7 Perfil de Temperatura em sólidos

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RESUMO 
 
 
O experimento consiste na determinação do coeficiente de transferência 
de calor por convecção, que e vastamente utilizado para o dimensionamento 
de maquinas térmicas. As aletas são trocadores de calor muito utilizados nas 
indústria, pois aumentam a superfície de contato e assim aumentam a 
dissipação de calor. 
A condutividade térmica é uma função da temperatura, superfície de 
contato e do material utilizado. Nesta prática que procura definir os perfis de 
temperatura em um regime permanente, foi realizada medidas em 3 barras 
diferentes, estas acopladas em uma caixa de vapor superaquecido de água, 
que aquecia as aletas. Foram coletados dados experimentais para 
determinação do coeficiente de transferência de calor do aço inoxidável e do 
alumínio. 
A formulação que teve melhores resultados foi a A, se aproximando das 
condições praticas devido ás condições de contorno. A dissipação de calor 
apresentou certa divergência, mas mesmo assim, o alumínio apresentou maior 
troca térmica, devido ao coeficiente de transferência, e pode-se observar 
através dos cálculos a influencia da área na troca de calor. 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
RESUMO............................................................................................................. i 
LISTA DE FIGURAS ........................................................................................... ii 
LISTA DE TABELAS .......................................................................................... iii 
NOMENCLATURA ............................................................................................. iv 
1. INTRODUÇÃO ............................................................................................. 1 
2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ................................................................... 3 
2.1. CONDUÇÃO ......................................................................................... 3 
2.2. CONVECÇÃO ....................................................................................... 3 
2.3. RADIAÇÃO ........................................................................................... 4 
2.4. SUPERFÍCIES ESTENDIDAS .............................................................. 5 
2.5. MODELAGEM MATEMÁTICA DO PROBLEMA ................................... 7 
2.6. AVALIAÇÃO DOS MODELOS MATEMÁTICOS ................................... 9 
2.7. EQUAÇÕES EMPÍRICAS ................................................................... 10 
3. MATERIAIS E MÉTODOS ......................................................................... 12 
3.1. MATERIAIS ......................................................................................... 12 
3.2. MÉTODOS .......................................................................................... 12 
4. RESULTADOS E DISCUSÕES ................................................................. 14 
4.1. COEFICIENTE DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR EXPERIMENTAL 17 
4.1.1. Formulação A ............................................................................... 17 
4.1.2. Formulação B ............................................................................... 20 
4.2. COEFICIENTE DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR TEÓRICO .......... 21 
4.3. CALOR DISSIPADO ........................................................................... 22 
5. CONCLUSÃO ............................................................................................ 26 
6. REFERÊNCIAS ......................................................................................... 27 
 
 
 
ii 
 
LISTA DE FIGURAS 
 
 
Figura 1. Uso de aletas para aumentar a transferência de calor em uma parede 
plana. ................................................................................................................. 6 
Figura 2: Esquema de uma aleta em forma de pino circular. ............................. 8 
Figura 3: Módulo experimental para determinação do perfil de temperatura em 
sólidos. ............................................................................................................. 12 
Figura 4: X versus –lnθ, para a aleta 1. ............................................................ 18 
Figura 5: X versus –lnθ, para a aleta 2. ............................................................ 18 
Figura 6: X versus –lnθ, para a aleta 3. ............................................................ 19 
Figura 7: T versus x para a Aleta 1. ................................................................. 23 
Figura 8: T versus x para a Aleta 2. ................................................................. 23 
Figura 9: T versus x para a Aleta 3. ................................................................. 24 
 
 
 
 
iii 
 
LISTA DE TABELAS 
 
 
Tabela 1: Equações empíricas para determinar o coeficiente de transferência 
de calor. ........................................................................................................... 11 
Tabela 2: Dados experimentais de temperatura e distância. ........................... 14 
Tabela 3: Dados aplicados aos cálculos. ......................................................... 15 
Tabela 4: Condutividade térmica em função da temperatura média. ............... 16 
Tabela 5: Diâmetro, perímetro e áreas total e transversal. .............................. 16 
Tabela 6: Temperatura adimensional em cada ponto e aleta. ......................... 17 
Tabela 7: Ajuste linear para os dados de cada aleta. ....................................... 19 
Tabela 8: Parâmetro m e coeficiente de transferência de calor pela formulação 
A. ...................................................................................................................... 20 
Tabela 9: Temperatura adimensional experimental e pelo modelo da 
formulação B. ................................................................................................... 20 
Tabela 10: Parâmetro m e coeficiente de transferência de calor pela formulação 
B. ...................................................................................................................... 21 
Tabela 11: Coeficiente de transferência de calor experimental e teórico. ........ 21 
Tabela 12: Calor Dissipado. ............................................................................. 25 
 
