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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
Aluno(a):
Professor(a):
Curso:
1
2
3
4
NOTA
Geometria Analítica - 2
a
Avaliação (sexta-feira) - 24 de abril de 2015
• Justifique todas as suas respostas.
• Em cada esboço de cônica identifique vértices, focos e eixos.
• Não utilize conceitos de limites e derivadas.
1. Considere o conjunto C dos pontos C do plano que juntamente comA = (−3, 5) eB = (3, 5)
formam um triângulo de perímetro 16.
(a) (1 ponto) Descreva o conjunto C algebricamente.
(b) (1,5 pontos) Descreva o conjunto C geometricamente e faça um esboço.
2. Seja F uma família de retas r onde cada reta é determinada por um número real m através
da equação r : y = mx− 1+m2m .
(a) (1,5 pontos) Determine a cônica que é lugar geométrico dos pontos do plano sobre os
quais passa uma única reta desta família.
(b) (1 ponto) Esboce a cônica encontrada do item anterior.
3. Considere a equação quadrática abaixo e responda aos itens a seguir:
x2 − 10
√
3xy + 11y2 + 16 = 0.
(a) (1,5 pontos) Identifique a cônica representada pela equação.
(b) (1 ponto) Esboce a cônica.
4. Considere a hipérbole H de equação x
2
a2
− y2
b2
= 1.
(a) (1 ponto) Uma reta é dita tangente à uma hipérbole se a intersecta em um único ponto
e não é paralela à nenhuma de suas assíntotas. Mostre que a reta r : xx0
a2
− yy0
b2
= 1 é
tangente à H no ponto (x0, y0) ∈H .
(b) (1,5 pontos) Encontre o ponto sobre a hipérbole
x2
9 − y
2
16 = 1 mais próximo da reta
s : y = 2x+ 1.
BOA PROVA!
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
Aluno(a):
Professor(a):
Curso:
1
2
3
4
NOTA
Geometria Analítica - 2
a
Avaliação (sábado) - 25 de abril de 2015
• Justifique todas as suas respostas.
• Em cada esboço de cônica identifique vértices, focos e eixos.
• Não utilize conceitos de limites e derivadas.
1. Seja OABC o quadrado cujos vértices são a origem e os pontos A = (1, 1), B = (0, 2)
e C = (−1, 1). Seja F = (0, 1) o centro desse quadrado e P a parábola de foco F cuja
diretriz é o eixo das abcissas. Pede-se
(a) (0,5 ponto) Mostre que P passa por A e C.
(b) (1 ponto) Determine a equação dessa parábola.
(c) (1 ponto) Calcule as coordenadas do ponto D, segundo ponto de interseção da reta
que passa por B e C com a parábola P.
2. Considere a elipse cujos focos estão sobre a reta y + 6 = 0, o ponto B(3,−11) é um dos
extremos do eixo menor e a excentricidade é igual a
1√
2
.
(a) (1,5 pontos) Determine a equação desta elipse.
(b) (1 ponto) Esboce a cônica.
3. Dada a equação quadrática
x2 + 2
√
3xy + 3y2 +
√
3x− y = 0.
(a) (1,5 pontos) Identifique a cônica representada pela equação acima.
(b) (1 ponto) Esboce a cônica do item anterior.
4. Considere a parábola P de foco em (0, a) e diretriz y = −a, com a 6= 0.
(a) (1 ponto) Uma reta é dita tangente a uma parábola se a intersecta em um único ponto
e não é paralela ao seu eixo. Mostre que a reta r : y = x02ax+ y0−
x20
2a é tangente à P
no ponto (x0, y0) ∈P.
(b) (1,5 pontos) Sejam A e B os pontos de P de ordenada igual à de seu foco. Mostre
que as retas tangentes à P em A e B encontram-se em sua diretriz formando um
ângulo reto entre si.
BOA PROVA!

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