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Conceitos de vetores. Decomposição de vetores 1. Introdução De forma prática, o conceito de vetor pode ser bem assimilado com auxílio da representação matemática de grandezas físicas. Grandezas como temperatura, pressão, massa, potência e outras podem ser completamente definidas por um único valor numérico. Elas são denominadas como um ponto em uma escala conforme Outras grandezas (como velocidade, força, etc) precisam, além do valor escalar, de uma direção e graficamente são representadas por um segmento de reta com seta. São denominadas vetoriais. Portanto, um vetor define corretamente a grandeza através uma referência, conforme a Figura1.1 2. Notação Nesta aula, vetores são simbolizados por um caractere Exemplos: Vetor a, vetor B, vetor v, etc. Há também o símbolo de seta acima do caractere, mas aqui não é adotado. Exemplo: Vetor ��. Em alguns casos, os vetores são designados por letras ou números nas suas extremidades. Exemplo: MN da Figura 1.1 do tópico anterior. O ponto M é a O módulo do vetor é simbolizado pelo caractere sem negrito. Assim, para o vetor comprimento ℓ da Figura 1.1 do tópico anterior. Também denominado valor absoluto, magnitude. Graficamente, os vetores são em geral representados por um segmento de 1.1 do tópico anterior. Algumas vezes, por razões de conveniência ou de clareza, precisa representação simples para vetores perpendiculares ao plano do próprio documento. São usados os símbolos: vetor na direção do leitor para o papel (ou tela). vetor na direção do papel (ou tela) para o leitor. Conceitos de vetores. Decomposição de vetores De forma prática, o conceito de vetor pode ser bem assimilado com auxílio da representação matemática Figura 1.1 Grandezas como temperatura, pressão, massa, potência e outras podem ser completamente definidas por um único valor numérico. Elas são denominadas escalares porque, na forma gráfica, podem visualizadas como um ponto em uma escala conforme a Figura 1.1(a). Outras grandezas (como velocidade, força, etc) precisam, além do valor escalar, de uma direção e graficamente são representadas por um segmento de reta com seta. São denominadas define corretamente a grandeza através do seu comprimento e do ângulo que faz com .1(b). ão simbolizados por um caractere alfabético, maiúsculo ou minúsculo, em negrito. lo de seta acima do caractere, mas aqui não é adotado. Exemplo: Em alguns casos, os vetores são designados por letras ou números nas suas extremidades. Exemplo: do tópico anterior. O ponto M é a origem do vetor. do vetor é simbolizado pelo caractere sem negrito. Assim, para o vetor 1 do tópico anterior. Também denominado valor absoluto, magnitude. Graficamente, os vetores são em geral representados por um segmento de reta com seta conforme Figura 1 do tópico anterior. Algumas vezes, por razões de conveniência ou de clareza, precisa representação simples para vetores perpendiculares ao plano do próprio documento. São usados os o leitor para o papel (ou tela). vetor na direção do papel (ou tela) para o leitor. De forma prática, o conceito de vetor pode ser bem assimilado com auxílio da representação matemática Grandezas como temperatura, pressão, massa, potência e outras podem ser completamente definidas por porque, na forma gráfica, podem visualizadas Outras grandezas (como velocidade, força, etc) precisam, além do valor escalar, de uma direção e graficamente são representadas por um segmento de reta com seta. São denominadas grandezas do seu comprimento e do ângulo que faz com alfabético, maiúsculo ou minúsculo, em negrito. lo de seta acima do caractere, mas aqui não é adotado. Exemplo: Em alguns casos, os vetores são designados por letras ou números nas suas extremidades. Exemplo: do vetor é simbolizado pelo caractere sem negrito. Assim, para o vetor v, v � |v|. Equivale ao 1 do tópico anterior. Também denominado valor absoluto, magnitude. reta com seta conforme Figura 