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Apostila de Vetores e Geometria Analítica

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1
VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA 
ENGENHARIA AMBIENTAL E ENGENHARIA CIVIL 
PROF. EDER JOSÉ SIQUEIRA 
 
1 – VETOR: Segmento orientado. 
 
 B Extremidade VETOR: Define-se: 
 V - Módulo: Tamanho 
 - Direção: da reta suporte 
 VABAB =−= - Sentido: de A para B. 
 
 A Origem 
 
2 – Segmento Nulo: Origem ≡ Extremidade 
 
3 – Segmento Oposto: BAAB −= (Em módulo tem o mesmo tamanho) 
 B B 
 
 
 
 A A 
 
4 – Segmentos Eqüipolentes: 
Mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido 
 B 
 
 GHEFCDAB ≠≈≈ 
 A F G 
 D 
 E H 
 C 
 
5 – Representantes de um Vetor: 
Um mesmo vetor AB é determinado por uma infinidade de segmentos 
orientados, chamados representantes desse vetor, e todos eqüipolentes entre si. 
Assim um segmento determina um conjunto que é o mesmo vetor. 
As características de um vetor V são as mesmas de qualquer um de seus 
representantes , isto é: O módulo, a direção e o sentido dos representantes são 
os mesmos valores do vetor. 
 
 
 
 
 
 2
 y 
 
 4 
 
 3 
 
 2 
 
 1 
 
 0 2 3 5 6 8 x 
 
6 – Vetores Iguais: 
Dois vetores AB e CD são iguais se e somente se, CDAB ≈ 
 
7 – Vetor Unitário: 
Um vetor V é unitário se .1=V 
 
8 – Versor: 
É um vetor unitário de um vetor qualquer, que possui a mesma direção e o 
mesmo sentido do vetor. 
Seja U um vetor qualquer, o versor do vetor U é o vetor 
U
V . 
 
 
 U sendo que: V é versor de U 
 W não é versor de U 
 V W 
 
 
1===
U
U
VV
U
 
 
9 - Vetores Colineares: 
Dois vetores VeU são colineares, se tiverem a mesma direção. 
 
 
 U 
 
 Sendo que WeVU , são colineares. 
 V W Z 
 3
 
10 – Vetores Coplanares: 
Dois vetores são sempre coplanares, pois dois vetores determinam a base de 
um plano. 
Três vetores podem ou não serem coplanares. 
 
11 – Operações com vetores: 
• Adição: 
 
 
U S VUS += 
 α 
 
 V 
 
Pela lei dos Cossenos, temos: 
 
αcos...2
22
VUVUS ++= 
 
 
 
 
 
 U S 
 
 90º 
 
 V 
 
• Diferença: 
 
 
U D VUD −= 
 α 
 
 
 V 
 
Pela lei dos cossenos, temos: 
αcos...2
22
VUVUD −+= 
22
VUS += 
 4
 
 
 
 U 
 
 
90º 
 
 V 
 
• Multiplicação por um número real: 
Seja K um número real e U um vetor qualquer, temos: 
 
Se K > 1 
O vetor resultante possui a mesma direção, o mesmo sentido, porém 
módulo é K vezes maoir. 
 
Se 0 < K < 1 
O vetor resultante possui a mesma direção, o mesmo sentido, porém 
módulo é K vezes menor. 
 
Se K < - 1 
O vetor resultante possui a mesma direção, o sentido contrário e o 
módulo é K vezes maior 
 
Se – 1 < K < 0 
O vetor resultante possui a mesma direção, o sentido contrário e o 
módulo é K vezes menor. 
 
12 – Coordenadas Retangulares de um Vetor: 
 y 
 
 
 
 
 y∆ V 22 yxV ∆+∆= 
 
 
 0 x∆ x 
 
 
 
 
22
VUD += 
 5
Dois vetores determinam uma base no plano. Para facilitar os cálculos adotamos 
a base ortogonal no plano Cartesiano que é conhecida como “base Canônica”. 
 
 y 
 
 Base canônica: { }ji , 
 ( )0,1=i 
 ( )1,0=j 
 y 
 j 
 
 0 i x 
 
 
 x 
 y 
jyixV += V 
 
 y j 
Se for no espaço ( R3 ), temos: 
Base Canônica: { }kji ,, z z 
 k i x 
 
kzjyixV ++= x 
 
 z 
No espaço, a base canônica é: ( )0,0,1=i ; ( )0,1,0=j e ( )1,0,0=k 
 
 y 
 
Ex.: 
 16 
 Representação Geométrica: 
 U jiU 1612 += no plano 
 Representação Analítica: 
 ( )16,12=U 
 0 12 x 
 
 
 
 6
 
Exemplos: 
 
1 – Sejam os vetores jiU += 2 , jiV 6−= e jiW 105 +−= ; Calcule: 
a) VU + 
b) VU − 
c) 
2
43 WVU −+
 
d) a = ? e b = ?, tal que WVbUa =+ 
 
 
2 – Determine o versor do vetor jiV 32 += 
 
 
3 – Determine o módulo do vetor soma de dois vetores que formam entre si um 
ângulo de 60º e cujos módulos valem 6 m e 8 m. 
 
4 – Calcule o módulo do vetor soma de bea em cada caso: 
a) 
 Sendo: cma 3= cmb 25= 
 a 
 45º 
 b 
b) 
 
 a Sendo: mbma 85 == 
 
 120º 
 
 b 
 
5 – Calcule o ângulo formado por dois vetores, de módulos 5 unidades e 6 
unidades, e cujo vetor soma tem módulo 61 unidades. 
 
