e´ r-forma alternada}
b Propriedade 1. Ar(V ) e´ um K-espac¸o vetorial.
ê Demonstrac¸a˜o. Tal conjunto de func¸o˜es pertence as func¸o˜es de V r → K, que
forma um espac¸o vetorial, temos que verificar apenas que tal conjunto e´ subespac¸o. A
func¸a˜o nula e´ uma r-forma alternada.
Sendo f, g r formas alternadas e c em K enta˜o cf + g = h e´ r-forma alternada, pois
cf(xk)
r
1 + g(xk)
r
1 = 0
se temos duas coordenadas iguais. Ale´m disso sa˜o lineares em cada coordenada.
cf(x1, · · · , c′vt + v′t, · · · , vr) + g(x1, · · · , c′vt + v′t, · · · , vr) =
= c[c′f(x1, · · · , vt, · · · , vr)+f(x1, · · · , v′t, · · · , vr)]+[c′g(x1, · · · , vt, · · · , vr)+g(x1, · · · , v′t, · · · , vr)]
b Propriedade 2. Se V espac¸o vetorial de dimensa˜o n, enta˜o o espac¸o vetorial das
r-formas f : V r → K possui dimensa˜o nr.
CAPI´TULO 1. DETERMINANTES 5
ê Demonstrac¸a˜o.
b Propriedade 3. Toda r-forma alternada e´ anti-sime´trica .
ê Demonstrac¸a˜o. Definimos ϕ(u, v) = f(v1, · · · , u, · · · , v · · · , vr) queremos que
ϕ(u, v) = −ϕ(v, u), temos que
ϕ(u+ v, u+ v) = 0 = ϕ(u, v) + ϕ(v, u) + ϕ(v, v)︸ ︷︷ ︸
0
+ϕ(u, u)︸ ︷︷ ︸
0
⇒ ϕ(u, v) = −ϕ(v, u)
que demonstra o que queremos
ϕ(u, v) = f(v1, · · · , u, · · · , v · · · , vr) = −ϕ(v, u) = f(v1, · · · , v, · · · , u · · · , vr)
enta˜o a forma e´ anti-sime´trica. A propriedade de linearidade em cada coordenada da
r-forma nos possibilita escrever
ϕ(u+ v, u+ v) = ϕ(u, v) + ϕ(v, u) + ϕ(v, v)︸ ︷︷ ︸
0
+ϕ(u, u)︸ ︷︷ ︸
0
⇒ ϕ(u, v).
b Propriedade 4. Se car(K) 6= 2, enta˜o toda forma anti-sime´trica e´ alternada.
ê Demonstrac¸a˜o. Temos que
f(v1, · · · , vi, · · · , vj, · · · , vr) = −f(v1, · · · , vj, · · · , vi, · · · , vr)
tomando vi = vj = v tem-se
f(v1, · · · , v, · · · , v, · · · , vr) = −f(v1, · · · , v, · · · , v, · · · , vr)⇒
2f(v1, · · · , v, · · · , v, · · · , vr) = 0
e da´ı f(v1, · · · , v, · · · , v, · · · , vr) = 0 e a forma e´ alternada.
$ Corola´rio 2. f : V r → K e´ alternada ⇔ e´ anti-sime´trica com K = C ou R, ou em
especial um corpo de caracter´ıstica zero ou diferente de 2.
b Propriedade 5. Dados os funcionais lineares (fk)r1, fk : V → R a func¸a˜o f : V r → K
com
f(vk)
r
1 =
n∏
k=1
fk(vk)
e´ uma r-forma.
CAPI´TULO 1. DETERMINANTES 6
ê Demonstrac¸a˜o.
m Definic¸a˜o 5 (Produto tensorial de funcionais lineares). A func¸a˜o f : V r → K
definida na propriedade anterior e´ chamada de produto tensorial de funcionais lineares.
b Propriedade 6. Se f e´ alternada enta˜o temos
f(v1, · · · , vi +
r∑
j=1,j 6=i
ajvj, · · · , vj, · · · , vr) = f(v1, · · · , vi, · · · , vj, · · · , vr).
ê Demonstrac¸a˜o. Aplicamos a linearidade na i-e´sima coordenada, expandindo e
vendo que aparecem duas coordenadas repetidas logo se anulam restando apenas f(v1, · · · , vi, · · · , vj, · · · , vr).
b Propriedade 7. Dado σ ∈ Sn, f ∈ Ar(V ), vale que
f(vσ(k))
r
1 = εσf(vk)
r
1
ê Demonstrac¸a˜o.
b Propriedade 8. Sejam f ∈ Ar(V ) e (vk)r1 LD enta˜o
f(vk)
r
1 = 0.
(Tambe´m vale a volta.)
ê Demonstrac¸a˜o. Se (vk)r1 e´ LD enta˜o temos um dos vetores sendo combinac¸a˜o
linear dos outros
vt =
r∑
k=1
ckvk
da´ı temos
f(vk)
r
1 = f(v1, · · · , 0 +
r∑
k=1
ckvk, vt+1, · · · vr) = f(v1, · · · , 0, · · · vr) = 0
