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1 FAPEPE FACULDADE DE PRESIDENTE PRUDENTE UNIESP Curso: Engenharia Notas de Aulas Geometria Analítica e Álgebra Linear Profª: Mariza Akiko Utida 2 Matrizes e determinantes NOME CARACTERÍSTICA EXEMPLO Linha Possui apenas 1 linha [ ] Coluna Possui apenas 1 coluna [ ] Quadrada Possui a mesma quantidade de linhas e colunas [ ] Diagonal Matriz quadrada que possui os elementos da diagonal principal* diferentes de zero e os demais elementos iguais a zero. [ ] Identidade Matriz diagonal que possui os elementos da diagonal principal iguais a um. [ ] Nula Matriz que possui todos os elementos iguais a zero [ ] Triangular Superior Matriz quadrada em que os elementos localizados abaixo da diagonal principal são nulos. [ ] Triangular Inferior Matriz quadrada em que os elementos localizados acima da diagonal principal são nulos. [ ] 1 – Definição de Matriz Uma matriz do tipo m por n , onde 1, nm , é uma tabela constituída por nm elementos (números, polinômios, funções, etc) dispostos em m linhas e n colunas. Se 1n , a matriz é dita matriz-coluna; se 1m , a matriz é dita matriz-linha; se nm , matriz quadrada de ordem n . Exemplos: 312 201 matriz 32 413 matriz-linha 31 3 5 2 matriz-coluna 12 250 421 011 matriz-quadrada de ordem 3 Seja A uma matriz do tipo nm e sejam i e j dois números inteiros, com mi 1 e nj 1 . Indicando por ija cada elemento da matriz A que ocupa a linha i e a coluna j , de forma geral pode-se representar essa matriz assim: mnmm n n aaa aaa aaa A ... ............ ... ... 21 22221 11211 A matriz A costuma também ser indicada por ija )1,1( njmi e por uma propriedade que a defina. Diagonal principal Numa matriz quadrada ijaA , de ordem n , os elementos ija , em que ji constituem a diagonal principal. Assim, a diagonal principal é formada pelos elementos: nnaaaa ...,,,, 332211 . Diagonal secundária Numa matriz quadrada ijaA , de ordem n , os elementos ija , em que 1 nji constituem a diagonal secundária. Assim, a diagonal secundária é formada pelos elementos: 123121 ...,,,, nnnn aaaa . Matriz diagonal A matriz ijaA que tem os elementos 0ija quando ji é chamada matriz diagonal. nna a a A ...00 ............ 0...0 0...0 22 11 Matriz triangular superior É uma matriz quadrada onde 0ija para i > j. 4 Exemplos: 100 270 091 A , 10 91 B , 1000 2100 0600 3031 C Matriz triangular inferior É uma matriz quadrada onde 0ija para i < j. Exemplos: 173 029 004 A , 13 01 B e 1002 0934 0056 0001 C Alguns exemplos de matrizes: Igualdade de matrizes Duas matrizes ijaA e ijbB , de tipo nm são iguais se e somente se ijij ba )1,1( njmi . Exemplo 1: Escreva as matrizes: a) 3 3ij A a tal que seja igual a 173 529 064 B Exemplo 2: Dadas as matrizes 215 36 420 yA e z xB 15 13 420 , calcule os valores de x, y e z para que as matrizes, sejam iguais. 5 Operações com matrizes a) Adição Dadas duas matrizes ijaA e ijbB , de tipo nm , chama-se soma da matriz A com a matriz B (indica-se BA ) à matriz ijcC , onde ijijij bac , )1,1( njmi . Note-se que só podemos somar matrizes de mesmo tipo: a soma se obtém somando simplesmente os elementos correspondentes. 232322222121 131312121111 232221 131211 232221 131211 bababa bababa bbb bbb aaa aaa Exemplos: 1024 425 525 123 541 302 4 7 2 4 2 3 0 5 1 Matriz nula A matriz de tipo nm que possui todos os elementos nulos é chamada de matriz nula e indicada por O . Exemplos: 00 00 00 23O 00 00 2O Matriz oposta Dada uma matriz ijaA , a matriz ijbB , em que ijij ab )1,1( njmi chama-se oposta de A e indica-se por A . Exemplo: 13 02 A 13 02 AB Diferença entre matrizes Chama-se diferença entre a matriz A e a matriz B (indica-se BA ) a soma de A com B . Exemplo: Dados 15 24 A e 62 13 B , temos: 53 11 62 13 15 24 )( BABA 6 Exemplo 3: Dadas as matrizes 12133 15116 1475 A e 986 735 421 B , calcule A+B Exemplo 4: Dadas as matrizes 42 31 A ; 86 75 B e 12 106 x C . Para qual valor de x, a igualdade A-B = C, é verdadeira. Propriedades ABBAi )( (comutativa) )()()( CBACBAii (associativa) AOAiii )( (elemento neutro) OAAiv )()( (elemento oposto) b) Produto de um número real por uma matriz Dada uma matriz ijaA e um número real t , chama-se produto de t por A a matriz ijbB , onde ijij atb . )1,1( njmi . Indica-se por At. . Portanto para multiplicar uma matriz por um número