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Anotac¸o˜es sobre espac¸os vetoriais Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡ rodrigo.uff.math@gmail.com ‡ 1 Suma´rio 1 Espac¸os vetoriais 3 1.1 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 {ea1t, · · · , eant} e´ LI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Bases infinitas e lema de Zorn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.3 A´lgebra linear sobre um corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.4 Mo´dulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2 Capı´tulo 1 Espac¸os vetoriais 1.1 Bases m Definic¸a˜o 1 (Conjunto linearmente independente L.I). Um conjunto A ⊂ V e´ um conjunto linearmente independente quando nenhum vetor de v ∈ A e´ combinac¸a˜o linear de outros vetores de A. Os elementos de A sa˜o chamados de vetores linearmente independentes. Em termos simbo´licos um conjunto A e´ linearmente independente quando para qualquer v ∈ A na˜o podemos escrever v = ∑ x∈B cx.x onde B e´ um conjunto finito de elementos de A \ {v} , os valores cx sa˜o constantes quaisquer em K . O conjunto vazio e´ linearmente independente, pois se na˜o fosse existiria v ∈ ∅ tal que v = ∑ x∈B cx.x mas na˜o existe elemento v no vazio. 3 CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 4 $ Corola´rio 1. Um conjunto A = {u} ⊂ V que possui apenas um elemento u 6= 0v e´ LI. Suponha que na˜o fosse, enta˜o v = ∑ x∈B ck.x onde B ⊂ A \ {v} = ∅ logo B = ∅ e a soma sobre vazio e´ nula, daı´ chegarı´amos que v = 0v o que e´ absurdo por hipo´tese. Se A = {0v} enta˜o A na˜o e´ LI pelo mesmo argumento. b Propriedade 1. Um subconjunto de um conjunto LI e´ LI. ê Demonstrac¸a˜o. Seja A ⊂ V um conjunto LI e B ⊂ A, sabemos que na˜o existe u ∈ A e C ⊂ A \ {u} finito tal que u = ∑ x∈C cxx se B na˜o fosse LI, enta˜o existiria u ∈ B ⊂ A e C ⊂ B \ {u} ⊂ A \ {u} finito tal que u = ∑ x∈C cxx o que implicaria A na˜o ser LI, absurdo, enta˜o B tambe´m e´ LI. $ Corola´rio 2. Um conjunto que conteˆm 0v na˜o e´ LI pois {0v} na˜o e´ LI . b Propriedade 2. Seja A um conjunto LI em V . Se n∑ k=1 ckvk = 0 com (vk)n1 ∈ A enta˜o ct = 0 ∀ t ∈ In. ê Demonstrac¸a˜o. Se vale n∑ k=1 ckvk = 0 enta˜o −ctvt = t−1∑ k=1 ckvk + n∑ k=t+1 ckvk, se ct 6= 0 enta˜o vt = t−1∑ k=1 ck −ct vk + n∑ k=t+1 ck −vt vk e´ combinac¸a˜o linear de outros vetores de A, o que e´ absurdo, segue enta˜o que ct = 0, pela arbitrariedade de t segue que ct = 0 ∀ t ∈ In. CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 5 b Propriedade 3. Considerando vetores (vk)n1 arbitra´rios em A. Se n∑ k=1 ckvk = 0 implica que cada ck = 0 enta˜o A e´ LI. ê Demonstrac¸a˜o. Por contrapositiva, se A na˜o fosse LI haveria alguma combinac¸a˜o n∑ k=1 ckvk = 0 de elementos de A com algum ck 6= 0. b Propriedade 4 (Unicidade dos coeficientes). Se um vetor e´ escrito como combinac¸a˜o linear de vetores LI, enta˜o essa escrita e´ u´nica, isto e´, se v = n∑ k=1 ckvk = n∑ k=1 bk.vk e (vk)n1 sa˜o LI enta˜o ck = bk. ê Demonstrac¸a˜o. Se v = n∑ k=1 ckvk = n∑ k=1 bk.vk, enta˜o n∑ k=1 (ck− bk)vk = 0 como os vetores sa˜o LI segue que ck = bk. $ Corola´rio 3. Os vetores canoˆnicos do Rn sa˜o LI pois n∑ k=1 ckek = 0v enta˜o (ck) n 1 = (0)n1 implicando que ck = 0. 1.1.1 {ea1t, · · · , eant} e´ LI Z Exemplo 1. Seja {a1, · · · , an} conjunto com n elementos reais. Enta˜o o conjunto de func¸o˜es fk : R → R com fk(t) = eakt, de k = 1 ate´ k = n , que denotaremos por {ea1t, · · · , eant}, e´ LI. Suponha que n∑ k=1 cke akt = 0 ∀ t, enta˜o sendo D− as o operador que faz quando aplicado em f(t), (D− as)f(t) = Df(t) − asf(t), CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 6 onde D e´ a derivada em relac¸a˜o a` t, temos que (D− as)e akt = ake akt − ase akt = (ak − as)e akt, que se anula apenas com k = s. Aplicamos enta˜o o operador (D− a1) · · · (D− as−1).(D− as+1) · · · (D− an) em n∑ k=1 cke akt = 0, o u´nico termo na˜o anulado no lado esquerdo e´ cseast , que ao se aplicar (D− a1) · · · (D− as−1).(D− as+1) · · · (D− an) resulta em cs(as − a1) · · · (as − as−1).