Exercicios Cinematica 2d vetores (MOVIMENTO 2D)

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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO 
FUNDAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DA GRANDE DOURADOS 
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA 
 
FÍSICA I - LISTA DE EXERCÍCIOS: MOVIMENTO 2D 
 
1. Usando vetores unitários, derive com relação a t 
a) 
   24 8 2r t i t j  
 
b) 
   2 3 24 2r t t i t t j   
 
c) 
   3 23v t i t j 
 
d) 
   2 3 5v t t i t j   
 
e) 
 315 5r t t j 
 
2. Observe a figura abaixo. Determine a distância “x” para que a esfera, ao ser 
liberada, atinja o alvo? 
 
3. Os vetores unitários i, j e k têm unidades? 
4. Uma saltadora faz um mergulho do alto de um morro (ver figura). Qual deve ser a 
velocidade mínima vx de tal forma que ela não atinja a base de 1,75m? 
 
5. Dentro de uma espaçonave em repouso em relação a Terra, uma esfera rola por cima 
de uma mesa horizontal até cair em direção ao chão. Ao final do movimento 
alcançou uma distância D em relação ao pé da mesa. Chegando ao planeta X, o 
capitão realiza o mesmo movimento com a mesma bola sobre a mesma mesa. Agora 
a distância em relação ao pé da mesa é de 2,76 D. Com base nessas informações, 
determine a aceleração da gravidade no planeta X. 
 
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6. Uma partícula que se move no plano xy tem componentes da velocidade 
6 2
dx
t
dt
 
e 
4
dy
t
dt
 
, onde x e y são medidos em metros e t em segundos. 
Determine: a) a velocidade da partícula em função dos vetores i e j; b) mostre que a 
aceleração da partícula é dada por 
2a i j 
 c) determine a intensidade da 
aceleração e a direção em relação à x. 
7. Considerando a figura abaixo, determine o valor para y (o quanto a esfera cai abaixo 
do ponto de lançamento). 
 
 
 
8. Se α é o ângulo de lançamento, R é o alcance total, h a altura máxima, e T o tempo 
de voo, mostre que (a) 
4h
tg
R
 
e (b) 2
8
gT
h 
 
 
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RESOLUÇÃO 
1. Aqui se trata de aplicar as regras de derivação para cada um dos membros da 
expressão a fim de obter o novo vetor (velocidade ou aceleração). 
2. Iniciamos com a expressão da posição em “y” para podermos encontrar o tempo de 
duração do movimento. 
 
  
21
2
2 21
2
100 0 9,1 / 4,52
15 / 4,52 67,8
o o y
x
y y v t a t
m m s t t s
x v t m s s m
  
     
   
3. Em Física, vetores são representações gráficas de grandezas vetoriais. Logo, eles 
terão as unidades dessas grandezas. 
4. Para treinar, vamos considerar que para baixo é “+” 
   21
2 2
0 9,81 / 0
2 2 9,0
1,36
9,81 /
1,75
1,29 /
1,36
x y ox o oy
o
o oy y
y
o
ox o
a a m s v v v
y y m
y y v t a t t s
a m s
x x m
v v m s
t s
       

      

   
 
5. Vamos considerar para cima “+” 
0 9,81 / 0x T ox o oya a m s v v v       
 
A partir do movimento vertical encontramos uma expressão para t 
21
2
2
o oy y
y
h
y y v t a t t
a
    
 
Para “x” 
21
2
2
o ox x o ox o
h
x x v t a t x x v t v
g
      
 
Terra: x-xo=D e no Planeta X: x-xo=2,76D. Logo 
 
2
2
2 - isso é constante, logo: 2,76
0,131 1,29 /
2,76
o o T X
T
X T
x x g v h D g D g
g
g g m s
  
  
 
6. a) 
   6 2 4v t i t j   
 
b) 
2
dv
a i j
dt
  
 
c) Usar Pitágoras e arco-tangente 
 
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2 22 1 5
1
26,6
2
o
a
tg 
  
  
 
7. Calculando as componentes do vetor velocidade 
 
 
20 / cos 40 15,3 /
20 / sin 40 12,9 /
o
ix fx x
o
iy
v m s m s v v
v m s m s
   
 
 
Para 
 50 15,3 / 3,27xx v t m m s t t s    
, ou seja, o tempo gasto para todo o 
movimento. Este também é o tempo gasto para o objeto subir até a altura máxima, cair e 
acertar a parede do outro lado. Logo: 
     22 21 12 212,9 / 3,27 9,81 / 3,27
 10,3m
iy yy v t a t m s s m s s    

 
A título de comparação, façamos as contas com valores com apenas uma casa após a 
vírgula: 
      22 21 12 212,9 / 3,3 9,8 / 3,3
 10,8m
iy yy v t a t m s s m s s    

 
Em um cálculo de precisão 0,5 m pode fazer muita diferença! Obviamente, os 
arredondamentos devem ser feitos de forma consistente desde o princípio. 
8. Sabendo que: 2 2 22 2
 (demonstrado em sala); e 
v sen v sen vsen
R h T
g g g
  
  
 
a) 
1 4
4
h h
tg tg
R R
   
 
b) 2
2 8 8
h g gT
h
T
  