Unidade 2 Limites e suas Propriedades

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Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 78 
 
 
 
 
2.1 - Conceitos Básicos. 
2.2 - Determinando Limites Analiticamente. 
2.3 - Limites infinitos. 
2.4 - Continuidade. 
2.5 - Exercícios. 
 
Unidade 2 – Limites e Suas Propriedades 
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2.1 – Conceitos Básicos 
O Limite de uma Função 
 Considere uma mola que se rompe ao ser submetida a um peso de 10 Kg ou mais. 
 Para determinar qual a extensão que a mola pode atingir sem se romper, penduramos pesos cada vez 
maiores e medimos o comprimento s da mola para cada peso w, como mostra a Figura 1.51. 
 Se o comprimento da mola se aproxima de um valor L, dizemos 
que "o limite de s quando w tende para 10 é L". 
 Um limite matemático se parece com o limite de uma mola. 
 
 A notação de limite é: 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒄
𝒇(𝒙) = 𝑳 
que se lê como: "o limite de f(x) quando x tende a c é L". 
 
 
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Exemplo 1 – Solução Gráfica e Numérica 
Determine lim⁡⁡
𝑥→1
(𝑥2 + 1)⁡. 
Solução 
Seja f(x) = x2 + 1. 
Análise gráfica: 
No gráfico da Figura 1.52, observamos que f(x) se aproxima de 2 quando 
x se aproxima de 1 pela esquerda ou pela direita, de modo que podemos 
escrever: 
lim⁡⁡
𝑥→1
(𝑥2 + 1) = 2 
Analisando a tabela numérica abaixo observamos a mesma tendência: 
quando x se aproxima de 1, f(x) se aproxima de 2, por ambos os lados. 
 
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Exemplo 2 – Solução Gráfica e Numérica 
Determine lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) para as seguintes funções: 
(a) 𝑓(𝑥) =
𝑥2−1
𝑥−1
 (b) 𝑓(𝑥) =
|𝑥−1|
𝑥−1
 (c) f(𝑥) = {
𝑥, 𝑥 ≠ 1
0, 𝑥 = 1
 
Solução 
(a) Observando o gráfico de f(x), na Figura 1.53(a), vemos que f(x) se aproxima 
de 2 quando x se aproxima de 1 tanto pela esquerda quanto pela direita. 
O ponto onde a função não é definida é representado por um pequeno círculo 
vazado. 
Observe que o fato de f(x) não ser definida no ponto x =1 é irrelevante para a 
determinação do limite. 
O limite depende somente dos valores de f(x) nas proximidades de x = 1, não do 
valor da função em x = 1. 
 
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(b) Observando o gráfico de f(x), que aparece na Figura 1.53(b), vemos que 
f(x) = -1 para qualquer valor de x à esquerda da coordenada x = 1 e f(x) = 1para 
qualquer valor de x à direita da coordenada x = 1. 
Assim, f(x) se aproxima de valores diferentes quando x se aproxima de 1 pela 
esquerda e pela direita. 
Em situações como esta, dizemos que o limite não existe. 
Essa mesma conclusão pode ser confirmada na tabela numérica abaixo. 
 
 
 
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(c) Observando o gráfico de f(x), na Figura 1.53c, vemos que f(x) se aproxima 
de 1 quando x se aproxima de 1 tanto pela esquerda quanto pela direita. 
 
Não importa que f(1) = 0. 
 
O limite depende dos valores de f(x) nas proximidades de x = 1, não do valor 
da função em x = 1. 
 
 
 
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 Os exemplos 1 e 2 revelam alguns fatos importantes: 
1. Dizer que o limite de f(x) é L quando x tende a c significa que o valor de f(x) pode tornar-se 
arbitrariamente próximo de L, bastando para isso escolher um valor de x suficientemente 
próximo de c. 
 
2. Para que um limite exista, é preciso que f(x) se aproxime do mesmo valor quando x se 
aproxima de c pela esquerda e pela direita. 
Se f(x) se aproxima de números diferentes quando x se aproxima de c pela direita e pela 
esquerda, o limite não existe. 
 
3. O valor de f(x) em x = c não tem influência sobre o limite de f(x) quando x tende a c. 
No Exemplo 2(c), o limite de f(x), quando x tende a 1, é igual a 1, embora o valor de f(x) seja 
zero em x = 1. 
No Exemplo 2(a), o limite de f(x) quando x tende a 1 existe (é igual a 1), embora a função não 
seja definida no ponto x = 1. 
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Definição do Limite de uma Função 
 Se uma função f(x) se aproxima arbitrariamente de um número L quando x se aproxima 
indefinidamente de um número c tanto pela esquerda e quanto pela direita, dizemos que 
lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) = 𝐿 
que é lido como "o limite de f(x) quando x tende a c é L". 
 Ao utilizarmos o formalismo matemático de Augustin-Louis 
Cauchy para limites teremos: 
 Lembrando a definição e propriedade de valor absoluto: 
|⁡𝑥⁡| = {
𝑥⁡, 𝑥 ≥ 0
−𝑥⁡, 𝑥 < 0
 
A partir desta definição, podemos extrapolar que: 
|⁡𝑥 − 𝑎⁡| < 𝑏⁡⁡ ≡ ⁡−𝑏 < (𝑥 − 𝑎) < 𝑏⁡⁡⁡ ⟹ (𝑎 − 𝑏) < 𝑥 < (𝑎 + 𝑏) 
 
 A partir da Figura ao lado, considere 𝜺 e 𝜹 números positivos 
muito pequenos. 
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 A frase "f(x) se aproxima arbitrariamente de L" significa que f(x) se encontra no intervalo 
(𝐿 − 𝜀⁡, 𝐿 + 𝜀). 
 
Utilizando valor absoluto para representar estas faixas podemos escrever: 
|𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀 
Ou seja, 𝑓(𝑥) não está a mais que 𝜀 unidades de distância de L. 
 
 Analogamente, a frase "x se aproxima de c" significa que existe um número positivo 𝜹 tal que x se 
encontra ou no intervalo (𝑐 − 𝛿⁡, 𝑐) ou no intervalo (𝑐⁡, 𝑐 + 𝛿). 
 Esta dupla condição pode ser representada por: 0 < |𝑥 − 𝑐| < 𝛿 
 A desigualdade da esquerda, 0 < |𝑥 − 𝑐|, significa que a distância entre x e c é maior que 0, ou seja, 
𝑥 ≠ 𝑐. 
 A desigualdade da direita, |𝑥 − 𝑐| < 𝛿, diz que x não está a mais que 𝛿 unidades de distância de c. 
 
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 Logo, a definição formal de Cauchy para o limite de uma função é: 
 
 
 
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Exemplo 3 
Dado o limite 𝑙𝑖𝑚
𝑥→3
2⁡𝑥 − 5 = 1, encontre 𝛿 de modo que: 
|(2⁡𝑥 − 5) − 1| < 0,01 quando 0 < |𝑥 − 3| < 𝛿. 
Solução 
Neste exemplo, o valor de 𝜀 = 0,01 foi dado. 
Tentaremos estabelecer uma relação entre os valores absolutos: 
|(2⁡𝑥 − 5) − 1| 𝑒 |𝑥 − 3| 
Observe que: 
|(2⁡𝑥 − 5) − 1| = |2𝑥 − 6| = 2⁡|𝑥 − 3| 
Assim, 
|(2⁡𝑥 − 5) − 1| < 0,01⁡⁡⁡⁡⁡⁡é⁡𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒⁡𝑎⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡2⁡|𝑥 − 3| < 0,01 
Ou |𝑥 − 3| < 0,005⁡⁡ ⇒ ⁡⁡⁡𝛿 = 0,005. 
A Figura 1.13 mostra esta situação. Quando o valor de x estiver no intervalo 
de 0,005 em torno de 3, f(x) estará no intervalo de 0,01 em torno de 1. 
 
