Mat quimI vetores

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA 
DO RIO GRANDE DO SUL 
FACULDADE DE MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA PARA QUÍMICOS I 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VETORES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Francisco Leal Moreira 
 
 
 
 
2005/2 
 
SUMÁRIO 
1. OS CONJUNTOS 2 E 3 .................................................................................................................. 1 
1.1. O CONJUNTO 2 ............................................................................................................................. 1 
1.2. O CONJUNTO 3 .............................................................................................................................. 1 
2. VETORES ..................................................................................................................................................... 2 
2.1. INTRODUÇÃO ....................................................................................................................................... 2 
2.2. REPRESENTAÇÕES DE UM VETOR................................................................................................... 4 
2.3. VETOR NULO ........................................................................................................................................ 5 
2.4. VETORES IGUAIS ................................................................................................................................. 5 
2.5. VETORES OPOSTOS ............................................................................................................................. 5 
2.6. OPERAÇÕES COM VETORES ............................................................................................................. 5 
2.7. VETORES COLINEARES ...................................................................................................................... 8 
2.8. PARALELISMO DE DOIS VETORES .................................................................................................. 8 
2.9. RESPOSTAS ........................................................................................................................................... 9 
3. PRODUTO ESCALAR ................................................................................................................................ 10 
3.1. MÓDULO DE UM VETOR .................................................................................................................. 10 
3.2. VETOR UNITÁRIO .............................................................................................................................. 10 
3.3. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS .................................................................................................. 11 
3.4. VERSOR DE UM VETOR .................................................................................................................... 11 
3.5. ÂNGULO DE DOIS VETORES............................................................................................................ 11 
3.6. VETORES ORTOGONAIS ................................................................................................................... 12 
3.7. PROJEÇÃO DE UM VETOR ................................................................................................................ 12 
3.8. RESPOSTAS ......................................................................................................................................... 13 
4. PRODUTO VETORIAL .............................................................................................................................. 14 
4.1. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO MÓDULO DOPRODUTOVETORIAL .............................. 15 
4.2. RESPOSTAS ......................................................................................................................................... 15 
5. PRODUTO MISTO ..................................................................................................................................... 16 
5.1. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO MÓDULO DO PRODUTO MISTO .................................... 17 
5.2. RESPOSTAS ......................................................................................................................................... 17 
6. BIBLIOGRAFIA ......................................................................................................................................... 18 
 
 
 1 
1. OS CONJUNTOS 2 E 3 
 
 1.1. O CONJUNTO 2 
 
2
= 
x
 = 
 y,x/)y,x(
 
 y 
 y1 P(x1,y1) 
 P(x,y) 

Ox

y = 0 
 
 P(x,y) 

Oy

x = 0 
 0 x1 x 
 
E1) Represente graficamente os conjuntos: 
 
1) {(x,y)
2
/ y = x} 2) {(x,y)
2
/ y 

 x} 3) {(x,y)
2
/ y < x} 
 
4) {(x,y)
2
/ y < 3 - x} 5) {(x,y)
2
/ x < 2} 6) {(x,y)
2
/ 
2y1 
} 
 
7) {(x,y)
2
/ 2<x

4 e
2y1 
} 8) {(x,y)
2
/ y
2x
} 9) {(x,y)
2
/ x
2
 + y
2
 

 1} 
 
 
1.2. O CONJUNTO 3 
 
 
3
= 
 xx
 = 
 z,y,x/)z,y,x(
 
 z 
 yOz P(x,y,z) 

Ox

y = z = 0 
 z1 
 P(x,y,z) 

Oy

x = z = 0 
 
 P(x1,y1,z1) P(x,y,z)  Oz x = y = 0 
 
 xOz O y1 y P(x,y,z)  xOy z = 0 
 
 x1 P(x,y,z)  xOz y = 0 
 
 xOy P(x,y,z)  yOz x = 0 
 x 
 
 
E2) Represente graficamente os pontos: 
 
1) (0,2,0) 2) (-2,0,0) 3) (0,0,3) 4) (2,3,0) 5)(-1,0,2) 6) (0,-4,2) 
 
7) (2,3,4) 8) (3,-2,-1) 9) (-1,-3,2) 10) (3,3,3) 11) (2,4,-3) 12) (-1,-2,-3) 
 
E3) Represente graficamente os planos(equação de um plano do 
3
: ax + by + cz + d = 0): 
 