6 – Determine o módulo de dois vetores, ,VeU perpendiculares entre si e 
atuantes num mesmo ponto, sabendo que seus módulos estão na razão 
4
3
 e 
que o vetor soma de VeU tem módulo 10. 
 7
 
13 – Projeção de um Vetor no Plano ( Componentes Retangulares de um 
Vetor ) 
 
 y 
 
 
 
 
 
 
 y 
 
 α 
 
 x 
 
 x 
 
 
αcosVV x = 
 
αsenVV y = 
 
 
Ex: 
 
1 – Determinar o módulo, a direção e o sentido do vetor resultante do sistema 
abaixo: 
 e y Sendo: 3=a 
 a 4=b 
 20º 
 6=c 
 45º b 9=d 
 x 8=e 
 50º 
 d c 
 
 
 
 8
 
14 – Expressão Analítica de um Vetor: 
No Plano: No Espaço: 
( )yxV ,= ( )zyxV ,,= 
 
Ex: 
a) No Plano: 
( )1,1−=⇒+−= UjiU 
( )3,03 =⇒= VjV 
( )0,1010 −=⇒−= WiW 
 
b) No Espaço: 
( )0,1,1−=⇒+−= UjiU 
( )9,3,5935 −=⇒+−= VkjiV 
( )0,2,02 −=⇒−= WjW 
 
15 – Igualdade e Operações com Vetores: 
• Igualdade: 
Dois vetores ( )11 , yxU = e ( )22 , yxV = são iguais, se e somente se 
2121 yyexx == 
 
• Operações: 
Sejam os vetores ( )11 , yxU = e ( )22 , yxV = , então: 
a) ( ) ( ) ( )2121221,1 ,, yyxxyxyxVU ++=+=+ 
b) ( ) ( ) ( )2121221,1 ,, yyxxyxyxVU −−=−=− 
c) k. ( ) ( )1111 ,,. kykxyxkU == 
 
OBS.: Para o Espaço adotam-se as mesmas condições de igualdade e 
operações. 
 
Ex: 
 
1 – Dados os vetores ( )3,1,4=U e ( )5,6,2=V , calcular: 
a) VU + 
b) VU 32 − 
c) VU
2
1
3
2
+ 
 
 9
16 – Propriedades dos Vetores no Plano: 
a) Para quaisquer vetores ,, WeVU tem-se: 
 
( ) ( ) ComutativaWVUWVU ++=++ 
NeutroElementoUU =+ 0 
( ) OpostoElementoUU 0=−+ 
 
b) Para quaisquer vetores ,, WeVU e os números reais m e n, tem-se: 
( ) ( )VnmVnm .. = 
( ) ComutativaVnVmVnm +=+ 
( ) AdiçãoçãomultiplicaarelaçãoemvaDistributiVmUmVUm /+=+ 
NeutroElementoVV =.1 
 
 
Exercícios: 
 
1 – Calcular o valor de “a” para que o vetor )2,( −= aU tenha módulo 4. 
 
2 – Calcular o valor de “a” para que o vetor )
2
1
,(aU = seja unitário. 
 
 
3 – Dado o vetor ( )3,1 −=V , determinar um vetor paralelo a V que tenha: 
a) sentido contrário ao de V e 2 vezes o módulo de V ; 
b) sentido contrário de V e módulo 4. 
 
4 – Determinar o vetor W na igualdade WVUW +=+
2
1
23 , sendo dados: 
( )1,3 −=U e ( )4,2−=V . 
 
5 – Encontrar os números 21 aea tais que: ,21 VaUaW += sendo 
( ) ( ) ( )8,12,4,2,1 −=−== WeVU . 
 
6 – Dados os pontos A(-1 , 2), B(3 , -1) e C(-2 , 4), determinar D(x , y) de modo 
que .
2
1
ABCD = 
 
aAssociativUVVU +=+
 10
17– Igualdade e Operações com vetores no Espaço: 
 
• Igualdade: 
Se ( ) ( ),,,,, 222111 zyxVezyxU == se VU = , tem-se: 
 
212121 , zzeyyxx === 
 
• Operações: 
Dados VeU , tem-se: 
( )212121 ,, zzyyxxVU +++=+ 
( )212121 ,, zzyyxxVU −−−=− 
 Sendo ,ℜ∈a então ( )111 ,,. azayaxUa = 
Se ( )222111 ,,),,( zyxBezyxA são dois pontos quaisquer no espaço, 
então: 
( )121212 ,, zzyyxxABAB −−−=−= 
 
18 – Condição de Paralelismo entre dois vetores: 
Dois vetores ( ) ( )222111 ,,,, zyxVezyxU == são colineares ou paralelos, se 
existe um k tal que VkU = , ou seja: 
2
1
21 x
x
kkxx =⇒= 
2
1
21 y
y
kkyy =⇒= 
2
1
21 z
z
kkzz =⇒= 
 
 
Ex. 
 
1 – Os vetores ( ) ( )8,6,44,3,2 −−=−−= VeU são paralelos? 
 
Exercícios: 
 
1 – Dados os pontos )1,2,1()1,1,0( −− BeA , e os vetores 
( ) ( ) ( )2,2,21,0,3,1,1,2 −=−=−−= WeVU , verificar se existem os números 
321, aeaa . Tais que VaUaABaW 321 ++= . 
 
 
 
 11
2 – Dados os pontos ( ) ( ) ( )1,1,22,3,2,4,2,1 −ReQP , determinar as 
coordenadas de um ponto S tal que P, Q, R e S sejam vértices de um 
paralelogramo. 
 
3 – Determinar o valor de nem para que sejam paralelos os vetores 
( ) ( )12,2,41,3,1 −=+= nVemU . 
 
4 – Dados os vetores ( ) ( ),2,11,3 −=−= VeU determinar o vetor W , tal que: 
a) ( ) WUWVU −=+− 2
3
1
4 
b) ( ) ( )UWUVW 34223 −=−− 
 
5 – Dados os vetores ( ) ( ) ( ),6,121,5,4,2 −=−=−= WeVU determinar 21 kek , tal 
que VkUkW 21 += . 
 
