Estatistica Aplicada.pdf

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Autores:	Prof.	Edwin	F.	F.	Silva
	 Prof.	Wesley	Cândido	de	Melo	
Colaboradores:	Prof.	Santiago	Valverde
	 Prof.	Jean	Carlos	Cavaleiro
	 Prof.	Daniel	Scodeler	Raimundo
Estatística Aplicada
Professores conteudistas: Edwin F. F. Silva e Wesley Cândido de Melo
Edwin F. F. Silva
Possui	licenciatura	em	Física	pela	Universidade	Católica	de	Brasília	(2005);	especialização	em	Higiene	das	radiações	
ionizantes	(Senacap,	2011);	em	Metodologia	do	Ensino	e	Aprendizagem	em	Matemática	(2009);	pós-graduação	em	
Transporte	(em	andamento)	pela	Universidade	de	Brasília.	Atualmente,	é	professor	da	Faculdade	Fortium,	ministrando	
aulas	de	cálculo	e	estatística	nos	cursos	de	Sistema	de	Informações	e	Administração,	e	da	Universidade	Paulista,	no	
curso	de	Engenharia.	Atua	em	pesquisas	 relacionadas	à	poluição	 sonora,	na	área	de	polos	geradores	de	viagens	e	
também	como	corretor	de	questões	dos	cursos	de	graduação	a	distância	da	UNIP	e	como	tutor	do	curso	de	RH	da	
UNIP	Interativa.
Wesley Cândido de Melo
Possui	 licenciatura	 em	 Física	 pela	 Universidade	 Católica	 de	 Brasília	 (2006);	 especialização	 em	 Matemática	
e	 Estatística	 pela	 FACITEC	 (2008);	 pós-graduação	 em	 Transporte	 (em	 andamento)	 pela	 Universidade	 de	 Brasília.	
Atualmente,	 é	 professor	 da	Universidade	 Paulista,	ministrando	 aulas	 para	 os	 cursos	 de	 Engenharia,	Gestão	 de	RH	
e	Segurança	Privada;	da	Faculdade	 JK,	nos	cursos	de	Administração	e	Radiologia.	Atua	 também	como	corretor	de	
questões	dos	cursos	de	graduação	a	distância	da	UNIP	e	como	tutor	do	curso	de	RH	da	UNIP	Interativa.	É	pesquisador	
vinculado	 ao	 grupo	 de	 pesquisa	 em	 Poluição	 sonora	 com	 ênfase	 em	 Ruídos	 aeronáuticos	 no	 curso	 de	 Física	 da	
Universidade	Católica	de	Brasília.
©	Todos	os	direitos	reservados.	Nenhuma	parte	desta	obra	pode	ser	reproduzida	ou	transmitida	por	qualquer	forma	e/ou	
quaisquer	meios	(eletrônico,	incluindo	fotocópia	e	gravação)	ou	arquivada	em	qualquer	sistema	ou	banco	de	dados	sem	
permissão	escrita	da	Universidade	Paulista.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
S586e Silva,	Edwin	F.
Estatística	aplicada		/	Edwin	F.	Silva;	Wesley	Cândido	de	Melo.	–	
São	Paulo:	Editora	Sol,	2012.
	112	p.,	il.
Nota:	 este	 volume	 está	 publicado	 nos	 Cadernos	 de	 Estudos	 e	
Pesquisas	da	UNIP,	Série	Didática,	ano	XVII,	n.	2-064/12,	ISSN	1517-9230.
1.	Estatística.		2.	Distribuição	de	frequências.		3.	Probabilidades.		
I.	Título.
CDU	519.2
Prof.	Dr.	João	Carlos	Di	Genio
Reitor
Prof.	Fábio	Romeu	de	Carvalho
Vice-Reitor de Planejamento, Administração e Finanças
Profa.	Melânia	Dalla	Torre
Vice-Reitora de Unidades Universitárias
Prof.	Dr.	Yugo	Okida
Vice-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa
Profa.	Dra.	Marília	Ancona-Lopez
Vice-Reitora de Graduação
Unip Interativa – EaD
Profa.	Elisabete	Brihy		
Prof.	Marcelo	Souza
Profa.	Melissa	Larrabure
 Material Didático – EaD
	 Comissão	editorial:	
	 	 Dra.	Angélica	L.	Carlini	(UNIP)
	 	 Dr.	Cid	Santos	Gesteira	(UFBA)
	 	 Dra.	Divane	Alves	da	Silva	(UNIP)
	 	 Dr.	Ivan	Dias	da	Motta	(CESUMAR)
	 	 Dra.	Kátia	Mosorov	Alonso	(UFMT)
	 	 Dra.	Valéria	de	Carvalho	(UNIP)
	 Apoio:
	 	 Profa.	Cláudia	Regina	Baptista	–	EaD
	 	 Profa.	Betisa	Malaman	–	Comissão	de	Qualificação	e	Avaliação	de	Cursos
	 Projeto	gráfico:
	 	 Prof.	Alexandre	Ponzetto
	 Revisão:
	 	 Andréia	Gomes
	 	 Geraldo	Teixeira	Jr.
Sumário
Estatística Aplicada
APRESENTAçãO	......................................................................................................................................................7
INTRODUçãO	...........................................................................................................................................................7
Unidade I
1	HISTÓRIA	DA	ESTATÍSTICA	..............................................................................................................................9
1.1	Introdução	à	estatística	........................................................................................................................9
1.2	Importância	da	estatística	.................................................................................................................11
1.3	Elementos	fundamentais	da	estatística	...................................................................................... 12
1.3.1	População	e	amostra	............................................................................................................................. 12
1.4	Fases	do	método	estatístico	............................................................................................................. 13
1.5	Dados	estatísticos	................................................................................................................................ 13
1.6	Formas	iniciais	de	tratamento	dos	dados................................................................................... 15
1.7	Notações	por	índices	.......................................................................................................................... 16
1.7.1	Notação	sigma	(∑)	................................................................................................................................. 16
1.8	Séries	estatísticas	–	simples	e	compostas	.................................................................................. 19
2	APRESENTAçãO	DE	DADOS	–	GRáFICOS	E	TABELAS	........................................................................ 20
2.1	Elementos	básicos	das	tabelas	........................................................................................................ 26
3	MEDIDAS	DE	TENDÊNCIA	CENTRAL:	MÉDIA,	MODA	E	MEDIANA	PARA		
DADOS	SIMPLES	.................................................................................................................................................. 26
3.1	A	média	aritmética	simples	(x)	....................................................................................................... 27
3.2	A	média	aritmética	ponderada	xp	................................................................................................. 29
3.3	A	mediana	(Md)..................................................................................................................................... 31
3.4	A	moda	..................................................................................................................................................... 34
3.5	Posição	relativa	da	média,	moda	e	mediana	............................................................................. 36
4	MEDIDAS	DE	DISPERSãO	PARA	DADOS	SIMPLES	.............................................................................. 36
4.1	Amplitude	total	..................................................................................................................................... 38
4.2	Desvio	médio	absoluto	....................................................................................................................... 39
4.3	Variância	.................................................................................................................................................. 40
4.4	Desvio	padrão	........................................................................................................................................ 45
4.5	Coeficiente	de	variação	..................................................................................................................... 46
Unidade II
5	DISTRIBUIçãO	DE	FREQUÊNCIAS	............................................................................................................. 52
5.1	A	construção	de	uma	distribuição	de	frequências	para	dados	contínuos	.................... 53
5.2	A	construção	de	uma	distribuição	de	frequências	para	dados	discretos	...................... 59
5.3	Representações	gráficas	de	dados	agrupados	.........................................................................60
6	AS	MEDIDAS	DE	POSIçãO	E	VARIABILIDADE	NUMA	DISTRIBUIçãO		
DE	FREQUÊNCIA	................................................................................................................................................... 69
6.1	As	medidas	de	posição	....................................................................................................................... 70
6.1.1	A	média	....................................................................................................................................................... 70
6.1.2	A	mediana	.................................................................................................................................................. 71
6.1.3	A	moda	........................................................................................................................................................ 72
6.2	As	medidas	de	dispersão	numa	distribuição	de	frequência	................................................ 73
6.2.1	O	desvio	médio	........................................................................................................................................ 73
6.2.2	Variância	..................................................................................................................................................... 74
6.2.3	Desvio	padrão	........................................................................................................................................... 75
7	INTRODUçãO	À	PROBABILIDADE	............................................................................................................. 80
7.1	Teorias	dos	conjuntos,	espaço	amostral	e	eventos	................................................................. 81
8	PROBABILIDADE:	ORIGEM,	MÉTODOS	E	PRINCIPAIS	TEOREMAS	................................................ 91
8.1	Origens	da	probabilidade	.................................................................................................................. 92
8.1.1	Métodos	objetivos	.................................................................................................................................. 92
8.1.2	Método	subjetivo	.................................................................................................................................... 96
8.2	Principais	teoremas	de	probabilidade	.......................................................................................... 96
7
APrESEntAção
O	objetivo	deste	material	 é	 fazer	 com	que	o	aluno	 tenha	condições	de	 interpretar	um	conjunto	
de	observações	de	forma	clara	e	objetiva,	a	fim	de	distinguir	as	limitações	e	as	vantagens	do	uso	de	
amostras,	assim	como	os	métodos	para	 sua	obtenção;	 tenha	habilidade	para	descrever	e	 interpretar	
dados	por	meio	de	figuras	(tabelas	e	gráficos),	estimativas	pontuais	e	de	variabilidade;	calcular	o	intervalo	
de	confiança	da	proporção	e	média,	assim	como	identificar	sua	aplicação;	coletar	e	interpretar	dados	
de	forma	sistematizada	e	imprimir	credibilidade	a	análises	quantitativas	dos	fenômenos	de	realidade	
