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Ilhéus . 2013 Física . Módulo 8 . Volume 1 FÍSICA MODERNA PARTE I Ana Paula Andrade Universidade Estadual de Santa Cruz Reitora Profa Adélia Maria Carvalho de Melo Pinheiro Vice-reitor Prof. Evandro Sena Freire Pró-reitor de Graduação Prof. Elias Lins Guimarães Diretor do Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas Prof. Roberto Carlos Felício Ministério da Educação Ficha Catalográfica Projeto Gráfico e Diagramação João Luiz Cardeal Craveiro Capa Saul Edgardo Mendez Sanchez Filho Impressão e acabamento JM Gráfica e Editora Todos os direitos reservados à EAD-UAB/UESC Obra desenvolvida para os cursos de Educação a Distância da Universidade Estadual de Santa Cruz - UESC (Ilhéus-BA) Campus Soane Nazaré de Andrade - Rodovia Jorge Amado, Km 16 - CEP 45662-900 - Ilhéus-Bahia. www.nead.uesc.br | uabuesc@uesc.br | (73) 3680.5458 Física | Módulo 8 | Volume 1 - Física Moderna 1ª edição | Novembro de 2013 | 225 exemplares Copyright by EAD-UAB/UESC A553 Andrade, Ana Paula Física moderna: módulo 8, volume 1 – EAD / Ana Paula Andrade – Ilhéus, BA: EDITUS, 2013. 135 p.: il. ISBN: 978-85-7455-339-9 1. Física. 2. Relatividade especial (Física). 3. Teoria quântica. 4. Física – História. 5. Físicos. I. Título. CDD 530 Coordenação UAB – UESC Profa Dra Maridalva de Souza Penteado Coordenação Adjunta UAB – UESC Profa Dra Marta Magda Dornelles Coordenação do Curso de Licenciatura em Física (EaD) Prof. Dr. Fernando R. Tamariz Luna Elaboração de Conteúdo Profa Dra Ana Paula Andrade Instrucional Design Profa Ma. Marileide dos Santos de Oliveira Profa Dra Cláudia Celeste Lima Costa Menezes Revisão Prof. Me. Roberto Santos de Carvalho Coordenação Fluxo Editorial Me. Saul Edgardo Mendez Sanchez Filho EAD . UAB|UESC DISCIPLINA FÍSICA MODERNA EMENTA Introdução à relatividade especial, primórdios da teoria quântica, modelos atômicos de Thomson, Rutherford e Bohr, as séries espectroscópicas, bases da mecânica quântica, equação de Schrödinger e aplicações elementares. Carga horária: 90 horas Profa Dra Ana Paula Andrade O AUTOR Ana Paula Andrade Bacharel em Física pela UFMG – 1995 Mestre em Ciências e Técnicas Nucleares pela UFMG - 1998 Doutora em Astrofísica pelo INPE – 2003 Professora Adjunta da UESC desde 2007 E-mail: <apaula@uesc.br>. O termo física moderna refere-se ao conjunto de teorias desenvolvidas no século XX, tendo por base a teoria da relatividade e a teoria quântica. Aterminologia “moderna” foi introduzida como forma de distinguir as novas teorias das teorias antecessoras, referenciadas pelo termo física clássica. Pode-se dizer que esta distinção é bastante oportuna, uma vez que os conceitos da física moderna trouxeram novas concepções a respeito da natureza, da descrição da matéria e dos fenômenos observados, desafiando o método determinístico da física clássica. Como veremos neste módulo, a partir das propostas apresentadas no início do século XX, alterações profundas foram introduzidas no entendimento de conceitos como: espaço, tempo, posição, trajetória, simultaneidade, medida e causalidade. Ao contrário do que se acreditava até então, tempo não é uma grandeza absoluta, matéria não tem comportamento único e imutável, enquanto a dinâmica de uma partícula subatômica é regida pelas leis da probabilidade! Estas são apenas algumas das novas concepções introduzidas pela física moderna e que fizeram emergir um novo cenário científico no campo da física. Apesar das concepções e interpretações inovadoras, ambas as teorias, da relatividade e quântica, representam uma generalização da física clássica, sendo esta tratada como casos especiais, não invalidando, de forma alguma, os conceitos já estudados. Enquanto a teoria da relatividade estende o campo de investigação da física clássica para a região de altas velocidades e altas energias, a física quântica estende o campo de investigação para regiões de pequenas dimensões. Inicialmente, pode-se pensar que os fenômenos relativísticos ou quânticos sejam APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA estranhos ou mesmo bizarros, uma vez que estão muito além da realidade detectada por nossos sentidos. De fato, nossa percepção da natureza é bastante limitada, mas, ainda assim, não devemos nos furtar a discutir teorias e conceitos revelados por meio das evidências experimentais. Este foi o maior desafio vivido pelos físicos do século XX, grandes nomes como Albert Einstein, Max Planck e Erwin Schrödinger, dentre outros que iremos discutir nas próximas Unidades. Esperamos que você, estudante, possa abrir a sua mente aos novos conceitos que serão apresentados e, consequentemente, desfrutar desta nova janela de conhecimento aberta pela física moderna. Neste módulo, iremos apresentar e discutir as importantes descobertas dos séculos XIX e XX, bem como as bases da física moderna sob a ótica da relatividade restrita, a quantização de energia e os postulados da mecânica quântica, enfatizando conceitos e aplicações. Esperamos assim que, ao final deste módulo, você possa compreender os argumentos que embasam a física moderna, que, apesar de imperceptíveis, permeiam a nossa vida cotidiana. Este texto foi elaborado pensando em você, estudante a distância, que está cursando o módulo de física moderna e precisa se inteirar dos conceitos e aplicações deste tema. No intuito de fornecer uma visão mais ampla sobre o assunto, ao longo do texto principal, serão apresentados: o desenvolvimento histórico do tema, os conceitos envolvidos, os critérios de análise e o detalhamento dos cálculos. Ao final de cada seção, quando pertinente, serão apresentados exercícios resolvidos e comentados. Não deixe de estudá-los antes de passar para a seção seguinte! Caixas de curiosidade e lembretes foram introduzidos de modo a complementar os argumentos fornecidos no texto principal e devem ser analisados na sequência em que aparecem, fique atento! E não se esqueça de analisar detalhadamente as figuras apresentadas, estas são essenciais para compreensão e clareza dos argumentos de análise. Ao final de cada unidade, você encontrará um resumo contendo os principais conceitos apresentados, que poderá ser útil para uma breve revisão, bem como uma lista de exercícios propostos como atividade para fixação do conteúdo. Não deixe de resolvê-los! Tenha um ótimo estudo! ORIENTAÇÃO DE ESTUDO SUMÁRIO UNIDADE 1 A TEORIA DA RELATIVIDADE ESPECIAL ......................19 1 Introdução ....................................................................... 21 2 Referenciais Inerciais ........................................................ 22 3 Os Postulados da Relatividade ............................................ 30 4 Conceito de Simultaneidade ............................................... 31 5 A Relatividade do Tempo ................................................... 36 6 A Relatividade do Comprimento .......................................... 42 7 As Transformadas de Lorentz ............................................. 46 8 Transformações de Velocidade Relativística .......................... 56 9 Massa, Momento e Energia Relativística ............................... 58 10 Conservação de Energia Relativística ................................. 68 11 Teoria da Relatividade Geral ............................................. 73 Resumindo ......................................................................... 74 Atividades ..........................................................................77 Bibliografia Consultada ......................................................... 81 QUANTIZAÇÃO DE ENERGIA, ONDAS E PARTÍCULAS .......83 1 Introdução .................................................................... 85 2 Emissão Térmica ............................................................ 85 3 Radiação de Cavidade..................................................... 87 4 Catástrofe do Ultravioleta ............................................... 93 5 A Quantização de Energia ............................................... 