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52 Unidade II Re vi sã o: A nd ré ia G om es - D ia gr am aç ão : L éo - 0 1/ 08 /2 01 2 Unidade II 5 DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS Ao longo de nosso estudo, observamos que, para extrair dos dados estatísticos de que dispomos a correta análise e interpretação, o primeiro passo deverá ser a correta organização e sumarização desses dados; caso contrário, esses números não farão qualquer sentido. Além disso, dependendo do tamanho do nosso conjunto de dados, podemos organizá-los em um rol de dados simples, ou seja, por ordem de grandeza (crescente ou decrescente), ou em rol (novamente ordenando o conjunto de dados) e, posteriormente, tabelando sua distribuição de frequências. A distribuição de frequências é o modo de tratamento de dados utilizado quando é grande a quantidade de dados brutos, e passamos a agrupar os dados estatísticos em subconjuntos com características semelhantes – as classes ou categorias. A distribuição de frequência é a organização de dados em classes ou intervalos, para determinar o número de observações ou a percentagem de observações de cada classe, chamada de frequência de classes. Para apresentar esses dados, podemos utilizar gráficos e tabelas, bem como as medidas de posição e variabilidade para interpretá-los, mas não sem organizá-los previamente em uma distribuição, sem a qual ficaria impossível o cálculo de algumas das medidas necessárias, como média, variância etc. Tabela 6 Tabela 4.1 Idade de 100 estudantes formandos do curso de Gestão de uma Universidade em dez/2006 Idade Número de estudantes (fi) 20 a 22 8 22 a 24 10 24 a 26 12 26 a 28 20 28 a 30 17 30 a 32 15 32 a 34 9 34 a 36 5 36 a 38 3 38 a 40 1 Total = 100 53 Re vi sã o: A nd ré ia G om es - D ia gr am aç ão : L éo - 0 1/ 08 /2 01 2 EstatístIca aplIcada A tabela anterior é uma distribuição de frequências das idades dos estudantes que estão se formando no curso de Gestão de determinada universidade fictícia. A primeira classe corresponderia ao grupo de formandos em Gestão no ano de 2006 e que têm entre 20 e 22 anos, e é indicada pelo símbolo 20 |— 22. A frequência dessa classe corresponde a 8, porque existem 8 estudantes cuja idade faz parte dessa classe. Representação dos intervalos reais: Intervalo fechado nas duas extremidades a b Que será [a,b], ou ainda {x ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b}. Intervalo aberto nas duas extremidades a b Que será ]a,b[, ou ainda {x ∈ ℝ | a < x < b}. Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita a b Que será [a,b[, ou ainda [a,b) = {x ∈ ℝ | a ≤ x < b}. Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita a b Que será (a,b], ou ainda ]a,b] = {x ∈ ℝ | a < x ≤ b}. Saiba mais Para mais informações a respeito da Teoria dos Conjuntos, ler o material “Elementos de Lógica Matemática e Teoria dos Conjuntos”. Disponível em: <http://www.ciul.ul.pt/~amfern/am1/documents/logTeoConj.pdf>. Acesso em: 24 jul. 2012. 5.1 A construção de uma distribuição de frequências para dados contínuos Para se construir determinada distribuição de frequências, é preciso, em primeiro lugar, definir o tipo de variável em questão, para depois definir os passos que devem ser seguidos para a construção dessa 54 Unidade II Re vi sã o: A nd ré ia G om es - D ia gr am aç ão : L éo - 0 1/ 08 /2 01 2 distribuição. Vamos supor o conjunto de dados a seguir, referente às idades de uma amostra de 100 alunos formandos em Gestão de uma universidade: Tabela 7 Tabela 4.2 Dados das idades dos estudantes formandos de Gestão da Universidade 20 20,4 20,5 21 21 22 22 22 22,1 22,2 22,3 22,5 22,6 22,7 22,8 22,9 23 24 24,1 24,2 24,3 24,4 24,5 25 25 25,3 25,5 25,7 26 26 26,2 26,3 26,4 26,5 26,6 26,7 26,8 26,9 27 27 27,1 27,2 27,3 27,4 28 28 28 28 28 28 28,2 28,3 28,5 29 29 29 29 29,1 29,1 29,2 29,3 29,4 29,5 29,5 30 30 30 31 31 31 31 31,1 31,2 31,3 31,4 31,5 31,6 31,6 32 32 32 32 32,3 33 33 33 34 34 34 34 34 34,5 35 35 36 36 37 37,5 38 40 Como podemos observar, os dados já estão dispostos em ordem crescente de grandeza, em um rol, muito embora se trate de um conjunto de números superior a trinta observações. Essa amostra diz respeito às idades dos alunos de determinada universidade fictícia que estão se formando no curso de Gestão. Estamos considerando, portanto, uma variável quantitativa contínua. Uma variável quantitativa contínua é aquela que pode assumir qualquer valor num intervalo contínuo, ou seja, um valor numérico que pertence ao conjunto dos números reais (ℝ). Como vimos, tratar um conjunto de dados sob a forma de uma distribuição de frequências significa organizá-los em intervalos de classes. Precisamos, então, definir o número de classes, o tamanho dessas classes, para então enquadrar os dados nas classes pela simples contagem desses dados amostrais. A primeira coisa que devemos fazer ao nos depararmos com um conjunto de dados como esse apresentado na tabela 7 é procurar calcular a amplitude total (ou intervalo). Nesse caso, será muito mais fácil, já que os números estão dispostos em um rol. Conforme vimos, a amplitude total (ou intervalo) poderá ser calculada da seguinte forma: Atotal = Vmáximo – Vmínimo Atotal = 40 - 20 = 20 No caso do nosso exemplo, a amplitude total será igual a 20. O valor da amplitude total será importante porque, juntamente com o número de classes, definirá a chamada “amplitude de classes”. Mas como, então, estabelecer o número de classes? A teoria estatística tem se desenvolvido ao longo dos anos e chegou ao consenso de que é aconselhável estabelecer o número de classes entre um 55 Re vi sã o: A nd ré ia G om es - D ia gr am aç ão : L éo - 0 1/ 08 /2 01 2 EstatístIca aplIcada mínimo de cinco e um máximo de vinte classes. Uma distribuição de frequências que possua mais de vinte classes torna a apresentação dos dados muito confusa e de difícil avaliação. Se estabelecermos um número de classes inferior a cinco, podemos correr o risco de ocultar informações importantes sobre os dados disponíveis. Quando se quer determinar o número de classes em função do conjunto de dados disponíveis, basta tirarmos a raiz quadrada de n, em que n corresponderia ao total de observações (seja da população ou da amostra). Sendo assim, temos: Númeroclasses = n No caso do exemplo apresentado anteriormente, temos um total de observações n = 100; portanto, o número de classes será igual a 10. Vejamos: N n N classe classe = = =100 10 Observação Regra da raiz: dar prioridade ao seu uso quando os dados não superam os 60 elementos. Númeroclasse = n Regra de Sturges Númeroclasse = 1 + 3,3.logn Uma vez estabelecido o número de classes, é preciso pensar qual será o tamanho de cada classe, ou, dito de outra forma, faz-se necessário determinar a amplitude de classe dessa distribuição de frequências. Para isso, calculamos a amplitude total dessa distribuição, a qual corresponde a uma medida absoluta de variabilidade. A amplitude de classes será calculada, então, tomando-se o valor da amplitude total e dividindo-se pelo número de classes. Assim, temos: AmplitudetotalAmplitudeclasses = ------------------------------- Númeroclasses 56 Unidade II Re vi sã o: A nd ré ia G om es - D ia gr am aç ão : L éo - 0 1/ 08 /2 01 2 Seguindo o exemplo em que estamos trabalhando, já fizemos o cálculo da amplitude total e do número de classes; podemos, então, passar para o cálculo da amplitude de classes do exemplo. Temos: A A N A classes total classes classes= = = 20 10 2 A amplitude das classes da distribuição de frequências que estamos procurando construir em nosso exemplo será igual a dois. Isso representa o intervalo ou o tamanho de cada classe no qual iremos dispor nossos dados. É importante ressaltar que uma distribuição de frequência não obrigatoriamente apresenta uma única amplitude de classes, posto que mantenha a composição estrutural da distribuição. Temos agora o número de classes, a amplitude de classes, e podemos então calcular o intervalo de classes. O intervalo de classes é composto por um limite inferior (número menor) e por um limite superior (número maior). Os limites inferiores e superiores podem ou não estar incluídos no intervalo de classes, existindo uma simbologia própria dentro da estatística para se expressar isso. Então, vejamos exemplos a partir da tabela 6: A) 20 |—| 22: diz-se que é um intervalo fechado à esquerda e à direita, pois tanto o 20 quanto o 22 participam do intervalo; B) 22 —| 24: diz-se que esse é um intervalo aberto à esquerda e fechado à direita, já que o limite inferior, 22, não participa do intervalo, ao passo que o limite superior participa; C) 20 |— 22: caso o exemplo se apresentasse assim, teríamos um intervalo de classe fechado à esquerda e aberto à direita, já que o limite inferior participa do intervalo, mas o limite superior não; D) 20 — 22: aqui, teríamos um intervalo de classe aberto à esquerda e à direita, em que nem o limite inferior nem o limite superior participam do intervalo. Após o cálculo do número e da amplitude de classes, devemos definir o limite inferior e o limite superior de cada classe, começando com o menor valor. Em nosso exemplo, podemos calcular as classes da seguinte forma: Para a primeira classe: • limite inferior: 20; • limite superior: 20 + amplitude de classe = 20 + 2 = 22. Para a segunda classe: • limite inferior: limite superior da classe anterior = 22; • limite superior: limite inferior da segunda classe + amplitude de classes = 22 + 2 = 24. 