Física moderna

Prévia do material em texto

Ilhéus . 2013
Física . Módulo 8 . Volume 1
FÍSICA MODERNA
PARTE I
Ana Paula Andrade
Universidade Estadual de 
Santa Cruz
Reitora
Profa Adélia Maria Carvalho de Melo Pinheiro
Vice-reitor
Prof. Evandro Sena Freire
Pró-reitor de Graduação
Prof. Elias Lins Guimarães
Diretor do Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas
Prof. Roberto Carlos Felício
Ministério da
Educação
Ficha Catalográfica
Projeto Gráfico e Diagramação
João Luiz Cardeal Craveiro
Capa
Saul Edgardo Mendez Sanchez Filho
Impressão e acabamento
JM Gráfica e Editora
Todos os direitos reservados à EAD-UAB/UESC
Obra desenvolvida para os cursos de Educação a 
Distância da Universidade Estadual de Santa Cruz - 
UESC (Ilhéus-BA)
Campus Soane Nazaré de Andrade - Rodovia Jorge 
Amado, Km 16 - CEP 45662-900 - Ilhéus-Bahia.
www.nead.uesc.br | uabuesc@uesc.br | (73) 3680.5458
Física | Módulo 8 | Volume 1 - Física Moderna
1ª edição | Novembro de 2013 | 225 exemplares
Copyright by EAD-UAB/UESC
 
 A553 Andrade, Ana Paula
 Física moderna: módulo 8, volume 1 – EAD / Ana Paula Andrade – 
Ilhéus, BA: EDITUS, 2013.
 135 p.: il.
 
 ISBN: 978-85-7455-339-9
 
 1. Física. 2. Relatividade especial (Física). 3. Teoria quântica. 
4. Física – História. 5. Físicos. I. Título.
 
 CDD 530
Coordenação UAB – UESC
Profa Dra Maridalva de Souza Penteado
Coordenação Adjunta UAB – UESC
Profa Dra Marta Magda Dornelles
Coordenação do Curso de Licenciatura em Física (EaD)
Prof. Dr. Fernando R. Tamariz Luna
Elaboração de Conteúdo
Profa Dra Ana Paula Andrade
Instrucional Design
Profa Ma. Marileide dos Santos de Oliveira
Profa Dra Cláudia Celeste Lima Costa Menezes
Revisão
Prof. Me. Roberto Santos de Carvalho
Coordenação Fluxo Editorial
Me. Saul Edgardo Mendez Sanchez Filho
EAD . UAB|UESC
DISCIPLINA
FÍSICA MODERNA
EMENTA
Introdução à relatividade especial, primórdios da teoria 
quântica, modelos atômicos de Thomson, Rutherford e Bohr, as 
séries espectroscópicas, bases da mecânica quântica, equação 
de Schrödinger e aplicações elementares.
Carga horária: 90 horas
Profa Dra Ana Paula Andrade
O AUTOR
Ana Paula Andrade
Bacharel em Física pela UFMG – 1995
Mestre em Ciências e Técnicas Nucleares pela UFMG - 1998
Doutora em Astrofísica pelo INPE – 2003 
Professora Adjunta da UESC desde 2007
E-mail: <apaula@uesc.br>.
 O termo física moderna refere-se ao conjunto de 
teorias desenvolvidas no século XX, tendo por base a 
teoria da relatividade e a teoria quântica. Aterminologia 
“moderna” foi introduzida como forma de distinguir as novas 
teorias das teorias antecessoras, referenciadas pelo termo 
física clássica. Pode-se dizer que esta distinção é bastante 
oportuna, uma vez que os conceitos da física moderna 
trouxeram novas concepções a respeito da natureza, 
da descrição da matéria e dos fenômenos observados, 
desafiando o método determinístico da física clássica. 
Como veremos neste módulo, a partir das propostas 
apresentadas no início do século XX, alterações profundas 
foram introduzidas no entendimento de conceitos como: 
espaço, tempo, posição, trajetória, simultaneidade, 
medida e causalidade. Ao contrário do que se acreditava 
até então, tempo não é uma grandeza absoluta, matéria 
não tem comportamento único e imutável, enquanto a 
dinâmica de uma partícula subatômica é regida pelas leis 
da probabilidade! Estas são apenas algumas das novas 
concepções introduzidas pela física moderna e que fizeram 
emergir um novo cenário científico no campo da física. 
 Apesar das concepções e interpretações inovadoras, 
ambas as teorias, da relatividade e quântica, representam 
uma generalização da física clássica, sendo esta tratada 
como casos especiais, não invalidando, de forma alguma, 
os conceitos já estudados. Enquanto a teoria da relatividade 
estende o campo de investigação da física clássica para 
a região de altas velocidades e altas energias, a física 
quântica estende o campo de investigação para regiões 
de pequenas dimensões. Inicialmente, pode-se pensar 
que os fenômenos relativísticos ou quânticos sejam 
APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA
estranhos ou mesmo bizarros, uma vez que estão muito 
além da realidade detectada por nossos sentidos. De fato, 
nossa percepção da natureza é bastante limitada, mas, 
ainda assim, não devemos nos furtar a discutir teorias e 
conceitos revelados por meio das evidências experimentais. 
Este foi o maior desafio vivido pelos físicos do século XX, 
grandes nomes como Albert Einstein, Max Planck e Erwin 
Schrödinger, dentre outros que iremos discutir nas próximas 
Unidades. Esperamos que você, estudante, possa abrir a 
sua mente aos novos conceitos que serão apresentados 
e, consequentemente, desfrutar desta nova janela de 
conhecimento aberta pela física moderna. 
 Neste módulo, iremos apresentar e discutir as 
importantes descobertas dos séculos XIX e XX, bem como as 
bases da física moderna sob a ótica da relatividade restrita, 
a quantização de energia e os postulados da mecânica 
quântica, enfatizando conceitos e aplicações. Esperamos 
assim que, ao final deste módulo, você possa compreender 
os argumentos que embasam a física moderna, que, apesar 
de imperceptíveis, permeiam a nossa vida cotidiana.
Este texto foi elaborado pensando em você, estudante 
a distância, que está cursando o módulo de física moderna 
e precisa se inteirar dos conceitos e aplicações deste tema. 
No intuito de fornecer uma visão mais ampla sobre o 
assunto, ao longo do texto principal, serão apresentados: 
o desenvolvimento histórico do tema, os conceitos 
envolvidos, os critérios de análise e o detalhamento dos 
cálculos. 
Ao final de cada seção, quando pertinente, serão 
apresentados exercícios resolvidos e comentados. Não 
deixe de estudá-los antes de passar para a seção seguinte! 
Caixas de curiosidade e lembretes foram introduzidos 
de modo a complementar os argumentos fornecidos no 
texto principal e devem ser analisados na sequência em 
que aparecem, fique atento! E não se esqueça de analisar 
detalhadamente as figuras apresentadas, estas são 
essenciais para compreensão e clareza dos argumentos 
de análise.
Ao final de cada unidade, você encontrará um resumo 
contendo os principais conceitos apresentados, que 
poderá ser útil para uma breve revisão, bem como uma 
lista de exercícios propostos como atividade para fixação 
do conteúdo. Não deixe de resolvê-los! 
Tenha um ótimo estudo!
ORIENTAÇÃO DE ESTUDO
SUMÁRIO
UNIDADE 1
A TEORIA DA RELATIVIDADE ESPECIAL ......................19
1 Introdução ....................................................................... 21
2 Referenciais Inerciais ........................................................ 22
3 Os Postulados da Relatividade ............................................ 30
4 Conceito de Simultaneidade ............................................... 31
5 A Relatividade do Tempo ................................................... 36
6 A Relatividade do Comprimento .......................................... 42
7 As Transformadas de Lorentz ............................................. 46
8 Transformações de Velocidade Relativística .......................... 56
9 Massa, Momento e Energia Relativística ............................... 58
10 Conservação de Energia Relativística ................................. 68
11 Teoria da Relatividade Geral ............................................. 73
Resumindo ......................................................................... 74
Atividades ..........................................................................77
Bibliografia Consultada ......................................................... 81
QUANTIZAÇÃO DE ENERGIA, ONDAS E PARTÍCULAS .......83
1 Introdução .................................................................... 85
2 Emissão Térmica ............................................................ 85
3 Radiação de Cavidade..................................................... 87
4 Catástrofe do Ultravioleta ............................................... 93
5 A Quantização de Energia ............................................... 96
6 Planck e a Quantização de Energia ..................................102
7 O Efeito Fotoelétrico ......................................................106
8 A Explicação de Einstein para Efeito Fotoelétrico ...............108
9 O Efeito Compton .........................................................113
10 A Natureza Corpuscular da Luz......................................118
11 A Natureza Ondulatória da Matéria ................................119
12 Dualidade Onda-Partícula .............................................124
13 O Princípio da Incerteza ...............................................126
Resumindo .....................................................................131
Atividades ......................................................................133
Bibliografia Consultada .....................................................135
UNIDADE 2
A TEORIA DA
RELATIVIDADE ESPECIAL
Ao final desta unidade, o(a) aluno(a) será capaz de:
• ampliar os conceitos clássicos de movimento relativo, sob a 
perspectiva relativística;
• compreender os efeitos relativísticos;
• conhecer as implicações da teoria da relatividade.
Módulo 8 I Volume 1 19UESC
A Teoria da Relatividade Especial
1
U
ni
da
de1ª
unidade
 Nesta unidade, serão apresentados e discutidos os conceitos 
e as implicações da teoria da relatividade especial de Einstein, a 
saber:
• conceito de espaço e tempo relativos;
• os postulados da relatividade;
• contração de Lorentz;
• dilatação do tempo;
• transformações relativísticas;
• massa de repouso;
• energia relativística;
1 INTRODUÇÃO
Até o presente momento, em todas as etapas do curso, 
o tratamento dado ao estudo do movimento dos corpos 
resultou da teoria newtoniana, sendo esta o alicerce da 
física clássica. Segundo Newton, se conhecermos as 
massas das partículas e as forças que atuam entre elas, 
é possível conhecer o estado dinâmico do sistema em 
qualquer instante futuro, em termos de seu estado inicial, 
uma vez que o sistema mecânico pode ser completamente 
descrito por meio do sistema de referência usado para 
especificar as coordenadas das partículas. Entretanto, 
em nosso cotidiano, frequentemente nos deparamos 
com situações em que certo sistema de coordenadas se 
desloca por meio da translação, (isto é, não girando) em 
relação a outro sistema. Neste caso, como transformar a 
nossa descrição do sistema de referencial antigo para este 
novo sistema? Como ficam as equações de movimento 
do sistema ao fazermos esta transformação? Estas são 
as questões básicas tratadas pela teoria da relatividade 
especial, teoria formulada por Einstein (com apenas 26 
anos de idade!) no ano de 1905. 
Quando as transformações necessárias envolvem 
aceleração entre os dois sistemas e os efeitos adicionais 
da gravitação, o tratamento é descrito pela teoria da 
relatividade geral, também elaborada por Einstein, 
mas somente em 1917. Pode-se dizer que a primeira 
formulação nada mais é do que um tratamento especial da 
Imagem 1.1: Albert Einstein em 1882
Fonte: http://th.physik.uni-frankfurt.
de/~jr/gif/phys/einst_4.jpg
Módulo 8 I Volume 1 21UESC
A Teoria da Relatividade Especial
1
U
ni
da
de
Física Moderna
segunda, sendo esta última uma teoria geral mais ampla 
sobre a dinâmica do espaço e tempo. Neste módulo, 
trataremos apenas do caso em que os sistemas se movem 
com velocidade constante, ou seja, movimento uniforme 
descrito pela teoria da relatividade especial, também 
chamada de teoria da relatividade restrita.
2 REFERENCIAIS INERCIAIS
 Em nossa vida diária, as experiências e sensações 
que observamos restringem-se a movimentos com 
velocidades extremamente pequenas, quando comparadas 
à velocidade da luz. Mas, apesar das experiências restritas, 
uma simples observação do movimento de um automóvel 
em relação a outro pode nos ajudar a entender como o 
conceito de movimento é relativo. Imagine você no 
interior de um ônibus parado em um sinal de trânsito, 
ao lado de outro ônibus. Pela janela, observa quando o 
sinal verde é aceso e finalmente vai seguir destino. Você 
observa as janelas do outro ônibus se deslocarem, mas, 
ao contrário do que esperaria, a traseira do outro ônibus 
é avistada e você continua a ver o cruzamento à frente. 
Somente quando observa o cruzamento é que percebe 
que o outro ônibus arrancou e que, justamente, o seu 
ônibus continua parado no sinal. Então você começa a 
se dar conta de que não estava se movendo, era o outro 
ônibus que seguia viagem. Todos nós somos “enganados” 
desta forma, qualquer um que observa o movimento de 
outro corpo tem o direito de pensar que está se movendo 
enquanto o outro permanece parado, ou vice-versa. Isso 
acontece porque o conceito de movimento é relativo, 
uma vez que as leis da natureza são as mesmas para todos 
os corpos em movimento uniforme, isto é, todos aqueles 
em um referencial inercial.
 Vamos inicialmente analisar o que diz a teoria 
clássica de movimento. Considere uma partícula de massa 
O termo referencial 
inercial refere-se a 
qualquer referencial que 
se mova com velocidade 
constante em relação 
a outro, ou seja, um 
referencial não acelerado. 
As leis de Newton para 
o movimento, por 
exemplo, são válidas para 
referenciais inerciais.
saiba mais
22 EADFísica
m , em movimento sob a influência da força F