96 6 Planck e a Quantização de Energia ..................................102 7 O Efeito Fotoelétrico ......................................................106 8 A Explicação de Einstein para Efeito Fotoelétrico ...............108 9 O Efeito Compton .........................................................113 10 A Natureza Corpuscular da Luz......................................118 11 A Natureza Ondulatória da Matéria ................................119 12 Dualidade Onda-Partícula .............................................124 13 O Princípio da Incerteza ...............................................126 Resumindo .....................................................................131 Atividades ......................................................................133 Bibliografia Consultada .....................................................135 UNIDADE 2 A TEORIA DA RELATIVIDADE ESPECIAL Ao final desta unidade, o(a) aluno(a) será capaz de: • ampliar os conceitos clássicos de movimento relativo, sob a perspectiva relativística; • compreender os efeitos relativísticos; • conhecer as implicações da teoria da relatividade. Módulo 8 I Volume 1 19UESC A Teoria da Relatividade Especial 1 U ni da de1ª unidade Nesta unidade, serão apresentados e discutidos os conceitos e as implicações da teoria da relatividade especial de Einstein, a saber: • conceito de espaço e tempo relativos; • os postulados da relatividade; • contração de Lorentz; • dilatação do tempo; • transformações relativísticas; • massa de repouso; • energia relativística; 1 INTRODUÇÃO Até o presente momento, em todas as etapas do curso, o tratamento dado ao estudo do movimento dos corpos resultou da teoria newtoniana, sendo esta o alicerce da física clássica. Segundo Newton, se conhecermos as massas das partículas e as forças que atuam entre elas, é possível conhecer o estado dinâmico do sistema em qualquer instante futuro, em termos de seu estado inicial, uma vez que o sistema mecânico pode ser completamente descrito por meio do sistema de referência usado para especificar as coordenadas das partículas. Entretanto, em nosso cotidiano, frequentemente nos deparamos com situações em que certo sistema de coordenadas se desloca por meio da translação, (isto é, não girando) em relação a outro sistema. Neste caso, como transformar a nossa descrição do sistema de referencial antigo para este novo sistema? Como ficam as equações de movimento do sistema ao fazermos esta transformação? Estas são as questões básicas tratadas pela teoria da relatividade especial, teoria formulada por Einstein (com apenas 26 anos de idade!) no ano de 1905. Quando as transformações necessárias envolvem aceleração entre os dois sistemas e os efeitos adicionais da gravitação, o tratamento é descrito pela teoria da relatividade geral, também elaborada por Einstein, mas somente em 1917. Pode-se dizer que a primeira formulação nada mais é do que um tratamento especial da Imagem 1.1: Albert Einstein em 1882 Fonte: http://th.physik.uni-frankfurt. de/~jr/gif/phys/einst_4.jpg Módulo 8 I Volume 1 21UESC A Teoria da Relatividade Especial 1 U ni da de Física Moderna segunda, sendo esta última uma teoria geral mais ampla sobre a dinâmica do espaço e tempo. Neste módulo, trataremos apenas do caso em que os sistemas se movem com velocidade constante, ou seja, movimento uniforme descrito pela teoria da relatividade especial, também chamada de teoria da relatividade restrita. 2 REFERENCIAIS INERCIAIS Em nossa vida diária, as experiências e sensações que observamos restringem-se a movimentos com velocidades extremamente pequenas, quando comparadas à velocidade da luz. Mas, apesar das experiências restritas, uma simples observação do movimento de um automóvel em relação a outro pode nos ajudar a entender como o conceito de movimento é relativo. Imagine você no interior de um ônibus parado em um sinal de trânsito, ao lado de outro ônibus. Pela janela, observa quando o sinal verde é aceso e finalmente vai seguir destino. Você observa as janelas do outro ônibus se deslocarem, mas, ao contrário do que esperaria, a traseira do outro ônibus é avistada e você continua a ver o cruzamento à frente. Somente quando observa o cruzamento é que percebe que o outro ônibus arrancou e que, justamente, o seu ônibus continua parado no sinal. Então você começa a se dar conta de que não estava se movendo, era o outro ônibus que seguia viagem. Todos nós somos “enganados” desta forma, qualquer um que observa o movimento de outro corpo tem o direito de pensar que está se movendo enquanto o outro permanece parado, ou vice-versa. Isso acontece porque o conceito de movimento é relativo, uma vez que as leis da natureza são as mesmas para todos os corpos em movimento uniforme, isto é, todos aqueles em um referencial inercial. Vamos inicialmente analisar o que diz a teoria clássica de movimento. Considere uma partícula de massa O termo referencial inercial refere-se a qualquer referencial que se mova com velocidade constante em relação a outro, ou seja, um referencial não acelerado. As leis de Newton para o movimento, por exemplo, são válidas para referenciais inerciais. saiba mais 22 EADFísica m , em movimento sob a influência da força F , tratada em termos de dois sistemas de referência, sistema S e sistema ’S . Para a determinação das coordenadas da partícula, Figura 1.1 – Um sistema de referência ’,x ’,y ’,z ’t se transladando com velocidade constante v em relação a um referencial ,x ,y ,z .t Supomos que os eixos ’x e x sejam colineares. precisamos definir dois sistemas de três eixos ortogonais que se interceptam em um ponto rotulado O no sistema S , e o ponto ’O no sistema ’S , respectivamente, sendo que o primeiro sistema, S , se move com velocidade v em relação ao segundo sistema, ’S , em um sentido que, por construção, é o sentido positivo dos eixos colineares ’,x x . Vamos definir que os tempos t e ’t medidos nos dois referenciais são ambos nulos no instante em que o plano ’ ’y z coincide com o plano .yz Segundo a física clássica, tratamento newtoniano, o movimento da partícula nestes dois sistemas pode ser descrito pelo conjunto de coordenadas ( , , , )x y z t e ( ’, ’, ’, ’),x y z t sendo que as relações entre elas podem ser descritas como: ' ,x x vt= − analogamente: 'x x vt= + 'y y= 'z z= Módulo 8 I Volume 1 23UESC A Teoria da Relatividade Especial 1 U ni da de Física Moderna 't t= (1.1) Estas relações definem as transformações de coordenadas de um sistema para outro e são conhecidas como transformação galileana. De acordo com este tratamento, se os zeros da escala de tempo utilizados nos referenciais diferentes são, por definição, iguais em algum instante e posição, então, segundo a física clássica, as duas escalas de tempo permanecerão as mesmas para todos os instantes e todas as posições, ou seja, '.t t= Sabemos que as equações de movimento de Newton no referencial S é tal que: 2 2x d xF m dt = 2 2y d yF m dt = 2 2z d zF m dt = Sim, o princípio da transformaçãogalileana remonta a Galileu Galilei! Galileu já afirmava desde o século XVII que as leis da mecânica deveriam ser as mesmas em todos os referenciais inerciais. A primeira lei de Newton é, por assim dizer, uma derivação desta importante hipótese. Einstein estendeu as ideias de Galileu e Newton e incluiu todas as leis da física em sua consideração, incluindo ainda as leis do Eletromagnetismo. Imagem 1.2: Galileu Galilei Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Galileo.arp.300pix.jpg você sabia? 24 EADFísica (1.2) Diferenciando duas vezes as equações de (1.1) em relação a t e lembrando que ' ,t t= tem-se: 2 2 2 '2 'd x d x dt dt = 2 2 2 '2 'd y d y dt dt = 2 2 2 '2 'd z d z dt dt = (1.3) Assim, pode-se mostrar que a aceleração da massa m medida no referencial S será a mesma que a aceleração medida no referencial ’,S ou seja, a transformação de um sistema de coordenadas para outro não modifica a aceleração medida. Portanto as equações de Newton, as quais definem o comportamento da partícula, não mudam mediante as Transformações de Galileu. Em outras palavras, a componente da força F que atua sobre m na direção dos eixos x e ’x é a mesma, qualquer que seja o referencial observado: 'x xF F= 'y yF F= 'z zF F= (1.4) Como as equações são equivalentes, em quaisquer dos dois referenciais inerciais, pode-se dizer que os comportamentos de todos os sistemas mecânicos serão idênticos em todos os referenciais inerciais, embora estes se movam com velocidade constante em relação Imagem 1.3: Isaac Newton Fonte:http://www.bbc.co.uk/ science/space/universe/ scientists/isaac_newton Módulo 8 I Volume 1 25UESC A Teoria da Relatividade Especial 1 U ni da de Física Moderna uns aos outros. Este resultado é válido e comprovado por um grande número de evidências experimentais, entretanto não pode ser estendido para outras teorias. As equações de Maxwell, por exemplo, aquelas que descrevem o comportamento de sistemas eletromagnéticos, não são invariantes frente às transformações de Galileu. Ou seja, as equações de Maxwell mudam de forma matemática quando O britânico James Clerck Maxwell (1831- 1879) foi um dos mais importantes físicos de todos os tempos. Maxwell foi o grande responsável pela unificação dos fenômenos de eletricidade, magnetismo e óptica. Em seu trabalho, conseguiu organizar uma série de experimentos eletromagnéticos em quatro equações diferenciais, conhecidas como as equações de Maxwell. Estas representam a formulação básica das leis do eletromagnetismo, introduzindo a descrição da realidade física em termos do conceito de campos. você sabia? Imagem 1.4: James Clerck Maxwell Fonte: http://www.browsebiography.com/bio-james_clerk_maxwell.html submetidas às transformações galileanas, ao contrário das equações de Newton. Por exemplo, quando utilizadas para obter uma previsão da velocidade de propagação das ondas eletromagnéticas (a luz), obtém-se um valor diferente da velocidade. O fato de a luz se deslocar com velocidade finita, mas muito alta, foi verificado pela primeira vez em 1676, pelo astrônomo dinamarquês Ole Christensen Romer. Entretanto, foi apenas em 1865 que o físico inglês James Clerk Maxwell previu a existência de ondas eletromagnéticas cuja velocidade de propagação era de 83 10x metros por segundo. Entretanto a velocidade obtida por Maxwell aparecia nas equações de maneira absoluta, ou seja, não era relacionada a qualquer referencial específico. E mais, os mecanismos de propagação destas ondas também não eram bem definidos. A teoria eletromagnética de Maxwell simplesmente previa 26 EADFísica a existência de campos eletromagnéticos