investigada.
Assim,	esperamos	contribuir	da	melhor	forma	possível	com	seu	aprendizado.
Com	nossos	cumprimentos,
Equipe	organizadora.
Introdução
Desde	a	Antiguidade,	a	estatística	faz	parte	da	vida	das	pessoas,	mesmo	que	de	forma	indireta,	mas	o	
certo	é	que	essa	ciência	está	presente	na	vida	das	pessoas	o	tempo	todo.	Quando	abrimos	um	jornal,	por	
exemplo,	lá	está	uma	série	de	gráficos	e	tabelas	que	nos	auxiliam	no	entendimento	de	determinado	tema,	
ou	quando	lemos	uma	reportagem	que	traz	como	tema	a	probabilidade	de	o	mercado	financeiro	fechar	
em	alta	ou	em	baixa,	ou,	ainda,	virando	a	página	desse	mesmo	jornal,	temos	a	manchete	divulgando	os	
dados	do	Censo	2010.
Diante	desses	fatos,	nos	perguntamos	de	que	forma	a	estatística	pode	nos	ajudar,	seja	no	levantamento	
de	dados	para	uma	empresa	saber	como	vão	suas	vendas,	seja	para	saber	os	riscos	de	investir	nas	ações	
de	uma	empresa,	ou,	ainda,	como	o	governo	pode	determinar	as	características	dos	vários	aspectos,	
sociais,	econômicos	e	ambientais	dos	estados	e	até	mesmo	de	nosso	país.
São	perguntas	como	essas	que	a	estatística	nos	ajuda	a	responder,	e	ainda	não	podemos	pensar	
nessa	ciência	como	se	ela	se	limitasse	a	apenas	compilar	tabelas	de	dados	e	os	ilustrar	graficamente.	
Dessa	forma,	é	de	sua	importância	conhecer	as	inúmeras	variáveis	associadas	a	ela,	pois	em	qualquer	
ramo	da	sociedade	contemporânea	estão	presentes	os	processos	estatísticos.	E	o	estudante	que	não	
souber	trabalhar	com	esses	conceitos	estará	em	desvantagem	no	mercado	de	trabalho.
Para	tirar	o	máximo	proveito	da	interpretação	de	um	determinado	fenômeno,	deve-se	seguir	algumas	
etapas,	 como,	por	 exemplo,	planejar	a	obtenção	de	dados,	 interpretar	 e	analisar	os	dados	obtidos	e	
apresentar	os	resultados	de	maneira	a	facilitar	a	tomada	de	decisões	razoáveis.
É	 fundamental	que	o	texto	produzido	neste	material	 leve	o	aluno	a	pensar	em	situações	do	seu	
cotidiano	e	que	dessa	 forma	ele	possa	associar	a	 teoria	com	a	prática	vivenciada	em	seu	dia	a	dia.	
Pensando	nisso,	ele	 foi	dividido	em	duas	unidades,	nas	quais	 serão	abordados,	na	primeira	unidade:	
séries	estatísticas,	gráficos	estatísticos,	medidas	de	tendência	central,	medidas	de	dispersão,	entre	outros	
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temas;	já	na	segunda	unidade,	serão	apresentados:	dados	tabulares,	distribuição	de	frequência,	medidas	
de	posição	e	variabilidade	numa	distribuição	de	frequência,	probabilidade,	bem	como	alguns	de	seus	
teoremas,	entre	outros	temas.
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Estatística aplicada
Unidade I
Como	a	União	realiza	a	distribuição	de	renda	para	os	Estados,	Municípios	e	o	Distrito	Federal?	Como	
saber	quem	deve	receber	mais	ou	menos	verbas?	Como	saber	se	determinado	trecho	de	uma	via	ou	
rodovia	é	ou	não	perigoso?
São	a	questões	como	essas	que	a	disciplina	Estatística	procura	responder.
1 HIStÓrIA dA EStAtÍStICA
Na	 história	 do	 desenvolvimento	 humano,	 a	 sociedade	 primitiva	 se	 deparou	 com	 os	 primeiros	
problemas	para	saber	o	tamanho	da	sua	população,	a	quantidade	de	terras	e	suas	riquezas,	por	isso	teve	a	
necessidade	de	contá-las.	Em	decorrência	disso,	os	governantes	das	grandes	civilizações	antigas	fizeram	
indiretamente	um	estudo	estatístico	para	saber	os	bens	que	seu	Estado	possuía	e	como	a	população	
desse	Estado	estava	distribuída.
No	Antigo	Egito,	aproximadamente	3040	a.C.,	Heródoto	pediu	que	fosse	feito	um	estudo	sobre	a	
riqueza	da	população,	com	o	objetivo	de	saber	a	quantidade	de	recursos	econômicos	e	humanos	para	
realizar	a	construção	das	pirâmides.	Na	China,	aproximadamente	2238	a.C.,	o	imperador	Yao	pediu	que	
fosse	feito	um	estudo	da	população,	com	objetivos	industriais	e	comerciais.
A	palavra	“estatística”	foi	sugerida	pelo	alemão	Gottifried	Achemmel	(1719/1772)	e	é	associada	à	
palavra	latina	status	(Estado).
Essa	ciência	teve	acelerado	desenvolvimento	a	partir	do	século	XVII,	com	os	estudos	de	Bernoulli,	
Fermat,	Laplace,	Gauss	e	outros	que	estabeleceram	suas	características	atuais.
 Saiba mais
Para	uma	abordagem	mais	detalhada	da	história	da	 estatística,	 ler	 o	
artigo:	“Conceitos	iniciais	e	breve	histórico	da	estatística”,	disponível	em:	
<http://mundobr.pro.br/uneal/wp-content/uploads/2010/04/01.conceitos_
inicias-historico-somatorio.pdf>.	Acesso	em:	12	jul.	2012.
1.1 Introdução à estatística
A	todo	instante,	nos	noticiários,	em	revistas,	jornais,	internet,	ouvimos	falar	na	palavra	“estatística”,	
o	 que	 é	 possível	 perceber	 o	 quanto	 é	 importante	 conhecermos	 a	 fundo	 essa	 ciência.	 Algumas	 de	
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suas	aplicabilidades	podem	serobservadas	nas	pesquisas	de	opinião	pública	e	nos	dados	publicados	
diariamente	na	imprensa.	Na	realidade,	a	estatística	contempla	muitos	outros	aspectos,	sendo	de	vital	
importância	na	interpretação	de	processos	em	que	exista	variabilidade.
De	 acordo	 com	Dervalmar,	 é	 possível	 distinguir	 duas	 concepções	 para	 a	 palavra	 “estatística”.	No	
plural,	“estatísticas”	indica	qualquer	coleção	de	dados	quantitativos	ou,	ainda,	ramo	da	matemática	que	
trata	da	coleta,	da	análise,	da	interpretação	e	da	apresentação	de	massa	de	dados	numéricos.	Assim,	
por	 exemplo,	 as	 estatísticas	 demográficas	 referem-se	 aos	 dados	 numéricos	 sobre	 o	 quantitativo	 de	
nascimentos,	falecimentos,	matrimônios,	desquites	etc.	As	estatísticas	econômicas	estão	relacionadas	
aos	 dados	 numéricos	 como	 emprego,	 produção,	 vendas	 e	 com	 outras	 atividades	 ligadas	 aos	 vários	
setores	da	vida	econômica.
No	singular,	“estatística”	indica	a	atividade	humana	especializada,	ou	um	corpo	de	técnicas,	ou	ainda	
uma	metodologia	desenvolvida	para	a	coleta,	a	classificação,	a	apresentação,	a	análise	e	a	interpretação	
de	dados	quantitativos	e	a	utilização	desses	dados	para	a	tomada	de	decisões.
Estatística	é	um	conjunto	de	métodos	e	processos	quantitativos	que	serve	para	estudar	e	medir	os	
fenômenos	coletivos.
Para	fins	didáticos,	 é	 comum	os	 livros-textos	 apresentarem	a	 estatística	 em	duas	grandes	 áreas,	
embora	não	se	trate	de	áreas	isoladas:	estatística descritiva	e	estatística inferencial.
•	 estatística descritiva –	é	aquela	que	tem	por	objetivo	descrever	e	analisar	determinada	população,	
utilizando	métodos	numéricos	 e	 gráficos,	 para	 se	determinarem	padrões,	 em	um	conjunto	de	
dados,	e	assim	apresentar	a	informação	em	uma	forma	conveniente.
Exemplo 1: O	gráfico	a	seguir	apresenta	a	participação	relativa	das	bandeiras	de	cartões	de	crédito,	
no	quarto	trimestre	de	2010.
Visa
52,2%
Outras
9,4%
Master	Card
38,4%
Figura	1	-	Participação	relativa	das	bandeiras	(quantidade	de	transações)
Por	meio	do	gráfico,	é	possível	ver	claramente	que	mais	da	metade	das	transações	são	feitas	com	
a	bandeira	Visa	e	que	aproximadamente	40%	são	feitas	com	a	bandeira	MasterCard.	Como	o	gráfico	
descreve	os	tipos	de	bandeiras	de	cartões	utilizadas	em	todas	as	transações	do	quarto	trimestre	de	2010,	
o	gráfico	é	um	exemplo	de	estatística	descritiva.
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Estatística aplicada
Exemplo 2:	Índice	Nacional	de	Preços	ao	Consumidor	(INPC)
Sua	apresentação	envolve	a	sintetização,	em	um	único	dado,	dos	aumentos	dos	produtos	de	uma	
cesta	básica.
Trata-se	de	um	exemplo	de	estatística inferencial,	que	constitui	o	conjunto	de	métodos	para	a	
tomada	de	decisões,	nas	situações	em	que	há	incerteza,	variações	ou	outras	generalizações	acerca	de	
um	conjunto	maior	de	dados.
Exemplo 3:	Análise	de	mercado
Quando	uma	empresa	pretende	lançar	um	produto,	precisa	conhecer	as	preferências	dos	consumidores	
no	mercado	de	interesse.	Faz-se	necessária	uma	pesquisa	de	mercado.
Exemplo 4:	Ocorrência	de	terremotos
Os	geólogos	estão	continuamente	coletando	dados	sobre	a	ocorrência	de	terremotos.	Gostariam	
de	inferir	quando	e	onde	ocorrerão	tremores	e	qual	a	sua	intensidade.	Trata-se,	sem	dúvida,	de	uma	
questão	complexa	que	exige	longa	experiência	geológica,	além	de	cuidadosa	aplicação	de	métodos	
estatísticos.
1.2 Importância da estatística
Com	o	desenvolvimento	humano	e	 tecnológico,	 temos	presenciado	grandes	descobertas	na	área	
da	 saúde,	 da	 engenharia,	 da	 economia	 etc.;	 por	 outro	 lado,	 também	observamos	 os	 problemas	 que	
se	espalham	pelo	mundo,	por	exemplo,	a	ameaça	com	a	degradação	do	meio	ambiente,	as	epidemias	
(H1N10)	 causando	 grandes	 preocupações	 para	 os	 governantes	 e	 para	 a	 população	 mundial.	 Como	
ajudar	pesquisadores,	cientistas,	engenheiros	etc.	a	se	nortearem	com	o	que	deve	ser	feito	tanto	para	
criar	novas	possibilidades	como	também	para	solucionar	os	problemas	existentes?
O	método	estatístico	lida	com	informações,	associando	os	dados	ao	problema,	mostrando	como	e	o	
que	coletar	para	obter	conclusões	a	partir	de	todos	os	dados,	de	tal	forma	que	essas	conclusões	possam	
ser	entendidas	por	outras	pessoas.	Assim,	esse	método	auxilia	os	vários	profissionais	no	planejamento	e	
na	tomada	de	decisões.
 Saiba mais
O	artigo	“A	elaboração	de	estatísticas	de	mortalidade	segundo	causas	
múltiplas”	 apresenta	 uma	 aplicação	 da	 estatística	 mostrando	 a	 sua	
importância	 para	 a	 tomada	 de	 decisões.	 Disponível	 em:	 <http://www.
scielosp.org/pdf/rbepid/v3n1-3/03.pdf>.	Acesso	em:	15	jul.	2012.
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Vejamos	alguns	exemplos:
O	governo	anualmente	divulga	o	censo	sobre	a	dinâmica	da	população	brasileira,	apresentando	seu	
crescimento	demográfico,	suas	características	e	como	vivem	os	brasileiros.
As	grandes	empresas	fazem	levantamentos	sobre	vendas,	produção,	inventário,	folha	de	pagamento	
e	outros	dados,	a	fim	de	verificar	se	a	empresa	está	crescendo,	como	seu	crescimento	está	em	relação	a	
outras	empresas	e	como	tomar	decisões	futuras.
A	análise	dos	dados	é	muito	importante	para	fazer	um	planejamento	adequado.
 Saiba mais
Para	 mais	 informações	 sobre	 o	 Censo,	 acesse	 o	 site	 do	 IBGE:	
<http://www.ibge.gov.br>.
1.3 Elementos fundamentais da estatística
Amostra:	é	qualquer	subconjunto	não	vazio	de	uma	população.
Amostragem: é	o	meio	de	escolha	da	amostra	e	consiste	na	seleção	criteriosa	dos	elementos	a	
serem	submetidos	ao	estudo.
1.3.1 População e amostra
Para	o	pesquisador,	o	estudo	de	qualquer	fenômeno,	seja	ele	natural,	econômico,	social	ou	biológico,	
necessita	da	coleta	e	da	análise	de	dados	estatísticos.	A	coleta	de	dados	é	parte	 inicial	de	qualquer	
pesquisa.
População:	é	o	conjunto	de	todos	os	itens	(pessoas,	coisas	e	objetos)	que	interessam	ao	estudo	de	
um	fenômeno	coletivo.
Parâmetro:	é	a	denominação	de	uma	característica	numérica	estabelecida	para	toda	uma	população.
Estimador:	é	a	característica	numérica	estabelecida	para	toda	a	amostra.
Exemplo: pesquisas	sobre	tendências	de	votação.
Em	épocas	de	eleição,	é	comum	a	realização	de	pesquisas	com	o	objetivo	de	conhecer	as	tendências	
do	 eleitorado.	 Para	 que	 os	 resultados	 sejam,	 de	 fato,	 representativos,	 deve-se	 atentar	 para	 que	 as	
características	 da	 população	 à	 qual	 os	 resultados	 da	 pesquisa	 serão	 estendidos	 sejam	 tão	 próximas	