 
 
 
iv 
 
NOMENCLATURA 
 
 
Simbolo Descrição/Unidade 
 Letras latinas 
A Área (m²) 
Cp Capacidade calorifica (J.kg
-1.K-1) 
Fobj Função objetiva 
H Coeficiente de transferência de calor(W.m-2.K-1) 
 ̅ Coeficiente de transferência de calor médio(W.m
-2.K-1) 
K Condutividade térmica do material da barra (W.m-1.K-1) 
L Comprimento (m) 
P Perímetro da seção da barra (m) 
M Parâmetro ajustável (m-1) 
 ̇ Calor dissipado (W) 
T Temperatura (K) 
X Coordenada espacial (m) 
D Diâmetro (m) 
A Coeficiente linear 
B Coeficiente angular 
A1 Constante 
t1 Constante 
 Letras Gregas 
 Temperatura 
 Densidade dos materiais das aletas (kg.m-3) 
 
 
1 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
 
Supondo um determinado sistema que possui um gradiente de 
temperatura, ou que dois sistemas com diferentes temperaturas foram 
colocados em contato, ocorrerá uma transferência de energia, sendo este 
fenômeno denominados de transmissão de calor (PORTE, 2007). 
A transmissão de calor é uma ciência que trata das taxas de troca de 
calor entre um corpo quente e um corpo frio denominado fonte e fonte 
receptora, respectivamente (KERN, 1987). 
Em problemas de transmissão de calor são feitas aproximações quando 
propriedades físicas, como a condutibilidade térmica ou a viscosidade, variam 
com a temperatura, mas, se valores médios adequados foremselecionados, os 
cálculos poderão ser consideravelmente simplificados sem apresentar um erro 
apreciável no final (KREITH, 1977). 
 Na engenharia, é preciso determinar a quantidade de calor transmitida 
na unidade de tempo para uma variação especifica de temperatura, para que 
seja possível estimar custo, a viabilidade, o tamanho do equipamento. Como 
por exemplo, as dimensões de caldeiras, aquecedores, e trocadores de calor 
não dependem apenas da quantidade de calor a ser transmitida, mas também 
da taxa de transferência de calor sob as condições dadas. (PERRY e GREEN, 
1984). 
 Este trabalho teve como objetivo obter experimentalmente, os perfis de 
temperatura em um regime permanente de três barras metálicas cilíndricas de 
diferentes materiais e diâmetros e, aos dados experimentais, ajustar as 
equações comumente encontradas na literatura, possibilitando a determinação 
dos coeficientes médios de transferência de calor, bem como o calor trocado 
entre as barras e o ambiente. 
 
 
2 
 
 
 
3 
 
2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 
 
 
De forma sucinta, a transferência de calor é a energia térmica em trânsito 
devido a uma diferença de temperaturas no espaço, podendo ocorre de três 
formas distintas: Radiação, convecção e condução. (INCROPERA e DEWIT, 
2003). 
 
2.1. CONDUÇÃO 
 
A condução pode se definida como o processo pelo qual a energia é 
transferida de uma região de alta temperatura para outra de temperatura mais 
baixa dentro de um meio (sólido, líquido ou gasoso) ou entre meios diferentes 
em contato direto. Este mecanismo pode ser visualizado como a transferência 
de energia de partículas mais energéticas para partículas menos energéticas 
de uma substância devido a interações entre elas (KREITH, 1997). 
A condução é o único mecanismo pelo qual o calor pode ser transmitido 
em sólidos opacos. Esta também é importante nos fluidos, mas nos meio não-
sólidos ela é geralmente combinada com a convecção (KREITH, 1997). 
 
2.2. CONVECÇÃO 
 
A convecção é um processo de transporte de energia pela junção da 
condução de calor, do armazenamento de energia e do movimento de mistura. 
A convecção é importante como mecanismo de transferência de energia entre 
uma superfície sólida e um líquido ou um gás (KREITH, 1997). 
A descrição e explicação desse processo são simples: quando certa 
massa de um fluido é aquecida suas moléculas passam a mover-se mais 
rapidamente, afastando-se, em média, uma das outras. Como o volume 
 
4 
 
ocupado por essa massa fluida aumenta a mesma torna-se menos densa. A 
tendência dessa massa menos densa no interior do fluido como um todo é 
sofrer um movimento de ascensão ocupando o lugar das massas do fluido que 
estão a uma temperatura inferior. A parte do fluido mais frio (mais denso) 
move-se para baixo tomando o lugar que antes era ocupado pela parte do 
fluido anteriormente aquecido. Esse processo se repete inúmeras vezes 
enquanto o aquecimento é mantido dando origem às chamadas correntes de 
convecção. São as correntes de convecção que mantêm o fluido em circulação. 
(KREITH, 1997). 
 