, tratada em 
termos de dois sistemas de referência, sistema S e sistema 
’S . Para a determinação das coordenadas da partícula, 
Figura 1.1 – Um sistema de referência ’,x ’,y ’,z ’t se transladando com velocidade 
constante v em relação a um referencial ,x ,y ,z .t Supomos que os eixos ’x e x 
sejam colineares.
precisamos definir dois sistemas de três eixos ortogonais 
que se interceptam em um ponto rotulado O no sistema S
, e o ponto ’O no sistema ’S , respectivamente, sendo que o 
primeiro sistema, S , se move com velocidade v em relação 
ao segundo sistema, ’S , em um sentido que, por construção, 
é o sentido positivo dos eixos colineares ’,x x .
 Vamos definir que os tempos t e ’t medidos nos 
dois referenciais são ambos nulos no instante em que 
o plano ’ ’y z coincide com o plano .yz Segundo a física 
clássica, tratamento newtoniano, o movimento da partícula 
nestes dois sistemas pode ser descrito pelo conjunto de 
coordenadas ( , , , )x y z t e ( ’, ’, ’, ’),x y z t sendo que as relações 
entre elas podem ser descritas como:
' ,x x vt= − analogamente: 'x x vt= +
'y y=
'z z=
Módulo 8 I Volume 1 23UESC
A Teoria da Relatividade Especial
1
U
ni
da
de
Física Moderna
't t=
(1.1)
Estas relações definem as transformações de coordenadas de 
um sistema para outro e são conhecidas como transformação 
galileana. 
De acordo com este tratamento, se os zeros da escala 
de tempo utilizados nos referenciais diferentes são, por 
definição, iguais em algum instante e posição, então, segundo 
a física clássica, as duas escalas de tempo permanecerão as 
mesmas para todos os instantes e todas as posições, ou seja, 
'.t t= 
Sabemos que as equações de movimento de Newton 
no referencial S é tal que: 
2
2x
d xF m
dt
=
2
2y
d yF m
dt
=
2
2z
d zF m
dt
=
 Sim, o princípio da transformaçãogalileana remonta a Galileu Galilei! 
Galileu já afirmava desde o século XVII 
que as leis da mecânica deveriam ser 
as mesmas em todos os referenciais 
inerciais. A primeira lei de Newton 
é, por assim dizer, uma derivação 
desta importante hipótese. Einstein 
estendeu as ideias de Galileu e Newton 
e incluiu todas as leis da física em sua 
consideração, incluindo ainda as leis do 
Eletromagnetismo.
Imagem 1.2: Galileu Galilei
Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Galileo.arp.300pix.jpg
você sabia?
24 EADFísica
(1.2)
Diferenciando duas vezes as equações de (1.1) em 
relação a t e lembrando que ' ,t t= tem-se:
 
2 2
2 '2
'd x d x
dt dt
=
 2 2
2 '2
'd y d y
dt dt
=
 2 2
2 '2
'd z d z
dt dt
=
(1.3)
Assim, pode-se mostrar que a aceleração da massa 
m medida no referencial S será a mesma que a aceleração 
medida no referencial ’,S ou seja, a transformação de 
um sistema de coordenadas para outro não modifica a 
aceleração medida. Portanto as equações de Newton, 
as quais definem o comportamento da partícula, não 
mudam mediante as Transformações de Galileu. Em 
outras palavras, a componente da força F

 que atua sobre 
m na direção dos eixos x e ’x é a mesma, qualquer que 
seja o referencial observado:
 
