Unidade 1 Relacoes Funcionais e Graficos

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Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 1 
 
 
 
 
1.1. Gráficos e Modelos. 
1.2. Modelos lineares e Taxas de variação. 
1.3. Funções e seus gráficos. 
1.4. Exercícios. 
 
Unidade 1 – Relações Funcionais e Gráficos 
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1.1 – Gráficos e Modelos. 
 O matemático francês, René Descartes, revolucionou o estudo da 
matemática combinando a álgebra com a geometria. Ele criou um plano de 
coordenadas que permitiu que conceitos geométricos pudessem ser 
formulados analiticamente e conceitos algébricos também pudessem ser 
vistos graficamente. 
 Esta mesma abordagem pode ser utilizada no estudo do cálculo diferencial 
e integral. Em decorrência, o CDI será visto por múltiplas perspectivas: 
gráfica, analítica e numérica. 
 Assim como os números reais podem ser representados por pontos na reta 
dos reais, pares ordenados de números reais podem ser representados por 
pontos no plano conhecido como plano cartesiano em homenagem à René 
Descartes. 
 
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O Plano Cartesiano 
 O plano cartesiano é formado a partir de duas retas mutualmente 
perpendiculares, como as da Figura 1.1. 
 A reta horizontal é chamada de eixo x, e a reta vertical, de eixo y. 
 O ponto de interseção das duas retas recebe o nome de origem, e os 
dois eixos dividem o plano em quatro partes conhecidas como 
quadrantes. 
 
 A cada ponto do plano está associado um par ordenado (x , y) de números reais x e y, conhecidos 
como coordenadas do ponto. 
 
 A coordenada x corresponde à distância dirigida do eixo y ao ponto, 
e a coordenada y corresponde à distância dirigida do eixo x ao ponto 
(Figura 1.2). 
 
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Exemplo 1 
Plote os pontos (-1 , 2) , (3 , 4) , (0 , 0) , (3 , 0) e (-2 , -3) no plano cartesiano. 
Solução 
 
 
 
 Para plotar o ponto (-1 , 2) imagine uma reta vertical passando pela 
coordenada -1 do eixo x e uma reta horizontal passando pela coordenada 2 
do eixo y. 
 A interseção dessas duas retas é o ponto (-1 , 2). 
 Os outros quatro pontos podem ser plotados de forma análoga e aparecem 
na Figura 1.3. 
 
 
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O Gráfico de uma equação 
 Considere a equação 3 𝑥 + 𝑦 = 7. 
 O ponto (2 , 1) é um ponto solução da equação por que a equação é satisfeita (verdadeira) quando 
𝑥 = 2 e 𝑦 = 1. 
 Esta equação tem muitas outras soluções, tais como (1 , 4) e (0 , 7). 
 Para se encontrar outras soluções de forma sistemática, resolveremos a equação original para y. 
 Assim, temos a solução analítica: 𝑦 = 7 − 3 𝑥. 
 Em valores tabelados, na chamada aproximação numérica: 
x 0 1 2 3 4 
y 7 4 1 -2 -5 
 
 A partir da tabela, podemos verificar que (0 , 7), (1 , 4), (2 , 1), (3 , −2) e (4 , −5) são pontos 
solução da equação original 3 𝑥 + 𝑦 = 7. 
 Como muitas outras, esta equação tem um número infinito de pontos solução. 
 
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 O conjunto de todos os pontos solução, no plano cartesiano, é 
denominado de gráfico da equação como mostrado na Figura P1. 
 Note que os esboço mostrada na Figura P1 se refere ao gráfico de 3 𝑥 +
𝑦 = 7, mesmo que representado apenas por uma porção do conjunto 
solução. 
 Um cuidado especial deve ser tomado, ao se trabalhar com gráficos, 
diz respeito ao número de pontos a serem plotados. 
 
 
 Com poucos pontos, pode-se obter uma representação equivocada do gráfico da equação. 
 Por exemplo, o esboço do gráfico de 𝑦 =
1
30
 𝑥 (39 − 10 𝑥2 + 𝑥4) a partir dos pontos (−3 , −3), 
(−1 , −1), (0 , 0), (1 , 1) e (3 , 3), está mostrado na Figura P3a nos induzindo a concluir que se trata de 
uma equação de reta. 
 Ao plotar o gráfico utilizando um número maior de pontos, vemos que o gráfico é mais complexo 
que uma reta, como visto na Figura P3b. 
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 Em outra situação, quando o número de pontos é pequeno, a forma do gráfico pode não ser 
representada adequadamente. 
 Por exemplo: qual é a forma correta de ligar os quatro pontos da Figura 1.15? 
 
 Na falta de mais informações, qualquer um dos gráficos da Figura 1.16 representa uma possibilidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Gráficos de pontos 
 Gráficos de pontos, também chamados de Diagrama de Dispersão, representam a plotagem de 
pontos, geralmente tabelados, no plano cartesiano sem que estejam interligados por segmentos de reta ou 
linhas suaves. 
 A tabela a seguir mostra uma quantia A (em milhões de dólares) gastas em snowmobiles nos Estados 
Unidos, de 1997 a 2006. 
 
t 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 
A 1006 975 883 821 894 817 779 712 826 741 
 
 Para plotar um gráfico de pontos com base nos dados desta tabela, basta representar cada par de 
valores por um par ordenado (t , A) e plotar os pontos resultantes, como mostra a Figura 1.4. 
 Assim, por exemplo, o primeiro par de valores é representado pelo par ordenado (1997 , 1006). 
Observe a quebra no início do eixo t que indica que os números entre 0 e 1990 foram omitidos. 
Analogamente, os números entre 0 e 600, no eixo y, também foram omitidos. 
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 O gráfico de dispersão à esquerda, é apenas uma das formas de representar dados graficamente. 
 Duas outras formas aparecem nos gráficos acima. 
 O primeiro é um histograma (gráfico de barras) e o segundo é um gráfico de linhas. 
 Essas três representações gráficas foram criadas com o auxílio de um software gráfico. 
 
