Estatística e Probabilidade Teorema de Bayes

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FATEC – Ourinhos
		Probabilidade e Estatística - Rita Choukaira
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TEOREMA DE BAYES
O Teorema de Bayes foi demonstrado pelo reverendo Thomas Bayes (1702 – 1761), um ministro presbiteriano, que procurou argumentar a partir de resultados como R para chegar a antecedentes como A1, num livro publicado em 1763.
O estudo de caso a seguir nos ajudará a compreender os argumentos que Thomas Bayes utilizou para demonstrar o teorema.
ESTUDO DE CASO
	Considere uma empresa fabricante que recebe embarques de peças de dois diferentes fornecedores. Atualmente 65% das peças compradas pela empresa são do fornecedor 1 e o restante, 35%, são do fornecedor 2. A qualidade das peças compradas varia de acordo com a fonte de fornecimento cujos dados históricos sugerem a qualidade dos dois fornecedores conforme a tabela abaixo.
	
	% peças boas
	% peças ruins
	Fornecedor 1
	98
	2
	Fornecedor 2
	95
	5
	Suponha agora que as peças dos dois fornecedores são usadas no processo de fabricação da firma, e que uma máquina se quebre porque estava tentando processar uma peça ruim. Dada a informação de que a peça é ruim, qual é a probabilidade de que ela venha do fornecedor 1?
(ANDERSON, D.R.; SWEENEY, D. J.; WILLIANS, T.A . Estatística aplicada à Administração e Economia. São Paulo: Thomson, 2003)
Resolvendo o problema
	Na situação considerada existem algumas probabilidades conhecidas e denominada de probabilidades iniciais ou prévias ou, ainda, a priori. Uma nova informação é dada sobre os eventos, atualizando os valores prévios, e uma probabilidade adicional deve ser calculada, denominada de probabilidade posterior ou a posteriori.
	Desse modo temos que:
Eventos:	A1 = {a peça é do fornecedor 1} e A2 = {a peça é do fornecedor 2}
Probabilidades prévias: P(A1) = 0,65 e P(A2) = 0,35
Eventos:	B = {a peça é boa} e R = {a peça é ruim}
Probabilidades condicionais: P(B | A1) = 0,98 e P(R | A1) = 0,02
				 P(B | A2) = 0,95 e P(R | A2) = 0,05
Informação adicional: a peça é ruim
Probabilidade posterior: dado que a peça é ruim, qual a probabilidade que ela venha do fornecedor 1?
Devemos, então, calcular: P(A1 | R) = ?
Sabemos, da probabilidade condicional que: 
onde: 	
 
e 	
 =>
Desse modo, a probabilidade procurada é igual a: 
Substituindo-se os valores conhecidos, temos:
Conclusão: sabendo que a peça é ruim, a probabilidade de que ela venha do fornecedor 1 é de 42,62%.
Nota: inicialmente tínhamos a probabilidade de 65% de que uma peça selecionada aleatoriamente era do fornecedor 1. Depois da informação de que a peça é ruim a probabilidade de que ele era do fornecedor 1 caiu para 42,62%.
	A probabilidade calculada nessa situação sugere o Teorema de Bayes cujo enunciado formal é dado por:
TEOREMA DE BAYES
Considere um evento qualquer R em Ω. Supomos conhecidas as probabilidades P(Ai) e P(R | Ai), i = 1, 2, ..., n. Então a ocorrência do evento Ai , supondo-se a ocorrência do evento R, é dada por:
ou
	