(as − as+1) · · · (as − an) = 0 comparando com o lado direito que e´ nulo, daı´ como cada fator acima da forma as − at e´ na˜o nulo, segue que cs = 0, mas como s foi tomado arbitrariamente, enta˜o segue que o conjunto {ea1t, · · · , eant} e´ LI. m Definic¸a˜o 2 (Conjuntos LD). Um conjunto A e´ dito linearmente dependente quando ele na˜o e´ LI, isto e´, algum dos seus elementos e´ combinac¸a˜o linear dos anteriores ou enta˜o A = {0v}. Em termos simbo´licos um conjunto A e´ linearmente dependente quando existe v ∈ A tal que v = ∑ x∈B cx.x onde B e´ um conjunto finito de elementos de A \ {v} , os valores cx sa˜o constantes em K . Z Exemplo 2. Um conjunto e´ LD quando existe pelo menos um que seja combinac¸a˜o linear dos outros elementos do conjunto, isso na˜o significa que todo elemento e´ combinac¸a˜o linear dos outros elemento, como por exemplo os vetores CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 7 (0, 1), (1,0) e (−1,0) formam um conjunto LD pois (−1,0) = −1(1,0) + 0(0, 1) pore´m (0, 1) na˜o e´ combinac¸a˜o linear de (1,0) e (−1,0). b Propriedade 5. Se A e´ LD e A ⊂ B enta˜o B e´ LD. Se aumentamos um conjunto LD o novo conjunto formado tambe´m e´ LD. ê Demonstrac¸a˜o. Como A e´ LD, enta˜o existe v ∈ A tal que v = ∑ x∈C cx.x onde C ⊂ A \ {v} e´ finito e cada cx ∈ K, o corpo de escalares, como C ⊂ A ⊂ B enta˜o a definic¸a˜o tambe´m se aplica para B, de onde segue que B e´ LD. b Propriedade 6. Se 0v ∈ A 6= {0v} enta˜o A e´ LD. ê Demonstrac¸a˜o. Tomamos v1 6= 0v ,v1 ∈ A, v1 e´ combinac¸a˜o linear de v1 , pois 0v = 0.v1 enta˜o A e´ LD. b Propriedade 7. Se A = {u} com u 6= 0v enta˜o A e´ LI. ê Demonstrac¸a˜o. Suponha αu = 0v como u 6= 0v enta˜o α = 0 logo A e´ LI. m Definic¸a˜o 3 (Base ). Uma base de um espac¸o vetorial V e´ um conjunto B ⊂ V tal que B gera V e V e´ LI. $ Corola´rio 4. O conjunto vazio e´ LI e S(∅) = {0v} enta˜o o vazio e´ uma base para o espac¸o nulo. CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 8 $ Corola´rio 5. O conjunto de vetores B = (ek)n1 , onde ek possui 1 na k-e´sima coordenada e 0 nas outras forma uma base de Rn chamada de base canoˆnica . Os vetores (ek)n1 sa˜o LI e geram Rn. b Propriedade 8. Seja X ⊂ V conjunto LI, enta˜o ∀ v ∈ V temos v /∈ S(X) ⇔ X ∪ {v} e´ LI. ê Demonstrac¸a˜o.⇐). Suponha por absurdo que X ∪ {u} e´ LI e v ∈ S(x) enta˜o v = n∑ k=1 ckvk onde (vk)n1 em X daı´ X∪ {u} na˜o e´ LI . Perceba que na˜o usamos que X seja LI, pore´m ele e´ LI pois e´ subconjunto de X ∪ {u}.⇒). Se v /∈ S(X), em especial v /∈ X, pois X ⊂ S(X). Seja n∑ k=1 ckvk = 0 com (vk)n1 em X ∪ {u}. Se algum dos vk for u e houver coeficientes na˜o nulos enta˜o v ∈ S(x) o que e´ absurdo, enta˜o todos os coeficientes sa˜o nulos. Se u na˜o esta´ entre os vk enta˜o todos os coeficientes tambe´m sa˜o nulos pois X e´ LI. Enta˜o X ∪ {u} e´ LI. b Propriedade 9. B e´ uma base de V ⇔ B e´ um conjunto LI maximal, isto e´, se B ′ e´ LI e B ⊂ B ′ enta˜o B = B ′ . ê Demonstrac¸a˜o.⇐). Suponha por absurdo que B na˜o seja uma base de V , portanto existe v /∈ S(B) e daı´ B ∪ {v} e´ LI, como B e´ LI maximal terı´amos B ∪ {v} = B, absurdo.⇒). Seja B uma base de V , suponha por absurdo que exista B ′ LI com B ⊂ B ′ propriamente, enta˜o existe v ∈ B ′ \ B, B ∪ {v} e´ LI pois e´ subconjunto de B ′ conjunto LI, portanto v /∈ S(B) o que e´ absurdo! pois uma base gera todo o espac¸o. CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 9 b Propriedade 10 (Lema da troca). Seja X ⊂ V com S(X) = V . Se {u1, · · · , un} e´ LI, logo existe x ∈ X tal que {x, u2 · · · , un} e´ LI. Nesta propriedade dizemos que um elemento de um conjunto LI pode ser tro- cado por um elemento de um gerador de V e o novo conjunto formado nessa operac¸a˜o contı´nua sendo LI. ê Demonstrac¸a˜o. Vamos provar que ∃x ∈ X tal que x /∈ S({u2, · · · , un}︸ ︷︷ ︸ A ) e daı´ {x, u2 · · · , un} e´ LI. Se x ∈ S(A) ∀ x ∈ X enta˜o X ⊂ S(A) e V = S(X) ⊂ S(A), logo V = S(A), u1 ∈ S(A) e {u1, u2, · · · , un} e´ LD, o que e´ absurdo. b Propriedade 11. Todo sistema homogeˆneo com nu´mero maior de inco´gnitas do que de equac¸o˜es possui soluc¸a˜o na˜o trivial. ê Demonstrac¸a˜o. Se todos coeficientes do sistema sa˜o nulos enta˜o temos soluc¸a˜o na˜o trivial , qualquer elemento do espac¸o satisfaz, vamos tomar enta˜o sistema com equac¸o˜es possuindo pelo menos algum coeficiente na˜o nulo . Considere o sistema n∑ k=1 a1,kxk = 0 ... n∑ k=1 am,kxk = 0 com m equac¸o˜es e n inco´gnitas onde n > m. Vamos provar por induc¸a˜o no nu´mero, m, de equac¸o˜es. Se m = 1 enta˜o n∑ k=1 a1,kxk = 0, com n > 1 inco´gnitas. Supondo sem perda de generalidade que a1,n 6= 0 (se na˜o trocamos os nomes dos ı´ndices), tem-se que n−1∑ k=1 a1,k a1,n xk = xn, CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 10 tomando valores arbitra´rios para (xk)n11 obtemos xn e temos soluc¸o˜es na˜o triviais (xk) n 1 . Supondo o resultado verdadeiro para m − 1 equac¸o˜es vamos provar para um sistema com m equac¸o˜es, am,n 6= 0, tem-se n−1∑ k=1 am,k am,n xk = xn substituindo xn em cada uma das outras m − 1 equac¸o˜es obtemos um sistema ho- mogeˆneo de m − 1 equac¸o˜es e n − 1 inco´gnitas (xk)n−11 , m − 1 > n1 pois m > n, por hipo´tese de induc¸a˜o esse sistema possui soluc¸a˜o na˜o trivial (αk)n−11 , pondo n−1∑ k=1 am,k am,n αk = αn obtemos uma soluc¸a˜o na˜o trivial (αk)n1 do sistema proposto. Detalhamos o me´todo de substituic¸a˜o para soluc¸a˜o de sistemas. b Propriedade 12. Se X = (vk)n1 gera V enta˜o qualquer conjunto com mais de n vetores em V e´ LD. ê Demonstrac¸a˜o.