Projeto Pilares de Concreto Armado - Estruturas II

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Centro Universitário Univates 
Estruturas de Concreto Armado II 
 
 
Projeto de Pilares de Concreto Armado 
 
 
 
 
 
Autor: 
Volnei Inácio Hilleshein 
 
Professor: 
P. F. S. 
 
Lajeado, junho de 2013. 
 
 
CAREGAMENTO TOTAL TOTAL 
PILAR 2 58,6 4 62,6 
PAVIMENTO ND/KN AC (cm2) b (m) h (m) 
H 
(m) 
Peso 
conc. 
PP (NK) 
PILAR ND FINAL 
CANTO 
carega tot 
x1,4 
1,45*nd/ 
(0,6*fck/10+0,42) "y" "x" 
b x h x H 
X Ppilar ND+1,4*somatorioPP 
FORRO 87,64 59,8027027 0,2 0,2 2,8 25 2,8 91,56 
10 175,28 119,6054054 0,2 0,2 2,8 25 2,8 183,12 
9 262,92 179,4081081 0,2 0,2 2,8 25 2,8 274,68 
8 350,56 239,2108108 0,2 0,2 2,8 25 2,8 366,24 
7 438,2 296,4531532 0,2 0,2 2,8 25 2,8 453,88 
6 525,84 359,4563063 0,2 0,25 2,8 25 3,5 550,34 
5 613,48 419,8990991 0,2 0,25 2,8 25 3,5 642,88 
4 701,12 480,3418919 0,2 0,25 2,8 25 3,5 735,42 
3 788,76 540,7846847 0,2 0,25 2,8 25 3,5 827,96 
2 876,4 607,4569257 0,25 0,3 5,5 25 10,3125 930,0375 
 
Pilar 2 – Pavimento 5 (Pilar tipo Canto) 
Nk = (NK lajes + NK pilares) → Nk = 438,2 KN + 21 KN → Nk = 459,2 KN 
Seção 20 x 25 (Ac = 500 cm²) 
lex = ley = 280 cm → 2,80 m. 
 
i) Esforços Solicitantes: 
Nd =n .f.NK → Nd = 1,0.1,4. 459,2 → Nd = 642,88 KN 

* Pré dimensionamento: 
Ac = 1,45 . Nd → Ac = 1,45 . 642,88 → Ac = 932,176 → Ac = 419,90 cm² 
 0,6 . fck + 0,42 0,6 . 3 + 0,42 2,22 
 10 
Pode se adotar (20 x 25) = 500 cm² 
 
ii) Índice de Esbeltez: 
 
x = 3,46.lex → x = 3,46.280 → x = 38,75 
 hx 25 
 
y = 3,46.ley → x = 3,46.280 → y = 48,44 
 hy 20 
 
Em função do índice de esbeltez os pilares podem ser classificados como: 
• Pilar médio: se 35 90 

iii) Momento Fletor Mínimo: 
 
 →M1d,min = Nd.(1,5+0,03.h) com h = dimensão do pilar, em cm. 
Direção x: M1d ,min,x = Nd.(1,5 + 0,03.hx) → 642,88.(1,5 + 0,03.25) → 1446,48 KN.cm 
Direção y: M1d ,min,y = Nd.(1,5 + 0,03.hy) → 642,88.(1,5 + 0,03.20) → 1350,05 KN.cm 
 
 
 
iv) Esbeltez Limite 
 
Neste pilar de canto ocorre excentricidade de 1ª ordem “e1”nas direções, "x" e "y", 
decorrentes dos momentos fletores de 1ª ordem nestas direções. (M1d,A,x e M1d,B,x / M1d,A,y e 
M1d,B,y) devido aos vãos extremos das vigas V1 (Direção x) e V9 (Direção y). 
 
Excentricidade de 1ª ordem: 
 
Direção “X”: 
 bv . hv³ 20.50³ 
rviga = I viga = 12 = 12 = 208333,33 → rviga = 341,53 cm³ 
 L viga 610 610 610 
 
 y . x³ 20.25³ 
rsup.pilar = I pilar = 12 = 12 = 26041,66 → rsup.pilar = 93,01 cm³ 
 L pilar 280 280 280 
 
 y . x³ 20.25³ 
rinf.pilar = I pilar = 12 = 12 = 260416,66 → rinf.pilar = 93,01 cm³ 
 L pilar 280 280 280 
 
M eng = 7550 KN.cm → Ftool300 
 
Mk,sup = Meng . rsup.pilar → 7550. 93, 01 → 1331,10 KN.cm 
 rviga+rinf+rsup 341,53+93,01+93,01 
 
Mk,inf = Meng . rinf.pilar → 7550. 93, 01 → 1331,10 KN.cm 
 rviga+rinf+rsup 341,53+93,01+93,01 
 
Mlig = Meng . rsup.pilar + rinf.pilar → 7550. 93,01 + 93,01 → 2662,21 KN.cm 
 rviga+rsup.pilar+rinf.pilar 341,53+93,01+93,01 
 
Md,topo = 1,4. (Mk,inf + 0,5 . Mk,sup) → 1,4.(1331,10+0,5. 1331,10) → 2795,31 KN.cm 
Md,base =-1,4. (Mk,sup + 0,5 . Mk,inf) → -1,4.(1331,10+0,5. 1331,10) → -2795,31 KN.cm 
 
Direção X: 
M1d,A,x → Md,topo = 2795,31 KN.cm > M1d ,min,x = 1446,48 KN.cm Logo: 
M1d,B,x → Md,base = -2795,31 KN.cm > M1d ,min,x = -1446,48 KN.cm Logo: 
→ Usar maior “Md” 

e1x = Md = 2795,31 → 4,348 cm → e1x = 4,348 cm 
 Nd 642,88 

bx = 0,6 + 0,4 . (-Md,base) → 0,6 + 0,4 . (-2795,31) → 0,2 ≥ 0,4 → bx = 0,4 
 Md,topo 2795,31 
 
 25 +12,5. e1x 25 +12,5. 4,348 
1x = hx → 1x = 25 → 1x = 67,935 com 35 1  90 
 bx 0,4 
 
 
 
Direção “y”: 
 bv . hv³ 20.50³ 
r viga = I viga = 12 = 12 = 208333,33 → r viga = 591,02 cm³ 
 L viga 352,5 352,5 352,5 
 
 x . y³ 25.20³ 
rsup.pilar = I pilar = 12 = 12 = 16666,67 → rsup.pilar = 59,52 cm³ 
 L pilar 280 280 280 
 
 x . y³ 25.20³ 
rinf.pilar = I pilar = 12 = 12 = 16666,67 → rinf.pilar = 59,52 cm³ 
 L pilar 280 280 280 
 
M eng = 1400 KN.cm → Ftool300 
 
Mk,sup = Meng . rsup.pilar → 1400. 59,52 → 117,35 KN.cm 
 rviga+rinf+rsup 591,02+59,52+59,52 
 
Mk,inf = Meng . rinf.pilar → 1400. 59,52 → 117,35 KN.cm 
 rviga+rinf+rsup 591,02+59,52+59,52 
 
Mlig = Meng . rsup.pilar + rinf.pilar → 1400. 59,52 + 59,52 → 234,707 KN.cm 
 rviga+rsup.pilar+rinf.pilar 591,02+59,52+59,52 
 
Md,topo = 1,4. (Mk,inf + 0,5 . Mk,sup) → 1,4.(117,35+0,5. 117,35) → 246,44 KN.cm 
Md,base =-1,4. (Mk,sup + 0,5 . Mk,inf) → -1,4.(117,35+0,5. 117,35) → -246,44 KN.cm 
 
Direção Y: 
M1d,A,y → Md,topo = 246,44 KN.cm < M1d ,min,y = 1350,05 KN.cm Logo: 
M1d,B,y → Md,base = -246,44 KN.cm < M1d ,min,y = -1350,05 KN.cm Logo: 
→ Usar maior “Md” 
 
e1y = Md = 1350,05 → 2,10 cm → e1y = 2,10 cm 
 Nd 642,88 
 
by = 1 
 
 25 +12,5. e1y 25 +12,5. 2,10 
1y = hy → 1y = 20 → 1y = 26,31 ∴ com 35 1  90 
 by 1 
 
Desse modo: 
x = 38,75 < 1,x = 67,94 → Não são considerados os efeitos de 2ª ordem na direção “x”. 
y = 48,44 > 1,y = 35 → São considerados os efeitos de 2ª ordem na direção “y”. 
 
v) Momento de 2ª Ordem 
Força normal adicional: 
 = Nd →  = 642,88 →  = 642,88 →  = 0,60002133 
 Ac . fcd Ac .fcK/c 500. 3,0 
 1,4 
 
 
Md,tot,x = M1d,A,x 
 
M1d,A,x → Md,topo = 2795,31 KN.cm > M1d ,min,x = 1446,48 KN.cm Logo: 
 
Md,tot,x = 2795,31 KN.cm 
 
1 = 0,005  0,005 → 1 = 0,005  0,005 → 
r h.(+ 0,5) h r 20.(0,6+0,5) 20 
 
1 = 0,0002272  0,00025 → Usar menor → 1 = 0,0002272 
r r 
 
M1d,A,y → Md,topo = 246,44 KN.cm < M1d ,min,y = 1350,05 KN.cm 
Md,tot,y = by . M1d,A,y + Nd . l² . 1 → Md,tot,y =  . 1350,05 + 642,88 . 280² . 0,00027272 → 
 10 r 10 
Md,tot,y = 2495,545 KN.cm 
Md,tot,y = 2495,545 KN.cmM1d,A,y = 1350,05 KN.cm 
Md,tot,y = 2495,545 KN.cm 
 
vi) Dimensionamento das armaduras 
 
Direção x: 
��Md,tot,x = 2795,31 = 0,104 
 hx.Ac.fcd 25.500.3.0 
 1,4 
d’x = 4 = 0,16 Ábaco: 32-A de PINHEIRO (� = 0,40) 
hx 25 
 
Direção y: 
��Md,tot,y = 2495,545 = 0,116 
 hy.Ac.fcd 20.500.3.0 
 1,4 
d’y = 4 = 0,20 Ábaco: 32-B de PINHEIRO (� = 0,52) 
hy 20 
 
Com  = 0,6 e utilizando os ábacos (n°32-A e 32-B páginas 78 e 79) de PINHEIRO 
(2009) para flexão composta oblíqua, a taxa de armadura resulta da interpolação entre 
�� = 0,104 e �� = 0,116. 
 
para  = 0,6 → � = 0,40 
para  = 0,8 → � = 0,52 
 
inferior = 0,6 → � inferior = 0,40 
superior = 0,8 → � superior = 0,52 
 
Interpolação. 
�= �superior+( superior   .(�inferior  � superior )) → 
 superior  inferior 
�= 0,52+(0,8.(0,40 – 0,52)) → � = 0,40 
 0,8 
A maior armadura resulta do maior valor encontrado para (�). 
 