'x xF F=
 
'y yF F=
 
'z zF F=
 (1.4)
Como as equações são equivalentes, em quaisquer 
dos dois referenciais inerciais, pode-se dizer que os 
comportamentos de todos os sistemas mecânicos serão 
idênticos em todos os referenciais inerciais, embora 
estes se movam com velocidade constante em relação 
Imagem 1.3: Isaac Newton
Fonte:http://www.bbc.co.uk/
science/space/universe/
scientists/isaac_newton
Módulo 8 I Volume 1 25UESC
A Teoria da Relatividade Especial
1
U
ni
da
de
Física Moderna
uns aos outros. Este resultado é válido e comprovado 
por um grande número de evidências experimentais, 
entretanto não pode ser estendido para outras teorias. As 
equações de Maxwell, por exemplo, aquelas que descrevem 
o comportamento de sistemas eletromagnéticos, não são 
invariantes frente às transformações de Galileu. Ou seja, as 
equações de Maxwell mudam de forma matemática quando 
O britânico James Clerck Maxwell (1831-
1879) foi um dos mais importantes físicos 
de todos os tempos. Maxwell foi o grande 
responsável pela unificação dos fenômenos 
de eletricidade, magnetismo e óptica. Em 
seu trabalho, conseguiu organizar uma 
série de experimentos eletromagnéticos 
em quatro equações diferenciais, 
conhecidas como as equações de Maxwell. 
Estas representam a formulação básica das 
leis do eletromagnetismo, introduzindo a 
descrição da realidade física em termos do 
conceito de campos.
você sabia?
Imagem 1.4: James Clerck Maxwell
Fonte: http://www.browsebiography.com/bio-james_clerk_maxwell.html
submetidas às transformações galileanas, ao contrário das 
equações de Newton. Por exemplo, quando utilizadas para 
obter uma previsão da velocidade de propagação das ondas 
eletromagnéticas (a luz), obtém-se um valor diferente da 
velocidade.
O fato de a luz se deslocar com velocidade finita, 
mas muito alta, foi verificado pela primeira vez em 1676, 
pelo astrônomo dinamarquês Ole Christensen Romer. 
Entretanto, foi apenas em 1865 que o físico inglês James Clerk 
Maxwell previu a existência de ondas eletromagnéticas cuja 
velocidade de propagação era de 83 10x metros por segundo. 
Entretanto a velocidade obtida por Maxwell aparecia nas 
equações de maneira absoluta, ou seja, não era relacionada 
a qualquer referencial específico. E mais, os mecanismos de 
propagação destas ondas também não eram bem definidos. 
A teoria eletromagnética de Maxwell simplesmente previa 
26 EADFísica
a existência de campos eletromagnéticos se propagando 
no espaço na forma de uma onda, mas a comprovação 
experimental da existência de tais ondas só foi obtida, 
em 1886, pelo físico alemão Heinrich Hertz. Hertz foi o 
primeiro a gerar ondas de rádio no laboratório, mas ainda 
restavam dúvidas quanto ao mecanismo de propagação 
destas ondas. Assim como as ondas na superfície da água e 
as ondas sonoras se propagam através de um meio mecânico, 
respectivamente, a água e o ar, os físicos da época acreditavam 
que as ondas eletromagnéticas também deveriam se propagar 
por algum determinado meio. Entretanto este meio deveria 
ser sem massa, uma vez que a luz é capaz de se propagar no 
vácuo, mas, ainda assim, deveria ter propriedades elásticas 
de modo a transmitir as vibrações associadas ao movimento 
ondulatório. Acreditava-se então na existência de um meio 
 Quando entramos em um quarto escuro e acendemos uma 
luminária, a impressão que temos é que a luz chega instantaneamente 
em todos os lugares, chão, teto, parede. Mas não é bem assim! De fato, é 
necessário certo tempo para que a luz emitida pela lâmpada se propague 
no ambiente e atinja os anteparos. De fato, este tempo é muito pequeno, 
e o atraso é imperceptível aos nossos olhos, mas a propagação, apesar 
de muito rápida, não é instantânea! Medidas precisas indicam que a 
velocidade da luz no vácuo, c , é 299.792.458 m/s, sendo pouquíssimo 
menor no ar, devido à resistência do meio. 
você sabia?
mecânico de propagação, denominado éter, cuja única função 
era sustentar a propagação das ondas eletromagnéticas. 
Desta forma, o vácuo existente deveria ser “preenchido” 
por uma substância com propriedades elásticas intrínsecas, 
exclusivas para a propagação da luz. 
Mas a existência do éter foi bastante contestada 
na época. Muitos físicos não acreditavam na existência de 
um meio com características tão próprias para se adequar 
à teoria, mas aceitavam a ideia da existência do mesmo 
como meio de propagação. No entanto, em um sistema de 
referência que se move com velocidade constante em relação 
ao éter, as equações de Maxwell mudavam de forma quando 
Módulo 8 I Volume 1 27UESC
A Teoria da Relatividade Especial
1
U
ni
da
de
Física Moderna
submetidas às transformações galileanas para calculá-las 
no referencial em movimento. O resultado obtido era um 
valor de velocidade diferente da velocidade c estimada. 
Mas e se a fonte de luz estivesse se movendo? Poderíamos 
esperar uma composição de velocidades, tal qual um barco 
se movendo em direção às ondas? Se a luz fosse uma onda 
se movendo por um meio que permeasse todo o espaço, 
então, com o movimento de rotação da Terra, deveríamos 
esperar velocidades distintas em direções distintas? 
A fim de responder a esta questão, Albert 
Michelson e Edward Morley realizaram, em 1887, uma 
importante experiência para a investigação da velocidade da 
luz. Eles mostraram que a velocidade da luz tem o mesmo 
valor, c , quando medida em direções perpendiculares 
em um sistema de referência que se supõe estar em 
movimento através do referencial do éter, contrariamente 
ao que era esperado. A experiência foi planejada com a 
intenção de estudar o movimento da Terra em relação 
ao éter. A proposta era medir a velocidade 
da luz em duas direções perpendiculares, 
a partir de um sistema de referência fixo 
à Terra. Para tanto, eles construíram um 
aparelho tipo um interferômetro com 
sensibilidade suficiente para detectar a 
pequena diferença de velocidade da luz 
associada ao movimento da Terra em 
relação ao éter. Para grande surpresa 
dos pesquisadores, as velocidades perpendiculares 
eram iguais! E eles estavam corretos, muitos outros 
experimentos se sucederam na tentativa de aperfeiçoar as 
medidas, mas nenhuma diferença foi observada. Apesar 
das considerações teóricas, a experiência de Michelson-
Morley mostrou que a velocidade da luz independe do 
movimento do observador e do movimento da fonte, ou 
seja, a propagação da luz é isotrópica, e não há um sistema 
Imagem 1.5: Albert Michelson 
(esquerda) e EdwardMorley (direita)
Fonte: http://www.epola.co.uk/
epola_org/michelson.html
28 EADFísica
especial de referência, ou referencial do éter. 
Einstein foi o primeiro a mostrar, em 1905, que o 
conceito de éter era desnecessário. Segundo ele, a luz se 
propaga no vácuo, que é realmente vazio, e com velocidade 
constante, .c Portanto a velocidade da luz é a mesma 
para todos os observadores inerciais, não importando a 
direção ou o movimento da fonte nem do observador. Esta 
constatação foi apresentada por Einsten na forma de um 
postulado. Einstein, assim como outros físicos de renome 
(H. Poincaré e H. A. Lorentz), compreendeu que a natureza 
da luz não confirmava as leis de transformação das variáveis 
eletromagnéticas em relação à transformação de Galileu. A 
genialidade de Einstein ficou evidente diante da interpretação 
para o significado físico e as consequências deste novo 
Apesar das evidências contrárias, 
muitos físicos da época, incluindo-se o 
próprio Michelson (que mais tarde se 
tornou o primeiro americano a receber 
o prêmio Nobel de Física), acreditavam 
ferrenhamente na existência do éter 
e tentaram formular explicações ou 
teorias para justificar o resultado obtido 
pelo experimento. Dentre as diversas 
justificativas destacam-se a “hipótese 
do arrastamento do éter” e a “teoria da 
emissão”. A primeira delas supunha que 
o referencial do éter seria localmente 
fixo a todos os corpos de massa finita 
e, assim, o éter se arrastaria com o 
movimento. Entretanto, esta hipótese 
vai de encontro às observações 
estelares que mostram o efeito 
cinemático de variação na posição de 
estrelas distantes, associadas ao movimento da Terra em torno do Sol, 
e, assim, não pode ser válida. Na hipótese de arraste do éter, este efeito 
denominado “aberração da luz” não existiria se o referencial do éter fosse 
arrastado com a Terra. Na teoria da emissão, as equações de Maxwell são 
modificadas de modo a associar a velocidade da luz à velocidade da fonte. 
Porém esta teoria estaria em conflito com a observação da luz oriunda 
de estrelas binárias. Estas correspondem a um par de estrelas que giram 
rapidamente em torno do centro de massa do sistema, sendo que uma 
se afasta da Terra enquanto a outra se move em direção à Terra. Neste 
caso, a velocidade da luz observada de uma estrela deveria ser distinta 
da velocidade da luz observada para a estrela companheira. No entanto, o 
movimento observado das estrelas binárias é precisamente explicado pela 
teoria newtoniana, quando a velocidade da luz emitida é considerada com 
módulo independente do seu movimento.
você sabia?
Imagem 1.6: Albert Einstein em 1893 
Fonte: http://www.alberteinsteinsite.
com/einsteinyoung.html
Módulo 8 I Volume 1 29UESC
A Teoria da Relatividade Especial
1
U
ni
da
de
Física Moderna
conceito que culminaram na teoria da relatividade. Esta, 
Princípio da Relatividade:
As leis da física são as mesmas em todos os 
sistemas de referência inerciais, apesar de estes 
sistemas se moverem uns em relação aos outros. 
Não existe referencial inercial privilegiado. Todos 
os referenciais inerciais são completamente 
equivalentes para todos os fenômenos. 
por sua vez, é embasada por dois princípios importantes 
que estendem os conceitos clássicos de espaço e tempo, 
abandonando o paradigma newtoniano de tempo absoluto, 
e introduzindo o conceito da relatividade.
3 OS POSTULADOS DA RELATIVIDADE 
O princípio da relatividade, considerado o postulado 
fundamental da teoria da relatividade, não afirma que os 
Postulado da Velocidade:
A velocidade da luz no vácuo tem sempre o 
mesmo valor c em todas as direções e em todos 
os sistemas inerciais. 
valores das grandezas são idênticos em todos os referencias 
inerciais! As grandezas geralmente são diferentes para 
diferentes observadores (isto é, diferentes sistemas de 
referência), mas as leis da física que relacionam estas 
grandezas são as mesmas em diferentes referenciais inerciais.
O postulado da relatividade pode ainda ser 
interpretado como a existência de uma velocidade limite 
na natureza, ,c que assume sempre o mesmo valor em 
todas as direções e diferentes referenciais inerciais. Esta é a 
velocidade de propagação da luz. Portanto a velocidade da 
luz independe da direção ou velocidade da fonte emissora.
Com estes postulados, Einstein incluiu as leis do 
30 EADFísica
Eletromagnetismo e da Ótica no princípio de relatividade 
de Galileu, o qual considerava a equivalência de referenciais 
apenas para leis da mecânica. Entretanto, estes postulados 
exigiam que Einstein modificasse ou as equações de Maxwell 
ou as transformações de Galileu, visto que ambas eram 
incompatíveis com as medidas de velocidade da luz. Em seu 
trabalho, Einstein optou por modificar as transformações de 
Galileu, o que culminou na introdução de novos conceitos 
de simultaneidade dos eventos no espaço e tempo.
4 CONCEITO DE SIMULTANEIDADE
A mais notável consequência da teoria da relatividade 
foi a maneira como ela revolucionou os conceitos de espaço e 
tempo. Se antes, de acordo com a teoria newtoniana, o efeito 
gravitacional era instantâneo, ou seja, se deslocássemos 