6 – Dados os pontos ( ) ( )2,5,41,3,2 −− BeA , determinar o ponto P tal que: 
a) ABAP 3= 
 
7 – Encontrar os números 21 aea tal que VaUaW 21 += , sendo 
( ) ( ) ( )14,4,44,0,2,1,2,1 −−=−=−= WeVU 
 
 
8 – Verificar se os pontos ( ) ( ) ( )1,7,23,1,2,0,5,1 −−−−− CeBA são colineares. 
 
9 – Mostrar que os pontos ( ) ( ) ( ) )3,1,2(5,2,33,1,5,1,0,4 DeCeBA são vértices 
de um paralelogramo. 
 
10 – Determinar o simétrico do ponto ( )2,1,3 −P em relação ao ponto 
( )3,0,1 −−A . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 12
PRODUTO ESCALAR 
 
Sejam os vetores kzjyixVekzjyixU 222111 ++=++= , o produto escalar do 
vetor U com o vetor V é indicado por VU . e é obtido da seguinte forma: 
 
( )( ) 212121222111 ....,,.,,. zzyyxxVUzyxzyxVU ++=⇒= 
 
OBS.: O Produto Escalar além de ser representado por ,.VU pode ser 
representado por ., >< VU 
 
1 – Módulo de um Vetor: 
Seja o vetor ( )zyxV ,,= , seu módulo é obtido: 
( )( ) 222,,.,,. zyxVzyxzyxVVVV ++=⇒=⇒= 
 
Ex.: 
 
1 – Se ( )2,1,2 −=V , então V é: 
 
( ) 39414212 222 =⇒=⇒++=⇒−++= VVVV 
 
2 – O versor do vetor V do item 1, é : 
V
V
V
V
= 
( )






−=⇒
−
=⇒=
3
2
,
3
1
,
3
2
3
2,1,2
VVV
VV
V
V
V 
 
Cálculo do módulo do versor 
1
9
9
9
4
9
1
9
4
3
2
3
1
3
2
222
=⇒=⇒++=⇒





−+





+





=
VVVV
VVVV 
 
3 – Distância entre dois pontos: 
Sejam os pontos ( ) ( )222111 ,,,, zyxBezyxA , a distância entre os pontos BeA é 
determinada por: 
 
( ) ( ) ( )212
2
12
2
12 zzyyxxABdAB −+−+−== 
 13
 
Ex.: 
 
1 – Sabendo que a distância entre os pontos ( ) ( )mBeA ,1,13,2,1 −− é 7, 
calcular .m 
 
2 – Determinar α para que o vetor 





−=
4
1
,
2
1
,αV seja unitário. 
 
4 – Propriedades do Produto Escalar: 
Para quaisquer que sejam os vetores ( )111 ,, zyxU = , ( )222 ,, zyxV = , 
( )333 ,, zyxW = e ℜ∈m , é fácil verificar que: 
 
i) 0. >UU e 0. =UU , se e somente se ( )0,0,00 ==U 
ii) ComutativaUVVU .. = 
iii) ( ) vetoresdeaudiçãoarelaçãoemvaDistributiWUVUWVU ... +=+ 
iv) ( ) ( ) ( )VmUVUmVUm ...... == 
v) ( ) UUUfatodeUUU .. 2 == 
 
5 – Ângulo entre dois vetores: 
 
 
 U 
 
 
 θ 
 
 V 
 
θcos... VUVU = 
 
6 – Condição de Ortogonalidade: 
Dois vetores ( )111 ,, zyxU = e ( )222 ,, zyxV = são ortogonais ou perpendiculares 
se e somente se: 
 
0. =VU 
 
 
 14
 
Exercícios: 
 
1 – Verificar se o vetor ( )2,3,2−=U é ortogonal ao vetor ( )4,2,1−=V . 
 
2 – Calcular o ângulo entre os vetores ( )4,1,1=U e ( )2,2,1−=V . 
 
3 – Sabendo que o vetor ( )1,1,2 −=V forma um ângulo de 60º com o vetor AB 
determinado pelos pontos ( ) ( )mBeA ,0,42,1,3 − , calcular .m 
 
4 – Determinar os ângulos internos ao triângulo ABC , sendo )3,3,3( −A , 
( ) ( )2,0,12,1,2 CeB − , 
 
7 – Ângulos Diretores e Cossenos Diretores de um Vetor: 
Seja o vetor kzjyixV ++= , ângulos diretores do vetor V são os ângulos 
γβα ,, que o vetor forma com os vetores keji , situados sobre os eixos 
coordenados .,, zyx 
 y 
 V 
 β 
 
 j α 
 
 k γ i x 
 
 
 
 z 
 
iV
iV
Cos
.
.
=α 
iV
iV
arcCos
.
.
=α 
 
jV
jV
Cos
.
.
=β 
jV
jV
arcCos
.
.
=β 
 
kV
kV
Cos
.
.
=γ 
kV
kV
arcCos
.
.
=γ 
 15
 
Ex: 
 
1 – Calcular os cossenos diretores e os ângulos diretores do vetor ( )3,2,6 −=V . 
 
2 – Dados os pontos ( ) ( )3,1,33,2,2 −− BeA , calcular os ângulos diretores do 
vetor .AB 
 
 
8 – Propriedades dos Ângulos Diretores e Cossenos Diretores: 
i) Seja o vetor kzjyixV ++= , designamos o versor do vetor V por 
V
V
V
V
= , 
então obtemos: 
 
( ) ( )γβα CosCosCosV
V
z
V
y
V
x
V
V
zyx
V
VVV
,,,,
,,
=⇒










=⇒= 
 
ii) 1=
V
V 
 
( ) 1,, =γβα CosCosCos 1222 =++ γβα CosCosCos 
 
 
Ex: 
 
1 – Os ângulos diretores de um vetor são α , 45º e 60º. Determine α . 
 
