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Projeto Torção em Vigas de Concreto Armado - Estruturas II

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Centro Universitário Univates 
Estruturas de Concreto Armado II 
 
Exercício sobre Torção em Vigas de 
Concreto Armado 
 
 
 
Autor: 
Volnei Inácio Hilleshein 
 
Professor: 
P. F. S. 
 
Lajeado, 16 de junho de 2013. 
Dimensionar as armaduras necessárias para V1 da grelha mostrada na figura abaixo: 
 
fck = 25 MPa 
c = f
d’ = d” = 4 cm 
d = h – d” = 50 – 4 = 46 cm 
bw = 20 cm 
Cobrimento: C = 2,5 cm 
Considerar estribos verticais ( = 90°) e ângulo de inclinação das diagonais de 
compressão ( = 38°). 
1) Dimensionamento da armadura de flexão (Seção Retangular). 
Mk,máx = Mk,max . 100 → 56,00 kN.m . 100 → Mk,max = 5600 kN.cm 
Md = f. Mk,max → Md = 1,4 . 5600 → Md = 7840 kN.cm 
fck = 25 Mpa bw = 20 cm d = 50 – 4 = 46 cm 
Kc = bw . d² → 20 . 46² → Kc = 5,4 
 Md 7840 
Tabela 6-01 → Ks = 0,025 ; �x = 0,16 ; Domínio 2 → (Página 147) 
As = Ks . Md → 0,025 . 7840 → 4,26 cm² 
 d 46 
As,min = 0,0015 . bw . h → ver página 140 (fck = 25 Mpa) 
As,min = 0,0015 . bw . h → 0,0015 . 20 . 50 = 1,5 cm² < 4,26 cm² 
 
As = 4,26 cm² → 3 ∅ 10 + 4 ∅ 8,0 = 4,37 cm² → (Tabela 6-02, página 148) 
 (2,36 cm² + 2,01 cm²) 
2) Dimensionamento da armadura transversal ao cisalhamento ( = 38°). 
(Modelo de cálculo II) 
Vk,máx = 36 KN 
Vsd =f. Vk,máx → Vsd = 1,4. 36 → Vsd = 50,40 KN 
 
2.1) Verificação das diagonais de compressão. Estribos verticais ( = 90°) 
 
VRd2 = 0,054. �
1 − 		���		
									250
� . fcd . bw . d . sen . cos  → 
 
VRd2 = 0,054. �1 − 		25		
									250
� . 25 . 20 . 46. sen . cos 38° → 
 1,4 
VRd2 = 387,3559 KN 
 
VRd2 = 387,3559 KN > Vsd = 50,40 KN → OK 
Logo não ocorrerá esmagamento das diagonais de compressão por cisalhamento. 
 
2.2) Cálculo da armadura transversal. 
 
Asw,90 = 2,55. (VSd – Vc1) → Vc1 = Vc0 = ( VRd2 – Vsd ) → Vc0 = 0,6 . fctd . bw . d 
 d.cot g   VRd2 – Vc0 
 
Vc0 = 0,6 . fctd . bw . d; sendo: 
 
 fctd = fctk,inf → fctk,inf = 0,7. fctm → fctm = 0,3. fck⅔ 
c 
 
Vc0 = 0,6. (0,7.0,3. fck⅔). bw . d → Vc0 = 0,6. (0,7.0,3. 25⅔ ). 20 . 46 → Vc0 = 70,79 KN 
 10.c 10.1,4 
 
Vc1 = Vc0.( VRd2 – Vsd ) → Vc1 = 70,79.( 387,36 – 50,40 ) → Vc1 = 75,35 KN 
 VRd2 – Vc0 387,36 – 70,79 
 
Asw,90 = 2,55. (VSd – Vc1) → Asw,90 = 2,55. (50,40 – 75,35) → 
 d.cot g    46. cot 38° 
 
Asw,90 = 2,55. (50,40 – 75,35) → Asw,90 = 2,55. -24,95 → Asw,90 = 1,08 cm²/m 
 46 . 1,28 58,88 
 
Asw,min = 20. fctm . bw . sen; sendo: 
 fywk 
 
fctm = 0,3. fck⅔ → fctm = 0,3. 25⅔ → fctm = 2,565 MPa → fctm = 0,256 KN/cm² 
 
Asw,min = 20. fctm . bw . sen → Asw,min = 20. 0,256 . 20 . sen 90° → Asw,min = 2,05 cm²/m 
 fywk 50 
 