uma determinada massa de lugar (por exemplo, o nosso 
Sol), imediatamente os efeitos deste deslocamento seriam 
sentidos por uma massa vizinha (por exemplo, a Terra). 
Mas, se não é possível emitir sinais com velocidade infinita, 
nem mesmo sinais com velocidades superiores a c, então 
os conceitos clássicos de espaço e tempo precisavam ser 
modificados. Para entender o que estava errado, vamos 
analisar a transformação de Galileu para a coordenada de 
tempo (1,1):
't t=
Esta equação estabelece que as escalas de tempo no 
sistema S e S’ são as mesmas para todos os lugares e todos 
os instantes de tempo. Em outras palavras, pode-se dizer 
que existia uma escala de tempo universal para todos os 
referenciais, ou seja, perante a física clássica, o conceito de 
tempo, até então era absoluto! Portanto dois observadores 
deveriam sempre concordar quanto aos intervalos de tempo 
medidos entre dois eventos. Já na teoria relativística surgem 
Módulo 8 I Volume 1 31UESC
A Teoria da Relatividade Especial
1
U
ni
da
de
Física Moderna
novas e importantes implicações oriundas da constatação de 
que a velocidade da luz é a mesma para todos os observadores 
em referenciais inerciais. Vejamos, a seguir, como as novas 
concepções de espaço e tempo emergiram naturalmente da 
nova teoria.
Suponha que você seja um passageiro destinado a 
pegar o ônibus das 8 horas na praça principal da sua cidade. 
Você já se perguntou o que isto significa? Pois bem, este 
compromisso representa um evento no espaço-tempo: você 
estar em determinado local, no exato momento em que os 
ponteiros do seu relógio coincidirem com a marcação das 
Portanto, a definição de um evento é algo que ocorre 
de tal modo que um observador pode associá-lo a três 
coordenadas espaciais e uma coordenada temporal. 
8 horas! Mais especificamente, o evento “estar na praça às 
8 horas” implica de você estar nas coordenadas espaciais 
definidas para a posição “praça” no momento em que a 
coordenada temporal, indicada pelos ponteiros do seu 
relógio, marcar 8 horas. 
Mas, cadê o ônibus? Vejamos, se o relógio da empresa 
de transporte estiver sincronizado com o seu (e o trânsito 
estiver livre!), o ônibus também deverá estar na praça às 
exatas 8 horas. Assim, podemos dizer que você chegar à praça 
no momento em que os ponteiros do seu relógio indicarem 
8 horas e o ônibus também chegar neste exato momento são 
eventos simultâneos. Mas e se o seu relógio estiver atrasado? 
Provavelmente você irá perder o ônibus e irá reclamar da 
empresa de transporte por não oferecer o serviço. Mas 
por certo que a determinação de eventos simultâneos que 
acorrem exatamentena mesma posição não é difícil, basta 
que você ajuste o seu relógio com o relógio da empresa 
de transporte e se apresse para estar na praça no horário 
32 EADFísica
marcado! Mas, quando dois eventos ocorrem em posições 
distantes, as dificuldades aparecem. Este é o problema 
básico na determinação de escalas de tempo, a dificuldade 
de sincronização dos indicadores de tempo, os relógios. 
Esta dificuldade não se limita ao bom funcionamento dos 
relógios, mas sim na dificuldade de transmissão dos sinais. Se 
você estiver na praça, basta perguntar as horas no balcão da 
empresa e ajustar o seu relógio; mas se você estiver em outra 
posição, vai depender de algum meio de transporte do sinal 
de resposta, por exemplo, o sinal do telefone celular. Caso 
fosse possível enviar sinais com velocidade infinita, você 
receberia a resposta (via telefone celular) instantaneamente 
e a tarefa de sincronização seria fácil. No entanto, nenhum 
sinal pode viajar a velocidade superior a c e, portanto, o sinal 
que você recebe via celular (cujo meio de transmissão são 
ondas eletromagnéticas na frequência de microondas) está 
sempre atrasado! 
Por certo que o atraso inerente à propagação das 
ondas eletromagnéticas de uma localidade a outra dentro da 
sua cidade é totalmente desprezível (e você nunca poderá 
usar esta desculpa por perder o ônibus!); mas quando 
consideramos grandes separações espaciais, o tempo de 
propagação do sinal não pode ser desprezado. Este foi o 
erro cometido por Galileu, e também repetido por Newton, 
considerar implicitamente a capacidade de sincronização 
do tempo. De acordo com a teoria newtoniana, o sinal 
gravitacional emitido pelo Sol seria instantaneamente 
recebido na Terra, mas hoje sabemos que este sinal demora 
cerca de 8 minutos para chegar a nós. Portanto a luz que 
você observa da sua janela agora foi emitida pelo Sol 
aproximadamente 8 minutos atrás! Mas então, qual é a 
definição de “agora”?“Agora” representa o tempo que eu 
recebo o sinal aqui na Terra ou o tempo no qual o sinal foi 
emitido pelo Sol? Dois observadores, um na Terra e outro 
no Sol, dificilmente irão concordar quanto às coordenadas 
Módulo 8 I Volume 1 33UESC
A Teoria da Relatividade Especial
1
U
ni
da
de
Física Moderna
temporais de um evento. E não se trata apenas de uma 
particularidade das radiações eletromagnéticas, qualquer 
“sinal” que se propague à velocidade finita implicará nessas 
diferenças de coordenadas, visto que o tempo necessário 
para que o sinal chegue até o observador também será finito. 
A questão essencial é a limitação das velocidades (que por 
definição corresponde à distância dividida pelo tempo) e as 
implicações decorrentes para o conceito de espaço e tempo.
Na teoria de Newton, se um sinal é emitido de uma 
posição para outra, os respectivos observadores deverão 
concordar com o tempo gasto na trajetória do sinal, uma vez 
que o tempo era considerado absoluto, mas os diferentes 
observadores iriam discordar quanto à posição dos eventos. 
Por consequência, a velocidade estimada para o sinal emitido 
corresponderia à distância observada por cada um dividida 
pelo tempo observado. Neste caso, as grandezas estimadas 
para a velocidade do sinal recebido seriam diferentes. Já 
na teoria da relatividade, esta condição não é aceita e o 
contexto é exatamente oposto: ambos observadores deverão 
concordar quanto à velocidade do sinal. Podem discordar da 
posição e do tempo percorrido, mas a velocidade do sinal 
será sempre a mesma!
Em resumo, um determinado evento pode ser 
observado por um número irrestrito de observadores, cada 
qual em seu próprio sistema de referência. Entretanto, 
observadores situados em diferentes sistemas registrarão 
grandezas diferentes para as coordenadas do espaço-tempo. 
Lembre-se que um evento é um fato isolado que não é próprio 
de nenhum referencial, ou seja, não “pertence” a nenhum 
referencial inercial. Os eventos simplesmente ocorrem 
e qualquer observador pode associá-los a um sistema de 
coordenadas próprias. Portanto não existe a necessidade de 
concordância das coordenadas, visto que nenhum referencial 
é privilegiado. Em suma, a simultaneidade é relativa!
Esta nova concepção de simultaneidade no tempo, 
34 EADFísica
ao contrário das considerações newtonianas, estabelece 
que o tempo não é uma grandeza isolada, com significado 
absoluto e independente da localização espacial, mas sim 
que espaço e tempo se combinam para formar um elemento 
composto denominado espaço-tempo. Assim, é intuitivo 
Um evento ocorrendo em um tempo 1t e posição 1x 
é simultâneo a um evento ocorrendo em tempo 2t e 
posição 2x se os sinais emitidos em 1t de 1x e em 
2t de 2x chegarem simultaneamente ao ponto médio 
entre 1x e 2 ,x medido geograficamente.
pensar nas quatro coordenadas de um evento (três espaciais 
e uma temporal) como coordenadas de um espaço único 
quadridimensional chamado espaço-tempo. Esta constatação 
levou Einstein a definir um novo conceito de simultaneidade 
para eventos separados:
Portanto dois eventos separados localmente serão 
considerados simultâneos para um observador situado no 
Figura 1.2 – Ilustração da definição de simultaneidade dada por Eisntein.
Módulo 8 I Volume 1 35UESC
A Teoria da Relatividade Especial
1
U
ni
da
de
Física Moderna
ponto médio entre as duas posições, se, e somente se, os 
sinais emitidos por ambos chegarem simultaneamente a ele. 
Vide Figura 1.2. A definição de simultaneidade de Einstein 
mistura diretamente as coordenadas espaciais e temporais 
dos eventos, ao contrário do conceito clássico.
Uma consequência direta deste novo conceito de 
simultaneidade é que dois eventos que são considerados 
simultâneos em um sistema de referencial inercial não serão 
simultâneos em outro referencial que se move em relação ao 
primeiro. Em outras palavras, quando existe um movimento 
relativo entre dois observadores, geralmente, eles não 
concordam acerca da simultaneidade de dois eventos que 
estejam observando. Se um observador disser que os dois 
eventos são simultâneos, o outro dirá que não são e vice-
versa! Não é possível julgar qual deles está certo ou errado, 
pois a simultaneidade não é um conceito absoluto, mas sim 
um conceito relativo, visto que é dependente do movimento 
do observador. Por certo que, em nossas experiências diárias, 
a diferença entre os eventos é tão pequena, uma vez que as 
velocidades dos observadores são baixas quando comparadas 
com a da luz, que os observadores acabam concordando 
quanto ao conceito de simultaneidade. Mas não podemos 
deixar de considerar a diferença resultante quando a 
velocidade relativa entre os observadores é comparável a .c
5 A RELATIVIDADE DO TEMPO 
Vamos considerar uma experiência imaginária para 
analisar os efeitos da relatividade em uma sucessão de 
eventos detectados por dois observadores, enquanto um 
se move em relação ao outro. Imagine um casal de amigos, 
Ana e Paulo, os quais ajustaram seus respectivos relógios 
rigorosamente sincronizados. Ana está viajando em um trem 
que se move a velocidade v, indo ao encontro de Paulo. Este 
36 EADFísica
aguarda ansiosamente por ela na plataforma da estação. Ao 
se aproximar da plataforma, Ana liga sua ponteira laser e 
emite um sinal luminoso direcionado para o teto do trem, 
onde há um espelho refletor. Assim, podemos definir dois 
eventos sucessivos: 
Evento 1: Ana emite o sinal de laser.
Evento 2: a luz refletida no espelho do teto do trem retorna 
à posição de Ana.
O intervalo de tempo decorrido entre estes dois 
eventos observados por Ana pode ser estimado como:
2' ,Dt
c
∆ =
(1.5)
Sendo D a distância entre a fonte de laser e o espelho 
no teto do trem. Para Ana, ambos os eventos acontecem no 
mesmo local e, assim, ela pode medir o intervalo de tempocom o seu relógio de pulso. Ela então marca, inicialmente, o 
tempo no instante em que o laser é emitido e, posteriormente, 
o tempo em que a luz retorna à fonte. Esta medida de tempo 
estimada em dois momentos distintos, com um único 
relógio em repouso em relação ao observador, denomina-
se intervalo de tempo próprio. Em nosso exemplo, este é o 
valor de ',t∆ mas é usual denominá-lo por 0.t∆ Mas e qual é 
a percepção de Paulo parado na plataforma da estação? 
Paulo observa a passagem do trem onde Ana está 
Figura 1.3 – Ana mede o 
intervalo de tempo que a 
luz leva para ir e voltar, 
usando um único relógio C, 
obtendo um tempo próprio 
0.t∆ Paulo, examinando 
a passagem do trem, 
precisa de dois relógios 
sincronizados, C1 e C2, para 
medir o intervalo de tempo 
.t∆
Módulo 8 I Volume 1 37UESC
A Teoria da Relatividade Especial
1
U
ni
da
de
Física Moderna
viajando. Para ele, a distância percorrida pelo laser emitido 
por Ana é um pouco maior que a distância observada por 
Ana, vide Figura 1.3.
Em seu percurso de ida e volta ao teto, a luz observada 
por Paulo percorre a distância 2L , sendo que o tempo 
estimado por ele para a trajetória total é:
2 ,Lt
c
∆ =
(1.6)
onde:
2
21
2
L v t D = ∆ + 
 