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Softwares gráficos 
 Traçar gráficos pode se tornar uma ação fácil e rotineira com a utilização de softwares gráficos. 
 No entanto, mesmo com esta tecnologia, é possível sermos induzidos a erros de interpretação se a 
utilizarmos de maneira equivocada. 
 Por exemplo, os gráficos mostrados na Figura P4, podem nos induzir a concluir que são decorrentes 
de equações diferentes. 
 Na verdade, os gráficos, à esquerda, são 
trechos da equação 𝑦 = 𝑥3 − 𝑥2 − 25. 
 O gráfico da esquerda, em decorrência 
da escala utilizada, nos mostra um trecho 
(janela vista) que nos induz a pensar que 
se trata do gráfico de uma reta. O gráfico 
da direita mostra uma janela, determinada 
pelas escalas dos eixos x e y, que representam melhor a equação real. 
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 Desta forma, ao utilizarmos gráficos para representarem equações devemos estar atentos ao número 
de pontos utilizados e também as escalas da janela de amostragem nos eixos cartesianos. 
 Sugerimos a utilização do software Matlab para o traçado de gráficos ao longo do curso. 
 
Interceptos de um gráfico 
 Dois tipos de pontos solução que são particularmente úteis para o esboço de um gráfico de uma 
equação são aqueles que apresentam zero na coordenada x ou na coordenada y. 
 Tais pontos são denominados interceptos por que eles são pontos nos quais o gráfico intercepta os 
eixos x ou y. 
 O ponto (𝑎 , 0) é um intercepto_x do gráfico de uma equação quando for um ponto solução da 
equação. 
 Para encontrarmos os interceptos_x de um gráfico, fazemos 𝑦 = 0 e resolvemos a equação para x. 
 O ponto (0 , 𝑏) é um intercepto_y do gráfico de uma equação quando for um ponto solução da 
equação. 
 Para encontrarmosos interceptos_y de um gráfico, fazemos 𝑥 = 0 e resolvemos a equação para y. 
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 É possível, para um gráfico, não ter interceptos ou ter vários. 
 A Figura P5 mostra alguns casos: 
 
 
 
Pontos de Interseção 
 Um ponto de interseção entre dois gráficos é um par ordenado que representa uma solução para as 
equações que definem os dois gráficos. 
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Exemplo 2 
Determine as interseções, da equação dada, com os eixos x e y. 
(a) 𝑦 = 𝑥3 − 4𝑥; (b) 𝑥 = 𝑦2 − 3 
Solução 
(a) 
 Seja y = 0. 
As soluções da equação 𝑥3 − 4𝑥 = 𝑥(𝑥2 − 4) = 𝑥(𝑥 + 2)(𝑥 − 2) = 0 
são x = 0 , x = 2 e x = -2. 
Logo, as interseções com o eixo x são: (0 , 0) , (2 , 0) , (-2 , 0) como 
mostrado na Figura P6. 
 
 Seja x = 0. 
 Nesse caso, y = 0. 
 A interseção com o eixo y é: (0 , 0). 
 
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(b) 
 Seja y = 0. 
 Nesse caso, x = -3. 
 Interseção com o eixo x: (-3 , 0). 
 
 Seja x = 0. 
 As soluções da equação 𝑦2 − 3 = 0 são 𝑦 = √3 𝑒 𝑦 = −√3. 
 As interseções com o eixo y são: (0 , √3) , (0 , −√3), como 
mostra a Figura 1.19. 
 
 
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Simetria de um gráfico 
 Conhecer a simetria de um gráfico antes de iniciar seu esboço será útil por que 
reduzirá, pela metade, a determinação dos pontos a serem utilizados. 
 Três tipos de simetria podem ser utilizados para esboçar o gráfico de uma 
equação, como ilustrado na Figura P7. 
1. Um gráfico é simétrico, em relação ao eixo y, quando os pontos (𝑥 , 𝑦) e 
(−𝑥 , 𝑦) pertencerem a esse gráfico. Isto significa que o trecho do gráfico à 
esquerda do eixo y é uma imagem em espelho do trecho à direita do eixo y. 
2. Um gráfico é simétrico, em relação ao eixo x, quando os pontos (𝑥 , 𝑦) e 
(𝑥 , −𝑦) pertencerem a esse gráfico. Isto significa que o trecho do gráfico abaixo 
do eixo x é uma imagem em espelho do trecho acima do eixo x. 
3. Um gráfico é simétrico, em relação à origem, quando os pontos (𝑥 , 𝑦) e 
(−𝑥 , −𝑦) pertencerem a esse gráfico. Isto significa que o gráfico não muda se 
ocorrer uma rotação de 180𝑜 em relação à origem. 
 
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Testes de simetria 
1. O gráfico de uma equação em x e y é simétrico com respeito ao eixo y quando substituirmos (x) 
por (-x), na equação original, e encontrarmos uma equação equivalente. 
2. O gráfico de uma equação em x e y é simétrica com respeito ao eixo x quando substituirmos (y) 
por (-y), na equação original, e encontrarmos uma equação equivalente. 
3. O gráfico de uma equação em x e y é simétrica com respeito à origem quando substituirmos (x) 
por (-x) e (y) por (-y), na equação original, e encontrarmos uma equação equivalente. 
 
Obs.: 
1. O gráfico de um polinômio tem simetria com respeito ao eixo y quando cada parcela tem expoente 
par ou é uma constante. Por exemplo, o gráfico de 𝑦 = 2 𝑥4 − 𝑥2 + 2 é simétrico em relação ao 
eixo y. 
2. Analogamente, o gráfico de um polinômio tem simetria com respeito à origem quando cada termo 
tem expoente ímpar, como ilustrado no Exemplo 3. 
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Exemplo 3 
Teste a simetria do gráfico da equação 𝑦 = 2 𝑥3 − 𝑥 em relação: (a) eixo y; (b) à origem. 
Solução 
 
 
 
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Exemplo 4 - Utilização de Interceptos e Simetria para esboçar um gráfico: 
Esboce o gráfico da equação 𝑥 − 𝑦2 = 1. 
Solução 
a) Manual: 
 O gráfico é simétrico com respeito ao eixo x por que substituindo y por -y encontramos equação 
equivalente. 
𝑥 − 𝑦2 = 1 Escrever equação original. 
𝑥 − (−𝑦)2 = 1 Substituir (y) por (-y). 
𝑥 − 𝑦2 = 1 Equação equivalente. 
 