57 Re vi sã o: A nd ré ia G om es - D ia gr am aç ão : L éo - 0 1/ 08 /2 01 2 EstatístIca aplIcada E assim sucessivamente até a classe de número 10, em nosso exemplo, que terá como limite inferior 38 e como limite superior 40. É importante frisar que determinado valor não pode pertencer a mais de uma classe, mas, por outro lado, para cada valor deve haver uma classe, não permitindo a existência de lacunas na fixação dessas mesmas classes. Uma vez definido o número e a amplitude total de classes, a partir delas podemos estabelecer a amplitude de classes e também definir os limites superior e inferior de cada classe. Resta agora confrontar nossas classes com as observações de que dispomos na tabela 7. Mediante contagem, devemos construir nossa distribuição de frequência fixando cada observação numa classe determinada. Quando indicamos o número de observações existentes em dado intervalo, temos a chamada frequência absoluta simples (fi). A frequência absoluta é o número de vezes que o dado aparece naquele determinado conjunto de números, ou seja, em uma amostra ou população da pesquisa a ser estudada. É importante destacar que nenhuma classe poderá apresentar frequência absoluta igual a zero. Assim, uma primeira construção que podemos fazer para nos levar à tabela 6 é estabelecer os intervalos de frequência em cada classe, só que agora colocando a notação estatística em cada intervalo de classe. Então, temos: Tabela 8 Tabela 4.3 Distribuição de frequência das idades Classes Frequência absoluta simples 20 |- 22 5 22 |- 24 12 24 |- 26 11 26 |- 28 16 28 |- 30 20 30 |- 32 14 32 |- 34 8 34 |- 36 8 36 |- 38 4 38 |- 40 2 ∑ 100 É importante ressaltar que, na construção da distribuição de frequências anterior, devemos respeitar os valores estabelecidos para cada intervalo de classe, ou seja, para o primeiro intervalo de classe, há o valor do limite inferior e do limite superior, que serão indicados pelo intervalo fechado à esquerda e pelo intervalo aberto à direita, ou seja, tem que colocar a quantidade de frequência compreendida entre 20 (limite inferior) e menor que 22 (limite superior); existem cinco valores compreendidos no primeiro intervalo de classe. 58 Unidade II Re vi sã o: A nd ré ia G om es - D ia gr am aç ão : L éo - 0 1/ 08 /2 01 2 No segundo intervalo de classe, que tem 22 como limite inferior e 24 como limite superior, será colocada a quantidade de frequência compreendida entre 22 e menor que 24; existem doze valores, e assim se vai determinando a quantidade de frequência para cada classe, até chegar à última classe, conforme a tabela 8. A seguir, devemos calcular as frequências absolutas simples acumuladas (fi, A). Frequência absoluta simples acumulada indica o número de observações acumuladas até o limite superior de uma classe. Por exemplo, na terceira classe, teríamos trinta alunos com idade entre 20 e 26 anos formando-se em Gestão. Vejamos como ficaria a nova tabela, incluindo a nova notação da frequência acumulada: Tabela 9 Classes Frequência absoluta simples (fi) Frequência absoluta simples acumulada (fi, A) 20 |- 22 5 5 22 |- 24 12 17 24 |- 26 11 28 26 |- 28 16 44 28 |- 30 20 64 30 |- 32 14 78 32 |- 34 8 86 34 |- 36 8 94 36 |- 38 4 98 38 |- 40 2 100 ∑∑ 100 Outro dado importante que podemos extrair da construção de uma distribuição de frequências é a frequência relativa simples (fi, R), que nos mostra a participação relativa do número de observações em uma dada classe, e deverá ser calculada da seguinte forma: f R f i i i , = ∑ , geralmente expresso em percentual. A soma das frequências relativas de todas as classes será igual a 1, se expressa em forma fracionária, ou a 100%, se expressa em percentual. No caso da distribuição de frequências que estamos construindo, temos agora a seguinte tabela: 59 Re vi sã o: A nd ré ia G om es - D ia gr am aç ão : L éo - 0 1/ 08 /2 01 2 EstatístIca aplIcada Tabela 10 Classes fi fi, A fi, R 20 |- 22 5 5 0,05 22 |- 24 12 17 0,12 24 |- 26 11 28 0,11 26 |- 28 16 44 0,16 28 |- 30 20 64 0,20 30 |- 32 14 78 0,14 32 |- 34 8 86 0,08 34 |- 36 8 94 0,08 36 |- 38 4 98 0,04 38 |- 40 2 100 0,02 ∑ 100 1 O cálculo da frequência relativa de cada intervalo de classe da tabela acima que será expressa na unidade de percentagem será: f f f f R i i R = = = ∑ 5 100 0 05, Para expressar esse valor na unidade de porcentagem, basta multiplicá-lo por 100%: fR = 0,5 x 100% fR = 5% 5.2 A construção de uma distribuição de frequências para dados discretos Na construção de frequência para dados discretos, basta criar uma coluna representando a posição de cada frequência e na frente estabelecer a quantidade de vezes em que a frequência aparece dentro da amostra ou da população de uma série de estudo ordenadamente. Por exemplo: X: {0, 2, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 0, 1, 3, 2, 2, 0} Fazendo o rol da pesquisa, temos: X: {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3} 60 Unidade II Re vi sã o: A nd ré ia G om es - D ia gr am aç ão : L éo - 0 1/ 08 /2 01 2 Tabela 11 xi fi 0 8 1 5 2 5 3 2 Pode-se dizer, então, que distribuição de frequências é uma maneira de representar uma coleção de dados classificando-os de modo a mostrar o quanto cada dado se repete. É importante considerar, na distribuição de frequência, a possibilidade de apresentar as chamadas distribuições especiais. Como exemplo, pode-se citar a distribuição de frequências de probabilidadese de frequências de amostragens. 5.3 Representações gráficas de dados agrupados Como mencionado anteriormente, a confecção de gráficos permite melhor visualização dos dados, mostrando mais claramente as diferenças existentes. Os gráficos mais comuns são o gráfico de setor, de coluna ou de barra e o gráfico de curva. O tipo de gráfico a ser utilizado depende do que se deseja enfatizar. Assim, o gráfico de coluna ou de barra mostra diferenças entre os valores absolutos; o gráfico de curva é utilizado quando se deseja mostrar variações ao longo do tempo, e o gráfico de setor, também conhecido como “gráfico de pizza”, é utilizado quando se deseja ressaltar diferenças entre proporções. Esses gráficos podem ser facilmente feitos em planilhas eletrônicas, por exemplo, no Excel. No caso de dados agrupados, ou de distribuições de frequência, a representação gráfica utilizada é o histograma ou, ainda, o polígono de frequência. Lembrete Histograma: é a representação gráfica de uma distribuição de frequência por meio de retângulos justapostos, em que a base colocada no eixo horizontal corresponde à amplitude dos intervalos de classe e a altura é proporcional à frequência das classes. Polígono de frequências: é a representação gráfica de uma distribuição de frequência por meio de um polígono. Cada vértice do polígono tem como abscissa o ponto médio de classe e ordenada proporcional à frequência dessa classe. 61 Re vi sã o: A nd ré ia G om es - D ia gr am aç ão : L éo - 0 1/ 08 /2 01 2 EstatístIca aplIcada Exemplo: salários de funcionários de determinada empresa: Tabela 12 Intervalos Salários fi (fi Ac.) 15750 |-- 29000 29000 238 238 29000 |-- 42250 42250 144 382 42250 |-- 55500 55500 35 417 55500 |-- 68750 68750 29 446 68750 |-- 82000 82000 16 462 82000 |-- 95250 95250 6 468 92250 |-- 10850 108500 4 472 108500 |-- 121750 121750 1 473 121750 |-- 135000 135000 0 473 A) Histograma 15.750 29.000 42.250 55.500 68.750 82.000 95.250 108.500 121.750 135.000 250 225 200 175 150 125 100 75 50 25 0 238 144 35 29 16 6 4 1 1 Figura 19 Observação A área de um histograma é proporcional à soma das frequências. 