1) z = 0 2) z = 4 3) y = 0 4) y = -2 5) x = 0 6) x = 3 7) 2x –3y + 4z – 12 =0 
 
8) x – y + 2z –4 = 0 9) 3x + 2y – 6 = 0 10) x + z – 2 = 0 11 ) 4y + 2z – 8 = 0 
 2 
 
2. VETORES 
 
2.1. INTRODUÇÃO 
Existem grandezas, chamadas escalares, que são caracterizadas por um número 
(e a unidade correspondente ) : 10 m² de área , 5 cm de comprimento , 3 kg de massa . 
Outras, no entanto, necessitam mais do que isso. Por exemplo, para caracterizar uma força 
ou uma velocidade, precisamos dar a direção, a intensidade (módulo) e o sentido, tais 
grandeza são chamadas vetoriais . 
 
Os elementos do 
2
e 
3
são representados, respectivamente, por pares (x,y) e ternas (x,y,z), e podem ser 
 
interpretados como pontos ou vetores do respectivo espaço. Então, (x,y) e (x,y,z) são as as coordenadas de 
 
um ponto que marca uma posição no espaço ou de um vetor que define um deslocamento no espaço. 
 
Observe, no sistema de coordenadas abaixo, os significados de (5,3)
2
. 
 
 y 
 3 P(5,3) 
 
 v 
 
 0 5 x 
 
 Na figura acima temos: o ponto P de coordenadas (5,3) e o vetor v de coordenadas (5,3). Como v é o 
 
deslocamento de O até P, é representado geometricamente pelo segmento orientado OP. Observe que v tem 
 
direção, sentido e comprimento definidos, podendo ser aplicado sobre qualquer ponto do plano. Na figura 
 
abaixo, temos a aplicação do vetor (1,2) sobre alguns pontos do espaço 
2
. 
 
 y 
 
 
 
 
 
 
 0 x 
 
 
 
 
 
 Neste caso, dizemos que os segmentos orientados são representantes do mesmo vetor, pois expressam 
 
o mesmo deslocamento aplicado em pontos distintos. 
 
 
E1) Na figura acima, encontre as coordenadas de cada ponto onde foi aplicado o vetor (origem do segmento). 
 
 3 
 
E2) Na figura acima, encontre as coordenadas de cada ponto obtido após a aplicação do vetor (extremidade 
 
 do segmento). 
 
E3) Encontre as diferenças entre as coordenadas dos pontos extremidade e origem em cada segmento. 
 
 
 
 Indicaremos o vetor aplicado no ponto A com extremidade em B por
AB
ou B – A ou por qualquer 
 
letra latina minúscula. 
 
No 
2
, se A(x1,y1) e B(x2,y2) então v = AB = B – A= (x2–x1 ,y2–y1 ). 
 
No 
3
, se A(x1,y1,z1) e B(x2,y2 ,z2 ) então v = AB = B – A= (x2–x1 ,y2–y1 , z2–z1). 
 
 
E4) Sejam os pontos A(-1,2), B(4,5), C(-3,-2), D(1,2,3), E(0,-3,-4) e F(-1,6,-6). Encontre
AB
,
BC
,
DE
e 
EF
. 
 
 
Observações: 
 
 a) No sistema de eixos adotado adotado no 
2
, temos dois deslocamentos padrão i=(1,0) e j=(0,1). 
 y 
 
 
 1 j 
 1 
 0 i x 
 
 
 b) No sistema de eixos adotado adotado no
3
, temos três deslocamentos padrão i=(1,0,0), j=(0,1,0) e 
 
 k=(0,0,1). 
 
 z 
 
 
 1 k 
 1 
 0 
j
 y 
 1 i 
 x 
 
 
 c) Os vetores i=(1,0) e j=(0,1) formam a denominada base canônica do 
2
e os vetores i=(1,0,0), j=(0,1,0) e 
 
 k=(0,0,1) formam a denominada base canônica do 
3
. 
 
 
 d) Os vetores i, j e k também são representados, respectivamente, por e1 , e2 e e3 . 
 
 4 
Exemplo: 
 
 Usando os vetores padrão i=(1,0) e j=(0,1), queremos encontrar o caminho mais curto para ir do ponto 
 
(-1,0) até o ponto (3,3). 
 
 Solução: y 
 
 
 
 
 
 
 0 x 
 
 O deslocamento total: 4 passos para direita mais 3 passos para cima ou 4i +3j . 
 
 Note que: (3,3) – (–1,0) = (4,3). 
 
 A resolução do exemplo acima, foi feita mediante a decomposição do vetor (4,3) segundo as direções dos 
 
vetores i e j, isto é, (4,3) = 4i +3j. 
 
