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Centro Universitário Univates Estruturas de Concreto Armado II Exercício sobre Torção em Vigas de Concreto Armado Autor: Volnei Inácio Hilleshein Professor: P. F. S. Lajeado, 16 de junho de 2013. Dimensionar as armaduras necessárias para V1 da grelha mostrada na figura abaixo: fck = 25 MPa c = f d’ = d” = 4 cm d = h – d” = 50 – 4 = 46 cm bw = 20 cm Cobrimento: C = 2,5 cm Considerar estribos verticais ( = 90°) e ângulo de inclinação das diagonais de compressão ( = 38°). 1) Dimensionamento da armadura de flexão (Seção Retangular). Mk,máx = Mk,max . 100 → 56,00 kN.m . 100 → Mk,max = 5600 kN.cm Md = f. Mk,max → Md = 1,4 . 5600 → Md = 7840 kN.cm fck = 25 Mpa bw = 20 cm d = 50 – 4 = 46 cm Kc = bw . d² → 20 . 46² → Kc = 5,4 Md 7840 Tabela 6-01 → Ks = 0,025 ; �x = 0,16 ; Domínio 2 → (Página 147) As = Ks . Md → 0,025 . 7840 → 4,26 cm² d 46 As,min = 0,0015 . bw . h → ver página 140 (fck = 25 Mpa) As,min = 0,0015 . bw . h → 0,0015 . 20 . 50 = 1,5 cm² < 4,26 cm² As = 4,26 cm² → 3 ∅ 10 + 4 ∅ 8,0 = 4,37 cm² → (Tabela 6-02, página 148) (2,36 cm² + 2,01 cm²) 2) Dimensionamento da armadura transversal ao cisalhamento ( = 38°). (Modelo de cálculo II) Vk,máx = 36 KN Vsd =f. Vk,máx → Vsd = 1,4. 36 → Vsd = 50,40 KN 2.1) Verificação das diagonais de compressão. Estribos verticais ( = 90°) VRd2 = 0,054. � 1 − ��� 250 � . fcd . bw . d . sen . cos → VRd2 = 0,054. �1 − 25 250 � . 25 . 20 . 46. sen . cos 38° → 1,4 VRd2 = 387,3559 KN VRd2 = 387,3559 KN > Vsd = 50,40 KN → OK Logo não ocorrerá esmagamento das diagonais de compressão por cisalhamento. 2.2) Cálculo da armadura transversal. Asw,90 = 2,55. (VSd – Vc1) → Vc1 = Vc0 = ( VRd2 – Vsd ) → Vc0 = 0,6 . fctd . bw . d d.cot g VRd2 – Vc0 Vc0 = 0,6 . fctd . bw . d; sendo: fctd = fctk,inf → fctk,inf = 0,7. fctm → fctm = 0,3. fck⅔ c Vc0 = 0,6. (0,7.0,3. fck⅔). bw . d → Vc0 = 0,6. (0,7.0,3. 25⅔ ). 20 . 46 → Vc0 = 70,79 KN 10.c 10.1,4 Vc1 = Vc0.( VRd2 – Vsd ) → Vc1 = 70,79.( 387,36 – 50,40 ) → Vc1 = 75,35 KN VRd2 – Vc0 387,36 – 70,79 Asw,90 = 2,55. (VSd – Vc1) → Asw,90 = 2,55. (50,40 – 75,35) → d.cot g 46. cot 38° Asw,90 = 2,55. (50,40 – 75,35) → Asw,90 = 2,55. -24,95 → Asw,90 = 1,08 cm²/m 46 . 1,28 58,88 Asw,min = 20. fctm . bw . sen; sendo: fywk fctm = 0,3. fck⅔ → fctm = 0,3. 25⅔ → fctm = 2,565 MPa → fctm = 0,256 KN/cm² Asw,min = 20. fctm . bw . sen → Asw,min = 20. 0,256 . 