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Exemplo 4 
Use a definição 𝜀 − 𝛿 de limite para provar que lim
𝑥→2
(3⁡𝑥 − 2) = 4. 
Solução 
Devemos mostrar que para cada 𝜀 > 0, existe um 𝛿 > 0 de tal modo que: 
|(3⁡𝑥 − 2) − 4| < 𝜀 quando 0 < |𝑥 − 2| < 𝛿 
Como a escolha de 𝛿 é dependente de 𝜀, necessitamos estabelecer uma 
relação entre os valores absolutos: |(3⁡𝑥 − 2) − 4| e |𝑥 − 2|. 
Verificamos que: 
|(3⁡𝑥 − 2) − 4| = |3⁡𝑥 − 6| = 3⁡|𝑥 − 2| 
Então, para um dado 𝜀 > 0, podemos escolher 𝛿 =
𝜀
3
. 
Esta escolha é suficiente pois: 0 < |𝑥 − 2| < 𝛿 =
𝜀
3
 
Logo, 
|(3⁡𝑥 − 2) − 4| = 3⁡|𝑥 − 2| < 𝛿 = 3 (
𝜀
3
) ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⟹⁡⁡⁡⁡⁡⁡ |(3⁡𝑥 − 2) − 4| = 3⁡|𝑥 − 2| < 𝜀 
Como vemos, na Figura ao lado, para valores de x no entorno de 2, o valor de f(x) está no entorno de 4. 
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Propriedades dos Limites 
Técnica da Substituição Direta 
 Sejam (b) e (c) dois números reais, e seja n um número inteiro positivo. Nesse caso, 
1. lim
𝑥→𝑐
𝑏 = 𝑏 
2. lim
𝑥→𝑐
𝑥 = 𝑐 
3. lim
𝑥→𝑐
𝑥𝑛 = 𝑐𝑛4. lim
𝑥→𝑐
√𝑥
𝑛
= √𝑐
𝑛
 Se n for par, c deverá ser positivo 
 Podemos generalizar o cálculo de limites para alguns tipos de funções: 
 
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Operações com Limites 
 Sejam (K) , (L) , (b) e (c) números reais, (n) um número inteiro positivo, e f(x) e g(x) funções com 
os seguintes limites: lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) = 𝐿 e lim
𝑥→𝑐
𝑔(𝑥) = 𝐾 
Nesse caso, temos: 
 1. Multiplicação por um escalar: lim
𝑥→𝑐
𝑏⁡𝑓(𝑥) = 𝑏⁡ lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) = 𝑏⁡𝐿 
 2. Soma ou Diferença: lim
𝑥→𝑐
[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] = lim
𝑥→𝑐
[𝑓(𝑥)] ± lim
𝑥→𝑐
[𝑔(𝑥)] = 𝐿 ± 𝐾 
 3. Produto: lim
𝑥→𝑐
[𝑓(𝑥)⁡. 𝑔(𝑥)] = lim
𝑥→𝑐
[𝑓(𝑥)] . lim
𝑥→𝑐
[𝑔(𝑥)] = 𝐿⁡. 𝐾 
 4. Quociente: lim
𝑥→𝑐
[
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
] =
lim
𝑥→𝑐
[𝑓(𝑥)]
lim
𝑥→𝑐
[𝑔(𝑥)]
=
𝐿
𝐾
 se e somente se 𝐾 ≠ 0. 
 5. Potenciação: lim
𝑥→𝑐
⁡[𝑓(𝑥)]𝑛 = [lim
𝑥→𝑐
[𝑓(𝑥)]]
𝑛
= 𝐿𝑛 
 6. Radiciação: lim
𝑥→𝑐
√𝑓(𝑥)
𝑛 = √lim
𝑥→𝑐
[𝑓(𝑥)]𝑛 = √𝐿
𝑛
 
Na propriedade 6, se n for par, L deverá ser positivo. 
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Exemplo 5 
Determine o lim
𝑥→2
(𝑥2 + 2⁡𝑥 − 3). 
 
lim
𝑥→2
(𝑥2 + 2⁡𝑥 − 3) Escrever limite original 
Aplicar propriedade (2). 
lim
𝑥→2
(𝑥2 + 2⁡𝑥 − 3) = lim
𝑥→2
𝑥2 + lim
𝑥→2
2⁡𝑥 − lim
𝑥→2
3 Use substituição direta 
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡= 22 + 2⁡(2) − 3 Simplifique 
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡= 4 + 4 − 3 
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡= 5 Solução completa 
 
 
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Limites Unilaterais 
 Em alguns casos, uma função tende para valores diferentes quando x tende a c pela esquerda ou pela 
direita. 
 Esse tipo de comportamento pode ser descrito utilizando o conceito de limite unilateral. 
O limite lateral pela direita significa que x se aproxima de c com 
valores maiores que c (Figura 1.28a). 
lim
𝑥→𝑐+
𝑓(𝑥) = 𝐿 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒⁡𝑝𝑒𝑙𝑎⁡𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎 
 
O limite lateral pela esquerda significa que x se aproxima de c com 
valores menores que c (Figura 1.28b). 
lim
𝑥→𝑐−
𝑓(𝑥) = 𝐿 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒⁡𝑝𝑒𝑙𝑎⁡𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 
 
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Exemplo 6 
Determine o limite quando x tende a zero pela esquerda, e o limite quando x tende a zero pela direita da 
função 𝑓(𝑥) =
|2⁡𝑥|
𝑥
. 
Solução: 
Lembrando que a função valor absoluto: 
|⁡2⁡𝑥⁡| = {
2⁡𝑥⁡, 𝑥 ≥ 0
−2⁡𝑥⁡, 𝑥 < 0
 
O gráfico de f(x), na Figura 1.56, mostra que f(x) será igual a -2 para 
qualquer valor de x < 0. 
lim
𝑥→0−
|2⁡𝑥|
𝑥
= lim
𝑥→0−
−⁡2⁡𝑥
𝑥
= −2 
 
Analogamente, o valor da função f(x) será 2 para qualquer valor de x > 0, 
e o limite pela direita será: 
lim
𝑥→0+
|2⁡𝑥|
𝑥
= lim
𝑥→0+
2⁡𝑥
𝑥
= 2 
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 Os valores dos limites unilaterais do exemplo 6 são diferentes. 
 Quando isso acontece, o limite de f(x), quando x tende a c, NÃO EXISTE. 
 Para que o limite de uma função exista, quando x tende a c, é preciso que os dois limites unilaterais 
existam e sejam iguais. 
 
Logo, se f(x) é uma função e c e L são números reais, 
lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) = 𝐿 
se, e somente se, os limites pela esquerda e pela direita forem iguais a L. 
 
 
Determine os seguintes limites: 
(a) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2−
|𝑥 − 2|
𝑥 − 2
 (b) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2+
|𝑥 − 2|
𝑥 − 2
 
 
 
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Exemplo 7 
Determine o limite de f(x), quando x tende a 1, da seguinte função: 
𝑓(𝑥) = {
4 − 𝑥, 𝑥 < 1
4𝑥 − 𝑥2, 𝑥 > 1
 
Solução 
Os limites unilaterais são: 
 
lim
𝑥→1−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→1−
(4 − 𝑥) = 3 
 
lim
𝑥→1+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→1+
(4⁡𝑥 − 𝑥2) = 3 
 
Como os dois limites unilaterais existem e são iguais a 3, temos: 
lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) = 3 
O gráfico da Figura 1.57 confirma este resultado. 
 