por linearidade.
$ Corola´rio 3. Se existe uma r-forma f : V r → K tal que f(vk)r1 6= 0 enta˜o (vk)r1 e´ LI,
por contrapositiva do resultado anterior.
CAPI´TULO 1. DETERMINANTES 7
$ Corola´rio 4. Se dimV = n, f ∈ An(V ) se f(v1, · · · , vn) 6= 0 enta˜o (vk)n1 e´ uma base
de V , pois e´ LI.
$ Corola´rio 5. Se r > dimV enta˜o Ar(v) = {0}, pois (vk)r1 sa˜o LD logo f(vk)r1 =
0 ∀ f ∈ Ar e todos (vk)r1 em V .
b Propriedade 9. Seja U = (uk)n1 base de V . Dado a ∈ K arbitra´rio, existe uma u´nica
n-forma f : V r → K tal que f(uk)n1 = a.
ê Demonstrac¸a˜o.
b Propriedade 10. se dimV = n enta˜o dimAn(V ) = 1.
ê Demonstrac¸a˜o. Dada uma base U = (uk)n1 de V existe f ∈ An(V ) tal que
f(uk)
n
1 = 1, enta˜o dada g ∈ An(V ) existe a ∈ K tal que
g(uk)
n
1 = a = af(uk)
n
1
logo {f} e´ uma base de An(V ).
b Propriedade 11. Se (uk)n1 e´ base de V e 0 6= f em An(V ) enta˜o f(uk)n1 6= 0.
ê Demonstrac¸a˜o. Existe g ∈ An(V ) tal que g(uk)n1 = 1, f = ag com a 6= 0 pois se
na˜o, f seria nula, logo f(uk)
n
1 = a 6= 0.
1.2 Determinante de um operador linear
m Definic¸a˜o 6 (Determinante de um operador linear). Sendo A : V → V operador
linear, definimos det(A) como o escalar tal que
f(A(vk)
n
1 ) = det(A)f(vk)
n
1
para toda f : V n → K, n-forma e qualquer (vk)n1 em V . Em especial dada uma base de
V , de dimensa˜o n, existe f tal que f(vk)
n
1 = 1 e enta˜o
f(A(vk)
n
1 ) = det(A).
CAPI´TULO 1. DETERMINANTES 8
b Propriedade 12. SeA,B : V → V operadores lineares enta˜o det(BA) = det(B)det(A).
ê Demonstrac¸a˜o. Seja (vk)n1 em V base e f 6= 0 em An(V ) enta˜o f(vk) 6= 0 logo
det(BA)f(vk)
n
1 = f(BA(vk)
n
1 ) = det(B)f(A(vk)
n
1 ) = det(B)det(A)f(vk)
n
1
logo det(BA) = det(B)det(A).
$ Corola´rio 6. SeA,B : V → V eA = B2 enta˜o det(A) ≥ 0, pois det(A) = det(B)2 ≥ 0.
b Propriedade 13. Det(I) = 1.
ê Demonstrac¸a˜o.
f(I(vk)
n
1 ) = f(vk)
n
1 = Det(I)f(vk)
n
1 ⇒ Det(I) = 1.
b Propriedade 14. A : V → V e´ invert´ıvel⇔ det(A) 6= 0. Nessas condic¸o˜es det(A−1) =
det(A)−1.
ê Demonstrac¸a˜o. ⇒) AA−1 = I, tomandoo determinante temos
Det(A)Det(A−1) = 1
logo det(A−1) = det(A)−1.
⇐).
Se Det(A) 6= 0 tomando base (vk)n1 em V e uma forma na˜o nula f : V n → K temos
f(A(vk)
n
1 ) = det(A)f(vk)
n
1 6= 0
logo A(vk)
n
1 sa˜o LI e formam base de V , logo A e´ invert´ıvel.
$ Corola´rio 7. O sistema de equac¸o˜es lineares Ax = b com A ∈ L(Rn) possui uma
u´nica soluc¸a˜o ⇔ det(A) 6= 0, pois isso equivale a dizer que A e´ invert´ıvel.
m Definic¸a˜o 7 (Determinante de uma matriz). Dada uma matriz A, n×n, denotamos
a = [vk]
n
1 para simbolizar que (vk)
n
1 sa˜o os vetores coluna de a. Seja A : R
n × Rn
operador linear cuja matriz na base canoˆnica de Rn e´ a, isto e´, A(ek) = vk, definimos
det(a) = Det(A).
CAPI´TULO 1. DETERMINANTES 9
b Propriedade 15. det(AT ) = A.
ê Demonstrac¸a˜o.
b Propriedade 16. Uma matriz anti-sime´trica de ordem n ı´mpar tem determinante
nulo em car(K) 6= 2.
ê Demonstrac¸a˜o. Vale que A = −AT , aplicando o determinante temos
Det(A) = (−1)nDet(AT ) = (−1)nDet(A) = −Det(A)
logo
2Det(A) = 0⇒ Det(A) = 0.
Z Exemplo 5. Se n e´ par a identidade acima na˜o vale necessariamente, como e´ o caso
de  0 1
−1 0