 
Importante: 
 
 a) Todo vetor do 
2
pode ser decomposto segundo as direções dos vetores i=(1,0) e j=(0,1). 
 
 V=(a,b)

v = ai + bj 
 
 b) Todo vetor do 
3
pode ser decomposto segundo as direções dos vetores i=(1,0,0), j=(0,1,0) e k=(0,0,1). 
 
 V=(a,b,c)

v = ai + bj +ck 
 
 
2.2. REPRESENTAÇÕES DE UM VETOR 
 
 
 Geométrica Algébrica Matricial 
 
 
2
 v = (x,y) v =






y
x
 
 
 
 
3
 v = (x,y,z) v =










z
y
x 
 
 
 
 
 
 5 
 2.3. VETOR NULO 
 
 Vetor nulo é o vetor representado por um segmento nulo. Indica-se o vetor nulo por 
0
. 
 
 No 
2
, 0 = (0,0) e no 
3
, 0 = (0,0,0). 
 
 
2.4. VETORES IGUAIS 
 
 Dois vetores são iguais se tiverem a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento. 
 
 No 
2
, se u = (x1,y1) e v = (x2,y2) então u = v 

 x1 = x2 e y1 = y2 . 
 
 No 
3
, se u = (x1,y1,z1) e v = (x2,y2 ,z2 ) então u = v 

 x1 = x2 , y1 = y2 e z1 = z2 . 
 
 
E5) Encontre x e y para que os vetores u e v sejam iguais. 
 
a) u =( x
2
 , -1) e v = ( 1, y
3
 )b) 
u
= ( x –2 , 3, 5) e 
v
= (2x + 1, y +5, 5) 
 
2.5. VETORES OPOSTOS 
 
 Dois vetores são opostos se tiverem a mesma direção, o mesmo comprimento e sentidos opostos. 
 
 Indica-se o vetor oposto de v por -v. 
 
 No 
2
, se v = (x,y) , -v = (-x,-y) e no 
3
, se v = (x,y,z) , -v = (-x,-y,-z). 
 
 
 
2.6. OPERAÇÕES COM VETORES 
 
 1. ADIÇÃO 
 
 
 
 u v 
 
 
 
 
 Regra do Paralelogramo Regra da Poligonal 
 
 B D B 
v
 C 
 
 
 
u
 
u
+
v
 
u
 
 
u
+
v
 
 
 A 
v
 C A 
 
 6 
 
 No 
2
, se u(x1,y1) e v(x2,y2) então u + v = ( x1 + x2 , y1 + y2 ). 
 
 No 
3
, se u(x1,y1,z1) e v(x2,y2 ,z2 ) então 
u
+
v
 = ( x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2) 
 
 
PROPRIEDADES: 
 
 a) Comutativa : 
u
+
v
= 
v
+
u
 
 b) Associativa : 
u
+ (
v
+
w
) = (
u
+
v
) +
w
 
 c) Elemento neutro : 
u
+ 
0
 = 
u
 
 d) Elementos Oposto : 
u
+ (-
u
) = 
0
 
 
 
 2. SUBTRAÇÃO 
 
 A diferença dos vetores u e v é a soma do vetor u com o oposto de v, isto é 
u
-
v
 = 
u
 + (-
v
). 
 
 No 
2
, se u(x1,y1) e v(x2,y2) então u – v = ( x1 – x2 , y1 – y2 ). 
 
 No 
3
, se u(x1,y1,z1) e v(x2,y2 ,z2 ) então 
u
–
v
 = ( x1 – x2 , y1 – y2 , z1 – z2) 
 
 
 
E6) Determine o vetor 
x
nas figuras abaixo : 
 
 a) b) 
x
 
 
 
u
 
x
 
 u 
 
v
 
 v 
 
 
 
w
 
 
 
 
E7)Sejam os pontos A (2,1,0) , B (2, -1, 2 ) e C (3, 4 , -2 ). 
 a)Determine as componentes dos vetores 
AB
 ,
AC
 e 
BC
 . 
 b) Determine o vetor
v
, tal que 
v
= 
BCAB
. 
 c)Determine o ponto P, tal que 
 PBAP
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 7 
 3. MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL POR UM VETOR . 
 