se propagando no espaço na forma de uma onda, mas a comprovação experimental da existência de tais ondas só foi obtida, em 1886, pelo físico alemão Heinrich Hertz. Hertz foi o primeiro a gerar ondas de rádio no laboratório, mas ainda restavam dúvidas quanto ao mecanismo de propagação destas ondas. Assim como as ondas na superfície da água e as ondas sonoras se propagam através de um meio mecânico, respectivamente, a água e o ar, os físicos da época acreditavam que as ondas eletromagnéticas também deveriam se propagar por algum determinado meio. Entretanto este meio deveria ser sem massa, uma vez que a luz é capaz de se propagar no vácuo, mas, ainda assim, deveria ter propriedades elásticas de modo a transmitir as vibrações associadas ao movimento ondulatório. Acreditava-se então na existência de um meio Quando entramos em um quarto escuro e acendemos uma luminária, a impressão que temos é que a luz chega instantaneamente em todos os lugares, chão, teto, parede. Mas não é bem assim! De fato, é necessário certo tempo para que a luz emitida pela lâmpada se propague no ambiente e atinja os anteparos. De fato, este tempo é muito pequeno, e o atraso é imperceptível aos nossos olhos, mas a propagação, apesar de muito rápida, não é instantânea! Medidas precisas indicam que a velocidade da luz no vácuo, c , é 299.792.458 m/s, sendo pouquíssimo menor no ar, devido à resistência do meio. você sabia? mecânico de propagação, denominado éter, cuja única função era sustentar a propagação das ondas eletromagnéticas. Desta forma, o vácuo existente deveria ser “preenchido” por uma substância com propriedades elásticas intrínsecas, exclusivas para a propagação da luz. Mas a existência do éter foi bastante contestada na época. Muitos físicos não acreditavam na existência de um meio com características tão próprias para se adequar à teoria, mas aceitavam a ideia da existência do mesmo como meio de propagação. No entanto, em um sistema de referência que se move com velocidade constante em relação ao éter, as equações de Maxwell mudavam de forma quando Módulo 8 I Volume 1 27UESC A Teoria da Relatividade Especial 1 U ni da de Física Moderna submetidas às transformações galileanas para calculá-las no referencial em movimento. O resultado obtido era um valor de velocidade diferente da velocidade c estimada. Mas e se a fonte de luz estivesse se movendo? Poderíamos esperar uma composição de velocidades, tal qual um barco se movendo em direção às ondas? Se a luz fosse uma onda se movendo por um meio que permeasse todo o espaço, então, com o movimento de rotação da Terra, deveríamos esperar velocidades distintas em direções distintas? A fim de responder a esta questão, Albert Michelson e Edward Morley realizaram, em 1887, uma importante experiência para a investigação da velocidade da luz. Eles mostraram que a velocidade da luz tem o mesmo valor, c , quando medida em direções perpendiculares em um sistema de referência que se supõe estar em movimento através do referencial do éter, contrariamente ao que era esperado. A experiência foi planejada com a intenção de estudar o movimento da Terra em relação ao éter. A proposta era medir a velocidade da luz em duas direções perpendiculares, a partir de um sistema de referência fixo à Terra. Para tanto, eles construíram um aparelho tipo um interferômetro com sensibilidade suficiente para detectar a pequena diferença de velocidade da luz associada ao movimento da Terra em relação ao éter. Para grande surpresa dos pesquisadores, as velocidades perpendiculares eram iguais! E eles estavam corretos, muitos outros experimentos se sucederam na tentativa de aperfeiçoar as medidas, mas nenhuma diferença foi observada. Apesar das considerações teóricas, a experiência de Michelson- Morley mostrou que a velocidade da luz independe do movimento do observador e do movimento da fonte, ou seja, a propagação da luz é isotrópica, e não há um sistema Imagem 1.5: Albert Michelson (esquerda) e EdwardMorley (direita) Fonte: http://www.epola.co.uk/ epola_org/michelson.html 28 EADFísica especial de referência, ou referencial do éter. Einstein foi o primeiro a mostrar, em 1905, que o conceito de éter era desnecessário. Segundo ele, a luz se propaga no vácuo, que é realmente vazio, e com velocidade constante, .c Portanto a velocidade da luz é a mesma para todos os observadores inerciais, não importando a direção ou o movimento da fonte nem do observador. Esta constatação foi apresentada por Einsten na forma de um postulado. Einstein, assim como outros físicos de renome (H. Poincaré e H. A. Lorentz), compreendeu que a natureza da luz não confirmava as leis de transformação das variáveis eletromagnéticas em relação à transformação de Galileu. A genialidade de Einstein ficou evidente diante da interpretação para o significado físico e as consequências deste novo Apesar das evidências contrárias, muitos físicos da época, incluindo-se o próprio Michelson (que mais tarde se tornou o primeiro americano a receber o prêmio Nobel de Física), acreditavam ferrenhamente na existência do éter e tentaram formular explicações ou teorias para justificar o resultado obtido pelo experimento. Dentre as diversas justificativas destacam-se a “hipótese do arrastamento do éter” e a “teoria da emissão”. A primeira delas supunha que o referencial do éter seria localmente fixo a todos os corpos de massa finita e, assim, o éter se arrastaria com o movimento. Entretanto, esta hipótese vai de encontro às observações estelares que mostram o efeito cinemático de variação na posição de estrelas distantes, associadas ao movimento da Terra em torno do Sol, e, assim, não pode ser válida. Na hipótese de arraste do éter, este efeito denominado “aberração da luz” não existiria se o referencial do éter fosse arrastado com a Terra. Na teoria da emissão, as equações de Maxwell são modificadas de modo a associar a velocidade da luz à velocidade da fonte. Porém esta teoria estaria em conflito com a observação da luz oriunda de estrelas binárias. Estas correspondem a um par de estrelas que giram rapidamente em torno do centro de massa do sistema, sendo que uma se afasta da Terra enquanto a outra se move em direção à Terra. Neste caso, a velocidade da luz observada de uma estrela deveria ser distinta da velocidade da luz observada para a estrela companheira. No entanto, o movimento observado das estrelas binárias é precisamente explicado pela teoria newtoniana, quando a velocidade da luz emitida é considerada com módulo independente do seu movimento. você sabia? Imagem 1.6: Albert Einstein em 1893 Fonte: http://www.alberteinsteinsite. com/einsteinyoung.html Módulo 8 I Volume 1 29UESC A Teoria da Relatividade Especial 1 U ni da de Física Moderna conceito que culminaram na teoria da relatividade. Esta, Princípio da Relatividade: As leis da física são as mesmas em todos os sistemas de referência inerciais, apesar de estes sistemas se moverem uns em relação aos outros. Não existe referencial inercial privilegiado. Todos os referenciais inerciais são completamente equivalentes para todos os fenômenos. por sua vez, é embasada por dois princípios importantes que estendem os conceitos clássicos de espaço e tempo, abandonando o paradigma newtoniano de tempo absoluto, e introduzindo o conceito da relatividade. 3 OS POSTULADOS DA RELATIVIDADE O princípio da relatividade, considerado o postulado fundamental da teoria da relatividade, não afirma que os Postulado da Velocidade: A velocidade da luz no vácuo tem sempre o mesmo valor c em todas as direções e em todos os sistemas inerciais. valores das grandezas são idênticos em todos os referencias inerciais! As grandezas geralmente são diferentes para diferentes observadores (isto é, diferentes sistemas de referência), mas as leis da física que relacionam estas grandezas são as mesmas em diferentes referenciais inerciais. O postulado da relatividade pode ainda ser interpretado como a existência de uma velocidade limite na natureza, ,c que assume sempre o mesmo valor em todas as direções e diferentes referenciais inerciais. Esta é a velocidade de propagação da luz. Portanto a velocidade da luz independe da direção ou velocidade da fonte emissora. Com estes postulados, Einstein incluiu as leis do 30 EADFísica Eletromagnetismo e da Ótica no princípio de relatividade de Galileu, o qual considerava a equivalência de referenciais apenas para leis da mecânica. Entretanto, estes postulados exigiam que Einstein modificasse ou as equações de Maxwell ou as transformações de Galileu, visto que ambas eram incompatíveis com as medidas de velocidade da luz. Em seu trabalho, Einstein optou por modificar as transformações de Galileu, o que culminou na introdução de novos conceitos de simultaneidade dos eventos no espaço e tempo. 