As = � . Ac . fcd → 0,40.500.3,0/1,4 → 428,5714 → As = 9,857 cm² 
 fyd 50/1,15 43,478 
 
Armadura mínima. 
As,min = 0,15. Nd ≥ 0,004.Ac 
 fyd 
 
As,min = 0,15. Nd → 0,15. 642,88 → 0,15 . 642,88 = 2,2179 cm²fyd 50/1,15 43,478 
 
0,004.Ac → 0,004.500 → 2,00 cm² As,min = 2,2179 cm² ≥ 2,00 cm² 
 
Então: As = 9,857 ≥ As,min = 2,218 → 06 ∅ 16 mm → As = 12,07 cm² 
 Arranjo n° 3 
Armadura máxima 
As, máxw = 8% . Ac → As, máx = 8% .500 → As, máx = 40 cm² 
 
� = As. 100 = 12,07 .100 = � = 2,414 % < �máx = 4 % OK 
 Ac 500 
 
Diâmetro dos estribos (∅�) = ∅� ≥ ∅� = 16 = 4,0mm → OK 
 4 4 
 ∅� = 5 mm 
Espaçamento dos estribos 
 
Smáx  �
20	cm																	
b� = 20	cm																												
12. ∅� = 12.1,6 = 19,2cm
� OK 
 ∅� = 16 mm S = 19,2 cm 
emin  �
2				cm																					
∅�	 = 	1,6	cm																																		
1,2. d�á�, ����� = 12.1,9 = 2,28cm
� OK 
 ∅� = 1,9 cm S = 2,28 cm 
 
emáx ≤ �
2. b� = 2.20 = 40cm
40	cm																										
� OK 
 
Proteção contra flambagem (quando supera 10 cm utilizo grampo) 
 20.∅� = 20.0,5 = 10cm → Não se faz necessário 
 
Comprimento de Espera 
loc = lb. As,calc ≥ l0c,min → loc = lb. 9,857 ≥ l0c,min  �
0,6. �� = 0,6.54,4 = 32,64	cm
15. ∅� = 15. 1,6		 = 24,00	cm
																																					20							cm
� 
As,ef 12,07 
 
lb = 34. ∅� → lb = 34. 1,6 = 54,4 cm 
 
 loc = lb. As,calc → loc = 54,4. 9,857 → loc = 44,426 cm → loc ≅ 45 cm OK 
 As,ef 12,07 
 
CAREGAMENTO TOTAL TOTAL 
PILAR 2 58,6 4 62,6 
PAVIMENTO ND/KN AC (cm2) b (m) h (m) 
H 
(m) 
Peso 
conc. 
PP (NK) 
PILAR ND FINAL 
CANTO 
carega tot 
x1,4 
1,45*nd/ 
(0,6*fck/10+0,42) "y" "x" 
b x h x H 
X Ppilar ND+1,4*somatorioPP 
FORRO 87,64 59,8027027 0,2 0,2 2,8 25 2,8 91,56 
10 175,28 119,6054054 0,2 0,2 2,8 25 2,8 183,12 
9 262,92 179,4081081 0,2 0,2 2,8 25 2,8 274,68 
8 350,56 239,2108108 0,2 0,2 2,8 25 2,8 366,24 
7 438,2 296,4531532 0,2 0,2 2,8 25 2,8 453,88 
6 525,84 359,4563063 0,2 0,25 2,8 25 3,5 550,34 
5 613,48 419,8990991 0,2 0,25 2,8 25 3,5 642,88 
4 701,12 480,3418919 0,2 0,25 2,8 25 3,5 735,42 
3 788,76 540,7846847 0,2 0,25 2,8 25 3,5 827,96 
2 876,4 607,4569257 0,25 0,3 5,5 25 10,3125 930,0375 
 
Pilar 2 – Pavimento 4 (Pilar tipo Canto) 
Nk = (NK lajes + NK pilares) → Nk = 500,8 KN + 24,5 KN → Nk = 525,3 KN 
Seção 20 x 25 (Ac = 500 cm²) 
lex = ley = 280 cm → 2,80 m. 
 
i) Esforços Solicitantes: 
Nd =n .f.NK → Nd = 1,0.1,4. 525,3 → Nd = 735,42 KN 

* Pré dimensionamento: 
Ac = 1,45 . Nd → Ac = 1,45 . 735,42 → Ac = 1066,359 → Ac = 480,34 cm² 
 0,6 . fck + 0,42 0,6 . 3 + 0,42 2,22 
 10 
Pode se adotar (20 x 25) = 500 cm² 
 
ii) Índice de Esbeltez: 
 
x = 3,46.lex → x = 3,46.280 → x = 38,75 
 hx 25 
 
y = 3,46.ley → x = 3,46.280 → y = 48,44 
 hy 20 
 
Em função do índice de esbeltez os pilares podem ser classificados como: 
• Pilar médio: se 35 90 

iii) Momento Fletor Mínimo: 
 
 →M1d,min = Nd.(1,5+0,03.h) com h = dimensão do pilar, em cm. 
Direção x: M1d ,min,x = Nd.(1,5 + 0,03.hx) → 735,42.(1,5 + 0,03.25) → 1654,695 KN.cm 
Direção y: M1d ,min,y = Nd.(1,5 + 0,03.hy) → 735,42.(1,5 + 0,03.20) → 1544,382 KN.cm 
 
 
 
iv) Esbeltez Limite 
 
Neste pilar de canto ocorre excentricidade de 1ª ordem “e1”nas direções, "x" e "y", 
decorrentes dos momentos fletores de 1ª ordem nestas direções. (M1d,A,x e M1d,B,x / M1d,A,y e 
M1d,B,y) devido aos vãos extremos das vigas V1 (Direção x) e V9 (Direção y). 
 
Excentricidade de 1ª ordem: 
 
Direção “X”: 
 bv . hv³ 20.50³ 
rviga = I viga = 12 = 12 = 208333,33 → rviga = 341,53 cm³ 
 L viga 610 610 610 
 
 y . x³ 20.25³ 
rsup.pilar = I pilar = 12 = 12 = 26041,66 → rsup.pilar = 93,01 cm³ 
 L pilar 280 280 280 
 
 y . x³ 20.25³ 
rinf.pilar = I pilar = 12 = 12 = 260416,66 → rinf.pilar = 93,01 cm³ 
 L pilar 280 280 280 
 
M eng = 7550 KN.cm → Ftool300 
 
Mk,sup = Meng . rsup.pilar → 7550. 93, 01 → 1331,10 KN.cm 
 rviga+rinf+rsup 341,53+93,01+93,01 
 
Mk,inf = Meng . rinf.pilar → 7550. 93, 01 → 1331,10 KN.cm 
 rviga+rinf+rsup 341,53+93,01+93,01 
 
Mlig = Meng . rsup.pilar + rinf.pilar → 7550. 93,01 + 93,01 → 2662,21 KN.cm 
 rviga+rsup.pilar+rinf.pilar 341,53+93,01+93,01 
 
Md,topo = 1,4. (Mk,inf + 0,5 . Mk,sup) → 1,4.(1331,10+0,5. 1331,10) → 2795,31 KN.cm 
Md,base =-1,4. (Mk,sup + 0,5 . Mk,inf) → -1,4.(1331,10+0,5. 1331,10) → -2795,31 KN.cm 
 
Direção X: 
M1d,A,x → Md,topo = 2795,31 KN.cm > M1d ,min,x = 1654,695 KN.cm Logo: 
M1d,B,x → Md,base = -2795,31 KN.cm > M1d ,min,x = -1654,695 KN.cm Logo: 
→ Usar maior “Md” 

e1x = Md = 2795,31 → 3,80 cm → e1x = 3,80 cm 
 Nd 735,42 

bx = 0,6 + 0,4 . (-Md,base) → 0,6 + 0,4 . (-2795,31) → 0,2 ≥ 0,4 → bx = 0,4 
 Md,topo 2795,31 
 
 25 +12,5. e1x 25 +12,5. 3,80 
1x = hx → 1x = 25 → 1x = 67,251 com 35 1  90 
 bx 0,4 
 
 
 
Direção “y”: 
 bv . hv³ 20.50³ 
r viga = I viga = 12 = 12 = 208333,33 → r viga = 591,02 cm³ 
 L viga 352,5 352,5 352,5 
 
 x . y³ 25.20³ 
rsup.pilar = I pilar = 12 = 12 = 16666,67 → rsup.pilar = 59,52 cm³ 
 L pilar 280 280 280 
 
 x . y³ 25.20³ 
rinf.pilar = I pilar = 12 = 12 = 16666,67 → rinf.pilar = 59,52 cm³ 
 L pilar 280 280 280 
 
M eng = 1400 KN.cm → Ftool300 
 
Mk,sup = Meng . rsup.pilar → 1400. 59,52 → 117,35 KN.cm 
 rviga+rinf+rsup 591,02+59,52+59,52 
 
Mk,inf = Meng . rinf.pilar → 1400. 59,52 → 117,35 KN.cm 
 rviga+rinf+rsup 591,02+59,52+59,52 
 
Mlig = Meng . rsup.pilar + rinf.pilar → 1400. 59,52 + 59,52 → 234,707 KN.cm 
 rviga+rsup.pilar+rinf.pilar 591,02+59,52+59,52 
 
Md,topo = 1,4. (Mk,inf + 0,5 . Mk,sup) → 1,4.(117,35+0,5. 117,35) → 246,44 KN.cm 
Md,base =-1,4. (Mk,sup + 0,5 . Mk,inf) → -1,4.(117,35+0,5. 117,35) → -246,44 KN.cm 
 
Direção Y: 
M1d,A,y → Md,topo = 246,44 KN.cm < M1d ,min,y = 1544,382 KN.cm Logo: 
M1d,B,y → Md,base = -246,44 KN.cm < M1d ,min,y = -1544,382 KN.cm Logo: 
→ Usar maior “Md” 
 
e1y = Md = 1544,382 → 2,10 cm → e1y = 2,10 cm 
 Nd 735,42 
 
by = 1 
 
 25 +12,5. e1y 25 +12,5. 2,10 
1y = hy → 1y = 20 → 1y = 26,31 ∴ com 35 1  90 
 by 1 
 
Desse modo: 
x = 38,75 < 1,x = 67,25 → Não são considerados os efeitos de 2ª ordem na direção “x”. 
y = 48,44 > 1,y = 35 → São considerados os efeitos de 2ª ordem na direção “y”. 
 
v) Momento de 2ª Ordem 
Força normal adicional: 
 = Nd →  = 735,42 →  = 735,42 →  = 0,686392 
 Ac . fcd Ac .fcK/c 500. 3,0 
 1,4 
 
 
Md,tot,x = M1d,A,x 
 
M1d,A,x → Md,topo = 2795,31 KN.cm > M1d ,min,x = 1654,695 KN.cm Logo: 
 
