GEOMETRIA DESCRITIVA [GD] - ESTUDO DA RETA
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GEOMETRIA DESCRITIVA [GD] - ESTUDO DA RETA


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GEOMETRIA DESCRITIVA (GD) \u2013 BACHARELADO EM ENGENHARIA CIVIL 
ESTUDO DA RETA
	A projeção de uma reta sobre um plano é o lugar das projeções de todos os seus pontos sobre esse plano.
	Seja na figura 47 a reta (A)(B) e o plano (\u3c0). Baixando de todos os pontos da reta perpendiculares ao plano, os pés dessas perpendiculares dão lugar à projeção ortogonal da reta. Essas perpendiculares formam um plano () perpendicular ao plano (\u3c0) e que é o plano projetante da reta.
Fig. 47
	Os pés das perpendiculares estão na interseção dos dois planos e a projeção da reta (A)(B) é portanto essa interseção.
	A projeção de uma reta sobre um plano só deixa de ser uma reta, quando ela lhe for perpendicular, pois nesse caso a projeção será um ponto, como se vê na fig. 48. Nesse caso a projeção da reta se reduza um ponto porque as projetantes de todos os seus pontos se confundem com a própria reta.
	Quando uma reta for paralela a um plano (fig. 49) a sua projeção sobre esse plano é igual e paralela à própria reta. Seja a reta (A)(B) paralela ao plano (\u3c0) cuja projeção nesse plano é a reta AB. As duas retas (A)(B) e AB formam com os projetantes (A)A e (B)B um paralelogramo no qual (A)(B) = AB. Diz-se então que a reta se projeta em verdadeira grandeza (V.G.).
Fig. 48
Fig. 49
	Quando uma reta for oblíqua a um plano (fig. 50) a projeção é menor que a reta do espaço porque esta forma com sua projeção e as projetantes um trapézio retângulo em que a projeção no plano perpendicular às bases é menor que a reta do espaço.
	O comprimento da projeção de uma reta sobre um plano varia com a inclinação dela sobre o plano. Ela passa por todos os valores, de zero (caso do ponto quando a reta é perpendicular ao plano) até o limite máximo igual ao comprimento da reta (caso da reta paralela ao plano).
Fig. 50
	Seja na fig. 51 a reta (A)(B) perpendicular ao plano (\u3c0). Suponhamos que a reta girando em torno de (A) ocupe as posições (A)(B1), . . ., (A)(B3), etc. , cujas projeções no plano (\u3c0), serão, respectivamente AB, AB1,. . . , AB3, etc.
Fig. 51
	Verifica-se que sua projeção na posição inicial era o ponto A B (A coincidente com B) e que essa projeção torna-se AB1 quando o ponto (B) atinge a posição (B1) e vai crescendo gradativamente a proporção que a reta vai diminuindo a sua inclinação sobre o plano. Quando a reta atinge a posição (A)(B4) paralela ao plano, a sua projeção torna-se AB4. Por conseguinte, a projeção de uma reta sobre um plano é tanto maior quanto menor for sua inclinação sobre ele. 
Determinação de uma reta
	De um modo geral, a posição de uma reta no espaço fica bem determinada quando são conhecidas as projeções dessa reta sobre dois planos ortogonais.
	Sejam na fig. 52 os dois planos (\u3c0) e (\u3c0\u2019) perpendiculares e AB e A\u2019B\u2019 respectivamente as projeções da reta (A)(B) cuja posição queremos determinar. Por AB faz-se passar um plano perpendicular ao plano (\u3c0), o mesmo acontecendo com A\u2019B\u2019 em relação a (\u3c0\u2019). Cada um dos planos, que são os planos projetantes da reta nos respectivos planos de projeção, deve conter a reta do espaço, que será então a interseção desses dois planos projetantes. E como esses planos se cortam segundo (A)(B), que é a única que tem AB e A\u2019B\u2019 como projeções, ela fica bem determinada.
	Para se designar a reta cujas projeções são AB e A\u2019B\u2019 escreve-se: reta (A)(B) (fig. 53).
Fig. 53
Fig. 52
Obs.: Uma reta pode também ser designada por letras minúsculas que representam suas projeções, ou por uma letra minúscula entre parênteses, como a reta r, r\u2019 ou reta (r).
Pertinência de ponto e reta
	Já sabemos que três pontos em linha reta projetam-se em geral, segundo três pontos também em linha reta. (Exceto quando os pontos estão na mesma perpendicular ao plano, pois nesse caso a projeção da reta se reduz a um ponto, como já vimos).
Fig. 54
	Verifica-se então (fig. 54) que, se o ponto (C) pertence à reta (A)(B), a projeção C pertence à projeção AB. Surge então a:
REGRA GERAL: Um ponto pertence a uma reta, quando as projeções desse ponto estão sobre as projeções de mesmo nome da reta, isto é, a projeção horizontal do ponto sobre a projeção horizontal da reta e projeção vertical também sobre a projeção vertical da reta.
