Aulas1e2-Algebra

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1 
 
 
 
FAPEPE 
FACULDADE DE PRESIDENTE PRUDENTE 
UNIESP 
 
 
 
 
 
Curso: Engenharia 
Notas de Aulas 
Geometria Analítica e Álgebra Linear 
 
 
 
 
 
 
Profª: Mariza Akiko Utida 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
Matrizes e determinantes 
 
NOME CARACTERÍSTICA EXEMPLO 
Linha Possui apenas 1 linha [ ] 
Coluna Possui apenas 1 coluna 
[
 
 
 
 
 
 
 
 
 ]
 
 
 
 
 
Quadrada Possui a mesma quantidade de linhas e colunas [
 
 
 
] 
Diagonal 
Matriz quadrada que possui os elementos da diagonal 
principal* diferentes de zero e os demais elementos 
iguais a zero. 
 [
 
 
 
] 
Identidade 
Matriz diagonal que possui os elementos da diagonal 
principal iguais a um. 
 [
 
 
 
] 
Nula Matriz que possui todos os elementos iguais a zero [
 
 
 
] 
Triangular 
Superior 
Matriz quadrada em que os elementos localizados 
abaixo da diagonal principal são nulos. 
 [
 
 
 
] 
Triangular 
Inferior 
Matriz quadrada em que os elementos localizados acima 
da diagonal principal são nulos. 
 [
 
 
 
] 
 
1 – Definição de Matriz 
 
 Uma matriz do tipo 
m
 por 
n
, onde 
1, nm
, é uma tabela constituída por 
nm
 
elementos (números, polinômios, funções, etc) dispostos em 
m
 linhas e 
n
 colunas. 
 Se 
1n
, a matriz é dita matriz-coluna; se 
1m
, a matriz é dita matriz-linha; se 
nm 
, matriz quadrada de ordem 
n
. 
 
Exemplos: 
 








312
201 matriz 32  413  matriz-linha 31 
 
3 
 






5
2
 matriz-coluna 
12
 











250
421
011
matriz-quadrada de ordem 3 
 
 Seja 
A
 uma matriz do tipo 
nm
 e sejam 
i
 e 
j
 dois números inteiros, com 
mi 1
 
e 
nj 1
. Indicando por 
ija
 cada elemento da matriz 
A
 que ocupa a linha 
i
 e a coluna 
j
, 
de forma geral pode-se representar essa matriz assim: 
 















mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
............
...
...
21
22221
11211
 
 A matriz 
A
 costuma também ser indicada por 
 ija
 
)1,1( njmi 
 e por uma 
propriedade que a defina. 
 
Diagonal principal 
 
 Numa matriz quadrada 
 ijaA 
, de ordem 
n
, os elementos 
ija
, em que 
ji 
 
constituem a diagonal principal. 
 Assim, a diagonal principal é formada pelos elementos: 
nnaaaa ...,,,, 332211
. 
 
Diagonal secundária 
 
 Numa matriz quadrada 
 ijaA 
, de ordem 
n
, os elementos 
ija
, em que 
1 nji
 
constituem a diagonal secundária. 
 Assim, a diagonal secundária é formada pelos elementos: 
123121 ...,,,, nnnn aaaa 
. 
 
Matriz diagonal 
 
 A matriz 
 ijaA 
 que tem os elementos 
0ija
 quando 
ji 
 é chamada matriz 
diagonal. 















nna
a
a
A
...00
............
0...0
0...0
22
11
 
 
Matriz triangular superior 
 
 É uma matriz quadrada onde 
0ija
 para i > j. 
4 
 
Exemplos: 











100
270
091
A
, 





 

10
91
B
, 















1000
2100
0600
3031
C 
 
Matriz triangular inferior 
 
 É uma matriz quadrada onde 
0ija
 para i < j. 
Exemplos: 











173
029
004
A
, 







13
01
B
 e 














1002
0934
0056
0001
C 
 
Alguns exemplos de matrizes: 
 
Igualdade de matrizes 
 
 Duas matrizes 
 ijaA 
 e 
 ijbB 
, de tipo 
nm
 são iguais se e somente se 
ijij ba 
)1,1( njmi 
. 
 
Exemplo 1: Escreva as matrizes: 
a) 
 
3 3ij
A a


 tal que seja igual a 











173
529
064
B
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: Dadas as matrizes 











215
36
420
yA
 e 











z
xB
15
13
420
, calcule os valores de x, y 
e z para que as matrizes, sejam iguais. 
 
