mtm122 lista 2

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Universidade Federal de Ouro Preto
Departamento de Matema´tica
MTM122 - CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
Lista de Exerc´ıcios 21
1. Mostre, utilizando a definic¸a˜o formal, que os limites abaixo existem e sa˜o iguais ao valor dado.
(a) lim
x→3
(4x− 5) = 7. (b) lim
x→−2
x2 − 4
x+ 2
= −4.
2. Sabendo que lim
x→1
f(x) = 0, lim
x→1
g(x) = 2 e lim
x→1
h(x) = −1, determine os limites abaixo, caso existam:
(a) lim
x→1
[f(x) + 3h(x)− 2g(x)] (b) lim
x→1
[h(x)(g(x))3] (c) lim
x→1
h(x)
(g(x))2
Respostas: (a) −7; (b) −8; (c) −1
4
3. Calcule os limites abaixo:
(a) lim
x→−1
(−x5 + 6x4 + 2).
(b) lim
x→−1
[(x+ 4)3 · (x+ 2)−1].
(c) lim
x→0
[(x− 2)10 · (x+ 4)].
(d) lim
t→2
t+ 3
t+ 2
.
(e) lim
t→2
t2 − 5t+ 6
t− 2 .
(f) lim
x→4
3
√
6x+ 3.
(g) lim
x→7
(3x+ 2)2/3.
(h) lim
x→pi/2
[2 sen(x)− cos(x) + cotg(x)].
(i) lim
x→4
(ex + 4x).
Respostas: (a) 9; (b) 27; (c) 4096; (d)
5
4
; (e) −1; (f) 3; (g) 3
√
529; (h) 2; (i) e4 + 16
4. Considere a seguinte func¸a˜o:
f(x) =

| cos(x)|, se x 6 −pi
2
2
pi
x+ 1, se − pi
2
< x < 0
−x2 + x+ 1, se 0 6 x < 1
ex, se x > 1.
(a) Esboce o gra´fico de f(x).
(b) Pelo gra´fico, o que podemos afirmar sobre lim
x→−pi2
f(x)? E lim
x→0
f(x)? E lim
x→1
f(x)?
Respostas: (b) 0; 1; na˜o existe
5. Seja f(x) =

x, se x < 1
6, se x = 1
2− 3x2, se 1 < x 6 2
x− 3, se x > 2.
Calcule:
1Esta lista foi elaborada em parceria com a professora Monique Rafaella Anunciac¸a˜o de Oliveira - DEMAT/UFOP
(a) lim
x→1−
f(x) (b) lim
x→1
f(x) (c) f(1) (d) lim
x→2−
f(x) (e) lim
x→2+
f(x) (f) lim
x→2
f(x)
Respostas: (a) 1; (b) Na˜o existe; (c) 6; (d) −10; (e) −1; (f) Na˜o existe
6. Calcule lim
x→0
x4 cos
(
2
x
)
.
Resposta: 0
7. Dada f(x) =
|x|+ x
x
, existe lim
x→0
f(x)?
Resposta: Na˜o
8. Sabendo-se que as desigualdades 1− x
2
6
<
x sen(x)
2− 2 cos(x) < 1 valem para todos os valores de x pro´ximos de zero,
calcule lim
x→0
x sen(x)
2− 2 cos(x) .
Resposta: 1
9. Calcule, caso exista, o limite:
(a) lim
x→2
x2 + x− 6
x− 2
(b) lim
x→4
x2 − 4x
x2 − 3x− 4
(c) lim
t→−3
t2 − 9
2t2 + 7t+ 3
(d) lim
x→7
√
x+ 2− 3
x− 7
(e) lim
x→4
5 +
√
x√
5 + x
(f) lim
x→−2
2− |x|
2 + x
(g) lim
x→0
|x|
x
(h) lim
x→0
4−√12x+ 16
x
(i) lim
x→1
x− 1√
x− 1
(j) lim
x→1
√
x− 1√
2x+ 3−√x
(k) lim
x→2
x− 2√
4− x2
(l) lim
x→3
x3 − 3x− 3
x2 − 1
(m) lim
x→3
(x2 − 4x+ 3)
[
cos
(
1
x− 3
)
+ cos
(
ex
x− 3
)
+ 1
]
(n) lim
x→1
f(x), onde f(x) =