[1] Suponha por absurdo que temos m︸︷︷︸ >n vetores LI, sejam (xk) m 1 tais vetores, como S(X) = V podemos aplicar o lema da troca repetidas vezes formando o conjunto LI {v1, v2, v3, · · · , vn, xn+1, · · · , xm} pore´m tal conjunto na˜o pode ser LI pois xn+1 ∈ V e´ combinac¸a˜o linear de (vk)n1 pois X gera V . ê Demonstrac¸a˜o.[2] Sejam (wk)m1 em V com m > n. Temos para cada j que wj = n∑ k=1 ak,jvk pois (vk)n1 gera V . Vamos mostrar que existem vetores (xk)m1 , nem todos nulos tais que m∑ k=1 xkwk = 0. CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 11 Substituindo a expressa˜o de wj na u´ltima igualdade temos m∑ k=1 xk n∑ s=1 as,kvs = 0 = n∑ s=1 m∑ k=1 xkas,kvs ( m∑ k=1 xkas,k)v1 + · · ·+ ( m∑ k=1 xkas,k)vm = 0 se cada coeficiente de vk e´ nulo enta˜o a identidade acima se verifica, m∑ k=1 xkas,k = 0 ... m∑ k=1 xkas,k = 0 temos um sistema com m inco´gnitas e n equac¸o˜es, m > n, que possui soluc¸a˜o na˜o trivial (xk)m1 (nem todos nulos) logo m∑ k=1 xkwk = 0 com alguns coeficientes na˜o nulos enta˜o os vetores (wk)m1 sa˜o LD . b Propriedade 13. Se os vetores (vk)m1 geram V e (uk)n1 sa˜o LI enta˜o m ≥ n. ê Demonstrac¸a˜o. Se fosse m < n pelo resultado anterior (uk)n1 seriam LD, terı´amos um absurdo . b Propriedade 14. Se V possui base B = {uk, k ∈ In} enta˜o qualquer outra base possui n elementos. ê Demonstrac¸a˜o. Suponha outra base para V , B ′ = {vk, k ∈ Im}. B ′ gera V e B e´ LI enta˜o m ≥ n, da mesma maneira B gera V e B ′ e´ LI daı´ n ≥ m, de onde segue n = m. ê Demonstrac¸a˜o.[2] Consideramos V um espac¸o com bases {u1, · · · , um} e {v1, · · · , vn}, vamos mostrar que n = m. Seja {u1, · · · , um} um conjunto de geradores e {v1, · · · , vn} e´ LI. Pelo lema da troca existe uk ∈ {u1, · · · , um} tal que {uk, v2, · · · , vn} e´ LI. Definimos B = {uk, v2, · · · , vn}. B e´ uma base de V . Basta mostrar que S(B) = V , pois ja´ sabemos que CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 12 o conjunto e´ LI. Para isso vamos mostrar que v1 ∈ S(B), pois sabemos que {v1, · · · , vn} gera V , nessas condic¸o˜es valeria V = S({v1, · · · , vn}) ⊂ S(B) ⊂ V e daı´ S(B) = V. Suponha por absurdo que v1 /∈ S(B) enta˜o B ∪ {v1} e´ LI o que e´ absurdo pois terı´amos uma base contida em um conjunto LI, logo {uk, v2, · · · , vn} e´ uma base de V , repetimos o processo, gerando um conjunto {u1, · · · , um, vm+1, · · · , vn} sendo LI, logo deve valer n ≥ m. Analogamente, trocando os conjuntos nesse aplicac¸a˜o temos m ≥ n e daı´ n = m . (Achei essa demonstrac¸a˜o um pouco na˜o intuitiva) b Propriedade 15. Sejam (vk)m1 vetores na˜o nulos de V , considerados pela ordem dos seus ı´ndices. Se nenhum deles e´ combinac¸a˜o linear dos anteriores enta˜o eles formam um conjunto LI . ê Demonstrac¸a˜o. Suponha por absurdo que o conjunto seja LD, enta˜o m∑ k=1 ckvk = 0 com algum dos ck na˜o nulo, tomamos a soma dos termos na˜o nulos dessa soma, enumerados de forma crescente n∑ s=1 cksvks = 0⇒ n−1∑ s=1 −cks ckn vks = vkn logo vkn e´ uma combinac¸a˜o linear dos elementos anteriores, absurdo. m Definic¸a˜o 4 (Espac¸o vetorial de dimensa˜o finita). Um espac¸o vetorial V e´ dito ter dimensa˜o finita quando ele possui uma base com um nu´mero finito n de elementos. Nessa caso dizemos que a dimensa˜o de V e´ n e denotamos por CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 13 DimKV = n ou DimV . Dizemos que o espac¸o vetorial {0v} possui dimensa˜o 0, pois o vazio e´ base para o espac¸o nulo e |∅| = 0. O nu´mero natural associado a uma base de dimensa˜o finita e´ u´nico pelo resultado anterior. m Definic¸a˜o 5 (Coordenadas de um vetor em uma base). Dado V espac¸o vetorial de dimensa˜o finita n, enumeramos de maneira fixa uma base B de V , (vk) n 1 , podemos escrever qualquer vetor v ∈ V de maneira u´nica como v = n∑ k=1 ckvk onde os elementos ck ∈ K corpo de escalares. Podemos denotar enta˜o v = B(ck) n 1 = B(c1, · · · , cn) e chamamos cada ck de coordenada de v na base B. m Definic¸a˜o 6 (Espac¸o vetorial de dimensa˜o infinita). Um espac¸o vetorial V e´ dito ter dimensa˜o infinita quando V na˜o possui dimensa˜o finita, isto e´, nenhum subconjunto finito de V o gera. Z Exemplo 3. P∞K o subespac¸o das sequeˆncias em K com nu´mero finito de termos na˜o nulos possui como base o conjunto B = {(δ(k,j)) ∞ k=1, j ∈ N1.