- Se 

 = 0 ou 
v
= 
0
, então 
v
= 
0
 
 
- Se 


 0 e 
v
 0
, então 
v
 é tal que 
 
 a) 
v
 e 
v
 tem a mesma direção 
 
 b) 
v
 e 
v
 tem o mesmo sentido se 

>0 e sentido contrário se 

<0 
 
 c) o comprimento de 

v é igual ao comprimento de v multiplicado pelo módulo de 

.| 
Exemplo: 
 
 
 
v
 2v -3v 
 
 
 
 
 
 
 No 
2
, se u(x1,y1) e 

 então 
α
u = (
α
x1 , α y1 ). 
 
 No 
3
, se u(x1,y1,z1) e 

 então 
α
u = (
α
x1 , α y1 , α z1). 
 
 
 PROPRIEDADES: 
 
 a)

(
u
+
v
) = 
u
+ 
v
 
 b) (

+

)
u
=
u
+
u.
 
 c) 1.
v
=
v
 
 d)

(
v.
) = 
v)(
=

(
v
) 
 
E8) Dados os vetores abaixo, obtenha : 
 
 
 
u
 
v
 
w
 
 
 
 
 a) 
u
+ 
v
+
w
 b) 
u
 - 
v
 c) 
u
 - 
w
+
v
 d) 2
u
 - 2
w
 e) 2
v
 -
w
 - 2
u
 
 
 
E9) Dados os vetores 
u
=(1,-2,3) , 
v
=(4,-1,-5) e 
w
=(0,2,1), calcular: 
 
 a) 
u
+ 
v
 b) 
u
 - 
v
 c) 2
u
+ 3
v
 - w 
 
 d) t, tal que 3
u
+ 
v
= 5
w
- 4t e)
x
, tal que 
w
- 
v
 = 
u
+ 2
x
 
 
 
 8 
2.7. VETORES COLINEARES 
 
 Vetores colineares são vetores que possuem representantes numa mesma reta. 
 
E10) Quais vetores abaixo são colineares? 
 y 
 
 
 
 v1 v2 v3 
 
 
 0 v4 x 
 
 v5 
 
 
 
Importante: 
 
 As expressões vetores colineares, vetores múltiplos e vetores paralelos tem o mesmo significado. 
 
 
2.8. PARALELISMO DE DOIS VETORES 
 
 Se dois vetores 
u
e 
v
 são paralelos, então existe um número 

, tal que 
u
=
 v
. 
 
 No 
2
, se 
u
= ( x1 , y1 ) e
v
= ( x2 , y2 ) então ( x1 , y1 ) =

( x2 , y2 ) e portanto x1 = 

x2 e y1 =

y2 . 
 
 
 Logo 
2
1
2
1
y
y
x
x
α 
 , isto é 
u
// 
v 
2
1
2
1
y
y
x
x

 
 
 
 
 No 
3
, 
u
// 
v 
2
1
2
1
2
1
z
z
y
y
x
x

 
 
 
Observações: 
 
a) O vetor nulo é paralelo a qualquer vetor do espaço(convenção). 
 
b) Se uma das componentes de um vetor v é nula, a componente correspondente de qualquer vetor paralelo a v 
 
 também é nula. 
 
c) Três pontos são colineares se dois vetores formados por eles são paralelos. 
 
 
E11) Encontre o valor de x para que os vetores 
v
e 
u
,sejam paralelos : 
 
 a) 
u
= ( x - 2 , 1,0 ), 
v
= ( 1 , 3,0 ) b) 
u
= ( 0 , 5, 10 ), 
v
= ( x , 2, 4 ) c) 
u
= ( 5 ,0 ), 
v
= ( x , 2 ) 
 9 
 
E12) Determinar m e n de modo que os vetores 
u
=(1,-2,m) e
v
=(4,n,-5) sejam paralelos. 
 
E13) Calcular a e b de modo que os pontos A(1,-2,0) , B(2,-1,-2) e C(a ,b ,1) sejam colineares. 
 
E14) Os pontos (1,2) , (3,4) e (5,6) são colineares ? 
 
 
 
 
 
 
 
2.9. RESPOSTASE1) (-3,-1); (0,0); (1,-2); (2,1); (3,-1) 
 
E2) (-2,1); (1,2); (2,0); (3,3); (4,1) 
 
E3) (1,2) 
 
E4) (5,3); (-7,-7); (-1,-5,-7); (-1,9,-2) 
 
E5) a) x = 1 e y = –1 b) x = –3 e y = –2 
 
E6) a) x = u – v b) x = w – u – v 
 
E7) a) 
AB
 = (0,-2,2) ,
AC
 = (1,3,-2) , 
BC
 = (1,5,-4) b) (-1,-7,6) c) (2,0,1) 
E9) a) (5,-3,-2) b) (-3,-1,8) c) (14,-9,-10) d) 
)
4
1
,
4
17
,
4
7
(
 e) 
)
2
3
,
2
5
,
2
5
(
 
