Projeções estereográficas em cristalografia

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PROJEÇÕES ESTEREOGRÁFICAS
Prof. Rubens Caram
R. Caram - 2
INTRODUÇÃO
„ PROJEÇÕES ESTEREOGRÁFICAS
„ MAPEAMENTO DE PLANOS E 
DIREÇÕES EM DUAS DIMENSÕES
„ ESTÉREO = SÓLIDO
„ GRÁFICO = REPRESENTAÇÃO 
PLANA
„ MÉTODO
„ CÉLULA UNITÁRIA É COLOCADA 
NO CENTRO DE UMA ESFERA
„ PLANO É ESTENDIDO E CORTA A 
ESFERA
„ PLANO PODE SER 
REPRESENTADO POR SEU 
“POLO”
„ POLO É A INTERCEPTAÇÃO DA 
PERPENDICULAR DO PLANO COM 
A SUPERFÍCIE DA ESFERA
(h k l)
P
R. Caram - 3
PROJEÇÃO PLANO (100)
 
z 
x 
y 
Plano 
(100)
Polo 
(100) 
Polo 
(100) 
Plano 
(100) 
R. Caram - 4
PROJEÇÃO PLANO (110)
z 
x 
y 
Plano 
(110) 
Polo 
(110) 
Polo 
(110) 
Plano 
(110) 
R. Caram - 5
PROJEÇÃO PLANO (111)
z 
x 
y 
Plano 
(111) 
Polo 
(111) 
Polo 
(111) Plano 
(111) 
R. Caram - 6
GLOBO ESTEREOGRÁFICO
1
2
„ GLOBO É DIVIDIDO EM 
CÍRCULOS DE LATITUDE E 
MERIDIANOS
„ PROJEÇÃO DAS LINHA DE 
LATITUDE E LONGITUDE 
SOBRE UM PLANO GERA 
A REDE 
ESTEREOGRÁFICA
R. Caram - 7
GLOBO ESTEREOGRÁFICO
 
θ
φ
Polo 
Sul 
Polo 
Norte 
Linhas de 
Latitude 
Linhas de 
Longitude 
R. Caram - 8
REDE ESTEREOGRÁFICA
„ ÂNGULO ENTRE LINHAS DE LATITUDE E ENTRE LINHAS DE 
LONGITUDE É IGUAL 2O
REDE DE WULFF REDE POLAR
R. Caram - 9
ROTAÇÃO DE CRISTAIS
„ FREQÜENTEMENTE 
É NECESSÁRIO 
GIRAR A PRJEÇÃO 
ESTEREOGRÁFICA 
DE UMA 
ORIENTAÇÃO 
PARA OUTRA
R. Caram - 10
ROTAÇÃO DE CRISTAIS
Polo
(110) 
antes da 
rotação
Plano 
(110) 
após a 
rotação
Polo (110) 
após a 
rotação
Plano 
(110) 
posição 
inicial
Direção [100]
Direção de 
rotação
Direção 
[100] após 
a rotação
Posição 
inicial
Eixo de rotação
[100]
R. Caram - 11
ROTAÇÃO DE CRISTAIS
 
z 
x 
y 
Plano
(111) 
Polo 
(111) 
Plano 
(111) 
Polo 
(100) 
Polo 
(001) 
Polo 
(010) 
 
z
x 
y 
Polo 
(111) 
Plano 
(111) 
Polo 
(100) 
Polo 
(001) 
Polo 
(010) 
Plano
(111) 
R. Caram - 12
ROTAÇÃO DE CRISTAIS
z
x
y
Plano
(111)
Polo
(111)
Plano
(111)
Polo
(100)
Polo
(001)
Polo
(010)
z
x
y Plano(111)
Polo
(111)
Plano
(111)
Polo
(100)
Polo
(001)
Polo
(010)
R. Caram - 13
ÂNGULOS ENTRE PLANOS
(100)
(111)
(100)
(111)
(100)
(111)
EQUADOR
„ ÂNGULO ENTRE DOIS PLANOS ≡ ÂNGULO ENTRE DOIS POLOS
„ ROTAÇÃO CONVENIENTE DO CRISTAL PODE COLOCAR POLOS 
SOBRE UM MESMO MERIDIANO
„ CONTA-SE A DIFERENÇA DE GRAUS ENTRE AS LATITUDES
R. Caram - 14
ÂNGULOS ENTRE PLANOS
0
70,5
109,5
35,3
90
54,7111
0
60
90
45
90
110
0
90
100
111110100
{h1 k1 l1}
{
h
2
k
2
l
2
}
R. Caram - 15
PROJEÇÃO PADRÃO
„ PLANO DE BAIXO 
ÍNDICE COINCIDE 
COM PLANO DE 
PROJEÇÃO
„ EXEMPLO:
„ NO SISTEMA 
CÚBICO, PLANO 
(001) COINCIDE 
COM O GRANDE 
CÍRCULO
R. Caram - 16
PROJEÇÃO PADRÃO 100
R. Caram - 17
PROJEÇÃO PADRÃO 100
R. Caram - 18
PLANOS DE UMA ZONA
„ INTERCEPTAÇÃO 
DE DIVERSOS 
PLANOS EM UMA 
DIREÇÃO ÚNICA:
„ POLOS CAEM 
SOBRE UM ÚNICO 
PLANO E SÃO 
CONSIDERADOS 
PLANOS DE UMA 
ZONA
R. Caram - 19
PLANOS DE UMA ZONA
R. Caram - 20
PLANOS DE UMA ZONA
(132)
(121)
Polo (111)(231)
(110)
(321)
(211)
(312)
(101) (213)
(112)
(123) (011)
(011)
R. Caram - 21
PROJEÇÃO PADRÃO 100
R. Caram - 22
EXERCÍCIO
„ IDENTIFIQUE OS 
PLANOS (010), 
(110) E (111) NA 
REDE DE WULFF 
USANDO 
PROJEÇÃO 
PADRÃO 100, 
POLO NORTE 
COINCIDINDO 
COM O POLO DO 
PLANO (001)
(100) (110) (010)
(111)
(001)
R. Caram - 23
EXERCÍCIO
„ Usando a rede de Wulff, identifique usando símbolos apropriados os polos dos 
planos {100}, {110} e {111}. Assumindo que o grande círculo é o plano (100) e que 
o polo Norte coincide com o polo do plano (100), identifique corretamente os 
polos dos planos {100}, {110} e {111}. Represente no grande círculo, os planos 
dos respectivos polos. Resolução: A solução pode ser obtida a partir da rede de 
Wulff com grande círculo no plano (100) e polo Norte em [001].
Grande círculo = (100)
Polo Norte = [001]
Grande círculo = ( )
Polo Norte = [ ]
Grande círculo = ( )
Polo Norte = [ ]
R. Caram - 24
TRIÂNGULOS DE PROJEÇÃO
„ EM CRISTAIS CÚBICOS, OS CÍRCULOS DAS FAMÍLIAS {100} E {110} 
DIVIDEM O CÍRCULO PRINCIPAL EM 24 TRIÂNGULOS ESFÉRICOS. 
CADA TRIÂNGULO TEM SEMPRE VÉRTICES NOS POLOS DAS 
FAMÍLIAS {100}, {110} E {111)
100
110
111
„ REPRESENTAÇÃO DE 
PROPRIEDADES É FEITA USANDO 
UM ÚNICO TRIÂNGULO
R. Caram - 25
TRIÂNGULOS DE PROJEÇÃO