2.3. RADIAÇÃO 
 
Em contraste com os mecanismos de condução e convecção, onde a 
energia é transferida através de um meio natural, o calor pode também ser 
transferido em regiões onde existe o vácuo perfeito. O mecanismo neste caso é 
a radiação eletromagnética que é propagada como resultado de uma diferença 
de temperatura trata-se então da radiação térmica. 
Segundo KREITH (1997), na transmissão de calor por radiação, a 
quantidade de energia que deixa a superfície como calor radiante depende da 
temperatura absoluta e da natureza da superfície. 
A tabela 1 mostra resumidamente o mecanismo na qual ocorre a 
transferência de calor, assim como onde ocorrem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
Tabela 1: Resumo dos Mecanismo de Transferência de calor (Fonte: VEIT et. 
al.,2010). 
Forma Mecanismo Ocorrência 
Condução 
Difusão de energia devido a 
agitação molecular 
Principalmente sólidos 
Convecção 
Transporte de energia pelo 
movimento do fluido 
Fluidos (líquidos e 
gases) 
Radiação 
Transferência de energia por 
ondas eletromagnéticas 
Qualquer matéria 
 
2.4. SUPERFÍCIES ESTENDIDAS 
 
Considerando um sistema que constituído de uma parede plana na qual 
TS é a temperatura na superfície da parede e sendo este um valor fixo, 
encontram-se duas maneiras pelas quais a taxa de transferência de calor pode 
ser aumentada. A primeira seria aumentando o coeficiente de convecção, 
aumentando-se a velocidade do fluido, e/ou reduzindo a temperatura do fluido 
T∞. Entretanto, poderão existir muitas situações em que o aumento do h 
poderá não ser suficiente para obter a taxa de transferência de calor 
necessária, ou os custos poderão ser muito abusivos. Estes custos poderão 
estar associados ao tamanho e/ou potência requeridos para o ventilador ou 
bomba necessários para aumentar o coeficiente h através do aumento da 
velocidade do fluido. Muitas vezes a redução de 𝑇∞ é impraticável 
(INCROPERA e DEWITT, 2003). 
Para tentar solucionar esses problemas, uma terceira opção encontrada 
seria a de se modificar a geometria da superfície da parede alterando-se o 
formato desta com a instalação de protuberâncias que também estão em 
contato com o escoamento do fluído. A superfície externa destas 
protuberâncias constitui as superfícies estendidas e as protuberâncias são 
chamadas de aletas conforme ilustrado na Figura 1 (BEJAN, 1996). 
 
6 
 
 Tais superfícies estendidas têm uma grande aplicação industrial como, 
por exemplo, aletas fixadas às paredes de equipamentos de transferência de 
calor, a fim de aumentar a velocidade de aquecimento ou resfriamento 
(KREITH 1996). 
 Ao empregar o uso de aletas, a taxa de transferência de calor eleva-se 
devido ao aumento de área de superfície (Figura 1) através da qual ocorre a 
convecção. A condutividade térmica do material da aleta pode ter um grande 
efeito na distribuição de temperaturas ao longo da aleta e, consequentemente, 
influenciar o nível de melhora da taxa de transferência de calor (INCROPERA e 
DEWIT, 2003). 
 
FONTE: Incropera e Dewit, 2003 
Figura 1. Uso de aletas para aumentar a transferência de calor em uma parede plana. 
 Para selecionar um tipo especifico de aleta é necessário fazer 
considerações a acerca do espaço físico, peso, fabricação, e custo. Além 
disso, na mesma proporção em que se aumenta a área de troca de calor, a 
presença de aletas pode reduzir o valor do coeficiente de convecção para a 
superfície, bem como aumentar a perda de carga associada ao escoamento 
sobre as aletas, ao diminuir a área da seção transversal do escoamento 
(INCROPERA e DEWIT, 2003). 
 
 
 
 
7 
 
2.5. MODELAGEM MATEMÁTICA DO PROBLEMA 
 
Para determinar a taxa de transferência de calor associada a uma aleta, 
deve-se em primeiro lugar obter a distribuição de temperatura ao longo da 
aleta, partindo da equação do balanço de energia (KREITH 1996). 
 
Na forma simbólica esta equação torna-se: 
 (Equação 01) 
 
Equacionado: 
 











 TTPdxhdx
dx
dT
kA
dx
d
dx
dT
kA
dx
dT
kA
 (Equação 02) 
Supondo-se condições unidimensionais na direção longitudinal (eixo x), 
embora a condução de calor no interior da aleta seja bidimensional. 
A taxa de transferência de calor por convecção em qualquer ponto da 
superfície da aleta deve estar relacionada à taxa de energia que chega àquele 
ponto da aleta por condução de calor na direção normal (eixo y e z) (Figura 02). 
Contudo, na prática a aletaé fina e a variação de temperatura na direção 
longitudinal é muito maior do que aquelas nas direções normais. Assim pode-
se considerar o calor unidimensional na direção x, Supor também condições de 
regime estacionário, condutividade térmica, troca de calor por radiação da 
superfície para a vizinhança desprezível, ausência de geração de calor no 
interior da aleta e coeficiente de transferência de calor por convecção h 
uniforme ao longo da superfície da aleta (INCROPERA e DEWITT, 2003). 




















