Teoria, Explicações e Exemplos de Derivadas - Calculo I

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Instituto Nacional de Telecomunicações 
 
Curso de NB019 - Cálculo I 
 
1o Período 
 
 
 
Capítulo 3 
 
2o Semestre de 2014 
 
 
Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações 
Curso de Cálculo I – Capítulo 3 115 
Capítulo 3 
DERIVADAS 
 
3.1. Acréscimo da variável – x∆ 
 
Dados dois valores 0x e 1x da variável x, com 10 xx < , chamamos de acréscimo da 
variável a diferença 
 
 
01 xxx −=∆ 
 
xxx ∆+= 01 
 
 
3.2. Acréscimo da função – y∆ 
 
Para toda função )(xfy = , quando a variável independente x sofre um acréscimo x∆ , 
consequentemente a variável dependente y sofre um acréscimo y∆ . Este efeito é 
ilustrado no gráfico a seguir. 
 
 
 
De forma geral, o acréscimo da função é dado por )()( xfxxfy −∆+=∆ sempre que x 
sofrer um acréscimo x∆ . 
 
Exemplo 01: Calcule o acréscimo da função xxy 2² += após a variável x sofrer um 
acréscimo x∆ . 
 
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Curso de Cálculo I – Capítulo 3 116 
3.3. Razão incremental – 
x
y
∆
∆
 
 
É a razão entre os acréscimos da variável e da função, respectivamente. Isto é, 
 
x
xfxxf
x
y
∆
−∆+
=
∆
∆ )()(
 
 
A razão incremental de uma função representa fisicamente a sua taxa de variação média. 
 
Exemplo 02: Calcule a razão incremental das funções a seguir: 
 
a) xxy 2² += 
 
b) xy 3= 
 
3.4. Derivada de uma função 
 
Dada uma função )(xfy = , chamamos de derivada de )(xf em relação à variável x o 
limite da razão incremental quando x∆ tende a zero, ou seja, 
 
x
xfxxf
x
y
xx ∆
−∆+
=
∆
∆
→∆→∆
)()(limlim
00
 
 
é a função derivada de )(xf em relação a x, cuja notações são dadas por 
 
[ ]
[ ]
x
xfxxf
xf
xfD
dx
dy
xy
xf
x
X
∆
−∆+
=










→∆
)()(lim
 )(
)(
)('
)('
0
'
 
 
Vimos que a razão incremental de uma função representa fisicamente sua taxa de 
variação média. Ao dividirmos y∆ por x∆ , mesmo que façamos x∆ tender a zero, 
continuamos tendo como resultado uma taxa de variação da função, porém calculada 
próxima a um ponto. Isto significa que uma derivada de uma função representa 
fisicamente a sua taxa de variação instantânea. 
 
Exemplo 03: Calcule a derivada das funções a seguir em relação a x. 
 
a) xxxf 2²)( += 
b) 52)( += xxf 
c) ³)( xxf = 
d) 4²)( += xxf 
 
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Curso de Cálculo I – Capítulo 3 117 
3.5. Derivada de uma função em um ponto ax = 
 
É o valor da derivada da função calculada em ax = , desde que fDa ∈ . 
 
Exemplo 04: Um corpo se desloca no espaço segundo a função ²325)( ttts ++= 
(MRUV), na qual )(ts indica a posição do corpo em metros e t o tempo em segundos. 
Pede-se: 
 
a) Sua velocidade média no intervalo ]5,1[∈t segundos. 
b) Sua velocidade nos instantes 1=t s e 5=t s. 
 
 
3.6. Álgebra das derivadas 
 
Utilizaremos agora a definição matemática de uma derivada para construirmos uma 
tabela de derivadas das principais funções. 
 
x
xfxxf
xf
x ∆
−∆+
=
→∆
)()(lim)('
0
 
 
D1) Função constante 
 
Kxf =)( )( ℜ∈K 0)(' =xf 
 
Exemplo 05: Por que a derivada de toda constante em relação a uma variável é igual a 
zero? 
 
Exemplo 06: Calcule a derivada das funções a seguir em relação a x. 
 
a) 2)( =xf 
 
b) pi=)(xf 
 
c) ²)( txf = 
 
D2) Função potência 
 
nxxf =)( 1)(' −= nnxxf 
 
Exemplo 07: Demonstre a derivada da função potência utilizando a definição de 
derivadas. 
 