4 CONCEITO DE SIMULTANEIDADE A mais notável consequência da teoria da relatividade foi a maneira como ela revolucionou os conceitos de espaço e tempo. Se antes, de acordo com a teoria newtoniana, o efeito gravitacional era instantâneo, ou seja, se deslocássemos uma determinada massa de lugar (por exemplo, o nosso Sol), imediatamente os efeitos deste deslocamento seriam sentidos por uma massa vizinha (por exemplo, a Terra). Mas, se não é possível emitir sinais com velocidade infinita, nem mesmo sinais com velocidades superiores a c, então os conceitos clássicos de espaço e tempo precisavam ser modificados. Para entender o que estava errado, vamos analisar a transformação de Galileu para a coordenada de tempo (1,1): 't t= Esta equação estabelece que as escalas de tempo no sistema S e S’ são as mesmas para todos os lugares e todos os instantes de tempo. Em outras palavras, pode-se dizer que existia uma escala de tempo universal para todos os referenciais, ou seja, perante a física clássica, o conceito de tempo, até então era absoluto! Portanto dois observadores deveriam sempre concordar quanto aos intervalos de tempo medidos entre dois eventos. Já na teoria relativística surgem Módulo 8 I Volume 1 31UESC A Teoria da Relatividade Especial 1 U ni da de Física Moderna novas e importantes implicações oriundas da constatação de que a velocidade da luz é a mesma para todos os observadores em referenciais inerciais. Vejamos, a seguir, como as novas concepções de espaço e tempo emergiram naturalmente da nova teoria. Suponha que você seja um passageiro destinado a pegar o ônibus das 8 horas na praça principal da sua cidade. Você já se perguntou o que isto significa? Pois bem, este compromisso representa um evento no espaço-tempo: você estar em determinado local, no exato momento em que os ponteiros do seu relógio coincidirem com a marcação das Portanto, a definição de um evento é algo que ocorre de tal modo que um observador pode associá-lo a três coordenadas espaciais e uma coordenada temporal. 8 horas! Mais especificamente, o evento “estar na praça às 8 horas” implica de você estar nas coordenadas espaciais definidas para a posição “praça” no momento em que a coordenada temporal, indicada pelos ponteiros do seu relógio, marcar 8 horas. Mas, cadê o ônibus? Vejamos, se o relógio da empresa de transporte estiver sincronizado com o seu (e o trânsito estiver livre!), o ônibus também deverá estar na praça às exatas 8 horas. Assim, podemos dizer que você chegar à praça no momento em que os ponteiros do seu relógio indicarem 8 horas e o ônibus também chegar neste exato momento são eventos simultâneos. Mas e se o seu relógio estiver atrasado? Provavelmente você irá perder o ônibus e irá reclamar da empresa de transporte por não oferecer o serviço. Mas por certo que a determinação de eventos simultâneos que acorrem exatamentena mesma posição não é difícil, basta que você ajuste o seu relógio com o relógio da empresa de transporte e se apresse para estar na praça no horário 32 EADFísica marcado! Mas, quando dois eventos ocorrem em posições distantes, as dificuldades aparecem. Este é o problema básico na determinação de escalas de tempo, a dificuldade de sincronização dos indicadores de tempo, os relógios. Esta dificuldade não se limita ao bom funcionamento dos relógios, mas sim na dificuldade de transmissão dos sinais. Se você estiver na praça, basta perguntar as horas no balcão da empresa e ajustar o seu relógio; mas se você estiver em outra posição, vai depender de algum meio de transporte do sinal de resposta, por exemplo, o sinal do telefone celular. Caso fosse possível enviar sinais com velocidade infinita, você receberia a resposta (via telefone celular) instantaneamente e a tarefa de sincronização seria fácil. No entanto, nenhum sinal pode viajar a velocidade superior a c e, portanto, o sinal que você recebe via celular (cujo meio de transmissão são ondas eletromagnéticas na frequência de microondas) está sempre atrasado! Por certo que o atraso inerente à propagação das ondas eletromagnéticas de uma localidade a outra dentro da sua cidade é totalmente desprezível (e você nunca poderá usar esta desculpa por perder o ônibus!); mas quando consideramos grandes separações espaciais, o tempo de propagação do sinal não pode ser desprezado. Este foi o erro cometido por Galileu, e também repetido por Newton, considerar implicitamente a capacidade de sincronização do tempo. De acordo com a teoria newtoniana, o sinal gravitacional emitido pelo Sol seria instantaneamente recebido na Terra, mas hoje sabemos que este sinal demora cerca de 8 minutos para chegar a nós. Portanto a luz que você observa da sua janela agora foi emitida pelo Sol aproximadamente 8 minutos atrás! Mas então, qual é a definição de “agora”?“Agora” representa o tempo que eu recebo o sinal aqui na Terra ou o tempo no qual o sinal foi emitido pelo Sol? Dois observadores, um na Terra e outro no Sol, dificilmente irão concordar quanto às coordenadas Módulo 8 I Volume 1 33UESC A Teoria da Relatividade Especial 1 U ni da de Física Moderna temporais de um evento. E não se trata apenas de uma particularidade das radiações eletromagnéticas, qualquer “sinal” que se propague à velocidade finita implicará nessas diferenças de coordenadas, visto que o tempo necessário para que o sinal chegue até o observador também será finito. A questão essencial é a limitação das velocidades (que por definição corresponde à distância dividida pelo tempo) e as implicações decorrentes para o conceito de espaço e tempo. Na teoria de Newton, se um sinal é emitido de uma posição para outra, os respectivos observadores deverão concordar com o tempo gasto na trajetória do sinal, uma vez que o tempo era considerado absoluto, mas os diferentes observadores iriam discordar quanto à posição dos eventos. Por consequência, a velocidade estimada para o sinal emitido corresponderia à distância observada por cada um dividida pelo tempo observado. Neste caso, as grandezas estimadas para a velocidade do sinal recebido seriam diferentes. Já na teoria da relatividade, esta condição não é aceita e o contexto é exatamente oposto: ambos observadores deverão concordar quanto à velocidade do sinal. Podem discordar da posição e do tempo percorrido, mas a velocidade do sinal será sempre a mesma! Em resumo, um determinado evento pode ser observado por um número irrestrito de observadores, cada qual em seu próprio sistema de referência. Entretanto, observadores situados em diferentes sistemas registrarão grandezas diferentes para as coordenadas do espaço-tempo. Lembre-se que um evento é um fato isolado que não é próprio de nenhum referencial, ou seja, não “pertence” a nenhum referencial inercial. Os eventos simplesmente ocorrem e qualquer observador pode associá-los a um sistema de coordenadas próprias. Portanto não existe a necessidade de concordância das coordenadas, visto que nenhum referencial é privilegiado. Em suma, a simultaneidade é relativa! Esta nova concepção de simultaneidade no tempo, 34 EADFísica ao contrário das considerações newtonianas, estabelece que o tempo não é uma grandeza isolada, com significado absoluto e independente da localização espacial, mas sim que espaço e tempo se combinam para formar um elemento composto denominado espaço-tempo. Assim, é intuitivo Um evento ocorrendo em um tempo 1t e posição 1x é simultâneo a um evento ocorrendo em tempo 2t e posição 2x se os sinais emitidos em 1t de 1x e em 2t de 2x chegarem simultaneamente ao ponto médio entre 1x e 2 ,x medido geograficamente. pensar nas quatro coordenadas de um evento (três espaciais e uma temporal) como coordenadas de um espaço único quadridimensional chamado espaço-tempo. Esta constatação levou Einstein a definir um novo conceito de simultaneidade para eventos separados: Portanto dois eventos separados localmente serão considerados simultâneos para um observador situado no Figura 1.2 – Ilustração da definição de simultaneidade dada por Eisntein. Módulo 8 I Volume 1 35UESC A Teoria da Relatividade Especial 1 U ni da de Física Moderna ponto médio entre as duas posições, se, e somente se, os sinais emitidos por ambos chegarem simultaneamente a ele. Vide Figura 1.2. A definição de simultaneidade de Einstein mistura diretamente as coordenadas espaciais e temporais dos eventos, ao contrário do conceito clássico. Uma consequência direta deste novo conceito de simultaneidade é que dois eventos que são considerados simultâneos em um sistema de referencial inercial não serão simultâneos em outro referencial que se move em relação ao primeiro. Em outras palavras, quando existe um movimento relativo entre dois observadores, geralmente, eles não concordam acerca da simultaneidade de dois eventos que estejam observando. Se um observador disser que os dois eventos são simultâneos, o outro dirá que não são e vice- versa! Não é possível julgar qual deles está certo ou errado, pois a simultaneidade não é um conceito absoluto, mas sim um conceito relativo, visto que é dependente do movimento do observador. Por certo que, em nossas experiências diárias, a diferença entre os eventos é tão pequena, uma vez que as velocidades dos observadores são baixas quando comparadas com a da luz, que os observadores acabam concordando quanto ao conceito de simultaneidade. Mas não podemos deixar de considerar a diferença resultante quando a velocidade relativa entre os observadores é comparável a .c 5 A RELATIVIDADE DO TEMPO Vamos considerar uma experiência imaginária para analisar os efeitos da relatividade em uma sucessão de eventos detectados por dois observadores, enquanto um se move em relação ao outro. Imagine um casal de amigos, Ana e Paulo, os quais ajustaram seus respectivos relógios rigorosamente sincronizados. Ana está viajando em um trem que se move a velocidade v, indo ao encontro de Paulo. Este 36 EADFísica aguarda