ln(|cos(x+ ex)|) se x < −1
x− 1 se −1 ≤ x < 1
x2 − 2x+ 1 se 1 ≤ x.
Respostas: (a) 5; (b)
4
5
; (c)
12
5
; (d)
1
6
; (e)
7
3
; (f) 1; (g) @; (h) −3
2
; (i) 0; (j) 0; (k) 0; (l)
15
8
; (m) 0; (n) 0.
10. Calcule lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
em cada caso a seguir:
(a) f(x) = x3.
(b) f(x) = x4.
(c) f(x) = xn.
(d) f(x) = ax+ b.
(e) f(x) = ax2 + bx+ c.
(f) f(x) = ax3 + bx2 + cx+ d.
(g) f(x) =
√
x
Respostas: (a) 3x20; (b) 4x
3
0; (c) nx
n−1
0 ; (d) a; (e) 2ax0 + b; (f) 3ax
2
0 + 2bx0 + c; (g)
1
2
√
x0
11. Calcule, caso exista, o limite:
(a) lim
x→1
2− x
(x− 1)2
(b) lim
x→−1
x2 − 4x
x2 − 3x− 4
(c) lim
t→0
[
1
t
√
1 + t
− 1
t
]
(d) lim
x→+∞
√
12x3 − 5x+ 2
1 + 4x2 + 3x3
.
(e) lim
x→+∞
x3 − x
x2 − 6x+ 5.
(f) lim
x→−∞
√
9x6 − x
x3 + 1
.
(g) lim
x→+∞
[√
9x2 + x− 3x
]
.
(h) lim
x→−∞
[
x+
√
x2 + 2x
]
.
(i) lim
x→+∞ e
−2x cos(x).
(j) lim
x→+∞
2ex
ex − 5 .
(k) lim
x→2
x2 + x
x2 − x− 2
(l) lim
x→5+
7
x− 5
(m) lim
x→1+
[
2
x− 1
]
(n) lim
x→1−
[
2
x− 1
]
(o) lim
x→+∞
x3 − x+ 1
x4 − 12
(p) lim
x→−∞
x3 − x+ 1
x4 − 12
(q) lim
x→+∞
−2x4 − x2 − 3x− 5
−5x4 − x3 + x2 − x+ 1
(r) lim
x→−∞
−2x4 − x2 − 3x− 5
−5x4 − x3 + x2 − x+ 1
(s) lim
x→+∞
x5 − 5
x3 + x2 + x+ 1
(t) lim
x→−∞
x5 − 5
x3 + x2 + x+ 1
(u) lim
x→+∞
x6 − x
x3 + x2
(v) lim
x→−∞
x6 − x
x3 + x2
(w) lim
x→0
1
x
Respostas: (a) +∞; (b) Na˜o existe; (c) −1
2
; (d) 2; (e) +∞; (f) −3; (g) 1
6
; (h) −1; (i) 0; (j) 2; (k) Na˜o existe; (l)
+∞; (m) +∞; (n) −∞; (o) 0; (p) 0; (q) 2
5
; (r)
2
5
; (s) +∞; (t) +∞; (u) +∞; (v) −∞; (w) ;
12. Sejam p(x) um polinoˆmio de grau a e q(x) um polinoˆmio de grau b. De acordo com as possibilidades para a e b,
o que pode acontecer com o limite lim
x→+∞
p(x)
q(x)
?
Resposta: ±∞ se a > b; 0 se a < b; um nu´mero inteiro se a = b
13. Verifique se alguma das func¸o˜es abaixo possui ass´ıntota vertical ou horizontal. Em caso positivo, determine-as.
(a) f(x) =
2
x− 4
(b) g(x) =
5
x2 + 8x+ 15
(c) h(x) =
3x+ 4√
2x2 − 5 (d) j(x) =
4− 3x
x+ 1
(e) l(x) = 5x+ 2
Respostas: (a) x = 4; y = 0; (b) x = −5, x = −3; y = 0; (c) x = ±
√
5
2
; y = ± 3√
2
; (d) x = −1; y = −3;
(e) Na˜o possui
14. Se existe lim
x→2
f(x), enta˜o e´ verdade que lim
x→2
f(x) = f(2)? Justifique sua resposta.
Resposta: Na˜o
15. Considere a func¸a˜o f(x) = ln(x).
(a) Utilizando uma calculadora (e propriedades da func¸a˜o logar´ıtmica), calcule os valores de f(x) para x = 0, 1,
x = 0, 01 = 10−2, x = 10−4, x = 10−9, x = 10−14, x = 10−51.
(b) Esboc¸e o gra´fico de f(x).
(c) Baseado nos itens anteriores, o que voceˆ pode dizer sobre lim
x→0+
f(x)?
Respostas: (a) −2, 3;−4, 6;−9, 2;−20, 7;−32, 2;−117, 3; (c) −∞
16. Determine o domı´nio das seguintes func¸o˜es. Determine onde elas sa˜o continuas:
(a) f(x) = cos(x)
(b) f(x) = sex(
1
x
)
(c) f(x) =
x√
x2 − 4
(d) f(x) = tg2(
√
2x+ 1)
(e) f(x) =