1 do tópico anterior. Algumas vezes, por razões de conveniência ou de clareza, precisa-se de uma representação simples para vetores perpendiculares ao plano do próprio documento. São usados os 3. Igualdade e oposição Dois ou mais vetores são iguais se têm idênticos comprimentos e direções. Assim, eles estão em segmentos de reta paralelos, podendo ser Dois vetores são opostos se têm o mesmo comprimento e direções opostas. De forma similar, estarão em segmentos de retas paralelos, coincidentes ou não. A oposição é marcada por sinal negativo: Notar que esses conceitos de igualdade e oposição de vetores podem não ser suficientes para definir certos fenômenos físicos. Às vezes, é necessária a indicação dos pontos de origem. Exemplo: supõe-se que c e d da Figura estiverem no mesmo alinhamento, nenhum na figura, há um esforço de rotação (momento) sobre o corpo, tanto maior quanto maior a distância entre eles. Na Figura 3.1, os vetores têm o mesmo comprimento, isto é, | a | = | b | = | c | = | d |. A diferença de direção é condição suficiente para a desigualdade, independente do comprimento. Por exemplo, b ≠ c apesar de | b | = | c |. 4. Multiplicação por um escalar A multiplicação ou divisão por um escalar resulta num vetor em segmento de reta paralelo ao vetor original ou coincidente com este último. Dois ou mais vetores são iguais se têm idênticos comprimentos e direções. Assim, eles estão em segmentos de reta paralelos, podendo ser coincidentes ou não. Na Figura 3.1, a=b. Dois vetores são opostos se têm o mesmo comprimento e direções opostas. De forma similar, estarão em segmentos de retas paralelos, coincidentes ou não. A oposição é marcada por sinal negativo: Figura 3.1 Notar que esses conceitos de igualdade e oposição de vetores podem não ser suficientes para definir certos fenômenos físicos. Às vezes, é necessária a indicação dos pontos de origem. da Figura 3.1 são forças atuantes em um mesmo corpo. no mesmo alinhamento, nenhum efeito é observado. Se elas estiverem figura, há um esforço de rotação (momento) sobre o corpo, tanto maior quanto maior a distância entre vetores têm o mesmo comprimento, isto é, A diferença de direção é condição suficiente para a desigualdade, independente do comprimento. Por Multiplicação por um escalar ação ou divisão por um escalar resulta num vetor em segmento de reta paralelo ao vetor original Figura 4.1 Dois ou mais vetores são iguais se têm idênticos comprimentos e direções. Assim, eles estão em , a=b. Dois vetores são opostos se têm o mesmo comprimento e direções opostas. De forma similar, estarão em segmentos de retas paralelos, coincidentes ou não. A oposição é marcada por sinal negativo: c= -d. Notar que esses conceitos de igualdade e oposição de vetores podem não ser suficientes para definir certos fenômenos físicos. Às vezes, é necessária a indicação dos pontos de origem. corpo. Se estas forças estiverem deslocadas, conforme figura, há um esforço de rotação (momento) sobre o corpo, tanto maior quanto maior a distância entre A diferença de direção é condição suficiente para a desigualdade, independente do comprimento. Por ação ou divisão por um escalar resulta num vetor em segmento de reta paralelo ao vetor original Exemplos de multiplicação e divisão por algu Vetor unitário é um vetor de módulo igual a uma unidade de referência no sistema em que se trabalha. Se u é um vetor unitário, então um vetor genérico a = |a| u = a u O vetor unitário na mesma direção de um vetor genérico algumas vezes simbolizado por â. Portanto, â = a / |a| 5. Soma e subtração de vetores Para somar graficamente dois vetores um até coincidir com o final do outro. a base do sentido (parte que não possui seta) do 2 e o sentidodo vetor representativo da O módulo da soma não é necessariamente igual à soma dos módulos. Se | a + b | = | a | + | b |, então a e b Para a subtração, consideram-se na Figura 5. parte esquerda, faz-se a coincidência das origens e as