)( e x entre superfície da
convecçãopor calor de fluxo
 em elemento do fora para
para conduçãopor calor de fluxo
 em elemento do dentro para
conduçãopor calor de fluxo 
dxxdxxx
qx qx dx
qconv 

 
8 
 
 
FONTE: KREITH, F.; Princípios da Transmissão de Calor. 
Figura 2: Esquema de uma aleta em forma de pino circular. 
 
Considerando estas hipóteses tem-se: 
 
 
 
 𝑇 𝑇 (Equação 03) 
 
Usando-se a variável θ (temperatura adimensional), através da definição 
de excesso de temperatura, definida por: 
 
 
 
 (Equação 04) 
 
Onde, uma vez 𝑇 é uma constante, e dθ/dx = dT/dx. A Equação (04) se 
torna: 
 
 
 
 (Equação 05) 
 
Sendo que o parâmetro m é definido por: 
 √
 ̅ 
 
 (Equação 06) 
 
 
9 
 
 Na qual ̅ é o coeficiente médio de transferência de calor, P é o 
perímetro da seção da barra, k é a condutividade térmica do material da barra 
(tabelado) e A é a área da seção transversal; 
 Para resolver a EDO expressada pela equação 5, usa-se as condições 
de contorno: 
C. C. 01: T = T0para x = 0 
C.C. 02.a: T = 𝑇 para x  (barra semi-infinita) 
C.C. 02.b: 
 
 
 (barra com extremidade isolada) 
 As formulações possíveis, portanto, são: 
 Formulação A: Equação (5), C.C. 01 e C.C 02.a; 
 (Equação 07) 
 
 Formulação B: Equação (5), C.C. 01 e C.C 02.b; 
 
 [ ]
 
 (Equação 08) 
 
O calor dissipado por convecção, também em regime permanente, em 
cada barra pode ser calculado de duas maneiras, através das seguintes 
equações: 
 ̇ ̅ ∫ [𝑇 𝑇 ] 
 
 
 (Equação 09) 
 ̇ ̇ 
 
 
 (equação 10) 
 
2.6. AVALIAÇÃO DOS MODELOS MATEMÁTICOS 
 
Para obter os coeficiente médios de transferência de massa ( ̅), deve se 
ajustar aos dados experimentais os resultados teóricos por perfis de 
 
10 
 
temperatura (obtidos pelas Formulações A e B), expressos pelas equações 
(07) e (08) (VEIT et. al., 2010) 
Linearizando a (equação 7) tem –se: 
 (Equação 11) 
 Usando os dados experimentais de em função de x e regressão 
linear, lineariza m, e como consequência o ̅. (VEIT et. al., 2010) 
Como os dados das regressões não-lineares, é necessário também avaliar 
o modelo através do coeficiente de determinação (R2) e de uma função objetivo 
qualquer, como por exemplo, a seguinte: (VEIT et. al., 2010) 
 √∑ 
 
 
 
(Equação 12) 
 
Na qual N é o número de dados experimentais (15), e são 
respectivamente, os i-ésimos valores experimentais e ajuste pelo modelo da 
temperatura adimensional (VEIT et. al., 2010). 
 
2.7. EQUAÇÕES EMPÍRICAS 
 
Segundo Incropera e Dewitt (2003), existem correlações empíricas que 
podem ser aplicadas no cálculo do coeficiente de transferência de calor de 
acordo com cada sistema, sendo estas correlações apresentadas pela Tabela 
1. 
 
 
 
 
11 
 
Tabela 1: Equações empíricas para determinar o coeficiente de transferência 
de calor. 
FONTE: INCROPERA e DEWITT (2003) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Situação ̅ em W / (m2 K) 
Placa horizontal com troca de calor para baixo 1,31 (ΔT)1/4 
Placa horizontal com troca de calor para cima 2,49 (ΔT)1/4 
Placa vertical, altura h < 0,30 m 1,37 (ΔT/h)1/4 
Placa vertical, altura h > 0,30 m 1,77 (ΔT)1/4 
Tubo horizontal, diâmetro externo d 1,31 (ΔT/d)1/4 
Tubo vertical altura > 0,30 m, diâmetro externo d 1,31 (ΔT/d)1/4 
 
12 
 
3. MATERIAIS E MÉTODOS 
 
 
Os experimentos foram realizados no Laboratório de Engenharia Química 
1, na Unioeste no campus de Toledo. 
 
3.1. MATERIAIS 
 
 Módulo de aletas; 
 Termopares; 
 Régua. 
 
3.2. MÉTODOS 
 
O módulo experimental utilizado para esta prática está representado 
pela Figura 3. 
 
Figura 3: Módulo experimental para determinação do perfil de temperatura em sólidos. 
 
