Cálculo Numérico - Avaliando o Aprendizado 1 ao 10 - 27-05-2016

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CÁLCULO NUMÉRICO 
 
 
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Exercício: CCE0117_EX_A1 Matrícula: 
Aluno(a): Data: 09/03/2016 10:48:12 (Finalizada) 
 
 
 1a Questão (Ref.: 201407161181) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
 
 
 
 
2 
 
-3 
 
-5 
 
-11 
 
3 
 
 
 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201407161149) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
 
 
 
 
3 
 
-11 
 
2 
 
-3 
 
-7 
 
 
 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201407161179) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Sendo f uma função de R em R, definida por f(x) = 3x - 5, calcule f(-1). 
 
 
 
-7 
 
3 
 
-11 
 
-8 
 
2 
 
 
 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201407225773) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Seja f uma função de R em R, definida por f(x) = x2 + 1, calcule f(-1/4). 
 
 
 
17/16 
 
9/8 
 
2/16 
 
16/17 
 
- 2/16 
 
 
 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201407677479) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
A Matemática traduz as ideias desenvolvidas em diversas ciências, como a Física, a Química e as Engenharias, 
em uma linguagem algébrica clara, que nos possibilita a manipulação de equações matemáticas e, desta forma, 
o descobrimento e entendimento dos fenômenos naturais que nos rodeiam. Neste universo de conhecimento 
matemático, existem as funções que seguem o padrão f(x)=ax2+bx+c, onde "a", "b" e "c" representam 
números reais, com "a" diferente de zero. Com relação a este tipo de função, PODEMOS AFIRMAR: 
 
 
 
Estas funções apresentam comportamento crescente ou decrescente, porém nunca ambos. 
 
A forma gráfica destas funções sempre apresentam interseções com o eixo horizontal. 
 
Estas funções possuem em suas representações gráficas pontos que são denominados 
vértice da parábola. 
 
O coeficiente "a" está relacionado a forma crescente ou decrescente da forma gráfica associada a 
função. 
 
Estas funções são adequadas a representação de fenômenos constantes ao longo do tempo. 
 
 
 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201407677396) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
As funções matemáticas aparecem em diversos campos do conhecimento, descrevendo o comportamento da 
variável em estudo. Por exemplo, em Física, temos a descrição da velocidade de uma partícula em função do 
tempo no qual a observação se processa; em Economia, temos a descrição da demanda de um produto em 
função do preço do mesmo, entre outros exemplos. Com relação a função matemática que segue a lei algébrica 
f(x)=ax+b, com "a" e "b" representando números reais ("a" diferente de zero), PODEMOS AFIRMAR: 
 
 
 
O coeficiente "a" é denominado de coeficiente linear e nos fornece informação sobre o ponto em 
que a reta intercepta o eixo horizontal. 
 
O coeficiente "b" é denominado de linear e nos fornece informação sobre a angulação da reta. 
 
O coeficiente "a" é denominado de coeficiente angular e nos fornece informação sobre o ponto 
em que a reta intercepta o eixo horizontal. 
 
O coeficiente "a" é denominado de coeficiente angular e nos fornece informação sobre 
a angulação da reta. 
 
O coeficiente "b" é denominado de coeficiente angular e nos fornece informação sobre a 
angulação da reta. 
 
 
 
 
 
 
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Exercício: CCE0117_EX_A2 Matrícula: 
Aluno(a): Data: 09/03/2016 11:24:32 (Finalizada) 
 
 
 1a Questão (Ref.: 201407161193) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
A sentença "valor do módulo do quociente entre o erro absoluto e o número exato" expressa a definição de: 
 
 
 
Erro conceitual 
 
Erro absoluto 
 
Erro fundamental 
 
Erro relativo 
 
Erro derivado 
 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201407666444) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
A substituição de um processo infinito por um finito resulta num erro como o que acontece em 0,435621567...= 
0,435. Esse erro é denominado: 
 
 
 
De modelo 
 
Relativo 
 
De truncamento 
 
Absoluto 
 
Percentual 
 
 
 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201407208032) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Considere uma função f: de R em R tal que sua expressão é igual a f(x) = a.x + 8, sendo a um número real 
positivo. Se o ponto (-3, 2) pertence ao gráfico deste função, o valor de a é: 
 
 
 3 
 indeterminado 
 1 
 2,5 
 2 
 
 
 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201407161192) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
A sentença: "Valor do modulo da diferença numérica entre um numero exato e sua representação por um valor 
aproximado" apresenta a definição de: 
 