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Estatística aplicada
quanto	 possível.	 A	 escolha	 da	 amostra,	 o	 questionário,	 a	 entrevista,	 a	 sintetização	 dos	 dados	 e	 a	
representação	dos	resultados	são	as	etapas	desse	tipo	de	pesquisa.
População	
são	todos	
os	eleitores	
habilitados	do	
município.
Fenômeno	coletivo
(Eleições	para	Prefeitura	
de	um	município).
Amostra	é	um	grupo	
numérico	de	eleitores	
selecionado	na	
população	do	município
Parâmetro	é	uma	
proporção	de	votos	
para	o	candidato	
A	obtida	na	
população
Estimador	é	
uma	proporção	
de	votos	para	
o	candidato	A	
obtida	na	amostra
Amostra
Figura	2
1.4 Fases do método estatístico
Em	uma	pesquisa,	quando	se	deseja	empreender	um	estudo	estatístico	completo,	existem	fases	do	
trabalho	que	devem	ser	trabalhadas	para	se	chegar	aos	resultados	finais	do	estudo.
As	principais	fases	são:
•	 definição do problema –	delimitação	do	problema;
•	 planejamento –	organização	das	ações	que	serão	realizadas	na	pesquisa	de	campo;
•	 coleta de dados – ir	a	campo	buscar	as	informações;
•	 apuração dos dados – organização	das	informaçõescoletadas;
•	 apresentação dos dados – gráficos	e	tabelas;
•	 análise e interpretação dos dados – por	meio	da	 linguagem	matemática	 (média,	mediana,	
moda,	desvio	padrão,	percentuais	etc.).
Observe	quais	são	as	fases	principais	do	método	estatístico	–	compõem	a	organização	de	um	projeto,	
sua	execução	e	apresentação	final.
1.5 dados estatísticos
Quando	se	trabalha	com	a	observação,	a	mensuração,	a	análise	e	a	interpretação	de	números,	esses	
números	nos	conduzem	a	índices	inflacionários,	índices	de	desemprego,	probabilidade	de	determinado	
candidato	ganhar	as	eleições	etc.	Esses	números,	portanto,	serão	chamados	de	dados	estatísticos,	os	
quais	precisarão	ser	organizados	e	sumarizados	para	sua	correta	interpretação.
O dado bruto significa	que	os dados	não	estão	numericamente	organizados	e	processados.	
É	o	processamento	e	a	organização	dos	dados	que	os	transformam	em	informação,	enfatizando	
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seus	 aspectos	 mais	 importantes.	 A	 informação,	 portanto,	 é	 resultado	 de	 um	 tratamento	 dos	
dados.
Para	organizar	 e	 processar	 os	dados	 estatísticos,	 podem-se	utilizar	 resumos	 visuais	 e	numéricos,	
como	gráficos,	mapas,	tabelas	e	modelos	numéricos.
A	mensuração	ou	a	observação	de	itens	como	índices	de	preços,	renda	mensal	per	capita	de	um	Estado	
etc.	dão	origem	aos	dados	estatísticos.	Como	esses	 itens	originam	valores	que	 tendem	a	apresentar	
certo	grau	de	variabilidade	quando	são	medidos	sucessivas	vezes,	iremos	chamá-los,	então,	de	variáveis.
É	importante	identificar	os	quatro	tipos	de	variáveis:	variáveis	contínuas,	variáveis	discretas,	variáveis	
nominais	e	variáveis	ordinais.
•	 Variáveis contínuas:	podem	assumir	qualquer	valor	num	intervalo	contínuo	(dado	contínuo),	ou	
seja,	será	um	número	real.	Exemplos:	altura,	peso,	velocidade	etc.
•	 Variáveis discretas:	em	geral,	originam-se	da	contagem	de	 itens	e	só	podem	assumir	valores	
inteiros.	Exemplos:	número	de	alunos	em	sala	de	aula,	número	de	professores	que	trabalham	na	
escola	etc.
•	 Variáveis nominais:	são	aquelas	que	existem	com	o	objetivo	de	definir	categorias,	e	as	observações,	
mensurações	e	análises	são	feitas	 levando-se	em	conta	essas	mesmas	categorias.	Exemplos	de	
categoria	seriam:	separação	por	sexo,	estado	civil,	esporte	predileto,	cor	etc.
•	 Variáveis ordinais:	 quando	 existe	 o	desejo	de	dispor	 os	 elementos	observados	 segundo	uma	
ordem	de	 preferência	 ou	 desempenho,	 atribuem-se	 valores	 relativos	 para	 indicar	 essa	 ordem.	
Exemplo:	primeiro,	segundo,	terceiro	grau	de	escolaridade	etc.
As	variáveis	discretas	e	contínuas	são	ditas	variáveis	quantitativas	porque	envolvem	dados	numéricos.	
Já	as	variáveis	nominais	e	ordinais	precisam	ser	transformadas	em	valores	numéricos	para	serem	objeto	
da	análise	estatística,	e	são	ditas	variáveis	qualitativas.	Por	exemplo:	em	um	departamento	da	empresa	
JJ,	que	tem	36	funcionários,	fez-se	uma	pesquisa	para	verificar	alguns	dados.	Classifique	as	variáveis,	
conforme	os	dados	da	tabela	a	seguir.
Tabela 1
Estado civil Grau de instrução Nº filhos Salário (X. min) Idade (anos-meses)
Solteiro Ensino	Fundamental - 4,00 23	03
Casado Ensino	Fundamental 1 4,56 32	10
Casado Ensino	Superior 3 19,40 48	11
Solteiro Ensino	Médio - 10,53 25	08
Solteiro Ensino	Médio - 16,22 31	05
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Estatística aplicada
Resolução
Variável qualitativa nominal:	estado	civil.
Variável qualitativa ordinal:	grau	de	instrução.
Variável quantitativa discreta:	número	de	filhos.
Variável quantitativa contínua:	salário	e	idade.
Variáveis discretas e contínuas =	variáveis	quantitativas.
Variáveis nominais e ordinais =	variáveis	qualitativas.
E	ainda:
Dados qualitativos:	consistem	em	atribuir	qualidade	ou	atributo	à	variável	pesquisada.
Dados quantitativos:	consistem	em	números	que	representam	contagens	ou	medidas.
1.6 Formas iniciais de tratamento dos dados
Em	geral,	quando	nos	propomos	a	buscar	ou	construir	informações	a	partir	de	dados,	deparamo-nos,	
inicialmente,	 com	 um	 conjunto	 de	 dados	 brutos	 que	 pouco	 nos	 dizem.	 É	 preciso	 organizá-los	
minimamente	para	que	comecem	a	fazer	algum	sentido,	viabilizando	sua	análise.
Exemplo 1:	a	tabela	a	seguir	apresenta	as	notas	de	40	estudantes	da	disciplina	de	estatística.
Tabela 2
50 96 75 87 65 45 72 10
32 54 25 69 72 30 81 20
24 45 80 90 64 95 23 90
80 35 96 47 65 70 73 63
60 20 45 89 20 90 80 70
Essa	tabela	é	chamada	de	tabela	primitiva	ou	dados	brutos,	pois	os	dados	coletados	estão	dispostos	
conforme	a	ordem	da	coleta	e	não	na	ordem	de	numeração.
Observando	os	dados	anteriores,	tabela	primitiva,	fica	difícil	visualizar	em	torno	de	que	valor	tendem	
a	se	concentrar	as	notas	dos	estudantes,	qual	a	maior	ou	qual	menor	nota,	e	ainda	quantos	alunos	se	
acham	abaixo	de	uma	dada	nota.
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Uma	primeira	 forma	 de	 organização	 dos	 dados	 brutos	 é	 o	 chamado	 rol.	 Obtemos	 o	 rol	 quando	
organizamos	os	dados	brutos	em	ordem	crescente	ou	decrescente	de	grandeza.
Ainda	com	respeito	à	tabela	de	nota	dos	40	estudantes	da	disciplina	de	estatística,	vejamos	como	fica:
Tabela 3
10 20 20 20 23 24 25 30
32 35 45 45 45 47 50 54
60 63 64 65 65 69 70 70
72 72 73 75 80 80 80 81
87 89 90 90 90 95 96 96
Agora,	podemos	saber,	com	relativa	facilidade,	qual	a	menor	nota	(10)	e	qual	a	maior	nota	(96).	Para	
determinar	a	amplitude	do	rol,	basta	realizar	a	diferença	entre	o	maior	e	o	menor	número	do	rol,	ou	seja,	
para	o	exemplo,	a	amplitude	de	variação	foi	de	96	–	10	=	86.
Exemplo 2:	seja	A	=	{10,	7,	3,	9,	1,	5,	10,	4,	2,	8}	o	conjunto	das	notas	dos	alunos,	determine	o	rol	
e	a	amplitude	do	rol:
{10,	7,	3,	9,	1,	5,	10,	4,	2,	8}	à	dado	bruto
{1,	2,	3,	4,	5,	7,	8,	9,	10,	10}	à	rol
Amplitude	=	{maior	valor	do	rol	–	menor	valor	do	rol}
à	A	=	10	–	1	=	9
Limites de classe:	são	os	números	extremos	de	cada	classe;	sendo	assim,	temos	um	limite	inferior	
e	um	superior,	que	denominamos	de	amplitude	de	variação.
A	=	Lsup.	-	Linf.
1.7 notações por índices
A	notação	por	índices	é	bastante	utilizada	na	estatística,	sendo	importante	esclarecer	seu	significado.	
O	símbolo	xi	(lê-se	“x	índice	i”)	irá	representar	qualquer	um	dos	n	valores	assumidos	pela	variável	x,	x1,	x2,	
x3,	x4,	...,	x.	“n”	é	denominado	índice	e	poderá	assumir	qualquer	dos	números	entre	1,	2,	3,	4,...,	n.
1.7.1 Notação sigma (∑)
A	maioria	dos	processos	estatísticos	vai	exigir	o	cálculo	da	soma	de	um	conjunto	de	números.	A	letra	
maiúscula	grega	sigma	(∑)	é	utilizada	para	representar	o	somatório.
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Estatística aplicada
Assim,	se	determinada	variável	y	tiver	os	valores	3,	5,	7,	9	e	11,	o	∑y	será:
∑y	=	3	+	5	+	7	+	9	+	11
∑y	=	35
Por	outro	lado,	se	o	consumo	semanal	de	arroz	por	x,	durante	um	mês,	foi	2	kg,	4	kg,	3	kg,	5	kg,	o	
total	consumido	por	x	no	mês	teria	sido:
∑x	=	2	+	4	+	3	+	5
∑x	=	14,	x	teria	consumido	14	kg	de	arroz	durante	o	mês	referido.
A	notação	sigma	possui	algumas	propriedades	que	precisamos	desenvolver	para	facilitar	os	conteúdos	
que	estudaremos	nesta	disciplina.
A)	 x x x
i
n
i1
1=
∑ ∑ ∑= = ,	isso	significa	que	devemos	somar	as	n	observações	de	x,	começando	com	
a	primeira.
Por	exemplo,	num	conjunto	de	dados	x	=	{2,	4,	6,	8,	10,	12},	em	que	n	=	6,	temos:
x x
x
i
i
n
i
i
i
= =
∑ ∑
∑
= = + + + + +
=
1 1
6
2 4 6 8 10 1242
Por	outro	lado,	é	possível	utilizar	essa	notação	quando	se	pretende	analisar	a	soma	de	apenas	uma	
parte	dos	dados	disponibilizados,	 podendo-se,	 portanto,	 abreviar	 a	 soma	de	um	conjunto	de	dados.	
Dessa	forma,	podemos	ter:
x x x xi1 2 3
1
3
+ + = ∑
x x x x xi
i
8 9 10 11
8
4
+ + + =
=
∑
B)	Se	cada	valor	da	variável	x	é	multiplicado	ou	dividido	por	uma	constante,	temos	que	isso	será	
igual	ao	valor	da	constante	multiplicado	ou	dividido	pela	somatória	de	x.
c x c x. .= ∑∑
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Assim,
4 4 4 4 4
4 4
1 2 3 4
1
4
1 2 3 4
1
4
x x x x x
x x x x x
i
i
i
i
= + + +
= + + + =
=
=
∑
∑( )
Por	exemplo:	se	xi	=	{2,	4,	6,	8,	10,	12},	n	=	6,	e	cada	valor	de	x	é	multiplicado	pela	constante	
c	=	2,	temos:
cx c x= ∑∑
cx c xi
i
i
i
= = + + + + =
= + + + +
= =
∑ ∑
1
6
1
6
2 2 2 4 2 8 210 212
2 2 4 6 8 10
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ++
= = =
==
∑∑
12
2 2 2 42 84
1
6
1
6
)
( )x xi i
ii
C)	O	somatório	de	uma	constante	c	será	igual	ao	produto	da	constante	pelo	número	de	vezes	(n)	que	
ela	se	repete.	Assim,	temos:
c nci
i i
n
=
=
∑
Por	exemplo,	numa	determinada	observação,	o	conjunto	de	dados	de	xi	=	{7,	7,	7,	7,	7,	7},	n	=	6,	
temos	que	xi	é	uma	constante	c	que	se	repete.	Então,	temos:
x c
xi c nc
i i
i
ii
=
= = = + + + + + = =
==
∑∑
1
6
1
6
7 7 7 7 7 7 6 7 42( )
D)	O	somatório	de	uma	soma	ou	de	uma	diferença	de	duas	variáveis	será	igual	à	soma	ou	diferença	
dos	somatórios	individuais	das	duas	variáveis.	Assim,	temos:
( )
( )
x y x y
x y x y
i i i i
i
n
i
n
i
n
i i i i
i
n
i
n
i
n
+ = +
− = −
===
===
∑∑∑
∑∑∑
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Estatística aplicada
Por	exemplo:
i X Y (X-Y)
( )x y
x y
− =
− = − =
∑
∑ ∑
9
20 11 9
1 8 5 3
2 3 2 1
3 4 0 4
4 5 4 1
- - - -
Σ 20 11 9
Figura	3
E)	O	somatório	de	um	conjunto	de	dados	x	ao	quadrado	nos	obriga	a	elevar	cada	elemento	de	xi	ao	
quadrado	para	efetuar	a	soma.	Assim,	temos:
x x x x xi
i
n
n
2
1
1
2
2
2
3
2 2
=
∑ = + + + +...
Por	exemplo,	numa	dada	observação,	o	conjunto	de	dados	de	xi	=	{2,	4,	6,	8,	10},	n	=	5;	temos,	então:
xi
i
2
1
5
2 2 2 2 22 4 6 8 10
4 16 36 64 100 220
=
∑ = + + + + =
= + + + + =
F)	O	somatório	ao	quadrado	de	um	conjunto	de	dados	será	obtido	tomando-se	a	soma	dos	valores	
de	xi	e	elevando-se	ao	quadrado.	Assim,	temos:
( ) ( ... )x x x x xi
i
n
n
=
∑ = + + + +
1
2
1 2 3
2
Por	exemplo,	se	temos	um	mesmo	conjunto	xi	=	{2,	4,	6,	8,	10},	n	=	5,	tal	qual	no	exemplo	do	item	
E,	teremos	um	resultado	distinto.	Vejamos,	neste	caso:
( ) ( ) ( )xi
i=
∑ = + + + + = =
1
5
2 2 22 4 6 8 10 30 900
Não	confunda	 xi
i
n
2∑ 	com	 xi
i
n
∑