13 
 
O vapor gerado pela caldeira é conduzido até a caixa de vapor, onde se 
encontram inseridas as três aletas. As aletas têm um comprimento de 1m, e 
diferentes diâmetros como materiais; uma de alumínio com o diâmetro de 0,5” 
(aleta 1), e duas de aço inoxidável com um diâmetro de 0,5” (aleta 2) e 1” (aleta 
3). Elas estão distribuídas de forma desigual ao longo da caixa. 
 Mediu-se, usando-se uma régua, a distancia entres os pontos das três 
caldeiras. Então abriu-se a válvula 1 para que o vapor entra-se no sistema. 
Quando o sistema atingiu o regime permanente, anotou-se a temperatura da 
caixa, em seguida a temperatura de cada furo das três aletas e a temperatura 
ambiente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
4. RESULTADOS E DISCUSÕES 
 
 
Os dados coletados durante o experimentos são apresentados na 
Tabela 2. 
Tabela 2: Dados experimentais de temperatura e distância. 
Aleta 1 Aleta 2 Aleta 3 
T (ºC) X (cm) T (ºC) X (m) T (ºC) X (m) 
63 0 84 0 79 0 
53 2 79 2 76 2 
47 4 76 4 66 4 
38 8 71 6 60 6 
35 12 65 10 49 10 
33 16 59 14 44 14 
31 22 54 18 40 18 
31 28 49 24 37 24 
31 34 44 30 34 30 
31 40 42 36 33 36 
31 50 39 41,85 32 42 
31 60 37 51,85 31 52 
31 70 35 61,85 31 62 
31 80 34 71,85 31 72 
- - 34 81,85 31 82 
 
Os dados apresentados na Tabela 2 possuem erros associados aos 
instrumentos de medida e ao observador, além da consideração realizada para 
o ponto inicial da aleta 1, onde o mesmo não se encontrava em x igual a zero. 
Sendo que a temperatura ambiente (𝑇 se encontrava em 31 ºC 
(304,15 K) e a pressão na caixa de vapor igual a 0,8 kgf.cm
-2, buscou-se em 
tabelas de vapor saturado a partir desta pressão para obter-se a temperatura 
 
15 
 
inicial (T0), tal foi obtida em Incropera et al. (2008) sendo igual á 92,936 ºC 
(366,09 K). 
Para obterem-se dados de qualidade que representem a troca térmica 
pelas aletas, desconsideraram-se para os cálculos os dados do equilíbrio e 
também aqueles que as respectivas temperaturas foram iguais a do ambiente, 
sabendo que as temperaturas podem ter sido influenciadas por imprecisão do 
termômetro aplicado na medição desta. A Tabela 3 apresenta os dados 
pertinentes aos cálculos nas unidades convenientes. 
Tabela 3: Dados aplicados aos cálculos. 
Aleta 1 Aleta 2 Aleta 3 
T (K) X (m) T (K) X (m) T (K) X (m) 
336,15 0 357,15 0 352,15 0 
326,15 0,02 352,15 0,02 349,15 0,02 
320,15 0,04 349,15 0,04 339,15 0,04 
311,15 0,08 344,15 0,06 333,15 0,06 
308,15 0,12 338,15 0,1 322,15 0,1 
306,15 0,16 332,15 0,14 317,15 0,14 
- - 327,15 0,18 313,15 0,18 
- - 322,15 0,24 310,15 0,24 
- - 317,15 0,3 307,15 0,3 
- - 315,15 0,36 306,15 0,36 
- - 312,15 0,4185 305,15 0,42 
- - 310,15 0,5185 - - 
- - 308,15 0,6185 - - 
- - 307,15 0,7185 - - 
 
Realizando uma média entre as temperaturas de cada ponto,foi 
encontrada em Incropera et al., a condutividade térmica (W.m-1.K1) de cada 
aleta em função da temperatura média, considerando ainda que o alumínio se 
encontrava puro e o aço inoxidável era do tipo AISI 302. A Tabela 4 apresenta 
os valores da condutividade térmica em função da temperatura média de cada 
aleta. 
 
16 
 
Tabela 4: Condutividade térmica em função da temperatura média. 
Aleta 1 Aleta 2 Aleta 3 
T (K) k (W.m-1.K1) T (K) k (W.m-1.K1) T (K) k (W.m-1.K1) 
315,65 237,4695 324,65 15,6423 317,15 15,4773 
 
Determinar perímetro, diâmetro e as áreas transversais e totais de troca 
térmica foram necessário para obter-se o coeficiente de transferência de calor, 
utilizando as Equações (13), (14) e (15) determinaram-se os parâmetros 
apresentados na Tabela 5, considerando os diâmetros nominais já 
apresentados e L como sendo a maior distância de ponto avaliado em cada 
aleta, (presente na Tabela 3). 
 (Equação 13) 
 (Equação 14) 
 
 
 
 (Equação 15) 
Tabela 5: Diâmetro, perímetro e áreas total e transversal. 
ALETA D (m) P (m) Atotal (m) Atransversal (m) 
1 0,0127 3,9898.10-2 6,3837.10-3 1,2668.10-4 
2 0,0127 3,9898.10-2 2,8667.10-2 1,2668.10-4 
3 0,0254 7,9796.10-2 3,3515.10-2 5,0671.10-4 
 
A Equação (06) mostra que é necessário inicialmente determinar o 
parâmetro m para assim determinar o coeficiente de transferência de calor, 
para tal utilizam-se as formulações A e B apresentadas pelas Equações (7) e 
(8), respectivamente. 
 