que e´ anti-sime´trica e possui determinante 1.
b Propriedade 17. O determinante e´ nulo⇔ os vetores coluna (linha ) sa˜o linearmente
dependentes .
ê Demonstrac¸a˜o.
m Definic¸a˜o 8 (Determinante). (tem que definir o que e´ permutac¸a˜o e inversa˜o) O
determinante de uma matriz quadrada [aij]n×n
det[aij] =
∑
p
(−1)j
n∏
k=1
ak j k
Onde J = J(jk)
n
1 e´ o nu´mero de inverso˜es da permutac¸a˜o (jk)
n
1 e p indica que a soma e´
estendida a todas n! permutac¸o˜es de (k)n1
CAPI´TULO 1. DETERMINANTES 10
1.3 Desenvolvimento de Laplace
detAn×n =
n∑
j=1
aij∆ij
onde
∆ij = (−1)i+jdetAij
e Aij e´ uma matriz tomada da matriz A onde linha i e coluna j sa˜o retiradas, esse
desenvolvimento e´ pela linha i, podemos fazer o desenvolvimento por coluna, nesse caso
temos
detAn×n =
n∑
i=1
aij∆ij.
∆ij e´ chamado cofator do elemento aij.
1.3.1 Determinante de matriz triangular
b Propriedade 18. O determinante de uma matriz triangular e´ o produto dos seus
elementos da diagonal .
ê Demonstrac¸a˜o.
Provamos primeiro a relac¸a˜o
det