} pois o conjunto e´ linearmente independente e gera P∞K . O subespac¸o K∞ na˜o e´ gerado por tal conjunto, pois para gerar tal conjunto e´ necessa´rio que todo elemento do espac¸o seja combinac¸a˜o linear finita de elementos de B, o que na˜o acontece, pois por exemplo o elemento (1)∞1 na˜o e´ gerado por essa base. CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 14 b Propriedade 16. Seja V espac¸o vetorial com DimV = n , enta˜o valem as propriedades 1. Se X ⊂ V e´ LI enta˜o |X| ≤ n. 2. Podemos completar um subconjunto LI de V com elementos ate´ formar uma base de V , isto e´, se {v1, · · · , vm} e´ LI temos m ≤ n (pelo item anterior) e existem vm+1, · · · , vn tais que {v1, · · · , vm, vm+1, · · · , vn} e´ base de V . 3. Se X e´ tal que S(X) = V logo existe B ∈ X tal que B e´ uma base de V . ê Demonstrac¸a˜o. 1. Seja B = {v1, · · · , vn} base de v, suponha por absurdo que X ⊂ V e´ LI e |X| > n, X = {w1, · · · , wm} e´ LI com m > n pelo lema da troca temos {v1, · · · , vnwn+1, · · · , wm} e´ LI, o que e´ absurdo pois {v1, · · · , vn} e´ base de V . 2. Sejam {v1, · · · , vm} LI, Y um conjunto LI com nu´mero ma´ximo de elementos t e {v1, · · · , vm} ⊂ Y, temos que t ≤ n. Se existisse em V algum vetor w que na˜o fosse combinac¸a˜o linear dos elementos de Y enta˜o Y ∪ {w} seria LI o que contraria a maximalidade de t, logo Y gera V e por isso e´ base que conte´m {v1, · · · , vm}. 3. Os conjuntos LI de V tem no ma´ximo n elementos (Pelo item (1)). Seja Y = {v1, · · · , vm} ⊂ X LI, com nu´mero ma´ximo de elementos. Se existe v ∈ X tal que v /∈ S(Y) enta˜o Y∪ {v} e´ LI o que contraria a maximalidade de m enta˜o X ⊂ S(Y) e daı´ V = S(X) ⊂ S(Y) o que implica V = S(Y), enta˜o Y e´ base de V contida em X e ale´m disso n = m. CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 15 b Propriedade 17. Sejam V com dimensa˜o n, A = {v1, · · · , vn}. S(A) = V ⇔ A e´ LI. ê Demonstrac¸a˜o.⇒). Suponha por absurdo que S(A) = V e A e´ LD, enta˜o existe v ∈ A tal que V e´ combinac¸a˜o linear de elementos de A \ {v} e daı´ S(A \ {v}) = V , absurdo pois |A \ {v}| = n− 1 de onde terı´amos uma base de V com m < n elementos.⇐). Suponha que A seja LI e S(A) 6= V , enta˜o existe v ∈ V tal que {v} ∪ A e´ LI, pore´m terı´amos um conjunto LI com n+ 1 elementos, o que na˜o e´ possı´vel, portanto S(A) = V. b Propriedade 18. Se a dimensa˜o de V e´ n, enta˜o um conjunto com n vetores gera V ⇔ sa˜o linearmente independentes. Se dimV = n enta˜o m Definic¸a˜o 7 (Espac¸o de dimensa˜o infinita). Um espac¸o V e´ dito ter dimensa˜o infinita, quando ele na˜o possui dimensa˜o finita, isto e´, na˜o existe um subconjunto finito de vetores de V que seja base para V . b Propriedade 19. Todo subespac¸o vetorial F ⊂ V tem dimensa˜o finita m com m ≤ n, n = dimV. ê Demonstrac¸a˜o. Seja Y = {v1, · · · , vm} ⊂ F subconjunto LI maximal , Y e´ base de F. F deve possui subconjunto maximal LI, pois se na˜o terı´amos subconjunto com mais de n elementos LI em F, o que na˜o pode acontecer. Sabemos tambe´m que m ≤ n pois na˜o podemos ter mais de n elementos LI em V . b Propriedade 20. Se a dimensa˜o do subespac¸o F ⊂ V e´ n enta˜o F = V . ê Demonstrac¸a˜o. Toda base de F e´ um subconjunto LI com n elementos em V , logo gera V e daı´ F = V. CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 16 Z Exemplo 4. Kn tem como uma base {ek | k ∈ In}, logo tem dimensa˜o finita. P∞K tem base {ek | k ∈ N1}, logo na˜o e´ um espac¸o de dimensa˜o finita. K∞ na˜o tem como base {ek | k ∈ N1}, pois e´ necessa´rio combinac¸a˜o finita para gerar o espac¸o vetorial. Z Exemplo 5. Se uma func¸a˜o g e´ combinac¸a˜o linear de func¸o˜es (gk)n1 , todas C∞, enta˜o a t-e´sima derivada de g e´ combinac¸a˜o linear de (Dtgk)n1 com os mesmos coeficientes da combinac¸a˜o anterior, pois de g(x) = n∑ k=1 ckgk(x) aplicando a t-e´sima derivada que e´ linear, temos Dtg(x) = n∑ k=1 ckD tgk(x). b Propriedade 21. Seja A um conjunto de polinoˆmios. Se dois polinoˆmios quaisquer de A possuem graus diferentes, enta˜o A e´ L.I. ê Demonstrac¸a˜o. A na˜o pode ser L.D pois se na˜o haveriam polinoˆmios (pk)n1 de grau crescente e menor do que o grau de P tal que P(x) = n∑ k=1 ckpk(x) o que na˜o pode acontecer, pois soma de polinoˆmios na˜o gera um polinoˆmio de grau maior. Z Exemplo 6. 1. A unia˜o de dois conjuntos LI, pode na˜o ser LI, como por exemplo {(1,0), (0, 1)} = A e {(1, 1)} = B que sao LI, pore´m sua unia˜o na˜o, pois e´ um conjunto com treˆs elementos num espac¸o de dimensa˜o 2, logo sa˜o LD. Perceba que sa˜o conjuntos disjuntos um do outro , S(B) ∩A = ∅ . CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 17 2. A unia˜o de dois conjunto LI pode ser LI, como e´ o caso de {(1,0)} e {; (0, 1)}, ambos LI com unia˜o LI. 3. Se o nu´mero de elementos de um deles, mais o de outro for igual a di- mensa˜o do espac¸o, enta˜o a unia˜o ainda assim pode ser LD, como o caso dos conjuntos {(1,0,0), (0, 1,0)} e B = {(1, 1,0)}. 