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2.2 - Determinando Limites Analiticamente 
Técnicas para Calcular Limites 
 A técnica da substituição direta, para o cálculo do limite, em muitos tipos de funções, pode não ser 
suficiente para este cálculo em decorrência de alguma restrição algébrica da função. 
 Muitas técnicas foram desenvolvidas e se baseiam no Teorema da Substituição de funções. 
 
Teorema da Substituição de Funções 
 Seja c um número real e sejam f(x) e g(x) duas funções tais que f(x) = g(x) para qualquer valor de 
𝑥 ≠ 𝑐. Nesse caso, se o limite de g(x) quando x tende a c existe, o limite de f(x) também existe e teremos 
a seguinte condição: 
lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→𝑐
𝑔(𝑥) 
 
 Para aplicarmos o Teorema da Substituição de Funções, em funções polinomiais, podemos utilizar 
um resultado da álgebra segundo o qual se p(c) = 0, então (x – c) é um dos fatores de p(x). 
 Se necessário, poderemos simplificar fatores iguais da expressão original para podermos usar a 
técnica da substituição direta para o cálculo do limite. 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 99 
Fatoração de Polinômios de Grau Maior que Dois 
 Conhecido um dos zeros do polinômio, podemos utilizar esse zero para reduzir o grau do polinômio. 
 Assim, por exemplo, se sabemos que (𝑥 = 2) é um dos zeros do polinômio 𝑥3 − 4⁡𝑥2 + 5⁡𝑥 − 2, 
então (𝑥 − 2) é um dos fatores do polinômio e podemos utilizar o método da divisão direta para fatorá-
lo. 
𝑥3 − 4⁡𝑥2 + 5⁡𝑥 − 2 = (𝑥 − 2)⁡(𝑥2 − 2⁡𝑥 + 1)
= (𝑥 − 2)(𝑥 − 1)(𝑥 − 1)
 
 Como alternativa para a divisão direta, pode ser utilizada a divisão sintética para reduzir o grau de 
um polinômio. 
 
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 Executando a divisão sintética do polinômio 𝑥3 − 4⁡𝑥2 + 5⁡𝑥 − 2, sabendo que (𝑥 = 2) é um zero, 
obtemos o seguinte resultado: 
 
 
 Ao utilizar a divisão sintética, não se esqueça de levar em conta todos os coeficientes, mesmo que 
alguns sejam nulos. 
 Por exemplo, se você sabe que (𝑥 = −2) é um zero de 𝑥3 + 3⁡𝑥 + 14, então a divisão sintética 
assume a seguinte forma: 
 
 
 Observe também que a divisão sintética funciona apenas para divisores da forma (𝑥 − 𝑎). 
Entretanto, lembre-se que (𝑥 + 𝑎) = (𝑥 − (−𝑎)). 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 101 
Exemplo 1 - Técnica da Substituição de Funções. 
Determine lim
𝑥→1
𝑥3−1
𝑥−1
. 
Solução 
Observe que o numerador e o denominador se anulam para x = 1. 
Portanto, a técnica da substituição direta falha e não conseguimos determinar o limite. 
Por outro lado, isso significa que (x – 1) é um fator de ambos os polinômios. 
Logo, este fator pode ser cancelado para qualquer valor de 𝑥 ≠ 1. 
 
𝑥3 − 1
𝑥 − 1
=
(𝑥 − 1)(𝑥2 + 𝑥 + 1)
(𝑥 − 1)
 Fatore o numerador 
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡=
(𝑥 − 1)(𝑥2 + 𝑥 + 1)
(𝑥 − 1)
 
Cancele o fator comum 
(Técnica do Cancelamento) 
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡= 𝑥2 + 𝑥 + 1⁡⁡,⁡⁡⁡𝑥 ≠ 1 Função simplificada 
 
 Assim, a função racional 
𝑥3−1
𝑥−1
 e a função polinomial 𝑥2 + 𝑥 + 1 coincidem em todos os pontos a 
não ser no ponto x = 1, e podemos aplicar o Teorema da Substituição de funções no cálculo do limite: 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 102 
 
lim
𝑥→1
𝑥3 − 1
𝑥 − 1
≡ ⁡ lim
𝑥→1
𝑥2 + 𝑥 + 1 = 12 + 1 + 1 = 3A função original não permitiu o cálculo do limite pela aplicação da 
substituição direta sendo possível fazê-lo, porém, na função simplificada. 
 A Figura 1.54 ilustra graficamente esse resultado. 
 
 Observe que os dois gráficos são idênticos, exceto pelo fato de que o gráfico 
de g(x) contém o ponto (1 , 3), enquanto esse ponto está faltando no gráfico 
de f(x) (círculo vazado). 
 
Exercício: 
Determine⁡ lim
𝑥→2
𝑥3 − 8
𝑥 − 2
 
 
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Exemplo 2 
Determine⁡ lim
𝑥→−3
𝑥2 + 𝑥 − 6
𝑥 + 3
 
Solução 
 O método da substituição direta não funciona por que o numerador e o denominador se anulam em x = -3. 
 O fato dos polinômios do numerador e do denominador se anularem em x = -3 
significa que eles possuem um fator comum, x + 3. 
Assim, para qualquer valor de 𝑥 ≠ −3, podemos cancelar esse fator, obtendo: 
lim
𝑥→−3
𝑥2 + 𝑥 − 6
𝑥 + 3
= 
Escrever limite original 
Fatorar numerador. 
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡= lim
𝑥→−3
(𝑥 − 2)(𝑥 + 3)
(𝑥 + 3)
 Cancele o valor comum 
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡= lim
𝑥→−3
(𝑥 − 2) Substituição direta 
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡= −5 Solução completa 
 
 Esse resultado está expresso graficamente na Figura 1.55. Observe que o gráfico de f(x) coincide 
com o gráfico de g(x) = x – 2, exceto no ponto (-3 , -5), que não existe no gráfico de f(x). 
Exercício:⁡⁡Determine⁡ lim
𝑥→3
𝑥2 + 𝑥 − 12
𝑥 − 3
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 104 
Técnicas de Racionalização. 
 Quando se trabalha com quocientes que envolvem radicais, às vezes é conveniente transportar a 
expressão radical do denominador para o numerador, ou vice-versa. 
 Por exemplo: para transportar o radical do denominador para o numerador da expressão abaixo, basta 
multiplicar a expressão por √2
√2
⁄ (Elemento neutro da multiplicação). 
 