Isto significa que o trecho do gráfico abaixo do eixo x é imagem espelho 
do trecho acima do eixo x. 
 
Para esboçar o gráfico, deveremos encontrar o intercepto_x e arbitrar 
pontos acima do eixo x. 
 
Plotar os pontos espelhos, daqueles arbitrados, trocando o sinal da 
coordenada y. O gráfico obtido será aquele da Figura P9. 
 
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b) Utilizando software gráfico 
Softwares gráficos são implementados de modo que os vários pontos solução são determinados, 
geralmente, a partir de uma ou mais equações onde uma variável é dependente de outra, por exemplo y é 
função de x. 
Para expressões de certas equações, necessitaremos dividir a expressão em duas ou mais partes conforme 
as restrições que esta possuir no domínio das variáveis. 
Assim, a equação que representa y como dependente de x, dada por 𝑦 = √𝑥 − 1, não poderá ser plotada 
nos softwares gráficos visto que o operador raiz quadrada fornece como resultado apenas os números 
positivos. 
Para obtermos, nestes softwares, os resultados numéricos aceitáveis para a equação original, deveremos 
dividir a equação original em duas outras de modo a atender aos valores possíveis que a variável y poderá 
assumir, ou seja: 
𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒 (𝑥 − 𝑦2 = 1) ≡ 𝑎𝑜𝑠 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜𝑠 𝑑𝑒 {
𝑦1 = √𝑥 − 1
𝑦2 = −√𝑥 − 1
 
 
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Exemplo 5 
Encontre todos os pontos de interseção dos gráficos das equações: 𝑥2 − 𝑦 = 3 e 𝑥 − 𝑦 = 1. 
Solução 
Sequência analítica para a solução: 
𝑦 = 𝑥2 − 3 Escrever 1ª equação original para y. 
𝑦 = 𝑥 − 1 Escrever 2ª equação original para y. 
𝑥2 − 3 = 𝑥 − 1 Igualar os valores de (y). 
𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0 Escrever na forma geral. 
(𝑥 − 2) (𝑥 + 1) = 0 Fatorar. 
𝑥 = 2 𝑜𝑢 𝑥 = −1 Resolver para x. 
 
As correspondentes coordenadas y são obtidas substituindo os valores de x em qualquer uma das equações 
originais escritas para y. 
Logo, os dois pontos de interseção são: (2 , 1) e (−1 , −2) 
O gráfico das equações originais no plano cartesiano está mostrado na Figura P10. 
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Modelos matemáticos 
 A área de ciências exatas frequentemente utiliza equações, como modelos matemáticos de algum 
fenômeno, em suas diversas subáreas do conhecimento como física, química, engenharias, biofísica, 
economia entre várias outras. 
 Para o desenvolvimento de um modelo matemática consideramos, principalmente, dois objetivos 
principais (frequentemente conflitantes): precisão e simplicidade. 
 Em outras palavras, o modelo matemático deve ser simples o suficiente para permitir manipulações 
analíticas e ainda ser preciso o suficiente para que os resultados obtidos sejam significativos. 
 Consequentemente, uma relação funcional entre duas grandezas pode ser expressa por uma equação 
matemática ou por um modelo matemático. 
 Assim, por exemplo, a temperatura em graus Fahrenheit está relacionada à temperatura em graus 
Celsius através da equação 𝐹 =
9
5
𝐶 + 32. 
 
 
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1.2 – Modelos lineares e Taxas de variação. 
Inclinação da reta 
 A inclinação de uma reta é o número de unidades que a reta sobe (ou desce) para cada unidade de 
variação horizontal da esquerda para a direita. 
 Considere dois pontos (𝑥1 , 𝑦1) e (𝑥2 , 𝑦2) sobre uma reta como mostrado na Figura P12. 
 
 Ao analisarmos os valores das coordenadas, da esquerda para a 
direita e ao longo da reta, uma variação vertical no eixo y, de ∆ 𝑦 =
𝑦2 − 𝑦1 unidades, podeser relacionada à uma variação horizontal 
no eixo x de ∆ 𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1 unidades. 
 
 
 
 
 
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Definição da inclinação de uma reta. 
 A inclinação m de uma reta que passa pelos pontos (𝑥1 , 𝑦1) e (𝑥2 , 𝑦2) é dada por: 
𝑚 =
∆ 𝑦
∆ 𝑥
=
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥1 ≠ 𝑥2 
 Obs.: Inclinação não é definida para retas verticais. 
 Observe ainda que a ordem de subtração é importante, neste caso coordenadas do ponto 2 em relação 
ao ponto 1. 
 No entanto, ao invertemos as coordenadas do ponto 1 para o ponto 2 obtemos o mesmo resultado: 
𝑚 =
∆ 𝑦
∆ 𝑥
=
𝑦1 − 𝑦2
𝑥1 − 𝑥2
=
−(𝑦2 − 𝑦1)
−(𝑥2 − 𝑥1)
=
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
 , 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥1 ≠ 𝑥2 
 A inclinação de uma reta pode ser interpretada como uma razão ou como uma taxa de variação. 
 Se os eixos x e y são expressos nas mesmas unidades, o número que mede a inclinação é 
adimensional e representa uma razão. 
 Se os eixos x e y são expressos em unidades diferentes, a inclinação tem dimensões e representa uma 
taxa de variação da grandeza y em relação à grandeza x. 
 
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 A Figura P13 mostra quatro segmentos de reta: 
a) O primeiro tem inclinação positiva, 
b) o segundo tem inclinação de zero, 
c) o terceiro tem inclinação negativa e 
d) o quarto tem inclinação indefinida. 
 