2
,	pois,	conforme	se	observa	no	exemplo	anterior,	seus	resultados	
serão	diferentes.
1.8 Séries estatísticas – simples e compostas
Uma	série	estatística	define-se	como	qualquer	tabela	na	qual	haja	distribuição	de	um	conjunto	de	
dados	estatísticos	destinados	a	uma	mesma	ordem	de	classificação:	quantitativa. Ou,	ainda,	no	sentido	
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mais	amplo,	série	é	uma	sucessão	de	números	referidos	a	qualquer	variável.	Caso	os	números	expressem	
dados	estatísticos,	a	série	será	chamada	de	série estatística.
As	tabelas	são	utilizadas	para	apresentar	séries	estatísticas.	Os	três	caracteres	presentes	na	tabela	
que	as	apresenta	são:
•	 a época	(fator	temporal	ou	cronológico)	–	a	que	se	refere	o	fenômeno	estudado;
•	 o local	(fator	espacial	ou	geográfico)	–	onde	o	fenômeno	acontece;
•	 o fenômeno	(espécie	de	fato	ou	fator	específico)	–	que	é	descrito	de	forma	categórica.	As	séries	
são	divididas	em	dois	grupos:
As	séries	são	divididas	em	dois	grupos:
1. Séries homógradas:	onde	há	variação	discreta	ou	descontínua	na	variável	descrita.
																																							-	Série	temporal
Séries homógradas:	 	-	Série	geográfica
																																							-	Série	específica.
2. Séries heterógradas:	 são	 aquelas	 nas	 quais	 o	 fenômeno/fato	 apresentam	 gradações	 ou	
subdivisões.
Séries heterógradas:	 	Distribuição	de	frequências
2 APrESEntAção dE dAdoS – gráFICoS E tAbElAS
A	representação	gráfica	das	séries	estatísticas	tem	por	finalidade	sintetizar	os	resultados	obtidos	e,	
assim,	chegar	a	conclusões	sobre	a	evolução	do	fenômeno	ou	sobre	como	se	relacionam	os	valores	da	
série.	O	gráfico	mais	apropriado	ficará	a	critério	do	pesquisador,	respeitando	os	elementos	de	clareza,	
simplicidade	e	veracidade	(NOGUEIRA,	2009).
Diretrizes	para	a	construção	de	um	gráfico:
•	 o	título	do	gráfico	deve	ser	o	mais	claro	e	completo	possível,	sendo	necessário	acrescentar	subtítulos;
•	 a	orientação	geral	dos	gráficos	deve	ser	da	esquerda	para	a	direita;
•	 as	quantidades	devem	ser	representadas	por	grandezas	lineares;
•	 sempre	que	possível,	a	escala	vertical	há	de	ser	escolhida	de	modo	a	aparecer	a	linha	0	(zero);
•	 só	devem	ser	incluídas	no	desenho	as	coordenadas	indispensáveis	para	guiar	a	vista	na	leitura,	um	
tracejado	muito	cerrado	dificulta	o	exame	do	gráfico;
•	 a	escala	horizontal	deve	ser	lida	da	esquerda	para	a	direita	e	a	vertical	de	baixo	para	cima;
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Estatística aplicada
•	 os	 títulos	 e	 as	marcações	 do	 gráfico	 dispor-se-ão	 de	maneira	 que	 sejam	 facilmente	 legíveis,	
partindo	da	margem	horizontal	inferior	ou	da	margem	esquerda.
Leitura	e	interpretação	de	um	gráfico:
•	 declarar	qual	o	fenômeno	ou	fenômenos	representados,	a	região	considerada,	o	período	de	tempo,	
a	fonte	dos	dados	etc.;
•	 examinar	o	tipo	de	gráfico	escolhido,	verificar	se	é	o	mais	adequado,	criticar	a	sua	execução,	no	
conjunto	e	nos	detalhes;
•	 analisar	cada	fenômeno	separadamente,	fazendo	notar	os	pontos	mais	em	evidência,	o	máximo	e	
o	mínimo,	as	mudanças	mais	bruscas;
•	 investigar	se	há	uma	“tendência	geral”	crescente	ou	decrescente	ou,	então,	se	o	fato	exposto	é	
estacionário;
•	 procurar	descobrir	a	existência	de	possíveis	ciclos	periódicos,	qual	o	período	aproximado	etc.
Eis	os	tipos	mais	comuns	de	gráficos:
Gráfico em linha
1							2							3								4							5								6							7
500
400
300
200
100
0
Série	1
Série	2
Figura	4
Gráfico em colunas
População
1940				1950				1960				1970
100
80
60
40
20
0
População
Figura	5
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Gráfico em barras
É	semelhante	ao	gráfico	em	colunas,	porém	os	retângulos	são	dispostos	horizontalmente.
População	do	Brasil
0										20										40										60										50										100
1970
1960
1950
1940
População	do	
Brasil
Figura	6
Gráfico em setores
Anos Faturamento de uma empresa (em milhões)
2008 3
2009 4
2010 5
Total 12
Figura	7
É	 a	 representação	 gráfica	 de	 uma	 série	 estatística,	 em	 círculo,	 por	meio	 de	 setores.	 É	 utilizado	
principalmente	quando	se	pretende	comparar	cada	valor	da	série	com	o	total.
Total	__________360º
Parte___________	xº
•	 Para	2008:	12	-	360º
3	-	xº
xº	=	90º
•	 Para2009:	12	-	360º
4	-	xº
xº	=	120º
•	 Para	2010:	12	-	360º
5	-	xº
xº	=	150º
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	2008
	2009
	2010
Figura	8
Gráfico polar
É	a	representação	de	uma	série	por	meio	de	um	polígono.	Movimento	mensal	de	compras	de	uma	
agência	em	1972.
Tabela 4
Meses Valores (R$ 1.000,00)
Janeiro 12
Fevereiro 13
Março 14
Abril 12
Maio 15
Junho 19
Julho 17
Agosto 18
Setembro 14
Outubro	 16
Novembro 12
Dezembro 18
Jan
Fev
Mar
Abr
Mai
Jun
Jul
Ago
Set
Out
Nov
Dez 20
15
10
5
0
Série	1
Figura	9
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Gráfico carta geográfica
É	 a	 representação	 gráfica	 de	 um	 mapa	 geográfico	 indicando	 um	 acontecimento,	 por	 exemplo,	
a	previsão	de	 tempo	para	determinado	dia	em	determinado	Estado	ou	país.	A	figura	a	 seguir	 é	um	
cartograma	que	informa	a	produção	de	petróleo	segundo	suas	regiões	geográficas.
Cartograma 1.2	–	Produção	de	petróleo,	
segundo	regiões	geográficas	(milhões	b/d)	–	2003
áfrica
Américas	
Central	e	do	Sul
8,4
14,2
6,7
7,9
7,9
22,6
Oriente	
Médio
ásia-Pacífico
Europa	e	Ex-União	Soviética
América	do	
Norte
Figura	10
Nota:	inclui	óleo	de	xisto,	óleo	de	areias	betuminosas	–	o	LGN,	exceto	para	o	Brasil.
Para	o	Brasil,	inclui	LGN	e	não	inclui	óleo	de	xisto	e	óleo	de	areias	betuminosas.
Pictograma
É	a	representação	gráfica	mais	utilizada	na	atualidade	por	jornais	e	revistas,	pois	é	um	gráfico	de	
forma	atraente	e	de	fácil	interpretação.	Mostra	o	fenômeno	estudado	inserido	com	um	gráfico	de	linha,	
coluna,	barra	ou	de	setor,	conforme	o	exemplo	a	seguir,	em	que	um	outdoor	aponta	a	verba	gasta	com	
publicidade	junto	com	um	gráfico	de	linha	para	mostrar	seu	desempenho	anual.
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Figura	11
Publicidade	em	alta
Institucional De utilidade 
pública
Orçamento	prevê	
aumento	de	20%	
em	gastos	da	
administração	direta
Valor da 
publicidade
Em	R$	Milhões
2007		2008			2009			2010 2007		2008			2009			2010
80,1
120,2
158,1
167 532,1
425,1
294,7
152,6
Figura	12
 Saiba mais
Aplicação	de	gráficos	de	controle	de	Soma	Acumulada	(CUSUM)	para	
monitoramento	 de	 um	 processo	 de	 usinagem.	 Disponível	 em:	 <http://
dspace.universia.net/bitstream/2024/542/1/ArtigoXVISIMPEP2009.PDF>.	
Acesso	em:	20	jul.	2012.
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2.1 Elementos básicos das tabelas
Uma	forma	de	sintetizar	os	valores	que	uma	ou	mais	variáveis	podem	assumir	é	por	meio	de	uma	
tabela.
Uma	tabela	é	constituída	dos	seguintes	elementos:
Quadro 1
Título É	o	conjunto	de	informações	que	precede	a	tabela	e	contém	a	indicação	dos	fatores:	o	quê?	Quando?	Onde?
Cabeçalho É	a	parte	superior	da	tabela	que	especifica	o	conteúdo	das	colunas.
Corpo da tabela É	o	espaço	que	contém	as	informações	sobre	o	fenômeno	observado.
Fonte É	a	indicação	da	entidade	responsável	pelo	levantamento	dos	dados.
Título	 Produção de petróleo em barris/dia
Estado e Região TotalBarris/dia Cabeçalho
Rio	de	Janeiro 1.597.387
Coluna	
indicadora
Espírito	Santo 193.962
Amazonas 52.964
Bahia 49.472
Rio	Grande	do	Norte 60.861
Sergipe 42.072
São	Paulo 16.983
Alagoas 6.300
Ceará 7.530
Paraná	(xisto) 3.393
Rodapé		 	
Figura	13
3 MEdIdAS dE tEndÊnCIA CEntrAl: MÉdIA, ModA E MEdIAnA PArA 
dAdoS SIMPlES
No	desenvolvimento	de	um	estudo	estatístico,	muitas	vezes	é	inviável	examinar	todos	os	elementos	
da	 população	 de	 interesse	 para	 tirar	 conclusões;	 pensando	 nisso,	 há	 medidas	 que	 possibilitam	
condensar	 as	 informações	 para	 esclarecer	 a	 fase	 analítica	 da	 estatística	 descritiva.	 A	 inferência	
estatística	nos	dá	elementos	para	generalizar,	de	maneira	segura,	as	conclusões	obtidas	da	amostra	
para	a	população.
Quando	se	trata	de	amostra,	a	preocupação	central	é	que	ela	seja	representativa.
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Assim	 que	 decidimos	 extrair	 informações	 por	 meio	 de	 um	 levantamento	 amostral,	 temos	
imediatamente	dois	problemas:
•	 definir	cautelosamente	a	população	de	interesse;
•	 selecionar	a	característica	que	iremos	pesquisar.
Portanto,	temos	situações	profissionais	em	que	nos	bastam	poucos	dados	ou	estatísticas	de	dados	
simples.	Por	outro	 lado,	têm-se	também	situações	em	que	um	número	maior	de	elementos	deve	ser	
investigado	e	tratado	como	distribuições	de	frequência.
Quando	estamos	diante	de	um	conjunto	de	dados,	seja	ele	pequeno	ou	grande,	em	geral	buscamos	
medidas	que	possam	ser	usadas	para	indicar	um	valor	que	tende	a	representar	melhor	aquele	determinado	
conjunto	de	números.	E	as	medidas	mais	usadas	nesse	sentido	são	as	chamadas	medidas	de	tendência	
eventual	ou	central,	que	são	a	média,	a	mediana	e	a	moda.
Sabe-se	que	esses	valores	serão	medidos	de	forma	distinta	conforme	um	grande	conjunto	de	dados	
ou	um	pequeno	conjunto	de	dados.	 Também	o	cálculo	desses	valores	 será	afetado	caso	as	variáveis	
sejam	discretas	ou	contínuas.
Em	 estatística,	 a	média	 é	 o	 valor	médio	 de	 uma	distribuição	 ou	 de	 um	 conjunto	 de	 dados,	
determinado	 segundo	 uma	 regra	 estabelecida	 a	 priori	 e	 que	 se	 utiliza	 para	 representar	 todos	 os	
valores	da	distribuição.	Existem	diversas	 formas	de	calcular	a	média	de	um	conjunto	de	números,	
por	exemplo,	algumas	delas	são:	média	aritmética,	média	aritmética	ponderada,	média	geométrica	e	
média	harmônica.
 observação
Neste	 módulo,	 trataremos	 do	 cálculo	 dessas	 estatísticas	 para	 os	
chamados	 dados	 simples	 ou	 conjuntos	 de	 dados	 com	 menos	 de	 30	
elementos.
3.1 A média aritmética simples (x)
A	média	aritmética	é	um	dos	valores	mais	representativos	de	um	conjunto	de	dados.	Obtém-se	o	
valor	da	média	aritmética	dividindo-se	o	somatório	dos	valores	do	conjunto	de	dados	pelo	número	de	
valores	total	desse	conjunto.
Na	média	aritmética,	temos	como	símbolo:	x	(lê-se	“x	traço”	ou	“x	barra”).
Assim,	temos	que,	para	a	amostra,	se	calcula	o	valor	médio	utilizando-se	os	seguintes	parâmetros:
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x
x
n
i
i
n
=
=
∑
1
,	onde	
x	⇒	Média	aritmética	da	amostra	(estimativa)
n	⇒	Número	de	dados	da	amostra	
xi	⇒	Cada	variável	da	amostra
Vamos,	 agora,	 tomar	 um	 exemplo	 de	média	 aritmética.	 Supondo	 um	 conjunto	 de	 dados	
xi	 =	 {2,	4,	6,	8,	10,12},	onde	n	=	6,	temos:
x
x
n
i
i
n
= =
+ + + + +
=
=
∑
1 2 4 6 8 10 12
6
7
Exemplo 1:
Uma	amostra	das	notas	das	provas	de	matemática	dos	estudantes	da	7ª	série	de	uma	grande	escola	
de	São	Paulo	xi,	em	que:
xi	=	{87,	42,	64,	58,	90,	90,	85,	63,	47,	74,	100,	94}	e	n	=	12,	temos:
x
x
n
i
i
n
= =
+ + + + + + + + + + +
=
=
∑
1 87 42 64 58 90 90 85 63 47 74 100 94
12
74 5,
A	nota	média	na	prova	de	matemática	dos	estudantes	da	7ª	série	dessa	escola	de	São	Paulo,	por	
amostragem,	é	74,5.
 observação
São	as	propriedades	que	a	média	aritmética	simples	possui	que	a	fazem	
a	medida	de	tendência	central	mais	usada	e	mais	importante	de	todas.
São	propriedades	da	média	aritmética:
•	 em	um	conjuntode	dados,	é	sempre	possível	o	cálculo	da	média,	independentemente	de	quais	
elementos	compõem	esse	conjunto	de	dados;
•	 em	um	determinado	conjunto	de	dados,	o	valor	da	média	será	único	e	corresponderá	a	uma	constante;
•	 todos	os	valores	de	determinado	conjunto	de	dados	irão	afetar	a	média,	se	um	valor	se	modifica,	
a	 média	 aritmética	 também	 se	 modificará;	 somando-se	 ou	 subtraindo-se	 uma	 determinada	
constante	c	a	cada	elemento	de	um	determinado	conjunto	de	dados	xi	=	x1,	x2,	x3,	...,	xn,	a	média	
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aritmética	ficará	aumentada	ou	diminuída	dessa	constante	c;	se,	por	outro	lado,	multiplicarmos	
cada	 elemento	 desse	 conjunto	 de	 dados	 por	 uma	 constante	 c,	 a	 nova	 média	 será	 também	
multiplicada	por	essa	constante	c;	se	dividirmos	cada	elemento	do	conjunto	de	dados	por	essa	
mesma	constante	c,	a	média	será	dividida	por	c.
Assim,	se	temos	um	conjunto	xi	=	x1,	x2,	x2,	...,	xn,	a	média	será:
x
x
n
i
n
1
1
1
=
=
∑
,	logo:
x
c x
n
x
x
n
nc
n
x x c
i
i
n
i
i
n
2
1
2
1
2 1=
+
⇒ = + ⇒ = += =
∑ ∑( )
•	 a	soma	algébrica	dos	desvios	dos	números	de	um	conjunto	de	dados	em	torno	da	média	é	zero,	
isso	pode	ser	representado	da	seguinte	forma:
x xi − =∑ 0
Por	exemplo,	se	temos	um	conjunto	de	dados	xi	=	(2,	4,	6,	8,	10),	onde	n	=	5,	temos	que:
x
xi
i
= =
+ + + +
=
=
∑
1
5
5
2 4 6 8 10
5
6
Se	aplicarmos	a	fórmula	acima,	temos:
x x xi i− = − = − + − + − + − + −∑ ∑ 6 2 6 4 6 6 6 8 6 10 6( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x x
x x
i
i
∑
∑
− = − − + + +
− =
4 2 0 2 4
0
 observação
A	média	 aritmética	 é	 a	mais	 utilizada	 em	 nosso	 dia	 a	 dia.	 É	 obtida	
dividindo-se	a	soma	das	observações	pelo	número	delas.
3.2 A média aritmética ponderada xp
Num	conjunto	de	dados	em	que	cada	elemento	ou	cada	observação	possui	a	mesma	importância,	
o	 cálculo	da	média	 aritmética	 simples	mostrará	 bem	a	população	ou	 a	 amostra	 estudada.	No	
entanto,	 se	 queremos	 atribuir	 pesos	 distintos	 ou	 importâncias	 distintas	 aos	 elementos	 de	um	
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conjunto	de	dados,	a	estatística	a	ser	adotada	é	a	média	aritmética	ponderada,	em	que	a	cada	
valor	xi	deverá	ser	atribuído	um	determinado	peso	pi.	A	expressão	estatística	para	o	cálculo	da	
média	ponderada	é:
x
xp
p
p
i i
i
n
i
i
n=
=
=
∑
∑
1
1
Supondo	que	um	estudante	tenha	de	efetuar	uma	série	de	quatro	exames	para	obter	sua	média	
final	e	passar	de	ano,	cada	exame	possui	um	peso	diferente	na	composição	dessa	média,	conforme	a	
tabela	a	seguir:
x
x p
p
x
p
i i
i
n
i
i
n
p
=
=
+ + +
=
=
∑
∑
1
1
0 30 68 0 20 89 0 40 45 01
,
( , ) ( , ) ( , ) ,
 logo
00100
0 30 0 20 0 40 010
20 4 17 8 18 10 66 2
( )
, , , ,
, , ,
+ + +
= + + + =xp
Exame Nota Peso
1 68 0,30
2 89 0,20
3 45 0,40
4 100 0,10
1,00
Figura	14
A	nota	média	será,	então,	66,2,	 resultado	diferente	do	que	seria	obtido	se	utilizássemos	a	média	
aritmética	simples.
Num	conjunto	de	dados,	em	que	cada	elemento	ou	cada	observação	possui	importância	diferente,	
utilizamos	a	média	aritmética	ponderada.
Exemplificando	as	médias	aritmética	e	ponderada:
Média aritmética	–	exemplo:	um	aluno	tirou	as	notas	5,	8	e	6	em	três	provas.	A	sua	média	aritmética	
será	(5	+	8	+	6)/3	=	7,25.
Média ponderada	–	exemplo:	um	aluno	fez	um	teste	(peso	1)	e	duas	provas	prova	(peso	
2),	 tirando	8	no	 teste,	 5	 na	 primeira	 prova	 e	 6	na	 segunda	prova.	 A	 sua	média	 (ponderada)	
será	 [(1	 x	 8)	 +	 (2	 x	 5)	 +	 (2	 x	 6)	 ]/3	 =	 6.	 Se	 o	 teste	 e	 a	 prova	 tivessem	 o	 mesmo	 peso	 (e	
não	 importa	 qual	 o	 valor	 do	peso,	 importa	 apenas	 a	 relação	 entre	 os	 pesos),	 a	média	 seria,	
aproximadamente,	6,33.
Distribuição	 por	 frequência	 é	 a	 tabela	 em	 que	 se	 organizam	 grandes	 quantidades	 de	 dados,	
determinando	o	número	de	vezes	que	cada	dado	ocorre	–	frequência (fi) –	e	a	porcentagem	com	que	
aparece	–	frequência relativa (fr).
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Estatística aplicada
 observação
∑fi	=	n	número	total	de	observações;
xi	=	valor	da	variável	ou	pontos	médios	de	classes;
k	=		número	de	classes	ou	de	valores	individuais	diferente	da	variável.
Exemplo:	 em	uma	 turma,	 a	 nota	 atribuída	 a	 30	 alunos,	 referente	 a	 um	 teste	 de	 estatística,	 foi	
disposta	em	ordem	crescente:	4,	4,	4,	4,	5,	5,	5,	5,	5,	5,	5,	5,	6,	6,	6,	6,	6,	7,	7,	7,	7,	7,	8,	8,	8,	8,	9,	9,	10.
Observando	que	algumas	notas	se	repetem,	podemos	utilizar	o	número	de	observações	ou	frequência	
de	cada	um	deles	como	o	peso	ou	fator	de	ponderação.
Assim:
									(4x4)+(7x5)+(5x6)+(5x7)+(4x8)+(2x9)+(1x10)
x	=		-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------		=	6,29
																													4+7+5+5+4+2+1
Utilizando	uma	tabela	para	representar	a	distribuição	de	frequência,	temos:
Tabela 5
xi fi xi fi
									∑	xi fi 176x	=		------------------------------------			=		---------------------------		=	6,29
													n																	28
4 4 4x4	=	16
5 7 5	x	7	=	35
6 5 6	x	5	=	30
7 5 7	x	5	=	35
	8 4 8	x	4	=	32
9 2 9	x	2	=	18
10 1 10	x	1	=	10
∑ 28 176
3.3 A mediana (Md)
Outra	medida	importante	de	um	conjunto	de	dados	é	a	mediana.	A	mediana	divide	determinado	
conjunto	 de	 dados	 que	 deverá	 estar	 ordenado	 em	 dois	 grupos	 iguais,	 em	 que	metade	 terá	 valores	
menores,	e	metade	terá	valores	maiores	que	a	mediana.
Antes	de	calcular	a	mediana,	é	preciso	organizar	os	valores	num	rol	em	ordem	crescente,	para	então	
contar	até	a	metade	dos	valores	e	encontrar	a	mediana.	Em	geral,	após	organizarmos	os	dados	em	um	
rol,	podemos	calcular	a	posição	da	mediana	com	a	fórmula	a	seguir:
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2
											(n+1)
Md	=	----------------------------	
														2
Em	 que	 n	 é	 o	 número	 de	 dados	 observados.	 Por	 exemplo,	 para	 um	 conjunto	 de	 dados	
xi	 =	 {6,	9,	3,	5,	2,	9,	5,	5,	8,	7,	1,	7,	2},	em	que	n	=	13,	temos	primeiro	que	organizar	esses	
dados	 em	 um	 rol	 e	 depois	 encontrar	 a	 posição	 da	 mediana	 para	 então	 saber	 qual	 será	 a	
mediana.	Senão,	vejamos:
rolxi	-	{1,	2,	3,	5,	5,	5,	6,	7,	7,	8,	9,	9}
											(n+1)							13+1
Md	=	----------------------------		=	----------------------------		=	7
														2															2
Md	=	5
A	mediana	é	outra	medida	de	posição	definida	como	o	número	do	meio,	quando	as	medidas	são	
organizadas	em	ordem	ascendente	ou	descendente.	Em	outras	palavras,	a	mediana	de	um	conjunto	de	
termos	ordenados	é	o	valor	situado	de	tal	forma	no	conjunto	que	o	separa	em	dois	subconjuntos	de	
mesmo	número	de	elementos.
	