Asw,min = 2,05 cm²/m > Asw,90 = 1,08 cm²/m 
 
Espaçamento máximo dos estribos: 
 
0,67.VRd2 → 0,67.387,36 → 259,53 KN 
 
Vsd = 50,40 KN < 0,67.VRd2 = 259,53 KN 
Smáx = 0,6.d → Smáx = 0,6.46 → Smáx = 27,6 cm 
 Smáx = 27,6 cm ≤ 30 cm → Portanto S ≤ 27,6 cm 
Tabela 6-03 (página 149) estribo ∅6,3 c/27,6 �
Asw	 = 	2,05	cm²/m
S	máx	 = 	27,6	cm										
∅min		 = 	6,3mm												
� 
3)Dimensionamento da armadura a torção 
 
Tk,Max = 30,94 KN 
Tsd = f . Tk,Max → Tsd = 1,4 . 30,94 → Tsd = 43,316 KN.m → Tsd = 4331,60 KN.cm
3.1) Verificação das diagonais comprimidas: 
Supões-se que Tk,Max (Junto aos apoios). Desta forma, a verificação das diagonais será 
feita para Tk,Max e Vk,Max. 
Área da seção transversal: 
A = bw . h → A = 20 . 50 → A = 1000 cm² 
fck = 25 Mpa bw = 20 cm d = 50 – 4 = 46 cm 
Perímetro da seção transversal: 
 
µ = 2.(bw + h) → µ = 2.(20+50) → µ = 2 . 70 → µ = 140cm 
 
Limite para espessura “he” da parede fina: 
 
he ≤ A & he ≥ 2 . C1 ; sendo: C1 = 2,5 + 0,63 + 0,5 → C1 = 3,63cm 
 µ 
 
he ≤ 1000 & he ≥ 2 . 3,63 
 140 
 
he ≤ 7,14 & he ≥ 7,26 
 
Portanto, os limites são: 
 
7,14 ≤ he ≤ 7,26 
 
Será adotado he = 7,14 cm 
 
Ae = (bw-he).(h-he) → Ae = (20-7,14).(50-7,14) → Ae = 12,86.42,86 → Ae = 551,18 cm² 
 
µe = 2.[(bw-he)+(h-he)] → µe = 2.[(20-7,14)+(50-7,14)] → µe = 2.(12,86+42,86) → 
 
µe = 2. 55,72 → µe = 111,44 cm 
 
O momento torçor máximo, com ângulo  igual ao aplicado no cálculo da viga ao 
esforço cortante é: 
 
TRd,2 = 0,5 . αv2 . fcd . Ae . he . sen 2. 
 
αv2 = 1 – fck → αv2 = 1 – 25 → αv2 = 1 – 0,1 → αv2 = 0,9 
 250 250 
TRd,2 = 0,5 . αv2 . fcd . Ae . he . sen 2.→ TRd,2 = 0,5 . 0,9 . 2,5 . 551,18 . 7,14 . sen2.38°→ 
 1,4 
TRd,2 = 3068,458 KN.cm 
 
TRd,2 = 3068,46 KN.cm < Tsd = 4331,60 KN.cm; 
 
Logo ocorrerão esmagamentos das diagonais de compressão por torção 
 
Solução: Aumentar a área da seção. 
 
Portanto: 
Para o cálculo se tornar eficaz faz-se necessário TRd,2 > Tsd , para que não ocorra 
esmagamento das bielas de compressão por torção. 
 
TRd,2 = 0,5 . αv2 . fcd . Ae . he . sen 2.→ 4331,60 = 0,5 . 0,9 . 2,5 . Ae . 7,14 . sen76°→ 
 1,4 
4331,60 = 5,57 . Ae → Ae = 4331,60 → Ae = 777,67 cm² 
 5,57 
 
TRd,2 = 4331,60 ≥ Tsd = 4331,60 → Desta forma não ocorrerá esmagamento das 
diagonais de compressão por torção. 
Para não ocorrer esmagamento das bielas comprimidas de concreto por torção e 
cisalhamento combinadas deve-se ter: 
 
Vsd + TSd ≤ 1 → 50,40 + 4331,60 ≤ 1 → 1,13 > 1 → REPROVADO 
VRd2 TRd2 387,36 4331,60 
 
Vsd + TSd = 0,99 → 50,40 + 4331,60 = 0,99 → 0,99 – 0,13 = 4331,60 → 
VRd2 TRd2 387,36 TRd2 TRd2 
 
0,86 = 4331,60 → 0,86 . TRd2 = 4331,60 → TRd2 = 4331,60 → TRd2 = 5036,74 KN.cm 
 TRd2 0,86 
 
TRd2 = 5036,74 KN.cm ≥ Tsd = 4331,60 KN.cm 
 
TRd,2 = 0,5 . αv2 . fcd . Ae . he . sen 2.→ 5036,74 = 0,5 . 0,9 . 2,5 . Ae . 7,14 . sen76°→ 
 1,4 
5036,74 = 5,567 . Ae → Ae = 5036,74 → Ae = 904,75 cm² 
 5,567 
 
........................................................Verificação............................................................... 
 