62 Unidade II Re vi sã o: A nd ré ia G om es - D ia gr am aç ão : L éo - 0 1/ 08 /2 01 2 B) Polígono de frequência 15.750 29.000 42.250 55.500 68.750 82.000 95.250 108.500 121.750 135.000 250 225 200 175 150 125 100 75 50 25 0 238 144 35 29 16 6 4 1 1 Figura 20 Lembrete Estatística descritiva é o nome dado ao conjunto de técnicas analíticas utilizadas para resumir o conjunto de todos os dados coletados numa dada investigação a relativamente poucos números e gráficos. A estatística descritiva envolve basicamente: Distribuição de frequência: é o conjunto das frequências relativas observadas para um dado fenômeno estudado, sendo sua representação gráfica o histograma (diagrama em que o eixo horizontal representa faixas de valores da variável aleatória e o eixo vertical representa a frequência relativa). Por uma consequência da Lei dos Grandes Números, quanto maior o tamanho da amostra, mais a distribuição de frequência tende para a distribuição de probabilidade. Fr eq uê nc ia re la tiv a (% ) Faixas da variável aleatória A B C E F 50 40 30 20 10 0 Figura 21 – Histograma Medidas da tendência central: são indicadores que permitem que se tenha uma primeira ideia, um resumo de como se distribuem os dados de um experimento, informando o valor (ou faixa de valores) da variável aleatória que ocorre mais tipicamente. Ao todo, são três os parâmetros: 63 Re vi sã o: A nd ré ia G om es - D ia gr am aç ão : L éo - 0 1/ 08 /2 01 2 EstatístIca aplIcada • média: é a soma de todos os resultados dividida pelo número total de casos, podendo ser considerada como um resumo da distribuição como um todo; • moda: é o evento ou a categoria de eventos que ocorreu com maior frequência, indicando o valor ou a categoria mais provável; • mediana: é o valor da variável aleatória a partir do qual metade dos casos se encontra acima dele e metade, abaixo. Fr eq uê nc ia re la tiv a (% ) Faixas da variável aleatória A B C E F 50 40 30 20 10 0 Tendência central Figura 22 – Histograma Medidas de dispersão: são medidas da variação de um conjunto de dados em torno da média, ou seja, da maior ou menor variabilidade dos resultados obtidos. Elas permitem identificar até que ponto os resultados se concentram ou não ao redor da tendência central de um conjunto de observações. Incluem a amplitude, o desvio médio, a variância, o desvio padrão, o erro padrão e o coeficiente de variação, cada um expressando diferentes formas de quantificar a tendência que os resultados de um experimento aleatório têm de se concentrarem ou não em determinados valores (quanto maior a dispersão, menor a concentração e vice-versa). Fr eq uê nc ia re la tiv a (% ) Faixas da variável aleatória A B C E F 50 40 30 20 10 0 Dispersão Figura 23 – Histograma A ideia básica é a de se estabelecer uma descrição dos dados relativos a cada uma das variáveis, dados esses levantados por meio de uma amostra. Façamos alguns exemplos para tornar as definições e suas aplicações técnicas mais claras: Exemplo 1 A empresa JCC fez levantamento entre 30 funcionários para descobrir o número de filhos dos seus funcionários. Foram encontrados os seguintes valores: 64 Unidade II Re vi sã o: A nd ré ia G om es - D ia gr am aç ão : L éo - 0 1/ 08 /2 01 2 1 4 2 5 3 2 0 3 2 1 5 4 2 5 0 3 2 4 2 3 2 3 2 1 4 2 1 3 4 2 Responda às questões a seguir, para x = 2 e x = 4. Obs.: X é o número de funcionários, então vamos responder: A) Quantos empregados têm dois filhos? B) Quantos empregados têm menos de dois filhos? C) Quantos empregados têm mais de dois filhos? D) Quantos empregados têm quatro filhos? E) Quantos empregados têm menos de quatro filhos? F) Quantos empregados têm mais de quatro filhos? Solução Rol (dados em ordem crescente): 0 0 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 Tabela 13 – Distribuição de frequências X F fr f % F ↓ F ↑ F% ↓ F% ↑ 0 2 0,067 6,7 2 30 6,7 100 1 4 0,133 13,3 6 28 20 93,3 2 10 0,333 33,3 16 24 53,3 80 3 6 0,2 20 22 14 73,3 46,7 4 5 0,167 16,7 27 8 90 26,7 5 3 0,1 10 30 3 100 10 Total 30 1 100 - - - - Como analisar a situação: A questão “A” – quantos empregados têm dois filhos – pode ser observada pela frequência absoluta simples “F”. Observe a segunda coluna, 10 funcionários apontaram ter 2 filhos. A questão “B” – quantos empregados têm menos de dois filhos – pode ser observada na coluna F ↓ (frequência absoluta acumulada “abaixo de”, a qual aponta que 6 funcionários têm menos de dois filhos (2 têm zero filho e 4 têm um filho). 65 Re vi sã o: A nd ré ia G om es - D ia gr am aç ão : L éo - 0 1/ 08 /2 01 2 EstatístIca aplIcada Obs. Se a pergunta fosse quantos funcionários têm de 2 filhos para baixo, a resposta seria 16. A questão “C” – quantos empregados têm mais de dois filhos – pode ser observada na colunade F ↑ (frequência absoluta acumulada “acima de”). Ou seja, funcionários com 3, 4 ou 5 filhos são 14 no total. Se a pergunta fosse de dois para cima, a resposta seria 24, pois incluiria os funcionários com 2 filhos. Seguindo o mesmo processo, o aluno agora pode responder, para quatro filhos, às questões D, E e F. ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ Resposta: D = 5 E = 22 F = 3 Exemplo 2 Determinado laboratório realizou exames de urina em um grupo de pacientes com o objetivo de encontrar a quantidade de creatina (em miligramas por 100 mililitros) em pacientes com apresentação de problemas renais. Os dados encontrados foram: 1,51 1,65 1,58 1,54 1,65 1,40 1,61 1,08 1,81 1,38 1,56 1,83 1,69 1,22 1,22 1,68 1,47 1,68 1,49 1,80 1,33 1,83 1,50 1,46 1,67 1,60 1,23 1,54 1,73 1,43 2,18 1,46 1,53 1,60 1,59 1,49 1,46 1,72 1,56 1,43 1,69 1,15 1,89 1,47 2,00 1,58 1,37 1,40 1,76 1,62 1,96 1,66 1,51 1,31 2,29 1,58 2,34 1,66 1,71 1,44 1,66 1,36 1,43 1,26 1,47 1,52 1,57 1,33 1,86 1,75 1,57 1,83 1,52 1,66 1,90 1,59 1,47 1,86 1,73 1,55 1,52 1,40 1,86 2,02 Solução Rol (dados em ordem crescente) 1,08 1,15 1,22 1,22 1,23 1,26 1,31 1,33 1,33 1,36 1,37 1,38 1,40 1,40 1,40 1,43 1,43 1,43 1,44 1,46 1,46 1,46 1,47 1,47 1,47 1,47 1,49 1,49 1,50 1,51 1,51 1,52 1,52 1,52 1,53 1,54 1,54 1,55 1,56 1,56 1,57 1,57 1,58 1,58 1,58 1,59 1,59 1,60 1,60 1,61 1,62 1,65 1,65 1,66 1,66 1,66 1,66 1,67 1,68 1,68 1,69 1,69 1,71 1,72 1,73 1,73 1,75 1,76 1,80 1,81 1,86 1,86 1,86 1,86 1,86 1,86 1,89 1,90 1,96 2,00 2,02 2,18 2,29 2,34 66 Unidade II Re vi sã o: A nd ré ia G om es - D ia gr am aç ão : L éo - 0 1/ 08 /2 01 2 Amplitude total (dá uma ideia do campo de variação dos dados) A = LS - LI = (2,34) - (1,08) = 1,26 Fazendo uma análise dos resultados da quantidade de creatinina encontrada na urina dos 84 pacientes, verificou-se que ocorreu uma variação de 1,26 no seu campo (de 1,08 a 2,34). Estabelecer o número de classes (c): c = 1+3,3.log n c = 1+3,3.log(84) c ≅ 7,414 c = 7 Estabelecer o intervalo de classe (i): i = A/c = (1,26)/7 = 0,14 Construção da tabela: Tabela 14 Classes fi Pm fr f % F% ↓ F% ↑ F ↓ F ↑ 1,08 |— 1,26 5 1,17 0,059 5,9 5,9 100 5 84 1,26 |— 1,44 13 1,35 0,155 15,5 21,4 94,1 18 79 1,44 |— 1,62 32 1,53 0,381 38,1 59,5 78,6 50 66 1,62 |— 1,80 18 1,71 0,214 21,4 80,9 40,5 68 34 1,80 |— 1,98 11 1,89 0,131 13,1 94,0 19,1 79 16 1,98 |— 2,16 2 2,07 0,024 2,4 96,4 6,0 81 5 2,16 |— 2,34 3 2,25 0,036 3,6 100 3,6 84 3 Total 84 - 1 100 - - - - Observações: 1. A representação de cada classe deve ser feita pelo ponto médio (Pm), o qual se obtém pela fórmula: Pm = (Lt +Ls ) / 2 Obs. Como teste, solicita-se ao aluno que calcule cada um dos Pm na tabela, faça uma espécie de conferência. 2. fi: representa o número de elementos de cada classe. Ou, em outras palavras, é a quantidade de vezes que cada classe apareceu na análise; 67 Re vi sã o: A nd ré ia G om es - D ia gr am aç ão : L éo - 0 1/ 08 /2 01 2 EstatístIca aplIcada fr: mede a representatividade relativa de cada valor encontrado em fi, ou o quanto cada valor significa em relação à unidade; f%: representa o peso percentual de cada item em relação ao todo. 3. 1,08 |— 1,26 na leitura de intervalo, significa que é um intervalo fechado à esquerda (pertencem à classe valores iguais ao extremo inferior – ou seja, inclui 1,08 no intervalo) e aberto à direita (não pertencem à classe valores iguais ao extremo superior – o limite superior não faz parte do intervalo, é abaixo dele). 4. Não necessariamente o último número será o limite superior da última classe, mas obrigatoriamente as classes devem conter todos os elementos. Algumas considerações ou conclusões a) Considerando os valores anteriores, quantos pacientes apontaram resultados no intervalo entre [1,44; 1,62[? R.: (Frequência absoluta simples) 32 pacientes. b) Para ampliar a análise, aponte a quantidade de pacientes com creatinina inferior ao intervalo [1,80; 1,98[ Observe a tabela: (Frequência absoluta acumulada) Tabela 15 Classes fi Pm fr f % F% ↓ F% ↑ F ↓ F ↑ 1,08 |— 1,26 5 1,17 0,059 5,9 5,9 100 5 84 1,26 |— 1,44 13 1,35 0,155 15,5 21,4 94,1 18 79 1,44 |— 1,62 32 1,53 0,381 38,1 59,5 78,6 50 66 1,62 |— 1,80 18 1,71 0,214 21,4 80,9 40,5 68 34 1,80 |— 1,98 11 1,89 0,131 13,1 94,0 19,1 79 16 1,98 |— 2,16 2 2,07 0,024 2,4 96,4 6,0 81 5 2,16 |— 2,34 3 2,25 0,036 3,6 100 3,6 84 3 Total 84 - 1 100 - - - - R.: 68 pacientes. Atenção: para dados agrupados ou distribuição de frequências. Elementos principais: a) Classe: é cada um dos intervalos em que os dados são agrupados. 