Md,tot,x = 2795,31 KN.cm 
 
1 = 0,005  0,005 → 1 = 0,005  0,005 → 
r h.(+ 0,5) h r 20.(0,69+0,5) 20 
 
1 = 0,0002107  0,00025 → Usar menor → 1 = 0,000210722 
r r 
 
M1d,A,y → Md,topo = 246,44 KN.cm < M1d ,min,y = 1544,382 KN.cm 
Md,tot,y = by . M1d,A,y + Nd . l² . 1 → Md,tot,y =  . 1544,382 + 735,42 . 280² . 0,0002107 → 
 10 r 10 
Md,tot,y = 2759,345688 KN.cm 
Md,tot,y = 2759,345 KN.cmM1d,A,y = 1544,382 KN.cm 
Md,tot,y = 2759,345 KN.cm 
 
vi) Dimensionamento das armadurasDireção x: 
��Md,tot,x = 2795,31 = 0,104 
 hx.Ac.fcd 25.500.3.0 
 1,4 
d’x = 4 = 0,16 Ábaco: 33-A de PINHEIRO (� = 0,40) 
hx 25 
 
Direção y: 
��Md,tot,y = 2759,345 = 0,1287 
 hy.Ac.fcd 20.500.3.0 
 1,4 
d’y = 4 = 0,20 Ábaco: 33-B de PINHEIRO (� = 0,52) 
hy 20 
 
Com  = 0,686 e utilizando os ábacos (n°33-A e 33-B páginas 80 e 81) de PINHEIRO 
(2009) para flexão composta oblíqua, a taxa de armadura resulta da interpolação entre 
�� = 0,104 e �� = 0,1287. 
 
para  = 0,6 → � = 0,40 
para  = 0,8 → � = 0,52 
 
inferior = 0,6 → � inferior = 0,40 
superior = 0,8 → � superior = 0,52 
 
Interpolação. 
�= �superior+( superior   .(�inferior  � superior )) → 
 superior  inferior 
�= 0,52 +(0,8.(0,40 – 0,52)) → � = 0,4518 
 0,8 
A maior armadura resulta do maior valor encontrado para (�). 
 
As = � . Ac . fcd → 0,4518.500.3,0/1,4 → 484,1091 → As = 11,1345 cm² 
 fyd 50/1,15 43,478 
 
Armadura mínima. 
As,min = 0,15. Nd ≥ 0,004.Ac 
 fyd 
 
As,min = 0,15. Nd → 0,15. 735,42 → 0,15 . 735,42 = 2,5372 cm² 
 fyd 50/1,15 43,478 
 
0,004.Ac → 0,004.500 → 2,00 cm² As,min = 2,5372 cm² ≥ 2,00 cm² 
 
Então: As = 11,134 ≥ As,min = 2,537 → 04 ∅ 20 mm → As = 12,57 cm² 
 Arranjo n° 4 
Armadura máxima 
As, máxw = 8% . Ac → As, máx = 8% .500 → As, máx = 40 cm² 
 
� = As. 100 = 12,57 .100 = � = 2,514 % < �máx = 4 % OK 
 Ac 500 
 
Diâmetro dos estribos (∅�) = ∅� ≥ ∅� = 20 = 5,0mm → OK 
 4 4 
 ∅� = 5 mm 
Espaçamento dos estribos 
 
Smáx  �
20	cm																	
b� = 20	cm																												
12. ∅� = 12.2,0 = 24,0cm
� OK 
 ∅� = 20 mm S = 20,0 cm 
emin  �
2cm																					
∅�	 = 	2	cm																																		
1,2. d�á�, ����� = 12.1,9 = 2,28cm
� OK 
 ∅� = 1,9 cm S = 2,28 cm 
 
emáx ≤ �
2. b� = 2.20 = 40cm
40	cm																										
� OK 
 
Proteção contra flambagem (quando supera 10 cm utilizo grampo) 
 20.∅� = 20.0,5 = 10cm → Não se faz necessário 
 
Comprimento de Espera 
loc = lb. As,calc ≥ l0c,min → loc = lb. 11,134 ≥ l0c,min  �
0,6. �� = 0,6.68,0 = 40,80	cm
15. ∅� = 15. 2,0		 = 30,00	cm
																																					20							cm
� 
As,ef 12,57 
 
lb = 34. ∅� → lb = 34. 2,0 = 68,0 cm 
 
 loc = lb. As,calc → loc = 68,0. 11,134 → loc = 60,234 cm → loc ≅ 61 cm OK 
 As,ef 12,57 
 
CAREGAMENTO TOTAL TOTAL 
PILAR 2 58,6 4 62,6 
PAVIMENTO ND/KN AC (cm2) b (m) h (m) 
H 
(m) 
Peso 
conc. 
PP (NK) 
PILAR ND FINAL 
CANTO 
carega tot 
x1,4 
1,45*nd/ 
(0,6*fck/10+0,42) "y" "x" 
b x h x H 
X Ppilar ND+1,4*somatorioPP 
FORRO 87,64 59,8027027 0,2 0,2 2,8 25 2,8 91,56 
10 175,28 119,6054054 0,2 0,2 2,8 25 2,8 183,12 
9 262,92 179,4081081 0,2 0,2 2,8 25 2,8 274,68 
8 350,56 239,2108108 0,2 0,2 2,8 25 2,8 366,24 
7 438,2 296,4531532 0,2 0,2 2,8 25 2,8 453,88 
6 525,84 359,4563063 0,2 0,25 2,8 25 3,5 550,34 
5 613,48 419,8990991 0,2 0,25 2,8 25 3,5 642,88 
4 701,12 480,3418919 0,2 0,25 2,8 25 3,5 735,42 
3 788,76 540,7846847 0,2 0,25 2,8 25 3,5 827,96 
2 876,4 607,4569257 0,25 0,3 5,5 25 10,3125 930,0375 
 
Pilar 2 – Pavimento 3 (Pilar tipo Canto) 
Nk = (NK lajes + NK pilares) → Nk = 563,4 KN + 28 KN → Nk = 591,4 KN 
Seção 20 x 25 (Ac = 500 cm²) 
lex = ley = 280 cm → 2,80 m. 
 
i) Esforços Solicitantes: 
Nd =n .f.NK → Nd = 1,0.1,4. 591,4 → Nd = 827,96 KN 

* Pré dimensionamento: 
Ac = 1,45 . Nd → Ac = 1,45 . 827,96 → Ac = 1200,542 → Ac = 540,784 cm² 
 0,6 . fck + 0,42 0,6 . 3 + 0,42 2,22 
 10 
Pode se adotar (20 x 25) = 500 cm² 
 
ii) Índice de Esbeltez: 
 
x = 3,46.lex → x = 3,46.280 → x = 38,75 
 hx 25 
 
y = 3,46.ley → x = 3,46.280 → y = 48,44 
 hy 20 
 
Em função do índice de esbeltez os pilares podem ser classificados como: 
• Pilar médio: se 35 90 

iii) Momento Fletor Mínimo: 
 
 →M1d,min = Nd.(1,5+0,03.h) com h = dimensão do pilar, em cm. 
Direção x: M1d ,min,x = Nd.(1,5 + 0,03.hx) → 827,96.(1,5 + 0,03.25) → 1862,91 KN.cm 
Direção y: M1d ,min,y = Nd.(1,5 + 0,03.hy) → 827,96.(1,5 + 0,03.20) → 1738,72 KN.cm 
 
 
 
iv) Esbeltez Limite 
 
Neste pilar de canto ocorre excentricidade de 1ª ordem “e1”nas direções, "x" e "y", 
decorrentes dos momentos fletores de 1ª ordem nestas direções. (M1d,A,x e M1d,B,x / M1d,A,y e 
M1d,B,y) devido aos vãos extremos das vigas V1 (Direção x) e V9 (Direção y). 
 
Excentricidade de 1ª ordem: 
 
Direção “X”: 
 bv . hv³ 20.50³ 
rviga = I viga = 12 = 12 = 208333,33 → rviga = 341,53 cm³ 
 L viga 610 610 610 
 
 y . x³ 20.25³ 
rsup.pilar = I pilar = 12 = 12 = 26041,66 → rsup.pilar = 93,01 cm³ 
 L pilar 280 280 280 
 
 y . x³ 20.25³ 
rinf.pilar = I pilar = 12 = 12 = 260416,66 → rinf.pilar = 93,01 cm³ 
 L pilar 280 280 280 
 
M eng = 7550 KN.cm → Ftool300 
 
Mk,sup = Meng . rsup.pilar → 7550. 93, 01 → 1331,10 KN.cm 
 rviga+rinf+rsup 341,53+93,01+93,01 
 
Mk,inf = Meng . rinf.pilar → 7550. 93, 01 → 1331,10 KN.cm 
 rviga+rinf+rsup 341,53+93,01+93,01 
 
Mlig = Meng . rsup.pilar + rinf.pilar → 7550. 93,01 + 93,01 → 2662,21 KN.cm 
 rviga+rsup.pilar+rinf.pilar 341,53+93,01+93,01 
 
Md,topo = 1,4. (Mk,inf + 0,5 . Mk,sup) → 1,4.(1331,10+0,5. 1331,10) → 2795,31 KN.cm 
Md,base =-1,4. (Mk,sup + 0,5 . Mk,inf) → -1,4.(1331,10+0,5. 1331,10) → -2795,31 KN.cm 
 
Direção X: 
M1d,A,x → Md,topo = 2795,31 KN.cm > M1d ,min,x = 1862,91 KN.cm Logo: 
M1d,B,x → Md,base = -2795,31 KN.cm > M1d ,min,x = -1862,91 KN.cm Logo: 
→ Usar maior “Md” 

e1x = Md = 2795,31 → 3,376 cm → e1x = 3,376 cm 
 Nd 827,96 

bx = 0,6 + 0,4 . (-Md,base) → 0,6 + 0,4 . (-2795,31) → 0,2 ≥ 0,4 → bx = 0,4 
 Md,topo 2795,31 
 
 25 +12,5. e1x 25 +12,5. 3,376 
1x = hx → 1x = 25 → 1x = 66,720 com 35 1  90 
 bx 0,4 
 
 
 
Direção “y”: 
 bv . hv³ 20.50³ 
r viga = I viga = 12 = 12 = 208333,33 → r viga = 591,02 cm³ 
 L viga 352,5 352,5 352,5 
 
 x . y³ 25.20³ 
rsup.pilar = I pilar = 12 = 12 = 16666,67 → rsup.pilar = 59,52 cm³ 
 L pilar 280 280 280 
 
 x . y³ 25.20³ 
rinf.pilar = I pilar = 12 = 12 = 16666,67 → rinf.pilar = 59,52 cm³ 
 L pilar 280 280 280 
 
M eng = 1400 KN.cm → Ftool300 
 
Mk,sup = Meng . rsup.pilar → 1400. 59,52 → 117,35 KN.cm 
 rviga+rinf+rsup 591,02+59,52+59,52 
 