 
 
Erro derivado 
 
Erro conceitual 
 
Erro fundamental 
 
Erro relativo 
 
Erro absoluto 
 
 
 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201407206025) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Com respeito a propagação dos erros são feitas trê afirmações: 
I - o erro absoluto na soma, será a soma dos erros absolutos das parcelas; 
II - o erro absoluto da multiplicação é sempre nulo. 
III - o erro absoluto na diferença é sempre nulo. 
É correto afirmar que: 
 
 
 apenas II é verdadeira 
 todas são verdadeiras 
 todas são falsas 
 apenas III é verdadeira 
 apenas I é verdadeira 
 
 
 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201407203212) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Suponha que você tenha determinado umas das raízes da função f(x) = 0 pelo método da bisseção e tenha 
encontrado o valor 1,010 mas o valor exato é 1,030. Assim, os erros absoluto e relativo valem, 
respectivamente: 
 
 
 2.10-2 e 1,9% 
 0,020 e 2,0% 
 0,030 e 1,9% 
 3.10-2 e 3,0% 
 0,030 e 3,0% 
 
Gabarito Comentado 
 
 
 
 
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Exercício: CCE0117_EX_A3 Matrícula: 
Aluno(a): Data: 09/03/2016 13:02:19 (Finalizada) 
 
 
 1a Questão (Ref.: 201407161242) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Seja a função f(x) = x3 - 8x. Considere o Método da Falsa Posição para cálculo da raiz, e os valores iniciais para 
pesquisa 1 e 2. Assim, empregando o método, na iteração seguinte, a raiz deverá ser pesquisada no valor: 
 
 
 
1,5 
 
-6 
 
-3 
 
3 
 
2 
 
 
 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201407728288) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
A função f(x)=2x-3x=0 possui dois zeros: um no intervalo [0,1] e outro no intervalo [3,4]. Obtenha os zeros dessa 
função, respectivamente, em ambos intervalos usando o método da bisseção com ε=10-1 com 4 decimais. 
 
 
 
0,8750 e 3,4375 
 
0,8750 e 3,3125 
 
0,4375 e 3,6250 
 
0,3125 e 3,6250 
 
0,4375 e 3,3125 
 
 
 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201407161236) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Seja a função f(x) = x3 - 8x. Considere o Método da Bisseção para cálculo da raiz, e o intervalo [-8, 10] o 
escolhido para a busca. Assim, empregando o método, na iteração seguinte, a raiz deverá ser pesquisada no 
intervalo: 
 
 
 
[1,10] 
 
[0,1] 
 
[-4,5] 
 
[-4,1] 
 
[-8,1] 
 
 
 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201407677554) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Os métodos numéricos para resolução de equações da forma f(x) = 0, onde f(x) é uma função de uma variável 
real, consistem em determinar a solução (ou soluções) real ou complexa "c" a partir de processos iterativos 
iniciados por um valor x0. Com relação às afirmações a seguir,identifique a FALSA. 
 
 
 
No método da bisseção, utilizamos o fato de que se f(a).f(b)>0, sendo "a" e "b" as 
extremidades de um intervalo numérico, então pode-se afirmara que f(x0)=0 para algum 
valor de x0 neste intervalo. 
 
No método da falsa posição, utiliza-se o teorema do valor intermediário assim como este é utilizado 
no método da bisseção. 
 
No método da bisseção, utilizamos o fato de que se f(a).f(b)<0, sendo "a" e "b" as extremidades de 
um intervalo numérico, então existe pelo menos uma raiz neste intervalo. 
 
No método da falsa posição, existe um critério de parada para os processos reiterados adotados, 
semelhante ao que podemos verificar em outros métodos numéricos. 
 
No método da bisseção, utilizamos uma tolerância numérica para limitarmos o processo de 
sucessivas divisões do intervalo onde se considera a existência de uma raiz. 
 
Gabarito Comentado 
 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201407677724) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Em Cinemática Física, temos funções matemáticas que nos fornecem informações da posição, velocidade e 
aceleração em função do tempo e que se relacionam entre si através de operações matemáticas denominas de 
derivação e integração. Entre os diversos métodos numéricos para se obter a integral definida de uma função, 
podemos citar, com EXCEÇÃO de: 
 
 
 
Regra de Simpson. 
 
Método do Trapézio. 
 
Extrapolação de Richardson. 
 
Método de Romberg. 
 
Método da Bisseção. 
 