 observação
Se	o	número	de	elementos	for	ímpar,	então	a	mediana	será	exatamente	
o	valor	“do	meio”.	Se	o	número	de	elementos	for	par,	então	a	mediana	será	
exatamente	a	média	“dos	dois	valores	do	meio”.
Para	determinar	a	mediana:
•	 organize	o	conjunto	de	dados	em	um	rol;
•	 para	um	conjunto	de	dados	cujo	n	=	ímpar,	a	mediana	será	o	valor	do	meio;
•	 para	um	conjunto	de	dados	cujo	n	=	par,	a	mediana	será	a	média	dos	dois	valores	do	meio.
Para	um	conjunto	de	dados	xi	=	{6,	4,	8,	3,2,	9,	7,	1},	em	que	n	=	8,	temos,	então:
rolxi	=	{1,	2,	3,	4,	6,	7,	8,	9}
																																	(n+1)							8+1
Posição	mediana	=	----------------------------		=	----------------------------		=	4,5
																																				2															2
A	mediana	será	o	valor	que	está	a	meio	caminho	dos	dois	valores	médios;	nesse	caso,	entre	4	e	6.	
Como	fazer?	Deve-se	tirar	a	média	entre	os	dois	valores	do	meio	para	obter	o	valor	da	mediana.
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Estatística aplicada
Assim,	temos:
											4	+	6
Md	=	----------------------------		=	5
														2
 observação
Quando	usamos	a	mediana?
Empregamos	a	mediana	quando:
•	 desejamos	obter	o	ponto	que	divide	a	distribuição	em	partes	iguais;
•	 há	valores	extremos	que	afetam	de	maneira	acentuada	a	média;
•	 a	variável	em	estudo	é	salário.
Em	 teoria da probabilidade	 e	 em	 estatística,	 a	mediana	 é	 uma	 medida	 de	 tendência	
central,	um	número	que	 representa	as	observações	de	determinada	variável,	de	 tal	 forma	que	
esse	número,	a	mediana,	de	um	grupo	de	dados	ordenados,	separa	a	metade	inferior	da	amostra,	
população	 ou	 probabilidade	 de	 distribuição,	 da	metade	 superior.	Mais	 concretamente,	 1/2	 da	
população	terá	valores	inferiores	ou	iguais	à	mediana,	e	1/2	da	população	terá	valores	superiores	
ou	iguais	à	mediana.
Em	casos	de	populações	(n)	ímpares,	a	mediana	será	o	elemento	de	posição	central	
n+


