5 Lajes Especiais

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Lajes de Forma Especial
Prof. Romel Dias Vanderlei
Universidade Estadual de Maringá
Centro de Tecnologia
Departamento de Engenharia Civil
C
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ítu
lo
 5
Curso: Engenharia Civil Disciplina: Estruturas em Concreto II
P
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om
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 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
Bibliografia:
? ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. 
Projeto de estruturas de concreto: NBR 6118:2003. Rio de 
Janeiro, ABNT, 2004.
? ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. 
Cargas para o cálculo de estruturas de edificações. NBR 
6120:1980. Rio de Janeiro, ABNT, 1980.
? ROCHA, A. M. Novo Curso Prático de Concreto Armado. Vol. 
IV, Ed. Científica, 1975.
? TRANALLI, P. P.; SOUZA R. A. Lajes Triangulares em 
Concreto Armado. In: V Encontro Tecnológico da Engenharia 
Civil e Arquitetura - ENTECA, 2005, Maringá - PR: 
Universidade Estadual de Maringá, 2005.
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Sumário
5.1- Introdução
5.2- Lajes Circulares
5.2.1- Generalidades
5.2.2- Carga uniforme total
5.2.3- Carga uniforme parcial
5.2.4- Exemplo 1
5.2.5- Exemplo 2
5.3- Lajes Triangulares
5.3.1- Generalidades
5.3.2- Caso de Triangulo Eqüilátero
5.3.3- Caso de Triângulo Retângulo Isósceles
5.3.4- Lajes em Triângulo Isósceles
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5.1- Introdução
?Laje Circular
?Laje Triangular
3
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5.2- LAJES CIRCULARES
5.2.1- Generalidades
? Para cada ponto, consideram-se, os momentos 
em planos verticais:
? Momento radial Mr (contêm o raio)
? Momento tangencial Mt (perpendiculares ao raio)
? Pela simetria da carga ao centro da laje os 
momentos são constantes ao longo de um 
círculo de raio r. 
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5.2- LAJES CIRCULARES
5.2.1- Generalidades
? As armaduras podem ser:
? Radial e circular, ou
? Segundo duas direções normais.
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5.2- LAJES CIRCULARES
5.2.2- Carga uniforme total
a) Lajes simplesmente apoiadas no contorno:
l
a
r
l
P
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f. 
R
om
el
 D
ia
s 
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de
rle
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5.2- LAJES CIRCULARES
5.2.2- Carga uniforme total
a) Lajes simplesmente apoiadas no contorno:
? Os momentos em cada ponto situado a uma 
distância r do centro serão:
[ ])31()3(
16
)()3(
16
22
22
νν
ν
⋅+⋅−+⋅⋅=
−⋅+⋅=
raqM
raqM
t
r
onde:
ν - coeficiente de Poisson
a - raio do círculo que contorna a laje.
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om
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5.2- LAJES CIRCULARES
5.2.2- Carga uniforme total
? Para ν = 0,20: ( )
22
22
26,020,0
20,0
rqaqM
raqM
t
r
⋅⋅−⋅⋅=
−⋅⋅=
? Momento máximo, no centro (r = 0):
20
20,0
2
2 lqaqMM tr
⋅=⋅⋅==
onde l é o diâmetro da laje.
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5.2- LAJES CIRCULARES
5.2.2- Carga uniforme total
? Flecha:
D
aqfmáx ⋅+⋅
⋅⋅+=
)1(64
)5( 4
ν
ν
onde D é o coeficiente de rigidez da laje, dado pela fórmula:
Para ν = 0,20:
)1(12 2
3
ν−⋅
⋅= dED
3
4
3
4
049,078,0
dE
lq
dE
aqfmáx ⋅
⋅⋅=⋅
⋅⋅=
6
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5.2- LAJES CIRCULARES
5.2.2- Carga uniforme total
b) Lajes Engastada no Contorno:
 
a 
r 
fmáx 
l
 
a 
r 
fmáx 
l
P
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f. 
