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Aula 7 Derivadas Aula 01OK

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Ana Cristina Silva Matos 
O Cálculo Diferencial: alguns fatos históricos 
O aparecimento e desenvolvimento do Cálculo Diferencial 
estão ambos intimamente ligados à questão das 
tangentes. Desde a época dos Gregos antigos, já se 
conhecia a reta tangente como sendo uma reta que 
intercepta uma curva em um único ponto, generalizando 
a situação observada no caso da circunferência. Com o 
tempo, o tratamento se tornou mais algébrico e menos 
geométrico, proporcionando um contínuo progresso no 
desenvolvimento dos conceitos de funções, derivadas, 
integrais e outros tantos tópicos relacionados ao Cálculo. 
Pierre de Fermat foi o primeiro a considerar a ideia de 
famílias de curvas. 
O conceito de Derivadas está intimamente ligado 
ao conceito de reta tangente a uma curva. 
M 
 
 
C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
B 
 A tangente é 
determinada por sua 
inclinação (Coeficiente 
angular) e pelo ponto 
de tangência. 
x
Y


s

)( 0xf
0x

)(xf
x
x
Y


Como determinar a inclinação da reta tangente 
ao ponto A da função representada abaixo? 
Interpretação Geométrica: A derivada de uma 
função f no ponto A fornece o coeficiente angular 
(inclinação) da reta tangente ao gráfico de f no 
ponto (xA, f(A)). 
0
0
0
x-x
)f(x-f(x)
lim)('
0xx
xf


TAXA DE VARIAÇÃO: Velocidade Média. 
0
0 )()(lim)(
0 tt
tsts
tv
tt 



Notação: 
A função posição de um corpo que se move 
em linha reta é dada por s(t) = 16t - t2, onde t é 
dado em segundos e s em centímetros. 
Determine: 
a) A velocidade média no intervalo [2; 4] 
 
b) A velocidade instantânea em to = 2s 
Agora é com a aceleração: 
0
0 )()(lim)(
0 tt
tvtv
ta
tt 



Dizemos que a derivada de uma função 
num ponto , denotada por , é igual 
ao limite 
0x
0f '(x )
0
0
0
x x
0
f(x) f(x )
f '(x ) lim
x x



se esse limite existe e é finito. 
 O limite considerado no cálculo do 
coeficiente angular da reta tangente e da 
taxa instantânea de variação de uma 
função nos leva à seguinte definição: 
Y'
dy
dx
d
(f)
dx
xD f
Notações: 
f’(x) 
0
0
0
x-x
)f(x-f(x)
lim)('
0xx
xf


Determine a derivada das funções: 
1)() 2  xxfa
154)() 2  xxxfb
Encontrar a equação da reta tangente 
ao gráfico da função 
no ponto de abscissa 
2.x  
0 0 0y f(x ) f '(x ) (x x )  
0x
0f(x )
0 0
0
1
y f(x ) (x x )
f '(x )
  
t
n
0f '(x ) 0
Encontrar a equação da reta normal à 
reta tangente ao gráfico da função f(x) 
no ponto de abscissa 
63)( 2  xxxf
1x
             











x
y
             











x
y
             











x
y
FLEMMING, Diva Maria. Cálculo A. São 
Paulo: Makron Books, 1992. 
LEITHOLD , Louis. O cálculo com 
Geometria Analítica , v. 1 . Harbra, 1976. 
STEWART, James. Cálculo. v. 1, 5 ed. São 
Paulo: Pioneira, 2005

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