 
 
 
5 
 
Operações com matrizes 
a) Adição 
 Dadas duas matrizes 
 ijaA 
 e 
 ijbB 
, de tipo 
nm
, chama-se soma da matriz 
A
 
com a matriz 
B
 (indica-se 
BA
) à matriz 
 ijcC 
, onde 
ijijij bac 
, 
)1,1( njmi 
. 
 Note-se que só podemos somar matrizes de mesmo tipo: a soma se obtém somando 
simplesmente os elementos correspondentes. 




















232322222121
131312121111
232221
131211
232221
131211
bababa
bababa
bbb
bbb
aaa
aaa 
Exemplos: 





 
















1024
425
525
123
541
302
 





































4
7
2
4
2
3
0
5
1
 
 
Matriz nula 
 A matriz de tipo 
nm
 que possui todos os elementos nulos é chamada de matriz nula e 
indicada por 
O
. 
Exemplos: 











00
00
00
23O
 







00
00
2O
 
 
Matriz oposta 
 
 Dada uma matriz 
 ijaA 
, a matriz 
 ijbB 
, em que 
ijij ab 
)1,1( njmi 
 chama-se oposta de 
A
 e indica-se por 
A
. 
 
Exemplo: 








13
02
A
 









13
02
AB
 
 
Diferença entre matrizes 
 
 Chama-se diferença entre a matriz 
A
 e a matriz 
B
 (indica-se 
BA
) a soma de 
A
 
com 
B
. 
Exemplo: Dados





 

15
24
A
 e 





 

62
13
B
, temos: 





















 

53
11
62
13
15
24
)( BABA
 
6 
 
Exemplo 3: Dadas as matrizes 











12133
15116
1475
A
e











986
735
421
B
, calcule A+B 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 4: Dadas as matrizes 







42
31
A
; 







86
75
B
 e 







12
106
x
C
. Para qual valor 
de x, a igualdade A-B = C, é verdadeira. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Propriedades 
ABBAi )(
 (comutativa) 
)()()( CBACBAii 
 (associativa) 
AOAiii )(
 (elemento neutro) 
OAAiv  )()(
 (elemento oposto) 
 
 
b) Produto de um número real por uma matriz 
 
 Dada uma matriz 
 ijaA 
 e um número real 
t
, chama-se produto de 
t
 por 
A
 a matriz 
 ijbB 
, onde 
ijij atb .
)1,1( njmi 
. Indica-se por 
At.
. 
 Portanto para multiplicar uma matriz por um número basta multiplicar todos os seus 
elementos pelo número, e o resultado é uma matriz de mesmo tipo. 
Exemplo: 
























02515
51020
05)5(535
15)2(545
053
124
5
 
 
 
7 
 
Propriedades 
AAiv
bAaAAbaiii
aBaABAaii
AabbAai




.1)(
)()(
)()(
)()()(
 
Exemplo 5: Calcule 2A – 3B, onde [
 
 
] e B [
 
 
] 
 
 
 
 
 
Exemplo 6: Para que valor de 
x
 a igualdade 2 21 6 30
2
1 2 2
x x x x
x x
    
    
      
é verdadeira? 
 
 
 
 
 
Exemplo 7: Sendo as matrizes 1 0 4
3 6 1
A
  
  
 
, 8 2 1
0 4 10
B
  
  
 
 e 
6 8 7
4 2 6
C
 
  
  
, a matriz 
1 3
2
2 2
A B C  
é igual a: 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
c) Produto de Matrizes 
 
 Dada uma matriz 
 ijaA 
 do tipo 
nm
 e uma matriz 
 jkbB 
, de tipo 
pn
, 
chama-se produto de 
A
 por 
B
 (indica-se 
AB
) a matriz 
 ikC 
, de tipo 
pm
, onde: 
nkinkiki
n
j
jkijik babababac 

...2211
1
 
 Vemos que o elemento 
ikc
 da matriz produto é obtido multiplicando os elementos da 
linha 
i
 da primeira pelos elementos correspondentes da coluna 
j
 da segunda, e somando os 
produtos assim obtidos. 
 
Observações: 
 
a) Só se podem multiplicar duas matrizes se o número de colunas da primeira for igual ao 
número de linhas da segunda. 
b) Duas matrizes quadradas só podem ser multiplicadas se tiverem a mesma ordem. 
Exemplos: 
 
1 - 




















''''
''''
''
''
ddcbdcca
bdabbcaa
dc
ba
dc
ba 
 
2 - 



































317
10
27
13
12
01
413
012
201
 
 
3 - 




























 
991
608
135
304
231
13
20
11
 
 
 4 - 


















dc
ba
dc
ba
10
01 
 
 
Matriz unidade ou matriz identidade 
 
 Chama-se matriz-unidade ou matriz identidade de ordem n a matriz quadrada 
 ijnI 
 onde 
),1(
se0
se1
nji
ji
ji
ij 