 
E10) TODOS 
E11) a) x =
3
7
 b) x = 0 c) NÃO EXISTE 
E12) n = -8 e m = 
4
5

 
E13) a = 
2
1
e b =
2
5

 
 
E14) SIM 
 10 
3. PRODUTO ESCALAR 
 
 
 Chama-se produto escalar(ou produto interno usual) de dois vetores u e v o número real representado por 
 
u
.
v
 ou <
u
,
v
> e calculado pela soma dos produtos das componentes correspondentes dos vetores. 
 
 Se 
u
= (x1, y1) 2 e v = ( x2, y2 ) 2 então u.v = x1.x2 + y1.y2 . 
 
 Se 
u
= (x1, y1 , z1) 3 e v = ( x2, y2 , z2) 3 então u.v = x1.x2 + y1.y2 + z1.z2. 
 
 
E1) Determinar
u
.
v
,sabendo que 
u
=(1,-2) e
v
=(4,2). 
 
E2) Dados os pontos A(1,-2,0) , B(2,-1,-2) e C(4 ,2 ,1), calcular 
BC.AB
 
 
 
3.1. MÓDULO DE UM VETOR 
 Chama-se módulo(ou comprimento) do vetor 
v
 o número real não negativo calculado por
v.v
. 
 
 No 
2
, se 
v
=(x,y ) então 
22 yx|v| 
 
 
 No 
3
, se 
v
=(x,y,z ) então 
222 zyx|v| 
 
 
E3) Dados os vetores 
u
=(1,-2,2) e
v
=(4,3), calcular |
u
| e |
v
| . 
 
E4) Dados os pontos A(1,3,0) e B(-2,m,-2), calcular m para que | 
AB
| = 7. 
 
 
PROPRIEDADES DO MÓDULO: 
 
 a) | u | 

 0 e | u | = 0 

 u = 0 
 b) | -u | = | u | 
 c) |
u
| = |

|.| u | 
 d) | u + v | 

 | u | + | v | 
 
 
3.2. VETOR UNITÁRIO 
 
 Chama-se vetor unitário qualquer vetor v de comprimento igual a 1(um), isto é |
v
 | =1. 
 
 
E5) Determinar o valor de n para que o vetor
)
5
4
,n(w 
 seja unitário. 
 
 
 
 11 
3.3. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS 
 
 A distância d entre dois pontos A(x1, y1 , z1) e B( x2, y2 , z2) é o comprimento do vetor 
 
 No
2
, se A(x1, y1 ) e B( x2, y2 ) então AB =(x2 -x1 , y2 -y1 ) e dAB =
2
12
2
12 )yy()xx( 
. 
 
 No
3
, se A(x1, y1 , z1) e B( x2, y2 , z2) então AB =(x2 -x1 , y2 -y1 , z2 - z1) e 
 
 dAB =
2
12
2
12
2
12 )zz()yy()xx( 
. 
 
E6) Determinar no eixo das ordenadas um ponto eqüidistante dos pontos A(1,-3,7) e B(5,7,-5). 
 
E7) Determine o ponto do plano eqüidistante dos pontos (-1,-2) , (1,0) e (3,-2). 
 
 
3.4. VERSOR DE UM VETOR 
 
 Versor de um vetor não nulo
v
 é o vetor unitário de mesma direção e mesmo sentido de 
v
. 
 
 versor de
v
=
|v|
v
 
 
 
E8) Determinar os versores dos vetores 
u
= (0,-3,4) e v = (-1,1). 
 
PROPRIEDADES DO PRODUTO ESCALAR 
 
 a) 
u
.
v
=
v
.
u
 
 
 b) 
u
.(
v
+
w
) = 
u
.
v
+
u
.
w
 
 
 c) 

(
u
.
v
) = (
 u
).
v
=
u
.(
 v
), com

 
 
 
3.5. ÂNGULO DE DOIS VETORES 
 
 Se 
u 0
,
v 0
e 

é o ângulo dos vetores 
u
e
v
, com 
 1800 
. 
 
 
 v v – u Da lei dos co-senos: |u – v|2 = |u|2 + |v|2 – 2|u|.|v| cos

 (1) 
 

 
 u Mas |u – v|2 = (u – v).(u – v) = u.u –2u.v + v.v = |u|2 – 2 u.v + |v|2 (2) 
 
 Comparando (1) e (2): u.v =|u|.|v| cos

 ou cos 

 =
|v|.|u|
v.u
. 
 