(1.7)
Mas, de acordo com (1.5),
 
1 ',
2
D c t= ∆
 
então:
2 21 1 '
2 2
L v t c t   = ∆ + ∆   
   
(1.8)
Substituindo o valor de L dado pela equação (1.8) na 
equação (1.6),
 tem-se que:
38 EADFísica
2
' ,
1
tt
v
c
∆
∆ =
 −  
 
(1.9)
Imagem 1.7: Albert Einstein em 1904
Fonte: http://de.listofimages.com/
albert-einstein-1904-in-bern/
Como v é sempre menor que ,c de acordo com 
a equação (1.9), o intervalo de tempo medido por Paulo 
será sempre maior que o intervalo de tempo medido por 
Ana, ou seja, o intervalo de tempo próprio.
Em síntese: 
Ana e Paulo possuem relógios com funcionamento 
idêntico e sincronizado. Ambos medem o intervalo 
de tempo entre dois eventos sucessivos. Ana está num 
referencial em repouso em relação aos eventos, visto que 
ambos ocorrem no trem em movimento onde ela está 
inserida, de modo que ela pode usar um único relógio 
para medir o intervalo de tempo. Para Paulo, os eventos 
ocorrem em pontos distintos no seu referencial e ele 
necessita de dois relógios idênticos e sincronizados para 
estimar o intervalo de tempo entre os eventos, sendo 
que cada um deles fica localizado no ponto onde ocorre 
o respectivo evento. Paulo verifica que, independente da 
velocidade do trem, o intervalo de tempo que ele estima 
para os eventos é sempre maior que o intervalo de tempo 
estimado por Ana. Este efeito relativístico é denominado 
efeito de dilatação do tempo. Nenhuma medição de 
qualquer observador, nem Paulo nem Ana, está errada, 
este é simplesmente um efeito da própria natureza, cada 
referencial tem o seu tempo. Apenas o referencial em 
repouso em relação aos eventos é dito referencial de 
tempo próprio, mas ambas as medidas estão corretas!
Importante notar que, para Paulo, os dois eventos 
ocorrem em locais distintos da plataforma e, para a medida 
de ,t∆ são necessários dois relógios distintos, 1C e 2C , 
localizados nos dois pontos diferentes do seu sistema de 
referência. Neste caso, intervalo de tempo estimado por 
Módulo 8 I Volume 1 39UESC
A Teoria da Relatividade Especial
1
U
ni
da
de
Física Moderna
Paulo não é intervalo de tempo próprio, dado à necessidade 
de posicionamento de dois relógios.
Importante salientar que o efeito da dilatação do 
tempo não se aplica somente ao compasso dos relógios, mas 
igualmente a todos os fenômenos naturais que dependem 
do tempo, incluindo tempo de vida! Assim sendo, uma das 
considerações a respeito deste tema nos leva ao contexto 
conhecido como: Paradoxo dos gêmeos.
Considere dois irmãos gêmeos. Um deles parte em 
uma nave espacial para viajar pelo Cosmos e depois retorna 
à Terra, onde o outro irmão o está aguardando. Em relação 
ao irmão que ficou, o viajante teve sua percepção do tempo 
mais lenta, assim como o seu corpo físico, ou seja, as 
batidas do coração, a respiração e o desgaste celular também 
seguiram ritmos diferentes, mais lentos. Embora o viajante 
estivesse com seu relógio de pulso e não tenha notado 
nenhuma alteração em seu tempo próprio, o irmão que 
ficou vai aparentar mais idade no momento do reencontro! 
Poderia estar até mesmo morto, sendo representado apenas 
por sua neta! 
Mas você deve estar se perguntando: porque o 
viajante não considerou a dilatação do tempo em relação 
ao irmão que ficou? Se ele fizesse esta correção, chegaria à 
conclusão de que está mais velho do que o irmão! Mas como 
o viajante pode estar fisicamente mais jovem, se a idade 
cronológica indica que ele está mais velho? Este contexto 
é conhecido como Paradoxo dos gêmeos. Mas como pode 
um ser mais jovem do que o outro? Qual deles realmente 
envelheceu mais do que o outro? Ou será que ambos têm a 
mesma idade? 
As conclusões aparentemente contraditórias surgem 
porque os tempos estão sendo estimados em diferentes 
referenciais inerciais. De fato, não há nenhum paradoxo, o 
irmão viajante será efetivamente mais jovem quando retornar 
a casa! O viajante não deve “corrigir” seu tempo levando em 
40 EADFísica
conta o efeito da dilatação, pois, em seu percurso de viagem, 
ele sofreu acelerações, deixando de estar em um referencial 
inercial e, portanto, a simetria de tempo entre os irmãos é 
quebrada. Apenas o irmão na Terra esteve em um referencial 
inercial todo o tempo. E, assim, o paradoxo é resolvido, não 
há nenhuma contradição! O paradoxo só existe para quem 
considera o tempo absoluto. Na teoria da relatividade 
não há tempo absoluto, ou seja, cada indivíduo tem 
sua própria medida de tempo, sendo esta dependente 
de onde você está e como está se movendo.
Calcule a velocidade relativa de um relógio 
necessária para que um observador estacionário 
verifique que a taxa do seu relógio se reduz à metade 
da taxa do relógio idêntico que se move em relação a 
ele.
Solução:
A pessoa que se move juntamente com o 
relógio registra um intervalo de tempo próprio 0 ,t∆ 
uma vez que o relógio está em repouso em relação a 
ela. A pessoa que observa o relógio móvel registra um 
tempo dilatado t∆ para este relógio. De acordo com o 
enunciado do problema, temos que 0t 2 t .∆ = ∆ Então, 
tem-se:
2
12
1
γ
β
= =
−
Elevando ao quadrado:
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Módulo 8 I Volume 1 41UESC
A Teoria da Relatividade Especial
1
U
ni
da
de
Física Moderna
( )24 1 1β− =
Portanto: 
3 0,8664β = =
Assim, o relógio deverá deslocar-se com uma 
velocidade relativa igual a 87% da velocidade da luz para que 
o fator de dilatação do tempo seja igual a 2. Esta velocidade 
corresponde a circular o equador da Terra 6,7 vezes em um 
segundo.
6 A RELATIVIDADE DO COMPRIMENTO 
A dificuldade em estabelecer a simultaneidade dos 
eventos no espaço-tempo implica em outra dificuldade 
inerente aos referenciais em movimento. A propósito, você 
já tentou medir o comprimento de um peixe nadando no 
interior de um aquário? Pode imaginar a dificuldade inerente 
a esta medida?
Inicialmente, vamos considerar o mesmo exemplo 
da seção anterior, Ana viajando de trem, Paulo aguardando 
sua chegada na plataforma, enquanto Ana emite um sinal de 
laser para o teto do trem. Imagine se Paulo resolve estimar 
a distância percorrida pelo trem entre os momentos de 
emissão do sinal de laser até o retorno do sinal refletido 
no espelho. Imagine que Paulo coloca uma trena sobre a 
plataforma, cujas extremidades coincidem com a posição 
dos relógios 1C e 2.C Chamaremos de L o comprimento da 
trena medida no referencial de Paulo, o referencial no qual a 
trena está em repouso.Então, qual será o comprimento da 
trena estimado por Ana de dentro do trem?
No referencial de Ana, isto é, o do trem, a trena 
42 EADFísica
está se movendo em uma direção paralela a seu próprio 
comprimento. Como a velocidade de Ana em relação a Paulo 
é ,v a velocidade de Paulo, e também da trena, em relação 
a Ana tem que ser exatamente – .v Caso contrário, haveria 
uma assimetria inerente aos dois referenciais e isto não é 
permitido na teoria da relatividade. Sendo 0t o intervalo de 
tempo medido por Ana entre os extremos da régua em 1C e 
2 ,C então o comprimento da régua estimado por Ana será 
dependente deste intervalo de tempo ',t ou seja:
' 'L vt=
(1.10)
Também é possível estabelecer uma equação relacionando 
as grandezas correspondentes medidas por Paulo. Para ele:
L vt=
(1.11)
Combinando ambas as equações e eliminando v, tem-se:
' 'LL t
t
=
(1.12)
Mas, de acordo com a dilatação do tempo:
2
2
' 1t v
t c
= −
(1.13)
Portanto, substituindo a equação (1.13) em (1.12), tem-se:
2
2' 1
vL L
c
= −
(1.14)
Este resultado implica que a medida realizada 
por Ana será sempre menor por um fator 2 21 / ,v c− 
Módulo 8 I Volume 1 43UESC
A Teoria da Relatividade Especial
1
U
ni
da
de
Física Moderna
quando estimada em um referencial que se move em 
direção paralela ao seu próprio comprimento, do que o 
comprimento medido em um referencial em repouso, 
referencial da plataforma, isto é, o mesmo de Paulo. O 
comprimento da trena medido no referencial no qual 
ela está em repouso é chamado comprimento próprio. 
Em nosso exemplo, o comprimento próprio da trena 
corresponde à medida ,L mas é usual denominá-lo de 0.L
O efeito resultante das medidas discrepantes 
realizadas do referencial em movimento é chamado 
efeito de contração do comprimento, mas também é 
conhecido como contração de Lorentz. Este é mais 
um efeito decorrente da dificuldade em definir eventos 
simultâneos e, sendo assim, é intuitivo pensar que a 
medida de comprimento também deve ser relativa. Uma 
vez que Ana não tem como assegurar a simultaneidade 
dos eventos de passagem do trem pela trena, visto que o 
trem está em movimento, a medida estimada por ela será 
sempre discrepante em relação ao comprimento próprio 
da trena.
Vamos agora voltar ao problema da medição do 
comprimento de um peixe que nada livremente em um 
aquário. Você já sabe como estimar? Então vejamos: 
seja 0L o comprimento próprio do peixe, isto é, o 
comprimento medido por um observador em repouso 
em relação ao peixe. Se o peixe se move paralelamente 
a você, então o comprimento L que você medirá, se a 
velocidade do peixe for ,v é dado pela equação (1.14):
2
0 21
vL L
c
= −
Assim, o comprimento de um objeto que se 
Imagem 1.8: Albert Einstein em 
1912
Fonte:http://th.physik.uni-frankfurt.
de/~jr/physpiceinstein.html
44 EADFísica
move em relação a você será sempre menor do que 
o comprimento próprio do referido objeto. Este é 
um efeito real da teoria da relatividade. Assim como a 
dilatação do tempo, a contração do comprimento é um 
efeito mensurável. 
Duas espaçonaves, cada uma com o comprimento 
próprio 0 230 ,L m= passam uma pela outra, conforme 
indicado pela Figura 1A. Sônia, localizada no ponto A de 
uma espaçonave, mede um intervalo de tempo de 3,75 sµ 
Mas você deve estar se perguntando, o peixe realmente encolhe? Os 
átomos e moléculas do peixe realmente se “comprimem”? Por certo 
que não, caso contrário o peixe não sobreviveria! A contração do 
comprimento é um efeito resultante do processo de medida em um 
referencial que se move. O correto é você pensar que a medida é 
afetada pelo movimento, mas não o objeto! 
saiba mais
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Figura 1A – Sônia mede o comprimento da espaçonave de Sam quando as duas naves se 
cruzam.
para a passagem da outra nave. Qual é o parâmetro de 
velocidade relativa entre as duas espaçonaves? Considere 
AB como a coincidência do ponto A com o ponto B e 
AC a coincidência de A com C .
Solução:
O intervalo de tempo entre os eventos AB e ,AC 
medidos por Sônia, usando um relógio situado no ponto 
,A é um intervalo de tempo próprio 0 3,75 .t sµ∆ = O 
comprimento L que Sônia mede da outra espaçonave é 
próprio, sendo dado por:
Módulo 8 I Volume 1 45UESC
A Teoria da Relatividade Especial
1
U
ni
da
de
Física Moderna
0 0L v t c tβ= ∆ = ∆
Contudo, Sônia sabe que o comprimento próprio 
da outra espaçonave vale 0 230 ,L m= sendo:
20
0 1
LL L β
γ
= = −
Igualando as duas expressões anteriores, tem-se:
2
0 0 1c t Lβ β∆ = −
Elevando ao quadrado e explicitando β :
( )
0
2 2
0 0
L
c t L
β =
∆ +
 