2 – Um vetor V forma com os vetores jei ângulos de 60º e 120º 
respectivamente. Determinar o vetor V , sabendo que .2=V 
 
9 – Projeção de um vetor sobre outro Vetor: 
 
 
 U 
 
 
 
 
 VUojPr V 
 16
 
V
VV
VU
Uoj V .
.
.
Pr








= 
 
 
Ex: 
 
1 – Determinar o vetor projeção de ( )4,3,2=U sobre ( )0,1,1 −=V 
 
2 – Sejam os pontos ( ) ( ) ( )2,1,21,0,1,1,2,1 CeBA −−− ; Pede-se: 
a) Mostrar que o triângulo ABC é retângulo em A ; 
b) Calcular a medida da projeção do cateto AB sobre a hipotenusa BC ; 
c) Determinar o pé da altura do triângulo relativa ao vértice A . 
 
 
PRODUTO VETORIAL: 
 
Dados os vetores kzjyixVekzjyixU 222111 ++=++= , tomados nesta ordem 
chama-se “Produto Vetorial” dos vetores VeU , e se representa por 
VUouVxU ∧ , ao vetor: 
 
( ) ( ) ( )kyxyxjzxizyzyVU
yx
yx
ji
zyx
zyx
kji
VU 1221121221
22
11
222
111 ..... −++−=∧⇒=∧ 
 
Ex: 
 
1 – Calcule o produto vetorial dos vetores .345 kiVekjiU +=++= 
 
 
1 – Propriedades do Produto Vetorial: 
i) 0=∧UU qualquer que seja U , pois θsenUUUU ..=∧ 
ii) UVVU ∧−=∧ 
iii) ( ) WUVUWVU ∧+∧=+∧ 
iv) ( ) ( ) 0,.. ≠ℜ∈∧=∧ memVUmVUm 
v) 0=∧VU se e somente se um dos vetores é nulo ou se VeU são colineares 
( )00 1800 == θθ ou 
 17
vi) VU ∧ é ortogonal simultâneamente aos vetores, VeU 
vii) Módulo do Produto Vetorial: θsenVUVU ..=∧ 
 Direção: Perpendicular ao plano definido por VeU 
 Sentido: Regra da mão direita 
 VU ∧ 
 
 
 
 
 V U 
 
U V 
 
 
 
 VU ∧ 
 
 
ix) ABCDramoParaledoÁreaVU log=∧ 
 
 VU ∧ 
 
 
V 
 VU ∧ = Área do Paralelogramo 
 U 
 
OBS.: A área de um triângulo é 
2
1
da área do Paralelogramo. 
 
Exercícios: 
 
1 – Determinar um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores 
( ) ( )1,3,43,6,2 =−= VeU . 
 
2 – Dados os vetores ( ) ( )3,1,01,2,1 −=−= VeU , calcular a área doparalelogramo determinado pelos vetores ( ).3 UVeU − 
 
 18
3 – Sejam os vetores ( ) ( )2,0,1,1,3 aVeU =−= . Calcular o valor de ''a para 
que a área do paralelogramo determinado por VeU seja igual a .62 
4 – Calcular a área do triângulo de vértices ( ) ( ) ( )3,3,14,1,2;1,2,1 −−−− CeBA 
 
 
PRODUTO MISTO 
 
Dados os vetores kzjyixWekzjyixVkzjyixU 333222111 , ++=++=++= , 
tomados nesta ordem, chama-se Produto Misto dos vetores WeVU , ao 
número real ( )WVU ∧. . Indica-se o produto misto por ( )WVU ,, . Tendo em vista 
que: 
 
( ) alNúmero
yx
yx
yx
zyx
zyx
zyx
WVU Re,,
33
22
11
333
222
111
== 
 
Ex.: 
 
1 – Calcular o produto misto dos vetores ekjiVkjiU 33,532 ++−=++= 
 
 
 
1 – Propriedades do Produto Misto: 
 i) ( ) 0,, =WVU se e somente se um dos vetores é nulo, se dois deles são 
colineares, ou se os três são coplanares. 
ii) O produto misto independe da ordem circular dos vetores 
( ) ( ) ( ).,,,, ,, VUWUWVWVU == 
Entretanto o produto misto muda de sinal quando se trocam as posições de dois 
vetores consecutivos, isto é: ( ) ( )WUVWVU ,,,, −= 
iii) ( ) ( ) ( )RVUWVURWVU ,,,,,, +=+ 
iv) ( ) ( ) ( ) ( )WVmUWVUmWVUmWmVU ,,,,,,,, === 
 
OBS.: O produto vetorial e o produto misto não são definidos no .2R 
 
 
 
 
 
 
kjiW 234 +−=
 19
Exercícios: 
 
1 – Verificar se são coplanares os seguintes vetores: ( ),4,1,3 −=U kiV −= e 
( ).0,1,2 −=W 
 
2 – Qual deve ser o valor de m para que os vetores ( ),1,2, −= ma kjib 3+−= 
e kjc 42 +−= sejam coplanares? 
 
3 – Verificar se os pontos ( ) ( ) ( ) ( )3,1,22,2,0,2,0,1,4,2,1 −−−− DeCBA estão 
no mesmo plano. 
 
 
2 – Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Misto: 
 
 VU ∧ 
 
 
 
 
 
 
 W 
 
 
 V 
 
 
 
 U 
 
 
( ) pedoParalelepídoVolumeWVU =,, 
 
 
OBS.: O Volume do Tetraedro é 
6
1
do volume do Paralelepípedo. 
 
