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EXERCÍCIOS CENTRO DE MASSA, COLISÕES.

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FÍSICA I – EXERCÍCIOS CENTRO DE MASSA, COLISÕES. 
1. Uma barra de aço de 30 cm de comprimento tem densidade linear (massa por 
unidade de comprimento) dada por: 
250,0 / 20,0 /g m x g m  . Onde x é a 
distância, medida em metros, a partir de uma das extremidades. (a) Qual é a massa 
da barra? (b) Determine o centro de massa. 
2. Considere o sistema de partículas: 
Massa Posição Velocidade 
2kg
 
 1,0 2,0i j
 
 3,0 0,5i j
 
3kg
 
 4,0 3,0i j 
 
 3,0 2,0i j
 
(a) Calcule o centro de massa do sistema; 
(b) Determine a velocidade do centro de massa; 
(c) Qual é o momento linear total do sistema? 
3. Considere um objeto extenso cujas partes estejam em elevações diferentes. A 
aceleração da gravidade é uniforme para todo o objeto. Prove que a energia 
potencial gravitacional (Ug) do sistema Terra-objeto é dada por 
g CMU Mgy
. Sendo 
M a massa do objeto e yCM a elevação do centro de massa em relação a um dado 
referencial. 
4. Use o resultado do problema anterior para resolver este. Calcule Ug associada a uma 
rampa com densidade de 3800 kg/m
3
 e largura de 3,6 m. Vista lateralmente, a rampa 
se parece com um triângulo retângulo de base 64,8 m e altura de 15,7 m. 
5. Uma bala de massa 10 g é disparada contra um bloco de madeira, em repouso, de 
massa 5 kg. A velocidade do sistema bala-bloco após a colisão é de 0,6 m/s. Qual 
era a velocidade da bala antes do impacto. Considere que há conservação do 
momento linear. 
6. Em um parque, dois corredores estão prestes a colidir (colisão perfeitamente 
elástica). Um, de massa 90 kg, corre de oeste para leste com velocidade 5 m/s. O 
outro, de massa 95 kg, corre de sul para norte a velocidade de 3 m/s. (a) calcule a 
velocidade e direção dos corredores após a colisão e (b) determine a energia 
mecânica perdida como resultado da colisão. 
 
RESOLUÇÃO 
1. Uma barra de aço de 30 cm de comprimento... 
 
 
0,3 0,3
2
0 0
0,3
2 2
0
0,3 0,3
2 2
0 0
0,3
3 2
2
0
 50,0 / 20,0 /
50,0 / 10,0 / 15,9
1 1
 50,0 / 20,0 /
1 20 /
 25,0 / 0,153
15,9 3
CM
CM
a M dx g m x g m dx
M x g m x g m g
xdm
b x xdx x g m x g m dx
M M M
x g m
x x g m m


    
    
     
 
   
 
 

 
 
No item (b), lembre-se da definição de centro de massa. 
2. Considere o sistema de partículas... 
(a) A partir da definição de centro de massa: 
   
 1 1 2 2
1 2
2 1,0 2,0 3 4,0 3,0
2,0 1,0
5
CM
kg i j kg i jm r m r
r i j m
m m
   
    

 
(b) A velocidade do centro de massa é dada por: 
   
 1 1 2 2
1 2
2 3,0 0,5 3 3,0 2,0
3,0 1,0 /
5
CM
kg i j kg i jm v m vp
v i j m s
M m m
  
    

 
(c) O momento linear total do sistema é dado por 
CMp Mv
 , logo: 
   5 3,0 1,0 15,0 5,0 /p kg i j i j kgm s   
 
3. Considere um objeto extenso cujas... 
É considerado um elemento de massa dm na posição y dentro do objeto. Logo, a 
contribuição deste elemento de massa para a energia potencial gravitacional do sistema 
Terra-objeto é 
 dm gy
. Portanto, a energia potencial gravitacional é dada por: 
gU gydm g ydm  
 
Conforme vimos, o centro de massa pode ser obtido por
1
CMy ydm
M
 
. Logo: 
g CMU gMy
 
 
4. Use o resultado do problema anterior... 
Volume da rampa e massa (densidade x volume) da rampa: 
   
 
3 3
3 6
1
3,6 15,7 64,8 1,83 10
2
3800 / 6,96 10
V m m m m
M V kg m kg
  
   
 
O centro de massa situa-se a 1/3 da altura total, em relação à base: 
1
15,7 5,23
3
CMy m m 
 
Finalmente: 
   6 2 86,96 10 9,8 / 5,23 3,57 10g CMU gMy kg m s m J    
 
5. Uma bala de massa 10 g é disparada... 
    310 10 5,01 0,6 / 301 /i fp p kg v kg m s v m s     
 
6. Em um parque... 
(a) Começamos com a conservação do momento linear em x: 
    90 5 / 0 185 cos cos 2,43 /kg m s kg V V m s     
Considere, agora, a conservação do momento linear em y: 
    95 3 / 0 185 sin sin 1,54 /kg m s kg V V m s     
Dividindo: 
sin
tan 0,633 32,4
cos
oV
V
    
 
Voltando no primeiro, ou no segundo, resultado: 
2,88 /V m s
 
(b) Perda de energia cinética 
     
  
2 2 3
2 2
1 1
90 5 / 95 3 / 1,55 10
2 2
1
185 2,88 / 7,67 10
2
i
i
K kg m s kg m s J
K kg m s J
   
  
 
Logo, a energia perdida foi de, aproximadamente, 
785J

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