68 Unidade II Re vi sã o: A nd ré ia G om es - D ia gr am aç ão : L éo - 0 1/ 08 /2 01 2 b) Limites de classes: são os valores extremos de cada classe. li = limite inferior de uma classe; Li = limite superior de uma classe. c) Amplitude: é a diferença entre o maior valor e o menor valor de certo conjunto de dados. Pode ser referida ao total de dados ou a uma das classes em particular. • Amplitude total (At ): é calculada pela seguinte expressão: At = Max. (rol) – Min. (rol). • Amplitude das classes (h): é a relação entre a amplitude total e o número de classes, conforme mostra a expressão a seguir: Max (rol)-Min(rol) h = -------------------------------------------------------------------------------------- n em que n é o número de intervalos de classe. d) Ponto médio de classe (xi): é calculado pela seguinte expressão: Li + lixi = --------------------------------- 2 e) Frequência absoluta (fi): frequência absoluta de uma classe de ordem i é o número de dados que pertencem a essa classe. f) Frequência relativa (fri): frequência relativa de uma classe de ordem i é o quociente da frequência absoluta dessa classe (fi) pelo total, ou seja, fifri = ------------------------------ Total Observação A soma de todas as frequências absolutas é igual ao total. g) Frequência acumulada (fi): frequência acumulada de uma classe de ordem i é a soma das frequências até a classe de ordem i. h) Frequência relativa acumulada (fri): frequência relativa acumulada de uma classe de ordem i é a soma das frequências relativas até a classe de ordem i. 69 Re vi sã o: A nd ré ia G om es - D ia gr am aç ão : L éo - 0 1/ 08 /2 01 2 EstatístIca aplIcada 6 AS MEDIDAS DE POSIÇÃO E VARIABILIDADE NUMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA Vamos agora usar os conhecimentos obtidos no item 4 para aprender a calcular as medidas de posição e variabilidade em uma distribuição de frequência. Para isso, continuaremos utilizando o exemplo que trabalhamos no item 4 – da distribuição de frequência das idades dos alunos formandos em Gestão de uma universidade fictícia. Tabela 16 Idade de 100 estudantes formandos do curso de Gestão de uma Universidade em dez/2006 Idade Número de estudantes 20 a 22 8 22 a 24 10 24 a 26 12 26a 28 20 28 a 30 17 30 a 32 15 32 a 34 9 34 a 36 5 36 a 38 3 38 a 40 1 Total = 100 Podemos, também, aproveitar uma série de informações que construímos a partir dos dados brutos que tínhamos no item 4, tal como disposto na tabela a seguir, e, partindo dessas informações, construir as medidas de posição e variabilidade para uma distribuição de frequência. Tabela 17 Classes fi fi, A fi, RA 20 |- 22 5 5 0,05 22 |- 24 12 17 0,12 24 |- 26 11 28 0,11 26 |- 28 16 44 0,16 28 |- 30 20 64 0,20 30 |- 32 14 78 0,14 32 |- 34 8 86 0,08 34 |- 36 8 94 0,08 36 |- 38 4 98 0,04 38 |- 40 2 100 0,02 ∑ 100 1 70 Unidade II Re vi sã o: A nd ré ia G om es - D ia gr am aç ão : L éo - 0 1/ 08 /2 01 2 6.1 As medidas de posição 6.1.1 A média No item 2, como trabalhávamos com um conjunto de dados pequeno para calcular a média desse grupo de números, era necessário organizá-los em um rol, identificar os valores de xi, fazer o somatório e então calcular a média a partir da fórmula apresentada. No entanto, quando se tem uma distribuição de frequências, nem sempre dispomos dos valores de todas as observações ou a amostra é por vezes tão grande que não é viável fazer o cálculo da mesma maneira que fazemos quando os dados estão dispostos em um rol. Geralmente, quando estamos diante de uma distribuição de frequência, o que dispomos é do número de observações em cada classe, mas não dos valores em si de xi. Portanto, as observações em dada distribuição de frequência serão representadas pelo ponto médio de cada classe. A fórmula para o cálculo do ponto médio será: Pmédio = X Limite Limite i erior erior = +inf sup 2 Para o cálculo da média aritmética, usa-se uma fórmula que deriva da fórmula de cálculo da média ponderada para determinar a média de uma distribuição de frequência; substituem-se os pesos pelas frequências de classes e xi pelo ponto médio, representado por xi. Assim, temos que a média numa distribuição de frequências é: x fX n i i = ∑ , onde x : Média aritmética da distribuição de frequência; fi : Frequência absoluta simples; xi : Ponto médio de cada classe; n : Número de observações. Em nosso exemplo de distribuição de frequência das idades, podemos calcular a média a partir da construção de uma nova tabela. Tabela 18 Classes fi fi, A fi, A Xi fi, Xi 20 |- 22 5 5 0,05 21 105 22 |- 24 12 17 0,12 23 276 24 |- 26 11 28 0,11 25 275 26 |- 28 16 44 0,16 27 432 28 |- 30 20 64 0,20 29 580 30 |- 32 14 78 0,14 31 434 32 |- 34 8 86 0,08 33 264 34 |- 36 8 94 0,08 35 280 36 |- 38 4 98 0,04 37 148 38 |- 40 2 100 0,02 39 78 ∑ 100 1 2872 71 Re vi sã o: A nd ré ia G om es - D ia gr am aç ão : L éo - 0 1/ 08 /2 01 2 EstatístIca aplIcada Calculando a média aritmética para o exemplo, em que n = 100, temos, então: x fX n x i i = = + + + + + + ∑ ( . ) ( . ) ( . ) ( . ) ( . ) ( . ) (5 21 12 23 11 25 16 27 20 29 14 31 88 33 8 35 4 37 2 39 100 105 276 275 432 580 434 26 . ) ( . ) ( . ) .+ + + ( ) = + + + + + + x 44 280 148 78 100 2872 100 28 72 + + + = =x , A idade média dos estudantes de Gestão da universidade AB que se formaram no ano de 2006 seria de 28,72 anos, de acordo com a distribuição de frequência aqui construída. 6.1.2 A mediana Como vimos também no item 2, a mediana é o elemento que ocupa a posição central num determinado conjunto de dados ordenados. Em uma distribuição de frequências de uma variável contínua, devem-se seguir alguns passos para calcular a mediana. Da mesma forma que, nos dados organizados em um rol, precisamos primeiro identificar a posição da mediana. O primeiro passo é calcular a ordem n 2 , e parte-se para a frequência acumulada para identificar a classe que contém a mediana. Feito isso, utiliza-se a seguinte fórmula para o cálculo da mediana: x n f h FMD MD ~ ( ). = + − ∑ 2 , onde MD : Limite inferior da classe da mediana; n : tamanho da amostra; Σƒ: Soma das frequências acumuladas anteriores à da mediana; h : Amplitude da classe da mediana; FMD: Frequência da classe da mediana. Para a distribuição de frequência, temos de seguir os passos citados anteriormente para calcular a mediana. Pelo exemplo anterior, primeiro, calculamos n 2 100 2 50= = , conforme indicado na tabela a seguir: 72 Unidade II Re vi sã o: A nd ré ia G om es - D ia gr am aç ão : L éo - 0 1/ 08 /2 01 2 Tabela 19 Classes fi fi, A fi, R Xi fi, Xi 20 |- 22 5 5 0,05 21 105 22 |- 24 12 17 0,12 23 276 24 |- 26 11 28 0,11 25 275 26 |- 28 16 44 0,16 27 432 28 |- 30 20 64 0,20 29 580 30 |- 32 14 78 0,14 31 434 32 |- 34 8 86 0,08 33 264 34 |- 36 8 94 0,08 35 280 36 |- 38 4 98 0,04 37 148 38 |- 40 2 100 0,02 39 78 ∑ 100 1 2872 a) Identificar a classe da mediana a partir da frequência acumulada, procurando descobrir onde a observação de número 50 está alocada. Em nosso exemplo, ela estará na quinta classe, que possui limite inferior de 28 e limite superior de 30. b) Calcular a mediana por meio de: x n f h FMD MD ~ ( ). = + − ∑ 2 , onde MD = 28 ; n = 100; f∑ = 44; FMD = 20; h = 2 x x x ~ ~ ~ , , = + −( ) × = + = 28 50 44 2 20 28 0 6 28 6 A mediana de nossa distribuição de frequência será 28,6 anos, ou seja, 50% dos alunos que se formaram em Gestão nessa universidade têm, no máximo, 28,6 anos. 6.1.3 A moda Para calcular a moda, é preciso identificar o intervalo de classes de maior frequência, pois é nele que ela se encontra. Depois disso, aplica-se a chamada fórmula de Czuber, descrita a seguir, para o cálculo da moda, que nos dirá qual a observação mais frequente daquela distribuição. O cálculo da moda será: 73 Re vi sã o: A nd ré ia G om es - D ia gr am aç ão : L éo - 0 1/ 08 /2 01 2 EstatístIca aplIcada M L D D D hod = + + 1 1 1 2 ( ). , onde Mod: Valor da moda; L1: Limite inferior da classe modal; D1:Diferença entre a frequência da classe modal e a frequência da classe anterior; D2:Diferença entre a frequência da classe modal e a frequência da classe posterior; h: Amplitude de classe. Calculemos, então, a moda para a nossa distribuição de frequência das idades dos alunos de Gestão da universidade AB que se formaram em 2006. A classe modal será a quarta classe, pois é aquela que apresenta a maior frequência. Temos, então: M M od od = + −( ) −( ) + −( ) = + + = 28 20 16 20 16 20 14 2 28 4 4 6 2 2 . . 88 4 5 28 8+ = , A moda seria, portanto, de 28,8 anos, o que significa que a maior quantidade de alunos formando-se no curso de Gestão dessa universidade fictícia teria 28,8 anos. 6.2 As medidas de dispersão numa distribuição de frequência 6.2.1 O desvio médio Recapitulando o item 3, o desvio médio indica a diferença entre cada observação e a média aritmética de determinado conjunto de dados. No caso de uma distribuição de frequência, essa diferença será calculada da seguinte forma: Dmédio = X x f n i i−∑ . , onde Dmédio: Desvio médio absoluto; Xi: Ponto médio de cada classe; x : Média da distribuição de frequência; fi : Frequência absoluta; n: Total de observações. Em nosso exemplo, temos, então: 74 Unidade II Re vi sã o: A nd ré ia G om es - D ia gr am aç ão : L éo - 0 1/ 08 /2 01 2 Tabela 20 Classes fi fi, A fi, R Xi fi, Xi Xi - x |Xi - x|.fi 20 |- 22 5 5 0,05 21 105 -7,72 38,6 22 |- 24 12 17 0,12 23 276 -5,7268,64 24 |- 26 11 28 0,11 25 275 -3,72 40,92 26 |- 28 16 44 0,16 27 432 -1,72 27,52 28 |- 30 20 64 0,20 29 580 0,28 5,6 30 |- 32 14 78 0,14 31 434 2,28 31,92 32 |- 34 8 86 0,08 33 264 4,28 34,24 34 |- 36 8 94 0,08 35 280 6,28 50,24 36 |- 38 4 98 0,04 37 148 8,28 33,12 38 |- 40 2 100 0,02 39 78 10,28 20,56 ∑ 100 1 2872 12,8 351,36 Dmédio = X x f n i i−∑ . Dmédio = 35136 100 3 5136 , ,= Dmédio = 3,51 Logo, o desvio médio de nossa distribuição de frequência será de 3,51. A média, a diferença da idade de cada formando em relação à média aritmética da distribuição das idades, será de 3,51. 