ansiosamente por ela na plataforma da estação. Ao se aproximar da plataforma, Ana liga sua ponteira laser e emite um sinal luminoso direcionado para o teto do trem, onde há um espelho refletor. Assim, podemos definir dois eventos sucessivos: Evento 1: Ana emite o sinal de laser. Evento 2: a luz refletida no espelho do teto do trem retorna à posição de Ana. O intervalo de tempo decorrido entre estes dois eventos observados por Ana pode ser estimado como: 2' ,Dt c ∆ = (1.5) Sendo D a distância entre a fonte de laser e o espelho no teto do trem. Para Ana, ambos os eventos acontecem no mesmo local e, assim, ela pode medir o intervalo de tempocom o seu relógio de pulso. Ela então marca, inicialmente, o tempo no instante em que o laser é emitido e, posteriormente, o tempo em que a luz retorna à fonte. Esta medida de tempo estimada em dois momentos distintos, com um único relógio em repouso em relação ao observador, denomina- se intervalo de tempo próprio. Em nosso exemplo, este é o valor de ',t∆ mas é usual denominá-lo por 0.t∆ Mas e qual é a percepção de Paulo parado na plataforma da estação? Paulo observa a passagem do trem onde Ana está Figura 1.3 – Ana mede o intervalo de tempo que a luz leva para ir e voltar, usando um único relógio C, obtendo um tempo próprio 0.t∆ Paulo, examinando a passagem do trem, precisa de dois relógios sincronizados, C1 e C2, para medir o intervalo de tempo .t∆ Módulo 8 I Volume 1 37UESC A Teoria da Relatividade Especial 1 U ni da de Física Moderna viajando. Para ele, a distância percorrida pelo laser emitido por Ana é um pouco maior que a distância observada por Ana, vide Figura 1.3. Em seu percurso de ida e volta ao teto, a luz observada por Paulo percorre a distância 2L , sendo que o tempo estimado por ele para a trajetória total é: 2 ,Lt c ∆ = (1.6) onde: 2 21 2 L v t D = ∆ + (1.7) Mas, de acordo com (1.5), 1 ', 2 D c t= ∆ então: 2 21 1 ' 2 2 L v t c t = ∆ + ∆ (1.8) Substituindo o valor de L dado pela equação (1.8) na equação (1.6), tem-se que: 38 EADFísica 2 ' , 1 tt v c ∆ ∆ = − (1.9) Imagem 1.7: Albert Einstein em 1904 Fonte: http://de.listofimages.com/ albert-einstein-1904-in-bern/ Como v é sempre menor que ,c de acordo com a equação (1.9), o intervalo de tempo medido por Paulo será sempre maior que o intervalo de tempo medido por Ana, ou seja, o intervalo de tempo próprio. Em síntese: Ana e Paulo possuem relógios com funcionamento idêntico e sincronizado. Ambos medem o intervalo de tempo entre dois eventos sucessivos. Ana está num referencial em repouso em relação aos eventos, visto que ambos ocorrem no trem em movimento onde ela está inserida, de modo que ela pode usar um único relógio para medir o intervalo de tempo. Para Paulo, os eventos ocorrem em pontos distintos no seu referencial e ele necessita de dois relógios idênticos e sincronizados para estimar o intervalo de tempo entre os eventos, sendo que cada um deles fica localizado no ponto onde ocorre o respectivo evento. Paulo verifica que, independente da velocidade do trem, o intervalo de tempo que ele estima para os eventos é sempre maior que o intervalo de tempo estimado por Ana. Este efeito relativístico é denominado efeito de dilatação do tempo. Nenhuma medição de qualquer observador, nem Paulo nem Ana, está errada, este é simplesmente um efeito da própria natureza, cada referencial tem o seu tempo. Apenas o referencial em repouso em relação aos eventos é dito referencial de tempo próprio, mas ambas as medidas estão corretas! Importante notar que, para Paulo, os dois eventos ocorrem em locais distintos da plataforma e, para a medida de ,t∆ são necessários dois relógios distintos, 1C e 2C , localizados nos dois pontos diferentes do seu sistema de referência. Neste caso, intervalo de tempo estimado por Módulo 8 I Volume 1 39UESC A Teoria da Relatividade Especial 1 U ni da de Física Moderna Paulo não é intervalo de tempo próprio, dado à necessidade de posicionamento de dois relógios. Importante salientar que o efeito da dilatação do tempo não se aplica somente ao compasso dos relógios, mas igualmente a todos os fenômenos naturais que dependem do tempo, incluindo tempo de vida! Assim sendo, uma das considerações a respeito deste tema nos leva ao contexto conhecido como: Paradoxo dos gêmeos. Considere dois irmãos gêmeos. Um deles parte em uma nave espacial para viajar pelo Cosmos e depois retorna à Terra, onde o outro irmão o está aguardando. Em relação ao irmão que ficou, o viajante teve sua percepção do tempo mais lenta, assim como o seu corpo físico, ou seja, as batidas do coração, a respiração e o desgaste celular também seguiram ritmos diferentes, mais lentos. Embora o viajante estivesse com seu relógio de pulso e não tenha notado nenhuma alteração em seu tempo próprio, o irmão que ficou vai aparentar mais idade no momento do reencontro! Poderia estar até mesmo morto, sendo representado apenas por sua neta! Mas você deve estar se perguntando: porque o viajante não considerou a dilatação do tempo em relação ao irmão que ficou? Se ele fizesse esta correção, chegaria à conclusão de que está mais velho do que o irmão! Mas como o viajante pode estar fisicamente mais jovem, se a idade cronológica indica que ele está mais velho? Este contexto é conhecido como Paradoxo dos gêmeos. Mas como pode um ser mais jovem do que o outro? Qual deles realmente envelheceu mais do que o outro? Ou será que ambos têm a mesma idade? As conclusões aparentemente contraditórias surgem porque os tempos estão sendo estimados em diferentes referenciais inerciais. De fato, não há nenhum paradoxo, o irmão viajante será efetivamente mais jovem quando retornar a casa! O viajante não deve “corrigir” seu tempo levando em 40 EADFísica conta o efeito da dilatação, pois, em seu percurso de viagem, ele sofreu acelerações, deixando de estar em um referencial inercial e, portanto, a simetria de tempo entre os irmãos é quebrada. Apenas o irmão na Terra esteve em um referencial inercial todo o tempo. E, assim, o paradoxo é resolvido, não há nenhuma contradição! O paradoxo só existe para quem considera o tempo absoluto. Na teoria da relatividade não há tempo absoluto, ou seja, cada indivíduo tem sua própria medida de tempo, sendo esta dependente de onde você está e como está se movendo. Calcule a velocidade relativa de um relógio necessária para que um observador estacionário verifique que a taxa do seu relógio se reduz à metade da taxa do relógio idêntico que se move em relação a ele. Solução: A pessoa que se move juntamente com o relógio registra um intervalo de tempo próprio 0 ,t∆ uma vez que o relógio está em repouso em relação a ela. A pessoa que observa o relógio móvel registra um tempo dilatado t∆ para este relógio. De acordo com o enunciado do problema, temos que 0t 2 t .∆ = ∆ Então, tem-se: 2 12 1 γ β = = − Elevando ao quadrado: EXERCÍCIO RESOLVIDO Módulo 8 I Volume 1 41UESC A Teoria da Relatividade Especial 1 U ni da de Física Moderna ( )24 1 1β− = Portanto: 3 0,8664β = = Assim, o relógio deverá deslocar-se com uma velocidade relativa igual a 87% da velocidade da luz para que o fator de dilatação do tempo seja igual a 2. Esta velocidade corresponde a circular o equador da Terra 6,7 vezes em um segundo. 6 A RELATIVIDADE DO COMPRIMENTO A dificuldade em estabelecer a simultaneidade dos eventos no espaço-tempo implica em outra dificuldade inerente aos referenciais em movimento. A propósito, você já tentou medir o comprimento de um peixe nadando no interior de um aquário? Pode imaginar a dificuldade inerente a esta medida? Inicialmente, vamos considerar o mesmo exemplo da seção anterior, Ana viajando de trem, Paulo aguardando sua chegada na plataforma, enquanto Ana emite um sinal de laser para o teto do trem. Imagine se Paulo resolve estimar a distância percorrida pelo trem entre os momentos de emissão do sinal de laser até o retorno do sinal refletido no espelho. Imagine que Paulo coloca uma trena sobre a plataforma, cujas extremidades coincidem com a posição dos relógios 1C e 2.C Chamaremos de L o comprimento da trena medida no referencial de Paulo, o referencial no qual a trena está em repouso.Então, qual será o comprimento da trena estimado por Ana de dentro do trem? No referencial de Ana, isto é, o do trem, a trena 42 EADFísica está se movendo em uma direção paralela a seu próprio comprimento. Como a velocidade de Ana em relação a Paulo é ,v a velocidade de Paulo, e também da trena, em relação a Ana tem que ser exatamente – .v Caso contrário, haveria uma assimetria inerente aos dois referenciais e isto não é permitido na teoria da relatividade. Sendo 0t o intervalo de tempo medido por Ana entre os extremos da régua em 1C e 2 ,C então o comprimento da régua estimado por Ana será dependente deste intervalo de tempo ',t ou seja: ' 'L vt= (1.10) Também é possível estabelecer uma equação relacionando as grandezas correspondentes medidas por Paulo. Para ele: L vt= (1.11) Combinando ambas as equações e eliminando v, tem-se: ' 'LL t t = (1.12) Mas, de acordo com a dilatação do tempo: 2 2 ' 1t v t c = − (1.13) Portanto, substituindo a equação (1.13) em (1.12), tem-se: 2 2' 1 vL L c = − (1.14) Este resultado implica que a medida realizada por Ana será sempre menor por um fator 2 21 / ,v c− Módulo 8 I Volume 1 43UESC A Teoria da Relatividade Especial 1 U ni da de Física Moderna