 °
1
2
.
Para	os	casos	de	populações	(n)	pares,	a	mediana	será	o	resultado	da	média	simples	dos	elementos	
	
de	posição	central	
n
e
n
2
1
2



 °
+


 ° .	Por	exemplo,	para	as	seguintes	séries,	temos:
Exemplo 1
1,	3,	5,	7,	9,	o	n	da	série	é	ímpar,	temos:
n+


 °
+


 °
1
2
5 1
2
3º	posição
A	mediana	é	igual	a	5,	pois	é	a	3ª	posição	da	série.
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Exemplo 2
1,	2,	4,	7,	9,	10,	o	n	da	série	é	par,	temos:
n n
e
n
e
2
1
2
6
3
1
2
3 4



 °
+


 °



 °
+


 °
° °
 e 
 
 3°	e	4°
A	média	será	a	média	entre	o	3°	e	o	4°	elemento	da	série,	que	será:
3°	=	4
4°	=	7
Md
Md
=
+



=
4 7
2
5 5,Md	=	5,5
3.4 A moda
Muitas	vezes,	em	um	conjunto	de	dados,	existem	valores	que	se	 repetem	com	frequência	maior.	
A	moda é	justamente	esse	valor	ou	esses	valores	que	mais	se	repetem	em	um	conjunto	de	dados.	É	
possível	haver	estatísticas	que	não	possuam	moda	ou	que	possuam	mais	de	uma	moda.
No	exemplo	que	demos	anteriormente,	para	um	conjunto	de	dados	xi	=	{1,	2,	3,	4,	6,	7,	8,	9},	não	
existe	moda,	e	diz-se	que	o	conjunto	ou	distribuição	é	amodal.
A	moda	é	uma	estatística	muito	mais	descritiva	e	sua	importância	cresce	à	medida	que	um	valor	ou	grupo	
de	valores	se	repete	mais	que	outros,	e	nesse	sentido	a	moda	indicaria	o	valor	típico	daquele	conjunto	de	
dados	com	maior	ocorrência.	Por	exemplo,	o	conjunto	de	dados	xi	=	{2,	2,	7,	9,	9,	9,	10,	10,	11,	12,	18}	tem	
moda	igual	a	9,	porque	o	número	9	é	aquele	com	maior	frequência,	repetindo-se	três	vezes.
Denominamos	moda	 o	 valor	 ou	 valores	 de	 um	 conjunto	 de	 dados	 que	 aparecem	 com	 maior	
frequência	em	uma	série.	Por	exemplo:	o	salário	modal	dos	professores	de	uma	escola	é	o	salário	mais	
comum,	isto	é,	o	salário	recebido	pelo	maior	número	de	empregados	dessa	escola.
A	moda	pode	apresentar	mais	de	um	valor,	diferentemente	da	média	ou	da	mediana.	É	especialmente	
útil	quando	os	valores	ou	observações	não	são	numéricos,	uma	vez	que	a	média	e	a	mediana	podem	não	
ser	bem	definidas.
A	moda	de	{pera,	pera,	banana,	limão,	limão,	limão,	pêssego}	é	limão.
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Estatística aplicada
A	série	{1,	3,	4,	5,	5,	6,	6}	apresenta	duas	modas	(bimodal):	5	e	6.
A	série	{1,	3,	2,	5,	8,	7,	4,	9}	não	apresenta	moda.
Exemplo
Sabendo-se	que	a	produção	leiteira	diária	de	uma	vaca,	durante	uma	semana,	foi	de	10,	14,	13,	15,	
16,	18	e	12	litros,	pede-se	que	se	encontre	a	média,	a	moda	e	a	mediana	para	a	produção	diária	de	leite	
dessa	vaca.
Média
x
x
n
i
i
n
= =
+ + + + + +
= =
=
∑
1 10 14 13 15 16 18 12
7
98
7
14
Logo,	x	=	14	litros	de	leite	em	média	por	dia,	o	que	significa	uma	produção	de	98	litros	de	leite	em	
média	por	semana.
 observação
A	média	pode	ser	um	número	diferente	de	todos	os	valores	da	amostra	
que	ela	representa.
Moda
Como	não	possui	um	valor	que	aparece	com	maior	frequência	que	os	outros,	não	há	valor	de	moda	
para	esse	exemplo.
Mediana
Ordenando	os	dados	de	forma	crescente,	temos:	10	-	12	-	13	-	14	-	15	–	16	–	18
Md
n
Md
Md
=
+