a1,1 a1,2 a1,3 · · · a1,n
0 a2,2 a2,3 · · · a2,n
0 0 a3,3 · · · a3,n
...
...
... · · · ...
0 0 0 · · · an,n

= a1,1det

a2,2 a2,3 · · · a2,n
0 a3,3 · · · a3,n
...
... · · · a3,n
0 0 · · · an,n

sabemos pelo desenvolvimento que
det

a1,1 a1,2 a1,3 · · · a1,n
0 a2,2 a2,3 · · · a2,n
0 0 a3,3 · · · a3,n
...
...
... · · · ...
0 0 0 · · · an,n

=
CAPI´TULO 1. DETERMINANTES 11
= a1,1det

a2,2 a2,3 · · · a2,n
0 a3,3 · · · a3,n
...
... · · · a3,n
0 0 · · · an,n
−a1,2det

0 a2,3 · · · a2,n
0 a3,3 · · · a3,n
...
... · · · a3,n
0 0 · · · an,n
+a1,3det

0 a2,2 · · · a2,n
0 0 · · · a3,n
...
... · · · a3,n
0 0 · · · an,n

· · ·+ a1,n(−1)ndet

0 a2,2 · · · a2,n−1
0 0 · · · a3,n−1
...
... · · · a3,n−1
0 0 · · · an,n−1

o u´nico termo que fica e´ de a1,1 pois os outros determinantes possuem vetores coluna
LD pela presenc¸a de uma coluna de zeros.
Aplicamos esse resultado sucessivamente chegando a conclusa˜o de que o determinante
e´ o produto dos termos da diagonal.
1.4 Determinante por meio de permutac¸o˜es
m Definic¸a˜o 9 (Determinante). Seja A = (ak,j) ∈Mn×n(K), K um corpo. O determi-
nante de A e´ definido por
det(A) =
∑
σ∈Sn
sgn(σ)a1,σ(1) × · · · × an,σ(n)
em notac¸a˜o compacta
det(A) =
∑
σ∈Sn
sgn(σ)
n∏
k=1
ak,σ(k)
onde Sn e´ o conjunto das permutac¸o˜es σ dos elementos de {1, · · · , n} =: In, lembrando
que permutac¸o˜es sa˜o bijec¸o˜es. sgn(σ) e´ o sinal da permutac¸a˜o que assume valor 1 ou −1.
b Propriedade 19. Se uma matriz n×n possui elementos ı´mpares na diagonal principal
e pares nas outras entradas enta˜o ela possui determinante na˜o nulo, isto e´, e´ invert´ıvel .
ê Demonstrac¸a˜o.
det(A) =
∑
σ∈Sn
sgn(σ)a1,σ(1) × · · · × an,σ(n)
CAPI´TULO 1. DETERMINANTES 12
temos que se σ(k) 6= k enta˜o ak,σ(k) e´ par portanto o produto a1,σ(1) × · · · × an,σ(n)
e´ par, por possuir um fator par. Enta˜o para que o termo a1,σ(1) × · · · × an,σ(n) seja
ı´mpar e necessa´rio e suficiente que todos seus fatores sejam ı´mpares, isto e´, σ(k) = k , a
permutac¸a˜o e´ a identidade, portanto
det(A) = a1,1 × · · · × an,n︸ ︷︷ ︸
ı´mpar
+
∑
σ∈Sn\{I}
sgn(σ)a1,σ(1) × · · · × an,σ(n)︸ ︷︷ ︸
par
6= 0
pois e´ um nu´mero ı´mpar.
b Propriedade 20. Uma matriz tA de ordem n possui determinante
det(tA) = tndet(A).
ê Demonstrac¸a˜o.[1]
Sendo A = (ak,j) com
det(A) =
∑
σ∈Sn
sgn(σ)
n∏
k=1
ak,σ(k),
enta˜o
det(tA) =
∑
σ∈Sn
sgn(σ)
n∏
k=1
tak,σ(k) = t
n
∑
σ∈Sn
sgn(σ)
n∏
k=1
ak,σ(k)︸ ︷︷ ︸
det(A)
= tndet(A).
ê Demonstrac¸a˜o.[2] De det(A.B) = det(A).det(B) enta˜o tomando B = kIn temos
det(kA) = det(KIn)det(A) = k
ndet(A).
1.4.1 Congrueˆncia e determinantes
b Propriedade 21. Para calcular a congrueˆncia mod s de um determinante de A ma-
triz n×n de entradas inteiras, basta calcular o determinante do resultado da congrueˆncia
nos elementos da matriz.
ê Demonstrac¸a˜o. O resultado vale pois, se
ak,σ(k) ≡ r(k,σ) mod s⇒
n∏
k=1
ak,σ(k) ≡
n∏
k=1
r(k,σ) mod s
CAPI´TULO 1. DETERMINANTES 13
por propriedade de congrueˆncia, onde por exemplo r(k,σ) e´ o resto da divisa˜o de ak,σ(n)
por s, ainda por propriedade de congrueˆncia temos
sgn(σ)
n∏
k=1
ak,σ(k) ≡ sgn(σ)
n∏
k=1
r(k,σ) mod s⇒
∑
σ
sgn(σ)
n∏
k=1
ak,σ(k) ≡
∑
σ
sgn(σ)
n∏
k=1
r(k,σ) mod s.
Z Exemplo 6 (ITA 1971- Questa˜o 1). Qual o resto de divisa˜o do determinante de
A =

4 1 3 −6
3− 4 6− 1 −3− 5 9 + 6
5 1 2 3
1 1 2 5

por 3? .
Tomamos o determinante da matriz, cujos elementos sa˜o o resto da divisa˜o dos ele-
mentos da matriz anterior por 3 , que resulta em