Exemplo 08: Calcule a derivada das funções a seguir em relação a x. 
 
a) 6)( xxf = 
 
b) xxf =)( 
 
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c) 
x
xf 1)( = 
 
d) 4
1)(
x
xf = 
 
e) xxf =)( 
 
f) 
3
²
1)(
x
xf = 
 
g) 5)( txf = 
 
 
D3) Derivada de uma função multiplicada por uma constante )( ℜ∈K 
 
Se )(xfKy ⋅= , então )(' xfK
dx
dy
⋅= . 
 
Utilizando a definição de derivadas, temos 
 
)(')()(lim)()(lim
00
xfK
x
xfxxfK
x
xfKxxfK
dx
dy
xx
⋅=
∆
−∆+
⋅=
∆
⋅−∆+⋅
=
→∆→∆
. 
 
 
Exemplo 09: Calcule: 
 
a) ²)3( x
dx
d
 
 
b) [ ]54yDY − 
 
c) 



−
³
5
x
DX 
 
d) 





tdt
d 2
 
 
 
D4) Derivada de uma soma de funções 
 
Se )(xu e )(xv são funções deriváveis e )()()( xvxuxf ±= , então )(')(')(' xvxuxf ±= , 
ou seja, a derivada da soma de funções é a soma das derivadas das mesmas funções. 
Utilizando a definição de derivadas, temos 
 
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Curso de Cálculo I – Capítulo 3 119 
[ ]
x
xvxuxxvxxu
x
xfxxf
xf
xx ∆
±−∆+±∆+
=
∆
−∆+
=
→∆→∆
)()()()(lim)()(lim)('
00
 
 
)(')(')()(lim)()(lim)('
00
xvxu
x
xvxxv
x
xuxxu
xf
xx
±=
∆
−∆+±
∆
−∆+
=
→∆→∆
. 
 
Exemplo 10: Calcule: 
 
a) ( )1612 3234 −+−+ txxx
dx
d
 
 
b) 





+−+ 2
3
4 23 xxx
dx
d
pi 
 
Exemplo 11: A posição de um corpo que se desloca em linha reta é dada por 
tttts 33)( 23 −+−= metros, no intervalo 30 ≤≤ t segundos. Pede-se: 
 
a) A velocidade média do corpo no intervalo indicado. 
b) A velocidade inicial e a velocidade final do corpo. 
c) A aceleração média do corpo no intervalo indicado. 
d) A aceleração inicial e a aceleração final do corpo. 
 
Exemplo 12: O volume de água em um tanque, t minutos após iniciar seu 
esvaziamento, é dado por 2)30(200)( ttQ −⋅= litros de água. Supondo que este tanque 
inicialmente se encontrava cheio, pede-se: 
 
a) A capacidade do tanque, em metros cúbicos. 
b) Em quanto tempo este tanque se esvaziará por completo? 
c) A taxa média de escoamento de água deste tanque durante os 10 primeiros minutos 
de vazão. 
d) A que taxa instantânea a água escoará ao fim de 10 minutos? 
 
Exemplo 13: Uma frente fria aproxima-se de uma região. A temperatura, dada por T 
graus Celsius t horas após a meia-noite é: 
 
)40400.(1,0)( 2tttT +−= 120 ≤≤ t h 
 
a) Ache a taxa de variação média de T em relação a t entre 5h e 6h. 
b) Ache a taxa de variação instantânea de T em relação a t às 5h. 
 
Exemplo 14: Avalia-se que daqui a t semanas, a circulação de um jornal local pode ser 
aproximada pela função 5000400100)( 2 ++= tttC exemplares. Pede-se: 
 
a) Qual a taxa de variação média da circulação do jornal nas primeiras 5 semanas? 
b) Qual será a taxa de variação instantânea da circulação daqui a 5 semanas? 
 
 
 
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Curso de Cálculo I – Capítulo 3 120 
D5) Função exponencial 
 
xaxf =)( 1,0 ≠>∀ aa )ln()(' aaxf x= 
 
Exemplo 15: Demonstre a derivada da função exponencial utilizando a definição de 
derivadas. 
 