 
 
 
 
 20
ESTUDO ANALÍTICO 
 
1. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS: 
 y 
 
 
 yB B 
 
 
 yA A θ 
 
 
 
 
 xA xB x 
 
( ) ( )22 ABAB yyxxd −+−= 
 
 
2. RAZÃO DE SECÇÃO: 
 y 
 
 y2 P2 
 
 y2 – y 
 y P N 
 x2 – x 
 y – y1 
 
 y1 P1 M 
 x – x1 
 
 x1 x x2 x 
 
r
PP
PP
xx
xx
PN
MP
==
−
−
=
2
1
2
11 desenvolvendo, obtemos: 
r
rxx
x
+
+
=
1
21 , por 
 
analogia temos: 
r
ryy
y
+
+
=
1
21 
 
OBS.: Quando P é um ponto interno a P1P2, r é positivo; 
 Quando P é um ponto externo a P1P2, r é negativo. 
 
 
 
 21
3. INCLINAÇÃO E COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA: 
 
 Y r 
 B 
 yB 
 
 yB - yA 
 yA A α 
 
 xB - xA 
 
 
 
 
 
 xA xB x 
 
 
Inclinação: 
AB
AB
xx
yy
arctg
−
−
=α 
 
Coeficiente angular da reta (declividade): 
AB
AB
xx
yy
tgm
−
−
== α 
 
 
4. RETAS PARALELAS E PERPENDICULARES: 
 
Duas retas r e s são paralelas, se e somente se: sr mm = . 
 
 
Duas retas r e s são perpendiculares, se e somente se: 
s
r m
m
1
−= . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 22
5. ÂNGULO ENTRE DUAS RETAS: 
 
 
y r s 
 θ 
 
 
 
 
 
 
 
 x 
 
 
sr
sr
mm
mm
tg
.1+
−
=θ Sendo: rm , coeficiente angular da reta extremidade; 
 sm , coeficiente angular da reta origem; 
 
 θ é o ângulo entre as retas r e s. 
 
 
6. ÁREA DE UM POLÍGONO SENDO CONHECIDO SEUS VÉRTICES: 
 
Triângulo ABC, sendo A(xA, yA); B(xB, yB) e C(xC, yC). 
 
 
1
1
1
2
1
CC
BB
AA
yx
yx
yx
A = ou 
AA
CC
BB
AA
yx
yx
yx
yx
A
2
1
= 
 
 Pentágono ABCDE, sendo A(xA, yA); B(xB, yB); C(xC, yC); D(xD, yD) e E(xE, 
yE). 
 
AA
EE
DD
CC
BB
AA
yx
yx
yx
yx
yx
yx
A
2
1
= 
 
 
 23
7. ESTUDO DA RETA: 
 
 – EQUAÇÃO GERAL DA RETA: 
 
 0=++ cbyax 
 
Coeficiente angular da reta partindo de sua equação: 
b
a
m −= , declividade 
da reta em relação ao eixo x. 
 
Coeficiente linear da reta partindo de sua equação: 
b
c
n −= , ponto onde a 
reta corta o eixo y. 
 
 
 – EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA: 
 
 
b
c
x
b
a
y −−= ou seja: 
 
 
 
 
 
 – EQUAÇÃO SEGMENTÁRIA DA RETA: 
 
 
 1=+
b
y
a
x
 
 
 Sendo a = abscissa à origem do plano cartesiano; 
 b = ordenada à origem do plano cartesiano. 
 
 
 
 ( 0, b ) 
 
 
 b 
 ( a , 0 ) 
 
 
 
 a 
nmxy +=
 24
 
 
 
 – EQUAÇÃO DA RETA QUE PASSAM POR UM PONTO DADO: 
 
 Seja o ponto ),( 00 yxP , um ponto por onde passa a reta, para se obter 
a equação da reta utilizamos a fórmula: 
 
( ) ( )00 xxmyy −=− 
 
 
 – EQUAÇÃO DA RETA QUE PASSAM POR DOIS PONTOS DADOS: 
 
 Sejam os pontos ),( 111 yxP e ),( 222 yxP , pontos por onde a reta passa, 
para se obter a equação da reta que passa por estes dois pontos 
podemos utilizar: 
 
21
21
1
1
xx
yy
xx
yy
−
−
=
−
−
 ou 0
1
1
1
22
11 =
yx
yx
yx
 
 
 
 – EQUAÇÃO NORMAL DA RETA: 
 y 
 
 A N 
 
 p 
 
 ϖ B 
 
 0 
 
 
 Seja a reta 0N a reta Normal à reta AB, sua equação pode ser obtida 
utilizando a fórmula: 
 
0=−+ pysenxcox ϖϖ 
 
 
 
 
 
 
 25
 – REDUÇÃO À FORMA NORMAL: 
 
 Dada a equação geral Ax + By + C = 0 para se obter a equação da reta 
normal a partir da reta geral, aplicamos a fórmula: 
0
222222
=
+±
+
+±
+
+± BA
C
y
BA
B
x
BA
A
 
 
OBS.: Sendo que o sinal ± dependerá do sinal de C, ou seja, o sinal será 
sempre contrário ao sinal de C da equação geral. Quando não existir C na 
equação geral, será o mesmo sinal de B da equação geral. 
 
 
 – DISTÂNCIA DE UM PONTO A UMA RETA: 
 
 Seja o ponto ),,( 00 yxP sua distância à reta r: de equação 0=++ cbyax é 
obtida aplicando a fórmula: 
 
 
22
00
,
ba
cbyax
d rp
+
++
= 
 
 
 
 – EQUAÇÃO DA RETA QUE PASSA PELA INTERSEÇÃO ENTRE DUAS 
RETAS EM UM PONTO DADO: 
 
 Sejam as retas r: 0111 =++ cybxa e s: 0222 =++ cybxa que se 
interceptam no ponto ( )00 , yxP , dado, podemos obter a equação da reta que 
passa por esta interseção, aplicando a fórmula 
 
0)( 222111 =+++++ cybxaKcybxa 
 
 
8. EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA: 
 
A equação geral da circunferência é toda equação escrita na forma: 
 
022 =++++ FEyDxAyAx 
 
Para se determinar a equação da circunferência, basta obtermos duas 
informações básicas, ou seja: As coordenadas do Centro da circunferência e 
o valor do raio, e utilizar a equação típica cartesiana para escrever a equação 
geral. 
 