4. Se A ⊂ B, ambos LI enta˜o A ∪ B tambe´m e´ LI, pois A ∪ B = B. b Propriedade 22. Se A e B sa˜o LI com S(A) ∩ B = ∅ e S(B) ∩ A = ∅ enta˜o A ∪ B e´ LI. ê Demonstrac¸a˜o. Suponha por absurdo que A ∪ B e´ LD enta˜o existe v ∈ A ∪ B tal que v = ∑ x∈T cx.x com T ∈ A ∪ B \ {v} finito, A e B na˜o possuem elementos em comum, pois A ⊂ S(A) e S(A) ∩ B = ∅. Suponha sem perda de generalidade que v = vA ∈ A enta˜o vA = ∑ x∈TA cx.x+ ∑ x∈TB cx.x com TB ∪ TA uma partic¸a˜o de TB ⊂ B, TA ⊂ A, enta˜o v ′A = ∑ x∈TB cx.x o que contraria o fato de S(B) ∩A = ∅, onde v ′A = vA − ∑ x∈TA cx.x ∈ A. b Propriedade 23. Seja V um espac¸o vetorial de dimensa˜o finita. Dado F ⊂ V subespac¸o. Pode-se obter G ⊂ V tal que V = F⊕G. ê Demonstrac¸a˜o. Se F = V temos o resultado, sena˜o, tomamos uma base de F, {u1, · · · , um}, vale que m < n e completamos a base {u1, · · · , um, um+1, · · · , un} podemos tomar G = S({um+1, · · · , un}), vale que F ∩ G = {0}, pois se existisse x na˜o CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 18 nulo na intersec¸a˜o terı´amos x = m∑ k=1 ckvk e x = n∑ k=m+1 ckvk, o que contraria a escrita u´nica de x numa base fixa, vale tambe´m que F + G = V , pois a unia˜o fornece uma base. b Propriedade 24. Os vetores (vk)n1 sa˜o LI ⇔ (v1, (vk − v1)n2 ) sa˜o LI. ê Demonstrac¸a˜o.⇒). (vk) n 1 sa˜o LI enta˜o n∑ k=1 ckvk = 0⇒ ck = 0 ∀ k. Suponha c1v1 + n∑ k=2 ck(vk − v1) = 0 enta˜o c1v1 − ( n∑ k=2 ck)v1 + n∑ k=2 ckvk = 0 enta˜o cada ck = 0, k > 1 o que implica n∑ k=2 ck = 0 e daı´ c1 = 0 tambe´m. ⇐). Suponha (v1, (vk − v1)n2 ) LI. enta˜o c1v1 + n∑ k=2 ck(vk − v1) = 0⇒ ck = 0∀ k. Suponha n∑ k=1 ckvk = 0 enta˜o c1v1 + ( n∑ k=2 ck)v1 + n∑ k=2 ck(vk − v1) = 0 por hipo´tese temos que cada ck = 0, k > 1 e daı´ n∑ k=2 ck = 0 e c1 = 0. b Propriedade 25. Seja E = F1 ⊕ F2. Se Bk e´ uma base de Fk enta˜o B1 ∪ B2 e´ base de E. CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 19 ê Demonstrac¸a˜o. Temos que S(F1 ∪ F2) = E, cada vetor de E e´ escrito como soma de um vetor de F1 com vetor de F2, que sa˜o geradores respectivemten por B1 e B2, logo B1 ∪ B2 gera E. Vamos mostrar agora que B1 ∪ B2 e´ LI. Suponha que fosse LD enta˜o existe c ∈ B1 ∪ B2 tal que c = ∑ x∈T cx.x = ∑ x∈TB1 cx.x+ ∑ x∈TB2 cx.x onde T ∈ B1 ∪ B2 \ {c} e´ finito, TBk ∈ Bk, nenhuma das parcelas e´ nula, pois c 6= 0 e se fosse c seria combinac¸a˜o linear dos elementos de um desses conjuntos, o que na˜o pode acontecer, supondo sem perda de generalidade que c ∈ B1 enta˜o c ′B1 = ∑ x∈TB2 cx.x um elemento de F1 na˜o nulo seria combinac¸a˜o linear de elementos de B2 o que na˜o pode acontecer, enta˜o o conjunto unia˜o e´ LI. m Definic¸a˜o 8 (Matriz anti-sime´trica). Uma matriz A n × n e´ anti-sime´trica ⇔ (a(i,j)) = (−a(j,i)), isto e´, A = −AT . Z Exemplo 7. Vamos achar uma base do espac¸o das matrizes sime´tricas S. Definimos si,j como a matriz em que os termos (a(k,s)) tais que a(i,j) = a(j,i) = 1 e 0 caso contra´rio , tais matrizes geram o espac¸o das matrizes sime´tricas S, pois podemos escrever A = n∑ k=1 a(k,k)s(k,k) + n∑ k=2 a(1,k)s(1,k)︸ ︷︷ ︸ linha 1 + n∑ k=3 a(k,k)s(k,k)︸ ︷︷ ︸ linha2 + · · ·+ n∑ k=n a(n−1,k)s(n−1,k)︸ ︷︷ ︸ linhan−1 uma matriz nessa forma tem a(i,j) = a(j,i), consideramos i < j, fixamos i e j, u´nico somato´rio que termo da linha i e´ o somato´rio n∑ k=i+1 a(i,k)s(i,k) CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 20 e o u´nico termo dessa soma que possui elemento na coluna j e´ a(i,j)s(i,j) logo por propriedade da matriz s(i,j) temos a(i,j) = a(j,i), nenhum outro termo altera o valor dessa entrada, pois as matrizes va˜o alterar colunas e linha diferentes. As matrizes definidas tambe´m sa˜o LI, por essa independeˆncia citada acima, 0 = n∑ k=1 a(k,k)s(k,k) + n∑ k=2 a(1,k)s(1,k)︸ ︷︷ ︸ linha 1 + n∑ k=3 a(k,k)s(k,k)︸ ︷︷ ︸ linha2 + · · ·+ n∑ k=n a(n−1,k)s(n−1,k)︸ ︷︷ ︸ linhan−1 a(k,k) = 0 pois nenhum outro somato´rio tem elementos somado a diagonal da matriz e o mesmo para os outros coeficientes. Temos n+ n− 1 + n− 2 + · · ·+ 1 = n(n+ 1) 2 logo temos base com n(n+ 1) 2 elementos. Para uma matriz anti-sime´trica definimos s ′i,j como a matriz em que os termos (a(k,s)) com a(i,j) = 1, a(j,i) = −1, i < j. Agora toda matriz anti-sime´trica e´ escrita como A = n∑ k=2 a(1,k)s(1,k)︸ ︷︷ ︸ linha 1 + n∑ k=3 a(k,k)s(k,k)︸ ︷︷ ︸ linha2 + · · ·+ n∑ k=n a(n−1,k)s(n−1,k)︸ ︷︷ ︸ linhan−1 mostramos da mesma maneira que o anterior, pore´m o nu´mero de elementos da base e´ diferente, pois os elementos da diagonal sa˜o nulos em matrizes anti- sime´tricas pois a(i,i) = −a(i,i) ⇒ a(i,i) = 2 (se Car(K) 6= 2.), enta˜o retiramos n elementos da quantidade