 
 
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Equações Lineares 
 O mais simples dos modelos matemáticos, para estabelecer uma relação funcional entre duas 
variáveis, é a equação linear. 
 Essa equação é chamada linear por que o gráfico correspondente é uma linha reta. 
 Qualquer dois pontos sobre um segmento de reta não vertical pode ser utilizado para determinarmos 
sua inclinação. 
 Isto pode ser confirmado a partir de triângulos similares mostrados na 
Figura P14, pois razões entre correspondentes lados de triângulos similares 
são iguais. 
 Se (𝑥1 , 𝑦1) é um ponto sobre uma reta não vertical que tem uma inclinação 
m e (𝑥 , 𝑦) é qualquer outro ponto sobre a mesma reta, então: 
𝑚 =
𝑦 − 𝑦1
𝑥 − 𝑥1
 
 Esta equação, nas variáveis x e y pode ser reescrita na forma: 
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 (𝑥 − 𝑥1) 
Que é denominada de forma ponto inclinação de uma equação de reta. 
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Exemplo 1 
Encontre uma equação 
da reta que tem 
inclinação de 3 e passa 
pelo ponto (1 , −2). 
Esboce o gráfico desta reta. 
Solução 
 
Para esboçar esse gráfico plote o ponto dado no plano cartesiano e em seguida 
plote o ponto (0 , −5), que é o intercepto no eixo y, obtido fazendo 𝑥 = 0 na 
equação ponto inclinação determinada. 
O esboço pode ser visto na Figura P15. 
 
 
Exemplo 2 
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 (𝑥 − 𝑥1) Forma geral ponto inclinação. 
𝑦 − (−2) = 3 (𝑥 − 1) Substituir coordenadas (𝑥1 , 𝑦1) na equação. 
𝑦 + 2 = 3 𝑥 − 3 Simplificar. 
𝑦 = 3 𝑥 − 5 Resolver para y. 
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A população do estado do Colorado (USA) era de 4.302.000 em 2000 e em torno de 5.029.000 em 2010. 
Encontre a taxa de variação média da população nesse período de 10 anos. 
Qual será a população do Colorado em 2020? 
Solução 
No período de 10 anos considerado, a taxa de variação média da 
população do Colorado era de: 
 
𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 =
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎çã𝑜
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑛𝑜𝑠
 
 =
5.029.000 − 4.302.000
2010 − 2000
 
 = 72.700 𝑝𝑒𝑠𝑠𝑜𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑎𝑛𝑜 
 
Considerando que a população do Colorado continue a aumentar nessa mesma taxa para os próximos 
10 anos, então, em 2020, teremos uma população em torno de 5.756.000. 
 
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Modelos Lineares e o Gráfico no plano cartesiano 
 Muitos problemas com abordagem geométrica para sua solução podem ser classificados em duas 
categorias: 
1. Dado o gráfico (ou partes dele), encontre sua equação. 
2. Dado uma equação, esboce o gráfico. 
 
 Trabalhando com retas, problemas na primeira categoria podem ser resolvidos utilizando a forma 
ponto inclinação. 
 No entanto, a forma ponto inclinação não é útil para problemas da segunda categoria. 
 A forma que melhor se adapta à segunda categoria para esboçar o gráfico de uma reta é a forma 
inclinação intercepto. 
 
 
 
 
O gráfico da equação linear escrita como: 
𝑦 = 𝑚 𝑥 + 𝑏 Forma Inclinação Intercepto. 
É a reta cuja inclinação é m e cujo interceptp_y é (0 , 𝑏). 
 
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Exemplo 3 
Esboce o gráfico de cada equação: 
a) 𝑦 = 2 𝑥 + 1 
b) 𝑦 = 2 
c) 3 𝑦 + 𝑥 − 6 = 0 
 
Solução 
a) Como 𝑏 = 1, o o intercepto_y é (0 , 1). 
Como a inclinação é 𝑚 = 2, então poderemos arbitrar um valor de x e determinar um segundo ponto de 
modo a permitir o esboço do segmento de reta que representará o gráfico da reta dada. 
Para 𝑥 = 1, então 𝑦 = 3. 
O esboço desta reta está mostrado na Figura P18a. 
 
b) Ao escrevermos a equação na forma 𝑦 = 2, consideramos que ela está na forma inclinação intercepto 
com inclinação nula, ou seja: 𝑦 = (0) 𝑥 + 2. 
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O intercepto_y, neste caso, é (0 , 2). 
Como a inclinação é nula, então a reta é horizontal como mostrado na Figura P18b. 
 
c) Reescrevendo a equação na forma inclinação intercepto temos: 
 
3 𝑦 + 𝑥 − 6 = 0 Formato original da escrita. 
3 𝑦 = −𝑥 + 6 Isolar variável y no lado esquerdo da igualdade. 
𝑦 = −
1
3
 𝑥 + 2 
 
Forma inclinação intercepto. 
 
A equação escrita nesta forma informa que o intercepto em y é (0 , 2) e a inclinação é: 𝑚 = −
1
3
. 
Podemos determinar o intercepto em x no intuito de obter um segundo ponto. 
Fazendo 𝑦 = 0, na equação acima, então 𝑥 = 6 e o segundo ponto será: (6 , 0). 
O esboço deste gráfico está na Figura P18c. 
 
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 As equações lineares podem ser escritas na forma geral: 
𝐴 𝑥 + 𝐵 𝑦 + 𝐶 = 0 
onde A e B não são ambos zero. 
 Podemos, então, resumir os tipos de forma das equações lineares como se segue: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resumo: 
1. Forma Geral. 𝐴 𝑥 + 𝐵 𝑦 + 𝐶 = 0 
2. Reta Vertical. 𝑥 = 𝑎 
3. Reta Horizontal. 𝑦 = 𝑏 
4. Forma Inclinação Intercepto. 𝑦 = 𝑚 𝑥 + 𝑏 
5. Forma Ponto Inclinação. 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 (𝑥 − 𝑥1) 
 
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Retas Paralelas e Perpendiculares 
 A inclinação da reta é uma informação conveniente para determinar se duas retas são paralelas ou 
perpendiculares como mostrado na Figura P19. 
 Especificamente, retas não verticais de mesma inclinação são paralelas; enquanto que retas não 
verticais cujas inclinações são recíprocas negativas são perpendiculares. 
 