 
(
ij
chama-se símbolo de Kronecker) 
 
Exemplos: 







10
01
2I
 











100
010
001
3I
 















1...00
.........
0...1...
0...01
nI 
 
9 
 
Propriedades: 
 
 Dadas as matrizes 
BA,
 e 
C
 dos tipos 
pnnm  ,
 e 
rp
, respectivamente, tem-
se: 
 
)()()( BCACABi 
 (associativa) 
BCACCBAii  )()(
 (distributiva à direita) 
CBCABACiii  )()(
 (distributiva à esquerda) 
AAI
AIAiv
n
n

)( 
)()()()( ABttBABtAv 
 
 
Observação: 
 
a) Para a multiplicação de matrizes, não se pode falar em propriedade comutativa, pois, em 
geral, 
BAAB 
. 
Exemplo: 


















00
02
01
01
00
11 e 


















11
11
00
11
01
01 
 
b) Duas matrizes não nulas podem ter um produto nulo. 
 
Exemplo: 


















00
00
11
00
01
01 
 
Potências de matrizes 
 
 Considerando matrizes quadradas de ordem 
n
: 
 
)vezes(...
...
2
1
0
nAAAA
AAA
AA
IA
n
n




 
Observação: Matrizes nilpotentes são matrizes não nulas 
A
, tais que 
0rA
, para algum 
r
. 
 
Exemplo: 




























00
00
24
12
24
12
24
12 2AA
 
 
Exemplo 8: Calcule os produtos: 
a) 

























13
42
05
204
152
631
 
10 
 
b)   











3
2
2
532
 
c)   










 532
3
2
2
 
 
Exemplo 9: Sejam [
 
 
] e [
 
 
]. Calcule os produtos AB e BA: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matriz transposta 
 
 Dada uma matriz 
 ijaA 
 do tipo 
nm
, chama-se transposta de 
A
 a matriz 
 jibB 
 de tipo 
mn
, onde 
)1,1( njmiab ijji 
. A matriz transposta de 
A
 
indica-se por tA . 
 
Exemplos: 
 





















 



























431
102
851
418
305
121
452
031
40
53
21
t
t
t
c
b
a
cba
 
Propriedades: 
 
ttt BABAi  )()( 
Exemplo: 
 
 
tt AAii  )()( 
Exemplo: 
 
 
ttt ABABiii )()( 
Exemplo: 
 
 
AAiv tt )()(
 
11 
 
Exemplo: 
 
 
 
Exemplo 10: Sendo [
 
 
], ache e ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 11: Sendo [
 
 
], determine e 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observações: 
a) A é dita simétrica, se e somente se, 
AAT 
. 
Exemplo: 














571
720
103
A  AAT 














571
720
103
 
 
b) A é dita anti-simétrica, se e somente se, 
AAT 
. 
Exemplo: 














053
501
310
A  AAT 














053
501
310
 
 
Definição: Uma matriz A é simétrica se 
AAT  . Equivalentemente, ( ) é simétrica se 
elementos simétricos (imagens espelho na diagonal) são iguais, isto é, se cada . (Note-
se que A deve ser quadrada para que se possa ter AAT  ). 
 
Definição: Uma matriz A é anti-simétrica se . Equivalentemente, ( ) é anti-
simétrica se cada . Obviamente, os elementos diagonais de uma matriz anti-simétrica 
devem ser zero, pois acarreta . 
 
 
12 
 
Exemplo 12: Sejam [
 
 
] e [
 
 
] matrizes simétricas, determine se AB é 
simétrica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matriz inversa 
 
 Uma matriz quadrada 
A
 de ordem 
n
 se diz inversível se existe uma matriz 
B
 tal que 
nIBAAB 
. A matriz B se diz inversa de 
A
 e indica-se por 1A . 
 
Observações: 
1) Uma matriz inversível também é dita não singular. Uma matriz não inversível é 
chamada singular. 
2) Se 
A
 é inversível, então sua inversa é única. 
3) Se 
A
 é inversível, então sua inversa é inversível e 
  AA  11
. 
4) Se 
A
 e 
B
 são inversíveis, o produto é inversível e 
  111   ABAB
. 
 
Teorema 
 
Seja A uma matriz quadrada. Se uma seqüência de operações elementares nas suas linhas reduz 
A a I, então a mesma seqüência de operações elementares transforma I em 1A . 
 
Exemplo 13: Ache a inversada matriz 







41
32
A
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
 
Exemplo 14: Ache a inversa da matriz 













321
121
121
A
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 15: Determine as inversas das matrizes: 
 
a) 







01
43
A
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 











021
131
001
B