5x+ 2 se x < 0
2 se x = 0
2cos(x) se x > 0
(f) f(x) =
{
x2 − 1 se x ≤ 0
−x2 − 1 se x > 0
Respostas: (a) D(f) = R, Cont´ınua em R; (b) D(f) = R− {0}, Descont´ınua em x = 0; (c) D(f) = R− {−2, 2},
Descont´ınua em x = −2 e x = 2; (d) D(f) =
⋃
k∈Z
(
1
2
[(
pi
2
+ kpi)2 − 1], 1
2
[(
pi
2
+ (k + 1)pi)2 − 1]), Descont´ınua em
x =
1
2
[(
pi
2
+ kpi)2 − 1], onde k ∈ Z; (e) D(f) = R, Cont´ınua em R; (f) D(f) = R, Cont´ınua em R.
17. Calcule, caso exista, o limite:
(a) lim
x→1
(x3 − 3)
(b) lim
x→pi−
cossec(x)
(c) lim
x→pi cossec(x)
(d) lim
h→5
h√
5 + h−√h
(e) lim
h→0
√
3h+ 3−√3
h
(f) lim
x→−3
(x2 − 9)
(g) lim
t→0
√
a2 + bt− a
t
(h) lim
x→0
√|x|
x2
(i) lim
t→9
9− t
3−√t
(j) lim
x→2
arctg
(
x2 − 4
3x2 − 6x
)
.
(k) lim
x→0
cos(x)− 1
x
.
(l) lim
x→0
tg(3x)
tg(5x)
.
(m) lim
x→0
sen
(
1
x
)
(n) lim
x→0+
ln(x2)
(o) lim
x→0−
ln(−x)
(p) lim
x→3
x3 − 3x− 3
x2 − 1
(q) lim
x→1+
[
2
x− 1
]
(r) lim
x→0
√
1 + x− 1
x
(s) lim
x→0
e−
1
x2
(t) lim
x→0
3tg(x)
x2
(u) lim
x→0
xcos(
1
x
)
(v) lim
x→0
x2sen(
1
3
√
x
)
(w) lim
x→0
sen(4x)
x
(x) lim
x→0
2
sen(3x)
(y) lim
x→0
1− cos(x)
sen(x)
(z) lim
x→2
xsen(
1
x
)
(aa) lim
x→0
xsen(
1
x
)
(ab) lim
x→0
e−
1
x2 (sen2(x) + 3 cos(x)− pi)
Respostas: (a) −2; (b) +∞; (c) Na˜o existe; (d) 5√
10−√5 ; (e)
√
3
2
; (f) 0; (g)
b
2a
se a > 0; na˜o existe se a < 0;
(h) +∞; (i) 6; (j) arctg
(
2
3
)
; (k) 0; (l)
3
5
; (m) Na˜o existe; (n) −∞; (o) −∞; (p) 15
8
; (q) +∞; (r) 1
2
; (s) 0; (t)
∞; (u) 0; (v) 0; (w) 4; (x) ∞; (y) 0; (z) 0; (aa) 2sen(1
2
); (ab) 0
18. Seja f a func¸a˜o definida por: f(x) =
{
x2 − 9, se x 6= −3
4, se x = −3
(a) Esboce o gra´fico de f(x). (b) Calcule lim
x→−3
f(x).(c) A func¸a˜o f(x) e´ cont´ınua em x = −3? Justifique.
Respostas: (b) 0; (c) Na˜o
19. Mostre que lim
x→+∞
sen(x)
x
= 0.
20. Nos casos abaixo encontre os pontos nos quais a func¸a˜o f e´ descont´ınua, e esboce o gra´fico.
(a) f(x) =

