aula 1

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Prof. Adalberto Santos 
 O conceito de Derivadas está 
intimamente ligado ao conceito de reta 
tangente a uma curva. 
A 
B 
 A tangente é 
determinada por sua 
inclinação (Coeficiente 
angular) e pelo ponto 
de tangência. 
Como determinar a inclinação da reta 
tangente ao ponto P da função 
representada abaixo? 
P 
x
Y
P
Q


s
x
Y


P
Q
x
y
s
)xx(f 
)x(f
xx x
Δx
Δy
tgα 
Δx
f(x)-Δx)f(x
tgα


2 
x
Y


P
Q
x
y
s

)xx(f 
)x(f
xx x

PQ 
0x 
Δx
f(x)-Δx)f(x
tg


x
Y
P


Δx
f(x)-Δx)f(x
tg


0x 
Δx
f(x)-Δx)f(x
tg





x
y
Δx
f(x)-Δx)f(x 



 0x0x
lim
x
y
lim
Δx
f(x)-Δx)f(x 

 0x
lim)x(m
)x(m
x
y
lim,Fazendo
0x




x
Y
P


Δx
f(x)-Δx)f(x 

 0x
lim)x(m
0x 
o
o
xx,Logo
xxx


0
0
x-x
)f(x-f(x)
0xx
lim)x(m


Y'
dy
dx
d
(f)
dx
xD f
Notações de 
f’(x) 
0
0
x-x
)f(x-f(x)
0xx
lim)x(m


Determine a derivada das funções: 
2x)x(f)a 
1x)x(f)b 2 
Δx
f(x)-Δx)f(x 

 0x
lim)x(m
1x5x4)x(f)c 2 
x
Y
P


0 0 0y f(x ) f '(x ) (x x )  
0
0
x-x
)f(x-f(x)
0xx
lim)x('f


0
0
xx x-x
)f(x-y
lim)x('f
0

3 
0 0 0y f(x ) f '(x ) (x x )  
Encontrar a equação da reta tangente 
ao gráfico da função 
no ponto de abscissa 
3( ) 3 1f x x x  
2.x  
Determine o coeficiente angular e a 
equação da reta tangente à curva y = x2 
no ponto P(2, 4) 
044  xy
0x
0f(x )
0 0
0
1
y f(x ) (x x )
f '(x )
  
t
n
0f '(x ) 0
0 0
0
1
y f(x ) (x x )
f '(x )
  
Encontre a reta normal ao gráfico 
da função anterior. 
Encontrar a equação da reta normal à 
reta tangente ao gráfico da função 
no ponto de abscissa 
6x3x)x(f 2 
1x 
TAXA INSTANTÂNEA DE VARIAÇÃO 
 Sabe-se que a velocidade média de 
um corpo móvel é dado pelo quociente 
entre o espaço percorrido e o tempo gasto 
para percorrê-lo. Desse modo, se um 
corpo se move em linha reta, s(t) 
representa a posição do móvel no 
instante t. 
4 
Logo, no intervalo de tempo entre t e 
t + Δt, o corpo sofre um 
deslocamento Δs = s(t + Δt) – s(t). 
0
0
0 tt
)t(s)t(s
lim)t(v
tt 



Notação: 
A função posição de um corpo que se move 
em linha reta é dada por s(t) = 16t - t2, onde t é 
dado em segundos e s em centímetros . 
Determine: 
a) A velocidade média no intervalo [2; 4] 
 
b) A velocidade instantânea em to = 1s 
Agora é com a aceleração: 
1) A derivada de uma função num ponto , 
denotada por , é igual ao limite 
0x
0f '(x )
0
0
0
x x
0
f(x) f(x )
f '(x ) lim
x x



se esse limite existe e é finito. 
O limite considerado no cálculo do 
coeficiente angular da reta tangente e da 
taxa instantânea de variação de uma 
função nos leva às seguintes definições: 
2) A derivada de uma função num ponto 
 qualquer do domínio, denotada por 
 , é igual ao limite 
se esse limite existe e é finito. 
Δx
f(x)-Δx)f(x
lim)x('f
0x



5 
FLEMMING, Diva Maria. Cálculo A. São 
Paulo: Makron Books, 1992. 
LEITHOLD , Louis. O cálculo com 
Geometria Analítica. v. 1. Harbra, 1976. 
STEWART, James. Cálculo. v. 1, 5 ed. São 
Paulo: Pioneira, 2005. 
(Isaac Newton)