Exemplo 16: Calcule 
dx
dy
 para as funções a seguir. 
 
a) xy 23 ⋅= 
 
b) 34 += xey 
 
c) ty 5= 
 
d) xey pi⋅= 
 
 
D6) Função logarítmica 
 
)(log)( xxf a= 1,0 ≠>∀ aa 
)ln(
1)('
ax
xf
⋅
= 
 
Exemplo 17: Demonstre a derivada da função logarítmica utilizando a definição de 
derivadas. 
 
Exemplo 18: Calcule )(' xy para as funções a seguir. 
 
a) )(log2)(log3 32 xxy += 
 
b) )log(4)ln(5 xxy += 
 
 
D7) Produto de funções 
 
Se )(xu e )(xv são funções de x deriváveis e )()()( xvxuxf ⋅= , pela definição de 
derivadas, temos 
 
h
xvxuhxvhxu
xf
h
)()()()(lim)('
0
⋅−+⋅+
=
→
 
 
Tomando a equação anterior e adicionando e subtraindo )()( xvhxu ⋅+ ao seu 
numerador, encontramos 
 
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Curso de Cálculo I – Capítulo3 121 
)(')()(')()('
)()(lim)(lim)()(lim)(lim)('
)()()()()()(lim)('
)()()()()()()()(lim)('
0000
0
0
xuxvxvxuxf
h
xuhxu
xv
h
xvhxvhxuxf
h
xuhxu
xv
h
xvhxvhxuxf
h
xvxuxvhxuxvhxuhxvhxu
xf
hhhh
h
h
⋅+⋅=



 −+
⋅+


 −+
⋅+=



 −+
⋅+


 −+
⋅+=
⋅−⋅++⋅+−+⋅+
=
→→→→
→
→
 
 
De forma resumida, ( ) '' vuvuvu
dx
d
⋅+⋅=⋅ . Este resultado é conhecido como regra do 
produto de derivação, de onde se conclui que a derivada do produto de duas funções não 
é igual ao produto das derivadas das mesmas funções. Para três funções de x deriváveis, 
dadas por )(xu , )(xv e )(xh , temos 
 
( ) ''' hvuhvuhvuhvu
dx
d
⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅ 
 
Este resultado pode ser estendido para o produto de n funções de x. Por exemplo, ao 
derivarmos em relação a x um produto de 5 funções de x, o resultado é dado pela 
derivada da primeira função multiplicada pelas demais, somado com a derivada da 
segunda função multiplicada pelas demais, somado com a derivada da terceira função 
multiplicada pelas demais, somado com a derivada da quarta função multiplicada pelas 
demais, somado com a derivada da quinta função multiplicada pelas demais. 
 
Exemplo 19: Calcule a derivada em relação a x das funções a seguir. 
 
a) )(log3)(log³3 35 xxxy x ⋅+⋅= 
 
b) 26 2)ln(7 xxxy x ⋅+⋅= 
 
c) )log(3 xy t ⋅= 
 
d) ( ))(log³65 6 xxxy x ⋅+⋅= 
 
 
D8) Quociente de funções 
 
Se )(xu e )(xv são funções de x deriváveis e )(
)()(
xv
xu
xf = , pela definição de derivadas, 
temos 
 
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Curso de Cálculo I – Capítulo 3 122 
[ ] h
hxvxuxvhxu
xv
xf
h
hxvxuxvhxu
xvhxv
xf
xvhxv
hxvxuxvhxu
h
xf
h
xvhxv
hxvxuxvhxu
h
xv
xu
hxv
hxu
xf
h
hh
h
hh
)()()()(lim)(
1)('
)()()()(lim)()(
1lim)('
)()(
)()()()(1lim)('
)()(
)()()()(
lim)(
)(
)(
)(
lim)('
02
00
0
00
+⋅−⋅+
⋅=
+⋅−⋅+
⋅
⋅+
=
⋅+
+⋅−⋅+
⋅=
⋅+
+⋅−⋅+
=
−
+
+
=
→
→→
→
→→
 
 
Tomando a equação anterior e adicionando e subtraindo )()( xvxu ⋅ ao numerador do 
limite, encontramos 
 
