Lista Exercicio Complementar Unids 3 e 4

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Lista Complementar – Unidades 3 e 4. 
 
1) Um reservatório tem 40 ft de comprimento, 20 ft de largura, 4 ft de profundidade na extremidade 
rasa e 9 ft de profundidade na extremidade funda (veja figura). Para encher a piscina, está sendo 
usada uma bomba que produz uma vazão de 10 ft3/min. 
Com que rapidez o nível da água está subindo quando o nível da água na extremidade funda é de 4 
ft? 𝑅: 1 64⁄ 
𝑚
𝑚𝑖𝑛⁄ 
(Desafio: qual seria a rapidez com que o nível da água sobe quando está, na extremidade funda, em 
6 ft?) 𝑅: 1 80⁄ 
𝑚
𝑚𝑖𝑛⁄ 
 
 
2) Uma agência de turismo está organizando um serviço de barcas, de uma ilha situada a 40 Km de 
uma costa quase reta, para uma cidade que dista 100 Km. Se a barca tem uma velocidade de 18 Km 
por hora, e os carros têm uma velocidade média de 50 Km, onde deverá estar situada a estação das 
barcas a fim de tornar a viagem a mais rápida possível? 𝑅: 15,43 𝐾𝑚 𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎 
 
 
3) Corta-se um pedaço de arame de 2 m de comprimento em duas partes. Uma parte será dobrada 
em forma de círculo e a outra em uma forma quadrada. 
Como deverá ser cortado o arame para que: (a) a soma das áreas das duas figuras seja tão pequena 
quanto possível e (b) a soma das áreas das duas figuras seja tão grande quanto possível. 
𝑅: (𝑎)𝑥 = 0,88 𝑚 ; 𝑦 = 1,12 𝑚 (𝑏) 𝑥 = 2 𝑚 ; 𝑦 = 0 𝑚 
 
4) (a) Encontre uma equação da reta tangente à curva 𝑦 =
(𝑥2−4)
2
(3 𝑥−5)2
 no ponto (1 ,
9
4
). 
(b) Uma partícula move-se ao longo de uma reta de acordo com a equação de movimento 𝑠 =
[
(𝑡2−1)
(𝑡2+1)
]
2
 com 𝑡 ≥ 0, onde s [m] é a distância orientada da partícula desde a origem em t [seg]. (b1) 
Qual é a velocidade instantânea da partícula em 1 [seg]? (b2) Qual é a velocidade média da partícula 
em 
3
2
 [seg] com referência em 𝑡 = 0 𝑠𝑒𝑔? 
𝑅: (𝑎) 𝑦 − 3,75 𝑥 + 1,5 = 0 (𝑏1) 0 𝑚 𝑠𝑒𝑔⁄ ; (𝑏2) − 0,5680 
𝑚
𝑠𝑒𝑔⁄ 
5) Uma viga de madeira tem uma seção reta de altura h e largura 
w (veja figura). A resistência S da viga é diretamente proporcional 
à largura e ao quadrado da altura. 
Quais são as dimensões da viga mais resistente que pode ser 
fabricada a partir de um tronco circular com 24 polegadas de 
diâmetro? 𝑅: 𝑤 = 8 √3 𝑝𝑜𝑙 ; ℎ = 8 √6 𝑝𝑜𝑙 
 
6) Um avião que se encontra a 6 mi de altura passa diretamente 
acima de uma antena de radar (veja a figura). Quando o avião está 
a 10 mi de distância (s = 10), o radar detecta que a distância s está 
variando à taxa de 240 mi / h. 
Qual é a velocidade do avião? 
𝑅: 300 𝑚𝑖 ℎ⁄ 
 
7) Uma lâmpada está localizada sobre o centro de uma mesa 
circular de diâmetro de 4 pés. 
Encontre a altura h , onde se encontra a Lâmpada, de modo que 
a iluminação I no perímetro da mesa seja máxima se 𝐼 =
𝑘 (𝑠𝑒𝑛 𝛼)
𝑠2
 
, onde s é a altura inclinada, 𝛼 é o ângulo no qual a luz incide 
sobre a quina da mesa e k é uma constante. 
𝑅: √2 𝑓𝑡 
 
8) Nos exercícios abaixo, calcule o limite, se existir. 
a) lim
𝑥→+∞
𝑠𝑒𝑛 
2
𝑥
1
𝑥
 
b) lim
𝑥→0+
𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑥 
𝑅: (𝑎) 2 ; (𝑏) 1 
 
9) Um tanque horizontal tem 16 m de comprimento e suas extremidades têm a forma de trapézios 
isósceles com 4 m de altura, base menor igual a 4 m e base maior igual a 6 m. A água está sendo 
despejada no tanque à razão de 10 m3/min. Com que velocidade aumenta o nível da água quando a 
água estiver a 2 m do fundo? 𝑅: 1 8⁄ 
𝑚
𝑚𝑖𝑛⁄ 
 
10 ) Você está em um barco a 2 mi do ponto mais próximo da costa e deseja ir até o ponto Q, 3 mi 
costa abaixo e 1 mi terra adentro (figura). Você pode remar a uma velocidade de 2 mi/h ou andar a 
uma velocidade de 4 mi/h. A qual ponto da costa você deve remar para chegar ao ponto Q no menor 
tempo possível? 𝑅: 𝑥 = 1 𝑚𝑖 (Talvez seja interessante ajuda gráfica ou uso de tabela) 
 