Mk,inf = Meng . rinf.pilar → 1400. 59,52 → 117,35 KN.cm 
 rviga+rinf+rsup 591,02+59,52+59,52 
 
Mlig = Meng . rsup.pilar + rinf.pilar → 1400. 59,52 + 59,52 → 234,707 KN.cm 
 rviga+rsup.pilar+rinf.pilar 591,02+59,52+59,52 
 
Md,topo = 1,4. (Mk,inf + 0,5 . Mk,sup) → 1,4.(117,35+0,5. 117,35) → 246,44 KN.cm 
Md,base =-1,4. (Mk,sup + 0,5 . Mk,inf) → -1,4.(117,35+0,5. 117,35) → -246,44 KN.cm 
 
Direção Y: 
M1d,A,y → Md,topo = 246,44 KN.cm < M1d ,min,y = 1738,72 KN.cm Logo: 
M1d,B,y → Md,base = -246,44 KN.cm < M1d ,min,y = -1738,72 KN.cm Logo: 
→ Usar maior “Md” 
 
e1y = Md = 1738,72 → 2,10 cm → e1y = 2,10 cm 
 Nd 827,96 
 
by = 1 
 
 25 +12,5. e1y25 +12,5. 2,10 
1y = hy → 1y = 20 → 1y = 26,31 ∴ com 35 1  90 
 by 1 
 
Desse modo: 
x = 38,75 < 1,x = 66,72 → Não são considerados os efeitos de 2ª ordem na direção “x”. 
y = 48,44 > 1,y = 35 → São considerados os efeitos de 2ª ordem na direção “y”. 
 
v) Momento de 2ª Ordem 
Força normal adicional: 
 = Nd →  = 827,96 →  = 827,96 →  = 0,77276 
 Ac . fcd Ac .fcK/c 500. 3,0 
 1,4 
 
 
Md,tot,x = M1d,A,x 
 
M1d,A,x → Md,topo = 2795,31 KN.cm > M1d ,min,x = 1862,91 KN.cm Logo: 
 
Md,tot,x = 2795,31 KN.cm 
 
1 = 0,005  0,005 → 1 = 0,005  0,005 → 
r h.(+ 0,5) h r 20.(0,77+0,5) 20 
 
1 = 0,0001964  0,00025 → Usar menor → 1 = 0,000196423 
r r 
 
M1d,A,y → Md,topo = 246,44 KN.cm < M1d ,min,y = 1738,72 KN.cm 
Md,tot,y = by . M1d,A,y + Nd . l² . 1 → Md,tot,y =  . 1738,72 + 827,96 . 280² . 0,0001964 → 
 10 r 10 
Md,tot,y = 3013,743 KN.cm 
Md,tot,y = 3013,743 KN.cmM1d,A,y = 1544,382 KN.cm 
Md,tot,y = 3013,743 KN.cm 
 
vi) Dimensionamento das armaduras 
 
Direção x: 
��Md,tot,x = 2795,31 = 0,104 
 hx.Ac.fcd 25.500.3.0 
 1,4 
d’x = 4 = 0,16 Ábaco: 34-A de PINHEIRO (� = 0,50) 
hx 25 
 
Direção y: 
��Md,tot,y = 3013,743 = 0,1406 
 hy.Ac.fcd 20.500.3.0 
 1,4 
d’y = 4 = 0,20 Ábaco: 34-B de PINHEIRO (� = 0,63) 
hy 20 
 
Com  = 0,77 e utilizando os ábacos (n°34-A e 34-B páginas 82 e 83) de PINHEIRO 
(2009) para flexão composta oblíqua, a taxa de armadura resulta da interpolação entre 
�� = 0,104 e �� = 0,1406. 
 
para  = 0,6 → � = 0,50 
para  = 0,8 → � = 0,63 
 
inferior = 0,6 → � inferior = 0,50 
superior = 0,8 → � superior = 0,63 
 
Interpolação. 
�= �superior+( superior   .(�inferior  � superior )) → 
 superior  inferior 
�= 0,63+(0,8.(0,50 – 0,63)) → � = 0,61229 
 0,8 
A maior armadura resulta do maior valor encontrado para (�). 
 
As = � . Ac . fcd → 0,61229.500.3,0/1,4 → 656,0311 → As = 15,0887 cm² 
 fyd 50/1,15 43,478 
 
Armadura mínima. 
As,min = 0,15. Nd ≥ 0,004.Ac 
 fyd 
 
As,min = 0,15. Nd → 0,15. 827,96 → 0,15 . 827,96 = 2,8564 cm² 
 fyd 50/1,15 43,478 
 
0,004.Ac → 0,004.500 → 2,00 cm² As,min = 2,8564 cm² ≥ 2,00 cm² 
 
Então: As = 15,0877 ≥ As,min = 2,8564 → 08 ∅ 16 mm → As = 16,09 cm² 
 Arranjo n° 6 
Armadura máxima 
As, máxw = 8% . Ac → As, máx = 8% .500 → As, máx = 40 cm² 
 
� = As. 100 = 16,09 .100 = � = 3,218 % < �máx = 4 % OK 
 Ac 500 
 
Diâmetro dos estribos (∅�) = ∅� ≥ ∅� = 16 = 4,0mm → OK 
 4 4 
 ∅� = 5 mm 
Espaçamento dos estribos 
 
Smáx  �
20	cm																	
b� = 20	cm																												
12. ∅� = 12.1,6 = 19,2cm
� OK 
 ∅� = 16 mm S = 19,2 cm 
emin  �
2				cm																					
∅�	 = 	1,6	cm																																		
1,2. d�á�, ����� = 12.1,9 = 2,28cm
� OK 
 ∅� = 1,9 cm S = 2,28 cm 
 
emáx ≤ �
2. b� = 2.20 = 40cm
40	cm																										
� OK 
 
Proteção contra flambagem (quando supera 10 cm utilizo grampo) 
 20.∅� = 20.0,5 = 10cm → Não se faz necessário 
 
Comprimento de Espera 
loc = lb. As,calc ≥ l0c,min → loc = lb. 15,0887 ≥ l0c,min  �
0,6. �� = 0,6.54,4 = 32,64	cm
15. ∅� = 15. 1,6		 = 24,00	cm
																																					20							cm
� 
As,ef 16,09 
 
lb = 34. ∅� → lb = 34. 1,6 = 54,4 cm 
 
 loc = lb. As,calc → loc = 54,4. 15,0887 → loc = 51,014 cm → loc ≅ 52 cm OK 
 As,ef 16,09 
 
CAREGAMENTO TOTAL TOTAL 
PILAR 2 58,6 4 62,6 
PAVIMENTO ND/KN AC (cm2) b (m) h (m) 
H 
(m) 
Peso 
conc. 
PP (NK) 
PILAR ND FINAL 
CANTO 
carega tot 
x1,4 
1,45*nd/ 
(0,6*fck/10+0,42) "y" "x" 
b x h x H 
X Ppilar ND+1,4*somatorioPP 
FORRO 87,64 59,8027027 0,2 0,2 2,8 25 2,8 91,56 
10 175,28 119,6054054 0,2 0,2 2,8 25 2,8 183,12 
9 262,92 179,4081081 0,2 0,2 2,8 25 2,8 274,68 
8 350,56 239,2108108 0,2 0,2 2,8 25 2,8 366,24 
7 438,2 296,4531532 0,2 0,2 2,8 25 2,8 453,88 
6 525,84 359,4563063 0,2 0,25 2,8 25 3,5 550,34 
5 613,48 419,8990991 0,2 0,25 2,8 25 3,5 642,88 
4 701,12 480,3418919 0,2 0,25 2,8 25 3,5 735,42 
3 788,76 540,7846847 0,2 0,25 2,8 25 3,5 827,96 
2 876,4 607,4569257 0,25 0,3 5,5 25 10,3125 930,0375 
 
Pilar 2 – Pavimento 2 (Pilar tipo Canto) 
Nk = (NK lajes + NK pilares) → Nk = 626,0 KN + 38,3125 KN → Nk = 664,3125 KN 
Seção 20 x 25 (Ac = 500 cm²) 
lex = ley = 280 cm → 2,80 m. 
 
i) Esforços Solicitantes: 
Nd =n .f.NK → Nd = 1,0.1,4. 664,3125 → Nd = 930,0375 KN 

* Pré dimensionamento: 
Ac = 1,45 . Nd → Ac = 1,45 . 930,0375 → Ac = 1348,554 → Ac = 607,457 cm² 
 0,6 . fck + 0,42 0,6 . 3 + 0,42 2,22 
 10 
Pode se adotar (25 x 30) = 750 cm² 
 
ii) Índice de Esbeltez: 
 
x = 3,46.lex → x = 3,46.550 → x = 63,43 
 hx 30 
 
y = 3,46.ley → x = 3,46.550 → y = 76,12 
 hy 25 
 
Em função do índice de esbeltez os pilares podem ser classificados como: 
• Pilar médio: se 35 90 

iii) Momento Fletor Mínimo: 
 
 →M1d,min = Nd.(1,5+0,03.h) com h = dimensão do pilar, em cm. 
Direção x: M1d ,min,x = Nd.(1,5 + 0,03.hx) → 930,0375.(1,5 + 0,03.30) → 2232,09 KN.cm 
Direção y: M1d ,min,y = Nd.(1,5 + 0,03.hy) → 930,0375.(1,5 + 0,03.25) → 2092,58 KN.cm 
 
 
 
iv) Esbeltez Limite 
 
Neste pilar de canto ocorre excentricidade de 1ª ordem “e1”nas direções, "x" e "y", 
decorrentes dos momentos fletores de 1ª ordem nestas direções. (M1d,A,x e M1d,B,x / M1d,A,y e 
M1d,B,y) devido aos vãos extremos das vigas V1 (Direção x) e V9 (Direção y). 
 