R
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5.2- LAJES CIRCULARES
5.2.2- Carga uniforme total
b) Lajes Engastada no Contorno:
? Momentos em um ponto qualquer à distância r do 
centro: [ ]
[ ])31()1(
16
)3()1(
16
22
22
νν
νν
+⋅−+⋅⋅=
+⋅−+⋅⋅=
raqM
raqM
t
r
22 019,0075,0 lqaqMM tr ⋅⋅=⋅⋅==
? Momento máximo positivo, no centro (r = 0 e ν = 0,20):
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5.2- LAJES CIRCULARES
5.2.2- Carga uniforme total
? Momento negativo no contorno (ν = 0,20):
19248
328
22
22
lqaqM
lqaqM
t
r
⋅−=⋅−=
⋅−=⋅−=
P
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5.2- LAJES CIRCULARES
5.2.2- Carga uniforme total
? Flecha:
2
44
0114,0
64 dE
lq
D
aqfmáx ⋅
⋅⋅=⋅
⋅=
8
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5.2- LAJES CIRCULARES
5.2.3- Carga uniforme parcial
? Para:
? momentos fletores radial e tangencial e
? flecha em qualquer ponto de uma laje circular
? Podem ser usadas as tabelas de N. V. Nikitin.
? Coeficientes em função dos valores:
a
b
a
r e =ρ
onde:
? r é a distância do ponto considerado ao centro da placa;
? b o raio da superfície de carga; e
? a o raio total da placa.
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5.2- LAJES CIRCULARES
5.2.3- Carga uniforme parcial
? Os momentos e a flecha em cada ponto são dados 
pelas fórmulas:
Os coeficientes de Kr, Kt e Kf são encontrados na 
TABELA 4 em função de a/b e ρ.
2
2
2 2
r r
t t
f
M K p b
M K p b
p a bf K
D
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
⋅ ⋅= ⋅
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5.2- LAJES CIRCULARES
Tabela 4 : Placa circular com uma carga 
uniformemente distribuída em uma superfície circular
000000000001,0
0,03560,03820,03570,03350,03160,03000,02870,02770,02690,02650,02630,9
0,06750,07760,07830,07300,06840,06460,06140,03890,05720,05610,05580,8
0,09560,11230,12220,13100,11260,10540,09660,09500,09180,08080,08920,7
0,12000,14240,16030,17080,16770,15550,14550,13770,13210,12880,12710,6
0,14060,16780,19250,21290,22500,22020,20330,19020,18080,17520,17330,5
0,15750,18870,21890,24730,27190,28770,28160,25860,24220,23240,22910,4
0,17060,20490,23940,27410,30830,34020,36360,35790,32630,30730,30100,3
0,18000,21650,25410,29320,33440,37770,42220,46200,46240,41740,40240,2
0,18560,22340,26290,30470,35000,40020,45740,52450,60300,63750,57560,1
0,18750,22570,26580,30850,35520,40770,46910,54540,64990,8250-0
Kr
1,00,90,80,70,60,50,40,30,20,10
(Relação do raio da carga sobre o raio da placa)ρCoeficiente
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5.2- LAJES CIRCULARES
Tabela 4 : Placa circular com uma carga 
uniformemente distribuída em uma superfície circular
0,12500,14870,17000,18870,20500,21870,23000,23810,24500,24870,25001,0
0,13690,16320,18700,20790,22610,24140,25400,26380,27080,27490,27630,9
0,14700,17630,20330,22730,24810,26580,28020,29140,29940,30420,30580,8
0,15690,18790,21790,24600,27070,29170,30880,32210,33160,33730,33920,7
0,16500,19790,23060,26260,29270,31870,33990,35650,36830,37530,37710,6
0,17190,20640,24140,27670,31180,34520,37330,39520,41080,42020,42330,5
0,17750,21340,25020,28810,32740,36770,40660,43830,46090,47450,47910,4
0,18190,21880,25700,29710,33960,38520,43390,48290,52070,54340,55100,3
0,18500,22260,26190,30340,34850,39770,45340,51760,58740,63610,65240,2
0,18690,22490,26480,30730,35350,40520,46520,53840,63420,76250,82560,1