6.2.2 Variância Como vimos no item 3, a variância também é uma medida de dispersão que tem a média como ponto de referência. A variância nos indica o grau de variabilidade de determinada distribuição de frequência com relação à sua média aritmética. Quando se trata de uma distribuição de frequência de dados populacionais, temos: σ µ2 2 = −∑ ( )X f n i i , onde σ2: Variância populacional; Xi: Ponto médio de cada classe; µ: Média populacional; fi: Frequência absoluta simples; n: Tamanho da população. 75 Re vi sã o: A nd ré ia G om es - D ia gr am aç ão : L éo - 0 1/ 08 /2 01 2 EstatístIca aplIcada Para o caso da variância de valores amostrais, devemos usar: s X x f n i i2 2 1 = − − ∑ ( ) , onde s2: Variância amostral; Xi: Ponto médio de cada classe; x : Média aritmética amostral; fi: Frequência absoluta simples; n: Total de observações da amostra. No caso da distribuição de frequência das idades, é preciso acrescentar mais duas colunas à tabela para calcular, em nosso exemplo, a variância amostral: s X x f n i i2 2 1 = − − ∑ ( ) Tabela 21 Classes fi fi, A fi, R Xi fi, Xi Xi - x |Xi - x|.fi (Xi - x) 2 (Xi - x) 2fi 20 |- 22 5 5 0,05 21 105 -7,18 -7,72 59,5984 297,992 22 |- 24 12 17 0,12 23 276 -5,18 -5,72 32,7184 392,6208 24 |- 26 11 28 0,11 25 275 -3,18 -3,72 13,8384 152,2224 26 |- 28 16 44 0,16 27 432 -1,18 -1,72 2,9584 47,3344 28 |- 30 20 64 0,20 29 580 0,82 0,28 0,0784 1,568 30 |- 32 14 78 0,14 31 434 2,82 2,28 5,1984 72,7776 32 |- 34 8 86 0,08 33 264 4,82 4,28 18,3184 146,5472 34 |- 36 8 94 0,08 35 280 6,82 6,28 39,4384 315,5072 36 |- 38 4 98 0,04 37 148 8,82 8,28 68,5584 274,2336 38 |- 40 2 100 0,02 39 78 10,82 10,28 105,6784 211,3568 ∑ 100 1 2872 12,8 1912,16 Assim, temos: s2 1912 16 100 1 19 315= − = , , Logo, a variância amostral de nosso exemplo é 19,315. 6.2.3 Desvio padrão Para calcular o desvio padrão, basta extrair a raiz quadrada do valor da variância, seja ela populacional ou amostral. σ σ= 2 76 Unidade II Re vi sã o: A nd ré ia G om es - D ia gr am aç ão : L éo - 0 1/ 08 /2 01 2 Já o desvio padrão amostral será dado como segue: s s= 2 No exemplo acima, o nosso desvio padrão seria então: s = =19 315 4 395, , Lembrando que: em estatística, um histograma é uma representação gráfica da distribuição de frequências de um conjunto de medições, normalmente um gráfico de barras verticais. O histograma é um gráfico composto por retângulos justapostos em que a base de cada um deles corresponde ao intervalo de classe, e a sua altura, à respectiva frequência. Quando o número de dados aumenta indefinidamente e o intervalo de classe tende a zero, a distribuição de frequência passa para uma distribuição de densidade de probabilidades. A construção de histogramas tem caráter preliminar em qualquer estudo e é um importante indicador da distribuição de dados. Tanto podem indicar se uma distribuição aproxima-se de uma função normal como de uma mistura de populações, quando se apresentam bimodais. Informações técnicas sobre como elaborar um histograma, bem como sua interpretação, são encontradas em literaturas clássicas de estatística. Exemplo 1 Uma análise em 34 famílias que tenham quatro filhos, considerando a variável a quantidade de filhos do sexo masculino, temos a seguinte distribuição: Tabela 22 Nº de meninos (xi) fi (xi-x) (xi-x) 2 fi(xi-x) 2 0 2 (0 - 2,3) = - 2,3 (- 2,3)2 = 5,29 2(5,29) = 10,58 1 6 (1 - 2,3) = - 1,3 (- 1,3)2 = 1,69 6(1,69) = 10,14 2 10 (2 - 2,3) = - 0,3 (- 0,3)2 = 0,09 10(0,09) = 0,9 3 12 (3 - 2,3) = 0,7 (0,7)2 = 0,49 12(0,49) = 5,88 4 4 (4 - 2,3) = 1,7 (1,7)2 = 2,89 4(2,89) = 11,56 fi∑ = 34 f x xi i∑ = −( ) =2 39 06, Para reflexão: Pede-se para calcular a amplitude, o desvio padrão (S), a variância (S2) e o coeficiente de variação (cv). 77 Re vi sã o: A nd ré ia G om es - D ia gr am aç ão : L éo - 0 1/ 08 /2 01 2 EstatístIca aplIcada Solução Amplitude: R= 4 – 0 = 4 meninos Ou seja, podemos dizer que a maior variação encontrada nesse conjunto de dados seria de quatro meninos. Obs. Sabemos que a média para esse conjunto de dados é x = 2,3 filhos. Mas como chegamos a essa média? Quantos filhos homens estão presentes na distribuição? 1 x 6 + 2 x 10 + 3 x 12 + 4 x 4---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- = 2,3 34 Desvio padrão: s f x x n f x x f x x f x x n i i i n n n = −( ) − = −( ) + −( ) + + −( ) − = = ∑ 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 ... 2 0 2 3 6 1 2 3 10 2 2 3 12 3 2 3 4 4 2 3 34 1 2 2 2 2 2 −( ) + −( ) + −( ) + −( ) + −( ) + − = , , , , , 2 2 3 6 13 10 0 3 12 0 7 4 17 33 2 2 2 2 2 −( ) + −( ) + −( ) + ( ) + ( ) + = , , , , , 2 5 29 6 169 10 0 09 12 0 49 4 2 89 33 , , , , ,( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) = 10 58 10 14 0 9 5 88 1156 33 39 06 33 , , , , , ,+ + + + = = = ≅ ≅11836 1088 1, , filho Como interpretar essa situação? Podemos dizer que o número médio de filhos homens por família de quatro filhos é de 2,3, com uma margem de erro de aproximadamente um filho. Significando que a maior parte das famílias com quatro filhos apresentam: 78 Unidade II Re vi sã o: A nd ré ia G om es - D ia gr am aç ão : L éo - 0 1/ 08 /2 01 2 2,3 oscilando 1 para mais ou 1 para menos. Ou seja: pode ir de 1,3 a 3,3, que pode ser traduzido da seguinte maneira: As famílias com quatro filhos apresentam aproximadamente entre 1 e 3 filhos homens. Variância: S2 = (S)2 = (1,088)2 ≅ 1,1837 (filhos homens)2 Coeficiente de variação: cv S x = = ≅ 1088 2 3 0 4730 , , , O que isso significa? Significa que existe uma variabilidade nos dados de 47,30% em relação à média, podendo ser considerada uma alta variabilidade. Exemplo 2 A JCC – fábrica de peças e rolamentos – apresenta a seguinte distribuição de frequência referente aos salários dos seus funcionários: Tabela 23 Custos R$ Classes de fr. Pm (Xi) fi (xi - x) (xi - x) 2 fi(xi - x) 2 450 |— 550 500 8 (500-754,68) = - 254,68 (-254,68)2 = 64861,90 8(64861,90) = 518895,2 550 |— 650 600 10 (600-754,68) = - 154,68 (-154,68)2 = 23925,90 10(23925,90) = 239259,0 650 |— 750 700 11 (700-754,68) = - 54,68 (-54,68)2 = 2989,90 11(2989,90) = 32888,9 750 |— 850 800 16 (800-754,68) = 45,32 (45,32)2 = 2053,90 16(2053,90) = 32862,4 850 |— 950 900 13 (900-754,68) = 145,32 (145,32)2 = 21117,90 13(21117,90) = 274532,7 950 |— 1050 1000 5 (1000-754,68) = 245,32 (245,32)2 = 60181,90 5(60181,90) = 300909,5 1050 |— 1150 1100 1 (1100-754,68) = 345,32 (345,32)2 = 119245,90 1(119245,90) = 119245,9 Total 64 f x xi i −( )∑ 2 =1518593,6 79 Re vi sã o: A nd ré ia G om es - D ia gr am aç ão : L éo - 0 1/ 08 /2 01 2 EstatístIca aplIcadaPara reflexão: • calcule a amplitude; • o desvio padrão (S); • a variância (S2); • e o coeficiente de variação (cv). Solução Amplitude: R= 1150 – 450 = 700 Como analisar: Observe que a maior diferença existente entre os salários dos operários dessa fábrica é de R$ 700,00, conforme calculamos. Observação: como se chegou à média x = 754,69 500 * 8 + 600 * 10 + 700 * 11 + 800 * 16 + 900*13 + 1.000*5 + 1100 * 1/64 4.00 + 6.000 + 7.700 + 12.800 + 11.700 + 5.000 + 1100/64 48.330/64 = 754,68. Desvio padrão: s f x x n f x x f x x f x x n i i i n n n = −( ) − = −( ) + −( ) + + −( ) − = = ∑ 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 ... = −( ) + −( ) + −( ) + −8 500 754 68 10 600 754 68 11 700 754 68 16 800 7542 2 2, , , ,668 13 900 754 68 5 1000 754 68 1 1100 754 68 64 1 2 2 2 2( ) + −( ) + −( ) + −( ) − , , , == = −( ) + −( ) + −( ) + ( ) + (8 254 68 10 154 68 11 54 68 16 45 32 13 145 322 2 2 2, , , , , )) + ( ) + ( ) = 2 2 25 245 32 1 345 32 63 , , = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) +8 6486190 10 23925 90 11 2989 90 16 2053 90 13 21227, , , , ,990 5 6018190 1 119245 90 63 ( ) + ( ) + ( ) = , , 80 Unidade II Re vi sã o: A nd ré ia G om es - D ia gr am aç ão : L éo - 0 1/ 08 /2 01 2 = + + + + + +518895 2 239259 0 32888 90 32862 40 274532 70 300909 5 11, , , , , , 99245 90 63 1518593 60 63 24104 66 155 26 , , , , ( )≅ ≅ ≅ reais Como analisar? A média de salários da fábrica é R$ 754,68, podendo variar aproximadamente R$ 155,26, ou seja, a maior parte dos operários recebe entre R$ 599,42 e R$ 909,94. (754,68 – 155,26 = 599,42) (754,68 + 155,26 = 909,94) Variância: S2 = (S)2 = (155,26)2 ≅ 24104,66 (reais)2 Coeficiente de variação: cv S x = = ≅ 155 26 754 68 0 2057 , , , Isso significa que há uma variabilidade de 20,57% dos salários em relação à média. Saiba mais Os artigos “Caracterização de perdas comerciais – uma ferramenta de gestão de recuperação de receitas” e “Gerenciando incertezas no planejamento logístico: o papel do estoque de segurança” fazem uma abordagem detalhada da aplicação das medidas de dispersão. Eles estão disponíveis, no formato PDF, nos endereços: <ftp://labattmot.ele.ita.br/ele/ jrsantos/Leitura/Fraude_Energia_Eletrica/CITENEL2005_72.pdf> e <http:// tfscomunicacao.com.br/imgs/sala_estudo/273_arquivo.pdf>. 