	Na fig. 55, temos a épura de vários pontos que pertencem às retas correspondentes, isto é, ponto A\u2019A pertencendo à reta r\u2019r; ponto B\u2019B pertencendo à reta t\u2019t e finalmente ponto C\u2019C pertencendo à reta (E)(F) dada pelas projeções E\u2019F\u2019 e EF.
Fig. 55
Obs.: Essa regra de ponto pertencer à reta sofre exceção quando se trata de reta de perfil, como veremos mais adiante (figuras 110 a 113).
Posições de reta
	Em relação aos planos de projeção, a reta pode ocupar várias posições, posições essas que determinam nomes e propriedades particulares.
I) Reta Qualquer 
	É a reta oblíqua aos dois planos de projeção e à linha de terra (fig. 56), possuindo pontos com abscissa, afastamento e cotas diferentes. Sua épura é caracterizada por possuir ambas as projeções oblíquas à linha de terra (fig. 57).
Exemplo: Traçar a épura da reta (A)(B) sendo dados os pontos (A) [1;2;1] e (B) [3;1;3].
Fig. 57
Fig. 56
II) Retas segundo o paralelismo em relação aos planos de projeção
 RETA HORIZONTAL OU RETA DE NÍVEL
	É a reta paralela ao plano horizontal (\u3c0) e oblíqua ao vertical (\u3c0\u2019), possuindo pontos com cota constante. Sua épura é caracterizada por possuir a projeção vertical paralela à linha de terra e a projeção horizontal oblíqua a essa mesma linha (fig. 58 a 59). A projeção horizontal representa a verdadeira grandeza.
Fig. 59
Fig. 58
	Abaixo são apresentadas as diferentes posições particulares que um segmento de reta Horizontal pode assumir em relação aos planos de projeção:
1. Segmento no 1º diedro (afastamento e cota positivos)
Exemplo: Traçar a épura da reta (A)(B) sendo dados os pontos (A) [0;2;3] e (B) [5;4;3].
2. Segmento no 2º diedro (afastamento negativo e cota positiva)
Exemplo: Traçar a épura da reta (A)(B) sendo dados os pontos (A) [0;-2;3] e (B) [5;-4;3].
3. Segmento no 3º diedro (afastamento e cota negativos)
Exemplo: Traçar a épura da reta (A)(B) sendo dados os pontos (A) [0;-2;-3] e (B) [5;-4;-3].
4. Segmento no 4º diedro (afastamento positivo e cota negativa)
Exemplo: Traçar a épura da reta (A)(B) sendo dados os pontos (A) [0;2;-3] e (B) [5;4;-3].
5. Segmento no plano horizontal () (cota nula)
Exemplo: Traçar a épura da reta (A)(B) sendo dados os pontos (A) [0;-2;0] e (B) [5;4;0].
 RETA FRONTAL OU RETA DE FRENTE
	É a reta paralela ao plano vertical (\u3c0\u2019) e oblíqua ao horizontal (\u3c0), possuindo pontos com afastamento constante. Sua épura é caracterizada por possuir a projeção horizontal paralela á linha de terra e a vertical oblíqua a essa mesma linha (fig. 60 a 61). A projeção vertical representa a verdadeira grandeza.
Fig. 61
Fig. 60
	Abaixo são apresentadas as diferentes posições particulares que um segmento de reta Frontal pode assumir em relação aos planos de projeção:
1. Segmento no 1º diedro (afastamento e cota positivos)
Exemplo: Traçar a épura da reta (A)(B) sendo dados os pontos (A) [0;4;1] e (B) [5;4;3].
2. Segmento no 2º diedro (afastamento negativo e cota positiva)
Exemplo: Traçar a épura da reta (A)(B) sendo dados os pontos (A) [0;-4;5] e (B) [5;-4;3].
3. Segmento no 3º diedro (afastamento e cota negativos)
Exemplo: Traçar a épura da reta (A)(B) sendo dados os pontos (A) [0;-4;-3] e (B) [5;-4;-1].
4. Segmento no 4º diedro (afastamento positivo e cota negativa)
Exemplo: Traçar a épura da reta (A)(B) sendo dados os pontos (A) [0;4;-6] e (B) [5;4;-2].
5. Segmento no plano vertical (\u2019) (afastamento nulo)
Exemplo: Traçar a épura da reta (A)(B) sendo dados os pontos (A) [2;0;5] e (B) [4;0;-3].
 RETA FRONTO-HORIZONTAL (PARALELA À LINHA DE TERRA)
	É a reta paralela simultaneamente aos dois planos de projeção (\u3c0) e (\u3c0\u2019), possuindo pontos com afastamento e cotas constantes. Sua épura é caracterizada por possuir ambas as projeções paralelas á linha de terra (fig. 62 e 63). Qualquer
Caloura Farinha
Caloura Farinha fez um comentário
Eu gostaria do gabarito dessas questoes
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