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Anotac¸o˜es sobre Mo´dulo e norma.
Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡
rodrigo.uff.math@gmail.com
‡
1
Suma´rio
1 Mo´dulo e norma. 3
1.1 Mo´dulo e nu´meros reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Desigualdade triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2 max(x, y) =
x+ y + |x− y|
2
e min(x, y) =
x+ y − |x− y|
2
. . . . . . 10
1.2 Equac¸o˜es envolvendo mo´dulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Desigualdades com mo´dulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1 |a 1n − b 1n | ≤ |a− b| 1n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2 |
b∑
k=a
g(k)| ≤
b∑
k=a
|g(k)|. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.3 Valor absoluto de nu´meros complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.1 Aˆngulo entre dois vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2
Cap´ıtulo 1
Mo´dulo e norma.
1.1 Mo´dulo e nu´meros reais
Definic¸a˜o 1. Seja x um nu´mero real, definimos o mo´dulo de x que simbolizamos por |x|
da seguinte maneira
 |x| = x se x ≥ 0|x| = −x se x < 0
Propriedade 1. |x| = max{x,−x}.
Demonstrac¸a˜o.
Se x ≥ 0 enta˜o x = |x| e max{x,−x} = x. Se x < 0 enta˜o |x| = −x e max{x,−x} =
−x, pois −x e´ positivo e x e´ negativo.
Corola´rio 1. |x| ≥ 0.
Corola´rio 2. |x| ≥ x pois |x| = max{x,−x}, da mesma maneira |x| ≥ −x⇒ x ≥ −|x|.
Propriedade 2. |x| e´ o u´nico nu´mero real na˜o negativo cujo quadrado e´ x2, isto e´, se
y2 = x2 e y ≥ 0 enta˜o y = |x|.
Demonstrac¸a˜o.
Seja y ≥ 0 tal que y2 = x2, da´ı (y − x)(y + x) = 0, se x ≥ 0 enta˜o y − x = 0, y = x.
Se x < 0 enta˜o y + x = 0, y = −x, portanto y = |x|.
3
CAPI´TULO 1. MO´DULO E NORMA. 4
Propriedade 3 (Simetria). Seja a um nu´mero real enta˜o tem-se |a| = | − a|.
Demonstrac¸a˜o. Se a = 0 temos |0| = 0 e | − 0| = |0| = 0. Se a > 0 segue |a| = a
e −a < 0 logo para b = −a |b| = −b = −(−a) = a logo sa˜o iguais. Se a < 0 |a| = −a e
−a > 0 assim | − a| = −a assim tem-se a igualdade em todos os casos.
Propriedade 4.
|a|2 = a2
para qualquer a real.
Demonstrac¸a˜o. Se a ≥ 0 segue |a| = a e |a|2 = a2.
Se a < 0 enta˜o |a| = −a e |a|2 = (−a)2 = a2.
Propriedade 5.
√
a2 = |a| Para qualquer a real.
Demonstrac¸a˜o. √
a2 =
√
|a|2 = |a|.
Propriedade 6. Sejam 0 ≤ x e 0 ≤ y. Se x2 ≤ y2 enta˜o x ≤ y.
Demonstrac¸a˜o.
Vale (x− y)(x+ y) ≤ 0
como 0 ≤ x+ y deve valer (x− y) ≤ 0 da´ı x ≤ y .
Propriedade 7. Sejam 0 ≤ x e 0 ≤ y. Se x2 = y2 enta˜o x = y.
Demonstrac¸a˜o. Vale x ≤ y e na˜o pode valer a desigualdade estrita x < y pois da´ı
ter´ıamos x2 < y2 que contraria a hipo´tese, portanto y = x.
Propriedade 8 (Multiplicatividade).
|a||b| = |a.b|
para a e b reais quaisquer.
Demonstrac¸a˜o. Vale que |x.y|2 = (x.y)2 = x2y2 e (|x||y|)2 = |x|2|y|2 = x2.y2 os
quadrados desses nu´meros sa˜o iguais e eles sa˜o na˜o negativos, enta˜o segue que |x.y| =
|x||y|.
CAPI´TULO 1. MO´DULO E NORMA. 5
Demonstrac¸a˜o.[2] |a.b| =
√
(a.b)2 =
√
a2.b2 =
√
a2.
√
b2 = |a||b|.
Propriedade 9. |a| = 0⇔ a = 0.
Demonstrac¸a˜o.
ˆ ⇐). Se a = 0 enta˜o |a| = max{0,−0} = 0.
ˆ ⇒). Se |a| = 0 enta˜o |a|2 = a2 = 0⇒ a = 0.
Propriedade 10.
n∏
k=1
|ak| = |
n∏
k=1
ak|
Demonstrac¸a˜o. Por induc¸a˜o, para n = 1 vale, supondo para n nu´meros
n∏
k=1
|ak| = |
n∏
k=1
ak|
vamos provar para n+ 1
n+1∏
k=1
|ak| = |
n+1∏
k=1
ak|
temos
n+1∏
k=1
|ak| =
n∏
k=1
|ak|.|an+1| = |
n∏
k=1
ak||an+1| = |
n∏
k=1
akan+1| = |
n+1∏
k=1
ak| .