 
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 Formalmente, teremos: 
1. Duas retas distintas e não verticais são paralelas se, e somente se, suas inclinações são iguais. 
𝑚1 = 𝑚2 
 
2. Duas retas não verticais são perpendiculares se, e somente se, suas inclinações são recíprocas 
negativas. 
𝑚1 = −
1
𝑚2
 
 
 
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Exemplo 4 
Encontre as equações, na forma geral, das retas que passam pelo ponto (2 , −1) sendo: 
(a) uma paralela e (b) outraperpendicular à reta 2 𝑥 − 3 𝑦 = 5. 
Solução 
Reescrevendo a equação linear 2 𝑥 − 3 𝑦 = 5 na forma inclinação intercepto, teremos 𝑦 =
2
3
 𝑥 −
5
3
. 
Então, a reta referência, como vista na Figura P20, tem inclinação 𝑚 =
2
3
. 
(a) A reta que passa por (2 , −1) que é paralela à reta dada tem inclinação 
𝑚 =
2
3
. 
Utilizando a forma ponto inclinação para a reta paralela: 
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 (𝑥 − 𝑥1) Forma ponto inclinação. 
𝑦 − (−1) =
2
3
 (𝑥 − 2) 
 
Substituir coordenadas (𝑥1 , 𝑦1). 
3 𝑦 + 3 = 2 𝑥 − 4 Propriedade distributiva e simplificar. 
2 𝑥 − 3 𝑦 = 7 Forma Geral. 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 38 
(b) A reta que passa por (2 , −1) que é perpendicular à reta dada, tem inclinação recíproca negativa: 
𝑚 = −
3
2
. 
Utilizando a forma ponto inclinação para a reta perpendicular: 
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 (𝑥 − 𝑥1) Forma ponto inclinação. 
𝑦 − (−1) = −
3
2
 (𝑥 − 2) 
 
Substituir coordenadas (𝑥1 , 𝑦1). 
2 𝑦 + 2 = −3 𝑥 + 6 Propriedade distributiva e simplificar. 
3 𝑥 + 2 𝑦 = 4 Forma Geral. 
 
A Figura P20 apresenta o gráfico das três retas onde podemos visualizar a reta referência e as retas paralela 
e a perpendicular. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 39 
1.3 – Funções e seus gráficos. 
Funções e Notação funcional 
 A relação entre dois conjuntos X e Y é um conjunto de pares ordenados, cada um na forma (𝑥 , 𝑦), 
onde x é um elemento de X e y é um elemento de Y. 
 Uma função de X para Y é uma relação entre X e Y que tem a propriedade que quaisquer dois pares 
ordenados com o mesmo valor x também têm o mesmo valor y. 
 A variável x é a variável independente, e a variável y é a variável dependente. 
 Muitos fenômenos e ou grandezas podem ser modelados por intermédio de funções. 
 
 Por exemplo, a área A de um círculo é uma função do raio r do círculo. 
 
𝐴 = 𝜋 𝑟2 A é uma função de r. 
 
 Neste caso, r é a variável independente e A é a variável dependente. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 40 
 
 
 
 
 
 
 O domínio de f é o conjunto X. 
 O número y é a imagem de x, decorrente de f, que é identificada por 
𝑓(𝑥), denominado valor de f em x. 
 A faixa de valores decorrentes da relação funcional f é o subconjunto de Y consistindo de todas as 
imagens dos números em X como pode ser visto na Figura P22. 
 É muito comum representar função por meio de equações matemáticas, embora formas como tabelas, 
gráficos e diagramas também possam representar uma relação funcional entre duas variáveis. 
 Nesse texto, contudo, estudaremos, inicialmente, funções dadas por equações envolvendo variáveis 
dependentes e independentes. 
Definição de uma Função Real de uma Variável Real 
Considere X e Y conjuntos de números reais. 
Uma função real f, de uma variável real x, de X para Y, é uma relação 
que associa a cada número x em X exatamente um número y em Y. 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 41 
 Por exemplo, a equação 𝑥2 + 2 𝑦 = 1 (equação na forma implícita) define y, variável dependente, 
como uma função de x, variável independente. 
 Para estimar o valor da função (isto é, encontrar o valor y que corresponde ao valor x), é conveniente 
isolar y no lado esquerdo da igualdade. 
𝑦 =
1
2
 (1 − 𝑥2) (Equação na forma explícita) 
 
 Utilizando f, como o nome da função, podemos escrever a equação como: 
𝑓(𝑥) =
1
2
 (1 − 𝑥2) (Notação funcional) 
 A notação funcional tem a vantagem de claramente identificar a variável independente (no exemplo 
acima x) e a dependente (𝑓(𝑥)). 
 O símbolo 𝑓(𝑥) é lido como "f de x". 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 42 
Exemplo 1 
Para a função f definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 7, estime o valor para cada expressão: 
a) 𝑓(3𝑎) b) 𝑓(𝑏 − 1) c) 
𝑓(𝑥 + ∆ 𝑥)−𝑓(𝑥)
∆ 𝑥
 
Solução 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 43 
 No Cálculo, é importante especificar claramente o domínio de uma função ou expressão. 
 No exemplo 1(c), as duas expressões: 
 
𝑓(𝑥 + ∆ 𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆ 𝑥
 e 2 𝑥 + ∆ 𝑥 ; ∆ 𝑥 ≠ 0 
 
são equivalentes por que o valor ∆ 𝑥 = 0 é excluído do domínio de cada expressão. 
 Sem a definição da restrição no domínio, as duas expressões acima não seriam equivalentes. 
 