 
 
 Esse processo é conhecido como racionalizar o denominador. 
 Um processo semelhante pode ser utilizado para racionalizar o numerador. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 105 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 106 
Exemplo 3 - Técnica da Racionalização 
 
Determine⁡⁡ lim
𝑥→0
√𝑥 + 1 − 1
𝑥
 
Solução 
O método da substituição direta não funciona porque o numerador e o denominador se anulam para x = 0. 
Nesse caso, podemos escrever a fração de outra forma, racionalizando o numerador. 
√𝑥 + 1 − 1
𝑥
= (
√𝑥 + 1 − 1
𝑥
)⁡(
√𝑥 + 1 + 1
√𝑥 + 1 + 1
) Fatorar numerador. 
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡= ⁡
(𝑥 + 1) − 1
𝑥⁡(√𝑥 + 1 + 1)
 Simplificar 
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡= ⁡
𝑥
𝑥(√𝑥 + 1 + 1)
=
1
√𝑥 + 1 + 1
,⁡⁡⁡⁡𝑥 ≠ 0 Fatoração completa 
 
Calculando o limite usando o Teorema da Substituição de funções: 
lim
𝑥→0
√𝑥 + 1 − 1
𝑥
≡ lim
𝑥→0
1
√𝑥 + 1 + 1
=
1
1 + 1
=
1
2
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 107 
Teorema do Sanduiche 
 Seja o problema de determinar o limite de uma função que está entre duas outras, cada uma das quais 
tendo o mesmo limite em um dado valor de x, como insinuado na Figura abaixo à esquerda. 
 
Teorema: 
 
 
 Uma aplicação do Teorema do Sanduiche se encontra na solução do Teorema 1.9, mostrado a seguir, 
relativo aos casos especiais de dois limites trigonométricos. 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 108 
 
 
Prova do limite: lim
𝜃→0
𝑠𝑒𝑛⁡𝜃
𝜃
= 1 
 Para evitar confusão entre duas utilizações de x (eixo e ângulo), identificaremos o ângulo pela 
variável 𝜃. Assim, 𝜃 é um ângulo agudo positivo medido em radianos. 
 A Figura abaixo mostra um setor circular entre dois triângulos. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 109 
 A Figura abaixo salienta a área do setor e dos dois triângulos. 
 
 Multiplicando cada expressão, na figura acima por 
2
𝑠𝑒𝑛⁡𝜃
 , teremos: 
1
cos 𝜃
≥
𝜃
𝑠𝑒𝑛⁡𝜃
≥ 1 
 Considerando as inequações recíprocas e inversas temos: 
cos 𝜃 ≤
𝑠𝑒𝑛⁡𝜃
𝜃
≤ 1 
 Lembrando que [cos 𝜃 = cos(−𝜃)] e ainda que {
(𝑠𝑒𝑛⁡𝜃)
𝜃
=
[𝑠𝑒𝑛(−𝜃)]
(−𝜃)
}, concluímos que a inequação é 
válida para todos os valores de 𝜃 no intervalo aberto (−
𝜋
2
⁡ ,
𝜋
2
). 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 110 
 Então, ao aplicarmos o limite nos três membros da inequação anterior teremos: 
lim
𝜃→0
cos 𝜃 ≤ lim
𝜃→0
𝑠𝑒𝑛⁡𝜃
𝜃
≤ lim
𝜃→0
1 
1 ≤ lim
𝜃→0
𝑠𝑒𝑛⁡𝜃
𝜃
≤ 1 
 
Considerando o estabelecido no Teorema do Sanduiche, concluímos que lim
𝜃→0
𝑠𝑒𝑛⁡𝜃
𝜃
= 1. 
 
 
Prova do limite lim
𝑥→0
1−𝑐𝑜𝑠⁡(𝑥)
𝑥
= 0 
 
 Utilizar raciocínio similar, utilizando a técnica de substituição de funções, para provar que: 
lim
𝑥→0
1 − 𝑐𝑜𝑠⁡(𝑥)
𝑥
= 0 
Dica: multiplicar e dividir a expressão original por 1 + cos⁡(𝑥) 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 111 
Expressões Indeterminadas 
 Expressões do tipo (
0
0
) , (∞ ∞⁄ ) , (∞ − ∞) , (0 × ∞) , (0
0) , (∞0) (1∞) são consideradas 
indeterminadas. 
 Existem formas similares que podemos reconhecer como "determinadas" tais como: 
(∞ + ∞) → ∞ 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒⁡é⁡𝑜⁡𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜⁡𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜
(−∞ − ∞) → −∞ 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒⁡é⁡𝑜⁡𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜⁡𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜
(0∞) → 0 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒⁡é⁡𝑧𝑒𝑟𝑜
(0−∞) → ∞ 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒⁡é⁡𝑜⁡𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜⁡𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜
 
 
 Em função das indeterminações, alguns cálculos analíticos de limites necessitam de artifícios 
algébricos para que suas soluções sejam encontradas. 
 
 Continuaremos a mostrar alguns artifícios úteis para a solução analítica desses tipos de limite por 
meio de exemplos. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 112 
Exemplo 4 
Encontre⁡o⁡limite:⁡ lim
𝑥→0
tan⁡(𝑥)
𝑥
. 
Solução: 
A técnica da substituição direta leva a uma indeterminação na forma 
0
0
. 
Para resolver este problema, teremos que escrever tan(𝑥) =
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
cos⁡(𝑥)
 para obtermos a explicitação de um 
limite trigonométrico especial: 
⁡lim
𝑥→0
tan⁡(𝑥)
𝑥
= lim
𝑥→0
(
sen⁡(𝑥)
𝑥
)⁡(
1
cos⁡(𝑥)
) 
Como 
lim
𝑥→0
(
sen⁡(𝑥)
𝑥
) = 1 𝑒 lim
𝑥→0
(
1
cos⁡(𝑥)
) = 1 
 
Então, utilizando propriedades de limites: 
lim
𝑥→0
tan⁡(𝑥)
𝑥
= lim
𝑥→0
(
sen⁡(𝑥)
𝑥
)⁡ lim
𝑥→0
⁡(
1
cos⁡(𝑥)
) = (1)(1) = 1 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 113 
Exemplo 5 
Encontre⁡o⁡limite:⁡⁡ lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛⁡(4⁡𝑥)
𝑥
. 
Solução 
 A substituição direta leva à indeterminação 
0
0
. 
Reescrevendo o limite como limite especial: 
lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛⁡(4⁡𝑥)
𝑥
= 4⁡ (lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛⁡(4⁡𝑥)
4⁡𝑥
) 
Considerando 𝑦 = 4𝑥 e observando que: 
quando 𝑥 → 0 , o valor 𝑦 → 0, então: 
lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛⁡(4⁡𝑥)
𝑥
= 4⁡ (lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛⁡(4⁡𝑥)
4⁡𝑥
) = 4⁡ (lim
𝑦→0
𝑠𝑒𝑛⁡(𝑦)
𝑦
) 
 
lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛⁡(4⁡𝑥)
𝑥
≡ 4⁡ (lim
𝑦→0
𝑠𝑒𝑛⁡(𝑦)
𝑦
) = 4⁡(1) = 4 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 114 
Exemplo 6 
Determinar lim
𝑥→−2
𝑥3−3⁡𝑥+2
𝑥2⁡−⁡4
⁡ 
 A substituição direta leva à indeterminação 
0
0
. 
 Fatora-se o numerador e o denominador fazendo-se, a seguir, as simplificações possíveis. 
 Teremos: 
lim
𝑥→−2
𝑥3 − 3𝑥 + 2
𝑥2 − 4
= 
 