 
 
17 
 
4.1. COEFICIENTE DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR EXPERIMENTAL 
4.1.1. Formulação A 
 
A formulação A permite obter o valor do parâmetro m de acordo com a 
linearização da Equação (7) na (11). A Tabela 6 apresenta os valores de θ para 
cada ponto, obtidos pela Equação (4), as temperaturas apresentadas na 
Tabela (3) e as temperaturas ambiente e inicial já apresentadas. A Tabela 6 
apresenta ainda os valores do logarítmico negativo de θ (-lnθ), necessário para 
plotar os gráficos da linearização da formulação A, X versus –lnθ, utilizando 
para tal o Software Origin 8, sendo que realizou-se um ajuste linear aos dados, 
como apresentam as Figuras (4), (5) e (6). 
Tabela 6: Temperatura adimensional em cada ponto e aleta. 
Aleta 1 Aleta 2 Aleta 3 
X (m) θ -lnθ X (m) Θ -lnθ X (m) Θ -lnθ 
0 0,5167 0,6604 0 0,8557 0,1558 0 0,775 0,2549 
0,02 0,3552 1,0351 0,02 0,775 0,2549 0,02 0,7266 0,3194 
0,04 0,2583 1,3535 0,04 0,7266 0,3194 0,04 0,5651 0,5708 
0,08 0,1130 2,1802 0,06 0,6458 0,4372 0,06 0,4682 0,7588 
0,12 0,0646 2,7398 0,1 0,549 0,5997 0,1 0,2906 1,2357 
0,16 0,0323 3,433 0,14 0,4521 0,7939 0,14 0,2099 1,5612 
- - - 0,18 0,3714 0,9906 0,18 0,1453 1,9289 
- - - 0,24 0,2906 1,2357 0,24 0,0969 2,3343 
- - - 0,3 0,2099 1,5612 0,3 0,0484 3,0275 
- - - 0,36 0,1776 1,7282 0,36 0,0323 3,433 
- - - 0,4185 0,1292 2,0467 0,42 0,0161 4,1261 
- - - 0,5185 0,0969 2,3343 - - - 
- - - 0,6185 0,0646 2,7398 - - - 
- - - 0,7185 0,0484 3,0275 - - - 
 
 
18 
 
 
Figura 4: X versus –lnθ, para a aleta 1. 
 
 
Figura 5: X versus –lnθ, para a aleta 2. 
 
19 
 
 
Figura 6: X versus –lnθ, para a aleta 3. 
 A Tabela 7 apresenta as equações da reta bem como R² para cada 
ajuste linear realizado. 
Tabela 7: Ajuste linear para os dados de cada aleta. 
Aleta Equação R² 
1 -lnθ=0,6856 + 17,325.X 0,9969 
2 -lnθ=0,2130 + 4,1044.X 0,9946 
3 -lnθ= 0,2266 + 9,1711.X 0,9971 
 
 Observando os R² para os ajustes dos dados das três aletas, verifica-se 
que o ajuste linear adequou-se aos dados de maneira satisfatória, sendo que o 
R² se aproximou de 1 em todos os casos. 
 Relacionando as equações da reta com a Equação 11, sabe-se que o 
coeficiente angular é igual ao parâmetro m, deste modo, a Tabela 8 apresenta 
os parâmetros m utilizando-se da formulação A. A Equação (6) foi utilizada 
para determinar o coeficiente de transferência de calor, sendo a área 
transversal ao fluxo e o perímetro apresentados na Tabela 5, e a condutividade 
térmica na Tabela 4. O coeficiente de transferência de calor para cada aleta é 
apresentado na Tabela 8. 
 
20 
 
Tabela 8: Parâmetro m e coeficiente de transferência de calor pela formulação 
A. 
Aleta M h (W.m-2.K-1) 
1 17,325 226,317 
2 4,1044 0,8366 
3 9,1711 8,2663 
 