 26
Considerando que o centro da circunferência é o ponto C(h, k) e que o valor 
do raio é r, a equação típica passa a ser: 
 
 
Circunferência com centro na origem do plano cartesiano: 
 
222 ryx =+ 
 
Circunferência com centro fora da origem do plano cartesiano: 
 
222 )()( rkyhx =−+− 
 
Fórmulas para determinar as coordenadas do centro da circunferência e o 
valor do raio a partir da equaçãogeral da circunferência. 
 
Seja a equação geral 022 =++++ FEyDxyx 
 
Coordenada do Centro: 




 −−
2
,
2
ED
 
 
Valor do Raio: FEDr 4
2
1 22 −+= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 27
9. ESTUDO DAS CÔNICAS: 
 
9.1 – PARÁBOLA: 
 
Definição: Todo ponto P(x, y), situado em um lugar geométrico de 
forma que a distância deste ponto a um ponto fixo (Foco) é igual a 
distância deste mesmo ponto a uma reta fixa (Diretriz), este ponto 
está situado sobre uma Parábola. 
 
 D y 
 M P(x, y) 
 
 
 
 a a DD’ = Diretriz 
 F(a, 0) = Foco 
 a = Distância do vértice ao foco 
 V F (a, 0) x e distância do vértice à diretriz 
 V(0, 0) = Vértice na origem 
 
 
 D’ 
 
 
( ) ( )
22
22
01
01
+
+
=−+−⇒=
ax
yax
PM
PF
, desenvolvendo, chegamos a 
equação típica da parábola com vértice na origem do plano cartesiano 
e eixo de simetria em x: 
 
 
 
 
O sinal ± depende da posição da parábola, ou seja, se estiver a 
direita da diretriz o sinal é positivo, se estiver a esquerda da diretriz o 
sinal é negativo. 
 
Se o eixo de simetria for o eixo dos y e a parábola estiver com vértice 
na origem do plano cartesiano, então a equação típica será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
axy 42 ±= 
 28
 
 
 
 F(0, a) 
 
 P(x, y) 
 a 
 
 
 v 
 
 
 a 
 
 D D’ 
 
 
 
 
 
 
O sinal ± depende da posição da parábola, ou seja, se estiver acima 
da diretriz o sinal é positivo, se estiver abaixo da diretriz o sinal é 
negativo. 
 
 
- COMPRIMENTO DA CORDA FOCAL MÍNIMA: 
 
 
 
 - EQUAÇÃO DA DIRETRIZ COM VÉRTICE NA ORIGEM: 
 
 Com eixo de simetria em x: 0=± ax , o sinal depende da posição da 
parábola. 
 
 Com eixo de simetria em y: 0=± ay , o sinal depende da posição da 
parábola. 
 
 
 - EXCENTRICIDADE DA PARÁBOLA: 
 
 
 - EQUAÇÃO TÍPICA DA PARÁBOLA COM VÉRTICE FORA DA 
ORIGEM: 
 Seja o vértice de coordenada ( )kh, , temos: 
 
ayx 42 ±= 
aLR 4= 
1=e 
 29
 Eixo de simetria paralelo ao eixo x: 
 
 Eixo de simetria paralelo ao eixo y: 
 
 
 
9.2 – ELIPSE: 
 
Definição: Todo ponto P(x, y) situado sobre um lugar geométrico, de 
forma que a soma das distâncias deste ponto a dois pontos fixos (Focos) 
é igual a uma constante 2a (eixo maior), este ponto está situado sobre 
uma elípse. 
 y 
 D D 
 P(x, y) 
 
 
 
 x 
 
 
 
 2a 
 D’ D’ 
 
Pela definição temos: 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) aycxycx 200 2222 =−+−+−++ , desenvolvendo a equação, 
obtemos a equação típica da elipse com centro na origem e eixo maior 
em x: 
 
 
 
 
 
 
Se o centro da elipse estiver na origem e o eixo maior sobre o eixo y, 
a equação típica será: 
 
 
 
 
 
 Comprimento do eixo Maior da Elipse: 2a 
 
 Comprimento do eixo Menor da Elipse: 2b 
( ) ( )hxaky −±=− 42
 
( ) ( )kyahx −±=− 42 
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
 
1
2
2
2
2
=+
a
y
b
x
 30
 
 a = Distância do centro da elipse aos vértices; 
 b = Distância do centro da elipse às menores extremidades da elipse; 
 c = Distância do centro da elipse aos focos. 
 DD’ = Diretrizes 
 
 Na Elipse, temos: 
 
 
 
 y 
P(x, y) 
 
 
 
 x 
 2b 
 
 
 
 
 Focos: F( - c, 0 ) e F’( c, 0 ) eixo maior em x e centro na origem; 
 F( 0, - c ) e F’( 0, c ) eixo maior em y e centro na origem; 
 Vértices: V( - a, 0) e V’( a, 0 ) eixo maior em x e centro na origem; 
 V( 0, - a ) e V’( 0, a ) eixo maior em y e centro na origem. 
 