0,18750,22570,26580,30850,35520,40770,46910,54540,64990,8250-0
Kt
1,00,90,80,70,60,50,40,30,20,10
(Relação do raio da carga sobre o raio da placa)
ρCoeficiente
10
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5.2- LAJES CIRCULARES
Tabela 4 : Placa circular com uma carga 
uniformemente distribuída em uma superfície circular
000000000001,0
0,01240,01480,01690,01880,02040,02180,02290,02380,02440,02480,02500,9
0,02450,02920,03350,03730,04060,04330,04560,04740,04860,04940,04960,8
0,03590,04290,04930,05500,06000,06420,06770,07030,07220,07340,07380,7
0,04640,05540,06390,07160,07830,08400,08870,09230,09490,09650,09700,6
0,05570,06660,07690,08640,09410,10230,10830,11300,11630,11830,11900,50,06350,07600,08790,09910,10930,11830,12580,13170,13580,13830,13920,4
0,06980,08360,09680,10940,12100,13150,14090,14770,15290,15600,15710,3
0,07440,08910,10330,11690,12960,14130,15160,16020,16670,17060,17190,2
0,07720,09240,10720,12140,13490,14730,15850,16820,17590,18100,18270,1
0,07810,09360,10860,12300,13660,14930,16080,17090,17910,18500,18750
Kf
1,00,90,80,70,60,50,40,30,20,10
(Relação do raio da carga sobre o raio da placa)
ρCoeficiente
P
ro
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om
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de
rle
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5.2- LAJES CIRCULARES
5.2.4- Exemplo 1
Calcular uma laje circular apoiada nas bordas, 
considerando fck = 20MPa, aço CA-50, sobrecarga de 
3,0 kN/m2, h = 12cm e cobrimento de armaduras de 
2,5 cm. Detalhar as armaduras e verificar a flecha.
l = 6m
11
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om
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s 
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de
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5.2- LAJES CIRCULARES
5.2.4- Exemplo 1
Resolução:
? Ações:
? Carga Total (p):
2
2
0,12 25 3,0 /
3,0 /
cg h KN m
q KN m
γ= × = × =
=
26,0 /P g q KN m= + =
P
ro
f. 
R
om
el
 D
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s 
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an
de
rle
i
5.2- LAJES CIRCULARES
5.2.4- Exemplo 1
? Momento máximo no centro:
2 2
2
2
6,0 6 10,8 /
20 20
2,0 1, 43 /
1, 4
50 43, 48 /
1,15
r t
c
s
q lM M KN m m
fckfcd KN cm
fykfyd KN cm
γ
γ
⋅ ×= = = = ⋅
= = =
= = =
12
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
5.2- LAJES CIRCULARES
5.2.4- Exemplo 1
? Altura útil (supondo barras de 10 mm):
? Área da armadura:
1,0' 2,5 3,0
2
' 9
d cm
d h d cm
≅ + =
= − =
2 2
1,4 100 10,81, 25 1 1 1,25 9 1 1
0,425 0, 425 100 9 1,43
1,88
d
w
MX d
b d fcd
X cm Domínio II
⎡ ⎤ ⎡ ⎤× ×= ⋅ ⋅ − − = ⋅ ⋅ − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎣ ⎦⎣ ⎦
= →
P
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f. 
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om
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ia
s 
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an
de
rle
i
5.2- LAJES CIRCULARES
5.2.4- Exemplo 1
? Área da armadura:
( ) ( )
2
2
1,4 100 10,8
0,4 43,48 9 0,4 1,88
4,21 / 10 / 16
0,15 100 15 2,25 /
100
d
mín
MAs
fyd d X
As cm m mm c cm
As cm c
φ
× ×= =⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅
= →
= × × = m
φ10mm c/ 18cm
12 = 1,8 cm2 / cm
cmcmmcmA efets 18/ 10 36,4
2
., φ→=
13
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f. 