( ) ( ) ( )2 2 28 6
230 0,210
3,00 10 / 3,57 10 230
m
x m s x s m
β
−
= =
+
Portanto as duas espaçonaves afastam-se com uma 
velocidade relativa de 21% à velocidade da luz. 
7 AS TRANSFORMADAS DE LORENTZ 
Nas últimas seções, discutimos os efeitos decorrentes 
da teoria relativística para descrição de eventos sucessivos 
realizados por observadores em diferentes referenciais 
inerciais, os efeitos da dilatação do tempo e o efeito de 
contração do comprimento. Nesta seção, vamos finalmente 
obter as equações de transformações de coordenadas 
46 EADFísica
de um sistema para outro, sob a ótica relativística. 
Conforme discussão anterior, seção 1.2, você deve se 
recordar de que a transformação clássica, considerada 
por Galileu e Newton, é incompatível com o conceito 
de velocidade constante da luz. No entanto, em nossa 
experiência diária, limitada a casos em que as velocidades 
envolvidas são muito baixas quando comparadas a ,c as 
transformações galileanas, equações (1.1), correspondem 
satisfatoriamente à realidade observada. Apenas 
para velocidades comparáveis à velocidade da luz as 
transformações galileanas discordam das evidências 
experimentais. Assim sendo, podemos esperar que 
o tratamento relativístico se reduza ao tratamento 
clássico quando .v c Vejamos agora como obter as 
transformações relativísticas.
Considere uma terceira experiência imaginária, 
envolvendo os observadores O e ’,O sendo que o 
observador ’O se movendo relativamente a O, com 
velocidade de módulo v, no sentido positivo do eixo dos 
x e ’,x tal qual representamos na Figura 1.1(seção 1.2). 
Os planos xy e ’ ’x y são sempre coincidentes e as origens 
dos seus sistemas de coordenadas coincidem no instante 
' 0.t t= = Neste instante, O’ produz um sinal luminoso 
em sua origem, o qual produz uma frente de onda 
luminosa que se expande, a partir do ponto de emissão, 
com velocidade c em todas as direções. Assim, no sistema 
’,S a frente de onda em um tempo ’t será uma esfera, 
centrada na origem, de raio ' '.r ct= As coordenadas de 
um ponto qualquer pertencente à frente de onda neste 
instante deverão satisfazer à equação de uma esfera:
2 2 2 2 2' ' ' 'x y z c t+ + =
(1.15)
Analogamente, no sistema ,S as coordenadas da 
frente de onda serão: 
Imagem 1.9: Hendrik Antoon Lorentz
Fonte: http://www.nobelprize.
org/nobel_prizes/physics/
laureates/1902/lorentz-bio.html
Módulo 8 I Volume 1 47UESC
A Teoria da Relatividade Especial
1
U
ni
da
de
Física Moderna
2 2 2 2 2x y z c t+ + =
(1.16)
 E como encontrar a relação entre estes dois sistemas 
de coordenadas? De acordo com as discussões anteriores, já 
sabemos que as grandezas relativas ao tempo e à posição, ao 
longo do eixo de deslocamento entre os sistemas, deverão 
ser discrepantes. Então, vamos considerar que a forma a 
seguir seja válida para as equações de transformação:
( )'x x vtγ= −
'y y=
'z z=
( )' ,t tγ δ= +
(1.17)
sendoγ uma grandeza adimensional e ä uma grandeza com 
dimensões de tempo. Nossa tarefa então será determinaras 
expressões de γ e .δ Por simples analogia com o tratamento 
clássico, já sabemos que, quando 0,v c → devemos ter: 
1γ → e 0.δ → E assim as equações (1.17) se reduziriam às 
transformadas galileanas no limite clássico. 
 Substituindo as transformações descrita sem (1.17) 
na expressão de (1.15), o resultado esperado seria obter uma 
expressão similar a (1.11), visto que nosso objetivo é obter 
as relações de transformação de um sistema de coordenadas 
para o outro. Procedendo assim, vamos tentar encontrar as 
relações para γ e δ que satisfazem a igualdade. Portanto a 
equação (1.10) se reduz a:
2 2 2 2 2 2 2( ) ( )x vt y z c tγ γ δ− + + = +
(1.18)
 Perfazendo a expansão dos binômios, tem-se:
48 EADFísica
 
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( 2 ) ( 2 )x vxt v t y z c t tγ γ δ δ− + + + = + +
(1.19)
 Para que a igualdade acima seja válida e a equação se 
reduza à forma de (1.11), os termos em t devem se anular, de 
modo que:
2 2 22 2tc vxtδ γ γ= −
ou seja: 
2
vx
c
δ = −
(1.20)
 Conforme análise inicial, δ tem dimensões de tempo 
e, quando 0,v c → 0.δ → Agora podemos substituir a 
expressão de 2δ em (1.18):
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
4( ) ( )
v xx v t y z c t
c
γ γ+ + + = +
(1.21)
 Rearranjando os termos, tem-se:
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
v xx y z c t v t
c
γ γ γ γ− + + = −
 E agora reagrupando em termos de 
2x e 
2 :t
2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 21 1 .
v vx y z c t
c c
γ γ
   
− + + = −   
   
(1.22)
 Comparando esta última equação com a forma da 
Módulo 8 I Volume 1 49UESC
A Teoria da Relatividade Especial
1
U
ni
da
de
Física Moderna
equação (1.17), é possível perceber que:
2
2
21 1,
v
c
γ
 
− = 
 
logo, tem-se: 
2
2
1 .
1 v
c
γ =
 
− 
 
(1.23)
 Nota-se que o parâmetro γ é adimensional e que
 1,γ → quando 0.v c → O parâmetro γ é denominado 
fator de Lorentz e é comumente expresso como:
 ( )2
1 ,
1
γ
β
=
−
(1.24)
sendo: 
 .v cβ ≡
 Assim, chegamos às transformações de coordenadas 
válidas para qualquer velocidade, incluindo a velocidade 
da luz, deduzidas a partir dos postulados da teoria da 
relatividade:
( )' ,x x vtγ= −
( )' 2 .vxt t cγ= −
(1.25)
 Analogamente, partindo das equações de (1.25), é 
possível obter as transformações inversas simplesmente 
rearranjando as variáveis:
50 EADFísica
( )' ' ,x x vtγ= −
( )2' ' .vxt t cγ= −
(1.26)
Estas equações, (1.25) e (1.26), definem as 
transformações de variáveis de espaço-tempo da relatividade 
e são chamadas de transformadas de Lorentz. Note que 
estas se reduzem às transformadas galileanas, quando a 
velocidade v é desprezível em relação à velocidade da luz,
.c Observando as equações em (1.25) e (1.26), notamos 
que, se de fato a velocidade da luz fosse infinita, os efeitos 
A esta altura, você deve estar se perguntando porque as 
transformações de variáveis da teoria da relatividade receberam 
o nome de transformadas de Lorentz e não transformadas de 
Einstein? A justificativa do nome se deve a uma homenagem 
prestada ao grande físico holandês, Hendrick Lorentz, que obteve 
esta formulação matemática pela primeira vez, alguns anos antes 
da publicação dos trabalhos de Einstein. Porém Lorentz tentou 
relacioná-las com o conceito de éter, na tentativa de consolidar 
as bases da teoria clássica dos elétrons. Apesar da formulação 
matemática desenvolvida por Lorentz, a interpretação conceitual 
da relatividade e a mudança de paradigma de tempo absoluto 
para espaço-tempo relativo somente foi introduzida nos trabalhos 
de Einstein. Uma prova incontestável de que a interpretação 
física constitui o cerne das mudanças introduzidas pela teoria da 
relatividade. 
saiba mais
relativísticos seriam desprezíveis e a física clássica nunca 
falharia. No entanto, para velocidades ,v maiores que c , s 
transformadas de Lorentz não têm significado físico, uma 
vez que o valor de γ será uma grandeza complexa. Desta 
forma, podemos concluir quão importante é o papel da 
velocidade limite ,c para a descrição dos fenômenos físicos. 
 A equação (1.9) (seção 1.5), que expressa o efeito da 
dilatação do tempo relativístico, também é frequentemente 
Módulo 8 I Volume 1 51UESC
A Teoria da Relatividade Especial
1
U
ni
da
de
Física Moderna
representada em termos do fator de Lorentz:
 
0.t tγ∆ = ∆
(1.27)
E mais, o efeito de contração do comprimento 
pode ser expresso em termos do fator de Lorentz, sendo:
 