Ae = (bw-he).(h-he) → 904,75 = (bw -7,14).(50-7,14) → 904,75 = (bw -7,14).(42,86) → 
 
904,75 = 42,86.bw – 306,02 →(.-1)→ 42,86.bw = 904,75 + 306,02 → 42,86.bw = 1210,77 
 
bw = 1210,77 → bw = 28,25 cm para Ae = 904,75 cm² 
 42,86 
 
.................................................Tirando a prova............................................................... 
 
fck = 25 MPa 
c = f
d’ = d” = 4 cm 
d = h – d” = 50 – 4 = 46 cm 
bw = 28,25 cm ≅ 30 cm 
Cobrimento: C = 2,5 cm 
Considerar estribos verticais ( = 90°) e ângulo de inclinação das diagonais de 
compressão ( = 38°). 
1) Dimensionamento da armadura de flexão (Seção Retangular). 
Mk,máx = Mk,max . 100 → 56,00 kN.m . 100 → Mk,max = 5600 kN.cm 
Md = f. Mk,max → Md = 1,4 . 5600 → Md = 7840 kN.cm 
fck = 25 Mpa bw = 30 cm d = 50 – 4 = 46 cm 
Kc = bw . d² → 30 . 46² → Kc = 8,10 
 Md 7840 
Tabela 6-01 → Ks = 0,024 ; �x = 0,10 ; Domínio 2 → (Página 147) 
As = Ks . Md → 0,024 . 7840 → 4,09 cm² 
 d 46 
As,min = 0,0015 . bw . h → ver página 140 (fck = 25 Mpa) 
As,min = 0,0015 . bw . h → 0,0015 . 30 . 50 = 2,25 cm² < 4,09 cm² 
 
As = 4,09 cm² → 3 ∅ 12,5 + 1 ∅ 8,0 = 4,18 cm² → (Tabela 6-02, página 148) 
 (3,68 cm² + 0,503 cm²) 
2) Dimensionamento da armadura transversal ao cisalhamento ( = 38°). 
(Modelo de cálculo II) 
Vk,máx = 36 KN 
Vsd =f. Vk,máx → Vsd = 1,4. 36 → Vsd = 50,40 KN 
 
2.1) Verificação das diagonais de compressão. Estribos verticais ( = 90°) 
 
VRd2 = 0,054. �
1 − 		���		
									250
� . fcd . bw . d . sen . cos  → 
 
VRd2 = 0,054. �1 − 		25		
									250
� . 25 . 26 . 46. sen . cos 38° → 
 1,4 
VRd2 = 581,03 KN 
 
VRd2 = 581,03 KN > Vsd = 50,40 KN → OKLogo não ocorrerá esmagamento das diagonais de compressão por cisalhamento. 
 
2.2) Cálculo da armadura transversal. 
 
Asw,90 = 2,55. (VSd – Vc1) → Vc1 = Vc0 = ( VRd2 – Vsd ) → Vc0 = 0,6 . fctd . bw . d 
 d.cot g   VRd2 – Vc0 
 
Vc0 = 0,6 . fctd . bw . d; sendo: 
 
 fctd = fctk,inf → fctk,inf = 0,7. fctm → fctm = 0,3. fck⅔ 
c 
 
Vc0 = 0,6. (0,7.0,3. fck⅔). bw . d → Vc0 = 0,6. (0,7.0,3. 25⅔ ). 20 . 46 → Vc0 = 106,19 KN 
 10.c 10.1,4 
 
Vc1 = Vc0.( VRd2 – Vsd ) → Vc1 = 106,19.( 581,03 – 50,40 ) → Vc1 = 118,666 KN 
 VRd2 – Vc0 581,03 – 106,19 
 
Asw,90 = 2,55. (VSd – Vc1) → Asw,90 = 2,55. (50,40 – 118,666) → 
 d.cot g    46. cot 38° 
 