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om
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de
rle
i
5.2- LAJES CIRCULARES
5.2.4- Exemplo 1
? Recomenda-se armadura negativa de borda:
? Visando evitar possíveis fissurações no engastamento
parcial existente entre as lajes e as vigas de borda.
2
2
1,5 /
0,15 100 15 2, 25 / 10 / 30
100
borda
borda
As cm m mínimo
As cm m mm c cmφ
= →
= × × = →12 = 1,8 cm2 / cm φ6.3mm c/ 17cm
P
ro
f. 
R
om
el
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ia
s 
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de
rle
i
5.2- LAJES CIRCULARES
5.2.4- Exemplo 1
? Flecha imediata:
3
4
049,0
dE
lpai ⋅
⋅⋅=
? Combinação de ações quase permanente:
∑ ∑+= kqjjkgiserd FFF ,2,, ψ
14
P
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f. 
R
om
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ia
s 
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an
de
rle
i
5.2- LAJES CIRCULARES
5.2.4- Exemplo 1
? Flecha Diferida:
? Deformação lenta: pode ser considerado de modo 
aproximado, dobrando-se a flecha imediata.
ifitotal
if
aaaa
aa
⋅=+=
=
2
? Módulo de elasticidade:
2
31037,287.2137,287.212047604760
(MPa) 560085,085,0
m
kNMPafE
fEEE
ckcs
ckcics
×==⋅=⋅=
⋅⋅=⋅==
P
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s 
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an
de
rle
i
5.2- LAJES CIRCULARES
5.2.4- Exemplo 1
? Combinação quase permanente:
29,333,032 mkNjQP qψgp =×+=+=
? Flecha imediata:
cmm
dE
lp
a QPi 6,1016,009,01037,287.21
69,3049,0049,0 33
4
3
4
==⋅×
⋅×=⋅
⋅⋅=
? Flecha total:
cmaa itotal 2,36,122 =×=⋅=
15
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f. 
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om
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de
rle
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5.2- LAJES CIRCULARES
5.2.4- Exemplo 1
? Flecha devido apenas a carga acidental:
23 mkNq =
? Flecha imediata:
cmm
dE
lqaq 2,1012,009,01037,287.21
63049,0049,0 33
4
3
4
==⋅×
⋅×=⋅
⋅⋅=
P
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5.2- LAJES CIRCULARES
5.2.4- Exemplo 1
? Verificações NBR 6118:2003
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=>===
=<===
cmacmla
cmacmla
sejaou
qqite
totalPqpite
2,1 7,1
350
600
350
 
2,34,2
250
600
250: 
,lim
,lim
16
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i
5.2- LAJES CIRCULARES
5.2.4- Exemplo 1
? Verificações:
? Portanto será necessário aumentar a altura da laje 
para que se cumpra a flecha a longo prazo!
? Para h = 13cm
2
2
25,6325,3
25,313,025
m
kN
m
kN
qgp
g
=+=+=
=×= 215,433,025,3 mkNQPp =×+=
cmm
dE
lp
a QPi 2,1012,009,01037,287.21
615,4049,0049,0 33
4
3
4
==⋅×
⋅×=⋅
⋅⋅=
)( 4,22,122 lim OKacmaa itotal ==×=⋅=
P
ro
f. 
R
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rle
i
5.2- LAJES CIRCULARES
5.2.4- Exemplo 1
? Detalhamento:
Armadura positiva - Ø10 c/18 cm Armadura negativa - Ø6.3 c/17 cm
Ø6.3 c/17 - 120
17
P
ro
f. 
R
om
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ia
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5.2- LAJES CIRCULARES
5.2.5- Exemplo 2
? Calcular e dimensionar a laje do exemplo 1, levando 
em consideração que exista condições de 
engastamento nas bordas.