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]2
002
02
02
)(
)(')()(')()('
)()(lim)()()(lim)()(
1)('
)()()()()()(lim)(
1)('
)()()()()()()()(lim)(
1)('
xv
xvxuxuxv
xf
h
xvhxv
xu
h
xuhxu
xv
xv
xf
h
xvhxv
xu
h
xuhxu
xv
xv
xf
h
hxvxuxvxuxvxuxvhxu
xv
xf
hh
h
h
⋅−⋅
=









 −+
⋅−


 −+
⋅⋅=









 −+
⋅−


 −+
⋅⋅=
+⋅−⋅+⋅−⋅+
⋅=
→→
→
→
 
 
 
De forma resumida, 2
''
v
vuvu
v
u
dx
d ⋅−⋅
=





. Este resultado é conhecido como regra do 
quociente de derivação, de onde se conclui que a derivada do quociente de duas funções 
não é igual ao quociente das derivadas das mesmas funções. 
 
 
Exemplo 20: Calcule a derivada em relação a x das funções a seguir. 
 
a) 
x
xy
pi
pi
= 
 
b) 
42
3
23
23
−+
−+
=
xx
xxxy 
 
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Curso de Cálculo I – Capítulo 3 123 
c) ( )( ) 523
2 )ln(10
453
)log(43
x
x
xxx
xxxy
x
x
⋅
+
+−⋅
⋅+−
= 
 
 
D9) Funções trigonométricas 
 
a) )(sen)( xxf = )cos()(' xxf = 
 
Exemplo 21: Sabendo que 




 +
⋅




 −
⋅=−
2
cos
2
sen2)(sen)(sen qpqpqp , utilize a 
definição matemática de derivadas para calcular a derivada de )(sen)( xxf = . 
 
b) )(cos)( xxf = )(sen)(' xxf −= 
 
Exemplo 22: Sabendo que 




 −
⋅




 +
⋅−=−
2
sen
2
sen2)cos()(cos qpqpqp , utilize a 
definição matemática de derivadas para calcular a derivada de )cos()( xxf = . 
 
 c) )(tg)( xxf = )(sec)(' 2 xxf = 
 
Exemplo 23: Utilize a regra da divisão de derivação para calcular a derivada de 
)(tg)( xxf = . 
 
d) )(cotg)( xxf = )(seccos)(' 2 xxf −= 
 
Exemplo 24: Utilize a regra da divisão de derivação para calcular a derivada de 
)(cotg)( xxf = . 
 
e) )sec()( xxf = )(tg)sec()(' xxxf ⋅= 
 
Exemplo 25: Utilize a regra da divisão de derivação para calcular a derivada de 
)sec()( xxf = . 
 
f) )sec(cos)( xxf = )(cotg)sec(cos)(' xxxf ⋅−= 
 
Exemplo 26: Utilize a regra da divisão de derivação para calcular a derivada de 
)sec(cos)( xxf = . 
 
 
D10) Funções trigonométricas inversas 
 
Respeitados os domínios das funções trigonométricas inversas, temos: 
 
a) )(arcsen)( xxf = 
21
1)('
x
xf
−
= 
 
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Curso de Cálculo I – Capítulo 3 124 
b) )(arccos)( xxf = 
21
1)('
x
xf
−
−
= 
 
c) )(arctg)( xxf = 21
1)('
x
xf
+
= 
 
d) )(arccotg)( xxf = 21
1)('
x
xf
+
−
= 
 
e) )(arcsec)( xxf = 
1
1)('
2
−
=
xx
xf 
 
f) )(arccossec)( xxf = 
1
1)('
2
−
−
=
xx
xf 
 
A demonstração destas derivadas será possível após o estudo da regra da cadeia e de 
derivação implícita, assuntos dos próximos itens. 
 
3.7. Derivada de funções compostas – regra da cadeia 
 
Se )(ufy = e )(xgu = , então y é uma função composta de x, dada por ))(( xgfy = , 
como visto no capítulo 1. 
 
Exemplo 27: Encontre a função composta ))(( xgfy = , sabendo que: 
 
a) )ln(xu = 4uy = 
 
b) 2xu = )cos(uy = 
 
A derivada de funções compostas, quando lidamos com apenas duas funções para obter 
esta composta, é calculada da seguinte forma: 
dx
du
du
dy
dx
dy
⋅= . Este resultado pode ser 
estendido quando desejamos derivar uma função composta obtida de mais de duas 
funções. 
 
