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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS INSTITUTO DE MATEMÁTICA Aluno(a): Professor(a): Curso: 1 2 3 4 NOTA Geometria Analítica - 2 a Avaliação (sexta-feira) - 24 de abril de 2015 • Justifique todas as suas respostas. • Em cada esboço de cônica identifique vértices, focos e eixos. • Não utilize conceitos de limites e derivadas. 1. Considere o conjunto C dos pontos C do plano que juntamente comA = (−3, 5) eB = (3, 5) formam um triângulo de perímetro 16. (a) (1 ponto) Descreva o conjunto C algebricamente. (b) (1,5 pontos) Descreva o conjunto C geometricamente e faça um esboço. 2. Seja F uma família de retas r onde cada reta é determinada por um número real m através da equação r : y = mx− 1+m2m . (a) (1,5 pontos) Determine a cônica que é lugar geométrico dos pontos do plano sobre os quais passa uma única reta desta família. (b) (1 ponto) Esboce a cônica encontrada do item anterior. 3. Considere a equação quadrática abaixo e responda aos itens a seguir: x2 − 10 √ 3xy + 11y2 + 16 = 0. (a) (1,5 pontos) Identifique a cônica representada pela equação. (b) (1 ponto) Esboce a cônica. 4. Considere a hipérbole H de equação x 2 a2 − y2 b2 = 1. (a) (1 ponto) Uma reta é dita tangente à uma hipérbole se a intersecta em um único ponto e não é paralela à nenhuma de suas assíntotas. Mostre que a reta r : xx0 a2 − yy0 b2 = 1 é tangente à H no ponto (x0, y0) ∈H . (b) (1,5 pontos) Encontre o ponto sobre a hipérbole x2 9 − y 2 16 = 1 mais próximo da reta s : y = 2x+ 1. BOA PROVA! UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS INSTITUTO DE MATEMÁTICA Aluno(a): Professor(a): Curso: 1 2 3 4 NOTA Geometria Analítica - 2 a Avaliação (sábado) - 25 de abril de 2015 • Justifique todas as suas respostas. • Em cada esboço de cônica identifique vértices, focos e eixos. • Não utilize conceitos de limites e derivadas. 1. Seja OABC o quadrado cujos vértices são a origem e os pontos A = (1, 1), B = (0, 2) e C = (−1, 1). Seja F = (0, 1) o centro desse quadrado e P a parábola de foco F cuja diretriz é o eixo das abcissas. Pede-se (a) (0,5 ponto) Mostre que P passa por A e C. (b) (1 ponto) Determine a equação dessa parábola. (c) (1 ponto) Calcule as coordenadas do ponto D, segundo ponto de interseção da reta que passa por B e C com a parábola P. 2. Considere a elipse cujos focos estão sobre a reta y + 6 = 0, o ponto B(3,−11) é um dos extremos do eixo menor e a excentricidade é igual a 1√ 2 . (a) (1,5 pontos) Determine a equação desta elipse. (b) (1 ponto) Esboce a cônica. 3. Dada a equação quadrática x2 + 2 √ 3xy + 3y2 + √ 3x− y = 0. (a) (1,5 pontos) Identifique a cônica representada pela equação acima. (b) (1 ponto) Esboce a cônica do item anterior. 4. Considere a parábola P de foco em (0, a) e diretriz y = −a, com a 6= 0. (a) (1 ponto) Uma reta é dita tangente a uma parábola se a intersecta em um único ponto e não é paralela ao seu eixo. Mostre que a reta r : y = x02ax+ y0− x20 2a é tangente à P no ponto (x0, y0) ∈P. (b) (1,5 pontos) Sejam A e B os pontos de P de ordenada igual à de seu foco. Mostre que as retas tangentes à P em A e B encontram-se em sua diretriz formando um ângulo reto entre si. BOA PROVA!
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