20 . sen 90° → Asw,min = 2,05 cm²/m fywk 50 Asw,min = 2,05 cm²/m > Asw,90 = 1,08 cm²/m Espaçamento máximo dos estribos: 0,67.VRd2 → 0,67.387,36 → 259,53 KN Vsd = 50,40 KN < 0,67.VRd2 = 259,53 KN Smáx = 0,6.d → Smáx = 0,6.46 → Smáx = 27,6 cm Smáx = 27,6 cm ≤ 30 cm → Portanto S ≤ 27,6 cm Tabela 6-03 (página 149) estribo ∅6,3 c/27,6 � Asw = 2,05 cm²/m S máx = 27,6 cm ∅min = 6,3mm � 3)Dimensionamento da armadura a torção Tk,Max = 30,94 KN Tsd = f . Tk,Max → Tsd = 1,4 . 30,94 → Tsd = 43,316 KN.m → Tsd = 4331,60 KN.cm 3.1) Verificação das diagonais comprimidas: Supões-se que Tk,Max (Junto aos apoios). Desta forma, a verificação das diagonais será feita para Tk,Max e Vk,Max. Área da seção transversal: A = bw . h → A = 20 . 50 → A = 1000 cm² fck = 25 Mpa bw = 20 cm d = 50 – 4 = 46 cm Perímetro da seção transversal: µ = 2.(bw + h) → µ = 2.(20+50) → µ = 2 . 70 → µ = 140cm Limite para espessura “he” da parede fina: he ≤ A & he ≥ 2 . C1 ; sendo: C1 = 2,5 + 0,63 + 0,5 → C1 = 3,63cm µ he ≤ 1000 & he ≥ 2 . 3,63 140 he ≤ 7,14 & he ≥ 7,26 Portanto, os limites são: 7,14 ≤ he ≤ 7,26 Será adotado he = 7,14 cm Ae = (bw-he).(h-he) → Ae = (20-7,14).(50-7,14) → Ae = 12,86.42,86 → Ae = 551,18 cm² µe = 2.[(bw-he)+(h-he)] → µe = 2.[(20-7,14)+(50-7,14)] → µe = 2.(12,86+42,86) → µe = 2. 55,72 → µe = 111,44 cm O momento torçor máximo, com ângulo igual ao aplicado no cálculo da viga ao esforço cortante é: TRd,2 = 0,5 . αv2 . fcd . Ae . he . sen 2. αv2 = 1 – fck → αv2 = 1 – 25 → αv2 = 1 – 0,1 → αv2 = 0,9 250 250 TRd,2 = 0,5 . αv2 . fcd . Ae . he . sen 2.→ TRd,2 = 0,5 . 0,9 . 2,5 . 551,18 . 7,14 . sen2.38°→ 1,4 TRd,2 = 3068,458 KN.cm TRd,2 = 3068,46 KN.cm < Tsd = 4331,60 KN.cm; Logo ocorrerão esmagamentos das diagonais de compressão por torção Solução: Aumentar a área da seção. Portanto: Para o cálculo se tornar eficaz faz-se necessário TRd,2 > Tsd , para que não ocorra esmagamento das bielas de compressão por torção. TRd,2 = 0,5 . αv2 . fcd . Ae . he . sen 2.→ 4331,60 = 0,5 . 0,9 . 2,5 . Ae . 7,14 . sen76°→ 1,4 4331,60 = 5,57 . Ae → Ae = 4331,60 → Ae = 777,67 cm² 5,57 TRd,2 = 4331,60 ≥ Tsd = 4331,60 → Desta forma não ocorrerá esmagamento das diagonais de compressão por torção. Para não ocorrer esmagamento das bielas comprimidas de concreto por torção e cisalhamento combinadas deve-se ter: Vsd + TSd ≤ 1 → 50,40 + 4331,60 ≤ 1 → 1,13 > 1 → REPROVADO VRd2 TRd2 387,36 4331,60 Vsd + TSd = 0,99 → 50,40 + 4331,60 = 0,99 → 0,99 – 0,13 = 4331,60 → VRd2 TRd2 387,36 TRd2 TRd2 0,86 = 4331,60 → 0,86 . TRd2 = 4331,60 → TRd2 = 4331,60 → TRd2 = 5036,74 KN.cm TRd2 0,86 TRd2 = 5036,74 KN.cm ≥ Tsd = 4331,60 KN.cm TRd,2 = 0,5 . αv2 . fcd . Ae . he . sen 2.