Escrever limite original 
Fatorar numerador e denominador. 
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡= lim
𝑥→−2
(𝑥 + 2)(𝑥2 − 2⁡𝑥 +1)
(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)
 Cancelar o fator comum 
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡= lim
𝑥→−2
(𝑥2 − 2⁡𝑥 + 1)
(𝑥 − 2)
 Fazer substituição direta 
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡= −
9
4
 Solução completa 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 115 
Exemplo 7 
Determinar⁡ lim
𝑥→0
√𝑥 + 2 − √2
𝑥
. 
 A substituição direta leva à indeterminação 
0
0
. 
 É utilizado o artifício da racionalização do numerador da função. Então, 
 
lim
𝑥→0
√𝑥 + 2 − √2
𝑥
= 
 
Escrever limite original 
 
Racionalizar o numerador. 
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡= lim
𝑥→0
[
(√𝑥 + 2 − √2)
(𝑥)
⁡
(√𝑥 + 2 + √2)
(√𝑥 + 2 + √2)
] Substituir o produto especial 
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡= lim
𝑥→−0
(√𝑥 + 2)
2
− (√2)
2
𝑥⁡(√𝑥 + 2 + √2)
 Simplificar 
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡= lim
𝑥→0
1
(√𝑥 + 2 + √2)
 Substituição direta 
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡=
1
2√2
 Solução final 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 116 
Exemplo 8 
Determinar⁡ lim
𝑥→1
√𝑥
3
− 1
√𝑥 − 1
. 
 A substituição direta leva à indeterminação 
0
0
. 
 A solução, nesse caso, é obtida por troca de variáveis: 
𝑥 = 𝑡6⁡⁡, 𝑡 ≥ 0 
Quando 𝑥 → 1, temos que 𝑡6 → 1 e ainda 𝑡 → 1 , portanto: 
 
lim
𝑥→1
√𝑥
3
− 1
√𝑥 − 1
⁡⁡= ⁡⁡ lim
𝑡→1
√𝑡6
3
− 1
√𝑡6 − 1
 
Escrever limite original 
Trocar variáveis. 
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡= lim
𝑡→1
𝑡2 − 1
𝑡3 − 1
 Fatorar numerador e denominador 
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡= lim
𝑡→1
(𝑡 − 1)(𝑡 + 1)
(𝑡 − 1)(𝑡2 + 𝑡 + 1)
 Cancelar termo comum 
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡= lim
𝑡→1
(𝑡 + 1)
(𝑡2 + 𝑡 + 1)
 Substituição direta 
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡=
2
3
 Solução final 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 117 
Exemplo 9 
Determinar⁡ lim
ℎ→0
(𝑥 + ℎ)2 − 𝑥2
ℎ
. 
A substituição direta leva à indeterminação 
0
0
. 
Desenvolve-se o numerador para posteriores simplificações: 
 
lim
ℎ→0
(𝑥 + ℎ)2 − 𝑥2
ℎ
=⁡ 
Escrever limite original 
 
Desenvolver numerador. 
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡= lim
ℎ→0
𝑥2 + 2⁡𝑥⁡ℎ +⁡ℎ2 − 𝑥2
ℎ
= Simplificar 
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡= lim
ℎ→0
2⁡𝑥⁡ℎ +⁡ℎ2
ℎ
= Simplificar 
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡= lim
ℎ→0
2⁡𝑥 + ℎ = Substituição direta 
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡= 2⁡𝑥 Solução final 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 118 
2.3 - Limites Infinitos 
Limites no Infinito 
Definição 1 
Seja f(x) uma função definida em um intervalo aberto (𝑎⁡, +∞). 
Escrevemos, 
lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = 𝐿 
quando o número L satisfaz à seguinte condição: 
 
Para qualquer 𝜀 > 0, existe M > 0 tal que: 
|𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜖 sempre que x > M. 
 
 
Definição 2 
Seja f(x) uma função definida em um intervalo aberto (−∞⁡, 𝑏). Escrevemos, 
lim
𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = 𝐿 
quando o número L satisfaz à seguinte condição: 
Para qualquer 𝜀 > 0, existe N < 0 tal que |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜖 sempre que x < N. 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 119 
Teorema de Limites no Infinito: 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 120 
Exemplo 1 - Análise comparativa entre três funções polinomiais racionais: 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 121 
Conclusões úteis para o cálculo analítico de limites de funções racionais, com polinômios, no infinito: 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 122 
Exemplo 2 
Determinar lim
𝑥→+∞
2⁡𝑥−5
𝑥+8
: 
 
 A substituição direta leva à indeterminação 
∞
∞
. 
lim
𝑥→+∞
2⁡𝑥 − 5
𝑥 + 8
⁡⁡⁡⁡=⁡ 
 
 
Escrever limite original 
 
Dividir numerador e denominador por x. 
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡= ⁡ lim
𝑥→+∞
2 −
5
𝑥
1 +
8
𝑥
⁡⁡⁡⁡= 2 
Substituição direta 
Solução final 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 123 
Exemplo 3 
Determinar: lim
𝑥→−∞
2𝑥3−3𝑥+5
4𝑥5−2
. 
 
 A substituição direta leva à indeterminação (
∞−∞
−∞
). 
lim
𝑥→−∞
2𝑥3 − 3𝑥 + 5
4𝑥5 − 2
⁡⁡⁡=⁡ 
Escrever limite original 
Dividir numerador e denominador 
pela maior potência de x. 
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡= lim
𝑥→−∞
2
𝑥2
−
3
𝑥4
+
5
𝑥5
4 −
2
𝑥5
 Substituição direta 
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡=
0
4
= 0 Solução final 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 124 
Exemplo 4 
Determinar⁡⁡ lim
𝑥→+∞
2𝑥 + 5
√2𝑥2 − 5
 
 
lim
𝑥→+∞
2⁡𝑥 + 5
√2⁡𝑥2 − 5
⁡⁡⁡=⁡ 
Escrever limite original 
Dividir numerador e denominador por x. 
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡= lim
𝑥→+∞
2 +
5
𝑥
√2𝑥2 − 5
√𝑥2
⁄
 Simplificar 
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡=
lim
𝑥→+∞
2 +
5
𝑥
lim
𝑥→+∞
√2𝑥
2 − 5
𝑥2
=⁡
2
√2
⁡⁡= √2 
Simplificar 
Substituição direta 
Solução final 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 125 
Exemplo 5 
Determinar lim
𝑥→−∞
2𝑥+5
√2𝑥2−5
 : 
 
O raciocínio é idêntico ao exemplo anterior. Deve-se observar apenas a divisão por x no denominador 
que deve ser −√𝑥2 uma vez que x é um número negativo. 
lim
𝑥→−∞
2⁡𝑥 + 5
√2⁡𝑥2 − 5
⁡⁡⁡=⁡ 
Escrever limite original 
Dividir numerador e 
denominador por x. 
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡= lim
𝑥→−∞
2 +
5
𝑥
√2𝑥2 − 5
(−√𝑥2)
⁄
 Simplificar 
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡=
lim
𝑥→−∞
2 +
5
𝑥
lim
𝑥→−∞
−√
2𝑥2 − 5
𝑥2
=⁡−
2
√2
= −√2 
Simplificar 
Substituição direta 
Solução final 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 126 
Exemplo 6 
Limites envolvendo funções trigonométricas no infinito: 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 127 
 Vejamos outro caso da não existência de um limite. 
 Considere que a função aumenta ou diminui indefinidamente quando x tende a c. 
 