quando estimada em um referencial que se move em direção paralela ao seu próprio comprimento, do que o comprimento medido em um referencial em repouso, referencial da plataforma, isto é, o mesmo de Paulo. O comprimento da trena medido no referencial no qual ela está em repouso é chamado comprimento próprio. Em nosso exemplo, o comprimento próprio da trena corresponde à medida ,L mas é usual denominá-lo de 0.L O efeito resultante das medidas discrepantes realizadas do referencial em movimento é chamado efeito de contração do comprimento, mas também é conhecido como contração de Lorentz. Este é mais um efeito decorrente da dificuldade em definir eventos simultâneos e, sendo assim, é intuitivo pensar que a medida de comprimento também deve ser relativa. Uma vez que Ana não tem como assegurar a simultaneidade dos eventos de passagem do trem pela trena, visto que o trem está em movimento, a medida estimada por ela será sempre discrepante em relação ao comprimento próprio da trena. Vamos agora voltar ao problema da medição do comprimento de um peixe que nada livremente em um aquário. Você já sabe como estimar? Então vejamos: seja 0L o comprimento próprio do peixe, isto é, o comprimento medido por um observador em repouso em relação ao peixe. Se o peixe se move paralelamente a você, então o comprimento L que você medirá, se a velocidade do peixe for ,v é dado pela equação (1.14): 2 0 21 vL L c = − Assim, o comprimento de um objeto que se Imagem 1.8: Albert Einstein em 1912 Fonte:http://th.physik.uni-frankfurt. de/~jr/physpiceinstein.html 44 EADFísica move em relação a você será sempre menor do que o comprimento próprio do referido objeto. Este é um efeito real da teoria da relatividade. Assim como a dilatação do tempo, a contração do comprimento é um efeito mensurável. Duas espaçonaves, cada uma com o comprimento próprio 0 230 ,L m= passam uma pela outra, conforme indicado pela Figura 1A. Sônia, localizada no ponto A de uma espaçonave, mede um intervalo de tempo de 3,75 sµ Mas você deve estar se perguntando, o peixe realmente encolhe? Os átomos e moléculas do peixe realmente se “comprimem”? Por certo que não, caso contrário o peixe não sobreviveria! A contração do comprimento é um efeito resultante do processo de medida em um referencial que se move. O correto é você pensar que a medida é afetada pelo movimento, mas não o objeto! saiba mais EXERCÍCIO RESOLVIDO Figura 1A – Sônia mede o comprimento da espaçonave de Sam quando as duas naves se cruzam. para a passagem da outra nave. Qual é o parâmetro de velocidade relativa entre as duas espaçonaves? Considere AB como a coincidência do ponto A com o ponto B e AC a coincidência de A com C . Solução: O intervalo de tempo entre os eventos AB e ,AC medidos por Sônia, usando um relógio situado no ponto ,A é um intervalo de tempo próprio 0 3,75 .t sµ∆ = O comprimento L que Sônia mede da outra espaçonave é próprio, sendo dado por: Módulo 8 I Volume 1 45UESC A Teoria da Relatividade Especial 1 U ni da de Física Moderna 0 0L v t c tβ= ∆ = ∆ Contudo, Sônia sabe que o comprimento próprio da outra espaçonave vale 0 230 ,L m= sendo: 20 0 1 LL L β γ = = − Igualando as duas expressões anteriores, tem-se: 2 0 0 1c t Lβ β∆ = − Elevando ao quadrado e explicitando β : ( ) 0 2 2 0 0 L c t L β = ∆ + ( ) ( ) ( )2 2 28 6 230 0,210 3,00 10 / 3,57 10 230 m x m s x s m β − = = + Portanto as duas espaçonaves afastam-se com uma velocidade relativa de 21% à velocidade da luz. 7 AS TRANSFORMADAS DE LORENTZ Nas últimas seções, discutimos os efeitos decorrentes da teoria relativística para descrição de eventos sucessivos realizados por observadores em diferentes referenciais inerciais, os efeitos da dilatação do tempo e o efeito de contração do comprimento. Nesta seção, vamos finalmente obter as equações de transformações de coordenadas 46 EADFísica de um sistema para outro, sob a ótica relativística. Conforme discussão anterior, seção 1.2, você deve se recordar de que a transformação clássica, considerada por Galileu e Newton, é incompatível com o conceito de velocidade constante da luz. No entanto, em nossa experiência diária, limitada a casos em que as velocidades envolvidas são muito baixas quando comparadas a ,c as transformações galileanas, equações (1.1), correspondem satisfatoriamente à realidade observada. Apenas para velocidades comparáveis à velocidade da luz as transformações galileanas discordam das evidências experimentais. Assim sendo, podemos esperar que o tratamento relativístico se reduza ao tratamento clássico quando .v c Vejamos agora como obter as transformações relativísticas. Considere uma terceira experiência imaginária, envolvendo os observadores O e ’,O sendo que o observador ’O se movendo relativamente a O, com velocidade de módulo v, no sentido positivo do eixo dos x e ’,x tal qual representamos na Figura 1.1(seção 1.2). Os planos xy e ’ ’x y são sempre coincidentes e as origens dos seus sistemas de coordenadas coincidem no instante ' 0.t t= = Neste instante, O’ produz um sinal luminoso em sua origem, o qual produz uma frente de onda luminosa que se expande, a partir do ponto de emissão, com velocidade c em todas as direções. Assim, no sistema ’,S a frente de onda em um tempo ’t será uma esfera, centrada na origem, de raio ' '.r ct= As coordenadas de um ponto qualquer pertencente à frente de onda neste instante deverão satisfazer à equação de uma esfera: 2 2 2 2 2' ' ' 'x y z c t+ + = (1.15) Analogamente, no sistema ,S as coordenadas da frente de onda serão: Imagem 1.9: Hendrik Antoon Lorentz Fonte: http://www.nobelprize. org/nobel_prizes/physics/ laureates/1902/lorentz-bio.html Módulo 8 I Volume 1 47UESC A Teoria da Relatividade Especial 1 U ni da de Física Moderna 2 2 2 2 2x y z c t+ + = (1.16) E como encontrar a relação entre estes dois sistemas de coordenadas? De acordo com as discussões anteriores, já sabemos que as grandezas relativas ao tempo e à posição, ao longo do eixo de deslocamento entre os sistemas, deverão ser discrepantes. Então, vamos considerar que a forma a seguir seja válida para as equações de transformação: ( )'x x vtγ= − 'y y= 'z z= ( )' ,t tγ δ= + (1.17) sendoγ uma grandeza adimensional e ä uma grandeza com dimensões de tempo. Nossa tarefa então será determinaras expressões de γ e .δ Por simples analogia com o tratamento clássico, já sabemos que, quando 0,v c → devemos ter: 1γ → e 0.δ → E assim as equações (1.17) se reduziriam às transformadas galileanas no limite clássico. Substituindo as transformações descrita sem (1.17) na expressão de (1.15), o resultado esperado seria obter uma expressão similar a (1.11), visto que nosso objetivo é obter as relações de transformação de um sistema de coordenadas para o outro. Procedendo assim, vamos tentar encontrar as relações para γ e δ que satisfazem a igualdade. Portanto a equação (1.10) se reduz a: 2 2 2 2 2 2 2( ) ( )x vt y z c tγ γ δ− + + = + (1.18) Perfazendo a expansão dos binômios, tem-se: 48 EADFísica 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( 2 ) ( 2 )x vxt v t y z c t tγ γ δ δ− + + + = + + (1.19) Para que a igualdade acima seja válida e a equação se reduza à forma de (1.11), os termos em t devem se anular, de modo que: 2 2 22 2tc vxtδ γ γ= − ou seja: 2 vx c δ = − (1.20) Conforme análise inicial, δ tem dimensões de tempo e, quando 0,v c → 0.δ → Agora podemos substituir a expressão de 2δ em (1.18): 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4( ) ( ) v xx v t y z c t c γ γ+ + + = + (1.21) Rearranjando os termos, tem-se: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 v xx y z c t v t c γ γ γ γ− + + = − E agora reagrupando em termos de 2x e 2 :t 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 . v vx y z c t c c γ γ − + + = − (1.22) Comparando esta última equação com a forma da Módulo 8 I Volume 1 49UESC A Teoria da Relatividade Especial 1 U ni da de Física Moderna equação (1.17), é possível perceber que: 2 2 21 1, v c γ − = logo, tem-se: 2 2 1 . 