 
E9) O que se pode afirmar sobre u.v, se 
 900 
. 
 
E10) O que se pode afirmar sobre u.v, se 
 18090 
. 
 
 12 
E11) O que se pode afirmar sobre u.v, se 
 90
. 
 
E12) O que se pode afirmar sobre u e v, se 
 0
. 
 
E13) O que se pode afirmar sobre u e v, se 
180
. 
 
E14) Calcular os ângulos entre os vetores 
u
 e
v
, sendo: 
 
 a) 
u
=(1,2) e
v
=(-1,2) b) 
u
=(2,-1) e
v
=(1,2) c) 
u
=(0,2) e
v
=(0,1) 
 
 d) 
u
=(1,1,4) e
v
=(-1,2,2) e) 
u
=(2,-1,2) e
v
=(-1,2,2) f) 
u
=(0,2,4) e
v
=(0,1,2) 
 E15) Sabendo que o ângulo entre os vetores 
u
=(2,1,-1) e
v
=(1,-1,m+2) é 
3

, calcular m. 
 
3.6. VETORES ORTOGONAIS 
 
 Se 
u
é ortogonal a 
v
, o ângulo 

 entre os vetores u e v é 90
o
 e cos 

= 0, logo de 4.4. 
u
.v = 0. 
 
 
u

v
 

 
u
.
v
= 0 
 
 
E16) Dados os vetores 
u
=(1,-2,2) e
v
=(4,m,-5), calcular m para que 
u
e 
v
sejam ortogonais. 
 
E17) O triângulo de vértices A(5,1,5), B(4,3,2) e C(-3,-2,1) é retângulo ? 
 
E18) Determinar um vetor ortogonal ao vetor
)2,1,3(w 
. 
 
E19) Dados os pontos A(5,-1,2), B(6,2,4) e C(7,1,3), determinar: 
 
 a) as componentes de 
 CA5BC2AB3
 b) o módulo de 
BC
 c) o versor de 
CA
 
 
E20) Dados os vetores 
j3i3u 
,
k2ji2v 
e
k5j4i3w 
, determinar: 
 
 a) 
w.u
 b) 
)wv.(u 
 c)o ângulo entre 
u
e
v
 d) o versor de 
u
 
 
 e) o valor de m para que o vetor 
k4j5mip 
 seja ortogonal a 
u
-
v
 
 
 
3.7. PROJEÇÃO DE UM VETOR 
 
 
w
é a projeção de 
u
 sobre 
v
. Como (
u
-
w
).
v
= 0 (1) e 
w
=

.
v
 (2), 
 u 
u
-
w
 
 substituindo a (2) em (1) e isolando 

,vem: 

=
v.v
v.u
 
 
v
 
w
 
 Substituindo o 

 encontrado em (2), conclui-se que 
w
=
v.
v.v
v.u
uprojv 






 
 
 E21) Encontre a projeção do vetor u sobre o vetor v, sendo: 
 
 a) u = (1,1) e v = (2,0) b) u = (1,1,1) e v = (3,3,0) 
 13 
 
3.8. RESPOSTAS 
 
 E1) 0 
 
 E2) -1 
 
 E3) 3 e 5 
 
 E4) m = -3 ou m = 9 
 
 E5) n =
5
3

 
 
 E6) (0,2,0) 
 
 E7) (1,-2) 
 
 E8) 
)
5
4
,
5
3
,0( 
; 
)
2
1
,
2
1
(
 
 
 E9) u.v > 0 
 
 E10) u.v < 0 
 
 E11) u.v = 0 
 
 E12) Paralelos de mesma direção e mesmo sentido. 
 
 E13) Paralelos de mesma direção e sentidos contrários. 
 
 E14) a) 

= arc sen(3/5) b) 90
o
 c) 0
o
 d) 45
o
 e) 90
o
 f) 0
o
 
 
 E15) m = -4 
 
 E16) m = -3 
 
 E17) SIM 
 
 E18) qualquer v = (a,b,c), tal que b = 3a –2c 
 
 E19) a) (-9,1,3)b)
3
 c) 
)
3
1
,
3
2
,
3
2
( 
 
 E20) a) 21 b) 30 c) 45
o
 d) 
)0,
2
2
,
2
2
(
 e) m = -18 
 
 E21) a) (1,0) b) (1,1,0) 
 14 
4. PRODUTO VETORIAL 
 
 
 Dados os vetores 
u
= (x1, y1 , z1) e
v
 = ( x2, y2 , z2), chama-se produto vetorial de 
u
por
v
, nesta ordem, 
 
ao vetor representado por 
u
x
v
e calculado por: 
 
u
x
v
=
222
111
zyx
zyx
kji 
 O produto vetorial não está definido no 
2
. 
 