contada no caso anterior n− 1 + n− 2 + · · ·+ 1 = n(n− 1) 2 . O conjunto das matrizes anti-sime´tricas S ′ e´ subespac¸o do espac¸o das matrizes, pois a matriz nula e´ anti-sime´trica, Se A e B sa˜o anti-sime´tricas enta˜o cA+B = T e´ anti-sime´trica pois (t(i,i)) = (ca(i,i) + b(i,i)) = (−ca(i,i) − b(i,i)) = (−t(i,i)). CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 21 Se uma matriz e´ sime´trica e anti-sime´trica num corpo de cardinalidade diferente de 2, enta˜o a matriz e´ nula, pois vale a(i,j) = a(j,i) = −a(i,j) ⇒ a(i,j) = 0 logo vale que Mn×n = S⊕ S ′. Z Exemplo 8. Obtenha base do conjunto das matrizes abaixo (em Mn×n). • A = (a(i,j)) tal que n∑ k=1 a(k,k) = 0, S o conjunto de tais matrizes. Primeiro S e´ subespac¸o pois a matriz nula tem essa propriedade. Dados A,B em S e c ∈ K enta˜o cA+ B = T = (ca(i,j)+b(i,j)) temos que n∑ k=1 ca(k,k) + b(k,k) = c n∑ k=1 a(k,k) + n∑ k=1 b(k,k) = 0. O espac¸o dessas matrizes tem dimensa˜o n2 − 1. Seja S(m, t) a matriz que possui entrada a(m,m) = −1 e a(t,t) = 1 e todas outras nulas, elementos da diagonal, enta˜o podemos escrever uma matriz de S como A = n∑ k=2 a(k,k)s(1, k) + n∑ k=1 + n∑ k=1 n∑ j=1,j 6=k a(k,j)A(k,j) onde A(k,j) e´ matriz com 1 na entrada a(k,j) e 0 no restante. enta˜o temos na primeira soma n− 1 elementos na segunda n2 −n no total n2 − 1 elementos. Gerando o espac¸o sendo LI pois cada termo da soma corresponde a entradas distintas da matriz. Z Exemplo 9. O conjunto dos polinoˆmios de grau ate´ n, pode ter uma base formada por n+ 1 polinoˆmios de grau n, pois podemos escrever CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 22 n∑ k=0 akx k = c0x n + n∑ k=1 ck(x n + xn−k) onde c0 = an− n−1∑ k=0 ak e para os outros ı´ndices vale ck = an−k, provamos a relac¸a˜o anx n − n−1∑ k=0 akx n + n∑ k=1 an−k(x n + xn−k) = = anx n − n−1∑ k=0 akx n + n−1∑ k=0 an−1−kx n + n−1∑ k=0 an−1−kx n−1−k = = anx n − n−1∑ k=0 akx n + n−1∑ k=0 akx n + n−1∑ k=0 akx k = n∑ k=0 akx k. Tal conjunto de vetores e´ LI, pois analisando os coeficientes chegamos a con- clusa˜o que ck = 0 para k ≥ 1 e daı´ c1 = 0 tambe´m, igualando o coeficiente das poteˆncias a zero. Enta˜o tal conjunto de polinoˆmio tem dimensa˜o n+ 1. b Propriedade 26. Se uma matriz e´ anti-sime´trica e sime´trica enta˜o ela e´ nula, em corpo de caracterı´stica 6= 2. ê Demonstrac¸a˜o. A = AT = −AT = −A⇒ 2A = 0⇒ A = 0. b Propriedade 27. Uma matriz quadrada qualquer pode ser escrita como soma de uma matriz sime´trica e de uma matriz anti-sime´trica. ê Demonstrac¸a˜o. Podemos escrever A = A+AT 2 + A−AT 2 . O primeiro termo e´ uma matriz sime´trica pois (A+A T 2 )T = AT +A 2 o segundo termo e´ anti-sime´trico ( A−AT 2 )T = AT −A 2 = − A−AT 2 . CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 23 $ Corola´rio 6. Num corpo de caracterı´stica 6= 2 temos Mn×n(K) = S⊕A, onde A e´ o conjunto das matrizes anti-sime´tricas e S o conjunto das matrizes sime´tricas. Z Exemplo 10. {1, x, x2, · · · , xn, · · · } = B e´ uma base do espac¸o vetorial P de todos os polinoˆmios o qual tem dimensa˜o infinita. Tal conjunto e´ base pois e´ LI e qualquer elemento de P e´ combinac¸a˜o linear (finita!), de elementos de B, isto e´, B gera P. m Definic¸a˜o 9 (Dimensa˜o de variedade afim). Uma variedade afim E ⊂ V possui dimensa˜o r quando V = x + F e F possui dimensa˜o r, isto e´ , a dimensa˜o da variedade afim e´ a dimensa˜o do espac¸o transladado. Z Exemplo 11. Se (ak)n1 na˜o todos nulos enta˜o H = {(xk)n1 ∈ Rn | n∑ k=1 akxk = 0} e´ um subespac¸o vetorial de dimensa˜o n − 1 de Rn. Supondo an 6= 0, temos xn = n−1∑ k=1 akxk an (x1, x2, · · · , xn) = x1(1, · · · ,− a1 an ) + x2(0, 1, · · · ,−a2 an ) + · · ·+ xn−1(0,0, · · · , 1,−an−1 an ) tais vetores sa˜o LI, H tem dimensa˜o n − 1 ou n, pore´m como H 6= Rn pois (0,0, · · · , an) /∈ H enta˜o dimH = n− 1. b Propriedade 28. Sejam u = (a1, a2, a3), v = (b1, b2, b3) , w = (c1, c2, c3), u ′ = (a1, a2), v ′ = (b1, b2), w ′ = (c1, c2). Se u ′ e v ′ sa˜o LI, existem α e b ∈ R tais que w ′ = αu ′ + bv ′ pois u ′ e v ′ geram R2. CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 24 Nessas condic¸o˜es {u, v,w} e´ LD⇔ w = αu+ bv. ê Demonstrac¸a˜o. ⇐). Se w = αu+ bv enta˜o {u, v,w} e´ LD por definic¸a˜o.