 - COMPRIMENTO DA CORDA FOCAL MÍNIMA: 
 
 
 
 
- EQUAÇÕES DAS DIRETRIZES, ELIPSE COM CENTRO NA 
ORIGEM: 
 
 Eixo maior sobre o eixo dos x: 
 
 
 
 Eixo maior sobre o eixo dos y: 
 
 
 
 - EQUAÇÃO TÍPICA DA ELÍPSE COM CENTRO ( )kh, , FORA DA 
ORIGEM: 
 Com eixo maior paralelo ao eixo dos x: 
 
a
b
LR
22
= 
0=±
e
a
x 
0=±
e
a
y 
( ) ( )
1
2
2
2
2
=
−
+
−
b
ky
a
hx
 
222 cba += 
 31
 Com eixo maior paralelo ao eixo dos y: 
 
 
 
 
 
 
 - EXCENTRICIDADE: 
 
 e < 1 
 
 
9.3 – HIPÉRBOLE: 
 
Definição: Todo ponto P(x, y) situado sobre um lugar geométrico, de 
forma que a diferença das distâncias deste ponto a dois pontos fixos 
(Focos) é igual a uma constante 2a (eixo transverso), este ponto está 
situado sobre uma hipérbole. 
 y 
 D D P(x, y) 
 
 
 a 
 
 
 
 
 c 
 D’ D’ 
 2a 
 
 
 
Focos: F( - c, 0 ) e F’( c, 0 ) eixo transverso em x e centro na origem; 
 F( 0, - c ) e F’( 0, c ) eixo transverso em y e centro na origem; 
 Vértices: V( -a, 0 ) e V’( a, 0 ) eixo transverso em x e centro na origem; 
 V( 0, - a ) e V’( 0, a ) eixo transverso em y e centro na origem 
 
Pela definição, temos: 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) aycxycx 200 2222 =−+−−−++ , desenvolvendo esta 
equação obtemos a equação típica da hipérbole com centro na origem 
e eixo transverso sobre o eixo dos x: 
 
 
 
( ) ( )
1
2
2
2
2
=
−
+
−
a
ky
b
hx
 
1
2
2
2
2
=−
b
y
a
x
 
a
ba
a
c
e
22 −
== 
 32
Com eixo transverso sobre o eixo dos y e centro na origem a equação 
típica da hipérbole passa a ser: 
 
 
 
 
 
 Comprimento do eixo transverso (eixo real): 2a 
 
 Comprimento do eixo não transverso (eixo imaginário): 2b 
 
 a = Distância do centro da hipérbole aos vértices; 
 c = Distância do centro da hipérbole aos focos; 
 DD’ = Diretrizes. 
 b = Distância do centro da hipérbole a um ponto imaginário. 
 
 Na hipérbole: 
 
 
 
 - COMPRIMENTO DA CORDA FOCAL MÍNIMA: 
 
 
 
 
 - EQUAÇÕES DAS DIRETRIZES COM A HIPÉRBOLE COM 
CENTRO NA ORIGEM: 
 
 
 
 Com eixo transverso sobre o eixo dos x; 
 
 
 
 Com eixo transverso sobre o eixo dos y. 
 
 
 
 - EQUAÇÃO TÍPICA DA HIPÉRBOLE COM CENTRO ( )kh, , FORA 
DA ORIGEM: 
 
 Com eixo transverso paralelo ao eixo dos x: 
 
 
 
 
1
2
2
2
2
=−
b
x
a
y
 
222 bac += 
a
b
LR
22
= 
0=±
e
a
x 
0=±
e
a
y 
( ) ( )
1
2
2
2
2
=
−
−
−
b
ky
a
hx
 
 33
 Com eixo transverso paralelo ao eixo dos y: 
 
 
 
 
 - EXCENTRICIDADE: 
 
 e > 1 
 
 
 
 - EQUAÇÕES DAS ASSINTOTAS: 
 
 Com centro na origem e eixo transverso em x: 
 
 
 
 
 Com centro na origem e eixo transverso em y: 
 
 
 
 
 Com centro ( )kh, fora da origem e eixo transverso paralelo ao eixo 
dos x: 
 
 
 
 
 
 
 Com centro ( )kh, fora da origem e eixo transverso paralelo ao eixo 
dos y: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( )
1
2
2
2
2
=
−
−
−
b
hx
a
ky
 
a
ba
a
c
e
22 +
== 
x
a
b
y ±= 
x
b
a
y ±= 
( ) ( )hx
a
b
ky −±=− 
( ) ( )hx
b
a
ky −±=− 
 34
10 - TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS: 
 
TRANSLAÇÃO: 
 
 
 
 
 
 
 y y’ 
 
 
 ( h, k ) x’ (Novos eixos transladados) 
 
 
 
 
 ( 0, 0 ) x (Eixos Primitivos) 
 
 
 
ROTAÇÃO: 
 
 
 
 
 
 
 Equação Geral do 2º. Grau: 
 y 022 =+++++ FEyDxcyBxyAx 
 y’ x’ 
 
 
CA
B
tg
−
=θ2 
 
θ B2 – 4AC = 0 Parábola 
 B2 – 4AC < 0 Elipse 
 X B2 – 4AC > 0Hipérbole 
 
 
 
 
 
 
 
 
hxx += '
 
kyy += '
 
θθ senyxx 'cos' −= 
θθ cos'' ysenxy += 
 35
11 - COORDENADAS POLARES: 
 
 ),( θrP 
 
 r 
 
 θ 
 
 O Eixo Polar 
 y 
 
 
 ),( yxP 
 
 r 
 y 
 θ 
 
 O x x (Plano Cartesiano/Eixos Coordenados) 
 
 
11.1 – Relação entre coordenadas Polares e Cartesianas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11.2 – Distância entre dois pontos: 
 
 d 
 
 2r 1r 
 2θ 1θ 
 x 
 O 
 
 
θcosrx = 
θrseny = 
22 yxr +=
 
x
y
arctg=θ 
)cos(2 1221
2
2
2
1 θθ −−+= rrrrd 
 36
11.3 – Equação da Circunferência com centro em ),( 11 θr e raio 1r : 
 
 
 
 
 , quando centro é ( )00,a e raio a . 
 