extremidades restantes formam o vetor da diferença. Alternativamente, pode ser obtida segundo Exemplos de multiplicação e divisão por alguns fatores são dados na Figura 4.1. é um vetor de módulo igual a uma unidade de referência no sistema em que se trabalha. é um vetor unitário, então um vetor genérico a na mesma direção é dado por O vetor unitário na mesma direção de um vetor genérico a é também denominado . Portanto, Soma e subtração de vetores Para somar graficamente dois vetores a e b conforme Figura 5.1 (regra poligonal) coincidir com o final do outro. Em outras palavras, une-se o sentido (ponta da seta) do 1 a base do sentido (parte que não possui seta) do 2o vetor. A origem e o final restantes definem o vetor representativo da soma vetorial, de acordo com a mesma figura. Figura 5.1 O módulo da soma não é necessariamente igual à soma dos módulos. têm a mesma direção. se na Figura 5.2 os mesmos vetores a e b da figura anterior. Conforme se a coincidência das origens e as extremidades restantes formam o vetor da Figura 5.2 Alternativamente, pode ser obtida segundo a parte direita da figura, isto é, a soma com o oposto: é um vetor de módulo igual a uma unidade de referência no sistema em que se trabalha. na mesma direção é dado por A.1 é também denominado versor desse vetor e A.2. (regra poligonal), move-se a origem de se o sentido (ponta da seta) do 1o vetor com A origem e o final restantes definem o a direção , de acordo com a mesma figura. da figura anterior. Conforme se a coincidência das origens e as extremidades restantes formam o vetor da parte direita da figura, isto é, a soma com o oposto: a − b = a + (− b). De forma similar à adição, o módulo da diferença não é necessariamente igual à diferença dos módulos. Se | a − b | = | a | − | b |, então a e b Um outro método para a determinação gráfica da soma é a regra do paralelogramo, indica esquerda da Figura 5.3: Juntam-se as origens e a diagonal do paralelogramo vetores c=a+b. Os vetores a e b formam um paralelogramo cuja diagonal é o vetor resultante com a regra do paralelogramo, se a dado pela expressão: Para vetores no espaço, pode-se usar a similar mesma figura. Algumas propriedades da soma e da multiplicação por escalar: a + b = b + a (m + n) a = ma + na m (na) = (mn)a a + (b + c ) = (a + b) + c m (a + b) = ma + mb 6. Coordenadas de um vetor Ao somarmos dois vetores, podemos obter um único vetor, o vetor resultante, equivalente aos dois vetores somados. Ao decompormos dois vetores, realizamos um processo inverso. soma vetorial, se a origem de um sistema de coordenadas xy coincide com a origem do vetor, pode facilmente verificar que esse vetor é igual à soma dos vetores formados por suas projeções em cada eixo. De forma similar à adição, o módulo da diferença não é necessariamente igual à diferença dos módulos. têm a mesma direção. Figura 5.3 método para a determinação gráfica da soma é a regra do paralelogramo, indica se as origens e a diagonal do paralelogramo formam um paralelogramo cuja diagonal é o vetor resultante e b formam entre si um ângulo α, o módulo do vetor resultante se usar a similar regra do paralelepípedo, conforme parte direita da Algumas propriedades da soma e da multiplicação por escalar: Ao somarmos dois vetores, podemos obter um único vetor, o vetor resultante, equivalente aos dois vetores somados. Ao decompormos dois vetores, realizamos um processo inverso. Considerando soma vetorial, se a origem de um sistema de coordenadas xy coincide com a origem do vetor, pode facilmente verificar que esse vetor é igual à soma dos vetores formados por suas projeções em cada eixo. De forma similar à adição, o módulo da diferença não é necessariamente igual à diferença dos módulos. método para a determinação gráfica da soma é a regra do paralelogramo, indicada na parte se as origens e a diagonal do paralelogramo formado é a soma dos formam um paralelogramo cuja diagonal é o vetor resultante c. De acordo , o