Nota: O Teorema de Bayes é fortemente usado nas análises de decisões. O tomador de decisão geralmente estima subjetivamente as probabilidades prévias. Obtém a informação adicional através de uma amostra e calcula as probabilidades a posteriori, usando-a na sua estratégia de decisão.
 Exercícios
1 – As probabilidades prévias para os eventos A1, A2 e A3 são P(A1) = 0,20, P(A2) = 0,50 e p(A3) = 0,30. As probabilidades condicionais do evento B dado que A1, A2, e A3 são P(B|A1) = 0,50, P(B|A2) = 0,40 e P(B|A3) = 0,30.
a) Calcule P(B(A1), P(B(A2) e P(B(A3).
b) Aplique o Teorema de Bayes para calcular a probabilidade posterior P(A2|B).
(ANDERSON, D.R.; SWEENEY, D. J.; WILLIANS, T.A . Estatística aplicada à Administração e Economia. São Pulo: Pioneira Thomson Learning, 2003. p. 168) 
2 – Um banco local está revendo sua política de cartão de crédito com o propósito de revogar alguns de seus contratos de cartões. No passado, aproximadamente 5% dos portadores de cartão foram inadimplentes e o banco foi incapaz de coletar o saldo devido. Por isso, a administração estabeleceu uma probabilidade prévia de 0,05 de que qualquer portador de cartão individual ficará inadimplente. O banco posteriormente descobriu que a probabilidade de atraso de um pagamento mensal ou mais é de 0,20 para clientes que não são inadimplentes. Naturalmente, a probabilidade de atraso de um pagamento ou mais para aqueles que são inadimplentes é 1.
a) Dado que um cliente tenha atrasado um pagamento mensal, calcule a probabilidade posterior de que o cliente ficará inadimplente.
b) O banco gostaria de revogar o cartão se a probabilidade de que um cliente ficará inadimplente for maior que 0,20. O banco deveria revogar o cartão se um cliente atrasar um pagamento mensal? Por quê?
(ANDERSON, D.R.; SWEENEY, D. J.; WILLIANS, T.A . Estatística aplicada à Administração e Economia. São Pulo: Pioneira Thomson Learning, 2003. p. 168) 
3 – M.D. Computing (maio de 1991) descreve o uso do teorema de Bayes e o uso da probabilidade condicional no diagnóstico médico. As probabilidades prévias de doenças são baseadas na avaliação dos médicos de coisas tais como localização geográfica, influência sazonal, ocorrência de epidemias e assim por diante. Suponha que se acredite que um paciente tenha uma de duas doenças, denotadas como D1 e D2 com P(D1) = 0,60 e P(D2) = o,40 e que a pesquisa médica tenha determinado a probabilidade associada com cada sintoma que pode acompanhar as doenças. Suponha que, dadas as doenças D1 e D2, as probabilidades de que o paciente terá os sintomas S1, S2 ou S3 são como segue:
	
	Sintomas
	Doenças
	S1
	S2
	S3
	D1
	0,15
	0,10
	0,15
	D2
	0,80
	0,15
	0,03
Depois de constatar que um certo sintoma esteja presente, o diagnóstico médico pode ser auxiliado encontrando-se as probabilidades revisadas de cada doença em particular. Calcule as probabilidades posteriores de cada doença dadas as seguintes constatações médicas:
O paciente tem o sintoma S1.
O paciente tem o sintoma S2.
O paciente tem o sintoma S3.
(ANDERSON, D.R.; SWEENEY, D. J.; WILLIANS, T.A . Estatística aplicada à Administração e Economia. São Pulo: Pioneira Thomson Learning, 2003. p. 169) 
4 – Uma rede local de computadores é composta por um servidor e cinco clientes (A, B, C, D, e E). Registros anteriores indicam que dos pedidos de determinado tipo de processamento, realizados através de uma consulta, cerca de 10% vêm do cliente A, 15% do B, 15% do C, 40% do D e 20% do E. Se o pedido não for feito de forma adequada, o processamento apresentará erro. Usualmente, ocorrem os seguinte percentuais de pedidos inadequados: 1% do cliente A, 2% do cliente B, 0,5% do cliente C, 2% do cliente D e 8% do cliente E.
a) Qual é a probabilidade de o sistema apresentar erro?
b) Qual é a probabilidade de que o processo tenha sido pedido pelo cliente E, sabendo-se que apresentou erro?
(BABETTA, P.A., REIS, M.M., BORNIA, A.C. Estatística para cursos de engenharia e informática. São Paulo: Atlas, 2004. p113)
SUGESTÕES BIBLIOGRÁFICAS
ANDERSON, D.R.; SWEENEY, D. J.; WILLIANS, T.A . Estatística aplicada à Administração e Economia. São Pulo: Pioneira Thomson Learning, 2003. 
BARBETTA, P.A., REIS, M.M., BORNIA, A.C. Estatística para cursos de engenharia e informática. São Paulo: Atlas, 2004. p110
ALLEN, A.O. Probability, Statistics and Queueing Theory: with computer science applications. New York: Academic Press, INC, 1990. p.24
	
P(S3|D1)
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_1172056171.unknown
_1172057396.unknown
_1172057427.unknown
_1172057214.unknown
_1172055938.unknown
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