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Apostila de Vetores e Geometria Analítica

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1
VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA 
ENGENHARIA AMBIENTAL E ENGENHARIA CIVIL 
PROF. EDER JOSÉ SIQUEIRA 
 
1 – VETOR: Segmento orientado. 
 
 B Extremidade VETOR: Define-se: 
 V - Módulo: Tamanho 
 - Direção: da reta suporte 
 VABAB =−= - Sentido: de A para B. 
 
 A Origem 
 
2 – Segmento Nulo: Origem ≡ Extremidade 
 
3 – Segmento Oposto: BAAB −= (Em módulo tem o mesmo tamanho) 
 B B 
 
 
 
 A A 
 
4 – Segmentos Eqüipolentes: 
Mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido 
 B 
 
 GHEFCDAB ≠≈≈ 
 A F G 
 D 
 E H 
 C 
 
5 – Representantes de um Vetor: 
Um mesmo vetor AB é determinado por uma infinidade de segmentos 
orientados, chamados representantes desse vetor, e todos eqüipolentes entre si. 
Assim um segmento determina um conjunto que é o mesmo vetor. 
As características de um vetor V são as mesmas de qualquer um de seus 
representantes , isto é: O módulo, a direção e o sentido dos representantes são 
os mesmos valores do vetor. 
 
 
 
 
 
 2
 y 
 
 4 
 
 3 
 
 2 
 
 1 
 
 0 2 3 5 6 8 x 
 
6 – Vetores Iguais: 
Dois vetores AB e CD são iguais se e somente se, CDAB ≈ 
 
7 – Vetor Unitário: 
Um vetor V é unitário se .1=V 
 
8 – Versor: 
É um vetor unitário de um vetor qualquer, que possui a mesma direção e o 
mesmo sentido do vetor. 
Seja U um vetor qualquer, o versor do vetor U é o vetor 
U
V . 
 
 
 U sendo que: V é versor de U 
 W não é versor de U 
 V W 
 
 
1===
U
U
VV
U
 
 
9 - Vetores Colineares: 
Dois vetores VeU são colineares, se tiverem a mesma direção. 
 
 
 U 
 
 Sendo que WeVU , são colineares. 
 V W Z 
 3
 
10 – Vetores Coplanares: 
Dois vetores são sempre coplanares, pois dois vetores determinam a base de 
um plano. 
Três vetores podem ou não serem coplanares. 
 
11 – Operações com vetores: 
• Adição: 
 
 
U S VUS += 
 α 
 
 V 
 
Pela lei dos Cossenos, temos: 
 
αcos...2
22
VUVUS ++= 
 
 
 
 
 
 U S 
 
 90º 
 
 V 
 
• Diferença: 
 
 
U D VUD −= 
 α 
 
 
 V 
 
Pela lei dos cossenos, temos: 
αcos...2
22
VUVUD −+= 
22
VUS += 
 4
 
 
 
 U 
 
 
90º 
 
 V 
 
• Multiplicação por um número real: 
Seja K um número real e U um vetor qualquer, temos: 
 
Se K > 1 
O vetor resultante possui a mesma direção, o mesmo sentido, porém 
módulo é K vezes maoir. 
 
Se 0 < K < 1 
O vetor resultante possui a mesma direção, o mesmo sentido, porém 
módulo é K vezes menor. 
 
Se K < - 1 
O vetor resultante possui a mesma direção, o sentido contrário e o 
módulo é K vezes maior 
 
Se – 1 < K < 0 
O vetor resultante possui a mesma direção, o sentido contrário e o 
módulo é K vezes menor. 
 
12 – Coordenadas Retangulares de um Vetor: 
 y 
 
 
 
 
 y∆ V 22 yxV ∆+∆= 
 
 
 0 x∆ x 
 
 
 
 
22
VUD += 
 5
Dois vetores determinam uma base no plano. Para facilitar os cálculos adotamos 
a base ortogonal no plano Cartesiano que é conhecida como “base Canônica”. 
 
 y 
 
 Base canônica: { }ji , 
 ( )0,1=i 
 ( )1,0=j 
 y 
 j 
 
 0 i x 
 
 
 x 
 y 
jyixV += V 
 
 y j 
Se for no espaço ( R3 ), temos: 
Base Canônica: { }kji ,, z z 
 k i x 
 
kzjyixV ++= x 
 
 z 
No espaço, a base canônica é: ( )0,0,1=i ; ( )0,1,0=j e ( )1,0,0=k 
 
 y 
 
Ex.: 
 16 
 Representação Geométrica: 
 U jiU 1612 += no plano 
 Representação Analítica: 
 ( )16,12=U 
 0 12 x 
 
 
 
 6
 
Exemplos: 
 
1 – Sejam os vetores jiU += 2 , jiV 6−= e jiW 105 +−= ; Calcule: 
a) VU + 
b) VU − 
c) 
2
43 WVU −+
 
d) a = ? e b = ?, tal que WVbUa =+ 
 
 
2 – Determine o versor do vetor jiV 32 += 
 
 
3 – Determine o módulo do vetor soma de dois vetores que formam entre si um 
ângulo de 60º e cujos módulos valem 6 m e 8 m. 
 