7 INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE Quando estudamos algum fenômeno pelo método estatístico, na maioria das vezes é preciso estabelecer uma distinção entre o modelo matemático que construímos para tentar explicar tal fenômeno e o fenômeno em si. A maioria dos fatos estudados pela estatística apresenta resultados de difícil previsibilidade, dados que variam de uma observação para outra, mesmo em condições normais de experimentação. Para analisar, interpretar e explicar tais fenômenos é preciso utilizar a probabilidade. 81 Re vi sã o: A nd ré ia G om es - D ia gr am aç ão : L éo - 0 1/ 08 /2 01 2 EstatístIca aplIcada A palavra “probabilidade” deriva do latim probare (provar ou testar). Informalmente, “provável” é uma das muitas palavras utilizadas para eventos incertos ou conhecidos, sendo também substituída por algumas palavras como “sorte”, “risco”, “azar”, “incerteza”, “duvidoso”, dependendo do contexto. Tal como ocorre com a teoria da mecânica, que atribui definições precisas a termos de uso diário, como “trabalho” e “força”, também a teoria das probabilidades tenta quantificar a noção de provável. A probabilidade é uma técnica estatística utilizada para expressar a chance de ocorrência de determinado evento. O evento é o resultado que se espera de determinado experimento. Ele pode ser cara (no caso do lançamento de uma moeda), um número compreendido de 1 a 6 (no caso do lançamento de um dado), chuva (no caso da observação do tempo) etc. A probabilidade de ocorrer determinado evento será sempre um número entre 0 e 1, indicando aproximadamente a chance de ocorrência desse mesmo evento. Quanto mais próxima de 1, maior é a probabilidade de ocorrer esse evento; quanto mais próxima de zero, menor a chance de o evento ocorrer. Quando a probabilidade de determinado evento é zero, diz-se que esse é um evento impossível. Sendo assim, temos: 0 ≤ P (A) ≤ 1 7.1 Teorias dos conjuntos, espaço amostral e eventos Um conjunto é definido como um grupo de objetos ou itens que apresentam características comuns. São exemplos de conjuntos os habitantes de São Paulo, os estudantes de Gestão da UNIP, o número de consoantes do alfabeto, o número de vogais do alfabeto etc. Saiba mais A teoria de conjuntos pode ser estudada em detalhes em livros básicos de matemática, como em MENEZES, P. B. Matemática discreta para computação e informática. Porto Alegre: Instituto de Informática da UFRGS: Sagra Luzzato, 2004. (Série Livros Didáticos – nº 16). Podemos descrever os elementos de um conjunto de três formas: enumerando cada um deles entre chaves, indicando suas características comuns, também entre chaves. Conjunto A = {a, e, i, o, u} ou Conjunto A = {conjunto das vogais do alfabeto}; Conjunto B = {todos os números inteiros maiores que 23}. 82 Unidade II Re vi sã o: A nd ré ia G om es - D ia gr am aç ão : L éo - 0 1/ 08 /2 01 2 Em um conjunto finito, podemos identificar todos os seus subconjuntos. O número de subconjuntos de um conjunto finito será obtido por meio da seguinte fórmula: Nsubconjuntos = 2 n, em que n = número de elementos do conjunto. Por exemplo, num conjunto como o dado a seguir, calcule a quantidade de subconjuntos e faça a sua apresentação: A = {2, 4, 6, 8} A quantidade de subconjuntos de A será: Nsubconjuntos = 2 n = 24 = 16 Os subconjuntos do conjunto A serão, portanto: A = {{2}, {4}, {6}, {8}, {2,4}, {2,6}, {2,8}, {4,6}, {4,8}, {6,8}, {2,4,6}, {2,6,8}, {2,4,8}, {4,6,8}, {2,4,6,8}} Ora, se trazemos esses conceitos para a probabilidade, podemos definir então o que seria espaço amostral e evento. Na teoria das probabilidades, temos o chamado experimento, uma experiência que poderá ser repetida sob as mesmas condições indefinidamente. Para cada experimento, existe um conjunto S formado por todos os possíveis resultados desse experimento. Esse conjunto é denominado de espaço amostral. Por exemplo, ao lançar um dado e observar o número da face que fica para cima, teríamos o seguinte conjunto de resultados possíveis desse experimento e, portanto, o seguinte espaço amostral: S = Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, em que Ω é o espaço amostral. O espaço amostral poderá ser representado pela letra ômega. Sendo o espaço amostral o conjunto de todos os resultados possíveis de uma dada experiência, a probabilidade do espaço amostral deverá ser igual a 1 ou 100%, pois ao menos um dos resultados deve ocorrer. P (evento qualquer espaço amostral Ω) = 1,00 Os eventos são os resultados de um experimento. No caso do exemplo, de lançar um dado, seriam exemplos de eventos: A: ocorrer face igual a 6; B: ocorrer face igual a 5. 83 Re vi sã o: A nd ré ia G om es - D ia gr am aç ão : L éo - 0 1/ 08 /2 01 2 EstatístIca aplIcada O evento é geralmente simbolizado por meio de uma letra maiúscula. Poderíamos simbolizar graficamente o espaço amostral e o evento por meio do diagrama de Venn, para que possamos visualizar melhor a diferença entre esses dois importantes conceitos da Teoria das Probabilidades. Evento Espaço amostral Figura 24 O que significa, então, a figura anterior? Para entendermos melhor, vamos relembrar algumas relações que se estabelecem entre dois ou mais conjuntos e que tipo de classificaçãodidática isso gera, para entender as implicações que podem ocorrer para a teoria das probabilidades. Dois ou mais conjuntos que não possuam elementos em comum são chamados conjuntos disjuntos. Por exemplo, sejam os conjuntos a seguir: A = {3, 5, 7} e B = {9, 11} são dois conjuntos que claramente não apresentam nenhum elemento em comum e podem ser representados pelo diagrama de Venn, como segue: A 3 7 5 9 11 B Figura 25 Como A e B não possuem elementos em comum, o resultado da união desses conjuntos irá gerar um novo conjunto cujo número de elementos será dado pela soma dos elementos de A e dos elementos de B. Temos, então: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) n(A ∪ B) = 5 Se dois ou mais conjuntos apresentam elementos em comum, teremos o caso de conjuntos não disjuntos. Nesse caso, o número de elementos da união dos dois conjuntos será dado pela soma dos elementos de cada conjunto, subtraindo-se os elementos que estes possuem em comum. A = {2, 4, 6, 8, 10} e B = {8, 10, 12} n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B); n(A ∪ B) = 5 + 3 – 2 = 6 Podemos verificar esse resultado comparando-o ao diagrama de Venn, que irá apresentar claramente os elementos da união dos dois conjuntos A e B. 84 Unidade II Re vi sã o: A nd ré ia G om es - D ia gr am aç ão : L éo - 0 1/ 08 /2 01 2 A 2 4 6 8 10 B 12 Figura 26 Esses conceitos de conjuntos são importantes porque nos permitem, por exemplo, definir novos eventos utilizando essas operações de união e interseção. Assim: a) (A ∪ B) → quando A ocorre, ou B ocorre, ou ambos ocorrem, temos este evento; b) (A ∩ B) → evento só ocorre se A e B ocorrerem simultaneamente. A → evento quando A não ocorre. A partir disso, podemos definir os eventos como complementares, mutuamente exclusivos, não mutuamente exclusivos e coletivamente exaustivos. Diz-se que dois eventos são complementares quando completam determinado espaço amostral. É importante ressaltar que os eventos complementares não devem apresentar elementos em comum. A soma das probabilidades de eventos complementares é sempre igual a 1. Podemos representar dois eventos complementares com o diagrama que segue: A A’ Figura 27 Por exemplo: podemos considerar como eventos complementares ocorrer cara ou coroa no lançamento de uma moeda; atender ou não à porta. O espaço amostral dos dois experimentos, respectivamente, será: Ω = {cara, coroa} Em que: A: ocorrer cara; B: ocorrer coroa. Ω2 = {atender, não atender} 85 Re vi sã o: A nd ré ia G om es - D ia gr am aç ão : L éo - 0 1/ 08 /2 01 2 EstatístIca aplIcada Em que: C: atender à porta; D: não atender à porta. Em ambos os experimentos, podemos observar que a soma das probabilidades será igual a 1, porque os eventos completam o espaço amostral. Assim, no caso dos dois exemplos anteriores, teremos: P A( ) = 1 2 P B P A P B( ) ( ) ( )= ⇒ + = 1 2 1 P C( ) = 1 2 P D P C P D( ) ( ) ( )= ⇒ + = 1 2 1 Dois ou mais eventos que não possuem elementos comuns, ou que não podem ocorrer simultaneamente, são ditos eventos mutuamente excludentes. Diferentemente dos eventos complementares, eles não necessariamente completam o espaço amostral. Sendo assim, podemos dizer que todos os eventos complementares são mutuamente exclusivos, mas nem todos os eventos mutuamente exclusivos são complementares. Também é importante ressaltar que, na teoria dos conjuntos, os eventos mutuamente exclusivos são os chamados conjuntos disjuntos. Isso significa que: (A ∩ B) = ø Para ilustrar graficamente dois eventos mutuamente exclusivos, podemos mais uma vez nos valer de um diagrama de Venn. Ω: Espaço amostral A B Figura 28 Por exemplo: no lançamento de um dado, ocorrer as faces 1, 2, 3, 4, 5, 6. São seis eventos mutuamente excludentes, já que dois não podem ocorrer simultaneamente, então a ocorrência de um exclui a ocorrência do outro. Se restringirmos esse experimento a apenas duas faces, teremos: 86 Unidade II Re vi sã o: A nd ré ia G om es - D ia gr am aç ão : L éo - 0 1/ 08 /2 01 2 Experimento: lançamento de um