 
 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201407321068) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
O método da falsa posição está sendo aplicado para encontrar a raiz aproximada da equação f(x) =0 no 
intervalo [a,b]. A raiz aproximada após a primeira iteração é: 
 
 
 
A média aritmética entre os valores a e b 
 
O encontro da reta que une os pontos (a,f(a)) e (b,f(b)) com o eixo y 
 
O encontro da reta que une os pontos (a,f(a)) e (b,f(b)) com o eixo x 
 
O encontro da função f(x) com o eixo x 
 
O encontro da função f(x) com o eixo y 
 
Gabarito Comentado 
 
 
 
 
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 CÁLCULO NUMÉRICO 
 
 
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Exercício: CCE0117_EX_A4 Matrícula: 
Aluno(a): Data: 09/03/2016 15:20:15 (Finalizada) 
 
 
 1a Questão (Ref.: 201407667688) Fórum de Dúvidas (1 de 1) Saiba (0) 
 
Considere a descrição do seguinte método iterativo para a resolução de equações. " a partir de um valor 
arbitrário inicial x0 determina-se o próximo ponto traçando-se uma tangente pelo ponto (x0, f(x0)) e 
encontrando o valor x1 em que esta reta intercepta o eixo das abscissas." Esse método é conhecido como: 
 
 
 
Método das secantes 
 
Método de Pégasus 
 
Método de Newton-Raphson 
 
Método do ponto fixo 
 
Método da bisseção 
 
 
 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201407291603) Fórum de Dúvidas (1) Saiba (0) 
 
Em um método numérico iterativo determinado cálculo é realizado até que o critério de convergência seja 
satisfeito. Pode ser um critério de parada, considerando ε a precisão: 
 
 
A soma de dois valores consecutivos de x seja menor que a precisão ε 
 
O módulo da diferença de dois valores consecutivos de x seja maior que a precisão ε 
 
A soma de dois valores consecutivos de x seja maior que a precisão ε 
 
O módulo da diferença de dois valores consecutivos de x seja menor que a precisão ε 
 
O produto de dois valores consecutivos de x seja maior que a precisão ε 
 
 
 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201407203247) Fórum de Dúvidas (1 de 1) Saiba (0) 
 
Abaixo tem-se a figura de uma função e várias tangentes ao longo da curva. 
 
 
 
Esta é a representação gráfica de um método conhecido como: 
 
 
 
 Gauss Jacobi 
 Gauss Jordan 
 Bisseção 
 Ponto fixo 
 Newton Raphson 
 
 
 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201407731366) Fórum de Dúvidas (1) Saiba (0) 
 
O Método do Ponto Fixo inicia-se reescrevendo a função f(x) como: f(x)=φ(x)-x=0, assim para calcular a raiz da 
equação x2-3x+ex=2 empregando o MPF, determine qual função abaixo NÃO corresponde a uma função de 
iteração. 
 
 
 
 
 
φ(x)=ln(2-x2+3x) 
 
φ(x)=-x2+3x+2 
 
φ(x)=2-x2-ex-3 
 
φ(x)=2-exx-3 
 
φ(x)=2+3x-ex 
 
 
 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201407677578) Fórum de Dúvidas (1 de 1) Saiba (0) 
 
Em Ciência, é comum nos depararmos com equações em relação as quais devemos determinar raízes por 
métodos não analíticos, mas sim por métodos numéricos. Entre os métodos famosos, encontra-se o denominado 
Método de Newton-Raphson, que se baseia em obter sucessivas aproximações da raiz procurada a partir da 
expressão xn+1=xn- f(x) / f'(x), onde f '(x) é a primeira derivada da função. Considerando estas informações, 
determine após duas interações o valor da raiz da equação x2+x-6=0 partindo-se do valor inicial x0=1,5. 
Assinale a opção CORRETA. 
 
 
 
Valor da raiz: 2,00. 
 
Não há raiz. 
 
Valor da raiz: 3,00. 
 
Valor da raiz: 2,50. 
 
Valor da raiz: 5,00. 
 