⇐). Vamos provar que se {u, v,w} e´ LD enta˜o w = αu + bv. {u, v} e´ LI pois se fosse LD {u ′, v ′} tambe´m o seria, enta˜o w = t1u+ t2v⇒ w ′ = t1u ′ + t2v ′ = αu ′ + bv ′ por unicidade de representac¸a˜o segue t1 = u ′ e t2 = b. Z Exemplo 12. O conjunto (ekx)nk=0 e´ linearmente independente no espac¸o das func¸o˜es C∞(R). Suponha n∑ k=0 cke kx = 0 aplicamos o operador n∏ s=0,s6=t (D− s) na expressa˜o em que resulta ct n∏ s=0,s 6=t (t− s)etx = 0⇒ ct = 0 com ct arbitra´rio enta˜o os vetores sa˜o LI. Z Exemplo 13. Obtenha uma base e determine a dimensa˜o de cada um dos subespac¸os de Mn×n abaixo. • Matrizes que possuem primeira e u´ltima linha iguais. A matriz nula pos- sui todas linhas iguais, soma e produto por escalar de matrizes desse tipo tambe´m satisfazem tal propriedade. Uma base pode ser tomada, retirando da base canoˆnica de Mn×n as matrizes com 1 na primeira e u´ltima linha ( resultando em n2 − 2n) e adicionando matrizes com apenas 1 simultanea- CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 25 mente nas coordenadas a1,j, an,j , enta˜o adicionamos n matrizes o que resulta n2 − 2n+ n = n2 − n matrizes que da´ a dimensa˜o do espac¸o. • • b Propriedade 29. Sejam u, v ∈ E LI, dado α 6= 0 real, enta˜o B = {v, v+αu} e´ uma base do subespac¸o W gerado pelos vetores da forma v+ tu, onde t ∈ N. ê Demonstrac¸a˜o. B e´ LI, pois c1v+ c2(v+ αu) = 0 = (c1 + c2)(v) + c2αu = 0⇒ c2 = 0⇒ c1 = 0. Temos que u ∈ S(B) pois v + αu − v = αu ∈ S(B) e daı´ 1 α αu = u ∈ S(B) disso segue que v + tu ∈ S(B) ∀ t ∈ N e todas combinac¸o˜es lineares desses vetores como querı´amos demonstrar. 1.2 Bases infinitas e lema de Zorn m Definic¸a˜o 10 (Relac¸a˜o de ordem). Seja F um conjunto, uma relac¸a˜o ≤ sobre F e´ dita de ordem se 1. x ≤ x ∀ x ∈ F. Reflexividade. 2. Se x ≤ y e y ≤ z enta˜o x ≤ z . Transitividade. 3. Se x ≤ y e y ≤ x enta˜o x = y. m Definic¸a˜o 11 (Relac¸a˜o de ordem total e parcial). Se todos elementos do conjunto F sa˜o compara´veis , isto e´, ∀ x, y ∈ F vale x ≤ y ou y ≤ x, enta˜o a relac¸a˜o ≤ e´ dita ser uma relac¸a˜o de ordem total e F e´ dito ser totalmente CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 26 ordenado, caso contra´rio F e´ dito ser parcialmente ordenado. m Definic¸a˜o 12 (Conjunto indutivo e cota superior). Se (f,≤) e´ um conjunto parcialmente ordenado, logo (f,≤) e´ dito indutivo se ∀ T ⊂ F com (T,≤) total- mente ordenado existe x ∈ F tal que t ≤ x ∀ t ∈ T , nesse caso x e´ dito ser cota superior de T . m Definic¸a˜o 13 (Elemento maximal). Um elemento m ∈ F e´ dito maximal se o u´nico x em F tal que m ≤ x e´ x = m. b Propriedade 30 (Lema de Zorn). Seja F 6= ∅ e (Ω,≤) um conjunto parci- almente ordenado e indutivo. Logo Ω possui pelo menos um elemento maximal. Em outras palavras, se todo conjunto totalmente ordenado F ⊂ Ω possui uma cota superior, enta˜o Ω possui um elemento maximal. ê Demonstrac¸a˜o. b Propriedade 31. Todo espac¸o vetorial possui pelo menos uma base. ê Demonstrac¸a˜o. Dado V espac¸o vetorial considere F = {x ⊂ V | X e´.LI} definimos em F a relac¸a˜o de ordem parcial X ≤ Y ⇔ X ⊂ Y. ≤ e´ uma relac¸a˜o de ordem pois • X ⊂ X. • Se X ⊂ Y e Y ⊂ Z enta˜o X ⊂ Z. • Se X ⊂ Y e Y ⊂ Z enta˜o X = Y. Seja {Ta}a∈A uma colec¸a˜o qualquer totalmente ordenada de F, enta˜o cada Ta e´ LI e dados Ta , Tb vale Ta ⊂ Tb ou Tb ⊂ Ta, definimos CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 27 X = ⋃ T∈A T vale que X ≥ Ta ∀ a ∈ A pois Ta ⊂ X, enta˜o para mostrar que F e´ indutivo falta mostrar que X ⊂ F, isto e´ , X e´ LI. Tomamos (vk)n1 em X, eles devem ser LI pois cada vk pertence a um Lak , como a colec¸a˜o desses elementos e´ totalmente ordenada um desses conjuntos deve conter todos (vk)n1 , pois conte´m os outros conjuntos, logo tais vetores sa˜o LI e daı´ X e´ LI. Pelo lema de Zorn, existe um elemento maximal B de (F,≤). Temos que B e´ uma base de V , pois B e´ LI e S(B) = V , caso contra´rio, existiria v ∈ V \S(B) o que implica B∪ {v} LI o que contradiz o fato de B ser maximal. b Propriedade 32. Seja V um espac¸o vetorial arbitra´rio, usando o lema de Zorn, e´ possı´vel mostrar que 1. V possui pelo menos uma base. 2. Todas as bases de V possuem mesma cardinalidade, isto e´, se B e B ′ sa˜o bases de V , enta˜o existe bijec¸a˜o entre B e B ′. 3. E´ sempre possı´vel completar um conjunto LI a uma base de V . 4. Dado um subconjunto X de geradores de V , existe B ⊂ X tal que B e´ base. ê Demonstrac¸a˜o. Z Exemplo 14. dimRQ na˜o e´ finita. Suponha por absurdo que fosse finita, enta˜o existiriam valores reais (vk)n1 formando uma base e dado x real haveria constantes racionais que dependem de x tais que x = n∑ k=1 ckvk a cada x real associamos uma n-upla de nu´meros racionais f((ck) n 1 ) = x CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 28 f : Qn → R, a func¸a˜o e´ sobrejetora, o que e´ absurdo pois isso implicaria que R e´ enumera´vel, pois Qn, produto cartesiano de enumera´veis e´ um conjunto enumera´vel. 1.3 A´lgebra linear sobre um corpo m Definic¸a˜o 14 (A´lgebra linear sobre um corpo). Seja F um corpo. Uma a´lgebra linear sobre o corpo F e´ um espac¸o vetorial V sobre F com uma operac¸a˜o adicional dita multiplicac¸a˜o de vetores, que associa a cada par de vetores u,w ∈ V um vetor um vetor uw ∈ V chamado de produto de u por w em que valem ainda 1. Associatividade. u(wv) = (uw)v. Onde u, v e w sa˜o vetores quaisquer em V . 