 
11) Um fazendeiro tem 200 metros de cerca para construir dois currais retangulares adjacentes (veja 
figura). Que dimensões devem ser usadas para que a área cercada seja máxima? 
𝑅: 𝑥 = 25 𝑚 ; 𝑦 = 100 3⁄ 𝑚 
 
 
12) Um tanque tem a forma de um cone invertido, tendo uma altura de 
16 m e raio da base de 4 m. O tanque se enche de água à razão de 2 m3/min. 
Com que velocidade sobe o nível da água, quando a água está a 4 m de 
profundidade? 
𝑅: 2 𝜋⁄ 
𝑚
𝑚𝑖𝑛⁄ 
 
 
13) Dois carros, um dirigindo-se para o leste à razão de 72 Km/h e 
o outro se dirigindo para o sul à razão de 54 Km/h estão viajando 
em direção à interseção de duas rodovias. A que razão os carros 
aproximam-se um do outro, no instante em que o primeiro estiver a 
400 m e o segundo estiver a 300 m da interseção? 𝑅: −90 𝐾𝑚 ℎ⁄ 
 
14) Um fabricante pode ter um lucro de R$ 20,00 em cada unidade se forem produzidas no máximo 
800 unidades. O lucro decresce 20 centavos por unidade que ultrapasse a 800. Quantas unidades 
devem ser fabricadas por semana para se obter o lucro máximo? 𝑅: 𝑥 = 800 𝑢𝑛𝑖𝑑 
15) A soma do comprimento com a cintura de um pacote a ser 
enviado pelo correio pode ser, no máximo, de 108 cm. 
Determine as dimensões do pacote para que o volume seja 
máximo. Suponha que as dimensões do pacote sejam x por x 
por y (veja a figura). 
𝑅: 𝑥 = 18 𝑐𝑚 ; 𝑦 = 36 𝑐𝑚 
 
16) Nos exercícios abaixo, calcule o limite, se existir. 
𝑎) lim
𝑡→0
𝑠𝑒𝑛2 𝑡
𝑠𝑒𝑛 𝑡2
 
𝑏) lim
𝑥→+∞
𝑥
1
𝑥⁄ 
𝑅: 𝑎) 1 ; 𝑏) 1 
 
17) Um barco é puxado por um guincho que se encontra em um ancoradouro, 12 pés acima do 
convés do barco (veja a figura). O guincho está puxando a corda à 
taxa de 4 pés por segundo. Determine a velocidade do barco no 
instante em que o comprimento da corda entre o guincho e o barco é 
de 13 pés. O que ocorre com a velocidade do barco quando ele se 
aproxima mais e mais do ancoradouro? 
𝑅: −10,4 
𝑓𝑡
𝑠⁄ ; 𝑡𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚𝑢𝑖𝑡𝑜 𝑎𝑙𝑡𝑜. 
 
18) Um reservatório tem 12 m de comprimento e seus extremos são da forma de um triângulo 
isósceles invertido, tendo 3 m de altura e 3 m de base. Enche-se o reservatório com água à razão de 
2 m3/min. Com que rapidez aumenta o nível de água quando está a 1 m de fundo? 
𝑅: 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
=
1
6
 𝑚 𝑚𝑖𝑛⁄ 
 
19) Um automóvel, que viaja à razão de 30 m/s, aproxima-se de um cruzamento. Quando o 
automóvel está a 120 m do cruzamento, um caminhão, que viaja a razão de 40 m/s, atravessa o 
cruzamento. O automóvel e o caminhão estão em rodovias que formam ângulos retos uma com a 
outra. Com que rapidez se separam, o automóvel e o caminhão, 2 s depois que o caminhão passou 
pelo cruzamento? 
𝑅: 14 𝑚 𝑠⁄ 
 
20) Uma lâmpada colocada em um poste está a 15 pés de 
altura. Um homem, de 6 pés de altura, caminha, afastando-
se da base do poste, à razão de 5 pés/s. Quando o homem 
estiver a 10 pés dessa base determine com que rapidez: 
a) está variando o comprimento de sua sombra? 
b) está movendo a extremidade direita de sua sombra? 
𝑅: 𝑎) 10 3⁄ 
𝑓𝑡
𝑠⁄ ; 𝑏)
25
3⁄ 
𝑓𝑡
𝑠⁄ 
 
21) Encontre as dimensões de um cilindro circular reto de maior volume possível que pode ser 
inscrito em um cone circular reto com raio de 5 cm e altura de 12 cm. 
𝑅: 𝑟𝑎𝑖𝑜 = 10 3⁄ 𝑐𝑚 ; 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 = 4 𝑐𝑚 
 
22) Nos exercícios abaixo, calcule o limite, se existir. 
𝑎) lim
𝑥→0
 ( 
1
𝑥2
 − 
1
𝑥2 sec 𝑥
) 
𝑏) lim
𝑥→+∞
𝑥
1
𝑥⁄ 
𝑅: 𝑎) 
1
2
𝑏) 1 
 
23) Um tanque horizontal tem 16 m de comprimento e suas extremidades têm a forma de trapézios 
isósceles com 4 m de altura, base menor igual a 4 m e base maior igual a 6 m. A água está sendo 
despejada no tanque à razão de 10 m3/min. Com que velocidadeaumenta o nível da água quando a 
água estiver a 2 m do fundo? 
R: [ 
𝑑 ℎ
𝑑 𝑡
=
1
8
 𝑚 𝑚𝑖𝑛⁄ ]