1 v c γ = − (1.23) Nota-se que o parâmetro γ é adimensional e que 1,γ → quando 0.v c → O parâmetro γ é denominado fator de Lorentz e é comumente expresso como: ( )2 1 , 1 γ β = − (1.24) sendo: .v cβ ≡ Assim, chegamos às transformações de coordenadas válidas para qualquer velocidade, incluindo a velocidade da luz, deduzidas a partir dos postulados da teoria da relatividade: ( )' ,x x vtγ= − ( )' 2 .vxt t cγ= − (1.25) Analogamente, partindo das equações de (1.25), é possível obter as transformações inversas simplesmente rearranjando as variáveis: 50 EADFísica ( )' ' ,x x vtγ= − ( )2' ' .vxt t cγ= − (1.26) Estas equações, (1.25) e (1.26), definem as transformações de variáveis de espaço-tempo da relatividade e são chamadas de transformadas de Lorentz. Note que estas se reduzem às transformadas galileanas, quando a velocidade v é desprezível em relação à velocidade da luz, .c Observando as equações em (1.25) e (1.26), notamos que, se de fato a velocidade da luz fosse infinita, os efeitos A esta altura, você deve estar se perguntando porque as transformações de variáveis da teoria da relatividade receberam o nome de transformadas de Lorentz e não transformadas de Einstein? A justificativa do nome se deve a uma homenagem prestada ao grande físico holandês, Hendrick Lorentz, que obteve esta formulação matemática pela primeira vez, alguns anos antes da publicação dos trabalhos de Einstein. Porém Lorentz tentou relacioná-las com o conceito de éter, na tentativa de consolidar as bases da teoria clássica dos elétrons. Apesar da formulação matemática desenvolvida por Lorentz, a interpretação conceitual da relatividade e a mudança de paradigma de tempo absoluto para espaço-tempo relativo somente foi introduzida nos trabalhos de Einstein. Uma prova incontestável de que a interpretação física constitui o cerne das mudanças introduzidas pela teoria da relatividade. saiba mais relativísticos seriam desprezíveis e a física clássica nunca falharia. No entanto, para velocidades ,v maiores que c , s transformadas de Lorentz não têm significado físico, uma vez que o valor de γ será uma grandeza complexa. Desta forma, podemos concluir quão importante é o papel da velocidade limite ,c para a descrição dos fenômenos físicos. A equação (1.9) (seção 1.5), que expressa o efeito da dilatação do tempo relativístico, também é frequentemente Módulo 8 I Volume 1 51UESC A Teoria da Relatividade Especial 1 U ni da de Física Moderna representada em termos do fator de Lorentz: 0.t tγ∆ = ∆ (1.27) E mais, o efeito de contração do comprimento pode ser expresso em termos do fator de Lorentz, sendo: 0 .LL γ = (1.28) Imagem 1.10: Albert Einstein em 1921 Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/ Albert_Einstein Se dois eventos ocorrem num mesmo local de um referencial inercial, o intervalo de tempo entre os dois eventos, 0 ,t∆ medido por um único relógio em repouso, denomina-se intervalo de tempo próprio. Todos os outros observadores inerciais fora deste sistema medirão um intervalo de tempo maior do que 0.t∆ O comprimento 0L de uma barra, medindo no sistema inercial de referência no qual a sua barra está em repouso, denomina-se seu comprimento próprio. Todos os outros observadores inerciais fora deste sistema medirão um comprimento menor do que 0L na direção do movimento. Você por acaso conhece algum “maluco” capaz de esperar na plataforma da estação de trem, munido de uma trena gigante, relógios idênticos e sincronizados, medindo distância entre eventos que ocorrem dentro dos trens? Imagino que não... Mas não se desespere, os exemplos descritos nesta unidade são exemplos clássicos dos cursos de relatividade, os quais tentam criar situações hipotéticas para explicar os efeitos da teoria, mas, de fato, não correspondem às situações corriqueiras do nosso cotidiano. Os efeitos da teoria da relatividade são sensivelmente detectados e analisados no estudo do Cosmos, onde as distâncias envolvidas são astronômicas e a única informação proveniente dos eventos é a luz emitida por eles. Neste contexto, a dificuldade em estimar medidas, estabelecer escalas de tempos e inferir as coordenadas próprias de cada evento tornam imprescindíveis as considerações relativísticas discutidas neste módulo. você sabia? 52 EADFísica Os efeitos da dilatação do tempo e a contração do comprimento podem ser resumidamente enunciados como se segue: Num referencial inercial S , uma única lâmpada vermelha acende-se 5,35 sµ depois que surge um flash azul. A distância entre as duas lâmpadas é igual a 2,45 ,x km∆ = sendo que o flash vermelho ocorre num ponto x mais afastado do que o flash azul. Um sistema inercial ’S move-se no sentido positivo de x com um parâmetro de velocidade 0,855.β = Qual é a distância entre os dois eventos e o intervalo de tempo entre eles medido no sistema ’?S Solução: de acordo com as transformadas de Lorentz, substituindo ,v cβ= temos: ( )' ,x x c tγ β∆ = ∆ − ∆ e ' .xt t c γ β ∆ ∆ = ∆ − Sabemos que: 2,45 2450 ,V Ax x x km m∆ = − = = e 65,35 5,35 10 .V At t t s x sµ −∆ = − = = EXERCÍCIO RESOLVIDO Módulo 8 I Volume 1 53UESC A Teoria da Relatividade Especial 1 U ni da de Física Moderna Porém, 2 2 1 1 1,928 1 1 (0,855) γ β = = = − − Substituindo na expressão de ' :x∆ ( )' 8 6(1,928) 2450 0,855 (3,00 10 / )(5,35 10 )x m x x m s x s− ∆ = − ' 63,147 10 3,15x x s sµ−∆ = − ≈ − Conclui-se que, no referencial S’, a lâmpada vermelha também está mais afastada do que a lâmpada azul; contudo a distância entre as duas lâmpadas é 2,08km e não 2,45km. O sinal negativo do último resultado nos informa que, contrariamente ao que ocorre no referencial S, no referencial S’ o flash vermelho ocorre antes do azul. Além disso, a diferença de tempo entre os dois sinais é de 3,15µs e não 5,35µs. Um avião, viajandocom velocidade ,u vai do Rio de Janeiro até São Paulo. Em relação a um referencial inercial S fixo no solo, o avião levanta voo no Rio e aterriza em São Paulo; estes dois eventos são separados por uma distância x∆ e por um intervalo de tempo .t∆ Suponha que um observador inercial ’S meça estes dois eventos. Verifique se é possível que estes eventos sejam registrados em ’S numa sequência oposta, ou seja, o observador ’S pode ver o avião aterrizar em São Paulo antes de levantar voo no Rio de Janeiro? EXERCÍCIO RESOLVIDO 54 EADFísica Solução: Vamos considerar a transformada de Lorentz: ' ( )xt t cγ β ∆∆ = ∆ − As quantidades x∆ (a distância entre o Rio e São Paulo) e t∆ (o tempo de voo) são quantidades positivas. Vamos calcular o valor de β para que ',t∆ na relação anterior, tenha um valor negativo. Para isso, devemos ter a condição: x t c β ∆ > ∆ Porém, x t ∆ ∆ é justamente a velocidade u do avião no sistema .S Portanto a condição anterior exige que: c u β > Entretanto um avião não pode ter velocidade superior à velocidade da luz, ou seja, ( ) 1,c u > de modo que a exigência anterior se reduz a: 1.β > Mas esta condição não pode ser alcançada, novamente porque não é possível alcançar velocidades maiores que .c Portanto um avião não pode aterrizar antes de levantar voo, mesmo na relatividade restrita! Estes dois eventos não são independentes, pois estão relacionados por uma sequência de causa e efeito e, portanto, em todos os referenciais inerciais, eles ocorrerão nesta mesma sequência. Concluí-se, portanto, que, mesmo na teoria da relatividade, é impossível inverter a sequência de eventos relacionados por causalidade. Se o evento A é a causa do evento ,B então todos os observadores, independentemente de suas velocidades, concordarão que A ocorra sempre antes de .B Assim, em nenhum sistema de referência você poderia nascer antes dos seus pais! Módulo 8 I Volume 1 55UESC A Teoria da Relatividade Especial 1 U ni da de Física Moderna 8 TRANSFORMAÇÕES DE VELOCIDADE RELATIVÍSTICA Vamos agora mostrar como a velocidade de uma partícula vista por um observador no sistema inercial S relaciona-se com a velocidade da mesma partícula vista por outro observador inercial no sistema ’.S Podemos representar a velocidade da partícula no sistema S como: , , x y z dx dy dzu u u dt dt dt = = = Analogamente para o sistema ’S : ' ' '' , ' , 'x y z dx dy dzu u u dt dt dt = = = De acordo com as transformadas de Lorentz, sabemos que: ' 2 2 1 ( ) 1 dx dx vdt v c = − − 'dy dy= 'dz dz= ' 22 2 1 1 dxdt dt v cv c = − − (1.29) Substituindo as expressões para 'dx e 'dt em (1.29), temos: 56 EADFísica 2 2 2 222 2 1 ( ) 1'' 1 1 1 1 x x x dx vdt dxv v u vdx c dtu v dx vudxdt dt v c dt ccv c − −− − = = = = − −− − ( )2 2 2 22 22 2 22 1'' 1' 1 11 11 y y x dy v dy dy cdtu uvudxdt v dxdt v cc c dtv v cc − = = = = −− − −− ( )2 2 2 22 22 2 22 1'' 1' 1 11 11 z z x dz v dz dz cdtu uvudxdt v dxdt v cc c dtv v cc − = = = = −− − −− (1.30) Portanto as expressões acima descrevem, para cada componente, a transformação de velocidades relativísticas. Observe que, quando v c tende a zero, as equações acima recaem nas mesmas equações da transformada clássica, sendo: 'x xu u v= − 'y yu u= 'z zu u= Quando utilizada a notação vetorial, as equações acima podem ser expressas simplesmente como: Imagem 1.11: Albert Einstein em 1933 Fonte:http://th.physik.uni-frankfurt. de/~jr/physpiceinstein.html Módulo 8 I Volume 1 57UESC A Teoria da Relatividade Especial 1 U ni da de Física Moderna 2 ' 1 u vu v u c − = ⋅ − (1.31) A relação acima é conhecida como a Lei da Velocidade Relativística. 9 MASSA, MOMENTO E ENERGIA RELATIVÍSTICA Face às novas transformações de velocidade, você deve estar curioso a respeito da validade das leis da mecânica clássica, como conservação de momento e energia. Por certo que a aplicação da teoria relativística precisa considerar também estas questões. A modificação introduzida por Einstein nas equações de transformação implica na introdução de novos fatores de compensação nas equações da mecânica. Neste contexto, fez-se necessário desenvolver uma nova mecânica, convenientemente chamada de mecânica relativística. Inicialmente, vamos tratar do momento linear. Para o caso de uma partícula de massa m se movendo com velocidade constante v no sentido positivo de x , o momento linear definido pela mecânica clássica é estimado como: ,xp mv m t ∆ = = ∆ (1.32) sendo ∆x a distância percorrida durante o tempo ∆t. Diante da restrição de velocidades imposta pelo limite c na teoria relativística, deveríamos esperar que o momento máximo que uma partícula pode atingir seria então: mc. Mas como interpretar fisicamente um limite finito para o momento de uma partícula? 