4.1.2. Formulação B 
 
Para determinar o parâmetro m e assim o coeficiente de transferência de 
calor utilizou-se também a formulação B. Aplicando a Equação (8) determinou 
valores de θmod, sendo que foi considerado como L a maior distância de ponto 
avaliado em cada barra e para o parâmetro m um chute inicial igual ao valor 
determinado pela formulação A para a respectiva barra. Os valores de θmod e 
θexp, aplicados a Equação (12) (função objetivo), são apresentados na Tabela 
9. 
Tabela 9: Temperatura adimensional experimental e pelo modelo da 
formulação B. 
Aleta 1 Aleta 2 Aleta 3 
θmod θexp θmod θexp θmod θexp 
1 0,5167 1 0,8557 1 0,775 
0,4436 0,3552 0,8941 0,775 0,782 0,7266 
0,1968 0,2583 0,7994 0,7266 0,6116 0,5651 
0,0388 0,113 0,7148 0,6458 0,4783 0,4682 
0,0079 0,0646 0,5716 0,549 0,2926 0,2906 
0,003 0,0323 0,4571 0,4521 0,1791 0,2099 
- - 0,3657 0,3714 0,1097 0,1453 
- - 0,2619 0,2906 0,0529 0,0969 
- - 0,188 0,2099 0,0263 0,0484 
- - 0,1355 0,1776 0,0147 0,0323 
- - 0,0993 0,1292 0,0114 0,0161 
- - 0,0606 0,0969 - - 
- - 0,0415 0,0646 - - 
- - 0,0358 0,0484 - - 
 
 
21 
 
A aplicação do solver do Software Excel minimizou a função objetivo 
variando o valor do parâmetro m, assim determinaram-se os valores finais 
deste parâmetro e obtiveram-se os coeficientes de transferência de calor para 
as mesmas condições de área, perímetro e condução térmica utilizados na 
formulação A, apresentando estes resultados na Tabela 10. 
Tabela 10: Parâmetro m e coeficiente de transferência de calor pela 
formulação B. 
Aleta M h (W.m-2.K-1) 
1 40,6381 1245,1377 
2 5,6004 1,5577 
3 12,2931 14,8523 
 
 
4.2. COEFICIENTE DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR TEÓRICO 
 
A literatura fornece equações empíricas que determinam um valor aproximado 
do coeficiente de transferência de calor, considerado como teórico. A Equação 
(16) aplicada, apresentada na Tabela 1, é a para “tubo horizontal, diâmetro 
externo d”, sendo o ΔT a diferença entre a média das temperaturas da aleta e a 
temperatura ambiente, ambas já apresentadas, e o diâmetro d presente na 
Tabela 5. Os valores do coeficiente de transferência de calor teóricos (hteórico) 
são apresentados na Tabela 11 juntamente com os experimentais obtidos 
pelas formulações A (hA) e B (hB). 
 ̅=1,32(
 
 
)
 
 
 (Equação 16) 
Tabela 11: Coeficiente de transferência de calor experimental e teórico. 
Aleta hA (W.m
-2.K-1) hB (W.m
-2.K-1) 
hteórico (W.m
-
2.K-1) 
1 40,6381 1245,1377 7,241 
2 5,6004 1,5577 8,3668 
3 12,2931 14,8523 6,2784 
 
 
22 
 
Observou uma grande discrepância entre os valores experimentais e 
teóricos, sendo os dados experimentais influenciados por erros inerentes a 
prática, como aqueles devido a imprecisão do observador, instrumentos de 
medida e do módulo de modo geral, destacando a aleta 1 que apresentava o 
ponto inicial com certa distancia ao inicio da mesma mas teve tal distancia 
desprezada, contradizendo a condição de contorno 1 aplicada as formulações 
A e B (vide fundamentação teórica), onde para x=0 T=T0. 
A aleta 1 teve a análise prejudicada pelo fato de atingir o equilíbrio 
rapidamente, limitando assim os dados e tornando o parâmetro m impreciso,o 
que pode ser observado quando o coeficiente de transferência de calor 
experimental da Aleta A é comparado com o teórico. 
As condições de contorno aplicadas a formulação A e B também 
acarretam erros à determinação do coeficiente de transferência de calor, como 
já citado, a formulação A considera uma barra semi-infinita (condição de 
contorno 2.a.) onde para x  tem-se T = 𝑇 , o que se aproxima do avaliado 
para as aletas, que tenderam em certo ponto igualar sua temperatura a 
ambiente, já a formulação B considerou uma extremidade isolada (condição de 
contorno 2.b.), o que não foi verificado nas aletas, sendo que estas trocaram 
calor livremente em toda sua extensão. Avaliando as condições de contorno 
observa-se maior correspondência entre o real e a formulação A, o que 
resultou, como apresenta a Tabela 11, em resultados mais próximos aos 
teóricos. 
 
4.3. CALOR DISSIPADO 
 
Para o emprego da Equação (9) na determinação da quantidade de calor 
dissipada inicialmente calculou-se a integral da diferença entre a temperatura 
média de cada aleta e a temperatura ambiente (ambas as temperaturas já 
apresentadas), com limite inferior zero e superior igual a maior distância de 
ponto avaliado (Tabela 3). Deste modo, com o valor da integral, o perímetro 
 
23 
 
(Tabela 5) e considerando o coeficiente de transferência de calor da 
formulação A, determinou-se o calor dissipado apresentado na Tabela 12. 
Obter o calor dissipado pela Equação (10) implica em determinar 
incialmente a derivada da temperatura em relação a distancia x, para tal, 
utilizando dos dados apresentados na Tabela 3, plotou-se os gráficos por meio 
do Softwere Origin 8 gráficos de T versus x, apresentados nas Figuras 7, 8 e 9. 
 