 
E1) Determinar
u
x
v
,sabendo que 
u
=(1,-2,4) e
v
=(4,2,-5). 
 
E2) Dados os pontos A(1,-2,0) , B(2,-1,-2) e C(4 ,2 ,1), calcular 
BCxAB
 
 
 
PROPRIEDADES DO PRODUTO VETORIAL 
 
 a) 
u
x
u
 = 
0
 
 
 b) 
u
x
v
 = -
v
x
u
 
 
 c) 
u
x(
v
+
w
) = 
u
x
v
+
u
x
w
 
 
 d) 

(
u
x
v
) = (
 u
)x
v
=
u
x(
 v
), com

 
 
 e) 
u
x
v
 = 
0
se e somente se, um dos vetores é nulo ou os dois são colineares. 
 
 f) 
u
x
v
 é simultaneamente ortogonal aos vetores 
u
e
v
e o sentido de 
u
x
v
 é dado pela “regra da mão 
 
 direita” ou pela “regra do saca rolhas”. 
 
 g) |
u
x
v
 | = |
u
|.|
v
 |.sen

 
 
u
x
v
 
 
 
v
 

 
 
 
 

 
 
u
 
 
 
Observação: Da propriedade e, u // v 

 
u
x
v
 = 
0
 
 
 
E3)Dados os vetores 
k2j4i3u 
 e
kji2v 
, determinar: 
 
 a) 
u
x
v
 b) 
v
x
u
 c) um vetor unitário simultaneamente ortogonal a 
u
-
v
 e 
v
+
u
 
 
 d) o valor de m para que o vetor 
k)5m(j2i)m9(w 
 seja paralelo a 
u
x
v
 
 15 
 
4.1. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO MÓDULO DOPRODUTOVETORIAL 
 
 O módulo do produto vetorial de dois vetores 
u
e
v
 é igual a área do paralelogramo cujos lados são 
 
determinado pelos vetores 
u
e
v
. 
 
 C D AABCD = |
u
|. h = |
u
|. |
v
|. sen 

 
 
 
v
 da propriedade g, |
u
|. |
v
|. sen 

= |
u
x
v
 | 
 

 h 
 A B Logo AABCD = |
u
x
v
 | 
 
u
 
 
 
Importante: AABC = 
2
|vxu|
 
 
 
E4) Dados os pontos A(2,1,3), B(6,4,1) e C(-6,-2,6), determinar: 
 a) a área do paralelogramo determinado pelos vetores 
AB
 e 
AC
 ; 
 b) a altura do paralelogramo determinado pelos vetores 
AB
 e 
AC
 relativa ao lado 
AB
 ; 
 
 c) a área do triângulo de vértices A, B e C. 
 
 
 
 
 
4.2. RESPOSTAS 
 
 
 E1) (2,21,10) 
 
 E2) (9,-7,1) 
 
 E3) a) (2,1,-5) b) (-2,-1,5) c)
)
6
30
,
30
30
,
15
30
( 
 d) m = -5 
 
 E4) a) 13 b) 
29
2913
 c) 
2
13
 
 
 16 
5. PRODUTO MISTO 
 
 Dados os vetores 
u
= (x1, y1 , z1),
v
 = ( x2, y2 , z2) e 
w
=(x3, y3 ,z3) , chama-se produto misto dos vetores 
 
 
u
,
v
 e 
w
, nesta ordem, ao número real representado por (
u
,
v
,
w
) e calculado por 
u
.(
v
x
w
) ou 
 (u,v,w)=
333
222
111
zyx
zyx
zyx 
 
 O produto misto não está definido no 
2
. 
 
 
 
 E1) Dados os vetores 
u
=(-2,1,2) , 
v
=(1,-1,1) e
w
= (1,1,1) , calcular: 
 
 a) ( u,v,w) b) (v,u,w) c) (v,w,u) 
 
 
PROPRIEDADES DO PRODUTO MISTO 
 
 a) (u,v,w) = 0 se um dos vetores é nulo, se dois deles são colineares, ou se os três são coplanares. 
 
 b) Na permutação de dois dos três vetores , o produto misto ( u,v,w) muda de sinal. 
 
 c)

(u,v,w) = (

u,v,w) = (u,

v,w) = (u,v,

w),com

. 
 