58 EADFísica De modo a preservar a definição clássica de momento, Einstein resolveu considerar uma alteração na massa das partículas, definindo-a como função da velocidade v, ou seja: ( )m m v= (1.33) Por certo que, no limite clássico, 1,v c devemos ter: ( ) 0 ,m v m= sendo 0m a massa da partícula medida classicamente, ou seja, em repouso. Esta ponderação é necessária para assegurar a validade da mecânica clássica, uma vez que esta corresponde perfeitamente bem às observações em baixas velocidades. Resta agora determinar a função ( ).m v Para isso, partindo da definição clássica, podemos considerar que o momento de uma partícula, vista por um observador no referencial da própria partícula, ou seja, que se move junto a ela, e que, portanto, é capaz de medir um intervalo de tempo próprio da partícula, é dado por: 0 0 xp m t ∆ = ∆ A expressão acima também pode ser descrita em função do parâmetro de Lorentz: 0 0 0 0 0 x x t xp m m m t t t t γ∆ ∆ ∆ ∆= = = ∆ ∆ ∆ ∆ Mas ,x vt ∆ =∆ a velocidade da partícula e, portanto, tem-se: 0p m vγ= (1.34) Esta é a definição de momento relativístico, que também pode ser apresentado na forma clássica, apenas considerando a massa como função da velocidade, Módulo 8 I Volume 1 59UESC A Teoria da Relatividade Especial 1 U ni da de Física Moderna ( ) ,m m v= tipo: ( )p m v v= Então, a função m é definida como massa relativística, sendo: 0 02 2 1( ) 1 m v m m v c γ= = − (1.35) Portanto a massa relativística de uma partícula é função da massa de repouso da mesma, modificada pelo fator de Lorentz. Assim, a massa relativística de uma partícula cresce rapidamente à medida que a velocidade cresce, tendendo ao infinito quando a velocidade da partícula, ,v tende à velocidade da luz, .c Desta forma, ao contrário da definição clássica, não existe limite para o momento de uma partícula relativística. A única restrição que permanece é o limite de velocidade c .Verifique que para baixas velocidades, 1,v c tem-se: ( ) 0.m v m= Condição em conformidade com as descrições da mecânica clássica e as observações cotidianas. Mas e a energia cinética da partícula? Como defini-la na concepção relativística? Vamos considerar a partícula descrita acima, massa de repouso 0 ,m inicialmente parada em 0.x = Para que seu movimento se inicie, é necessário que uma força seja aplicada à partícula. Vamos então considerar uma força de módulo ,F no sentido positivo do eixo ,x suficiente para colocar a partícula em movimento. Para estimar a energia cinéticada partícula, precisamos calcular o trabalho realizado, que chamaremos de ,K por esta força enquanto a partícula se move até o ponto ,fx x= sendo ft o tempo no qual a partícula atinge .fx Assim sendo, de acordo com a definição de trabalho, tem-se: 60 EADFísica 0 0 0 f f fx x xdxK Fdx F dt Fvdt dt = = =∫ ∫ ∫ (1.36) Para resolver a integral acima, precisamos encontrar uma expressão para a força .F De acordo com a mecânica newtoniana, esta força pode ser expressa em termos da variação do momento da partícula, ou seja, .dpF dt= Supondo que esta definição de força continue válida para o tratamento relativístico, vamos apenas substituir a expressão do momento para momento relativístico e perfazer a integral acima. Portanto: 0 0 f ft tdpK v dt vdp dt = =∫ ∫ Para resolver esta integral, precisamos empregar a tática de integração por partes, sendo: [ ]0 0 0 f f f t t tvp pdv vdp= +∫ ∫ Assim, podemos expressar K como: [ ]0 0 f f v tK vp pdv= − ∫ Substituindo a expressão para o momento relativístico, tem-se: 0 02 2 02 2 0 1 1 1 1 f f v v K v m v m vdv v v c c = − − − ∫ Reorganizando os termos em v e passando 0m para fora da integral, tem-se: Módulo 8 I Volume 1 61UESC A Teoria da Relatividade Especial 1 U ni da de Física Moderna 2 0 02 2 02 2 0 1 1 f f v vm v vdvK m v v c c = − − − ∫ (1.37) Resolvendo a integral anterior, obtém-se: 2 2 22 20 2 2 0 1 1 fv v c vK m c cv c = + − − Trabalhando um pouco mais a expressão de K : f f v v2 2 2 22 2 0 02 2 2 2 00 v v1 1c cK m c m c v v1 1c c + − = = − − É possível simplificar ainda mais e, omitindo o índice f , tem-se: 2 20 02 21 m cK m c v c = − − (1.38) Esta última corresponde, então, à expressão para a energia cinética relativística para a partícula de massa de repouso 0m que se move com velocidade .v Mas também A integral da expressão (1.37) pode ser resolvida sem dificuldade por meio de uma substituição de variáveis: 2 2 , v a c = enquanto: 2 2 . vdv da c = Assim: ( ) ( ) 21 1 2 2 2 22 2 22 0 2 1 1 1 1 22 11 fv vdv da vc c a da c a c cav c − = = − = − = − −− ∫ ∫ ∫ nota complementar Imagem 1.12: Albert Einstein em 1945 Fonte: http://th.physik.uni-frankfurt. de/~jr/physpiceinstein.html 62 EADFísica nota complementar é possível expressá-la em termos do fator de Lorentz, como: 2 0 ( 1)K m c γ= − (1.39) Agora nos resta testar o valor de K no limite 1.v c Aparentemente, neste contexto, o valor de 0.K → Entretanto, uma análise mais cuidadosa deste limite pode ser feita por meio da expansão em série de Taylor para o termo da raiz quadrada, sendo: 1 2 22 2 2 0 02 2 11 1 1 1 2 v vK m c m c c c − = − − ≈ + − E, por fim: 2 22 0 0 22 2 m c m vvK c ≈ = Assim, assegura-se que a expressão relativística de K se reduz à formulação clássica em baixas velocidades. Você se lembra da expansão em série de Taylor? Esta é uma ferramenta matemática muito útil quando precisamos estimar o valor aproximado de uma função próximo a determinado ponto, sendo definida como: ( ) ( ) ( )' '' 20 0 0 0f x f f x f xε ε ε+ ≅ + + +… Uma vez que o termo 2 2 v c tende a zero no limite clássico, a expansão em série de Taylor para o termo sob a raiz quadrada da expressão em K discutida acima pode ser feita, em boa aproximação, considerando apenas os termos lineares em å, ou seja, os dois primeiros termos da expansão. Assim: ( ) ( )'0 0 0f x f f xε ε+ ≅ + ( ) ( ) 1 2 22 1 3 2 2 2 2 11 1 1 2 v v c c − − − − ≈ − − 1 2 2 22 2 2 2 11 1 1 2 v v v c c c − − ≈ + ≈ + Módulo 8 I Volume 1 63UESC A Teoria da Relatividade Especial 1 U ni da de Física Moderna Vamos analisar um pouco mais a expressão de ,K dada por (1.38). Nota-se que a energia cinética relativística de uma partícula é expressa como a soma de dois termos, sendo um dependente da velocidade, v , e outro termo constante. Sendo K a energia cinética, é natural deduzir que os demais termos também representem valores de energia associados à velocidade da partícula. Assim, podemos generalizar a expressão como: ( ) ( ) (0)K v E v E= − sendo: ( ) 2 20 2 21 m cE v mc v c = = − (1.40) lembrando que m é a massa relativística definida anteriormente. Já o termo (0)E pode ser interpretado como ( )E v quando 0,v = isto é: ( ) 200E m c= (1.41) Esta energia, (0)E , foi nomeada por Einstein como energia de repouso da partícula de massa 0m . Invertendo a expressão de K (1.38) como se segue: ( ) ( ) 20 ,E v K v m c= + (1.42) fica mais fácil interpretar o significado da equação 20E m c= (1.41). Esta, portanto, define a energia relativística total de uma partícula, sendo equivalente à soma das energias cinética e de repouso da partícula com massa 0.m Esta é uma das mais famosas equações da teoria da relatividade. Embora o processo de dedução desta equação seja baseado em suposições que, embora razoáveis, não apresentam embasamento conceitual, as previsões da teoria relativística 64 EADFísica já foram extensivamente testadas, nos mais diversos sistemas, por meio de experiências apropriadas, tendo sido muito bem sucedidas. Nem mesmo o incremento considerado com a energia de repouso de uma partícula é capaz de ferir as considerações da física clássica para o princípio de conservação de energia. Por outro lado, o conceito de energia relativística total é bastante útil na descrição dos processos em que há variação da massa de repouso de um sistema. É possível mostrar que esta variação é sempre acompanhada por uma variação da energia cinética de modo que a energia final sempre se conserva. Assim, a energia relativística total, descrita pela expressão (1.42), tem uma implicação profunda para o entendimento da relação entre matéria e energia. De acordo com a previsão de Einstein, massa e energia podem ser convertidas entre si. Massa também é uma forma de energia! Este, por exemplo, é o princípio básico por trás dos processos nucleares, como decaimento radioativo, fissão e fusão nucleares. Embasadas pelas previsões de Einstein e também pela descoberta do nêutron em 1932, pelo físico inglês James Chadwick, as pesquisas nucleares avançaram sob a perspectiva de construção de uma nova arma: a bomba nuclear, um artefato com alto poder de destruição, capaz de alcançar milhões de megatons, isto é, toneladas de TNT. No entanto, se a explosão de uma bomba nuclear pode ser considerada um triste exemplo de aplicação da teoria da relatividade, o processo controlado, tal qual ocorre nos reatores nucleares, pode representar uma aplicação justa e benéfica para toda humanidade. Atualmente, boa parte da energia elétrica consumida em vários países provém do núcleo atômico! Imagem 1.13: Explosão de uma bomba atômica resultado de um processo de fissão nuclear. Fonte: http://www.brasilescola.com/quimica/quimica-nuclear.htm você sabia? Módulo 8 I Volume 1 65UESC A Teoria da Relatividade Especial 1 U ni da de Física Moderna Na mecânica clássica, uma relação bastante útil considera a energia cinética de uma partícula em função do seu momento linear. Na mecânica relativística também é possível estimar esta relação entre K e ,p mas, de antemão, podemos esperar o surgimento de termos
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