2. Multiplicac¸a˜o totalmente distributiva em relac¸a˜o a adic¸a˜o (distributiva a` esquerda e direita) u(v+w) = uv+ uw (v+w)u = vu+wu 3. Para cada escalar c ∈ F c(vw) = (cv)w = v(cw). onde u,w, v ∈ V m Definic¸a˜o 15 (A´lgebra linear com unidade). Se existe I ∈ V , uma a´lgebra linear, tal que Iw = wI = w ∀ w ∈ V , V e´ dita a´lgebra linear com unidade. CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 29 m Definic¸a˜o 16 (A´lgebra linear comutativa). Se uw = wu ∀ u,w ∈ V , uma a´lgebra linear, enta˜o V e´ dita a´lgebra linear comutativa. 1.4 Mo´dulos m Definic¸a˜o 17 (Mo´dulo). Um mo´dulo e´ uma estrutura (V, F,+,×) formada por um conjunto V , um anel comutativo com unidade F , chamado anel de escalares e com elementos que chamaremos de escalares, temos tambe´m duas operac¸o˜es: Uma adic¸a˜o + e uma multiplicac¸a˜o × que satisfazem certas propriedades que listaremos a seguir, que sa˜o as mesmas que de um espac¸o vetorial, o que difere e´ que tomamos um anel comutativo com unidade K, como conjunto dos escalares, ao inve´s de um corpo como no caso de espac¸os vetoriais. Sejam u , v e w ∈ V e a e b ∈ R , enta˜o para que V seja um mo´dulo a adic¸a˜o deve satisfazer as seguintes propriedades • A adic¸a˜o e´ fechada u + v ∈ V. A soma de dois elementos de V ainda e´ um elemento de V . • Comutatividade u+ v = v+ u • Associatividade (u+ v) +w = u+ (v+w) • Vetor nulo. Existe um elemento 0v ∈ V , chamado elemento nulo, tal que 0v + v = v+ 0v para todo e qualquer v ∈ V . • Inverso aditivo. Para cada v ∈ V existe −v ∈ V tal que v+ (−v) = 0v CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 30 Com isso temos que a adic¸a˜o no espac¸o vetorial forma um grupo abeliano (comutativo) (V,+). E´ definida tambe´m um produto de um elemento v por um escalar a sendo o resultado um elemento de V av = u, que teˆm as seguintes propriedades (considere a, b, c escalares arbitra´rios em K , v e u vetores em V) • O produto e´ fechado cv ∈ V. • Distributividade escalar (a+ b)v = av+ bv • Distributividade vetorial a(v+ u) = av+ au • Identidade escalar 1.v = v • Associatividade do produto por escalar (c.a)(v) = c(a.v) onde c e´ um escalar. Usaremos a notac¸a˜o simplificada V ao inve´s de (V, F,+,×) para simbolizar o mo´dulo, quando estiver subentendida o corpo de escalares usado. Para memorizar as propriedades notamos que sa˜o 8 as propriedades de espac¸o vetorial, 4 para adic¸a˜o de vetores (grupo abeliano ) e 4 para produto por escalar. Se o anel comutativo com unidade de escalares e´ K, chamamos V de K-mo´dulo . 1.5 Somas diretas e projec¸a˜o CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 31 m Definic¸a˜o 18 (Soma direta de r subespac¸os vetoriais). Dizemos que os subespac¸os (Uk)r1 de V sa˜o independentes ou definem uma soma direta se para cada Uk temos Uk ∩ ( r∑ j=1,j 6=k Uj) = {0}. Escrevemos nesse caso r⊕ k=1 Uk = U1 ⊕U2 ⊕ · · · ⊕Ur no lugar da soma de espac¸os vetoriais r∑ k=1 Uk. b Propriedade 33. Dados (Uk)r1 subespac¸os de V = r∑ k=1 Uk, sa˜o equivalentes: 1. V = r⊕ k=1 Uk. 2. Se r∑ k=1 uk = 0 com uk ∈ Uk enta˜o cada uk = 0. 3. Dado v ∈ V , ele se escreve de modo u´nico como v = r∑ k=1 uk, uk ∈ Uk. 4. Uk ∩ ( k−1∑ k=1 Uk) = {0}∀ k ê Demonstrac¸a˜o. CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 32 • 1)⇒ 2). Suponha r∑ k=1 uk = 0 logo temos −uj = r∑ k=1,k 6=j uk logo uj ∈ Uj e ao conjunto r∑ k=1,k 6=j Uk, enta˜o uj = 0, como j e´ um ı´ndice arbitra´rio segue que todos sa˜o nulos. • 2)⇒ 3). Suponha v = r∑ k=1 uk = r∑ k=1 u ′k, vamos mostrar que a escrita e´ u´nica r∑ k=1 (uk − u ′ k) = 0 por 2) temos que uk = u ′k, enta˜o a escrita e´ u´nica. • 3)⇒ 4) . Seja uk ∈ Uk ∩ ( k−1∑ k=1 Uk) = {0} k arbitra´rio enta˜o uk = k−1∑ s=1 us ⇒ k−1∑ s=1 us − uk = 0 = k∑ s=1 0 como a escrita e´ u´nica segue que (us = 0)ks=1, que mostra o desejado. • 4)⇒ 5). Basta mostrar que (Uk)r1 sa˜o independentes , isto e´, Uk ∩ ( r∑ s=1,s 6=k Us) = {0}∀ k. comec¸amos com k = r a condic¸a˜o 4) ja´ nos fornece que Ur ∩ ( r∑ s=1,s 6=r Us) = {0}. Se uj ∈ Uj ∩ ( r∑ s=1,s6=j Us) enta˜o uj = r∑ s=1,s6=j us ⇒ −ur = −uj + r∑ s=1,s6=j,s 6=r us logo ur = 0, agora aplicamos o mesmo raciocı´nio para mostrar que ur−1 = 0 e assim por diante, no fim chegamos que cada uk = 0 ∀ k, em especial uj = 0. Espaços vetoriais Bases {ea1t, @let@token , eant} é LI Bases infinitas e lema de Zorn Álgebra linear sobre um corpo Módulos
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