O Domínio e a Imagem de uma Função 
 Domínio de uma função é o conjunto de todos os valores da variável independente para os quais a 
função é definida. 
 O domínio pode ser descrito explicitamente ou pode ser definido de forma implícita pela equação 
utilizada para descrever a função. 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 44 
 Por exemplo, a função: 
𝑓(𝑥) =
1
𝑥2 − 4
 ; 4 ≤ 𝑥 ≤ 5 
tem um domínio definido explicitamente pelo {𝑥: 4 ≤ 𝑥 ≤ 5} 
 
 Já a função 
𝑓(𝑥) =
1
𝑥2 − 4
 
tem um domínio definido implicitamente pelo conjunto {𝑥: 𝑥 ≠ ±2}, ou seja por todos os valores reais 
de x, exceto x = 2 e x = -2. 
 Esses dois valores não pertencem ao domínio da função por que a divisão por zero não é definida. 
 Outro tipo de domínio implícito é o usado para evitar raízes pares de números negativos, como 
mostrado no Exemplo 2. 
 
 Imagem de uma função é o conjunto de todos os valores assumidos pela variável dependente. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 45 
Exemplo 2 - Encontre o domínio e a imagem das funções: 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 46 
Exemplo 3 
 Seja uma função definida por mais de uma equação. 
Para a função definida por partes dada por: 
𝑓(𝑥) = {
1 − 𝑥 , 𝑥 < 1
√𝑥 − 1 , 𝑥 ≥ 1
 
f é definida para 𝑥 < 1 e 𝑥 ≥ 1. 
Para a parte do domínio para o qual 𝑥 ≥ 1, a função se comporta como 
no Exemplo 2a. 
 
 
Quando 𝑥 < 1 os valores de (1 − 𝑥) são positivos. 
Logo, a imagem da função é o intervalo [0 , ∞) como visto na Figura P24. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 47 
O Gráfico de uma Função 
O gráfico da função 𝑦 = 𝑓(𝑥) consiste de todos os pontos ( 𝑥 , 𝑓(𝑥) ), onde 
x está no domínio de f. 
Na Figura P25, observe que: 
𝑥 = 𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑜𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑎𝑑𝑎 𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑟 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦. 
e 
𝑓(𝑥) = 𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑜𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑎𝑑𝑎 𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑟 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥. 
 
 Uma linha vertical pode interceptar o gráfico de uma função em x em apenas um ponto. 
 Essa característica nos leva a um teste gráfico chamado de Teste da Linha Vertical. 
 Um gráfico no plano cartesiano será um gráfico de uma função se e somente uma linha vertical 
interceptar o gráfico em não mais que um ponto. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 48 
 Por exemplo, na Figura P26(a), o gráfico não define y como função de x por que uma linha vertical 
intercepta o gráfico duas vezes, enquanto que nas Figuras P26(b) e (c), os gráficos definem y como função 
de x. 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 49 
 A Figura P27 mostra gráficos de oito funções básicas muito utilizadas neste curso. 
 Outras, com suas propriedades, serão apresentadas em sequência. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 50 
Valor Absoluto 
 O valor absoluto de um número real a é dado por |𝑎| = {
𝑎, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 ≥ 0
−𝑎, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 < 0
. 
Exs: |3| = 3 ; |−5| = −(−5) = 5 ; |8 − 14| = |−6| = −(−6) = 6 
 Da definição e exemplos vemos que o valor absoluto de um número é um número positivo ou zero. 
 
 Propriedades do Valor Absoluto: 
1. Multiplicação: Se a , b ∈ℝ, então |𝑎 𝑏| = |𝑎| |𝑏|. 
2. Divisão: Se a , b ∈ ℝ e 𝑏 ≠ 0, então |
𝑎
𝑏
| =
|𝑎|
|𝑏|
. 
3. Potenciação: Se a ∈ ℝ, então |𝑎𝑛| = |𝑎|𝑛 
4. |𝑥| < 𝑎, se e somente se −𝑎 < 𝑥 < 𝑎, onde a > 0. 
 |𝑥| ≤ 𝑎, se e somente se −𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎, onde a > 0. 
5. |𝑥| > 𝑎, se e somente se 𝑥 > 𝑎 ou x < -a, onde a > 0. 
 |𝑥| ≥ 𝑎, se e somente se 𝑥 ≥ 𝑎 ou 𝑥 ≤ −𝑎, onde a > 0. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 51 
Intervalos Definidos por Valor Absoluto 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 52 
Expoentes e Radicais 
Expressões envolvendo Expoentes ou Radicais 
Obs.: Quando n é par, a raiz enésima principal é positiva. Por exemplo: √4 = +2 𝑒 √81
4
= +3. 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 53 
Operações com Expoentes: 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 54 
Função Exponencial 
 Se 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1, então a função exponencial com base a é dada por: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥. 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 55 
Função Logaritmo Natural 
 A Função Logaritmo natural, 𝑙𝑛 𝑥, é definida, em relação à função exponencial 𝑒𝑥, como mostrado 
na figura abaixo. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 56 
 A função 𝑙𝑛 𝑥 possui as seguintes propriedades básicas: 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 57 
Funções Trigonométricas 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 58 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 59 
Transformações de Funções 
 Algumas famílias de gráficos têm a mesma forma básica. 
 Por exemplo, compare o gráfico de 𝑦 = 𝑥2 com os gráficos de quatro outras funções quadráticas 
mostradas na Figura P28. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 60 
 Cada um dos gráficos da Figura P28 é uma transformação do gráfico de 𝑦 = 𝑥2. 
 Os três tipos básicos de transformações ilustrados por estes gráficos são descritas como: 
deslocamento vertical; deslocamento horizontal e reflexões. 
 A notação funcional descreve naturalmente as transformações dos gráficos no plano. 
Por exemplo: utilizando 𝑦 = 𝑥2 como função original, as transformações mostradas na Figura P28 podem 
ser representadas pelas equações abaixo: 
 