1 1 0 0
2 2 1 0
2 1 2 0
1 1 2 2

calculando o determinante por desenvolvimento por linhas
1

2 1 0
1 2 0
1 2 2
− 1

2 1 0
2 2 0
1 2 2

Calculando o determinante da primeira matriz 3× 3 temos
2
 2 0
2 2
−
 1 0
1 2
 = 8− 2 = 6
o segundo determinante 3× 3 resulta em
CAPI´TULO 1. DETERMINANTES 14
−2
 2 0
2 2
+
 2 0
1 2
 = −2.4 + 4 = −4
somando o resultado de ambas, resulta em
2
que e´ o resto da divisa˜o por 3.
CAPI´TULO 1. DETERMINANTES 15
1.5 Extensa˜o de determinante para ordem 0× 0 .
Se n = 0 na expressa˜o
det(A) =
∑
σ∈Sn
sgn(σ)
n∏
k=1
ak,σ(k)
temos
0∏
k=1
ak,σ(k) = 1 por produto vazio, logo
det(A) =
∑
σ∈S0
sgn(σ).
Pore´m Sn e´ o conjunto das bijec¸o˜es de In = {1 ≤ k ≤ n k ∈ N} em In , Sn possuindo
sempre n! elementos . Caso n = 0, I0 = {1 ≤ k ≤ 0 k ∈ N} = ∅ que e´ um conjunto vazio,
existindo apenas uma func¸a˜o do vazio no vazio que e´ a func¸a˜o vazia. O que e´ coerente
com a expressa˜o n! com n = 0, dando 0! = 1 ,contando uma func¸a˜o .
Agora precisamos determinar sgn(σ) para σ a func¸a˜o vazia . Usamos a seguinte
expressa˜o
∏
i<j,i,j∈In
(xσ(j) − xσ(i)) = sgn(σ)
∏
i<j,i,j∈In
(xj − xi)
pore´m I0 e´ vazio e temos acima com n = 0 dois produtos vazios∏
i<j, i,j∈I0
(xσ(j) − xσ(i))︸ ︷︷ ︸
1
= sgn(σ)
∏
i<j, i,j∈I0
(xj − xi)︸ ︷︷ ︸
1
portanto sgn(σ) = 1 para a func¸a˜o vazia. E o determinante fica
det(A) =
∑
σ∈S0
sgn(σ) = sgn(σ) = 1.
1.6 Ca´lculo de alguns determinantes
Z Exemplo 7. Calcule o determinante da matriz
M =

P (x1) · · · P (x1 + n+ 1)
... · · · ...
P (xn+2) · · · P (xn+2 + n+ 1) ,
CAPI´TULO 1. DETERMINANTES 16
onde P (x) e´ um polinoˆmio de grau no ma´ximo n e (x1, · · · , xn+2) e´ uma sequeˆncia ar-
bitra´ria de nu´meros complexos.
Sendo {P (x), · · · , P (x+ n+ 1)} um conjunto com n+ 2 elementos em um espac¸o de
dimensa˜o ma´xima n+1, temos que o conjunto e´ LD, enta˜o existem constantes c0, · · · , cn+1
tais que
cn+1P (x+ n+ 1) =
n∑
k=0
ckP (x+ k),
isto e´ P (x + n + 1) e´ combinac¸a˜o linear dos outros vetores, onde as constantes ck na˜o
dependem de x, por isso a u´ltima coluna da matriz e´ combinac¸a˜o linear das anteriores.
Usaremos um pouco de ca´lculo de diferenc¸as para descobrir o valor de cada ck. Seja
∆ o operador de diferenc¸as, que faz ∆P (x) = P (x + 1) − P (x), pode-se mostrar que a
aplicac¸a˜o desse operador n + 1 vezes anula todo polinoˆmio P (x) de grau ate´ n, temos
enta˜o
∆n+1P (x) = 0,
denotando EtP (x) = P (x + t), temos que (E − 1)P (x) = ∆P (x), por isso ∆ = E − 1
pode-se se mostrar tambe´m que podemos aplicar o binoˆmio de Newton
∆n+1P (x) = (E−1)n+1P (x) =
n+1∑
k=0
(
n+ 1
k
)
(−1)n+1−kEkP (x) = 0 =
n+1∑
k=0
(
n+ 1
k
)
(−1)n+1−kP (x+k),
portanto
P (x+ n+ 1) = −
n∑
k=0
(
n+ 1
k
)
(−1)n+1−kP (x+ k),
independente de x, por isso a n + 2-e´sima coluna da matriz M e´ combinac¸a˜o linear das
outras colunas e por isso o determinante da matriz e´ zero.