basta multiplicar todos os seus elementos pelo número, e o resultado é uma matriz de mesmo tipo. Exemplo: 02515 51020 05)5(535 15)2(545 053 124 5 7 Propriedades AAiv bAaAAbaiii aBaABAaii AabbAai .1)( )()( )()( )()()( Exemplo 5: Calcule 2A – 3B, onde [ ] e B [ ] Exemplo 6: Para que valor de x a igualdade 2 21 6 30 2 1 2 2 x x x x x x é verdadeira? Exemplo 7: Sendo as matrizes 1 0 4 3 6 1 A , 8 2 1 0 4 10 B e 6 8 7 4 2 6 C , a matriz 1 3 2 2 2 A B C é igual a: 8 c) Produto de Matrizes Dada uma matriz ijaA do tipo nm e uma matriz jkbB , de tipo pn , chama-se produto de A por B (indica-se AB ) a matriz ikC , de tipo pm , onde: nkinkiki n j jkijik babababac ...2211 1 Vemos que o elemento ikc da matriz produto é obtido multiplicando os elementos da linha i da primeira pelos elementos correspondentes da coluna j da segunda, e somando os produtos assim obtidos. Observações: a) Só se podem multiplicar duas matrizes se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda. b) Duas matrizes quadradas só podem ser multiplicadas se tiverem a mesma ordem. Exemplos: 1 - '''' '''' '' '' ddcbdcca bdabbcaa dc ba dc ba 2 - 317 10 27 13 12 01 413 012 201 3 - 991 608 135 304 231 13 20 11 4 - dc ba dc ba 10 01 Matriz unidade ou matriz identidade Chama-se matriz-unidade ou matriz identidade de ordem n a matriz quadrada ijnI onde ),1( se0 se1 nji ji ji ij ( ij chama-se símbolo de Kronecker) Exemplos: 10 01 2I 100 010 001 3I 1...00 ......... 0...1... 0...01 nI 9 Propriedades: Dadas as matrizes BA, e C dos tipos pnnm , e rp , respectivamente, tem- se: )()()( BCACABi (associativa) BCACCBAii )()( (distributiva à direita) CBCABACiii )()( (distributiva à esquerda) AAI AIAiv n n )( )()()()( ABttBABtAv Observação: a) Para a multiplicação de matrizes, não se pode falar em propriedade comutativa, pois, em geral, BAAB . Exemplo: 00 02 01 01 00 11 e 11 11 00 11 01 01 b) Duas matrizes não nulas podem ter um produto nulo. Exemplo: 00 00 11 00 01 01 Potências de matrizes Considerando matrizes quadradas de ordem n : )vezes(... ... 2 1 0 nAAAA AAA AA IA n n Observação: Matrizes nilpotentes são matrizes não nulas A , tais que 0rA , para algum r . Exemplo: 00 00 24 12 24 12 24 12 2AA Exemplo 8: Calcule os produtos: a) 13 42 05 204 152 631 10 b) 3 2 2 532 c) 532 3 2 2 Exemplo 9: Sejam [ ] e [ ]. Calcule os produtos AB e BA: Matriz transposta Dada uma matriz ijaA do tipo nm , chama-se transposta de A a matriz jibB de tipo mn , onde )1,1( njmiab ijji . A matriz transposta de A indica-se por tA . Exemplos: 431 102 851 418 305 121 452 031 40 53 21 t t t c b a cba Propriedades: ttt BABAi )()( Exemplo: tt AAii )()( Exemplo: ttt ABABiii )()( Exemplo: AAiv tt )()( 11 Exemplo: Exemplo 10: Sendo [ ], ache e ( ) Exemplo 11: Sendo [ ], determine e Observações: a) A é dita simétrica, se e somente se, AAT . Exemplo: 571 720 103 A AAT 571 720 103 b) A é dita anti-simétrica, se e somente se, AAT . Exemplo: 053 501 310 A AAT 053 501 310 Definição: Uma matriz A é simétrica se AAT . Equivalentemente, ( ) é simétrica se elementos simétricos (imagens espelho na diagonal) são iguais, isto é, se cada . (Note- se que A deve ser quadrada para que se possa ter AAT ). Definição: Uma matriz A é anti-simétrica se . Equivalentemente, ( ) é anti- simétrica se cada . Obviamente, os elementos diagonais de uma matriz anti-simétrica devem ser zero, pois acarreta . 12 Exemplo 12: Sejam [ ] e [ ] matrizes simétricas, determine se AB é simétrica. Matriz inversa Uma matriz quadrada A de ordem n se diz inversível se existe uma matriz B tal que nIBAAB . A matriz B se diz inversa de A e indica-se por 1A . Observações: 1) Uma matriz inversível também é dita não singular. Uma matriz não inversível é chamada singular. 2) Se A é inversível, então sua inversa é única. 3) Se A é inversível, então sua inversa é inversível e AA 11 . 4) Se A e B são inversíveis, o produto é inversível e 111 ABAB . Teorema Seja A uma matriz quadrada. Se uma seqüência de operações elementares nas suas linhas reduz A a I, então a mesma seqüência de operações elementares transforma I em 1A . Exemplo 13: Ache a inversada matriz 41 32 A 13 Exemplo 14: Ache a inversa da matriz 321 121 121 A Exemplo 15: Determine as inversas das matrizes: a) 01 43 A b) 021 131 001 B
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