𝑎) 𝑦 = 𝑓(𝑥) + 2 Deslocamento vertical duas unidades para cima 
𝑏) 𝑦 = 𝑓(𝑥 + 2) Deslocamento horizontal de duas unidades à esquerda. 
𝑐) 𝑦 = −𝑓(𝑥) Reflexão em torno do eixo x. 
𝑑) 𝑦 = −𝑓(𝑥 + 3) + 1 
Deslocamento para esquerda de três unidades; reflexão em 
torno do eixo x e deslocamento para cima uma unidade. 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 61 
Resumindo, teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tipos Básicos de Transformações (𝒄 > 𝟎) 
Gráfico original: 𝑦 = 𝑓(𝑥) 
Deslocamento horizontal c unidades à direita: 𝑦 = 𝑓(𝑥 − 𝑐) 
Deslocamento horizontal c unidades à esquerda: 𝑦 = 𝑓(𝑥 + 𝑐) 
Deslocamento vertical c unidades para baixo: 𝑦 = 𝑓(𝑥) − 𝑐 
Deslocamento vertical c unidades para cima: 𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑐 
Reflexão (em torno do eixo x): 𝑦 = −𝑓(𝑥) 
Reflexão (em torno do eixo y): 𝑦 = 𝑓(−𝑥) 
Reflexão (em torno da origem): 𝑦 = −𝑓(−𝑥) 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 62 
Classificação e Combinações de Funções 
 A partir do final do século dezoito, matemáticos e cientistas reconheceram que muitos fenômenos 
reais poderiam ser representados por modelos matemáticos baseados em um conjunto de funções 
chamadas elementares. 
 Estas funções elementares podem ser classificadas em três categorias: 
1) Funções algébricas (polinomiais, radicais, racionais). 
2) Funções trigonométricas (senos, cossenos, tangentes, entre outras). 
3) Funções exponenciais e logarítmicas. 
 
 O tipo mais comum de funções algébricas é a função polinomial: 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛 𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥
𝑛−1 + ⋯ + 𝑎2 𝑥
2 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 
onde n é um inteiro positivo. 
 Os números 𝑎𝑖 são coeficientes, onde 𝑎𝑛 é o coeficiente de maior índice e 𝑎0 o termo constante da 
função polinomial. 
 Se 𝑎𝑛 ≠ 0, então n é o grau da função polinomial. 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 63 
 O polinômio 𝑓(𝑥) = 0 não é considerado um grau. 
 É prática comum utilizar notação com subscrito para os coeficientes. 
 Porém, em polinômios de grau baixos, notação simplificada também é frequentemente utilizada, 
como mostrado abaixo, onde 𝑎 ≠ 0. 
Grau zero 𝑓(𝑥) = 𝑎 Função constante 
Primeiro grau 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 + 𝑏 Função linear 
Segundo grau 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥2 + 𝑏 𝑥 + 𝑐 Função quadrática 
Terceiro grau 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥3 + 𝑏 𝑥2 + 𝑐 𝑥 + 𝑑 Função cúbica 
 
 Embora o gráfico de funções polinomiais não constantes apresentarem oscilações diversas, 
eventualmente o gráfico crescerá ou decrescerá, sem variação em degrau, quando x varia para a direita 
ou para a esquerda. 
 Considerando o gráfico de 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛 𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥
𝑛−1 + ⋯ + 𝑎2 𝑥
2 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0, eventuais 
crescimentos ou decrescimentos podem ser determinados a partir da análise do grau da função (par ou 
impar) e ainda do sinal do coeficiente 𝑎𝑛 como indicado na Figura P29. 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 64 
 
 Observe que os trechos pontilhados dos gráficos indicam que o coeficiente de maior grau determina 
unicamente o comportamento à direita e à esquerda do gráfico. 
 A parte pontilhada indica que as oscilações são controlados pelos expoentes dos coeficientes 
 Outros conceitos como extremos relativos, continuidade, entre outros serão vistos ao longo do curso 
e completarão os conhecimentos necessários para o traçado do esboço de gráficos em um determinado 
domínio. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 65 
 Funções racionais podem ser escritas como o quociente de duas funções polinomiais. 
 Logo, uma função f é racional quando ela apresentar a forma: 
𝑓(𝑥) =
𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥)
 
Onde 𝑝(𝑥) 𝑒 𝑞(𝑥) são polinômios e ainda 𝑞(𝑥) ≠ 0. 
 Funções polinomiais e racionais são exemplos de funções algébricas. 
 Uma função algébrica de x pode ser obtida por um número finito de somas, diferenças,múltiplos, 
quocientes e radicais envolvendo 𝑥𝑛. 
Por exemplo, 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 1 é algébrica. 
 Funções que não são algébricas são transcendentais. 
 Por exemplo, as funções trigonométricas são transcendentais. 
 Duas funções podem ser combinadas de várias formas para criar uma nova função. 
 Seja 𝑓(𝑥) = 2 𝑥 − 3 e 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 1. 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 66 
 Podemos combinar estas duas funções para formar uma terceira como mostrado abaixo: 
(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = (2 𝑥 − 3) + (𝑥2 + 1) Soma 
(𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = (2 𝑥 − 3) − (𝑥2 + 1) Diferença 
(𝑓 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = (2 𝑥 − 3) (𝑥2 + 1) Produto 
(𝑓/ 𝑔)(𝑥) =
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
(2 𝑥 − 3)
(𝑥2 + 1)
 Quociente 
 
 Outro tipo de combinação é denominado composição. 
 Para este caso, a função resultante é chamada de função composta. 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 67 
Definição de Função Composta 
 Considere 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥) funções. A função (𝑓 ° 𝑔)(𝑥) = 𝑓( 𝑔(𝑥) ) é a composta de 𝑓(𝑥) com 𝑔(𝑥). 
 O domínio de (𝑓 ° 𝑔)(𝑥) é o conjunto de todos os valores de x no domínio de 𝑔(𝑥) tal que 𝑔(𝑥) está 
no domínio de 𝑓(𝑥), como mostrado na Figura P30. 
 