? Esforço:
? Máximo momento positivo no centro:
mmkNlpMM tr /10,486,54
625,6
86,54
22
⋅=⋅=⋅==
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
5.2- LAJES CIRCULARES
5.2.5- Exemplo 2
? Momentos negativos no contorno:
φ 6.3 mm c/ 17cm0,401,80II0,18-1,17
φ 6.3 mm c/ 12cm2,541,80II1,13-7,03
φ 6.3mm c/ 17cm1,441,80II0,644,10
AsadotadoAscálcAsmínDomínio
X
(cm)
Mk
(KN.m/m)
? Área da armadura:
mmkNlpM
mmkNlpM
t
r
/17,1
192
625,6
192
/03,7
32
625,6
32
22
22
⋅−=⋅−=⋅−=
⋅−=⋅−=⋅−=
18
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
5.2- LAJES CIRCULARES
5.2.5- Exemplo 2
? Combinação quase permanente:
215,433,025,32 mkNjQP qψgp =×+=+=
? Flecha imediata:
cmm
dE
lp
a QPi 3,0003,01,01037,287.21
615,40114,00114,0 33
4
3
4
==⋅×
⋅×=⋅
⋅⋅=
? Flecha total:
cmaa itotal 6,03,022 =×=⋅=
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
5.2- LAJES CIRCULARES
5.2.4- Exemplo 1
? Flecha devido apenas a carga acidental:
23 mkNq =
? Flecha imediata:
cmm
dE
lqaq 2,0002,01,01037,287.21
630114,00114,0 33
4
3
4
==⋅×
⋅×=⋅
⋅⋅=
19
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
5.2- LAJES CIRCULARES
5.2.4- Exemplo 1
? Verificações NBR 6118:2003
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=>===
=>===
cmacmla
cmacmla
qqite
totalPqpite
2,0 7,1
350
600
350
 
6,04,2
250
600
250
,lim
,lim
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
5.2- LAJES CIRCULARES
5.2.5- Exemplo 2
? Detalhamento:
Armadura positiva - Ø6.3 c/17 cm Armadura negativa
Ø6.3 c/12 - 120
6Ø6.3 c/17
20
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
5.3- LAJES TRIANGULARES
? 5.3.1- Generalidades
? Classificação das lajes triangulares quanto ao 
formato:
? Eqüilátero (três lados iguais),
? Isósceles (dois lados iguais) e
? Retângulo isósceles (dois lados iguais unidos a 90°)
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
5.3- LAJES TRIANGULARES
? 5.3.2- Caso de Triangulo Eqüilátero
? Para bordas simplesmente apoiada no contorno:
? Armaduras em duas direções, de maneira paralela e 
perpendicular a um dos lados.
My
Mx
x
y
A
B
C
b
0,27.a
0,46.a
L P1 P2
21
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
? Na direção y
? O momento máximo My ocorre a uma distância igual 
a 0,46.a. 
5.3- LAJES TRIANGULARES
? 5.3.2- Caso de Triangulo Eqüilátero
? Momentos máximos (para ν = 0,20 ):
? Na direção x
? O momento máximo Mx ocorre parauma distância 
igual a 0,27.a
? sendo “a” igual a altura do triângulo equilátero.
44
apM
2
x
⋅=
46
apM
2
y
⋅=
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
? Momentos fletores:
5.3- LAJES TRIANGULARES
? 5.3.2- Caso de Triangulo Eqüilátero
? No centro de gravidade do triângulo equilátero:
? Flecha máxima:
294654
1MM
22
yx ,
apap
ν)( ⋅=⋅⋅+==
3
44
01200
972 dE
ap,
D
apf ⋅
⋅⋅=⋅
⋅=
)ν(
E.dD 2
3
112 −=
22
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
5.3- LAJES TRIANGULARES
? 5.3.3- Caso de Triângulo Retângulo Isósceles
? As armaduras podem ser dispostas de maneira 
paralela e perpendicular à hipotenusa.
a
Mx
Xx
y
a
a
y
Xy
My
c
A
b
xx
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
5.3- LAJES TRIANGULARES
? 5.3.3- Caso de Triângulo Retângulo Isósceles
? Na direção x da normal à hipotenusa:
? Os momentos são negativos junto ao canto A 
(vértice do ângulo reto)
? Se tornam positivos junto à diagonal.