Exemplo 28: Calcule a derivada das funções a seguir em relação a x, utilizando a regra 
da cadeia. 
 
a) 32 )2( xxy += 
 
b) )(sen 4 xy = 
 
c) )(sen 4xy = 
 
d) ))e(tgln( 2xy = 
 
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Curso de Cálculo I – Capítulo 3 125 
e) )35cos(2 xxy ⋅= 
 
f) 546
2
)27(
))cos(ln(
xx
xy
−
= 
 
g) [ ][ ])ln(sec )log(5sen 6
523
x
xy
xx
⋅
=
+
 
 
 
Podemos refazer a tabela de diretivas. Assim: 
 
1) [ ] [ ] )(')(')( 1 xfxfnyxfy nn ⋅⋅=⇒= − 
 
2) )(')()()('')()( xgxfxgxfyxgxfy ⋅+⋅=⇒⋅= 
 
3) [ ]2)(
)(')()()('
')(
)(
xg
xgxfxgxfy
xg
xfy ⋅−⋅=⇒= 
 
4) )(')ln(' )()( xfaayay xfxf ⋅⋅=⇒= 
 
5) [ ] )(')ln()(
1
')(log xf
axfyxfy a ⋅⋅=⇒= 
 
6) [ ] [ ] )(')(cos')(sen xfxfyxfy ⋅=⇒= 
 
7) [ ] [ ] )(')(sen')(cos xfxfyxfy ⋅−=⇒= 
 
8) [ ] [ ] )(')(sec')(tg 2 xfxfyxfy ⋅=⇒= 
 
9) [ ] [ ] )(')(cossec')(cotg 2 xfxfyxfy ⋅−=⇒= 
 
10) [ ] [ ] [ ] )(')(t)(sec')(sec xfxfgxfyxfy ⋅⋅=⇒= 
 
11) [ ] [ ] [ ] )(')(cotg)(cossec')(cossec xfxfxfyxfy ⋅⋅−=⇒= 
 
12) [ ] [ ] )(')(1
1
')(arcsen
2
xf
xf
yxfy ⋅
−
=⇒= 
13) [ ] [ ] )(')(1
1
')(arccos
2
xf
xf
yxfy ⋅
−
−
=⇒= 
14) [ ] [ ] )(')(1
1
')(arctg 2 xf
xfyxfy ⋅+=⇒= 
15) [ ] [ ] )(')(1
1
')(arccotg 2 xf
xfyxfy ⋅+
−
=⇒= 
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Curso de Cálculo I – Capítulo 3 126 
16) [ ] [ ] )('1)()(
1
')(arcsec
2
xf
xfxf
yxfy ⋅
−⋅
=⇒= 
 
17) [ ] [ ] )('1)()(
1
')(arccossec
2
xf
xfxf
yxfy ⋅
−⋅
−
=⇒= , e assim por diante. 
 
 
D11) Funções hiperbólicas 
 
Exemplo 29: Sabendo que 
2
ee)(senh
xx
x
−
−
= e 
2
ee)(cosh
xx
x
−+
= , determine suas 
derivadas e as derivadas de )(tgh x , )(cotgh x , )(sech x e )(cossech x . 
 
 
3.8. Derivada das funções implícitasUma função é dita implícita quando sua equação define mais de uma expressão ao 
mesmo tempo ou quando não é possível fazer a separação de variáveis, ou seja, não é 
possível escrever )(xfy = . 
 
Exemplo 30: São funções implícitas: 
 
a) 922 =+ yx 
 
O item a representa a equação de uma circunferência de raio 3, centrada na origem dos 
eixos coordenados. É uma função implícita devido ao fato de y definir duas expressões 
em função de x. 
 
b) xyx xyy 2)cos(e 2 ⋅=+⋅ 
 
O item b é uma função implícita devido ao fato de não ser possível escrever )(xfy = . 
 
A derivada de uma função implícita é obtida através da derivação dos dois membros da 
equação em relação a x, considerando )(xfy = , o que exige a utilização da regra da 
cadeia. Existem funções que mesmo não sendo implícitas, podem ser derivadas de 
forma implícita. 
 