→ 5036,74 = 0,5 . 0,9 . 2,5 . Ae . 7,14 . sen76°→ 1,4 5036,74 = 5,567 . Ae → Ae = 5036,74 → Ae = 904,75 cm² 5,567 ........................................................Verificação............................................................... Ae = (bw-he).(h-he) → 904,75 = (bw -7,14).(50-7,14) → 904,75 = (bw -7,14).(42,86) → 904,75 = 42,86.bw – 306,02 →(.-1)→ 42,86.bw = 904,75 + 306,02 → 42,86.bw = 1210,77 bw = 1210,77 → bw = 28,25 cm para Ae = 904,75 cm² 42,86 .................................................Tirando a prova............................................................... fck = 25 MPa c = f d’ = d” = 4 cm d = h – d” = 50 – 4 = 46 cm bw = 28,25 cm ≅ 30 cm Cobrimento: C = 2,5 cm Considerar estribos verticais ( = 90°) e ângulo de inclinação das diagonais de compressão ( = 38°). 1) Dimensionamento da armadura de flexão (Seção Retangular). Mk,máx = Mk,max . 100 → 56,00 kN.m . 100 → Mk,max = 5600 kN.cm Md = f. Mk,max → Md = 1,4 . 5600 → Md = 7840 kN.cm fck = 25 Mpa bw = 30 cm d = 50 – 4 = 46 cm Kc = bw . d² → 30 . 46² → Kc = 8,10 Md 7840 Tabela 6-01 → Ks = 0,024 ; �x = 0,10 ; Domínio 2 → (Página 147) As = Ks . Md → 0,024 . 7840 → 4,09 cm² d 46 As,min = 0,0015 . bw . h → ver página 140 (fck = 25 Mpa) As,min = 0,0015 . bw . h → 0,0015 . 30 . 50 = 2,25 cm² < 4,09 cm² As = 4,09 cm² → 3 ∅ 12,5 + 1 ∅ 8,0 = 4,18 cm² → (Tabela 6-02, página 148) (3,68 cm² + 0,503 cm²) 2) Dimensionamento da armadura transversal ao cisalhamento ( = 38°). (Modelo de cálculo II) Vk,máx = 36 KN Vsd =f. Vk,máx → Vsd = 1,4. 36 → Vsd = 50,40 KN 2.1) Verificação das diagonais de compressão. Estribos verticais ( = 90°) VRd2 = 0,054. � 1 − ��� 250 � . fcd . bw . d . sen . cos → VRd2 = 0,054. �1 − 25 250 � . 25 . 26 . 46. sen . cos 38° → 1,4 VRd2 = 581,03 KN VRd2 = 581,03 KN > Vsd = 50,40 KN → OKLogo não ocorrerá esmagamento das diagonais de compressão por cisalhamento. 2.2) Cálculo da armadura transversal. Asw,90 = 2,55. (VSd – Vc1) → Vc1 = Vc0 = ( VRd2 – Vsd ) → Vc0 = 0,6 . fctd . bw . d d.cot g VRd2 – Vc0 Vc0 = 0,6 . fctd . bw . d; sendo: fctd = fctk,inf → fctk,inf = 0,7. fctm → fctm = 0,3. fck⅔ c Vc0 = 0,6. (0,7.0,3. fck⅔). bw . d → Vc0 = 0,6. (0,7.0,3. 25⅔ ). 20 . 46 → Vc0 = 106,19 KN 10.c 10.1,4 Vc1 = Vc0.( VRd2 – Vsd ) → Vc1 = 106,19.( 581,03 – 50,40 ) → Vc1 = 118,666 KN VRd2 – Vc0 581,03 – 106,19 Asw,90 = 2,55. (VSd – Vc1) → Asw,90 = 2,55. (50,40 – 118,666) → d.cot g 46. cot 38° Asw,90 = 2,55. (50,40 – 118,666) → Asw,90 = 2,55. -68,266 → Asw,90 = 2,9565 cm²/m 46 . 