? Momento máximo:
53
2apM x
⋅=
80
2apX x
⋅= a
Mx
Xx
y
a
a
x
23
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
5.3- LAJES TRIANGULARES
? 5.3.3- Caso de Triângulo Retângulo Isósceles
? Na direção paralela à hipotenusa:
? o momento My é positivo,
? partindo de zero na hipotenusa e crescendo 
rapidamente até se manter quase constante ao se 
aproximar do vértice A do ângulo reto.
? Momento máximo:
63
2apM y
⋅=
y
Xy
My
c
x
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
5.3- LAJES TRIANGULARES
? 5.3.3- Caso de Triângulo Retângulo Isósceles
? Flecha máxima:
3
4
max 010 E.d
p.a.,f =
? Observação:
? Os momentos na laje em triângulo retângulo 
isósceles se aproximam da metade do momento
fletor que seria obtido para uma laje quadrada de 
lado a.
? Assim, o cálculo pode ser feito, de um modo 
aproximado, tomando uma laje quadrada de lado 
am = 0,7 x a.
24
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
5.3- LAJES TRIANGULARES
? 5.3.3- Caso de Triângulo Retângulo Isósceles
? Armação negativa no canto do ângulo reto:
? Armação na direção da bissetriz deste ângulo
? Espaçamento igual ao das armaduras positivas
? Comprimento dos ferros maior ou igual a “a/4”.
A
b
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
5.3- LAJES TRIANGULARES
? 5.3.4- Lajes em Triângulo Isósceles
? A Tabela 1 fornece os coeficientes para 
obtenção:
? Momentos máximos Mx na direção normal à base,
? My na direção paralela à base de lajes em forma de 
triângulo isósceles apoiada nos três lados.
? Flecha máxima;
? Reações totais Rb na base e Rl nos lados do 
triângulo isósceles.
25
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
5.3- LAJES 
TRIANGULARES
? 5.3.4- Lajes em 
Triângulo Isósceles
Tabela 1 - Coeficientes para obtenção 
de esforços em lajes triangulares 
isósceles
B = base e H = altura do triângulo
0,0750,1000,00940,00810,0001592,00
0,0790,1040,00990,00900,0001701,90
0,0840,1080,01050,00990,0001921,80
0,0900,1130,01110,01080,0002251,70
0,0970,1180,01180,01180,0002701,60
0,1050,1230,01260,01280,0003261,50
0,1150,1280,01350,01410,0003931,40
0,1260,1340,01450,01550,0004691,30
0,1390,1400,01540,01720,0005551,20
0,1540,1480,01610,01920,0006521,10
0,1720,1570,01660,02140,0007621,00
0,1930,1610,01690,02270,0008400,95
0,1950,1650,01720,02410,0009320,90
0,2090,1700,01750,02550,0001040,85
0,2250,1760,01780,02700,001160,80
0,2420,1830,01810,02860,001290,75
0,2630,1900,01860,03030,001440,70
0,2860,1980,01910,03220,001600,65
0,3140,2060,01970,03430,001770,60
0,3480,2140,02030,03670,001960,55
0,3890,2220,02090,03960,002160,50
rlrbmymxfB/H
2.p.BmM xx = 2.p.BmM yy =
2.p.BrR bB = 2.p.BrR lL =
D
p.Bf.f
4
max =
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
5.3- LAJES TRIANGULARES
? 5.3.5- Exemplo de Triângulo Equilátero
? Calcular e detalhar as armaduras de uma laje com formato 
de triângulo equilátero apoiada nas três bordas.