4 – Calcule o módulo do vetor soma de bea em cada caso: 
a) 
 Sendo: cma 3= cmb 25= 
 a 
 45º 
 b 
b) 
 
 a Sendo: mbma 85 == 
 
 120º 
 
 b 
 
5 – Calcule o ângulo formado por dois vetores, de módulos 5 unidades e 6 
unidades, e cujo vetor soma tem módulo 61 unidades. 
 
6 – Determine o módulo de dois vetores, ,VeU perpendiculares entre si e 
atuantes num mesmo ponto, sabendo que seus módulos estão na razão 
4
3
 e 
que o vetor soma de VeU tem módulo 10. 
 7
 
13 – Projeção de um Vetor no Plano ( Componentes Retangulares de um 
Vetor ) 
 
 y 
 
 
 
 
 
 
 y 
 
 α 
 
 x 
 
 x 
 
 
αcosVV x = 
 
αsenVV y = 
 
 
Ex: 
 
1 – Determinar o módulo, a direção e o sentido do vetor resultante do sistema 
abaixo: 
 e y Sendo: 3=a 
 a 4=b 
 20º 
 6=c 
 45º b 9=d 
 x 8=e 
 50º 
 d c 
 
 
 
 8
 
14 – Expressão Analítica de um Vetor: 
No Plano: No Espaço: 
( )yxV ,= ( )zyxV ,,= 
 
Ex: 
a) No Plano: 
( )1,1−=⇒+−= UjiU 
( )3,03 =⇒= VjV 
( )0,1010 −=⇒−= WiW 
 
b) No Espaço: 
( )0,1,1−=⇒+−= UjiU 
( )9,3,5935 −=⇒+−= VkjiV 
( )0,2,02 −=⇒−= WjW 
 
15 – Igualdade e Operações com Vetores: 
• Igualdade: 
Dois vetores ( )11 , yxU = e ( )22 , yxV = são iguais, se e somente se 
2121 yyexx == 
 
• Operações: 
Sejam os vetores ( )11 , yxU = e ( )22 , yxV = , então: 
a) ( ) ( ) ( )2121221,1 ,, yyxxyxyxVU ++=+=+ 
b) ( ) ( ) ( )2121221,1 ,, yyxxyxyxVU −−=−=− 
c) k. ( ) ( )1111 ,,. kykxyxkU == 
 
OBS.: Para o Espaço adotam-se as mesmas condições de igualdade e 
operações. 
 
Ex: 
 
1 – Dados os vetores ( )3,1,4=U e ( )5,6,2=V , calcular: 
a) VU + 
b) VU 32 − 
c) VU
2
1
3
2
+ 
 
 9
16 – Propriedades dos Vetores no Plano: 
a) Para quaisquer vetores ,, WeVU tem-se: 
 
( ) ( ) ComutativaWVUWVU ++=++ 
NeutroElementoUU =+ 0 
( ) OpostoElementoUU 0=−+ 
 
b) Para quaisquer vetores ,, WeVU e os números reais m e n, tem-se: 
( ) ( )VnmVnm .. = 
( ) ComutativaVnVmVnm +=+ 
( ) AdiçãoçãomultiplicaarelaçãoemvaDistributiVmUmVUm /+=+ 
NeutroElementoVV =.1 
 
 
Exercícios: 
 
1 – Calcular o valor de “a” para que o vetor )2,( −= aU tenha módulo 4. 
 
2 – Calcular o valor de “a” para que o vetor )
2
1
,(aU = seja unitário. 
 
 
3 – Dado o vetor ( )3,1 −=V , determinar um vetor paralelo a V que tenha: 
a) sentido contrário ao de V e 2 vezes o módulo de V ; 
b) sentido contrário de V e módulo 4. 
 
4 – Determinar o vetor W na igualdade WVUW +=+
2
1
23 , sendo dados: 
( )1,3 −=U e ( )4,2−=V . 
 
5 – Encontrar os números 21 aea tais que: ,21 VaUaW += sendo 
( ) ( ) ( )8,12,4,2,1 −=−== WeVU . 
 
6 – Dados os pontos A(-1 , 2), B(3 , -1) e C(-2 , 4), determinar D(x , y) de modo 
que .
2
1
ABCD = 
 
aAssociativUVVU +=+
 10
17