módulo do vetor resultante c será , conforme parte direita da A.1 A.2 A.3 A.4 A.5 Ao somarmos dois vetores, podemos obter um único vetor, o vetor resultante, equivalente aos dois vetores Considerando as regras da soma vetorial, se a origem de um sistema de coordenadas xy coincide com a origem do vetor, pode-se facilmente verificar que esse vetor é igual à soma dos vetores formados por suas projeções em cada eixo. Assim, na Figura 6.1, A = Ax + Ay Ou seja, os vetores e Ay são os componentes Para determinarmos os módulos das componentes triângulo retângulo. Seja α o ângulo formado entre onde Ax é o módulo da componente horizontal onde Ay é o módulo da componente vertical Podemos relacionar o módulo do vetor e o módulo de seus componentes ortogonais, aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo formado por Sejam os vetores unitários nos eixos de coordenadas: ux = i uy = j Então, A = Ax i + Ay j Os escalares Ax e Ay são as coordenadas Figura 6.1 componentes do vetor no sistema de coordenadas. Para determinarmos os módulos das componentes Ax e Ay, devemos usar as relações trigonométricas no ângulo formado entre Ax e A: ��� ∝� �� � �� �� � ���� ���� � �� � �� � �. ��� ∝ é o módulo da componente horizontal Ax do vetor A . Temos ainda ��� ∝� �� � ���� � ���� ���� � �� � �� � �. ��� ∝ é o módulo da componente vertical Ay do vetor A. Podemos relacionar o módulo do vetor e o módulo de seus componentes ortogonais, aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo formado por A e seus componentes Ax e Ay. vetores unitários nos eixos de coordenadas: coordenadas do vetor no sistema. A.1 do vetor no sistema de coordenadas. devemos usar as relações trigonométricas no Podemos relacionar o módulo do vetor e o módulo de seus componentes ortogonais, aplicando o teorema A.2 A.3 A.4 Figura 6.2 No caso de um vetor no espaço conforme Figura 6.2, acrescenta-se uma coordenada: A = Ax i + Ay j + Az k A.5 Onde uz = k A.6 e os demais conforme A.2 e A.3. Para simplificar a notação, muitas vezes é usada a forma a{Xa, Ya, Za} B.1 Exemplos: a{2, 3, 0}, b{−1, 12, 8}, etc. O módulo do vetor pode ser dado por suas coordenadas: |a| = (Xa2 + Ya2 + Za2)1/2 C.1 Condição de paralelismo: se os vetores a e b são paralelos, as suas coordenadas são proporcionais: Xb / Xa = Yb / Ya = Zb / Za = c D.1 Se o coeficiente de proporcionalidade c é positivo, eles têm a mesma direção. Se negativo, eles são opostos (obs: se um dos coeficientes de a é nulo, fica subentendido que o correspondente de b também é nulo). Soma de vetores: se vetores são somados, o resultado tem as somas das coordenadas. Seja c = a + b E.1. Então, Xc = Xa + Xb E.2 Yc = Ya + Yb E.3 Zc = Za + Zb E.4 Multiplicação ou divisão por um escalar: as coordenadas do resultado têm a analogia. Seja c = m a F.1. Então, Xc = m Xa F.2 Yc = m Ya F.3 Zc = m Za F.4 http://www.mspc.eng.br/matm/vetor110.shtml 7. Produto escalar O produto escalar dos vetores a e b é dado pelo produto dos seusmódulos multiplicado pelo co ângulo entre eles. A notação clássica é a·b = |a| |b| cos α Notar que, graficamente, equivale à projeção de Ver Figura 7.1. Se dois vetores fazem um ângulo reto entre si, o seu produto esc Algumas propriedades do produto escalar a·b = b·a (a + b)·c = a·c + b·c (ma)·b = m (a·b) (ma)·(nb) = (mn) a·b No caso particular a·a = |a|2 o produto é denominado quadrado escalar Produto escalar em termos de coordenadas a {Xa, Ya, Za} b {Xb, Yb, Zb}. O produto escalar é dado por: a·b = XaXb + YaYb + ZaZb Vetores podem ser representados em forma de matrizes de coluna. Os vetores matrizes 3×1 que contêm suas coordenadas. Matriz transposta de outra matriz é a matriz formada pela troca de linhas com colunas. Portanto, a matriz transposta do vetor a, ou seja, aT, é é dado pelo produto dos seus módulos multiplicado pelo co ângulo entre eles. A notação clássica é a·b. Figura 7.1 Notar que, graficamente, equivale à projeção de b sobre a multiplicada pelo módulo de Se