Excentricidade de 1ª ordem: 
 
Direção “X”: 
 bv . hv³ 20.50³ 
rviga = I viga = 12 = 12 = 208333,33 → rviga = 341,53 cm³ 
 L viga 610 610 610 
 
 y . x³ 20.25³ 
rsup.pilar = I pilar = 12 = 12 = 26041,66 → rsup.pilar = 93,01 cm³ 
 L pilar 280 280 280 
 
 y . x³ 25.30³ 
rinf.pilar = I pilar = 12 = 12 = 56250 → rinf.pilar = 102,27 cm³ 
 L pilar 550 550 550 
 
M eng = 7550 KN.cm → Ftool300 
 
Mk,sup = Meng . rsup.pilar → 7550. 93,01 → 1308,15 KN.cm 
 rviga+rinf+rsup 341,53+102,27+93,01 
 
Mk,inf = Meng . rinf.pilar → 7550. 102,27 → 1438,38 KN.cm 
 rviga+rinf+rsup 341,53+102,27+93,01 
 
Mlig = Meng . rsup.pilar + rinf.pilar → 7550. 93,01 + 102,27 → 2746,53 KN.cm 
 rviga+rsup.pilar+rinf.pilar 341,53+93,01+102,27 
 
Md,topo = 1,4. (Mk,inf + 0,5 . Mk,sup) → 1,4.(1438,38+0,5. 1308,15) → 2929,44 KN.cm 
Md,base =-1,4. (Mk,sup + 0,5 . Mk,inf) → -1,4.(1308,15+0,5. 1438,38) → -2838,28 KN.cm 
 
Direção X: 
M1d,A,x → Md,topo = 2929,44 KN.cm > M1d ,min,x = 2232,09 KN.cm Logo: 
M1d,B,x → Md,base = -2838,28 KN.cm > M1d ,min,x = -2232,09 KN.cm Logo: 
→ Usar maior “Md” 

e1x = Md = 2929,44 → 3,1498 cm → e1x = 3,1498 cm 
 Nd 930,0375 

bx = 0,6 + 0,4 . (-Md,base) → 0,6 + 0,4 . (-2838,28) → 0,21376 ≥ 0,4 → bx = 0,4 
 Md,topo 2929,44 
 
 25 +12,5. e1x 25 +12,5. 3,1498 
1x = hx → 1x = 30 → 1x = 65,781 com 35 1  90 
 bx 0,4 
 
 
 
Direção “y”: 
 bv . hv³ 20.50³ 
r viga = I viga = 12 = 12 = 208333,33 → r viga = 591,02 cm³ 
 L viga 352,5 352,5 352,5 
 
 x . y³ 25.20³rsup.pilar = I pilar = 12 = 12 = 16666,67 → rsup.pilar = 59,52 cm³ 
 L pilar 280 280 280 
 
 x . y³ 30.25³ 
rinf.pilar = I pilar = 12 = 12 = 39062,50 → rinf.pilar = 71,02 cm³ 
 L pilar 550 550 550 
 
M eng = 1400 KN.cm → Ftool300 
 
Mk,sup = Meng . rsup.pilar → 1400. 59,52 → 115,48 KN.cm 
 rviga+rinf+rsup 591,02+71,02+59,52 
 
Mk,inf = Meng . rinf.pilar → 1400. 71,02 → 137,80 KN.cm 
 rviga+rinf+rsup 591,02+71,02+59,52 
 
Mlig = Meng . rsup.pilar + rinf.pilar → 1400. 59,52 + 71,02 → 253,28 KN.cm 
 rviga+rsup.pilar+rinf.pilar 591,02+59,52+71,02 
 
Md,topo = 1,4. (Mk,inf + 0,5 . Mk,sup) → 1,4.(137,80+0,5. 115,48) → 273,756 KN.cm 
Md,base =-1,4. (Mk,sup + 0,5 . Mk,inf) → -1,4.(115,48+0,5. 137,80) → -258,132 KN.cm 
 
Direção Y: 
M1d,A,y → Md,topo = 273,756 KN.cm < M1d ,min,y = 2092,58 KN.cm Logo: 
M1d,B,y → Md,base = -258,132 KN.cm < M1d ,min,y = -2092,58 KN.cm Logo: 
→ Usar maior “Md” 
 
e1y = Md = 2092,58 → 2,249 cm → e1y = 2,249 cm 
 Nd 930,0375 
 
by = 1 
 
 25 +12,5. e1y 25 +12,5. 2,249 
1y = hy → 1y = 25 → 1y = 26,125 ∴ com 35 1  90 
 by 1 
 
Desse modo: 
x = 63,43 < 1,x = 65,78 → Não são considerados os efeitos de 2ª ordem na direção “x”. 
y = 76,12 > 1,y = 35 → São considerados os efeitos de 2ª ordem na direção “y”. 
 
v) Momento de 2ª Ordem 
Força normal adicional: 
 = Nd →  = 930,0375 →  = 930,0375 →  = 0,57869 
 Ac . fcd Ac .fcK/c 750. 3,0 
 1,4 
 
 
Md,tot,x = M1d,A,x 
 
M1d,A,x → Md,topo = 2929,44 KN.cm > M1d ,min,x = 2232,09 KN.cm Logo: 
 
Md,tot,x = 2929,44 KN.cm 
 
1 = 0,005  0,005 → 1 = 0,005  0,005 → 
r h.(+ 0,5) h r 25.(0,57869+0,5) 25 
 
1 = 0,00018541  0,0002 → Usar menor → 1 = 0,00018541 
r r 
 
M1d,A,y → Md,topo = 273,756 KN.cm < M1d ,min,y = 2092,58 KN.cm 
Md,tot,y = by . M1d,A,y + Nd . l² . 1 → Md,tot,y = .2092,58 + 930,0375 . 550² . 0,0001854 → 
 10 r 10 
Md,tot,y = 7308,839 KN.cm 
Md,tot,y = 7308,839 KN.cmM1d,A,y = 2092,58 KN.cm 
Md,tot,y = 7308,839 KN.cm 
 
vi) Dimensionamento das armaduras 
 
Direção x: 
��Md,tot,x = 2929,44 = 0,0607 
 hx.Ac.fcd 30.750.3.0 
 1,4 
d’x = 4 = 0,1333 Ábaco: 34-A de PINHEIRO (� = 0,46) 
hx 30 
 
Direção y: 
��Md,tot,y = 7308,839 = 0,1819 
 hy.Ac.fcd 25.750.3.0 
 1,4 
d’y = 4 = 0,16 Ábaco: 34-A de PINHEIRO (� = 0,55) 
hy 25 
 
Com  = 0,57869 e utilizando o ábaco (n° 34-A páginas 82) de PINHEIRO (2009) para 
flexão composta oblíqua, a taxa de armadura resulta da interpolação entre �� = 0,0607 e 
�� = 0,1819. 
 
para  = 0,4 → � = 0,46 
para  = 0,6 → � = 0,55 
 
inferior = 0,4 → � inferior = 0,46 
superior = 0,6 → � superior = 0,55 
 
Interpolação. 
�= �superior+( superior   .(�inferior  � superior )) → 
 superior  inferior 
�= 0,55+(0,60,57869.(0,46 – 0,55)) → � = 0,5404 
 0,6 
A maior armadura resulta do maior valor encontrado para (�). 
 
As = � . Ac . fcd → 0,5404175.750.3,0/1,4 → 868,5169 → As = 19,9759 cm² 
 fyd 50/1,15 43,478 
 
Armadura mínima. 
As,min = 0,15. Nd ≥ 0,004.Ac 
 fyd 
 
As,min = 0,15. Nd → 0,15.930,0375→ 0,15 . 930,0375 = 3,2086 cm² 
 fyd 50/1,15 43,478 
 
0,004.Ac → 0,004.750 → 3,00 cm² As,min = 3,2086 cm² ≥ 3,00 cm² 
 
Então: As = 19,9759 ≥ As,min = 3,2086 → 08 ∅ 20 mm → As = 25,14 cm² 
 Arranjo n° 6 
Armadura máxima 
As, máxw = 8% . Ac → As, máx = 8% .500 → As, máx = 40 cm² 
 
� = As. 100 = 25,14 .100 = � = 3,352 % < �máx = 4 % OK 
 Ac 750 
 
Diâmetro dos estribos (∅�) = ∅� ≥ ∅� = 20 = 5,0mm → OK 
 4 4 
 ∅� = 5 mm 
Espaçamento dos estribos 
 
Smáx  �
20	cm																	
b� = 25	cm																												
12. ∅� = 12.2,0 = 24,0cm
� OK 
 ∅� = 20 mm S = 20,0 cm 
emin  �
2cm																					
∅�	 = 	2	cm																																		
1,2. d�á�, ����� = 12.1,9 = 2,28cm
� OK 
 ∅� = 1,9 cm S = 2,28 cm 
 
emáx ≤ �
2. b� = 2.25 = 50cm
50	cm																										
� OK 
 
Proteção contra flambagem (quando supera 10 cm utilizo grampo) 
 20.∅� = 20.0,5 = 10cm → Não se faz necessário 
 
Comprimento de Espera 
loc = lb. As,calc ≥ l0c,min → loc = lb. 19,9759 ≥ l0c,min  �
0,6. �� = 0,6.68,0 = 40,80	cm
15. ∅� = 15. 2,0		 = 30,00	cm
																																					20							cm
� 
As,ef 25,14 
 
lb = 34. ∅� → lb = 34. 2,0 = 68,0 cm 
 
 loc = lb. As,calc → loc = 68,0. 19,9759 → loc = 54,0318 cm → loc ≅ 55 cm OK 
 As,ef 25,14 
 
CAREGAMENTO TOTAL 
PILAR 1 86,9 45,8 132,7 
PAVIMENTO ND/KN AC (cm2) b (m) h (m) 
H 
(m) 
Peso 
conc. 
PP (NK) 
PILAR ND FINAL 
INTERMEDIARIO 
carega tot 
x1,4 
ND/ 
(0,6*fck/10+0,42) "y" "x" 
b x h x H X 
Ppilar 
ND+1,4* 
somatorioPP 
FORRO 185,78 85,45045045 0,2 0,2 2,8 25 2,8 189,7 
10 371,56 170,9009009 0,2 0,2 2,8 25 2,8 379,4 
9 557,34 256,3513514 0,2 0,2 2,8 25 2,8 569,1 
8 743,12 341,8018018 0,2 0,2 2,8 25 2,8 758,8 
7 928,9 425,4864865 0,2 0,2 2,8 25 2,8 944,58 
6 1114,68 514,027027 0,2 0,35 2,8 25 4,9 1141,14 
5 1300,46 600,8018018 0,2 0,35 2,8 25 4,9 1333,78 
4 1486,24 687,5765766 0,2 0,35 2,8 25 4,9 1526,42 
3 1672,02 774,3513514 0,2 0,35 2,8 25 4,9 1719,06 
2 1857,8 865,6233108 0,25 0,35 5,5 25 12,03125 1921,6838 
 
Pilar 1 – Pavimento 5 (Pilar tipo Intermediário) 
 Nk = (NK lajes + NK pilares) → Nk = 928,90 KN + 23,80 KN → Nk = 952,70 KN 
Seção: 20 x 35 (Ac = 700 cm²) 
lex = ley = 280 cm → 2,80 m. 
 
i) Esforços Solicitantes: 
Nd =n .f.NK → Nd = 1,0.1,4. 952,70 → Nd = 1333,78 KN 

Tratando-se de um pilar intermediário, não existem momentos fletores e excentricidades 
de 1ª ordem em ambas as direções do pilar. 
 