Asw,90 = 2,55. (50,40 – 118,666) → Asw,90 = 2,55. -68,266 → Asw,90 = 2,9565 cm²/m 
 46 . 1,28 58,88 
 
Asw,min = 20. fctm . bw . sen; sendo: 
 fywk 
 
fctm = 0,3. fck⅔ → fctm = 0,3. 25⅔ → fctm = 2,565 MPa → fctm = 0,256 KN/cm² 
 
Asw,min = 20. fctm . bw . sen → Asw,min = 20. 0,256 . 20 . sen 90° → Asw,min = 3,072 cm²/m 
 fywk 50 
 
Asw,min = 3,072 cm²/m > Asw,90 = 2,9565 cm²/m 
 
Espaçamento máximo dos estribos: 
VRd2 = 581,03 KN 
0,67.VRd2 → 0,67 . 581,03 → 389,29 KN 
 
Vsd = 50,40 KN < 0,67.VRd2 = 389,29 KN 
Smáx = 0,6.d → Smáx = 0,6.46 → Smáx = 27,6 cm 
 Smáx = 27,6 cm ≤ 30 cm → Portanto S ≤ 27,6 cm 
Tabela 6-03 (página 149) estribo ∅6,3 c/27,6 �
Asw	 = 	3,07	cm²/m
S	máx	 = 	27,6	cm										
∅min		 = 	6,3mm												
� 
3)Dimensionamento da armadura a torção 
 
Tk,Max = 30,94 KN 
Tsd = f . Tk,Max → Tsd = 1,4 . 30,94 → Tsd = 43,316 KN.m → Tsd = 4331,60 KN.cm
3.1) Verificação das diagonais comprimidas: 
Supões-se que Tk,Max (Junto aos apoios). Desta forma, a verificação das diagonais será 
feita para Tk,Max e Vk,Max. 
Área da seção transversal: 
A = bw . h → A = 30 . 50 → A = 1500 cm² 
fck = 25 Mpa bw = 30 cm d = 50 – 4 = 46 cm 
Perímetro da seção transversal: 
 
µ = 2.(bw + h) → µ = 2.(30+50) → µ = 2 . 80 → µ = 160cm 
 
Limite para espessura “he” da parede fina: 
 
he ≤ A & he ≥ 2 . C1 ; sendo: C1 = 2,5 + 0,63 + 0,625 → C1 = 3,755cm 
 µ 
 
he ≤ 1500 & he ≥ 2 . 3,755 
 160 
 
he ≤ 9,375 & he ≥ 7,51 
 
Portanto, os limites são: 
 
9,375 ≤ he ≤ 7,51 
 
Será adotado he = 7,51 cm 
 
Ae = (bw-he).(h-he) → Ae = (30-7,51).(50-7,51) → Ae = 22,49.42,49 → Ae = 955,60 cm² 
 
µe = 2.[(bw-he)+(h-he)] → µe = 2.[(30-7,51)+(50-7,51)] → µe = 2.( 22,49+42,49) → 
 
µe = 2. 64,98 → µe = 129,96 cm 
 
O momento torçor máximo, com ângulo  igual ao aplicado no cálculo da viga ao 
esforço cortante é: 
 
TRd,2 = 0,5 . αv2 . fcd . Ae . he . sen 2. 
 
αv2 = 1 – fck → αv2 = 1 – 25 → αv2 = 1 – 0,1 → αv2 = 0,9 
 250 250 
TRd,2 = 0,5 . αv2 . fcd . Ae . he . sen 2.→ TRd,2 = 0,5 . 0,9 . 2,5 . 955,60 . 7,51 . sen2.38°→ 
 1,4 
TRd,2 = 5595,57 KN.cm 
 
TRd,2 = 5595,57 KN.cm > Tsd = 4331,60 KN.cm; 
 
Logo: NÃO ocorrerão esmagamentos das diagonais de compressão por torção. 
 
Portanto: 
Para o cálculo se tornar eficaz faz-se necessário TRd,2 = 5595,57 KN.cm > Tsd = 4331,60 
KN.cm , para que não ocorra esmagamento das bielas de compressão por torção. 
 
 
 
 
 
 
Para não ocorrer esmagamento das bielas comprimidas de concreto por torção e 
cisalhamento combinadas deve-se ter: 
 
Vsd + TSd ≤ 1 → 50,40 + 4331,60 ≤ 1 → 0,86 < 1 → APROVADO 
VRd2 TRd2 581,03 5595,57 
 
Logo, não ocorrerá o esmagamento das diagonais de compressão por torção e 
cisalhamento combinadas.

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