1 + x2, se x 6 0
2− x, se 0 < x 6 2
(x− 2), se x > 2.
(b) f(x) =

x+ 1, se x 6 1
1
x
, se 1 < x 6 3√
(x− 3), se x > 3.
(c) f(x) =

x+ 2, se x < 0
ex, se 0 6 x < 1
2− x, se x > 1.
Respostas: (a) 0; (b) 1; 3; (c) 0; 1
21. Determine, se poss´ıvel, os valores das constantes a, b e c que tornam a func¸a˜o f cont´ınua em (−∞,+∞) nos
seguintes casos:
(a) f(x) =
{
7x− 2, se x 6 1
ax2, se x > 1.
(b) f(x) =
{
bx2, se x 6 2
2x+ b, se x > 2.
(c) f(x) =
{
cx2 + 2x, se x < 2
x3 − cx, se x > 2.
(d) f(x) =

x2 − 4
x− 2 , se x < 2
ax2 − bx+ 3, se 2 6 x < 3
2x− a+ b, se x > 3.
(e) f(x) =

x2 + 5, se x > 2
a(x+ 1) + b, se − 1 < x 6 2
2x3 + x+ 7, se x 6 −1.
Respostas: (a) a = 5; (b) b =
4
3
; (c) c =
2
3
; (d) a = b =
1
2
; (e) a =
5
3
, b = 4
22. Deˆ exemplo de duas func¸o˜es f e g descont´ınuas em um certo ponto x = c tal que f +g seja cont´ınua neste ponto.
23. E´ verdade que uma func¸a˜o cont´ınua que nunca e´ zero em um intervalo I nunca muda de sinal em I? Justifique
sua resposta.
Resposta: Sim
24. Determine constantes a, b e L para que a func¸a˜o abaixo seja cont´ınua em R:
f(x) =

x2 + ax+ 3
x− 1 , para x < 1
L, para x = 1
bx+ 4, para x > 1
Resposta: a = −4, b = −6 e L = −2.
25. Mostre que a func¸a˜o f(x) =
 xsen
(
1
x
)
, se x 6= 0
0, se x = 0
e´ cont´ınua em x = 0.
26. Mostre que a equac¸a˜o x6 − 4x2 + x+ 1 = 0 possu´ı pelo menos duas ra´ızes reais.
27. Utilize o Teorema do Valor Intermedia´rio para mostrar que a equac¸a˜o x3 − x2 − 2x + 1 = 0 possui pelo menos
uma soluc¸a˜o no intervalo [−1, 1].
28. Mostre que, se p(x) e´ um polinoˆmio de grau ı´mpar, enta˜o a equac¸a˜o p(x) = 0 possui pelo menos uma soluc¸a˜o
real.