 °
=
+


 °
= °
1
2
7 1
2
4
Mediana	será	o	4°	elemento	da	série,	que	é	igual	a	14	litros	de	leite	por	dia.
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 observação
Cada	 frequência	 acumulada	 é	 a	 soma	 das	 frequências	 anteriores	 à	
classe.
f1a	=	f1
f2a	=	f1a	+	f2
f3a	=	f2a	+	f3
f4a	=	f3a	+	f4
...........
fna	=	f(n-1)a	+	fn
3.5 Posição relativa da média, moda e mediana
Em	uma	distribuição	de	frequências	simétricas,	as	medidas	de	média,	mediana	e	moda	coincidem.	
Já	 quando	 a	 assimetria	 torna-se	 diferente,	 essa	 diferença	 é	 tanto	 maior	 quanto	 é	 a	 assimetria.	
Resumidamente,	temos:
(a) (b) (c)
x	=	Md	=	Mo Mo		Md		x x		Md		Mo
Figura	15	-	Distribuições:	(a)	simétrica,	(b)	assimétrica	e	(c)	assimétrica	negativa.
a)	x	=	xmd	=	Mo	à	curva	simétrica
b)	Mo<	xmd	<	x	à	curva	assimétrica	positiva
c)	x	<	xmd	<	Mo	à	curva	assimétrica	negativa
4 MEdIdAS dE dISPErSão PArA dAdoS SIMPlES
Observamos	que	a	moda,	a	mediana,	e	a	média	podem	ser	usadas	para	condensar,	num	único	número,	
aquilo	que	é	“médio”	ou	“típico”	de	um	conjunto	de	dados.	No	entanto,	a	informação	fornecida	pelas	
medidas	de	posição	necessita,	em	geral,	ser	complementada	pelas	medidas	de	dispersão.	Essas	medidas	
são	usadas	para	indicar	o	quanto	os	dados	se	apresentam	dispersos	em	torno	da	região	central.	Dessa	
forma,	caracterizam	o	grau	de	variação	existente	no	conjunto	de	valores.	As	medidas	de	dispersão	mais	
utilizadas	são:
•	 amplitude	total;
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Estatística aplicada
•	 desvio	padrão;
•	 variância;
•	 coeficiente	de	variação.
Note	que,	quanto	maiores	forem	as	medidas	de	dispersão,	mais	heterogêneos	são	os	dados	e,	ao	
contrário,	quanto	menores	forem	essas	medidas,	mais	homogêneo	é	o	conjunto.
Vejamos	a	seguir	alguns	exemplos	que	mostram	a	necessidade	de	conhecermos	as	medidas	de	dispersão.
Exemplo 1
Sabe-se	 que	 em	 Honolulu	 (Havaí)	 e	 em	 Houston	 (Texas)	 a	 temperatura	média	 diária	 é	 quase	 a	
mesma,	em	torno	de	23,9	ºC.	Pergunta-se:	será	que,	por	isso,	podemos	inferir	que	a	temperatura	seja	
basicamente	a	mesma	em	ambas	as	 localidades?	Ou	não	 será	possível	que,	 enquanto	uma	cidade	é	
melhor	para	natação,	a	outra	o	seja	para	atividades	externas?
A	temperatura	em	Honolulu	varia	muito	pouco	ao	longo	do	ano,	oscilando,	em	geral,	entre	21,1	ºC	
e	26,7	ºC.	Por	outro	lado,	a	temperatura	em	Houston	pode	diferir	sazonalmente	(nas	estações	do	ano),	
isto	é,	apresentar-se	baixa	em	janeiro	(cerca	de	4,4	ºC)	e	alta	em	julho	e	agosto	(bem	perto	de	37,8	ºC).	
Logo,	podemos	perceberuma	oscilação	significativa.	Desnecessário	dizer	que	as	praias	em	Houston	não	
estão	cheias	de	gente	o	ano	todo.
Exemplo 2
Suponha	que,	numa	particular	cidade,	tanto	ladrões	quanto	professores	secundários	tenham	uma	
renda	média	mensal	de	R$	900,00.	Será	que	essa	informação	indica	que	as	duas	distribuições	de	renda	
são,	 necessariamente,	 semelhantes?	 Muito	 ao	 contrário,	 poder-se-ia	 descobrir	 que	 elas	 diferem,	 e	
muito,	num	outro	aspecto	importante,	que	é	o	fato	de	as	rendas	dos	professores	concentrarem-se	ao	
redor	de	R$	900,00	(serem	constantes,	homogêneas),	enquanto	as	dos	ladrões	espalham-se	mais	(são	
descontínuas,	heterogêneas),	o	que	reflete,	portanto,	maiores	oportunidades	para	prisões,	desemprego,	
pobreza	e,	em	alguns	casos,	fortunas	excepcionais.
Os	 fatos	mostram	que	precisamos,	além	de	uma	medida	de	 tendência	central,	de	um	 índice	que	
sinalize	o	grau	de	dispersão	dos	dados	em	torno	da	média.	Esse	índice	é	uma	medida	indicativa	do	que	
costumamos	chamar	de	variabilidade	ou	dispersão.
Retornando	 ao	 exemplo	 1,	 poderíamos	 concluir	 que	 a	 distribuição	 de	 temperatura	 em	Houston	
(Texas)	tem	maior	variabilidade	do	que	a	distribuição	de	temperaturas	em	Honolulu	(Havaí).	Da	mesma	
forma,	podemos	dizer	que	a	distribuição	de	rendas	entre	professores	apresenta	menos	variabilidade	do	
que	a	distribuição	de	rendas	entre	ladrões.
Assim,	quando	se	deseja	entender,	analisar	e	descrever	de	forma	adequada	um	determinado	conjunto	
de	dados,	faz-se	necessário	dispor	não	apenas	de	informações	relativas	às	medidas	de	posição.	É	preciso	
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que	se	disponha	de	informações	relativas	à	variabilidade	(dispersão)	daqueles	números	que	compõem	o	
referido	conjunto	de	dados.	Essas	medidas	de	variabilidade	ou	dispersão	indicam	se	os	dados	observados	
estão	próximos	ou	separados	uns	dos	outros.
Diferente	das	medidas	de	posição,	as	medidas	de	dispersão	não	são	autoexplicativas,	sua	aplicabilidade	
depende	da	comparação	de	populações	ou	de	amostras	do	mesmo	tamanho	e	da	mesma	característica	
para	que	se	obtenha	alguma	informação	importante	a	partir	daquela	determinada	variabilidade.
As	principais	medidas	de	dispersão	são:	a	amplitude	total	(ou	intervalo),	o	desvio	médio,	a	variância	
e	o	desvio	padrão.	A	média	serve	de	referência	para	todas	essas	medidas,	exceto	para	o	intervalo	(ou	
amplitude	total).	À	proporção	que	essas	medidas	se	elevam,	isso	representa	um	aumento	da	dispersão,	
o	que	significa	que,	se	a	medida	for	igual	a	zero,	não	existe	dispersão.
As	medidas	de	variabilidade,	que	têm	a	média	aritmética	como	ponto	de	referência,	são	importantes	
porque	nos	permitem	avaliar	o	grau	de	dispersão	das	observações	em	relação	a	essa	mesma	média,	
isto	é,	permitem-nos	avaliar	o	quão	distante	os	dados	de	um	determinado	grupo	de	observações	estão	
da	média	 calculada,	 dando-nos	uma	noção	mais	 precisa	 da	 situação	de	determinada	população	ou	
amostra,	além	de	condições	de	tirar	conclusões	e	informações	importantes	daqueles	dados	disponíveis.
Exemplo 3
Um	estudante	de	economia	resolve	fazer	uma	pesquisa	sobre	os	salários	médios	dos	funcionários	
de	determinado	setor	industrial	em	São	Paulo.	Nessa	pesquisa,	esse	estudante	conseguiu	os	seguintes	
dados	em	termos	de	salários	mínimos	mensais:
xi	=	{1.0;	1.5;	2.0;	2.0;	2.0;	2.5;	3.0;	3.0;	80.0;	85.0}
Ao	calcular	o	salário	médio	desse	setor,	ele	chegou	ao	valor	médio	de	18,2	salários	mínimos	por	mês.	
Ora,	mas	esse	dado,	sem	o	cálculo	de	sua	dispersão	em	relação	à	média	aritmética,	pouco	nos	diz	sobre	
a	realidade	dessa	população,	e	acabamos	por	ter	uma	visão	distorcida	do	padrão	de	vida	da	maior	parte	
dos	funcionários	desse	setor	analisado	pelo	estudante.	As	medidas	de	variabilidade	ou	dispersão	nos	
permitem	perceber	essa	distorção.
Temos,	como	principais	medidas	de	dispersão,	intervalo,	desvio	médio,	variância	e	desvio	padrão.
As	 medidas	 mais	 comuns	 de	 variabilidade	 para	 dados	 quantitativos	 são	 a	 variância;	 a	 sua	 raiz	
quadrada	e	o	desvio	padrão.	A	amplitude	total,	a	distância	interquartílica	e	o	desvio	absoluto	são	mais	
alguns	exemplos	de	medidas	de	dispersão.
4.1 Amplitude total
O	intervalo ou	amplitude total de	determinado	conjunto	de	dados	é	obtido	pela	diferença	entre	o	
maior	e	o	menor	valor	nesse	conjunto	de	números.	Indica,	portanto,	a	distância	entre	a	maior	e	a	menor	
observação	de	um	conjunto	de	dados.	Assim,	temos:
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Estatística aplicada
Amplitudetotal	=	Valormáximo	-	Valormínimo
Por	exemplo,	num	conjunto	de	dados	xi	=	{2,	3,	3,	5,	5,	5,	8,	10,	12},	em	que	n	=	9,	a	amplitude	total	
será:
Atotal	=	Vmáximo	-	Vmínimo	=	12	-	2	=	10
Em	alguns	 casos,	 o	 intervalo	ou	amplitude	 total	 pode	 ser	 expresso	 simplesmente	pela	 indicação	
do	menor	e	do	maior	número	do	conjunto	de	dados.	No	caso	do	exemplo	anterior,	a	amplitude	total	
poderia	 ser	 expressa	 simplesmente	pela	 identificação	do	menor	 e	do	maior	número,	 indicada	 como	
sendo	de	(2	a	12)	ou	(2	–	12).
A	grande	vantagem	da	amplitude	total	é	que	ela	apresenta	certa	facilidade	de	ser	calculada,	mesmo	
quando	o	conjunto	de	dados	observados	é	relativamente	grande.	No	entanto,	como	a	amplitude	total	
apenas	leva	em	conta	os	dois	extremos	do	conjunto	de	números,	em	alguns	casos	ela	pode	ser	uma	
medida	enganosa	quanto	à	indicação	da	dispersão	de	um	conjunto	de	números,	tendo,	portanto,	uma	
utilidade	limitada.
O	intervalo	de	determinado	conjunto	de	dados	é	obtido	pela	diferença	entre	o	maior	e	o	menor	valor	
nesse	conjunto	de	números.
4.2 desvio médio absoluto
O	desvio	médio	absoluto	inaugura	o	estudo	das	medidas	de	variabilidade	que	têm	a	média	como	
ponto	de	referência.
O	chamado	desvio	nada	mais	é	que	a	diferença	entre	 cada	valor	de	determinado	conjunto	de	
dados	e	a	média	desse	mesmo	conjunto	de	números	 (xi	-	x).	O	valor	absoluto	de	um	número	será	
ele	próprio,	 sem	o	sinal	que	 lhe	é	associado,	e	é	 indicado	por	meio	de	duas	 linhas	verticais	que	o	
enquadram.
Assim,	|-67|	=	67;	|9|	=	9.
É	preciso	calcular	primeiro	a	média	aritmética	dos	dados	disponíveis,	que	em	geral	se	apresentam	