Limites Infinitos 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 128 
 Entenda que a igualdade lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) = ∞ não estabelece a existência do limite! 
 Pelo contrário, a expressão fortalece a ideia da não existência do limite (𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙⁡𝑎𝑜⁡∞) uma vez que 
explicita o crescimento indefinido de 𝑓(𝑥) quando 𝑥 → 𝑐. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 129 
Exemplo 7 
Determine: lim
𝑥→2
⁡⁡
3
𝑥−2
 
Solução 
Como mostra a Figura 1.59, a função f(x) diminui 
indefinidamente, quando x tende a 2 pela esquerda, e aumenta 
indefinidamente quando x tende a 2 pela direita. 
Analiticamente, podemos escrever que: 
lim
𝑥→2−
3
𝑥 − 2
= −∞ 
e 
lim
𝑥→2+
3
𝑥 − 2
= +∞ 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 130 
Exemplo 8 
Determine o limite de cada função mostrada na Figura 1.41 quando 𝑥 → 1 pela esquerda e pela direita. 
 
a) Quando 𝑥 → 1 pela esquerda ou pela direita, (𝑥 − 1)2 é um número positivo muito pequeno. 
Então, a razão 1 (𝑥 − 1)2⁄ é um número positivo muito grande e f(x) se aproxima do infinito por ambos 
os lados. Concluímos que lim
𝑥→1−
⁡⁡
1
(𝑥−1)2
= ∞ e lim
𝑥→1+
⁡⁡
1
(𝑥−1)2
= ∞, como sugerido na Figura 1.41(a). 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 131 
b) Quando 𝑥 → 1 pela esquerda, (𝑥 − 1) é um número negativomuito pequeno. 
Então, a razão −1 (𝑥 − 1)⁄ é um número positivo muito grande e f(x) se aproxima do infinito positivo 
pela esquerda. 
Concluímos que lim
𝑥→1−
⁡⁡
−1
(𝑥−1)
= ∞, como sugerido na Figura 1.41(b). 
 
 
Quando 𝑥 → 1 pela direita, (𝑥 − 1) é um número positivo muito pequeno. 
Então, a razão −1 (𝑥 − 1)⁄ é um número negativo muito pequeno e f(x) se aproxima do infinito negativo 
pela direita de 𝑥 = 1. 
 
Concluímos que lim
𝑥→1+
⁡⁡
−1
(𝑥−1)
= −∞, como sugerido na Figura 1.41(b). 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 132 
Limites Infinitos no Infinito 
 Muitas funções não tendem a um limite finito quando x aumenta (ou diminui) indefinidamente. 
 Por exemplo, nenhuma função polinomial apresenta um limite finito no infinito. 
 As definições abaixo são utilizadas para descreverem a tendência infinita de funções no infinito: 
 
 Definições similares podem ser dadas para as expressões: 
lim
𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = ∞ ⁡⁡⁡⁡⁡𝑒⁡⁡⁡⁡ lim
𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = −⁡∞ 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 133 
Exemplo 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O gráfico de f(x) mostrado na Figura 3.42 ilustra este resultado. 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 134 
Exemplo 10 
 
 As expressões acima podem ser interpretadas dizendo que: 
Quando 𝑥 → ±∞, 
a função f(x) dada se comporta como a função 𝑔(𝑥) = 2⁡𝑥 − 6. 
 
 Esta tendência está ilustrada, graficamente, na Figura 3.43. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 135 
Limites envolvendo a base dos Logaritmos Naturais 
Seja o teorema dado abaixo: 
 
 
Para demonstrar esse Teorema, partiremos da seguinte expressão de limite: 
lim
𝑥→0
𝑎𝑥 − 1
𝑥
= ln 𝑎 
 
 Este tipo de limite se aplica às expressões que se apresentam como: 
"uma exponencial menos um sobre o expoente quando o expoente tende para zero". 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 136 
Passo 1 - Fazendo uma mudança de variável: 
Considerando 𝑎 > 0 e 𝑦 = 𝑎𝑥 − 1, iremos expressar 𝑓(𝑥) =
𝑎𝑥−1
𝑥
 como função de y, ou seja, 𝑔(𝑦). 
 Quando 𝑥 → 0 , implica que 𝑦 → 0. 
Logo, para determinarmos x: 
𝑎𝑥 = 𝑦 + 1 
Aplicamos a função logaritmo natural aos dois lados da expressão acima, obtemos: 
ln 𝑎𝑥 = ln(𝑦 + 1) 
𝑥⁡ ln 𝑎 = ln(𝑦 + 1) 
𝑥⁡ =
ln(𝑦 + 1)
ln 𝑎
 
Portanto, a expressão: 
𝑎𝑥 − 1
𝑥
⁡≡ ⁡
𝑦
ln(𝑦 + 1)
ln 𝑎
⁡⁡= ⁡⁡
𝑦⁡ ln 𝑎
ln(𝑦 + 1)
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 137 
Dividindo por y a expressão anterior, teremos: 
𝑎𝑥 − 1
𝑥
⁡⁡≡ ⁡⁡
ln 𝑎
ln(𝑦 + 1)
𝑦
⁡⁡= ⁡⁡
ln 𝑎
1
𝑦⁡ln
(𝑦 + 1)
⁡⁡= ⁡⁡
ln 𝑎
⁡ln(𝑦 + 1)
1
𝑦
 
Analisando, numericamente, a tendência da expressão (𝑦 + 1)
1
𝑦 quando 𝑦 → 0, teremos a tabela abaixo: 
 
y -0,2 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 0,0001 0,001 0,01 0,1 0,2 
(𝑦 + 1)
1
𝑦⁄ 3,051758 2,867972 2,731999 2,719642 2,718418 2,718146 2,716924 2,704814 2,593742 2,488320 
 
 
então, a partir desta tabela, podemos concluir: 
lim
𝑦→0
(𝑦 + 1)
1
𝑦 ⁡⁡= ⁡⁡𝑒 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 138 
Portanto, 
lim
𝑥→0
𝑎𝑥 − 1
𝑥
⁡⁡⁡⁡≡ ⁡⁡ lim
𝑦→0
⁡(
ln 𝑎
⁡ln(𝑦 + 1)
1
𝑦
) ⁡= ⁡⁡ lim
𝑦→0
(
ln 𝑎
ln 𝑒
) = ln 𝑎 
 
Generalizando o resultado obtido acima, podemos escrever: 
lim
𝑥→0
𝑎𝑘𝑥 − 1
𝑥
⁡⁡⁡≡ ⁡⁡⁡ lim
𝑦→0
ln 𝑎𝑘
ln 𝑒
= 𝑘⁡ ln 𝑎 
 
Quando o valor de a for a base dos logaritmos naturais teremos: 
 
lim
𝑥→0
𝑎𝑥 − 1
𝑥
⁡⁡= ⁡⁡ lim
𝑥→0
𝑒𝑥 − 1
𝑥
⁡⁡⁡≡ ⁡ lim
𝑦→0
ln 𝑒
ln 𝑒
⁡= ⁡1⁡⁡; ⁡⁡ou, generalizando: 
 
lim
𝑥→0
𝑎𝑘𝑥 − 1
𝑥
⁡⁡= ⁡ lim
𝑥→0
𝑒𝑘𝑥 − 1
𝑥
⁡⁡⁡≡ ⁡⁡⁡ lim
𝑦→0
ln 𝑒𝑘
ln 𝑒
= 𝑘 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 139 
Passo 2 – Finalmente, fazendo mais uma mudança de variáveis: 
 A partir do resultado numérico e fazendo mais uma mudança de variáveis para a expressão abaixo: 
Quando 𝑦 → 0, temos que (𝑦 + 1)
1
𝑦 = 𝑒 
Se, 𝑦 =
1
ℎ
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⟹ ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡ℎ =
1
𝑦
 