* Pré dimensionamento: 
Ac = Nd → Ac = 1333,78 → Ac = 1333,78 → Ac = 600,80 cm² 
 0,6 . fck + 0,42 0,6 . 3+0,42 2,22 
 10 
 
Pode se adotar ( 20 x 35 )= 700 cm² 
 
ii) Índice de Esbeltez: 
 
x = 3,46.lex → x = 3,46.280 → x = 27,68 
 hx 35 
 
y = 3,46.ley → x = 3,46.280 → y = 48,44 
 hy 20 

iii) Momento Fletor Mínimo: 
 
 →M1d,min = Nd.(1,5+0,03.h) com h = dimensão do pilar, em cm. 
Direção x: M1d ,min,x = Nd.(1,5+0,03.hx) → 1333,78.(1,5+0,03.35) → 3401,139 KN.cm 
Direção y: M1d ,min,y = Nd.(1,5+0,03.hy) → 1333,78.(1,5+0,03.20) → 2800,938 KN.cm 
 
 
iv) Esbeltez Limite 
 
 25 +12,5. e1 25 +12,5. 0 
1x = 1y hx → 1 = 1y 35 → 1 = 25 com 35 1  90 
b 1 
e1para pilar intermediário.
 
Nos pilares intermediários não ocorrem momentos fletores e de excentricidade de 1ª 
ordem nas extremidades do pilar em ambas as direções "x" e "y", isto é, MA e MB = 0. 
daí resulta que b = 1,0 
Assim : 1,x = 1,y = 25 Tem que ser  35, logo: 

Desse modo: 
x = 27,68 < 1,x = 35 Não são considerados os efeitos de 2ª ordem na direção “x”. 
y = 48,44 > 1,y = 35 São considerados os efeitos de 2ª ordem na direção “y”. 
 
v) Momento de 2ª Ordem 
Método do pilar-padrão com curvatura aproximada 
 
Md,tot,x = b . M1d,Ax + Nd.( l² e/10) . (1/r) �
M1�, �
M1�, min
�M1d,A ≥M1d,min 
Força normal adicional: 
 = Nd →  = 1333,78 →  = 1333,78 →  = 0,889186666 
 Ac . fcd 700.3,01500 
 1,4 
 
1/r = curvatura na seção crítica, avaliada pela expressão aproximada: 
 
Curva segundo a seção “y” sujeita a esforço de segunda ordem. 
 
1y = 0,005 ≤ 0,005 → 1y = 0,005 ≤ 0,005 → 1y = 0,005 ≤ 0,005 → 
r h.(+ 0,5) h r 20.(0,889 +0,5) 20 r 27,78373 20 
 
1y = 0,000179961 ≤ 0,00025 → Usar menor → 1y = 0,000179961 
r r 
 
Fazendo-se M1d,A ≥M1d,min em cada direção tem os momentos totais máximos: 
 
Direção x: Md,tot,x = M1d,min,x ; → M1d,min,x = 3401,139 KN.cm 
Direção x: → Md,tot,x = 3401,139 KN.cm 
Por não serem considerados os efeitos de 2ª ordem nesta direção. 
 
Direção y: Md,tot,y = b . M1d,min,y + Nd . l² e . 1 
 10 r 
Direção y: Md,tot,y = 1 . 2800,938+ 1333,78.280².0,000179961 → 
 10 
Md,tot,y = 4682,764872 KN.cm 
Direção y: Md,tot,y = 4682,764872 KN.cm > M1d,min,y = 2800,938 KN.cm 
 
 
 
Dimensionamento das armaduras 
 
Com  = nnnn e utilizando os ábacos de VENTURINI (1987) para flexão reta faz-se o 
cálculo de �d’ , segundo as direções x e y. 
 h 
Direção x: 
 
�Md,tot,x → 3401,139 = 0,0647836 
 hx.Ac.fcd 35.700.3.0 
 1,4 
 
d’x = 4 = 0,114 Ábaco: A- 25 (� = 0,20 ) 
hx 35 
 
Direção y: 
 
�Md,tot,y → 4682,764872 = 0,156092162 
 hy.Ac.fcd 20.700 .3.0 
 1,4 
d’y = 4 = 0,2 Ábaco: A- 25 (� = 0,46) 
hy 20 
 
A maior armadura resulta do maior valor encontrado para (�). 
 
As = � . Ac . fcd = 0,46.700.3,0/1,4 = 15,87 cm² 
 fyd 50/1,15 
 
Armadura mínima. 
As,min = 0,15. Nd ≥ 0,004.Ac 
 fyd 
 
As,min = 0,15. Nd → 0,15. 1333,78→ 0,15.1333,78 = 4,601541 cm² 
 fyd 50/1,15 43,478 
 
0,004.Ac → 0,004.700 → 2,80 cm² As,min = 4,601541 cm² ≥ 2,80 cm² 
 
Então: As = 15,87 ≥ As,min = 2,218 → 08 ∅ 16 mm → As = 16,09 cm² 
 
Armadura máxima 
As, máxw = 8% . Ac → As, máx = 8% .700 → As, máx = 56 cm² 
 
� = As. 100 = 15,87 .100 = � = 2,267 % < �máx = 4 % OK 
 Ac 700 
 
Diâmetro dos estribos (∅�) = ∅� ≥ ∅� = 16 = 4,0mm → OK 
 4 4 
 ∅� = 5 mm 
 
 
 
 
 
Espaçamento dos estribos 
 
Smáx  �
20	cm																	
b� = 20	cm																												
12. ∅� = 12.1,6 = 19,2cm
� OK 
 ∅� = 16 mm S = 19,2 cm 
emin  �
2				cm																					
∅�	 = 	1,6	cm																																		
1,2. d�á�, ����� = 12.1,9 = 2,28cm
� OK 
 ∅� = 1,9 cm S = 2,28 cm 
 
emáx ≤ �
2. b� = 2.20 = 40cm
40	cm																										
� OK 
 
Proteção contra flambagem (quando supera 10 cm utilizo grampo) 
 20.∅� = 20.0,5 = 10cm → Não se faz necessário 
 
Comprimento de Espera 
loc = lb. As,calc ≥ l0c,min → loc = lb. 15,87 ≥ l0c,min  �
0,6. �� = 0,6.54,4 = 32,64	cm
15. ∅� = 15. 1,6		 = 24,00	cm
																																					20							cm
� 
As,ef 16,09 
 
lb = 34. ∅� → lb = 34. 1,6 = 54,4 cm 
 
 loc = lb. As,calc → loc = 54,4. 15,87 → loc = 53,656 cm → loc ≅ 54 cm OK 
 As,ef 16,09 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAREGAMENTO TOTAL 
PILAR 1 86,9 45,8 132,7 
PAVIMENTO ND/KN AC (cm2) b (m) h (m) 
H 
(m) 
Peso 
conc. 
PP (NK) 
PILAR ND FINAL 
INTERMEDIARIO 
carega tot 
x1,4 
ND/ 
(0,6*fck/10+0,42) "y" "x" 
b x h x H X 
Ppilar 
ND+1,4* 
somatorioPP 
FORRO 185,78 85,45045045 0,2 0,2 2,8 25 2,8 189,7 
10 371,56 170,9009009 0,2 0,2 2,8 25 2,8 379,4 
9 557,34 256,3513514 0,2 0,2 2,8 25 2,8 569,1 
8 743,12 341,8018018 0,2 0,2 2,8 25 2,8 758,8 
7 928,9 425,4864865 0,2 0,2 2,8 25 2,8 944,58 
6 1114,68 514,027027 0,2 0,35 2,8 25 4,9 1141,14 
5 1300,46 600,8018018 0,2 0,35 2,8 25 4,9 1333,78 
4 1486,24 687,5765766 0,2 0,35 2,8 25 4,9 1526,42 
3 1672,02 774,3513514 0,2 0,35 2,8 25 4,9 1719,06 
2 1857,8 865,6233108 0,25 0,35 5,5 25 12,03125 1921,6838 
 
Pilar 1 – Pavimento 4 (Pilar tipo Intermediário) 
 Nk = (NK lajes + NK pilares) → Nk = 1061,60 KN + 28,70 KN → Nk = 1090,30 KN 
Seção: 20 x 35 (Ac = 700 cm²) 
lex = ley = 280 cm → 2,80 m. 
 
i) Esforços Solicitantes: 
Nd =n .f.NK → Nd = 1,0.1,4. 1090,30 → Nd = 1526,42 KN 

Tratando-se de um pilar intermediário, não existem momentos fletores e excentricidades 
de 1ª ordem em ambas as direções do pilar. 
 
* Pré dimensionamento: 
Ac = Nd → Ac = 1526,42 → Ac = 1526,42 → Ac = 687,576 cm² 
 0,6 . fck + 0,42 0,6 . 3+0,42 2,22 
 10 
 
Pode se adotar ( 20 x 35 )= 700 cm² 
 
ii) Índice de Esbeltez: 
 
x = 3,46.lex → x = 3,46.280 → x = 27,68 
 hx 35 
 
y = 3,46.ley → x = 3,46.280 → y = 48,44 
 hy 20 

iii) Momento Fletor Mínimo: 
 
 →M1d,min = Nd.(1,5+0,03.h) com h = dimensão do pilar, em cm. 
Direção x: M1d ,min,x = Nd.(1,5+0,03.hx) → 1526,42.(1,5+0,03.35) → 3892,371 KN.cm 
Direção y: M1d ,min,y = Nd.(1,5+0,03.hy) → 1526,42.(1,5+0,03.20) → 3205,482 KN.cm 
 
 
iv) Esbeltez Limite 
 
 25 +12,5. e1 25 +12,5. 0 
1x = 1y hx → 1 = 1y 35 → 1 = 25 com 35 1  90 
b 1 
e1para pilar intermediário.
 
Nos pilares intermediários não ocorrem momentos fletores e de excentricidade de 1ª 
ordem nas extremidades do pilar em ambas as direções "x" e "y", isto é, MA e MB = 0. 
daí resulta que b = 1,0 
Assim : 1,x = 1,y = 25 Tem que ser  35, logo: 

Desse modo: 
x = 27,68 < 1,x = 35 Não são considerados os efeitos de 2ª ordem na direção “x”. 
y = 48,44 > 1,y = 35 São considerados os efeitos de 2ª ordem na direção “y”. 
 
v) Momento de 2ª Ordem 
Método do pilar-padrão com curvatura aproximada 
 
Md,tot,x = b . M1d,Ax + Nd.( l² e/10) . (1/r) �
M1�, �
M1�, min
�M1d,A ≥M1d,min 
Força normal adicional: 
 = Nd →  = 1526,42 →  = 1526,42 →  = 1,017613333 
 Ac . fcd 700.3,0 1500 
 1,4 
 
1/r = curvatura na seção crítica, avaliada pela expressão aproximada: 
 
Curva segundo a seção “y” sujeita a esforço de segunda ordem. 
 