dado Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; (espaço amostral) A: ocorrer a face 2; B: ocorrer a face 4. Temos aqui dois eventos mutuamente exclusivos e que não são complementares. Quando dois eventos apresentam elementos em comum ou podem ocorrer simultaneamente, diz-se que eles são eventos não mutuamente excludentes. Esses eventos podem ser representados por meio de um diagrama de Venn, como segue: Ω : Espaço amostral A B Figura 29 Podemos nos valer da distribuição de frequências do item 4 para dar exemplo de dois eventos que sejam não mutuamente excludentes. Vejamos, então, a distribuição de frequência das idades dos alunos formandos do curso de Gestão de uma Universidade AB: Tabela 24 – Distribuição de frequência das idades Classes Frequência absoluta simples 20 |- 22 5 22 |- 24 12 24 |- 26 11 26 |- 28 16 28 |- 30 20 30 |- 32 14 32 |- 34 8 34 |- 36 8 36 |- 38 4 38 |- 40 2 ∑ 100 Tomando-se a distribuição de frequência acima, podemos dar exemplo de dois eventos não mutuamente exclusivos: 87 Re vi sã o: A nd ré ia G om es - D ia gr am aç ão : L éo - 0 1/ 08 /2 01 2 EstatístIca aplIcada A: apresentar idade entre 20 e 26 anos no momento da formatura; B: apresentar idade entre 22 e 30 anos no momento da formatura. Como entre esses dois eventos existem elementos em comum, ou seja, os intervalos de 22 a 26 anos, eles não são mutuamente excludentes. É importante ressaltar que os eventos não mutuamente exclusivos, na teoria dos conjuntos, são os conjuntos não disjuntos. Os eventos podem ser ainda coletivamente exaustivos. Isso ocorre quando os eventos em questão ocuparem todo o espaço amostral, tornando impossível qualquer outro resultado além daqueles eventos dados. São considerados eventos coletivamente exaustivos os eventos complementares, mas nem sempre os eventos coletivamente exaustivos serão complementares. Além disso, os eventos coletivamente exaustivos serão, em alguns casos, mutuamente excludentes. Podemos, então, representar graficamente eventos coletivamente exaustivos com o diagrama a seguir: Ω: Espaço amostral A B C Assim, são exemplos de eventos coletivamente exaustivos, no caso de um experimento de lançar uma moeda: A: ocorrer cara; B: ocorrer coroa. Outro exemplo seria ao se fazer a experiência de retirar cartas de um baralho, definir como eventos: A: carta de copas; B: carta de paus; C: carta de ouros; D: carta de espadas. Temos anteriormente dois exemplos de eventos coletivamente exaustivos. Mayer (2000) diz que, em teoria das probabilidades, o espaço amostral ou espaço amostral universal, geralmente denotado S, Ω ou U (de “universo”), de um experimento ou teste aleatório é o conjunto de todos os resultados possíveis. Por exemplo, se o experimento é lançar uma moeda e verificar a face voltada para cima, o espaço amostral é o conjunto {cara, coroa}. Para o lançamento de um dado de seis faces, o espaço amostral é {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Qualquer subconjunto de um espaço amostral é comumente chamado um evento, enquanto o subconjunto de um espaço amostral contendo apenas um único elemento é chamado eventos elementares. 88 Unidade II Re vi sã o: A nd ré ia G om es - D ia gr am aç ão : L éo - 0 1/ 08 /2 01 2 Para alguns tipos de experimentos, podem existir dois ou mais espaços amostrais possíveis plausíveis. Por exemplo, quando retirada uma carta de um baralho de 52 cartas, uma possibilidade poderia ser o valor dela(Ás até o Rei), enquanto outra poderia ser o naipe (copa, ouro, espada ou paus). Uma descrição completa dos resultados, entretanto, especifica ambas: denominação e naipe, e um espaço amostral descrevendo cada carta individualmente pode ser construído por meio do produto cartesiano dos dois espaços amostrais citados. Espaços amostrais aparecem naturalmente em uma introdução elementar à probabilidade, mas são também importantes em espaços de probabilidade. Um espaço de probabilidade (Ω, F, P) incorpora um espaço amostral de resultados, Ω, mas define um conjunto de eventos de interesse, o - álgebra F, para o qual a medida de probabilidade P é definida. Vamos a alguns exemplos: Exemplo 1 Vamos imaginar um grupo de 100 pessoas. Dessas, 70 apresentam sangue RH positivo e 45, tipo O. Escolhendo-se, ao acaso, uma pessoa desse grupo, qual é a probabilidade de o sangue dessa pessoa escolhida ser de tipo diferente de O? Solução Total do grupo: 100 pessoas RH positivo: 70 pessoas Tipo O = 45 pessoas Vamos considerar x o número de pessoas que têm sangue RH positivo e também sangue tipo O. Representando os conjuntos por meios de diagramas de Euler-Venn, temos: 70 - x + x + 45 - x = 100. RH+ 70 - x 45 - xx 0 Figura 30 Assim, temos: 70 + 45 - x = 100. Então, x = 115 - 100 = 15. 89 Re vi sã o: A nd ré ia G om es - D ia gr am aç ão : L éo - 0 1/ 08 /2 01 2 EstatístIca aplIcada Então, o número de pessoas que têm sangue do tipo diferente de O será: 70 - 15 = 55. Podemos dizer que, num total de 100 pessoas, temos 55 possibilidades (chances) de escolha. Então, podemos dizer que a probabilidade de o sangue dessa pessoa ser de tipo diferente de O é 55/100 = 55%. De outra maneira, mais rápida: como 45 têm sangue tipo O; então, o número de pessoas que têm sangue do tipo diferente de O é: 100 - 45 = 55. Exemplo 2 Maria vai sair com suas amigas e, para escolher a roupa que usará, separou duas saias e quatro blusas. De quantas maneiras ela pode se arrumar? Solução O chamado Princípio Fundamental da Contagem (PFC) diz: “se alguma escolha pode ser feita de M diferentes maneiras e alguma escolha subsequente pode ser feita de N diferentes maneiras, há MxN diferentes maneiras pelas quais essas escolhas podem ser feitas sucessivamente”. Observe a tabela a seguir: Tabela 25 Blusa 1 Blusa 2 Blusa 3 Blusa 4 Saia 1 Saia 1 e blusa 1 Saia 1 e blusa 2 Saia 1 e blusa 3 Saia 1 e blusa 4 Saia 2 Saia 2 e blusa 1 Saia 2 e blusa 2 Saia 2 e blusa 3 Saia 2 e blusa 4 Contando as possibilidades, vemos que Maria pode se arrumar de oito maneiras distintas. De fato, a ação é constituída de duas etapas sucessivas. A primeira (vestir a saia) pode ser realizada de duas maneiras distintas. Para cada uma dessas possibilidades, a segunda (vestir a blusa) pode ser realizada de quatro maneiras distintas. Assim, pelo Princípio Fundamental da Contagem, o número de efetuar a ação completa é 2 × 4 = 8. Exemplo 3 Há quatro estradas ligando as cidades A e B, e três estradas ligando as cidades B e C. De quantas formas distintas pode-se ir de A a C, passando por B? 90 Unidade II Re vi sã o: A nd ré ia G om es - D ia gr am aç ão : L éo - 0 1/ 08 /2 01 2 Solução A ação é realizada em duas etapas sucessivas. A primeira (ir de A até B) pode ser realizada de três maneiras. Para cada uma dessas possibilidades, a segunda (ir de B até C) pode ser realizada de quatro maneiras. Então, pelo PFC, o número de maneiras de ir de A até C é: 3 × 4 = 12. Exemplo 4 Uma prova de Estatística tem dez questões do tipo C ou E. Caso todas as questões sejam respondidas ao acaso, qual o número de formas de preencher o cartão de resposta? Solução O PFC é também conhecido como princípio multiplicativo e pode ser generalizado para ações constituídas de mais de duas etapas sucessivas. Observação Para determinar o nº total de elementos do espaço amostral, usamos o raciocínio: K x K x K x K x K x K…K; portanto, podemos resumir assim: R vezes _______________________ n(S) = kn K à número de possibilidades de ocorrência do experimento. R à número de vezes que se repete o experimento. Como as probabilidades de ocorrência do experimento são duas, certo ou errado, basta elevarmos ao número de vezes que o experimento se repete. Assim, o resultado procurado é: 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 210 = 1024. Exemplo 5 De quantas maneiras podemos arrumar cinco pessoas em fila indiana? Solução Ao selecionarmos uma das pessoas para ocupar a primeira posição na fila, temos cinco possibilidades; para o segundo lugar, temos quatro escolhas; para o terceiro lugar, sobram três pessoas a serem selecionadas; para o quarto lugar, duas; e, para o último lugar na fila, sobra apenas uma pessoa ainda não escolhida. 91 Re vi sã o: A nd ré ia G om es - D ia gr am aç ão : L éo - 0 1/ 08 /2 01 2 EstatístIca aplIcada Então, pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos: 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Assim, obtemos o número de formas de ordenar (“embaralhar”) cinco elementos distintos. Ou, ainda, podemos calcular o número de permutações simples de cinco elementos, ou seja, P5 = 120. Exemplo 6 Ao lançarmos dois dados, a probabilidade de obtermos resultados cuja soma é sete é: Tabela 26 1+1 1+2 1+3 1+4 1+5 1+6 2+1 2+2 2+3 2+4 2+5 2+6 3+1 3+2 3+3 3+4 3+5 3+6 4+1 4+2 4+3 4+4 4+5 4+6 5+1 5+2 5+3 5+4 5+5 5+6 6+1 6+2 6+3 6+4 6+5 6+6 Solução Para cada dado lançado ao acaso, temos seis possibilidades de resultado. Então, pelo PFC, o número de elementos do meu espaço amostral é 6 × 6 = 36. Como pode ser observado na tabela 25, o nº de casos favoráveis é o nº de elementos dos conjuntos de pares ordenados {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)}, ou seja, é seis. Assim, a probabilidade é P = 6/36 = 1/6. 