 
 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201407203558) Fórum de Dúvidas (1) Saiba (0) 
 
Para utilizarmos o método do ponto fixo (MPF) ou método iterativo linear (MIL) devemos trabalhar como uma 
f(x) contínua em um intervalo [a,b] que contenha uma raiz de f(x). O método inicia-se reescrevendo a função 
f(x) em uma equivalente, uma vez que f(x) não facilita a procura da raiz. Considere a função f(x) = x3 + x2 - 8. 
A raiz desta função é um valor de x tal que x3 + x2 - 8 = 0. Se desejarmos encontrar a raiz pelo MIL, uma 
possível função equivalente é: 
 
 
 (x) = x3 - 8 
 (x) = 8/(x2 + x) 
 (x) = 8/(x3 - x2) 
 (x) = 8/(x2 - x) 
 (x) = 8/(x3+ x2) 
 
 
 
 
 
 
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Exercício: CCE0117_EX_A5 Matrícula: 
Aluno(a): Data: 09/03/2016 16:01:25 (Finalizada) 
 
 
 1a Questão (Ref.: 201407677591) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Métodos Iterativos para a resolução de um sistema linear representam uma excelente opção matemática para 
os casos em que o sistema é constituído de muitas variáveis, como os Métodos de Método de Gauss-Jacobi e 
Gauss-Seidel. Com relação a estes métodos, NÃO podemos afirmar: 
 
 
 
Ambos os métodos mencionados se baseiam na transformação de um sistema Ax=B em um sistema 
xk=Cx(k-1)+G. 
 
Com relação a convergência do Método de Gauss-Seidel, podemos citar o critério de Sassenfeld, que 
garante a convergência tomando-se como referência o "parâmetro beta" inferior a 1. 
 
Se a sequência de soluções xk obtida estiver suficientemente próxima de x(k-1), sequência anterior, 
segundo um critério numérico de precisão, paramos o processo. 
 
Considerando uma precisão "e", tem-se uma solução xk quando o módulo de xk-x(k-1) for inferior a 
precisão. 
 
Adotando-se uma precisão "e" como critério de parada dos cálculos, xk representa uma 
solução quando o módulo de xk-x(k-1) for superior a precisão. 
 
Gabarito Comentado 
 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201407677585) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
A Pesquisa Operacional é uma forte ferramenta matemática que se utiliza basicamente de sistemas lineares 
para "modelar" uma determinado contexto em que temos um problema físico, econômico, financeiro etc. Entre 
as opções oferecidas a seguir, identifique qual método numérico PODE ser utilizado para a resolução de 
sistemas lineares. 
 
 
 
Método da falsa-posição.Método de Newton-Raphson. 
 
Método da bisseção. 
 
Método do ponto fixo. 
 
Método de Gauss-Jordan. 
 
Gabarito Comentado 
 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201407677582) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Em algumas modelagens físicas, nos deparamos com diversas situações em que devemos expressar condições 
de contorno através de equações lineares, que se organizam em um sistema. Considerando as opções a seguir, 
identifique aquela que NÃO se relaciona a relação destes sistemas. 
 
 
 
Método de Gauss-Seidel. 
 
Método de Gauss-Jacobi. 
 
Método de Gauss-Jordan. 
 
Método de Decomposição LU. 
 
Método de Newton-Raphson. 
 
Gabarito Comentado 
 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201407677587) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
O Método de Gauss-Jacobi representa uma poderosa ferramenta que utilizamos para resolver sistemas 
lineares, baseado na transformação de um sistema Ax=B em um sistema xk=Cx(k-1)+G. Neste Método, 
comparamos as soluções obtidas em duas iterações sucessivas e verificamos se as mesmas são inferiores a uma 
diferença considerada como critério de parada. Considerando o exposto, um sistema de equações lineares 
genérico com quatro variáveis x1, x2, x3 e x4 e um critério de parada representado por 0,050, determine qual a 
menor interação que fornece uma solução aceitável referente a variável x1: 
 
 
 
Terceira interação: |x1(3) - x1(2)| = 0,030 
 
Segunda interação: |x1(2) - x1(1)| = 0,15 
 
Primeira interação: |x1(1) - x1(0)| = 0,25 
 
Quarta interação: |x1(4) - x1(3)| = 0,020 
 
Quinta interação: |x1(5) - x1(4)| = 0,010 
 
 
 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201407203250) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
No cálculo numérico podemos alcançar a solução para determinado problema utilizando os métodos 
iterativos ou os métodos diretos. É uma diferença entre estes métodos: 
 
 
 os métodos iterativos são mais simples pois não precisamos de um valor inicial para o problema. 
 no método direto o número de iterações é um fator limitante. 
 o método iterativo apresenta resposta exata enquanto o método direto não. 
 o método direto apresenta resposta exata enquanto o método iterativo pode não conseguir. 
 não há diferença em relação às respostas encontradas. 
 