1y = 0,005 ≤ 0,005 → 1y = 0,005 ≤ 0,005 → 1y = 0,005 ≤ 0,005 → 
r h.(+ 0,5) h r 20.( 1,0176 +0,5) 20 r 30,35226 20 
 
1y = 0,000164732 ≤ 0,00025 → Usar menor → 1y = 0,000164732 
r r 
 
Fazendo-se M1d,A ≥M1d,min em cada direção tem os momentos totais máximos: 
 
Direção x: Md,tot,x = M1d,min,x ; → M1d,min,x = 3892,371 KN.cm 
Direção x: → Md,tot,x = 3892,371 KN.cm 
Por não serem considerados os efeitos de 2ª ordem nesta direção. 
 
Direção y: Md,tot,y = b . M1d,min,y + Nd . l² e . 1 
 10 r 
Direção y: Md,tot,y = 1 . 3205,482+ 1526,42.280².0,000164732 → 
 10 
Md,tot,y = 5176,855824 KN.cm 
Direção y: Md,tot,y = 5176,855824 KN.cm > M1d,min,y = 3205,482 KN.cm 
 
 
 
Dimensionamento das armaduras 
 
Com  = nnnn e utilizando os ábacos de VENTURINI (1987) para flexão reta faz-se o 
cálculo de �d’ , segundo as direções x e y. 
 h 
Direção x: 
 
�Md,tot,x → 3892,371 = 0,0741404 
 hx.Ac.fcd 35.700.3.0 
 1,4 
 
d’x = 4 = 0,114 Ábaco: A- 25 (� = 0,36 ) 
hx 35 
 
Direção y: 
 
�Md,tot,y → 5176,855824 = 0,17256186 
 hy.Ac.fcd 20.700 .3.0 
 1,4 
d’y = 4 = 0,2 Ábaco: A- 25 (� = 0,60 ) 
hy 20 
 
A maior armadura resulta do maior valor encontrado para (�). 
 
As = � . Ac . fcd = 0,60.700.3,0/1,4 = 20,70 cm² 
 fyd 50/1,15 
 
Armadura mínima. 
As,min = 0,15. Nd ≥ 0,004.Ac 
 fyd 
 
As,min = 0,15. Nd → 0,15. 1526,42→ 0,15. 1526,42 = 5,266149 cm²fyd 50/1,15 43,478 
 
0,004.Ac → 0,004.700 → 2,80 cm² As,min = 5,266149 cm² ≥ 2,80 cm² 
 
Então: As = 20,70 ≥ As,min = 2,218 → 08 ∅ 20 mm → As = 25,14 cm² 
 
Armadura máxima 
As, máxw = 8% . Ac → As, máx = 8% .700 → As, máx = 56 cm² 
 
� = As. 100 = 25,14 .100 = � = 3,59 % < �máx = 4 % OK 
 Ac 700 
 
Diâmetro dos estribos (∅�) = ∅� ≥ ∅� = 20 = 5,0mm → OK 
 4 4 
 ∅� = 5 mm 
 
 
 
 
 
Espaçamento dos estribos 
 
Smáx  �
20	cm																	
b� = 20	cm																												
12. ∅� = 12.2,0 = 24,0cm
� OK 
 ∅� = 20 mm S = 20,0 cm 
emin  �
2				cm																					
∅�	 = 	1,6	cm																																		
1,2. d�á�, ����� = 12.1,9 = 2,28cm
� OK 
 ∅� = 1,9 cm S = 2,28 cm 
 
emáx ≤ �
2. b� = 2.20 = 40cm
40	cm																										
� OK 
 
Proteção contra flambagem (quando supera 10 cm utilizo grampo) 
 20.∅� = 20.0,5 = 10cm → Não se faz necessário 
 
Comprimento de Espera 
loc = lb. As,calc ≥ l0c,min → loc = lb. 20,70 ≥ l0c,min  �
0,6. �� = 0,6.68,0 = 40,80	cm
15. ∅� = 15. 2,0		 = 30,00	cm
																																					20							cm
� 
As,ef 25,14 
 
lb = 34. ∅� → lb = 34. 2,0 = 68 cm 
 
 loc = lb. As,calc → loc = 68. 20,70 → loc = 55,99 cm → loc ≅ 56 cm OK 
 As,ef 25,14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAREGAMENTO TOTAL 
PILAR 1 86,9 45,8 132,7 
PAVIMENTO ND/KN AC (cm2) b (m) h (m) 
H 
(m) 
Peso 
conc. 
PP (NK) 
PILAR ND FINAL 
INTERMEDIARIO 
carega tot 
x1,4 
ND/ 
(0,6*fck/10+0,42) "y" "x" 
b x h x H X 
Ppilar 
ND+1,4* 
somatorioPP 
FORRO 185,78 85,45045045 0,2 0,2 2,8 25 2,8 189,7 
10 371,56 170,9009009 0,2 0,2 2,8 25 2,8 379,4 
9 557,34 256,3513514 0,2 0,2 2,8 25 2,8 569,1 
8 743,12 341,8018018 0,2 0,2 2,8 25 2,8 758,8 
7 928,9 425,4864865 0,2 0,2 2,8 25 2,8 944,58 
6 1114,68 514,027027 0,2 0,35 2,8 25 4,9 1141,14 
5 1300,46 600,8018018 0,2 0,35 2,8 25 4,9 1333,78 
4 1486,24 687,5765766 0,2 0,35 2,8 25 4,9 1526,42 
3 1672,02 774,3513514 0,2 0,35 2,8 25 4,9 1719,06 
2 1857,8 865,6233108 0,25 0,35 5,5 25 12,03125 1921,6838 
 
Pilar 1 – Pavimento 3 (Pilar tipo Intermediário) 
 Nk = (NK lajes + NK pilares) → Nk = 1194,30 KN + 33,60 KN → Nk = 1227,90 KN 
Seção: 20 x 35 (Ac = 700 cm²) 
lex = ley = 280 cm → 2,80 m. 
 
i) Esforços Solicitantes: 
Nd =n .f.NK → Nd = 1,0.1,4. 1227,90 → Nd = 1719,06 KN 

Tratando-se de um pilar intermediário, não existem momentos fletores e excentricidades 
de 1ª ordem em ambas as direções do pilar. 
 
* Pré dimensionamento: 
Ac = Nd → Ac = 1719,06 → Ac = 1719,06 → Ac = 774,351 cm² 
 0,6 . fck + 0,42 0,6 . 3+0,42 2,22 
 10 
 
Pode se adotar ( 20 x 35 )= 700 cm² 
 
ii) Índice de Esbeltez: 
 
x = 3,46.lex → x = 3,46.280 → x = 27,68 
 hx 35 
 
y = 3,46.ley → x = 3,46.280 → y = 48,44 
 hy 20 

iii) Momento Fletor Mínimo: 
 
 →M1d,min = Nd.(1,5+0,03.h) com h = dimensão do pilar, em cm. 
Direção x: M1d ,min,x = Nd.(1,5+0,03.hx) → 1719,06.(1,5+0,03.35) → 4383,603 KN.cm 
Direção y: M1d ,min,y = Nd.(1,5+0,03.hy) → 1719,06.(1,5+0,03.20) → 3610,026 KN.cm 
 
 
iv) Esbeltez Limite 
 
 25 +12,5. e1 25 +12,5. 0 
1x = 1y hx → 1 = 1y 35 → 1 = 25 com 35 1  90 
b 1 
e1para pilar intermediário.
 
Nos pilares intermediários não ocorrem momentos fletores e de excentricidade de 1ª 
ordem nas extremidades do pilar em ambas as direções "x" e "y", isto é, MA e MB = 0. 
daí resulta que b = 1,0 
Assim : 1,x = 1,y = 25 Tem que ser  35, logo: 

Desse modo: 
x = 27,68 < 1,x = 35 Não são considerados os efeitos de 2ª ordem na direção “x”. 
y = 48,44 > 1,y = 35 São considerados os efeitos de 2ª ordem na direção “y”. 
 
v) Momento de 2ª Ordem 
Método do pilar-padrão com curvatura aproximada 
 
Md,tot,x = b . M1d,Ax + Nd.( l² e/10) . (1/r) �
M1�, �
M1�, min
�M1d,A ≥M1d,min 
Força normal adicional: 
 = Nd →  = 1719,06 →  = 1719,06 →  = 1,14604 
 Ac . fcd 700.3,0 1500 
 1,4 
 
1/r = curvatura na seção crítica, avaliada pela expressão aproximada: 
 
Curva segundo a seção “y” sujeita a esforço de segunda ordem. 
 
1y = 0,005 ≤ 0,005 → 1y = 0,005 ≤ 0,005 → 1y = 0,005 ≤ 0,005 → 
r h.(+ 0,5) h r 20.( 1,14604 +0,5) 20 r 32,9208 20 
 
1y = 0,000151879 ≤ 0,00025 → Usar menor → 1y = 0,000151879 
r r 
 
Fazendo-se M1d,A ≥M1d,min em cada direção tem os momentos totais máximos: 
 
Direção x: Md,tot,x = M1d,min,x ; → M1d,min,x = 4383,603 KN.cm 
Direção x: → Md,tot,x = 4383,603 KN.cm 
Por não serem considerados os efeitos de 2ª ordem nesta direção. 
 
Direção y: Md,tot,y = b . M1d,min,y + Nd . l² e . 1 
 10 r 
Direção y: Md,tot,y = 1 . 3610,026+ 1719,06.280².0,000151879 → 
 10 
Md,tot,y = 5656,973583 KN.cm 
Direção y: Md,tot,y = 5656,973583 KN.cm > M1d,min,y = 3610,026 KN.cm 
 
 
 
 
Dimensionamento das armaduras 
 
Com  = nnnn e utilizando os ábacos de VENTURINI (1987) para flexão reta faz-se o 
cálculo de �d’ , segundo as direções x e y. 
 h 
Direção x: 
 
�Md,tot,x → 4383,603 = 0,0834972 
 hx.Ac.fcd 35.700.3.0 
 1,4 
 
d’x = 4 = 0,114 Ábaco: A- 25 (� = 0,55 ) 
hx 35 
 
Direção y: 
 
�Md,tot,y → 5656,973583 = 0,188565786 
 hy.Ac.fcd 20.700 .3.0 
 1,4 
d’y = 4 = 0,2 Ábaco: A- 25 (� = 0,80 ) 
hy 20 
 
A maior armadura resulta do maior valor encontrado para (�). 
 