𝐸𝑛𝑡ã𝑜, (𝑦 + 1)
1
𝑦 ⁡⁡≡ ⁡⁡ (
1
ℎ
+ 1)
ℎ
⁡⁡⟹⁡⁡ lim
ℎ→∞
(
1 + ℎ
ℎ
)
ℎ
= 𝑒 
Quando 𝑦 → 0 temos que ℎ → ∞ , 
Logo: 
lim
ℎ→∞
(1 +
1
ℎ
)
ℎ
= lim
ℎ→∞
(
ℎ + 1
ℎ
)
ℎ
= 𝑒 
que são as expressões mostradas no Teorema 5.15. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 140 
Exemplo 11 
Determine⁡o⁡limite⁡da⁡função⁡abaixo⁡na⁡condição:⁡ lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) 
𝑓(𝑥) =
(𝑥 − 1)⁡(5
𝑥−1
2 − 1)
𝑠𝑒𝑛⁡3(𝑥 − 1)⁡𝑠𝑒𝑛⁡2(𝑥 − 1)
 
- Fazendo substituição direta: 
lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→1
(𝑥 − 1) (5
𝑥−1
2 − 1)
𝑠𝑒𝑛⁡3(𝑥 − 1)⁡𝑠𝑒𝑛⁡2(𝑥 − 1)
= lim
𝑥→1
(1 − 1)⁡(50 − 1)
[𝑠𝑒𝑛⁡3(0)⁡𝑠𝑒𝑛⁡2(0)]
=
0
0
 
 
- Utilizando substituição de funções e mudança de variável. 
lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→1
(𝑥 − 1) (5
𝑥−1
2 − 1)
𝑠𝑒𝑛⁡3(𝑥 − 1)⁡𝑠𝑒𝑛⁡2(𝑥 − 1)
 
 
Chamando (𝑥 − 1) = 𝑦 , então, se 𝑥 → 1⁡⁡⁡ ⟹ ⁡⁡⁡𝑦 → 0. 
lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) ≡ lim
𝑦→0
𝑔(𝑦) 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 141 
Lembrando os limites especiais: 
lim
𝑥→0
𝑎𝑘⁡𝑥 − 1
𝑥
= k⁡ln 𝑎⁡⁡⁡⁡⁡⁡e⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡ lim
𝜃→0
𝑠𝑒𝑛⁡𝜃
𝜃
= 1 
lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) ≡ lim
𝑦→0
𝑔(𝑦) = lim
𝑦→0
(𝑦) (5
𝑦
2 − 1)
𝑠𝑒𝑛⁡3(𝑦)⁡𝑠𝑒𝑛⁡2(𝑦)
⁡(
÷ 𝑦2
÷ 𝑦2
⁡e⁡constantes⁡dos⁡limites⁡especiais) 
Adaptando cada limite, numerador e denominador, aos seus argumentos: 
lim
𝑦→0
𝑔(𝑦) = lim
𝑦→0
[
 
 
 
 5
𝑦
2 − 1
𝑦
⁡
6⁡𝑠𝑒𝑛⁡3(𝑦)
3(𝑦)
⁡
𝑠𝑒𝑛⁡2(𝑦)
2(𝑦) ]
 
 
 
 
≡
lim
𝑦→0
𝑔(𝑦)
6⁡ lim
𝑤→0
𝑔(𝑤)⁡⁡⁡ lim
𝑡→0
𝑔(𝑡)
= ⁡
lim
𝑦→0
[
5
𝑦
2 − 1
𝑦 ]
6⁡ lim
𝑤→0
[
𝑠𝑒𝑛⁡𝑤
𝑤 ]⁡⁡⁡ lim𝑡→0
[
𝑠𝑒𝑛⁡𝑡
𝑡 ]
 
lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) =
1
2⁡ln
(5)
6⁡(1)⁡(1)
 
lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) =
1
12
⁡ln(5) 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 142 
Assíntotas 
Verticais 
 Se 𝑓(𝑥) aproxima de mais infinito (ou menos infinito) quando x se aproxima de c pela direita ou 
pela esquerda, então a reta 𝑥 = 𝑐 é uma assíntota vertical do gráfico de 𝑓(𝑥). 
 
 Esta é uma aplicação de limites infinitos em funções racionais. 
 Ao considerar a função 𝑓(𝑥) =
3
𝑥−2
 e analisando os limites 
laterais na coordenada x, onde o denominador se anula, podemos 
verificar, graficamente, a definição de assíntota vertical. 
 A Figura ao lado ilustra esta situação para os limites laterais 
quando 𝑥 → 2. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 143 
Horizontais 
 Se 𝑓(𝑥) é uma função, os limites no infinito são definidos pelas equações: 
lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥) = 𝐿1 𝑒 lim
𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = 𝐿2 
onde 𝐿1 e 𝐿2 são números reais. 
 
As retas 𝑦 = 𝐿1 e 𝑦 = 𝐿2 são assíntotas horizontais do gráfico de 𝑓(𝑥). 
 
 Esta é uma aplicação de limites no infinito em funções racionais. 
 
Podemos observar, na figura ao lado, que o gráfico pode cruzar com a reta que 
define a assíntota. 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 144 
Exemplo 12 - Encontre as assíntotas verticais das funções mostrados na Figura 1.43. 
 
a) Seja a função racional: 𝑓(𝑥) =
1
2⁡(𝑥+1)
 
Quando 𝑥 = −1, o denominador de 𝑓(𝑥) =
1
2⁡(𝑥+1)
 é zero e o numerador é 
diferente de zero. 
Logo, a função não é definida nesta coordenada. 
 
Os limites laterais de f(x) são: 
lim𝑥→−1+
1
2⁡(𝑥 + 1)
= +∞ 𝑒 lim
𝑥→−1−
1
2⁡(𝑥 + 1)
= −∞ 
 
Assim, concluímos que 𝑥 = −1 é uma assíntota vertical de f(x) (Figura 1.43(a)). 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 145 
b) Seja a função racional: 𝑓(𝑥) =
𝑥2+1
𝑥2−1
 
Fatorando o denominador teremos: 𝑓(𝑥) =
𝑥2+1
(𝑥−1)(𝑥+1)
 e concluímos que será nulo 
quando 𝑥 = −1 e quando 𝑥 = 1. 
Logo, a função não é definida nestes pontos. 
 
Os limites laterais de f(x) nestas duas coordenadas são: 
lim
𝑥→−1+
𝑥2 + 1
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
= −∞ 𝑒 lim
𝑥→−1−
𝑥2 + 1
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
= +∞ 
lim
𝑥→1+
𝑥2 + 1
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
= +∞ 𝑒 lim
𝑥→1−
𝑥2 + 1
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
= −∞ 
 
Assim, concluímos que 𝑥 = −1 e 𝑥 = 1 são assíntotas verticais de f(x) 
(Figura 1.43(b)). 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 146 
c) Seja a função racional: 𝑓(𝑥) = cot(𝑥) =
cos⁡(𝑥)
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
 
Quando 𝑥 assume valores de tal modo que o 𝑠𝑒𝑛(𝑥) seja nulo e o cos⁡(𝑥) diferente 
de zero, então teremos assíntotas verticais. 
 
Neste caso, por se tratar de funções periódicas, representaremos os vários valores 
de x, que tornam 𝑠𝑒𝑛(𝑥) = 0, pela série 𝑥 = 𝑛⁡𝜋, onde n é um número inteiro 
(Figura 1.43(c)). 
 