 
 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201407667711) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
A resolução de sistemas lineares é fundamental em alguns ramos da engenharia. O cálculo numérico é uma 
ferramenta importante e útil nessa resolução. Sobre os sistemas lineares assinale a opção CORRETA. 
 
 
 
Um sistema é dito linear quando pelo menos uma variável tem expoente unitário. 
 
Para o mesmo sistema linear e para um mesmo chute inicial, o método de Gauss-Seidel tende a 
convergir para a resposta exata do sistema numa quantidade maior de iterações que o método de Gauss-
Jacobi. 
 
O método da Eliminação de Gauss é um método iterativo para a resolução de sistemas lineares. 
 
Ao se utilizar um método iterativo para solucionar um sistema de equações lineares deve 
tomar cuidado pois, dependendo do sistema em questão, e da estimativa inicial escolhida, o 
método pode não convergir para a solução do sistema. 
 
Nos métodos diretos para a resolução de sistemas lineares utilizamos o escalonamento que consiste em 
transformar a matriz incompleta em uma matriz identidade 
 
 
 
 
 
 
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 CÁLCULO NUMÉRICO 
 
 
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Exercício: CCE0117_EX_A6 Matrícula: 
Aluno(a): Data: 17/05/2016 08:21:47 (Finalizada) 
 
 
 1a Questão (Ref.: 201407171737) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Considere que são conhecidos dois pares ordenados, (2,5) e (1,2). Utilizando o método de Lagrange de 
interpolação polinomial, obtém-se a função: 
 
 
 
3x - 1 
 
2x + 5 
 
3x + 7 
 
x - 3 
 
x + 2 
 
 
 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201407667734) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Para analisar um fenômeno um engenheiro fez o levantamento experimental em um laboratório. Nesta análise 
concluiu que que as duas variáveis envolvidas x e y se relacionam linearmente, ou seja, através de um 
polinômio P(x) do primeiro grau. Qual o número mínimo de pontos que teve que obter no ensaio para gerar o 
polinômio P9x) por interpolação polinomial? 
 
 
 
4 
 
5 
 
3 
 
2 
 
1 
 
Gabarito Comentado 
 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201407171754) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Você, como engenheiro, efetuou a coleta de dados em laboratório referentes a um experimento tecnológico de 
sua empresa. Assim, você obteve os pontos (0,3), (1,5) e (2,6). Com base no material apresentado acerca do 
Método de Lagrange, tem-se que a função M1 gerada é igual a: 
 
 
 
-2x2 + 3x 
 
x2 + 2x 
 
-x2 + 4x 
 
-3x2 + 2x 
 
-x2 + 2x 
 
Gabarito Comentado 
 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201407667722) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
A interpolação polinomial consiste em encontrar um polinômio de grau igual ou menor que n que melhor se 
ajuste aos n +1 pontos dados. Existem várias maneiras de encontrá-lo, dentre as quais podemos citar: 
 
 
 
o método de Pégasus 
 
o método de Euller 
 
o método de Runge Kutta 
 
o método de Lagrange 
 
o método de Raphson 
 
 
 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201407677622) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Em um experimento, foram obtidos os seguintes pontos (0,1), (4,9), (2,5), (1,3) e (3,7) que devem fornecer 
uma função através dos métodos de interpolação de Cálculo Numérico. Das funções descritas a seguir, qual é a 
mais adequada? 
 
 
 
Função cúbica. 
 
Função logarítmica. 
 
Função linear. 
 
Função exponencial. 
 
Função quadrática. 
 
Gabarito Comentado 
 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201407667729) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Você é estagiário de uma empresa de engenharia que trabalha com testes em peças para grandes motores. Em 
um ensaio laboratorial você gera 10 pontos ( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (x9,f(x9))). Suponha que se você tenha 
encontrado o polinômio P(x) interpolador desses pontos. A respeito deste polinômio é verdade que: 
 
 
 
Poderá ser do grau 15 
 
Pode ter grau máximo 10 
 
Sempre será do grau 9 
 
Será de grau 9, no máximo 
 
Nunca poderá ser do primeiro grau 
 
 
 
 
 
 
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 CÁLCULO NUMÉRICO 
 
 
Lupa 
 
 
 
 
 
Exercício: CCE0117_EX_A7 Matrícula: 
Aluno(a): Data: 17/05/2016 08:32:54 (Finalizada) 
 