Exemplo 31: Calcule a derivada das funções a seguir em relação a x, utilizando a 
derivação implícita. 
 
a) 922 =+ yx 
 
b) xyx xyy 2)cos(e 2 ⋅=+⋅ 
 
c) 15e)cos( 34 +=⋅−+ xxyy y 
 
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Curso de Cálculo I – Capítulo 3 127 
d) )(tg)(sen yx = 
 
e) )(sen 422 yxy ⋅= 
 
f) 2
5
4
5 )cos()(sen
y
x
y
x
= 
 
g) )(arcsen xy = 
 
h) )(arctg xy = 
 
 
D12) Função exponencial composta 
 
A função exponencial composta possui o seguinte formato: 
 
)()( xgxfy = 
 
Exemplo 32: De posse da função exponencial composta )()( xgxfy = , tome o logaritmo 
neperiano dos dois membros, derive y implicitamente em relação a x e prove que 
 
)(')()()(')](ln[)( 1)()( xfxfxgxgxfxf
dx
dy xgxg
⋅⋅+⋅⋅= − 
 
Observe que a derivada de uma função exponencial composta corresponde a uma 
combinação das derivadas de uma função exponencial e de uma função polinomial. 
 
Exemplo 33: Derive as funções a seguir em relação a x. 
 
a) ( ) xxy 32= 
 
b) )(cos 22 xxy = 
 
c) )(sen xxy = 
 
d) [ ] )ln()sec(cos xxy = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Curso de Cálculo I – Capítulo 3 128 
3.9. Significado geométrico da derivada de uma função em um ponto 
 
Considere o gráfico da função )(xfy = a seguir e um ponto ( ))(, 00 xfxP pertencente à 
curva. 
 
 
Dando a 0x um acréscimo x∆ , obtemos o ponto ( ))(, 00 xxfxxQ ∆+∆+ . Tracemos a 
reta s, secante ao gráfico, passando pelos pontos P e Q. Do PQR∆ , podemos afirmar 
que 
 
sm
x
y
tg =
∆
∆
=)(θ , 
 
ou seja, a razão incremental da função que mede a sua taxa de variação média entre os 
pontos P e Q é o valor do coeficiente angular da reta s. Fazendo 0→∆x , teremos como 
conseqüências 
 
ts mm
ts
PQ
→
→
→
→
→
)(tg)(tg αθ
αθ 
 
Assim, 
x
y
∆
∆
=
→∆→∆ 0x0x
lim)(tglim θ , de onde concluímos que )(')(tg 0xfmt ==α . 
 
A derivada de uma função )(xfy = calculada em um ponto ( ))(, 00 xfxP é o coeficiente 
angular da reta tangente à curva )(xfy = no mesmo ponto ( ))(, 00 xfxP . 
 
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Curso de Cálculo I – Capítulo 3 129 
Exemplo 35: Dada a parábola 2xy = , obtenha a equação da reta tangente a esta curva 
no ponto de abscissa 2=x . 
 
Exemplo 36: Encontre a equação da reta tangente à curva 0933 =−+ xyyx no ponto 
)4,2(P . 
 
Exemplo 37: Encontre a equação da reta tangente à curva 02 22 =+− xxyxy no ponto 
de abscissa 3−=x , sabendo que este ponto pertence ao 3º quadrante do sistema de 
coordenadas cartesianas. 
 
Exemplo 38: Obtenha a equação da reta tangente à curva )(
)(2
xtg
xseny = no ponto de 
abscissa .
3
pi
 
 
 
3.10. Derivação sucessiva 
 
Dada uma função )(xfy = , sua derivada dada por )('' xfy = é denominada derivada 1ª 
de )(xfy = ou derivada de ordem 1 de )(xfy = . Por sua vez, )('' xfy = pode ser 
novamente derivada, resultando em )('''' xfy = , denominada derivada 2ª de )(xfy = 
ou derivada de ordem 2 de )(xfy = . E assim sucessivamente, podemos calcular as 
derivadas 3ª, 4ª, 5ª,..., nª de )(xfy = . A notação utilizada para as derivadas de ordens 
superiores é a seguinte: 
 
).( de n derivada )(
).( de 3 derivada )(''''''
).( de 2 derivada )(''''
).( de 1 derivada )(''
primitiva. função )(
a)()(
a
3
3
a
2
2
a
xf
dx
yd
xfy
xf
dx
yd
xfy
xf
dx
yd
xfy
xf
dx
dy
xfy
xfy
n
n
nn →==
→==
→==
→==
→=
M
 
 
 
Observação: 
n
n
n
dx
dy
dx
yd





≠ 
 
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Curso de Cálculo I – Capítulo 3 130 
Exemplo 39: Para a função implícita dada por xyxyx 322 =⋅+⋅ , calcule a derivada 
segunda de y em relação a x. 
 