Os limites laterais genéricos de f(x) são: 
lim
𝑥→𝑛𝜋+
cos⁡(𝑥)
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
= +∞ 𝑒 lim
𝑥→𝑛𝜋−
cos⁡(𝑥)
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
= −∞ 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 147 
Exemplo 13 - Funções racionais com fatores comuns. 
Determine todas as assíntotas verticais do gráfico de 𝑓(𝑥) =
𝑥2+2⁡𝑥−8
𝑥2−4
. 
Solução 
O denominador de f(x) será nulo quando 𝑥 = ±2. 
Fazendo a substituição direta da restrição 𝑥 = +2 no numerador e denominador de f(x) encontramos a 
indeterminação 
0
0
. O monômio (𝑥 − 2) é um fator comum. 
Substituindo o valor 𝑥 = −2, somente o denominador será igual a zero. 
Então, podemos simplificar a expressão, como mostrado abaixo, obtendo: 
𝑓(𝑥) =
𝑥2 + 2⁡𝑥 − 8
𝑥2 − 4
=
(𝑥 + 4)⁡(𝑥 − 2)
(𝑥 + 2)⁡(𝑥 − 2)
𝑓(𝑥) ≡ 𝑔(𝑥) =
(𝑥 + 4)
(𝑥 + 2)
⁡⁡ , 𝑠𝑒⁡𝑥 ≠ 2
 
Para todos os valores de x, exceto em 𝑥 = 2, o gráfico de f(x) coincide com o gráfico de g(x). 
Logo, analisando g(x) concluímos que existe uma assíntota em 𝑥 = −2. 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 148 
Os limites laterais genéricos de g(x) são: 
lim
𝑥→−2+
(𝑥 + 4)
(𝑥 + 2)
= +∞ 𝑒 lim
𝑥→−2−
(𝑥 + 4)
(𝑥 + 2)
= −∞ 
 
A Figura 1.44 ilustra este resultado. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 149 
Exemplo 14 
Encontre o limite de lim
𝑥→∞
5 −
2
𝑥2
. 
Solução 
 
 
Podemos verificar o limite, por meio do gráfico de f(x). 
O gráfico está ilustrado na Figura ao lado. 
Observe que o gráfico tem 𝑦 = 5 como assíntota horizontal para a direita. 
Determinando o limite de f(x) quando 𝑥 → −∞ , podemos constatar que esta reta também é assíntota 
horizontal para a esquerda. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 150 
2.4 – Continuidade 
 Informalmente, ao dizermos que uma função f é contínua em 𝑥 = 𝑐 significa que não há interrupções 
no gráfico de f em c. 
 O gráfico não apresentará buracos, saltos ou lacunas em c. 
 A Figura 1.25 mostra três valores de x nos quais o gráfico de f não é contínuo. 
 Para todos os outros pontos no intervalo (𝑎⁡, 𝑏), o gráfico de f não está interrompido e é contínuo. 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 151 
 A partir da Figura 1.25 notamos que a continuidade do gráfico pode ser interrompida pelas seguintes 
condições formais: 
 
 Seja c um número no intervalo (a , b), e seja f(x) uma função cujo domínio contém o intervalo (a , b). 
A função f(x) é contínua no ponto c se as seguintes condições são satisfeitas: 
 1. f(c) existe 
 2. lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) ⁡𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 
 3. lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐). 
 Se f(x) é contínua em todos os pontos do intervalo (a , b), é contínua no intervalo aberto (a , b). 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 152 
 O gráfico na Figura 1.60 mostra três valores de x para os quais a função f(x) não é contínua. 
 1. O ponto x = c1, por que f(c1) não é definida. 
 2. O ponto x = c2, por que lim
𝑥→𝑐2
𝑓(𝑥) não existe. 
 3. O ponto x = c3, por que 𝑓(𝑐3) ≠ lim
𝑥→𝑐3
𝑓(𝑥). 
 Em todos os outros pontos de intervalo (a , b), o gráfico de f(x) 
não sofre nenhuma interrupção, o que significa ser contínua em todo 
o intervalo (a , b), com exceção dos pontos c1, c2 e c3. 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 153 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 154 
Exemplo 1 
Discuta a continuidade das funções dadas. 
 (a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2⁡𝑥 + 3 (b) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥 
Solução 
As duas funções são funções polinomiais. 
As duas funções não apresentam restrições quanto aos valores de x do domínio. 
Logo, elas são contínuas para qualquer valor de x, como mostra a Figura 1.62. 
 
 O gráfico de uma função polinomial é 
contínuo para qualquer valor de x e, portanto, 
não apresenta lacunas, saltos ou hiatos. 
 
 As funções racionais, por outro lado, 
como mostra o Exemplo 2, não precisam ser 
contínuas para todos os valores de x. 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 155 
Exemplo 2 
Discuta a continuidade das funções dadas. 
 (a) 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
 (b) 𝑓(𝑥) =
𝑥2−1
𝑥−1
 (c) 𝑓(𝑥) =
1
𝑥2+1
 
Solução 
 
Todas essas funções racionais são contínuas para todos os valores de x pertencentes ao domínio. 
(a) O domínio de 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
 é formado por todos os números reais, exceto x = 0. 
Assim, essa função é contínua nos intervalos (−∞⁡, 0)⁡𝑒⁡(0⁡, ∞). [Figura 1.63(a)] 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 156 
(b) O domínio de 𝑓(𝑥) =
𝑥2−1
𝑥−1
 é formado por todos os números reais, exceto x = 1. 
Assim, essa função é contínua nos intervalos (−∞⁡, 1)⁡𝑒⁡⁡(1⁡,∞). [Figura 1.63(b)] 
 
(c) O domínio de 𝑓(𝑥) =
1
𝑥2+1
 é o conjunto dos números reais. 
Assim, essa função é contínua no intervalo (−∞⁡,∞). [Figura 1.63(c)] 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 157 
 Considere um intervalo aberto I que contém um ponto c. 
 Se uma função f(x) existe no intervalo I, exceto possivelmente em c, e é descontínua em c, dizemos 
que f(x) possui uma descontinuidade em c. 
 As descontinuidades podem ser de dois tipos: removíveis e não removíveis. 
 Dizemos que uma descontinuidade no ponto c é removível se é possível tornar contínua a função 
f(x) mudando a definição de f(c). 
 Por exemplo, a função do Exemplo 2(b) possui uma descontinuidade removível no ponto (1 , 2), já 
que, para remover a descontinuidade, basta definir a função de tal forma que f(1) = 2. 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 158 
 Uma descontinuidade em x = c é não removível se não é possível tornar a função contínua em 
x = c mudando a definição de f(x) em x = c. 
 Por exemplo, a função do Exemplo 2(a) possui uma descontinuidade não removível no ponto x=0. 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 159 
2.5 – Exercícios 
 Resolver exercícios da lista e exercícios diversos das referências bibliográficas. 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 160 
REFERÊNCIAS 
 Conteúdo deste capítulo foi compilado de: 
 
LARSON, R. & EDWARDS, B.; Calculusof a Single Variable, 10 ed., Boston, MA - USA, Brooks/Cole Cengage 
Learning, 2014. 
 
LARSON, R., Brief Calculus An Applied Approach, 8 ed., Houghton Mifflin Company, Boston – New York, 2009. 
 
LARSON, R. & EDWARDS, B. ; com a assistência de FALVO, D. C., Cálculo com Aplicações, 6 ed., Rio de Janeiro 
– RJ, LTC, 2008. 
 
LEITHOLD, L; O Cálculo com Geometria Analítica, vol. 1, São Paulo – SP, Harbra Editora Harper & 
Row do Brasil Ltda, 1977.