 
 
 A composta de 𝑓(𝑥) com 𝑔(𝑥) geralmente não é a mesma função composta 𝑔(𝑥)com 𝑓(𝑥). 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 68 
Exemplo 4 
Seja 𝑓(𝑥) = 2 𝑥 − 3 e 𝑔(𝑥) = cos 𝑥, encontre as funções compostas: 
a) (𝑓 ° 𝑔)(𝑥) ; b) (𝑔 ° 𝑓)(𝑥) 
Solução 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 69 
 Na Seção 1.1, o intercepto de um gráfico foi definido como sendo o ponto ( 𝑎 , 0) no qual o gráfico 
cruza o eixo x. 
 Se o gráfico representa uma função f, então o número a é um zero de f. 
 Em outras palavras, os zeros de uma função f são as soluções da equação 𝑓(𝑥) = 0. 
 Por exemplo, a função 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 4 tem um zero em 𝑥 = 4 por que 𝑓(4) = 0. 
 
 Também na Seção 1.1, vimos diferentes tipos de simetria. 
 Na terminologia de funções, a função é par quando seu gráfico é simétrico com respeito ao eixo y, e 
é ímpar quando seu gráfico é simétrico com respeito à origem. Ou seja: 
A função 𝑦 = 𝑓(𝑥) é par quando 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥). 
A função 𝑦 = 𝑓(𝑥) é impar quando 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥). 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 70 
Exemplo 5 
Determine se cada função abaixo é par, impar ou nenhuma delas. Após, encontre os zeros das funções. 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥 b) 𝑔(𝑥) = 1 + cos 𝑥 
Solução 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 71 
Funções Inversas 
 Informalmente, o inverso de uma função f é uma função g, que “desfaz” a trabalho de f. 
 Formalmente, 
Sejam f e g duas funções tais que 
 f(g(x)) = x para qualquer x no domínio de g 
e 
 g(f(x)) = x para qualquer x no domínio de f. 
Nessas condições, a função g é a inversa da função f. 
A função g é representada pelo símbolo f -1, que é lido como “inversa de f”. 
Assim, 
𝑓(𝑓−1(𝑥)) = 𝑥 e 𝑓−1(𝑓(𝑥)) = 𝑥 
O domínio de f deve ser igual à imagem de f -1, e a imagem de f deve ser igual ao domínio de f -1. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 72 
Exemplo 6 
A lista abaixo mostra várias funções e suas funções inversas. 
Observe que em todos os casos a função inversa “desfaz” a operação executada pela função original. 
(a) 𝑓(𝑥) = 2 𝑥 𝑓−1(𝑥) =
1
2
 𝑥 
(b) 𝑓(𝑥) =
1
3
 𝑥 𝑓−1(𝑥) = 3 𝑥 
(c) 𝑓(𝑥) = 2 𝑥 − 5 𝑓−1(𝑥) =
1
2
(𝑥 + 5) 
(d) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 𝑓−1(𝑥) = √𝑥
3
 
(e) 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
 𝑓−1(𝑥) =
1
𝑥
 
 
Use um programa de plotagem para verificar que os gráficos de f e f -1 são imagens especulares uma da 
outra em relação à reta y = x. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 73 
Exemplo 7 
Determine a função inversa de 𝑓(𝑥) = √2 𝑥 − 3. 
Solução 
Substituir f(x) por y. Em seguida, substituir x por y (e vice-versa) na expressão e explicitar “novo” y. 
𝑓(𝑥) = √2 𝑥 − 3 
 
Escrever função original 
Substituir f(x) por y. 
𝑦 = √2 𝑥 − 3 Substituir x por y e vice-versa 
𝑥 = √2 𝑦 − 3 Elevar os membros ao quadrado 
𝑥2 = 2 𝑦 − 3 Somar 3 aos membros 
𝑥2 + 3 = 2 𝑦 Dividir membros por 2 
𝑥2 + 3
2
= 𝑦 Solução é a função inversa. 
 
Usando x como variável independente, podemos escrever: 
𝑓−1(𝑥) =
𝑥2+3
2
 , 𝑐𝑢𝑗𝑜 𝑑𝑜𝑚í𝑛𝑖𝑜 é 𝑥 ≥ 0 ≡ 𝐼𝑚𝑎𝑔𝑒𝑚 𝑑𝑒 𝑓(𝑥) 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 74 
 Depois de determinar a inversa de uma função, é aconselhável verificar se o resultado está correto. 
 
 É possível fazer isso, graficamente, observando se os gráficos de f(x) e f -1(x) são imagens especulares 
uma da outra em relação à reta y = x, como na Figura 1.49. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 75 
 Analiticamente, basta determinar f (f -1(x)) e f -1(f(x)). 
 Os dois resultados devem ser iguais a x. 
 
Verifique que 𝑓(𝑓−1(𝑥)) = 𝑥 Verifique que 𝑓−1(𝑓(𝑥)) = 𝑥 
𝑓(𝑓−1(𝑥)) = 𝑓 (
𝑥2 + 3
2
) 𝑓−1(𝑓(𝑥)) = 𝑓−1(√2 𝑥 − 3) 
 = √2 (
𝑥2 + 3
2
) − 3 =
(√2 𝑥 − 3)2 + 3
2
 
 = √𝑥2 =
2𝑥
2
 
 = 𝑥 , 𝑥 ≥ 0 = 𝑥 , 𝑥 ≥ 
3
2
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 76 
1.4 – Exercícios. 
 Resolver exercícios da lista e exercícios diversos das referências bibliográficas. 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 77 
REFERÊNCIAS 
 Conteúdo deste capítulo foi compilado de: 
 
LARSON, R. & EDWARDS, B.; Calculus of a Single Variable, 10 ed., Boston, MA - USA, Brooks/Cole Cengage 
Learning, 2014. 
 
LARSON, R., Brief Calculus An Applied Approach, 8 ed., Houghton Mifflin Company, Boston – New York, 2009. 
 
LARSON, R. & EDWARDS, B. ; com a assistência de FALVO, D. C., Cálculo com Aplicações, 6 ed., Rio de Janeiro 
– RJ, LTC, 2008. 
 
LEITHOLD, L; O Cálculo com Geometria Analítica, vol. 1, São Paulo – SP, Harbra Editora Harper & 
Row do Brasil Ltda, 1977.