 
 1a Questão (Ref.: 201407203174) Fórum de Dúvidas (1 de 3) Saiba (0) 
 
A regra de integração numérica dos trapézios para n = 2 é exata para a integração de polinômios de que 
grau? 
 
 
 primeiro 
 quarto 
 segundo 
 terceiro 
 nunca é exata 
 
Gabarito Comentado 
 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201407677640) Fórum de Dúvidas (1 de 3) Saiba (0) 
 
Integrais definidas de uma função podem ser interpretadas como a área sob a curva limitada a um determinado 
intervalo, porém a execução do cálculo desta área nem sempre é simples através de métodos analíticos, 
necessitando-se de método numéricos, como a Regra do Retângulo. Considerando o exposto, determine a 
área sob a função f(x)=x2+1 no intervalo [0; 1,2], considerando este intervalo dividido em três partes e o 
resultado com três casas decimais. 
 
 
 
Integral = 3,400 
 
Integral = 1,700 
 
Integral= 1,000 
 
Integral = 1,760 
 
Integral = 2,000 
 
Gabarito Comentado 
 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201407677645) Fórum de Dúvidas (1 de 3) Saiba (0) 
 
A literatura especializada oferece diversos métodos para cálculo de área sob a curva, sendo a Regra dos 
Trapézios de fácil execução, fornecendo bons resultados quanto a precisão. Considerando que a integral definida 
de uma função f(x) no intervalo [a,b] neste método é dada por h/2 [f(x1)+ 2.f(x2)+ 2.f(x3)+.... f(xn)], onde "h" 
é o tamanho de cada subintervalo e x1, x2, x3....xn são os valores obtidos com a divisão do intervalo [a,b] em 
"n" partes, obtenha a integral da função f(x)=2x no intervalo [0,4], considerando-o dividido em 4 partes. 
Assinale a opção CORRETA. 
 
 
 
45,0 
 
12,3 
 
10,0 
 
20,0 
 
22,5 
 
Gabarito Comentado 
 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201407203028) Fórum de Dúvidas (1 de 3) Saiba (0) 
 
Seja o método numérico de integração conhecido como regra dos retângulos, isto é, a divisão do intervalo 
[a,b] em n retângulos congruentes. Aplicando este método para resolver a integral 
definida com a n = 10, cada base h terá que valor? 
 
 
 
 0,2 
 1 
 2 
 0,1 
 indefinido 
 
Gabarito Comentado 
 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201407203023) Fórum de Dúvidas (1 de 3) Saiba (0) 
 
Considere o conjunto de pontos apresentados na figura abaixo que representa o esforço ao longo de uma 
estrutura de concreto. 
 
 
 
 
A interpolação de uma função que melhor se adapta aos dados apresentados acima é do tipo 
 
 
 Y = abx+c 
 Y = b + x. log(a) 
 Y = ax2 + bx + c 
 Y = ax + b 
 Y = b + x. ln(a) 
 
 
 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201407203555) Fórum de Dúvidas (1 de 3) Saiba (0) 
 
Em um método numérico iterativo determinado cálculo é realizado até que o critério de convergência seja 
satisfeito. Que desigualdade abaixo pode ser considerada um critério de convergência, em que k é a 
precisão desejada: 
 
DADO: considere Mod como sendo o módulo de um número real. 
 
 
 Mod(xi+1 + xi) > k 
 Mod(xi+1 - xi) < k 
 Mod(xi+1 - xi) > k 
 todos acima podem ser utilizados como critério de convergência 
 Mod(xi+1 + xi) < k 
 
Gabarito Comentado 
 
 
 
 
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 CÁLCULO NUMÉRICO 
 
 
Lupa 
 
 
 
 
 
Exercício: CCE0117_EX_A8 Matrícula: 
Aluno(a): Data: 27/05/2016 09:27:33 (Finalizada) 
 
 
 1a Questão (Ref.: 201407677721) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Métodos numéricos para a resolução de problemas que envolvam integrais definidas nos fornecem boas 
aproximações, especialmente se for utilizado o Método de Romberg. Entre as opções oferecidas a seguir, 
determine aquela que apresenta expressão relacionada a este método. 
 