 
Importante: Vetores coplanares são vetores que possuem representantes num mesmo plano. 
 
 a) Dois vetores são sempre coplanares. 
 
 b) Três vetores u, v e w do 
3
são coplanares se (u,v,w) = 0. 
 
 c) Três vetores u, v e w do 
3
são coplanares se u = av + bw. 
 
 d) Quatro pontos do 
3
são coplanares se três vetores formados por eles são coplanares. 
 
 
 
E2)Verificar se são coplanares os vetores: 
 
 a) 
u
=(1,-1,0) , 
v
=(2,1,3) e
w
= (3,2,1) b) 
u
=(1,-1,-2) , 
v
=(3,-2,5) e
w
= (5,-4,1) 
 
E3)Qual deve ser o valor de n para que os vetores 
u
=(3,n,2) , 
v
=(4,0,1) e
w
= (2,-1,-2) para que os vetores 
 
 sejam coplanares ? 
 
E4)Verificar se os pontos A(1,2,4), B(-1,0,-2), C(0,2,2) e D(-2,1,-3) estão num mesmo plano. 
 
 
 
 
 17 
 
5.1. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO MÓDULO DO PRODUTO MISTO 
 
 O módulo do produto misto (u,v,w) é igual ao volume do paralelepípedo cujas arestas são determinadas 
 
pelos vetores u, v e w. 
 V = Sb.h , Sb = |vxw| e h = |
u
|.|cos 

| 
 
v
x w 
 V = |
v
 x
w
 |. |
u
|.|cos 

| 
 
 V = | |
v
 x
w
 |. |
u
|.cos 

 | 
 
u
 h 
 

 V = | u.(
v
 x
w
)|| 
 
w
 
 V = | (
u
,
v
,
w
) | 
 v 
 
E5) Dados os pontos A(1,1,-1), B(2,2,-1) , C(3,1,-1) e D(2,3,1), determinar: 
 
 a) o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores 
AB
 ,
AC
 e 
AD
 .b) a altura do paralelepípedo determinado pelos vetores 
AB
 ,
AC
 e 
AD
 relativa a face determinada por 
 
AB
 e 
AC
 . 
 c) o volume do tetraedro cujos vértices são: A, B, C e D(o volume do tetraedro de vértices A, B e C é a 
 sexta parte do volume do paralelepípedo determinado pelos vetores 
AB
 ,
AC
 e 
AD
 ). 
 
E6) Dados os vetores 
u
=(x,5,0) , 
v
=(3,-2,1) e
w
= (1,1,-1), calcular o valor de x para que o volume do 
 
 paralelepípedo determinado por 
u
,
v
 e
w
seja 24 u.v. 
 
E7) Determinar o valor de 

 para que: 
 
a) (

,3,-7)x(11,1,10) =(37,-87,-32) b)(10,

,10).[(1,2,3)x(4,5,6)] = 36 
 
E8) Dados os vetores 
k2j4i3u 
 e
kji2v 
, determinar (
u
x
v
 ).( 
u
-
v
). 
 
E9) Dados os pontos A(1,0,-1), B(0,2,-1) , C(1,1,-1) e D(0,0,1), determinar: 
 a) o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores 
AB
 ,
AC
 e 
AD
 . 
 b) a área do paralelogramo determinado pelos vetores 
AB
 e
AC
 . 
 
E10)Determine o valor de p e q para que: 
 
 a)(p,5,q).(2,4,6) = 30 b)(p,q,-7)x(11,1,10) = (37,-87,-32) c)(10,q,10).[(1,2,3)x(4,5,6)] = 36 
 
 
5.2. RESPOSTAS 
 
 E2) a) NÃO b) SIM E3) n =
2
1
 E4) SIM E5) a) 4 b) 2 c) 
3
2
 E6) x = 4 ou x = -44 
 
 E7) a) 

= 1 b) 

= 16 E8) 0 E9) a) 2 b) 1 E10) a) p = 5 – 3q b) p = 1 e q = 3 c) q = 16 
 18 
6. BIBLIOGRAFIA 
 
 
 
BOULOS, Paulo; CAMARGO, Ivan de. Introdução à geometria analítica no espaço. São Paulo: 
 Makron Books do Brasil, 1997. 
 
STEINBRUCH, Alfredo, WINTERLE, Paulo. Geometria analítica. São Paulo: McGraw- Hill, 1987. 
 
WINTERLE, Paulo. Vetores e geometria analítica. São Paulo : Makron, 2000.