1,28 58,88 Asw,min = 20. fctm . bw . sen; sendo: fywk fctm = 0,3. fck⅔ → fctm = 0,3. 25⅔ → fctm = 2,565 MPa → fctm = 0,256 KN/cm² Asw,min = 20. fctm . bw . sen → Asw,min = 20. 0,256 . 20 . sen 90° → Asw,min = 3,072 cm²/m fywk 50 Asw,min = 3,072 cm²/m > Asw,90 = 2,9565 cm²/m Espaçamento máximo dos estribos: VRd2 = 581,03 KN 0,67.VRd2 → 0,67 . 581,03 → 389,29 KN Vsd = 50,40 KN < 0,67.VRd2 = 389,29 KN Smáx = 0,6.d → Smáx = 0,6.46 → Smáx = 27,6 cm Smáx = 27,6 cm ≤ 30 cm → Portanto S ≤ 27,6 cm Tabela 6-03 (página 149) estribo ∅6,3 c/27,6 � Asw = 3,07 cm²/m S máx = 27,6 cm ∅min = 6,3mm � 3)Dimensionamento da armadura a torção Tk,Max = 30,94 KN Tsd = f . Tk,Max → Tsd = 1,4 . 30,94 → Tsd = 43,316 KN.m → Tsd = 4331,60 KN.cm 3.1) Verificação das diagonais comprimidas: Supões-se que Tk,Max (Junto aos apoios). Desta forma, a verificação das diagonais será feita para Tk,Max e Vk,Max. Área da seção transversal: A = bw . h → A = 30 . 50 → A = 1500 cm² fck = 25 Mpa bw = 30 cm d = 50 – 4 = 46 cm Perímetro da seção transversal: µ = 2.(bw + h) → µ = 2.(30+50) → µ = 2 . 80 → µ = 160cm Limite para espessura “he” da parede fina: he ≤ A & he ≥ 2 . C1 ; sendo: C1 = 2,5 + 0,63 + 0,625 → C1 = 3,755cm µ he ≤ 1500 & he ≥ 2 . 3,755 160 he ≤ 9,375 & he ≥ 7,51 Portanto, os limites são: 9,375 ≤ he ≤ 7,51 Será adotado he = 7,51 cm Ae = (bw-he).(h-he) → Ae = (30-7,51).(50-7,51) → Ae = 22,49.42,49 → Ae = 955,60 cm² µe = 2.[(bw-he)+(h-he)] → µe = 2.[(30-7,51)+(50-7,51)] → µe = 2.( 22,49+42,49) → µe = 2. 64,98 → µe = 129,96 cm O momento torçor máximo, com ângulo igual ao aplicado no cálculo da viga ao esforço cortante é: TRd,2 = 0,5 . αv2 . fcd . Ae . he . sen 2. αv2 = 1 – fck → αv2 = 1 – 25 → αv2 = 1 – 0,1 → αv2 = 0,9 250 250 TRd,2 = 0,5 . αv2 . fcd . Ae . he . sen 2.→ TRd,2 = 0,5 . 0,9 . 2,5 . 955,60 . 7,51 . sen2.38°→ 1,4 TRd,2 = 5595,57 KN.cm TRd,2 = 5595,57 KN.cm > Tsd = 4331,60 KN.cm; Logo: NÃO ocorrerão esmagamentos das diagonais de compressão por torção. Portanto: Para o cálculo se tornar eficaz faz-se necessário TRd,2 = 5595,57 KN.cm > Tsd = 4331,60 KN.cm , para que não ocorra esmagamento das bielas de compressão por torção. Para não ocorrer esmagamento das bielas comprimidas de concreto por torção e cisalhamento combinadas deve-se ter: Vsd + TSd ≤ 1 → 50,40 + 4331,60 ≤ 1 → 0,86 < 1 → APROVADO VRd2 TRd2 581,03 5595,57 Logo, não ocorrerá o esmagamento das diagonais de compressão por torção e cisalhamento combinadas.
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