como	dados	amostrais.
O	 desvio	médio	 absoluto	 será	 calculado	 pela	média	 dos	 desvios	 dos	 valores	 a	 contar	 da	média,	
ignorando	o	sinal	(+	ou	-)	do	desvio,	ou	seja,	convertendo	os	valores	dos	desvios	em	valores	absolutos,	
considerando-os	todos	desvios	positivos.	Assim,	temos:
Dmédio	=	
x x
n
i
i
n
−
=
∑
1
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Em	que	n	é	o	número	de	observações.
Vamos,	agora,	tomar	um	exemplo	de	desvio	médio.	Num	conjunto	de	dados	amostrais	xi	=	{2,	4,	6,	8,	10,	12},	
em	que	n	=	6,	determine	o	desvio	médio.	Temos,	então:
Dmédio	=
x x
n
i −∑
Precisamos,	primeiro,	calcular	a	média,	para	então	passarmos	ao	cálculo	do	desvio	médio.	Relembrando	
a	fórmula	do	cálculo	da	média	aritmética,	temos:
x
x
n
x xi= ⇒ =
+ + + + +
= ⇒ =
∑ 2 4 6 8 10 12
6
7 7
Agora,	podemos	calcular	os	desvios	para	cada	valor	do	conjunto	de	dados.	Assim,	temos:
xi - x
Dmédio	=	 x x
n
i −
=
− + − + − + + +∑ 5 3 1 1 3 5
6
Dmédio	=	
5 3 1 1 3 5
6
3
+ + + + +
=
Dmédio	=	3
2	–	7 -	5
4	–	7 -	3
6	–	7 -	1
8	–	7 	1
10	–	7 	3
12	–	7 	5
Σ 	0
Figura	16
O	valor	encontrado	anteriormente	representa	a	diferença	média	de	cada	observação	e	a	média	da	
distribuição,	mas	também	nesse	caso	só	seria	possível	obter	mais	informações	a	partir	do	desvio	médio	
comparando	 com	outras	 populações	 ou	 amostras	 de	mesmas	 características.	 Por	 exemplo,se	 outro	
conjunto	de	dados,	com	as	mesmas	características	e	tamanho,	apresentasse	um	desvio	médio	absoluto	
igual	a	2,4,	ou	seja,	menor	que	o	desvio	médio	absoluto	calculado	no	exemplo	anterior,	poder-se-ia	dizer	
que	esse	segundo	conjunto	de	valores	é	mais	homogêneo	do	que	o	nosso	exemplo,	já	que	a	diferença	
de	cada	um	dos	seus	elementos	em	relação	à	média	aritmética	é	menor.	Teríamos,	assim,	uma	dispersão	
menor.
O	desvio	é	que	a	diferença	entre	cada	valor	de	determinado	conjunto	de	dados	é	a	média	desse	
mesmo	conjunto	de	números.
4.3 Variância
Como	no	cálculo	do	desvio	médio,	para	o	cálculo	da	variância,	precisaremos	utilizar	o	desvio	de	
cada	elemento	de	um	conjunto	de	dados	em	relação	à	média	aritmética	(xi	-	x).	No	entanto,	ao	invés	de	
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Estatística aplicada
trabalharmos	com	os	valores	absolutos	(em	módulo),	agora	os	desvios	são	elevados	ao	quadrado	antes	
da	soma.	Para	o	caso	de	dados	amostrais,	ao	invés	de	dividirmos	por	n,	dividimos	por	n	–	1	(que	é	o	total	
da	amostra	menos	uma	unidade).
A	variância	irá	nos	dizer	o	grau	de	dispersão	de	determinado	grupo	de	dados	com	relação	à	média	
aritmética	desses	números.	Assim,	a	variância	populacional	poderá	ser	calculada	da	seguinte	forma:
σ
µ2
2
=
−∑ ( )x
n
i ,	onde
σ2:	Variância	populacional;
xi:	Cada	observação	do	conjunto	de	
dados	populacional;
µ:	Média	da	população;
n:	Número	de	observações.
A	variância	amostral	poderá	ser	calculada	pela	seguinte	fórmula:
s
x x
n
i2
2
1
=
−
−
∑ ( ) ,	onde
s2:	Variância	da	amostra;
xi:	Cada	observação	do	conjunto	
amostral;	
x:	Média	da	amostra;
n:	Número	de	observações	da	
amostra.
Por	exemplo,	seja	determinado	conjunto	de	dados	xi	=	{1,	3,	5,	7,	9,	11,	13},	em	que	n	=	7.	Calcule	a	
variância	desse	conjunto	de	dados,	supondo:
•	 que	esse	conjunto	de	dados	representa	toda	uma	população;
•	 que	esse	conjunto	de	dados	representa	uma	amostra.
A)	Para	calcular	a	variância	desse	conjunto	de	dados,	considerando	que	ele	 representa	toda	uma	
população,	devemos	utilizar	a	seguinte	fórmula:
σ
µ2
2
=
−∑ ( )x
n
i
Devemos	passar	ao	cálculo	da	média	desse	conjunto	de	dados	para,	então,	proceder	ao	cálculo	da	
variância.	Sendo	assim,	temos:
µ µ
µ
= ⇒ =
=
+ + + + + +
=
=
∑ x
n
i
1 3 5 7 9 11 13
7
7
7
	(média	populacional)
42
Unidade i
Re
vi
sã
o:
 A
nd
ré
ia
 G
om
es
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: L
éo
 -
 0
1/
08
/2
01
2
Partindo	da	média,	podemos	agora	calcular	os	desvios	e	partir	para	o	cálculo	da	variância	populacional,	
já	que	supomos	que	o	conjunto	de	dados	representava	toda	a	população.	Assim,	temos:
µ xi - µ (xi - µ)
2
σ
µ
σ
σ
2
2
2
2 2 2 2 2 2
2
6 4 2 2 4 6
7
36 16 4 4 16
=
−
=
+ + + − + − + −
=
+ + + + +
∑( )
( ) ( ) ( )
x
N
i
336
7
16
162
=
=σ
7 7	–	1	=	6 62
7 7	–	3	=	4 42
7 7	–	5	=	2 22
7 7	–	7	=	0 0
7 7	–	9	=	-	2 (-2)2
7 7	–	11	=	-	4 (-4)2
7 7	–	13	=	-	6 (-6)2
Σ 0 112
Figura	17
Desse	modo,	a	variância	populacional	desse	conjunto	de	dados	seria	igual	a	16.
B)	Se,	por	outro	lado,	temos	o	mesmo	conjunto	de	dados	e	supondo	que	ele	representa	apenas	dados	
amostrais,	devemos	calcular	a	variância	amostral	de	outra	forma,	partindo	do	cálculo	da	média	
para,	então,	calcularmos	a	variância.
Como	vimos	no	item	2,	a	expressão	para	o	cálculo	da	média	aritmética	em	uma	amostra	é	a	mesma	
do	cálculo	da	média	para	uma	população,	mas	utilizaremos	para	as	amostras	outra	notação.	Vejamos:
x
x
n
xi= ⇒ =∑ 7 	(média	amostral).
Normalmente,	a	média	amostral	aproxima-se	da	média	populacional	quanto	maior	o	tamanho	da	
amostra,	mas	não	se	iguala	a	ela.
Passemos,	então,	ao	cálculo	da	variância	amostral.	Utilizaremos	os	mesmos	passos	do	cálculo	da	
variância	populacional.	Dessa	forma:
s
x x
n
i2
2
1
=
−
−
∑ ( )
x xi - x (xi - x)
2
S
x x
n
S
S
i2
2
2
2 2 2 2 2 2
2
1
6 4 2 2 4 6
7 1
36 16 4 4
=
−
−
=
+ + + − + − + −
−
=
+ + +
∑( )
( ) ( ) ( )
++ +
−
=
=
16 36
7 1
112
6
18 6662S , ...
7 7	–	1	=	6 62
7 7	–	3	=	4 42
7 7	–	5	=	2 22
7 7	–	7	=	0 0
7 7	–	9	=	-	2 (-2)2
7 7	–	11	=	-	4 (-4)2
7 7	–	13	=	-	6 (-6)2
Σ 0 112
Figura	18
43
Re
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o:
 A
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om
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 -
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01
2
Estatística aplicada
A	variância	amostral	desse	conjunto	de	dados	é	igual	a	18,666.
Como	a	média	aritmética,	a	variância	possui	algumas	propriedades	importantes	que	devemos	colocar	
em	destaque	e	que	facilitam	o	cálculo	de	alguns	problemas	mais	complexos.
A)	Somando-se	ou	subtraindo-se	uma	constante	a	cada	elemento	de	um	conjunto	de	dados,	o	valor	
da	variância	não	se	altera.
Por	exemplo,	um	conjunto	de	dados	xi	=	{2,	4,	6,	8},	em	que	n	=	4,	e	a	média	é	igual	a	5.	A	variância	
desse	conjunto	será	dada	como	segue:
σ
µ
σ
σ
2
2
2
2 2 2 2
2
2 2
2 5 4 5 6 5 8 5
4
3 1
=
−
⇒ =
− + − + − + −
=
−( ) + −( )
∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x
n
i
++ +
=
+ + +
= =
1 3
4
9 1 1 9
4
20
4
5
2 2
Se	somarmos	uma	constante	c	=	4	a	cada	um	dos	elementos	do	conjunto	de	dados,	temos	um	novo	
conjunto	de	dados	yi	=	{6,	8,	10,	12},	em	que	a	média	será	igual	a	9.	A	variância	será,	então:
σ
µ
σ
2
2 2
2 2 2 2 2
2
2
2
6 9 8 9 10 9 12 9
4
3 1
=
−
=
−( ) + −( ) + −( ) + −( )
=
−( ) + −(
∑ ( )y
n
i
)) + ( ) + ( )
=
+ + +
= =
2 2 21 3
4
9 1 1 9
4
20
4
5
Sendo	assim,	demonstramos	que	σ σ2 2
2 = 	=,	ou	seja,	ao	somarmos	uma	constante	a	cada	elemento	
de	um	conjunto	de	dados,	a	variância	permanece	a	mesma.
B)	Ao	multiplicarmos	uma	constante	c	a	cada	elemento	de	um	conjunto	de	dados,	temos	uma	nova	
variância	ao	multiplicarmos	a	variância	do	conjunto	de	dados	original	por	c2.
Assim,	a	nova	variância	será	representada	da	seguinte	forma:
σ σ2
2 2
1
2
= c .
C)	Ao	dividirmos	cada	elemento	de	um	conjunto	de	dados	por	uma	constante	arbitrária	c,	obtemos	
a	nova	variância	dividindo-se	a	antiga	variância	por	c2.
Assim,	podemos	apresentar	a	nova	variância	da	seguinte	forma:
σ
σ
2
2 1
2
2= c
D)	A	variância	de	uma	constante	é	igual	a	zero.
44
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2
Existe	uma	fórmula	alternativa	e	reduzida	para	o	cálculo	da	variância	populacional,	deduzida	da	
fórmula	original,	que	é:
σ µ2
2
2
= −
∑ x
n
i
Para	a	variância	amostral,	também	existe	uma	fórmula	alternativa	bastante	utilizada	que	não	exige	
o	cálculo	da	média	e	que	decorre	da	fórmula	anterior:
s
x x n
nx
i i2
2 2
1
=
−
−
∑ ∑( )
 lembrete
Relembrando	as	propriedades	de	variância:
•	 ao	somarmos	uma	constante	a	cada	elemento	de	um	conjunto	de	dados,	a	variância	permanece	
a	mesma;
•	 ao	multiplicarmos	uma	constante	c	a	cada	elemento	de	um	conjunto	de	dados,	temos	uma	nova	
variância	ao	multiplicarmos	a	variância	do	conjunto	de	dados	original	por	c2;
•	 ao	dividirmos	cada	elemento	de	um	conjunto	de	dados	por	uma	constante	arbitrária	c,	obtém-se	
a	nova	variância	dividindo-se	a	antiga	variância	por	c2;
•	 variância	de	uma	constante	é	igual	a	zero.
 Saiba mais
Para	aprofundamento	do	tema	desta	unidade,	seguem	alguns	links	que	
podem	auxiliá-lo:
“Métodos	 quantitativos	 e	 estatísticos	 para	 a	 tomada	 de	 decisão”.	
Disponível	 em:	 <http://www.santahelena.ueg.br/posgraduacao/mba/2007/
download/metodosquantitativos/METODOS_QUANTITATIVOS_PARTE_I.pdf>.