Exemplo 40: Calcule a derivada de ordem n das funções a seguir em relação a x. 
 
a) 78943 234 −+−= xxxy 
 
b) xy 2e−= 
 
c) xy −= 3 
 
d) )ln(xy = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações 
Curso de Cálculo I – Capítulo 3 131 
RESPOSTAS DOS EXEMPLOS 
 
01) xxxxy ∆+∆+∆=∆ 22 2 
 
02) a) 22 +∆+=
∆
∆
xx
x
y
 b) 3=
∆
∆
x
y
 
 
03) 
 
a) 22)(' += xxf b) 2)(' =xf c) 23)(' xxf = d) 
4
)('
2 +
=
x
x
xf 
 
04) a) sm
t
s / 20=
∆
∆
 b) smv / 8)1( = smv / 32)5( = 
 
05) Porque uma constante não varia. 
 
06) 
 
a) 0)(' =xf b) 0)(' =xf c) 0)(' =xf 
 
07) Demonstração feita em sala de aula. 
 
08) 
 
a) 56)(' xxf = b) 1)(' =xf c) 2
1)('
x
xf −= d) 5
4)('
x
xf −= 
e) 
x
xf
2
1)(' = f) 2
3
3
2)('
x
x
xf −= g) 0)(' =xf 
 
09) 
 
a) x6 b) 420y− c) 4
15
x
 d) 2t
t
− 
 
10) a) xxx 12364 23 −+ b) pi−+ xx
3
83 2 
 
11) 
 
a) sm
t
s / 3−=
∆
∆
 b) smv / 3)0( −= smv / 12)3( −= 
c) 2/ 3 sm
t
v
−=
∆
∆
 b) 2/ 6)0( sma = 2/ 12)3( sma −= 
 
 
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Curso de Cálculo I – Capítulo 3 132 
12) 
 
a) 1800 =Q 3m b) 30 min 
c) 
 10000−=
∆
∆
t
Q l/min d) 
 8000)10(' −=Q l/min 
 
13) a) 
 /9,2 hC
t
T
°−=
∆
∆
 b) 
 /3)5(' hCT °−= 
 
14) a) 
 / 900 semanaexemplares
t
C
=
∆
∆
 b) 
 / 1400)5(' semanaexemplaresC = 
 
15) Demonstração feita em sala de aula. 
 
16) 
 
a) )2ln(23 ⋅⋅= x
dx
dy
 b) x
dx
dy
e4 ⋅= c) 0=
dx
dy
 d) )ln(e pipi ⋅⋅= x
dx
dy
 
 
17) Demonstração feita em sala de aula. 
 
18) 
 
a) )3ln(
2
)2ln(
3)('
⋅
+
⋅
=
xx
xy b) )10ln(
45)('
⋅
+=
xx
xy 
 
19) 
 
a) )3ln(
3)(log)3ln(3)5ln(
3)(log9 3
2
5
2
x
x
x
xx
dx
dy xx +++= 
b) [ ] [ ]xxxx
dx
dy x 2)2ln(27)ln(42 25 +++= 
c) )10ln(
3
xdx
dy t
= 
d) 






++



+= )6ln(
6)(log21)5ln(
2
15
2
6
2 xxx
x
x
dx
dy x
 
 
20) 
 
a) 
xx
xx
xxxx
dx
dy
pi
pipi
pi
pipipipi pipipipi )ln()ln( 1
2
1
−
=
−
=
−−
 
b) ( )( ) ( )( )( )223
22323242
26342163
−+
+−+−−+−+
=
xx
xxxxxxxxx
dx
dy
 
Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações 
Curso de Cálculo I – Capítulo 3 133 
c) 
[ ]
10
45
2232
223223
2
5)ln(1010)ln()10ln(10
)45(3
)4103(3)45)(3ln(3)log()43()45(3)10ln(
43)log()32(
x
xxx
x
x
xxx
xxxxxxxxxxx
x
xx
xx
dx
dy
x
x
x
x
xxx
⋅−⋅





+
+
+−
+−++−⋅+−−+−⋅




 +−
+−
=
 
21) Demonstração feita em sala de aula. 
 