? Dados:
C20; CA-50;
q = 3,0kN/m2
h = 10cm;
cnom = 2cm;
x
y
3,
0m
3,0m
3,0
m
2,59m
26
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
5.3- LAJES TRIANGULARES
5.3.5- Exemplo de Triângulo Equilátero
Resolução:
? Ações:
? Momentos máximos nas direções x e y:
2
2
5,535,2
5,210,025
m
kN
m
kN
qgp
g
=+=+=
=×=
44
apM
2
x
⋅=
46
apM
2
y
⋅=
Sendo a = 2,59m altura do triângulo equilátero
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
5.3- LAJES TRIANGULARES
5.3.5- Exemplo de Triângulo Equilátero
Resolução:
? Momentos máximos nas direções x e y:
mmkN /.83,0
44
59,25,5
44
apM
22
x =⋅=⋅=
mmkN /.80,0
46
59,25,5
46
apM
22
y =⋅=⋅=
? Altura útil (supondo barras de 6,3 mm):
cmch
cmch
y
xnom
x
nom
05,72
63,063,00,210
2
d
68,72
63,00,210
2
d
y
x
=−−−=−−−=
=−−=−−=
φφ
φ
27
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
5.3- LAJES TRIANGULARES
5.3.5- Exemplo de Triângulo Equilátero
? Área da armadura:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⋅⋅⋅−−⋅⋅= cdw
d
fdb
Md 2425,0
1125,1X
( )Xdf
M
yd
d
⋅−⋅= 4,0As
1,5
1,5
As,min (cm2/m)
φ6.3 c/20cm0,3620,16My = 0,80
φ6.3 c/20cm0,3520,15Mx = 0,83
BarrasAs (cm2/m)DomínioX (cm)Mk (kN.m/m)
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
5.3- LAJES TRIANGULARES
5.3.5- Exemplo de Triângulo Equilátero
? Armadura de borda:
? Visando evitar possíveis fissurações no engastamento
parcial existente entre as lajes e as vigas de borda.
2
2
1,5 /
0,15 100 15 2, 25 / 10 / 30
100
borda
borda
As cm m mínimo
As cm m mm c cmφ
= →
= × × = →10 = 1,5 cm2 / cm φ6.3mm c/ 20cm
L = a/4 = 259/4=64,75cm - 65cm
28
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
5.3- LAJES TRIANGULARES
5.3.5- Exemplo de Triângulo Equilátero
? Flecha imediata:
3
4
01200
dE
ap,ai ⋅
⋅⋅=
? Combinação de ações quase permanente:
24,333,05,22 mkNjQP qψgp =×+=+=
? Módulo de elasticidade:
2
31037,287.2137,287.212047604760
(MPa) 560085,085,0
m
kNMPafE
fEEE
ckcs
ckcics
×==⋅=⋅=
⋅⋅=⋅==
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
5.3- LAJES TRIANGULARES
5.3.5- Exemplo de Triângulo Equilátero
? Flecha imediata:
cmma
dE
lp
a
i
QP
i
025,000025,0
0705,01037,287.21
59,24,30120,0
0120,0
33
4
3
4
==⋅×
⋅×=
⋅
⋅⋅=
? Flecha total:
cmaa itotal 05,0025,022 =×=⋅=
29
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
5.3- LAJES TRIANGULARES
23 mkNq =
? Flecha imediata:
5.3.5- Exemplo de Triângulo Equilátero
? Flecha devido apenas a carga acidental:
cmmaq 022,000022,00705,01037,287.21
59,230120,0 33
4
==⋅×
⋅×=
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
5.3- LAJES TRIANGULARES
5.3.5- Exemplo de Triângulo Equilátero
? Verificações NBR 6118:2003
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=>===
=>===
cmacmla
cmacmla
qqite
totalPqpite
022,0 74,0
350
259
350
 
05,004,1
250
259
250
,lim
,lim
30
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
5.3- LAJES TRIANGULARES
5.3.5- Exemplo de Triângulo Equilátero
? Detalhamento:
Armadura positiva Ø6.3mm c/ 20cm
Ø6.3mm c/20cm
Armadura negativa Ø6.3mm c/ 20cm
Ø6.3mm c/20cm - 65
9
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
5.3- LAJES TRIANGULARES
? 5.3.6- Exemplo de Triângulo Retângulo Isósceles? Calcular e detalhar as armaduras de uma laje com formato 
de triângulo retângulo isósceles, apoiada nas três bordas.