dois vetores fazem um ângulo reto entre si, o seu produto escalar é nulo porque cos 90 = 0. propriedades do produto escalar: quadrado escalar do vetor a. Produto escalar em termos de coordenadas: consideram-se os vetores: Vetores podem ser representados em forma de matrizes de coluna. Os vetores a matrizes 3×1 que contêm suas coordenadas. de outra matriz é a matriz formada pela troca de linhas com colunas. Portanto, a matriz é dado pelo produto dos seus módulos multiplicado pelo co-seno do A.1 multiplicada pelo módulo de a ou vice-versa. alar é nulo porque cos 90 = 0. B.1 B.2 B.4 B.5 C.1, D.1. a e b abaixo são dados por de outra matriz é a matriz formada pela troca de linhas com colunas. Portanto, a matriz Segundo a regra da multiplicação de matrizes Portanto, na notação matricial, o produto escalar é dado por: a·b = aT b Ângulo entre dois vetores cos α = a·b = XaXb + Y |a| |b| (Xa2 + Ya2 + Za2)1/2 Condição de perpendicularidade • Se a e b são perpendiculares entre si, então • Se a·b = 0, a e b são perpendiculares entre si. Significado físico do produto escalar Há inúmeros exemplos de aplicação de produto escalar em fenômenos físicos. Seja o uma força: No esquema da Figura 7.2, se um ponto material se desloca de 0 até 1 sob ação de uma força constante, então o produto escalar de Produto escalar e soma de vetores A Figura 7.3 dá a representação gráfica da soma simples OC2 = OB2 + BC2. E pode-se também verificar: multiplicação de matrizes, o produto aT b é a matriz 1×1 abaixo. Portanto, na notação matricial, o produto escalar é dado por: + YaYb + ZaZb 1/2 (Xb2 + Yb2 + Zb2)1/2 são perpendiculares entre si, então a·b = 0. são perpendiculares entre si. Figura 7.2 Significado físico do produto escalar Há inúmeros exemplos de aplicação de produto escalar em fenômenos físicos. Seja o , se um ponto material se desloca de 0 até 1 sob ação de uma força constante, então o produto escalar de F pelo vetor 01 é o trabalho executado por essa força. Produto escalar e soma de vetores dá a representação gráfica da soma simples c = a + b. Por trigonometria, deduz se também verificar: Figura 7.3 é a matriz 1×1 abaixo. E.1. F.1 Há inúmeros exemplos de aplicação de produto escalar em fenômenos físicos. Seja o caso do trabalho de , se um ponto material se desloca de 0 até 1 sob ação de uma força F é o trabalho executado por essa força. . Por trigonometria, deduz-se a relação: OC = c. OB = OA + AB = a + b cos φ. BC = b sen φ. Substituindo, c2 = a2 + 2 a b cos φ + b2 cos2 φ + b2 Simplificando, c2 = a2 + b2 + 2 a b cos φ. Mas a b cos φ soma é dada por: c2 = a2 + b2 + 2 a · b #G.1#. Produto escalar e subtração de vetores O caso de c = a − b equivale a c = a Tem-se OC2 = OA2 + AC2. OC = c. OA = a − b cos φ. AC = b sen φ. c2 = (a − b cos φ)2 + b2 sen2 φ c2 = a2 + b2 cos2 φ − 2 a b cos φ + b2 Simplificando, c2 = a2 + b2 − 2 a b cos φ, porque cos c2 = a2 + b2 − 2 a · b http://www.mspc.eng.br/matm/vetor120.shtml sen2 φ. a b cos φ é o produto escalar dos vetores a e b. Portanto, em módulo, a Produto escalar e subtração de vetores Figura 7.4 + (−b) conforme Figura 7.4. sen2 φ. cos2 φ + sen2 φ = 1. De forma similar ao caso anterior, http://www.mspc.eng.br/matm/vetor120.shtml . Portanto, em módulo, a . De forma similar ao caso anterior, H.1. 8. Produto vetorial Sejam, conforme Figura 8.1, a e b dois vetores no mesmo plano. O produto vetorial deles, simbolizado por a × b, é um vetor tal que: 1) Seu módulo é igual à área do paralelogramo |a × b| = |a| |b| sen α 2) É perpendicular ao plano dos vetores 3) A direção é dada pela regra da mão direita A expressão produto vetorial indica que é realmente um vetor, ao contrário do produto escalar. Desde que a direção é determinada pela regra anterior, fica evidente que a ordem dos fatores não é indiferente. Assim, b × a = − (a × b) significa que não há propriedade comutativa. Algumas propriedades do produto vetorial: a × a = 0 (a + b) × c = a × c + b × c (ma) × b = m(a × b) (ma) × (nb) = mn (a × b) Produto vetorial em função de coordenadas Sejam os vetores: a { Xa, Ya, Za } b { Xb, Yb, Zb } Conforme visto em página anterior, eles podem ser representados em forma de matriz: dois vetores no mesmo plano. O produto vetorial deles, simbolizado por Figura 8.1 1) Seu módulo é igual à área do paralelogramo 0123, isto é, 2) É perpendicular ao plano dos vetores a e b. regra da mão direita, considerando que a é o multiplicando e indica que é realmente um vetor, ao contrário do produto escalar. Desde que a direção é determinada pela regra anterior, fica evidente que a ordem dos fatores não é ade comutativa. Algumas propriedades do produto vetorial: Produto vetorial em função de coordenadas Conforme visto em página anterior, eles podem ser representados em forma de matriz: dois vetores no mesmo plano. O produto vetorial deles, simbolizado por A.1. é o multiplicando e b, o multiplicador. indica que é realmente um vetor, ao contrário do produto escalar. Desde que a direção é determinada pela regra anterior, fica evidente que a ordem dos fatores não é B.1. Isso C.1 C.2 C.3 C.4 Conforme visto em página anterior, eles podem ser representados em forma de matriz: O produto vetorial pode ser calculado pelo determinante da matriz abaixo, onde unitários do sistema de coordenadas. O resultado desse determinante será uma soma de coordenadas do produto vetorial. O produto vetorial pode ser também calculado com o uso do seguinte produto de matrizes. Notar que é o produto de um matriz 3×3 por uma 3×1, resultando em uma matriz 3×1 com as coordenadas do produto vetorial. Significado físico do produto vetorial Há vários exemplos físicos. Este é o caso do momento me Seja, conforme Figura 8.2, uma força O produto vetorial desses dois vetores dá o momento d Segundo leis da mecânica clássica, um corpo está em equilíbrio estático se a soma das forças e a so dos momentos atuantes são nulas. Se todas as forças atuantes estão no mesmo plano ou em planos paralelos, basta considerar os produtos dosmódulos das forças pelas distâncias no cálculo dos momentos. Caso contrário, a condição de equilíbrio só pode ser verificada com os momentos vetoriais. http://www.mspc.eng.br/matm/vetor130.shtml O produto vetorial pode ser calculado pelo determinante da matriz abaixo, onde i unitários do sistema de coordenadas. O resultado desse determinante será uma soma de i, j, k multiplicados por números que indicam as O produto vetorial pode ser também calculado com o uso do seguinte produto de matrizes. Notar que é o produto de um matriz 3×3 por uma 3×1, resultando em uma matriz 3×1 com as coordenadas Significado físico do produto vetorial Figura 8.2 Há vários exemplos físicos. Este é o caso do momento mecânico: , uma força F cuja distância até o ponto 0 é dada pelo vetor O produto vetorial desses dois vetores dá o momento da força em relação ao ponto 0. Segundo leis da mecânica clássica, um corpo está em equilíbrio estático se a soma das forças e a so Se todas as forças atuantes estão no mesmo plano ou em planos paralelos, basta considerar os produtos dos módulos das forças pelas distâncias no cálculo dos momentos. Caso contrário, a condição de verificada com os momentos vetoriais. http://www.mspc.eng.br/matm/vetor130.shtml i, j, k são os vetores multiplicados por números que indicam as O produto vetorial pode ser também calculado com o uso do seguinte produto de matrizes. Notar que é o produto de um matriz 3×3 por uma 3×1, resultando em uma matriz 3×1 com as coordenadas cuja distância até o ponto 0 é dada pelo vetor 01. a força em relação ao ponto 0. Segundo leis da mecânica clássica, um corpo está em equilíbrio estático se a soma das forças e a soma Se todas as forças atuantes estão no mesmo plano ou em planos paralelos, basta considerar os produtos dos módulos das forças pelas distâncias no cálculo dos momentos. Caso contrário, a condição de
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