 
 
[f(x1)+ 4.f(x2)+ 2.f(x3)+ 4.f(x4)....+ 4.f(xn-1)+f(xn)] 
 
xk=Cx(k-1)+G 
 
R2,1=1/2 [R1,1+h1.f(a+h2)] 
 
Ax=B, com A, x e B representando matrizes 
 
xn+1=xn- f(x) / f'(x) 
 
Gabarito Comentado 
 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201407677715) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Integrais definidas representam em diversas situações a solução de um problema da Física e podem ser obtidas 
através da Regra do Retângulo, da Regra do Trapézio, da Regra de Simpson e do Método de Romberg. Este 
último utiliza as expressões R1,1=(a-b)/2 [f(a)+f(b)] e R2,1=1/2 [R1,1+h1.f(a+h2)] para as primeiras 
aproximações, considerando a função f(x) sobre o intervalo [a,b]. Considerando o exposto, obtenha R2,1 para a 
função f(x)=x3, no intervalo [0,1]. Assinale a opção CORRETA com três casas decimais. 
 
 
 
0,625 
 
0,313 
 
1,313 
 
0,939 
 
1,230 
 
 
 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201407677731) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Existem diversos métodos para a obtenção de uma integral definida, porém um deles aplica a regra do trapézio 
de forma repetida e "refina" a expressão obtida através da extrapolação de Richardson. Identifique nas opções a 
seguir o método que MAIS SE ADÉQUA ao descrito. 
 
 
 
Método da Bisseção. 
 
Método de Romberg. 
 
Extrapolação de Richardson. 
 
Regra de Simpson. 
 
Método do Trapézio. 
 
 
 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201407677739) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
O Método de Romberg nos permite obter o resultado de integrais definidas por técnicas numéricas. Este 
método representa um refinamento de métodos anteriores, possuindo diversas especificidades apontadas nos a 
seguir, com EXCEÇÃO de: 
 
 
 
A precisão dos resultados é superior a obtida no método dos retângulos. 
 
Permite a obtenção de diversos pontos que originam uma função passível de integração 
definida. 
 
Utiliza a extrapolação de Richardson. 
 
As expressões obtidas para a iteração se relacionam ao método do trapézio. 
 
Pode se utilizar de critérios de parada para se evitar cálculos excessivos. 
 
Gabarito Comentado 
 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201407677666) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
O Método de Romberg é uma excelente opção para a obtenção de integrais definidas, exigindo menos esforço 
computacional e oferecendo resultados mais precisos que outros métodos através de cálculos sequenciais. As 
duas primeiras etapas são obtidas através R1,1=(a-b)/2 [f(a)+f(b)] e R2,1=1/2 [R1,1+h1.f(a+h2)], e fornecem 
aproximações para a integral definida da função f(x) sobre o intervalo [a,b]. Considerando o exposto, obtenha 
R2,1 para a função f(x)=x2, no intervalo [0,1]. Assinale a opção CORRETA com três casas decimais. 
 
 
 
0,382 
 
0,725 
 
0,351 
 
1,053 
 
1,567 
 
 
 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201407206028) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Sobre o método de Romberg utilizado na integração numérica são feitas as seguintes afirmações: 
 
I - É um método de alta precisão 
II - Tem como primeiro passo a obtenção de aproximações repetidas pelo método do trapézio 
III - só pode ser utilizado para integrais polinomiais 
 
É correto afirmar que: 
 
 
 apenas II e III são corretas 
 todas são erradas 
 todas são corretas 
 apenas I e III são corretas 
 apenas I e II são corretas 
 
Gabarito Comentado 
 
 
 
 
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 CÁLCULO NUMÉRICO 
 
 
Lupa 
 
 
 
 
 
Exercício: CCE0117_EX_A9 Matrícula: 
Aluno(a): Data: 27/05/2016 09:28:32 (Finalizada) 
 
 
 1a Questão (Ref.: 201407171924) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Encontrar a solução da equação diferencial ordinária y' = f ( x, y ) = 3x + 2y + 2 com a 
condição de valor inicial y (3) = 4. Dividindo o intervalo [3;4] em apenas uma parte, ou seja, 
fazendo h =1 e, aplicando o método de Euler, determine o valor aproximado de y (4) para a 
equação dada. 
 
 
 
22 
 
24 
 
23 
 
21 
 
25 
 
Gabarito Comentado 
 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201407171932) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Encontrar a solução da equação diferencial ordinária y' = f ( x, y ) = 2x + y + 1 com a condição 
de valor inicial y ( 1) = 1. Dividindo o intervalo [ 1; 2 ] em 2 partes, ou seja, fazendo h =0,5 e, 
aplicando o método de Euler, determine o valor aproximado de y ( 1,5 ) para a equação dada. 
 