22) Demonstração feita em sala de aula. 
 
23) Demonstração feita em sala de aula. 
 
24) Demonstração feita em sala de aula. 
 
25) Demonstração feita em sala de aula. 
 
26) Demonstração feita em sala de aula. 
 
27) 
 
a) )(ln4 xy = b) )cos( 2xy = 
 
28) 
 
a) ( ) ( )2223 22 ++= xxx
dx
dy
 
b) )cos()(sen4 3 xx
dx
dy
= 
c) )cos(4 43 xx
dx
dy
= 
d) )e(sec)e(cotge2 2222 xxx
dx
dy
= 
e) ( ) ( ) [ ])3ln(353535sen)2ln(2 35cos xxxx xx
dx
dy x
⋅+⋅⋅⋅−= ⋅ 
f) 
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ]1046
3544625462
27
84227)ln(cos5272)ln(sen
xx
xxxxxxx
x
x
dx
dy
−
−⋅−⋅−−⋅⋅−
= 
g) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ])ln(sec
6)ln(tg)ln(sec)log(5sen)ln(sec)10ln(
55)log(23)5ln(5)log(5cos
62
66526252252 3333
x
x
xxxx
x
xxx
dx
dy
xxxxxxxx
⋅−⋅






⋅++⋅
=
++++
 
 
29) 
 
[ ] )cosh()(senh xx
dx
d
= [ ] )(senh)cosh( xx
dx
d
= [ ] )(sech)(tgh 2 xx
dx
d
= 
[ ] )(sechcos)(cotgh 2 xx
dx
d
−= [ ] )(tgh)(sech)(sech xxx
dx
d
−= 
Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações 
Curso de Cálculo I – Capítulo 3 134 
 
[ ] )(cotgh)(sechcos)(cossech xxx
dx
d
−= 
 
31) 
 
a) 
y
xy −=' b) )2ln(2)(sene
e)2ln(22
' 3
21
⋅⋅−−
⋅−⋅⋅+⋅
=
+
xy
yyxxy
xyx
xxyxy
 
c) 3
3
e3)(sen4
e5
'
23 y
y
xyyy
y
−−
+
= d) )(sec
)cos(
' 2 y
xy = 
e) )cos(2
)(sen
' 432
4
yyxy
yxy
−
⋅
= f) 
y
xxy
2
)(sec5
'
524
= 
g) 
21
1
'
x
y
−
= h) 21
1
'
x
y
+
= 
 
33) 
 
a) ( ) ( ) 133 26)2ln(23 −⋅+⋅⋅= xx xxx
dx
dy
 
b) )(sen22221)(cos 2222 )(cos)(sen)cos()ln(4 xx xxxxxx
dx
dy
−+
⋅+⋅⋅⋅−= 
c) [ ]1)ln()cos( +⋅⋅= xxx
dx
dy xx
 
d) [ ] [ ] [ ] )(cotg)(cossec)ln()(cossecln)(cossec )ln(1)ln( xxxxxx
dx
dy xx
⋅⋅−⋅⋅=
−
 
 
34) 44 −= xy 
 
35) ( )2
5
44 −=− xy 
 
36) ( )3
4
11 +=+ xy 
 
37) 





−−=−
32
1
4
3 pi
xy 
 
 
38) ( )( ) ( )( )( )22
22
2
2'22232'22'2
''
xxy
xyxyxyyxxyyxyyyy
+
+⋅+−−−+⋅−−⋅−
= , em que 
2
2
2
23
'
xxy
xyyy
+
−−
= 
 
 
Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações 
Curso de Cálculo I – Capítulo 3 135 
39) 
 
a) 5 0 ≥∀= n
dx
yd
n
n
 b) ( ) x
n
n
dx
yd 2n e2 −⋅−= 
c) [ ] x
n
n
dx
yd
−
⋅−= 3)3ln( n d) ( ) ( )
nn
n
x
n
dx
yd !11 1n −⋅−= +