Figura 7: T versus x para a Aleta 1. 
 
Figura 8: T versus x para a Aleta 2. 
 
24 
 
 
 
Figura 9: T versus x para a Aleta 3. 
 
Sendo os ajustes exponenciais avaliados pelo R², verifica-se pelas 
Figuras 7, 8 e 9 que o mesmo foi satisfatório. 
A Equação (17) é aquela gerada a partir do ajuste exponencial aos 
dados, sendo a Equação (18) sua derivada. 
𝑇 (
 
 
) (Equação 17) 
 
 
 (
 
 
) (
 
 
)
 (Equação 18) 
Sendo as constantes t e A1 apresentadas para as aletas 1, 2 e 3, nas 
Figuras 7, 8 e 9, respectivamente, aplicando-as na Equação (18) quando x=0 
obteve-se o valor da respectiva derivada em cada aleta, que junto dos valores 
de condutividade térmica (Tabela 4) e área total de troca térmica (Tabela 5), 
pode determinar a quantidade de calor dissipada pela Equação (10), sendo os 
valores apresentados na Tabela 12. 
 
 
25 
 
Tabela 12: Calor Dissipado. 
Aleta 
Q (W) 
Equação (9) Equação (10) 
1 16,6138 885,7962 
2 0,49167 110,8458 
3 3,60154 122,7439 
 
A Tabela 12 permite observar que existe uma diferença relevante entre o 
calor calculado pelas Equações (9) e (10), tal variação pode ser explicada pelo 
fato da Equação (10) considerar que o calor dissipado na superfície exterior é o 
mesmo provindo da condução térmica do material, sem considerar perdas por 
radiação, enquanto a Equação (9) avalia a diferença entre as temperaturas 
médias da aleta e a ambiente, sendo estas influenciadas pela imprecisão do 
medidor de temperatura e o possível não equilíbrio do sistema. 
No entanto, é possível verificar que a aleta 1 proporciona uma maior 
dissipação de calor para ambas as equações, reflexo do alumínio possuir alta 
condutividade térmica. Do mesmo modo, verifica-se para as placas de aço 
inoxidável que aquela com maior diâmetro apresentou maior dissipação de 
energia, o que já era esperado, sabendo que quanto maior a área de troca 
térmica, maior será o calor dissipado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26 
 
5. CONCLUSÃO 
 
 
A formulação A aplicada ao cálculo do coeficiente de transferência de 
calor apresentou maior qualidade em seus resultados sendo as condições de 
contorno utilizadas mais próximas das condições utilizadas em prática, sendo 
que a aleta de alumínio, a qual possuía maior condutividade térmica, 
apresentou também maior coeficiente de transferência de calor. 
A quantidade de calor dissipada mostrou divergência pelos métodos 
aplicados para seu cálculo, porém observou-se que o alumínio, que possui 
maior condutividade térmica, dissipou em ambos os métodos a maior 
quantidade de calor, analisando ainda que o aumento da área de troca térmica 
proporciona um aumento na eficiência da aleta em relação à dissipação de 
calor. 
De modo geral, analisar o perfil de temperatura em cada aleta se 
mostrou importante para averiguar superficialmente o comprimento útil de 
aleta, ou seja, o comprimento mínimo das aletas para que se dissipasse a 
maior quantidade de calor possível, sendo esse parâmetro essencial para 
analisar eficiência e viabilidade econômica da instalação de aletas em 
processos industriais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
 
6. REFERÊNCIAS 
 
 
BEJAN, A. Transferência de calor. Editora Edgard Blϋcher LTDA. São 
Paulo 1996. 
INCROPERA, F. P.; DEWITT, D. P., Fundamentos de Transferência 
de Calor e de Massa. 5 Edição, LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora 
S.A., Rio de Janeiro, 2003. 
INCROPERA, P. F.; DEWITT, P.D.; BERGMAN, T. L.; LAVINE, A. S. 
Fundamentos de transferência de calor e de massa. LTC, 6ª ed., Rio de 
Janeiro, 2008. 
KREITH, F.; Princípios da Transmissão de Calor. 8 ed. Editora Edgard 
Blucher Ltda., São Paulo, SP. 1996. 
KERN, D. Q., “Processos de Transmissão de Calor”. Editora 
GuanabaraKoogan S.A., Rio de Janeiro - RJ., 1987. 
PERRY, R. H. & GREEN, D. Perry’s Chemical Engineers’ Handbook. 6th 
Edition. New York: McGraw Hill, 1984. 
PORTE, A. F., “Apostila de Transferência de Calor e Massa, Santa 
Cruz do Sul”, Universidade de Santa Cruz do Sul- Curso de Engenharia 
Mecânica, Santa Cruz do Sul-RJ, 2007. 
VEIT, M. T., POTRICH, L., BASSI, A. Apostila dos roteiros da 
disciplina de laboratório de Engenharia Química I. UNIOESTE – Toledo –
PR-2010