8 PROBABILIDADE: ORIGEM, MÉTODOS E PRINCIPAIS TEOREMAS Como vimos, a probabilidade é uma técnica estatística utilizada para expressar a chance de ocorrência de determinado evento. A forma clássica de calcular a probabilidade é por meio da relação entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis. Os casos favoráveis são aqueles resultados que se espera que aconteçam; já os casos possíveis são todos os elementos que compõem o espaço amostral. Logo, em determinado espaço amostral Ω, a probabilidade de um dado evento A, P(A), será uma função definida em Ω, em que cada evento estará associado a um número real, e assim irá satisfazer aos axiomas a seguir. Observação I) 0 ≤ P ≤ 1 à A probabilidade está sempre no intervalo fechado 0 e 1 ou 0% ou 100%. 92 Unidade II Re vi sã o: A nd ré ia G om es - D ia gr am aç ão : L éo - 0 1/ 08 /2 01 2 II) P(Ω) = 1 à Para todo evento certo, temos P(Ω) = 1 ou 100%. III) Se A e B forem eventos mutuamente exclusivos, (A ∩ B) = ø, então P(A ∪ B) = P(A) + P(B). 8.1 Origens da probabilidade Na realidade, existem três modos diferentes de calcular ou estimar as probabilidades. São eles os métodos clássico, empírico e subjetivo, sendo que os métodos clássicos e empíricos são considerados métodos objetivos. 8.1.1 Métodos objetivos • Método clássico Quando estamos diante de experimentos que têm resultados igualmente prováveis, aplica-se o chamado método clássico. Nesse caso, a probabilidade de ocorrer cada evento (resultado) é uma função do número de resultados possíveis. 1Pevento = ------------------------------------------------------------------ Número de resultados possíveis Por exemplo, no experimento em que lançamos um dado ocorrer qualquer das faces nesselançamento é igualmente provável. Então, qual seria a probabilidade de ocorrer qualquer dessas faces? 1Pqualquer face = ------------------------------------- Número de faces 1Pqualquer face = ---- 6 Aplicando-se o método clássico a experimentos que envolvam dois ou mais resultados associados, com igual probabilidade de ocorrência desses resultados, terão a definição clássica de probabilidade que demos no início deste item, em que a probabilidade será: Resultados favoráveisP = ----------------------------------------------- Resultados possíveis Verifique e compreenda: favoráveis/possíveis! Por exemplo, a probabilidade de obter quatro ases num baralho de 52 cartas. Nesse caso, temos de identificar o número de resultados favoráveis, ou seja, aqueles resultados esperados. No caso, são quatro resultados favoráveis, dentro de quatro resultados possíveis; então, temos: 93 Re vi sã o: A nd ré ia G om es - D ia gr am aç ão : L éo - 0 1/ 08 /2 01 2 EstatístIca aplIcada 4P = -------- = 0,0769 = 7,6% 52 Isso significa que, se houver uma repetição significativa desse experimento, ou seja, de se retirar quatro ases de um baralho de 52 cartas, um evento como esse tem probabilidade de ocorrer 7,6% das vezes. Chance Existe uma maneira diferente de se exprimirem as probabilidades: em vez de se comparar o número de casos favoráveis ao número de casos possíveis, compara-se o número de resultados favoráveis ao número de casos desfavoráveis. Isso pode ser expresso das duas formas a seguir: Número de resultados favoráveisChance = ------------------------------------------------------------------------- ou Número de resultados desfavoráveis Chance = número de resultados favoráveis está para número de resultados desfavoráveis. Por exemplo, numa sala de aula, temos um total de 50 alunos, 22 homens e 28 mulheres. Quais seriam, então, a probabilidade e a chance a favor de se selecionar, aleatoriamente, dessa sala uma mulher? Probabilidade: ε: Retirar pessoas de uma sala de aula Ω: 22 homens e 28 mulheres Evento A: selecionar uma mulher P A P A( ) = + = ⇒ ( ) = =28 22 28 28 50 0 56 56, % A probabilidade de se retirar uma mulher é, portanto, de 56%. Chance Evento A: selecionar uma mulher Nº de casos favoráveis 28 14Chance = ------------------------------------------------- = -------------- = -------------- ou 40/11 Casos desfavoráveis 22 11 As chances de retirar uma mulher da sala são, portanto, de 14 para 11. 94 Unidade II Re vi sã o: A nd ré ia G om es - D ia gr am aç ão : L éo - 0 1/ 08 /2 01 2 • Método empírico ou frequencial Quando tratamos de situações em que os resultados não são igualmente prováveis, podemos tentar estimar as probabilidades, obtendo alguns dados empíricos. Uma estimativa das probabilidades baseada justamente nesses dados empíricos é que será obtida por meio de experimentos aleatórios ou por meio de dados históricos. É importante ressaltar que, neste caso, a probabilidade será uma estimativa do verdadeiro valor. Por exemplo, se tivermos um experimento em que lançamos um dado 100 vezes, se dessas 100 vezes obtivermos a face quatro 40 vezes, num próximo lançamento do dado seria razoável supor que a probabilidade estimada futura da face quatro como sendo P 4 40 100 40( ) = = % , se esse experimento se der a condições idênticas. Da mesma maneira, quando é testada uma vacina em um grupo de 1000 pessoas, por exemplo, e esta apresenta sucesso em 700 delas, se o teste é repetido, devemos esperar uma probabilidade estimada de sucesso futuro da vacina P s( ) = = =700 1000 7 10 70% , sob condições idênticas para a ocorrência desse resultado. Sendo assim, podemos calcular a estimativa da probabilidade de um evento futuro baseado no método empírico por meio da seguinte fórmula: Número de ocorrências de AP(A) = ------------------------------------------------------------ Número total de observações Se, por outro lado, em vez da possibilidade de obter os dados amostrais por meio da realização de um experimento, dispusermos de dados históricos em uma distribuição de frequência, ou na forma de dados publicados, ou como resultado de testes prévios, ou como informações que foram acumuladas em algum arquivo importante, podemos também calcular a probabilidade estimada pelo método frequencial. Mas, para isso, é preciso que partamos da premissa de que o passado é representativo do futuro. Por exemplo, suponhamos que uma distribuidora de chocolates acompanha suas vendas durante noventa dias. O objetivo dessa distribuidora seria projetar as vendas para o futuro, a fim de planejar seus estoques. Desse acompanhamento, resultou a distribuição de frequência a seguir: Tabela 27 Número de chocolates vendidos, em Kg. Período de 90 dias Quilos vendidos Número de dias 20 10 30 20 40 20 50 30 60 10 Total 90 95 Re vi sã o: A nd ré ia G om es - D ia gr am aç ão : L éo - 0 1/ 08 /2 01 2 EstatístIca aplIcada Nesse caso, também podemos adotar o método empírico, procurando determinar qual o percentual de vezes em que ocorreu tal evento. Por exemplo, em vinte dias, o distribuidor de chocolates vendeu 40 quilos de chocolate, dos 90 dias totais de nossa observação. Então, a estimativa de probabilidade dessa ocorrência é P 40 20 90 2 9 ( ) = = . A probabilidade é, portanto, a partir do método empírico, uma proporção da ocorrência de um evento ou a frequência relativa do evento. Assim, para as demais classes, as probabilidades serão dadas como na tabela a seguir, da distribuição de frequências, utilizando agora a seguinte fórmula: P A f f A A ( ) = ∑ , onde P (A): Probabilidade de ocorrer o evento A; fA: Frequência absoluta do evento A; ∑fA: Total de observações. Tabela 28 Quilos vendidos Número de dias(ƒA) Probabilidade f f A A∑ 20 10 1 9 30 20 2 9 40 20 2 9 50 30 1 3 50 10 1 9 Total 90 É importante ressaltarmos algumas observações quando utilizamos o método empírico para calcular a probabilidade. I. Quando se calcula a probabilidade a partir do método empírico, obtemos apenas uma estimativa do verdadeiro valor da probabilidade. Não temos dados suficientes para determinar seu valor exato. II. O tamanho da amostra é fundamental para determinar a estimativa da probabilidade. Quanto maior o número de observações e, portanto, a amostra, melhor a estimativa da probabilidade. III. A probabilidade só é válida para um conjunto de condições idênticas àquelas geradoras dos dados amostrais. 96 Unidade II Re vi sã o: A nd ré ia G om es - D ia gr am aç ão : L éo - 0 1/ 08 /2 01 2 8.1.2 Método subjetivo Nos itens anteriores, propusemo-nos a calcular probabilidades que se originavam de fatos, fosse por meio do método clássico ou do empírico. No entanto, ao longo do estudo da estatística, surgiram diversas situações em que os eventos não eram nem passíveis de um estudo objetivo e muito menos igualmente prováveis. Nesse caso, então, faz-se necessário atribuir-se subjetivamente uma probabilidade. Por exemplo: à Você encontrará o amor da sua vida amanhã? à Quando os operários do metrô farão nova greve? à Uma mulher com câncer de mama se recuperará completamente? Nesses casos, mesmo que não seja possível efetuar o experimento, pode-se imaginar um grande número de situações idênticas
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