0 .LL
γ
=
(1.28)
Imagem 1.10: Albert Einstein em 1921
Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/
Albert_Einstein
Se dois eventos ocorrem num mesmo local de um 
referencial inercial, o intervalo de tempo entre os 
dois eventos, 0 ,t∆ medido por um único relógio 
em repouso, denomina-se intervalo de tempo 
próprio. Todos os outros observadores inerciais 
fora deste sistema medirão um intervalo de tempo 
maior do que 0.t∆
O comprimento 0L de uma barra, medindo no 
sistema inercial de referência no qual a sua barra 
está em repouso, denomina-se seu comprimento 
próprio. Todos os outros observadores inerciais 
fora deste sistema medirão um comprimento 
menor do que 0L na direção do movimento. 
Você por acaso conhece algum “maluco” capaz de esperar na plataforma 
da estação de trem, munido de uma trena gigante, relógios idênticos 
e sincronizados, medindo distância entre eventos que ocorrem dentro 
dos trens? Imagino que não... Mas não se desespere, os exemplos 
descritos nesta unidade são exemplos clássicos dos cursos de 
relatividade, os quais tentam criar situações hipotéticas para explicar 
os efeitos da teoria, mas, de fato, não correspondem às situações 
corriqueiras do nosso cotidiano. Os efeitos da teoria da relatividade 
são sensivelmente detectados e analisados no estudo do Cosmos, 
onde as distâncias envolvidas são astronômicas e a única informação 
proveniente dos eventos é a luz emitida por eles. Neste contexto, 
a dificuldade em estimar medidas, estabelecer escalas de tempos e 
inferir as coordenadas próprias de cada evento tornam imprescindíveis 
as considerações relativísticas discutidas neste módulo. 
você sabia?
52 EADFísica
Os efeitos da dilatação do tempo e a contração 
do comprimento podem ser resumidamente enunciados 
como se segue:
Num referencial inercial S , uma única lâmpada 
vermelha acende-se 5,35 sµ depois que surge um 
flash azul. A distância entre as duas lâmpadas é igual a 
2,45 ,x km∆ = sendo que o flash vermelho ocorre num 
ponto x mais afastado do que o flash azul. Um sistema 
inercial ’S move-se no sentido positivo de x com um 
parâmetro de velocidade 0,855.β = Qual é a distância 
entre os dois eventos e o intervalo de tempo entre eles 
medido no sistema ’?S
Solução: de acordo com as transformadas de 
Lorentz, substituindo ,v cβ= temos:
( )' ,x x c tγ β∆ = ∆ − ∆
e
' .xt t
c
γ β ∆ ∆ = ∆ − 
 
 Sabemos que: 
2,45 2450 ,V Ax x x km m∆ = − = =
e
 
65,35 5,35 10 .V At t t s x sµ
−∆ = − = =
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Módulo 8 I Volume 1 53UESC
A Teoria da Relatividade Especial
1
U
ni
da
de
Física Moderna
Porém, 
2 2
1 1 1,928
1 1 (0,855)
γ
β
= = =
− −
Substituindo na expressão de ' :x∆
 
( )' 8 6(1,928) 2450 0,855 (3,00 10 / )(5,35 10 )x m x x m s x s− ∆ = − 
' 63,147 10 3,15x x s sµ−∆ = − ≈ −
Conclui-se que, no referencial S’, a lâmpada 
vermelha também está mais afastada do que a lâmpada 
azul; contudo a distância entre as duas lâmpadas é 2,08km 
e não 2,45km. O sinal negativo do último resultado nos 
informa que, contrariamente ao que ocorre no referencial 
S, no referencial S’ o flash vermelho ocorre antes do 
azul. Além disso, a diferença de tempo entre os dois 
sinais é de 3,15µs e não 5,35µs.
Um avião, viajandocom velocidade ,u vai do Rio 
de Janeiro até São Paulo. Em relação a um referencial 
inercial S fixo no solo, o avião levanta voo no Rio e 
aterriza em São Paulo; estes dois eventos são separados 
por uma distância x∆ e por um intervalo de tempo .t∆ 
Suponha que um observador inercial ’S meça estes dois 
eventos. Verifique se é possível que estes eventos sejam 
registrados em ’S numa sequência oposta, ou seja, o 
observador ’S pode ver o avião aterrizar em São Paulo 
antes de levantar voo no Rio de Janeiro?
EXERCÍCIO RESOLVIDO
54 EADFísica
Solução:
Vamos considerar a transformada de Lorentz:
' ( )xt t cγ β
∆∆ = ∆ −
As quantidades x∆ (a distância entre o Rio e São 
Paulo) e t∆ (o tempo de voo) são quantidades positivas. 
Vamos calcular o valor de β para que ',t∆ na relação 
anterior, tenha um valor negativo. Para isso, devemos ter 
a condição:
x t
c
β ∆ > ∆
Porém, x t
∆
∆ é justamente a velocidade u do avião 
no sistema .S Portanto a condição anterior exige que:
c
u
β >
Entretanto um avião não pode ter velocidade 
superior à velocidade da luz, ou seja, ( ) 1,c u > de modo 
que a exigência anterior se reduz a: 1.β > Mas esta 
condição não pode ser alcançada, novamente porque 
não é possível alcançar velocidades maiores que .c 
Portanto um avião não pode aterrizar antes de levantar 
voo, mesmo na relatividade restrita! Estes dois eventos 
não são independentes, pois estão relacionados por 
uma sequência de causa e efeito e, portanto, em todos 
os referenciais inerciais, eles ocorrerão nesta mesma 
sequência. Concluí-se, portanto, que, mesmo na teoria 
da relatividade, é impossível inverter a sequência de 
eventos relacionados por causalidade. Se o evento A 
é a causa do evento ,B então todos os observadores, 
independentemente de suas velocidades, concordarão 
que A ocorra sempre antes de .B Assim, em nenhum 
sistema de referência você poderia nascer antes dos seus 
pais! 
Módulo 8 I Volume 1 55UESC
A Teoria da Relatividade Especial
1
U
ni
da
de
Física Moderna
8 TRANSFORMAÇÕES DE VELOCIDADE 
RELATIVÍSTICA
Vamos agora mostrar como a velocidade de uma 
partícula vista por um observador no sistema inercial S 
relaciona-se com a velocidade da mesma partícula vista 
por outro observador inercial no sistema ’.S Podemos 
representar a velocidade da partícula no sistema S como:
, , x y z
dx dy dzu u u
dt dt dt
= = =
 Analogamente para o sistema ’S :
' ' '' , ' , 'x y z
dx dy dzu u u
dt dt dt
= = =
De acordo com as transformadas de Lorentz, 
sabemos que:
'
2
2
1 ( )
1
dx dx vdt
v
c
= −
−
'dy dy=
'dz dz=
'
22
2
1
1
dxdt dt v
cv
c
 = − 
 −
(1.29)
Substituindo as expressões para 'dx e 'dt em (1.29), 
temos:
 
56 EADFísica
2
2
2 222
2
1 ( )
1''
1 1 1
1
x
x
x
dx vdt dxv v u vdx c dtu v dx vudxdt dt v
c dt ccv
c
−
−− −
= = = =
  − −− 
 −
 
( )2 2
2
22 22 2
22
1''
1' 1 11
11
y y
x
dy v
dy dy cdtu uvudxdt v dxdt v
cc c dtv v
cc
−
= = = =
    −− −      −−
 ( )2 2
2
22 22 2
22
1''
1' 1 11
11
z z
x
dz v
dz dz cdtu uvudxdt v dxdt v
cc c dtv v
cc
−
= = = =
    −− −      −−
(1.30)
Portanto as expressões acima descrevem, para 
cada componente, a transformação de velocidades 
relativísticas. Observe que, quando v c tende a zero, 
as equações acima recaem nas mesmas equações da 
transformada clássica, sendo:
'x xu u v= −
'y yu u=
'z zu u=
 Quando utilizada a notação vetorial, as equações 
acima podem ser expressas simplesmente como:
Imagem 1.11: Albert Einstein em 
1933
Fonte:http://th.physik.uni-frankfurt.
de/~jr/physpiceinstein.html
Módulo 8 I Volume 1 57UESC
A Teoria da Relatividade Especial
1
U
ni
da
de
Física Moderna
2
' 1
u vu v u
c
−
=
⋅
−
 

 
(1.31)
A relação acima é conhecida como a Lei da Velocidade 
Relativística. 
9 MASSA, MOMENTO E ENERGIA 
RELATIVÍSTICA
Face às novas transformações de velocidade, você 
deve estar curioso a respeito da validade das leis da mecânica 
clássica, como conservação de momento e energia. Por certo 
que a aplicação da teoria relativística precisa considerar 
também estas questões. A modificação introduzida 
por Einstein nas equações de transformação implica na 
introdução de novos fatores de compensação nas equações 
da mecânica. Neste contexto, fez-se necessário desenvolver 
uma nova mecânica, convenientemente chamada de 
mecânica relativística.
Inicialmente, vamos tratar do momento linear. Para o 
caso de uma partícula de massa m se movendo com velocidade 
constante v no sentido positivo de x , o momento linear 
definido pela mecânica clássica é estimado como: 
,xp mv m
t
∆
= =
∆
(1.32)
sendo ∆x a distância percorrida durante o tempo ∆t. Diante 
da restrição de velocidades imposta pelo limite c na teoria 
relativística, deveríamos esperar que o momento máximo 
que uma partícula pode atingir seria então: mc. Mas como 
interpretar fisicamente um limite finito para o momento de 
uma partícula?
58 EADFísica
De modo a preservar a definição clássica de momento, 
Einstein resolveu considerar uma alteração na massa das 
partículas, definindo-a como função da velocidade v, ou seja:
( )m m v=
(1.33)
Por certo que, no limite clássico, 1,v c  devemos 
ter: ( ) 0 ,m v m= sendo 0m a massa da partícula medida 
classicamente, ou seja, em repouso. Esta ponderação é 
necessária para assegurar a validade da mecânica clássica, uma 
vez que esta corresponde perfeitamente bem às observações 
em baixas velocidades. 
Resta agora determinar a função ( ).m v Para isso, 
partindo da definição clássica, podemos considerar que o 
momento de uma partícula, vista por um observador no 
referencial da própria partícula, ou seja, que se move junto a 
ela, e que, portanto, é capaz de medir um intervalo de tempo 
próprio da partícula, é dado por:
 