As = � . Ac . fcd = 0,80.700.3,0/1,4 = 27,6 cm² 
 fyd 50/1,15 
 
Armadura mínima. 
As,min = 0,15. Nd ≥ 0,004.Ac 
 fyd 
 
As,min = 0,15. Nd → 0,15. 1719,06→ 0,15. 1719,06 = 5,930757 cm² 
 fyd 50/1,15 43,478 
 
0,004.Ac → 0,004.700 → 2,80 cm² As,min = 5,930757 cm² ≥ 2,80 cm² 
 
Então: As = 27,60 ≥ As,min = 2,218 → 06 ∅ 25 mm → As = 29,45 cm² 
 
Armadura máxima 
As, máxw = 8% . Ac → As, máx = 8% .700 → As, máx = 56 cm² 
 
� = As. 100 = 29,45 .100 = � = 4,207 % > �máx = 4 % Ultrapassou os 4% 
 Ac 700 
 
Diâmetro dos estribos (∅�) = ∅� ≥ ∅� = 25 = 6,25 mm → OK 
 4 4 
 ∅� = 6,3 mm 
 
 
 
 
Espaçamento dos estribos 
 
Smáx  �
20	cm																	
b� = 20	cm																												
12. ∅� = 12.1,6 = 19,2cm
� OK 
 ∅� = 25 mm S = 20,0 cm 
emin  �
2				cm																					
∅�	 = 	1,6	cm																																		
1,2. d�á�, ����� = 12.1,9 = 2,28cm
� OK 
 ∅� = 1,9 cm S = 2,28 cm 
 
emáx ≤ �
2. b� = 2.20 = 40cm
40	cm																										
� OK 
 
Proteção contra flambagem (quando supera 10 cm utilizo grampo) 
 20.∅� = 20.0,63 = 12,6cm → Se faz necessário 
 
Comprimento de Espera 
loc = lb. As,calc ≥ l0c,min → loc = lb. 27,5 ≥ l0c,min  �
0,6. �� = 0,6.85 = 51,00	cm
15. ∅� = 15. 2,5		 = 37,5	cm
																																					20							cm
� 
As,ef 29,45 
 
lb = 34. ∅� → lb = 34. 2,5 = 85 cm 
 
 loc = lb. As,calc → loc =85. 27,6 → loc = 79,66 cm → loc ≅ 80 cm OK 
 As,ef 29,45 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAREGAMENTO TOTAL 
PILAR 1 86,9 45,8 132,7 
PAVIMENTO ND/KN AC (cm2) b (m) h (m) 
H 
(m) 
Peso 
conc. 
PP (NK) 
PILAR ND FINAL 
INTERMEDIARIO 
carega tot 
x1,4 
ND/ 
(0,6*fck/10+0,42) "y" "x" 
b x h x H X 
PpilarND+1,4* 
somatorioPP 
FORRO 185,78 85,45045045 0,2 0,2 2,8 25 2,8 189,7 
10 371,56 170,9009009 0,2 0,2 2,8 25 2,8 379,4 
9 557,34 256,3513514 0,2 0,2 2,8 25 2,8 569,1 
8 743,12 341,8018018 0,2 0,2 2,8 25 2,8 758,8 
7 928,9 425,4864865 0,2 0,2 2,8 25 2,8 944,58 
6 1114,68 514,027027 0,2 0,35 2,8 25 4,9 1141,14 
5 1300,46 600,8018018 0,2 0,35 2,8 25 4,9 1333,78 
4 1486,24 687,5765766 0,2 0,35 2,8 25 4,9 1526,42 
3 1672,02 774,3513514 0,2 0,35 2,8 25 4,9 1719,06 
2 1857,8 865,6233108 0,25 0,35 5,5 25 12,03125 1921,6838 
 
Pilar 1 – Pavimento 2 (Pilar tipo Intermediário) 
 Nk = (NK lajes + NK pilares) → Nk = 1327,00 KN + 45,63125 KN → Nk = 1372,631 KN 
Seção: 25 x 35 (Ac = 875 cm²) 
lex = ley = 550 cm → 5,50 m. 
 
i) Esforços Solicitantes: 
Nd =n .f.NK → Nd = 1,0.1,4. 1372,63126 → Nd = 1921,68375 KN 

Tratando-se de um pilar intermediário, não existem momentos fletores e excentricidades 
de 1ª ordem em ambas as direções do pilar. 
 
* Pré dimensionamento: 
Ac = Nd → Ac = 1921,68375 → Ac = 1921,68 → Ac = 865,6233 cm² 
 0,6 . fck + 0,42 0,6 . 3+0,42 2,22 
 10 
 
Pode se adotar ( 25 x 35 )= 875 cm² 
 
ii) Índice de Esbeltez: 
 
x = 3,46.lex → x = 3,46.550 → x = 54,3714 
 hx 35 
 
y = 3,46.ley → x = 3,46.550 → y = 76,12 
 hy 25 

iii) Momento Fletor Mínimo: 
 
 →M1d,min = Nd.(1,5+0,03.h) com h = dimensão do pilar, em cm. 
Direção x: M1d ,min,x = Nd.(1,5+0,03.hx) → 1921,68.(1,5+0,03.35) → 4900,293 KN.cm 
Direção y: M1d ,min,y = Nd.(1,5+0,03.hy) → 1921,68.(1,5+0,03.25) → 4323,788 KN.cm 
 
 
iv) Esbeltez Limite 
 
 25 +12,5. e1 25 +12,5. 0 
1x = 1y hx → 1 = 1y 35 → 1 = 25 com 35 1  90 
b 1 
e1para pilar intermediário.
 
Nos pilares intermediários não ocorrem momentos fletores e de excentricidade de 1ª 
ordem nas extremidades do pilar em ambas as direções "x" e "y", isto é, MA e MB = 0. 
daí resulta que b = 1,0 
Assim : 1,x = 1,y = 25 Tem que ser  35, logo: 

Desse modo: 
x = 54,37 > 1,x = 35 São considerados os efeitos de 2ª ordem na direção “x”. 
y = 76,12 > 1,y = 35 São considerados os efeitos de 2ª ordem na direção “y”. 
 
v) Momento de 2ª Ordem 
Método do pilar-padrão com curvatura aproximada 
 
Md,tot,x = b . M1d,Ax + Nd.( l² e/10) . (1/r) �
M1�, �
M1�, min
�M1d,A ≥M1d,min 
Força normal adicional: 
 = Nd →  = 1921,68 →  = 1921,68 →  = 1,024898 
 Ac . fcd 875.3,0 1875 
 1,4 
 
1/r = curvatura na seção crítica, avaliada pela expressão aproximada: 
 
Curva segundo a seção “x” sujeita a esforço de segunda ordem. 
 
1x = 0,005 ≤ 0,005 → 1x = 0,005 ≤ 0,005 → 1x = 0,005 ≤ 0,005 → 
r h.(+ 0,5) h r 35.( 1,025 +0,5) 35 r 53,37143 35 
 
1y = 0,000093683 ≥ 0,000142857 → Usar menor → 1x = 0,000093683 
r r 
 
Fazendo-se M1d,A ≥M1d,min em cada direção tem os momentos totais máximos: 
 
Direção x: Md,tot,x = b . M1d,min,x + Nd . l² e . 1 
 10 r 
Direção x: Md,tot,x = 1 . 4900,293+ 1921,68.550².0,000093683 → 
 10 
Md,tot,x = 10346,16732 KN.cm 
Direção x: Md,tot,x = 10346,16732 KN.cm > M1d,min,x = 4900,293 KN.cm 
 
 
 
 
 
 
1/r = curvatura na seção crítica, avaliada pela expressão aproximada: 
 
Curva segundo a seção “y” sujeita a esforço de segunda ordem. 
 
1y = 0,005 ≤ 0,005 → 1y = 0,005 ≤ 0,005 → 1y = 0,005 ≤ 0,005 → 
r h.(+ 0,5) h r 25.( 1,025 +0,5) 25 r 38,12245 25 
 
1y = 0,000131156 ≤ 0,0002 → Usar menor → 1y = 0,000131156 
r r 
Fazendo-se M1d,A ≥M1d,min em cada direção tem os momentos totais máximos: 
 
Direção y: Md,tot,y = b . M1d,min,y + Nd . l² e . 1 
 10 r 
Direção y: Md,tot,y = 1 . 4323,788+ 1921,68.550².0,000151879 → 
 10 
Md,tot,y = 11948,01205 KN.cm 
Direção y: Md,tot,y = 11948,01205 KN.cm > M1d,min,y = 3610,026 KN.cm 
 
 
Dimensionamento das armaduras 
 
Com  = nnnn e utilizando os ábacos de VENTURINI (1987) para flexão reta faz-se o 
cálculo de �d’ , segundo as direções x e y. 
 h 
Direção x: 
 
�Md,tot,x → 10346,167 = 0,1576 
 hx.Ac.fcd 35.875 .3.0 
 1,4 
 
d’x = 4 = 0,114 Ábaco: A- 25 (� = 0,75 ) 
hx 35 
 
Direção y: 
 
�Md,tot,y → 11948,012 = 0,2548 
 hy.Ac.fcd 25.875 .3.0 
 1,4 
d’y = 4 = 0,16 Ábaco: A- 04 (� = 1,00 ) 
hy 25 
 
 
A maior armadura resulta do maior valor encontrado para (�). 
 
As = � . Ac . fcd = 1,00.875.3,0/1,4 = 43,125 cm² 
 fyd 50/1,15 
 
 
 
 
 
Armadura mínima. 
As,min = 0,15. Nd ≥ 0,004.Ac 
 fyd 
 
As,min = 0,15. Nd → 0,15. 1921,68→ 0,15. 1921,68 = 6,629796 cm² 
 fyd 50/1,15 43,478 
 
0,004.Ac → 0,004.875 → 3,50 cm² As,min = 6,629796 cm² ≥ 3,50 cm² 
 
Então: As = 43,125 ≥ As,min = 6,629796 cm² → 10 ∅ 25 mm → As = 49,09 cm² 
 
Armadura máxima 
As, máxw = 8% . Ac → As, máx = 8% .875 → As, máx = 70 cm² 
 
� = As. 100 = 43,125 .100 = � = 4,928 % > �máx = 4 % Ultrapassou os 4% 
 Ac 875 
 
Diâmetro dos estribos (∅�) = ∅� ≥ ∅� = 25 = 6,25mm → OK 
 4 4 
 ∅� = 6,3 mm 
 
Espaçamento dos estribos 
 
Smáx  �
20	cm																	
b� = 20	cm																												
12. ∅� = 12.25 = 30,0cm
� OK 
 ∅� = 25 mm S = 20,0 cm 
emin  �
2				cm																					
∅�	 = 	1,6	cm																																		
1,2. d�á�, ����� = 12.1,9 = 2,28cm
� OK 
 ∅� = 1,9 cm S = 2,28 cm 
 
emáx ≤ �
2. b� = 2.20 = 40cm
40	cm																										
� OK 
 
Proteção contra flambagem (quando supera 10 cm utilizo grampo) 
 20.∅� = 20.0,63 = 12,6cm → Se faz necessário 
 
Comprimento de Espera 
loc = lb. As,calc ≥ l0c,min → loc = lb. 43,125 ≥ l0c,min  �
0,6. �� = 0,6.85,0 = 51,00	cm
15. ∅� = 15. 2,5		 = 37,50	cm
																																					20							cm
� 
As,ef 49,09 
 
lb = 34. ∅� → lb = 34. 2,5 = 85 cm 
 
 loc = lb. As,calc → loc = 85 . 43,125 → loc = 74,67 cm → loc ≅ 75 cm OK 
 As,ef 49,09