? Dados:
C20; CA-50;
q = 5,0kN/m2
h = 10cm;
cnom = 2,5cm;
5,
0m
7,07m
5,0m
31
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
5.3- LAJES TRIANGULARES
5.3.6- Exemplo de Triângulo Retângulo Isósceles
Resolução:
? Ações:
2
2
5,755,2
5,210,025
m
kN
m
kN
qgp
g
=+=+=
=×=
? Momentos máximos na direção x normal à hipotenusa:
m
mkN ⋅−=⋅−=⋅−= 34,2
80
57,5
80
apX
22
x
m
mkN ⋅=⋅=⋅= 53,3
53
57,5
53
apM
22
x
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
5.3- LAJES TRIANGULARES
5.3.6- Exemplo de Triângulo Retângulo Isósceles
Resolução:
? Momento máximo na direção y, paralela à hipotenusa:
mmkN /.97,2
63
0,57,5
63
apM
22
y =⋅=⋅=
? Altura útil (supondo barras de 8 mm):
cmch xnom 10,72
8,05,210
2
d =−−=−−≅ φ
32
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
5.3- LAJES TRIANGULARES
5.3.6- Exemplo de Triângulo Retângulo Isósceles
? Área da armadura:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⋅⋅⋅−−⋅⋅= cdw
d
fdb
Md 2425,0
1125,1X ( )Xdf
M
yd
d
⋅−⋅= 4,0As
φ6.3 c/16cm1,501,6720,74Mx = 3,53
1,50
1,50
As,min (cm2/m)
φ6.3 c/20cm1,3920,62My = 2,97
φ6.3 c/20cm1,0920,48Xx = -2,34
BarrasAs (cm2/m)DomínioX (cm)Mk (kN.m/m)
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
5.3- LAJES TRIANGULARES
5.3.6- Exemplo de Triângulo Retângulo Isósceles
? Armadura de borda:
? Visando evitar possíveis fissurações no engastamento
parcial existente entre as lajes e as vigas de borda.
2
2
1,5 /
0,15 100 15 2, 25 / 10 / 30
100
borda
borda
As cm m mínimo
As cm m mm c cmφ
= →
= × × = →10 = 1,5 cm2 / cm φ6.3mm c/ 20cm
L = a/4 = 353/4=88,25cm - 88cm
Na direção x normal à hipotenusa.
33
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
5.3- LAJES TRIANGULARES
5.3.6- Exemplo de Triângulo Retângulo Isósceles
? Flecha imediata:
3
4
010
dE
ap,ai ⋅
⋅⋅=
? Combinação de ações quase permanente:
20,453,05,22 m
kN
jQP qψgp =×+=+=
? Módulo de elasticidade:
2
31037,287.2137,287.212047604760
(MPa) 560085,085,0
m
kNMPafE
fEEE
ckcs
ckcics
×==⋅=⋅=
⋅⋅=⋅==
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
5.3- LAJES TRIANGULARES
5.3.6- Exemplo de Triângulo Retângulo Isósceles
? Flecha imediata:
cmma
dE
lp
a
i
QP
i
33,00033,0
071,01037,287.21
0,50,401,0
01,0
33
4
3
4
==⋅×
⋅×=
⋅
⋅⋅=
? Flecha total:
cmaa itotal 66,033,022 =×=⋅=
34
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
5.3- LAJES TRIANGULARES
25 m
kNq =
? Flecha imediata:
5.3.6- Exemplo de Triângulo Retângulo Isósceles
? Flecha devido apenas a carga acidental:
cmmaq 41,00041,0071,01037,287.21
0,50,501,0 33
4
==⋅×
⋅×=
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
5.3- LAJES TRIANGULARES
5.3.6- Exemplo de Triângulo Retângulo Isósceles
? Verificações NBR 6118:2003
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=>===
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41,0 43,1
350
500
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5.3- LAJES TRIANGULARES
5.3.6- Exemplo de Triângulo Retângulo Isósceles
? Detalhamento:
Armadura positiva Ø6.3mm
Ø6.3mm c/20cm
Armadura negativa Ø6.3mm
Ø6.3mm c/20cm -125
9
Ø6.3mm c/16cm
Ø6.3mm c/20cm
88
cm