 
11.4 – Equação das Cônicas: 
 
 
Com a diretriz perpendicular ao eixo polar e a esquerda 
do ponto ),( θrP ; 
 
 
 
Com a diretriz perpendicular ao eixo polar e a direita do 
ponto ),( θrP ; 
 
 
 
Com a diretriz paralela ao eixo polar e abaixo do ponto 
),( θrP ; 
 
 
 
Com a diretriz paralela ao eixo polar e acima do ponto 
),( θrP ; 
 
 
12 – ESTUDO DO PLANO: 
 
Todo plano é representado por uma equação do primeiro grau com três variáveis 
x, y e z. A proposição recíproca também é verdadeira. Toda equação do primeiro 
grau com três variáveis x, y e z representa um plano. 
 
A equação geral de um Plano é 0=+++ DCzByAx , desde que A, B e C não 
sejam simultaneamente nulos. 
 
A equação de uma família de planos que passam pelo ponto ),,( 000 zyxP é: 
 
0)()()( 000 =−+−+− zzCyyBxxA 
 
 
2
11
2
1
2 )cos(2 arrrr =−−+ θθ 
θcos2ar = 
θcos1 e
ep
r
−
= 
θcos1 e
ep
r
+
= 
θesen
ep
r
−
=
1
 
θesen
ep
r
+
=
1
 
 37
- RETA PERPENDICULAR A UM PLANO: 
 
Uma reta é perpendicular a um plano se os parâmetros diretores a, b, c da reta 
forem proporcionais aos coeficientes de x, y, e z da equação do plano, e 
somente neste caso. Se a, b, c, A, B e C forem todos diferentes de zero, a 
condição 
C
c
B
b
A
a
== , poderá ser satisfeita e, nesse caso, a reta e o plano serão 
perpendiculares entre si. 
 
- PLANOS PARALELOS E PERPENDICULARES: 
 
Dois planos 01111 =+++ DzCyBxA e 02222 =+++ DzCyBxA serão paralelos se 
os coeficientes de x, y e z em suas equações forem proporcionais, isto é, se a 
condição 
2
1
2
1
2
1
C
C
B
B
A
A
== , for satisfeita e somente neste caso. 
 
Dois planos 01111 =+++ DzCyBxA e 02222 =+++ DzCyBxA serão 
perpendiculares se a condição 0212121 =++ CCBBAA for satisfeita e somente 
neste caso. 
 
- FORMA NORMAL: 
 
A forma normal da equação de um plano é: 0coscoscos =−++ pzyx γβα 
 
Para passarmos a equação de um plano na forma geral para a forma normal, 
utilizamos a seguinte fórmula: 
 
0
222
=
++±
+++
CBA
DCzByAx
, o sinal do radical é o oposto do sinal do coeficiente D ou é 
igual ao sinal do coeficiente C, caso D=0. 
 
- FORMA SEGMENTÁRIA: 
 
1=++
c
z
b
y
a
x
 onde a, b e c, são as coordenadas à origem do plano, ou seja, 
abscissa à origem, ordenada à origem e cota à origem, respectivamente. 
 
- DISTANCIA DE UM PONTO A UM PLANO: 
 
222 CBA
DCzByAx
d
++
+++
= 
 
 
 38
- ÂNGULOS ENTRE DOIS PLANOS: 
 
O ângulo θ entre os planos 01111 =+++ DzCyBxA e 02222 =+++ DzCyBxA é 
determinado por: 
 
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121cos
CBACBA
CCBBAA
++++
++
=θ 
 
- PLANOS PARTICULARES: 
 
As equações: 
0=++ DByAx 
0=++ DCzBy 
0=++ DCzAx 
 
Representam planos perpendiculares, respectivamente, aos planos xy, yz e xz. 
 
As equações: 
0=+ DAx 
0=+ DBy 
0=+ DCz 
 
Representam planos perpendiculares, respectivamente aos eixos dos x, dos y e 
dos z. 
 
 
13 – SUPERFICIES // QUÁDRICAS: 
 
Segue aabaixo o resumo do estudo das superfícies/quádricas: 
 
ESTUDO DA ESFERA; 
ESTUDO DA ELIPSÓIDE; 
ESTUDO DA HIPERBOLÓIDE DE UMA E DE DUAS FOLHAS; 
ESTUDO DA PARABOLÓIDE ELÍPTICA; 
ESTUDO DA PARABOLÓIDE HIPERBÓLICA; 
ESTUDO DO CONE RETO; 
ESTUDO DO CILINDRO. 
 
 
 
 
 
 
 
 39
ESTUDO DAS SUPERFÍCIES: 
 
ELIPSÓIDE: 
 
 
Fórmula Típica: (x – h)2 + (y – k)2 + (z – j)2 = 1 
 a2 b2 c2 
Para a ESFERA: Consideramos a mesma fórmula, porém a = b = c. 
 
PARABOLÓIDE ELÍPTICO: 
 
 
Fórmula Típica: (x – h)2 + (y – k)2 = 2cz 
 a2 b2 
 
PARABOLÓIDE HIPERBÓLICO: 
 
 
Fórmula Típica: (x – h)2 - (y – k)2 = 2cz 
 a2 b2 
 
 40
HIPERBOLÓIDES: 
 
 
Fórmulas Típicas: (x – h)2 + (y – k)2 - (z – j)2 = 1 (1 Folha) 
 a2 b2 c2 
 
 ou 
 
(x – h)2 - (y – k)2 + (z – j)2 = 1 (1 Folha) 
 a2 b2 c2 
 
 
(x – h)2 - (y – k)2 - (z – j)2 = 1 (2 Folhas) 
 a2 b2 c2 
 
 
CONE CIRCULAR RETO: 
 
 
Fórmula Típica: (x – h)2 + (y – k)2 – c2z2 = 0 
 
OBS: Quando o coeficiente a for igual a b ou c, isto é, quando dois coeficientes 
forem iguais a superfície é denominada, superfície de revolução. 
 
 
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SUPERFÍCIE CILÍNDRICA: 
 
 
Fórmula Típica: (x – h)2 + (y – k)2 = 1 
 a2 b2

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