 
 
1 
 
2 
 
7 
 
3 
 
4 
 
 
 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201407728324) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Resolva, aproximadamente,pelo Método de Euler a equação diferencial com a condição inicial 
dada, considerando duas divisões do intervalo entre x0 e xn. 
y'=x-yx y(1)=2,5 y(2)=? 
 
 
 
 
1,6667 
 
1,7776 
 
1,0000 
 
15555 
 
1,5000 
 
 
 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201407677752) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
O Método de Euler nos fornece pontos de curvas que servem como soluções de equações diferenciais. 
Sabendo-se que um dos pontos da curva gerada por este método é igual a (4; 53,26) e que a solução exata é 
dada por y=ex, determine o erro absoluto associado. Assinale a opção CORRETA. 
 
 
 
1,00 
 
1,34 
 
2,50 
 
2,54 
 
3,00 
 
Gabarito Comentado 
 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201407677745) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Na descrição do comportamento de sistemas físicos dinâmicos, frequentente utilizamos equações diferenciais 
que, como o nome nos revela, podem envolver derivadas de funções. Um método comum para resolução de 
equações diferenciais de primeira ordem é o Método de Euler, que gera pontos da curva aproximada que 
representa a resolução do sistema. Para gerarmos os pontos, utilizamos a relação yk+1=yk+h.f(xk,yk), onde "h" 
representa o passo adotado. Considerando a equação diferencial y'=y com y(0)=1, gere o ponto da curva para 
k=1 e passo igual a 1. Assinale a opção CORRETA. 
 
 
 
1 
 
-2 
 
0 
 
2 
 
-1 
 
 
 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201407677748) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
O Método de Euler é um dos métodos mais simples para a obtenção de pontos de uma curva que serve como 
solução de equações diferenciais. Neste contexto, geramos os pontos, utilizando a relação yk+1=yk+h.f(xk,yk), 
onde "h" representa o passo adotado. Considerando a equação diferencial y'=y com y(0)=2, gere o ponto da 
curva para k=1 e passo igual a 0,5. Assinale a opção CORRETA. 
 
 
 
0 
 
1 
 
-2 
 
-3 
 
3 
 
 
 
 
 
 
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 CÁLCULO NUMÉRICO 
 
 
Lupa 
 
 
 
 
 
Exercício: CCE0117_EX_A10 Matrícula: 
Aluno(a): Data: 27/05/2016 09:28:52 (Finalizada) 
 
 
 1a Questão (Ref.: 201407206015) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Em relação ao método de Runge - Kutta de ordem "n" são feitas três afirmações: 
I - é de passo um; 
II - não exige o cálculo de derivada; 
III - utiliza a série de Taylor. 
É correto afirmar que: 
 
 
 apenas II e III estão corretas 
 todas estão corretas 
 apenas I e II estão corretas 
 apenas I e III estão corretas 
 todas estão erradas 
 
 
 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201407206020) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Considere a equação diferencial y´= y, sendo y uma função de x. Sua solução geral é y(x) = a.ex, onde a é 
um numero real e e um número irracional cujo valor aproximado é 2,718. Se a condição inicial é tal que y(0) 
= 2, determine o valor de a para esta condição. 
 
 
 1 
 0 
 2 
 0,25 
 0,5 
 
 
 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201407667750) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Considere a equação diferencial ordinária y´= y, sendo y uma função de x, ou seja, y = y (x). A solução geral 
desta EDO é a função y(x) = k.ex, onde k é um número real e e um número irracional cujo valor aproximado é 
2,718. Considerando a condição inicial tal que y(0) = 5, determine o valor da constante k para esta condição. 
 
 
 
1/2 
 
4 
 
1/5 
 
2 
 
5 
 
 
 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201407287134) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Considere a equação diferencial y´= y, sendo y uma função de x. Sua solução geral é y(x) = a.e^x, onde a é 
um numero real e e um número irracional cujo valor aproximado é 2,718. Se a condição inicial é tal que y(0) = 
2, determine o valor de a para esta condição. 
 
 
 
2 
 
3 
 
1 
 
0 
 
1/2 
 
Gabarito Comentado 
 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201407209000) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Considere a equação diferencial ordinária y´= y +3, tal que y é uma função de x, isto é, y (x). Marque a 
opção que encontra uma raiz desta equação. 
 
 
 y = ex - 3 
 y = ex - 2 
 y = ln(x) -3 
 y = ex + 2 
 y = ex + 3 
 
Gabarito Comentado 
 
 
 
 
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