Aula 5 Limites Infinito e fundamentais.

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17/03/2013 
1 
Ana Cristina Silva Matos 
Limites Infinitos e fundamental. 
 Podemos dizer que: 
 
 
 LIMITES INFINITOS 


n
x x
i
1
)lim
0 





 ímpar én se ;
par én se ;1
)lim
0
n
x x
ii
Observe a interpretação geométrica. 
Exemplo: 
1. calcule os limites abaixo: 
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2 
3
x 3
1
lim
| x 3 | 
x 3
lim f(x)

  x 3
lim f(x)

 


Assíntotas Vertical e Horizontal. 
Definição: A reta y = b é denominada uma assíntota 
horizontal do gráfico da função f se pelo menos uma 
das afirmações for valida: 
 
 
Exemplos: 
Observe a interpretação geométrica. 
bxfi
x


)()lim bxfii
x


)()limEncontramos com muita frequência gráficos que se aproximam de uma reta a medida que x cresce ou decresce. 
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3 
Assíntotas. 
Ex.: 1. Ache as assíntotas (horizontal e Vertical) das 
funções abaixo: 
a) 
Definição: A reta x = b é denominada uma assíntota 
Vertical do gráfico da função f se pelo menos uma das 
afirmações for valida: 
 
 
 
 


)()lim xfi
ax


)()lim xfii
ax


)()lim xfiii
ax


)()lim xfiv
ax
                        






















x
y
         









x
y
               














x
y
 Exemplo: 
 
1. calcule os limites 
 
 
 
 
 
 LIMITES INFINITOS 
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4 
1. Calcular o limite 
2
3
2 1
lim
3
 
 
 x
x
x
Exercício: 
4 3
2
3 2
lim
3x
x x x
x
  
 
  
Desafio: Determinar o valor de a tal que: 
2
22
3 3
lim
2x
x ax a
x x
   
 
  
exista. 
lim
𝑥→+∞
𝑥 + 1
𝑥2 + 5
 lim
𝑥→−∞
𝑥 + 1
𝑥2 + 5
 
Aparentemente este limite é análogo ao do exemplo 4; mas 
devemos ter cuidado, pois → −∞ significa que x < 0; logo, 
consideramos 𝑥2 = − 𝑥 
Limites envolvendo Funções Limitadas 
Limites Fundamentais 
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5 
Notamos que o gráfico está "preso" 
entre duas retas paralelas ao eixo x. 
Dessa maneira, 
 
 11,fIm 
senx)x(f 
1
0

 x
senx
lim
x
Limites Fundamentais 
x senx senx/x 
0,5 0,479425538 0,958851077 
0,4 0,389418342 0,973545855 
0,3 0,295520206 0,985067355 
0,2 0,198669330 0,993346654 
0,1 0,099833416 0,998334166 
0,01 0,009999833 0,999983333 
0,001 0,000999999 0,999999833 
01. 
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6 
     






x
yy = sin(x)/x
     






x
yy = sin(2x)/(2x)
     






x
yy = sin(8x)/(8x)
     






x
yy = sin(28x)/(28x)
Observe o gráfico da função na vizinhança do zero. 
Aplicações: 
 
a) 
?
2
lim
0

 x
xsen
x
 
 b) 
?
5
3
lim
0

 xsen
xsen
x
?
.2
lim
2
2
0

 x
xtg
x ?
cos1
lim
20


 x
x
x
 
 c) 
 
 d) 
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7 
02. 
e
x
1
1lim
x
x








e = 2,71828 
Aplicações: 
?
x
1
1lim
x2
x








a) 
b) 
?
x
lim
x
x








3
1
?
1x
x
lim
x
x







c) 
?
x
lim
x
x








1
1
?
x
x
lim
x
x








 1
1
d) 
e) 
  ?x1lim x/1
0x


f) 
f) Faça uma mudança de variável x = 1/t 
 t→+∞ 
e
x
1
1lim
x
x








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8 
03. Com 𝐚 ∈ 𝓡, 𝐚 > 𝟎 𝐞 𝐚 ≠ 𝟏 
aln
x
1a
lim
x
0x



Demonstração: 
 k1ax  k1ax )k1ln(aln x 
 )k1ln(alnx
a
k
x
ln
)1ln( 

Aplica ln em ambos os 
membros 





a
k
k
x
a
x
x
x
ln
)1ln(
lim
1
lim
00
Substituir em 


 x
1a
lim
x
0x )k1ln(
aln
.klim
0k 

 )k1ln(
k
lim.aln
0k


k
)k1ln(
1
lim.aln
0k



k
1
0k
)k1ln(
1
lim.aln 
 eln
1
lim.aln
0k

eln
aln aln
 x→0 
 k→0 
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9 
Aplicações: 
a) 
b) 
c) 
x
1e
lim
x2
0x


13
13
lim
x3
x2
0x 


x
)x1ln(
lim
0x


x
)x21ln(
lim
0x


d) 
aln
x
1a
lim
x
0x



FLEMMING, Diva Maria. Cálculo A. São 
Paulo: Makron Books, 1992. 
LEITHOLD , Louis. O cálculo com 
Geometria Analítica , v. 1 . Harbra, 1976. 
STEWART, James. Cálculo. v. 1, 5 ed. São 
Paulo: Pioneira, 2005