0
0
xp m
t
∆
=
∆
A expressão acima também pode ser descrita em 
função do parâmetro de Lorentz:
0 0 0
0 0
x x t xp m m m
t t t t
γ∆ ∆ ∆ ∆= = =
∆ ∆ ∆ ∆
Mas ,x vt
∆ =∆ a velocidade da partícula e, portanto, 
tem-se:
 
0p m vγ=
(1.34)
Esta é a definição de momento relativístico, que 
também pode ser apresentado na forma clássica, apenas 
considerando a massa como função da velocidade, 
Módulo 8 I Volume 1 59UESC
A Teoria da Relatividade Especial
1
U
ni
da
de
Física Moderna
( ) ,m m v= tipo:
( )p m v v= 
Então, a função m é definida como massa relativística, 
sendo:
0 02
2
1( )
1
m v m m
v
c
γ= =
−
(1.35)
Portanto a massa relativística de uma partícula é 
função da massa de repouso da mesma, modificada pelo fator 
de Lorentz. Assim, a massa relativística de uma partícula 
cresce rapidamente à medida que a velocidade cresce, 
tendendo ao infinito quando a velocidade da partícula, ,v 
tende à velocidade da luz, .c Desta forma, ao contrário da 
definição clássica, não existe limite para o momento de uma 
partícula relativística. A única restrição que permanece é o 
limite de velocidade c .Verifique que para baixas velocidades, 
1,v c  tem-se: ( ) 0.m v m= Condição em conformidade 
com as descrições da mecânica clássica e as observações 
cotidianas.
Mas e a energia cinética da partícula? Como defini-la 
na concepção relativística?
Vamos considerar a partícula descrita acima, massa 
de repouso 0 ,m inicialmente parada em 0.x = Para que seu 
movimento se inicie, é necessário que uma força seja aplicada 
à partícula. Vamos então considerar uma força de módulo 
,F no sentido positivo do eixo ,x suficiente para colocar 
a partícula em movimento. Para estimar a energia cinéticada partícula, precisamos calcular o trabalho realizado, que 
chamaremos de ,K por esta força enquanto a partícula 
se move até o ponto ,fx x= sendo ft o tempo no qual a 
partícula atinge .fx Assim sendo, de acordo com a definição 
de trabalho, tem-se:
60 EADFísica
0 0 0
f f fx x xdxK Fdx F dt Fvdt
dt
= = =∫ ∫ ∫
(1.36)
 Para resolver a integral acima, precisamos encontrar 
uma expressão para a força .F De acordo com a mecânica 
newtoniana, esta força pode ser expressa em termos da 
variação do momento da partícula, ou seja, .dpF dt=


 
Supondo que esta definição de força continue válida para o 
tratamento relativístico, vamos apenas substituir a expressão 
do momento para momento relativístico e perfazer a integral 
acima. Portanto: 
0 0
f ft tdpK v dt vdp
dt
= =∫ ∫
 Para resolver esta integral, precisamos empregar a 
tática de integração por partes, sendo:
[ ]0
0 0
f f
f
t t
tvp pdv vdp= +∫ ∫
 Assim, podemos expressar K como:
[ ]0
0
 
f
f
v
tK vp pdv= − ∫
 Substituindo a expressão para o momento 
relativístico, tem-se:
 
0 02 2
02 2
0
1 1 
1 1
f
f
v
v
K v m v m vdv
v v
c c
 
 
= − 
 − −
 
∫
Reorganizando os termos em v e passando 0m para 
fora da integral, tem-se:
Módulo 8 I Volume 1 61UESC
A Teoria da Relatividade Especial
1
U
ni
da
de
Física Moderna
 
2
0
02 2
02 2
0
 
1 1
f
f
v
vm v vdvK m
v v
c c
 
 
= − 
 − −
 
∫
(1.37)
Resolvendo a integral anterior, obtém-se: 
 
2
2 22
20 2
2
0
1
1
fv
v
c vK m c cv
c
 
 
= + − 
 −
 
Trabalhando um pouco mais a expressão de K : 
 
f f
v v2 2
2 22 2
0 02 2
2 2
00
v v1 1c cK m c m c
v v1 1c c
   + −   
= =   
   − −
    
É possível simplificar ainda mais e, omitindo o 
índice f , tem-se:
2
20
02
21
m cK m c
v
c
= −
−
(1.38)
Esta última corresponde, então, à expressão para a 
energia cinética relativística para a partícula de massa de 
repouso 0m que se move com velocidade .v Mas também 
A integral da expressão (1.37) pode ser resolvida sem dificuldade por meio 
de uma substituição de variáveis: 
2
2 ,
v a
c
= enquanto: 2
2 . vdv da
c
= Assim:
 
( ) ( )
21 1
2 2 2 22 2
22
0 2
1 1 1 1
22 11
fv vdv da vc c a da c a c
cav
c
−
= = − = − = −
−−
∫ ∫ ∫
nota complementar
Imagem 1.12: Albert Einstein em 
1945
Fonte: http://th.physik.uni-frankfurt.
de/~jr/physpiceinstein.html
62 EADFísica
nota complementar
é possível expressá-la em termos do fator de Lorentz, como:
2
0 ( 1)K m c γ= −
(1.39)
Agora nos resta testar o valor de K no limite 
1.v c  Aparentemente, neste contexto, o valor de 0.K → 
Entretanto, uma análise mais cuidadosa deste limite pode 
ser feita por meio da expansão em série de Taylor para o 
termo da raiz quadrada, sendo:
1
2 22
2 2
0 02 2
11 1 1 1
2
v vK m c m c
c c
−     = − − ≈ + −        
E, por fim:
2 22
0 0
22 2
m c m vvK
c
≈ =
Assim, assegura-se que a expressão relativística de K 
se reduz à formulação clássica em baixas velocidades.
Você se lembra da expansão em série de Taylor? Esta é uma ferramenta 
matemática muito útil quando precisamos estimar o valor aproximado 
de uma função próximo a determinado ponto, sendo definida como:
( ) ( ) ( )' '' 20 0 0 0f x f f x f xε ε ε+ ≅ + + +…
Uma vez que o termo 
2
2
v
c tende a zero no limite clássico, a expansão 
em série de Taylor para o termo sob a raiz quadrada da expressão em 
K discutida acima pode ser feita, em boa aproximação, considerando 
apenas os termos lineares em å, ou seja, os dois primeiros termos da 
expansão. Assim:
( ) ( )'0 0 0f x f f xε ε+ ≅ +
( ) ( )
1
2 22 1 3
2 2
2 2
11 1 1
2
v v
c c
−
− −    
− ≈ − −    
    
1
2 2 22
2 2 2
11 1 1
2
v v v
c c c
−
   
− ≈ + ≈ +   
   
Módulo 8 I Volume 1 63UESC
A Teoria da Relatividade Especial
1
U
ni
da
de
Física Moderna
 Vamos analisar um pouco mais a expressão de ,K 
dada por (1.38). Nota-se que a energia cinética relativística 
de uma partícula é expressa como a soma de dois termos, 
sendo um dependente da velocidade, v , e outro termo 
constante. Sendo K a energia cinética, é natural deduzir que 
os demais termos também representem valores de energia 
associados à velocidade da partícula. Assim, podemos 
generalizar a expressão como:
( ) ( ) (0)K v E v E= −
sendo:
( )
2
20
2
21
m cE v mc
v
c
= =
−
(1.40)
lembrando que m é a massa relativística definida 
anteriormente. Já o termo (0)E pode ser interpretado como 
( )E v quando 0,v = isto é:
( ) 200E m c=
(1.41)
Esta energia, (0)E , foi nomeada por Einstein como energia 
de repouso da partícula de massa 0m . Invertendo a expressão 
de K (1.38) como se segue:
( ) ( ) 20 ,E v K v m c= +
(1.42)
fica mais fácil interpretar o significado da equação 20E m c=
(1.41). Esta, portanto, define a energia relativística total 
de uma partícula, sendo equivalente à soma das energias 
cinética e de repouso da partícula com massa 0.m Esta é 
uma das mais famosas equações da teoria da relatividade. 
Embora o processo de dedução desta equação seja baseado 
em suposições que, embora razoáveis, não apresentam 
embasamento conceitual, as previsões da teoria relativística 
64 EADFísica
já foram extensivamente testadas, nos mais diversos sistemas, 
por meio de experiências apropriadas, tendo sido muito 
bem sucedidas. Nem mesmo o incremento considerado 
com a energia de repouso de uma partícula é capaz de 
ferir as considerações da física clássica para o princípio de 
conservação de energia. 
Por outro lado, o conceito de energia relativística 
total é bastante útil na descrição dos processos em que há 
variação da massa de repouso de um sistema. É possível 
mostrar que esta variação é sempre acompanhada por uma 
variação da energia cinética de modo que a energia final 
sempre se conserva. Assim, a energia relativística total, 
descrita pela expressão (1.42), tem uma implicação profunda 
para o entendimento da relação entre matéria e energia. De 
acordo com a previsão de Einstein, massa e energia podem 
ser convertidas entre si. Massa também é uma forma de 
energia! Este, por exemplo, é o princípio básico por trás dos 
processos nucleares, como decaimento radioativo, fissão e 
fusão nucleares.
Embasadas pelas previsões de Einstein e também pela descoberta do 
nêutron em 1932, pelo físico inglês James Chadwick, as pesquisas 
nucleares avançaram sob a perspectiva de construção de uma nova 
arma: a bomba 
nuclear, um artefato 
com alto poder de 
destruição, capaz 
de alcançar milhões 
de megatons, isto 
é, toneladas de TNT. 
No entanto, se a 
explosão de uma 
bomba nuclear pode 
ser considerada um 
triste exemplo de 
aplicação da teoria 
da relatividade, 
o processo controlado, tal qual ocorre nos reatores nucleares, pode 
representar uma aplicação justa e benéfica para toda humanidade. 
Atualmente, boa parte da energia elétrica consumida em vários países 
provém do núcleo atômico! 
Imagem 1.13: Explosão de uma bomba atômica resultado de um 
processo de fissão nuclear.
Fonte: http://www.brasilescola.com/quimica/quimica-nuclear.htm
você sabia?
Módulo 8 I Volume 1 65UESC
A Teoria da Relatividade Especial
1
U
ni
da
de
Física Moderna
 Na mecânica clássica, uma relação bastante útil 
considera a energia cinética de uma partícula em função do 
seu momento linear. Na mecânica relativística também é 
possível estimar esta relação entre K e ,p mas, de antemão, 
podemos esperar o surgimento de termos