Propriedade 11. Se x 6= 0 enta˜o |1
x
| = 1|x| .
Demonstrac¸a˜o. Vale |x||1
x
| = |x
x
| = 1 da´ı |1
x
| e´ inverso de |x|, sendo 1|x| .
Corola´rio 3 (Preserva divisa˜o).
|x
y
| = |x||y| .
Propriedade 12. |a| ≥ a.
Demonstrac¸a˜o. Se a ≥ 0 tem-se |a| = a logo vale a igualdade. Se a < 0, |a| = −a e
de −a > 0 segue |a| = −a > a.
CAPI´TULO 1. MO´DULO E NORMA. 6
Exemplo 1. √
(|a|+ |b|)2 = |a|+ |b|.
√
(|a|+ |b|)2 = ||a|+ |b|| = |a|+ |b|
pois |a|+ |b| e´ na˜o negativo.
Propriedade 13. Vale que
|x|+ |y| = |x+ y| ⇔ x.y ≥ 0.
Demonstrac¸a˜o. ⇒) Suponha que |x|+ |y| = |x+ y| , elevando ao quadrado e usando
que |z|2 = z2 e (a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2 tem-se
(|x|+ |y|)2 = |x+ y|2 = x2 + 2|x||y|+ y2 = (x+ y)2 = x2 + 2xy + y2 ⇒
cancelando os termos comuns em ambos lados segue que
|x||y| = x.y
como |xy| ≥ 0 enta˜o o mesmo segue para x.y.
⇐).
Suponha agora que x.y ≥ 0, enta˜o x e y possuem o mesmo sinal ou pelo menos um
deles e´ nulo .
Se possuem o mesmo sinal, digamos positivo, temos que
|x|+ |y| = x+ y e |x+ y| = x+ y.
Se ambos possuem o sinal negativo, enta˜o
|x|+ |y| = −x− y e |x+ y| = −x− y,
enta˜o vale a igualdade . Agora se um dos elementos for nulo, digamos x = 0 sem perda
de generalidade, enta˜o
|x|+ |y| = |y| e |x+ y| = |y|,
enta˜o vale a igualdade, como quer´ıamos demonstrar.
Propriedade 14. Se x+ y = z + w e |z − w| ≥ |x− y| enta˜o vale que x.y ≥ z.w.
CAPI´TULO 1. MO´DULO E NORMA. 7
Demonstrac¸a˜o. De |z − w| ≥ |x− y| elevando ao quadrado, tem-se
z2 − 2wz + w2 ≥ x2 − 2xy + y2
elevando ao quadrado a identidade x+ y = z + w, seguem tambe´m que
x2 + 2xy + y2 = z2 + 2zw + w2 (1.1)
podemos usar essa identidade na desigualdade anterior pois podemos escrever
z2 + 2wz + w2 − 4wz ≥ x2 + 2xy + y2 − 4xy
cancelando os termos iguais de ambos lados dados por (1.1), segue
−4wz ≥ −4xy ⇒ xy ≥ wz
como quer´ıamos demonstrar.
1.1.1 Desigualdade triangular
Propriedade 15. |a| ≤ b⇔ −b ≤ a ≤ b.
Demonstrac¸a˜o.
ˆ ⇒). Se |a| ≤ b , vale −b ≤ −|a| e da´ı
−b ≤ −|a| ≤ a ≤ |a| ≤ b
enta˜o −b ≤ a ≤ b.
ˆ ⇐).Se −b ≤ a ≤ b enta˜o a ≤ b e −b ≤ a⇒ −a ≤ b, portanto |a| ≤ b.
Propriedade 16 (Desigualdade triangular).
|a+ b| ≤ |a|+ |b|
para quaisquer a e b reais.
CAPI´TULO 1. MO´DULO E NORMA. 8
Demonstrac¸a˜o.
a.b ≤ |ab| = |a||b|
multiplicando por 2 e somando a2 + b2 em ambos lados
a2 + 2ab+ b2 = (a+ b)2 ≤ a2 + 2|a||b|+ b2 = |a|2 + 2|a||b|+ |b|2 = (|a|+ |b|)2
logo (|a+ b|)2 ≤ (|a|+ |b|)2 de onde segue usando a propriedade anterior
|a+ b| ≤ |a|+ |b|.
Demonstrac¸a˜o.[2] Valem as desigualdades
−|a| ≤ a ≤ |a|, −|b| ≤ b ≤ |b|
somando ambas
−(|b|+ |a|) ≤ a+ b ≤ |b|+ |a|
que equivale a`
|a+ b| ≤ |a|+ |b|.
Demonstrac¸a˜o.[3] Sabemos que vale sempre x ≤ |x| e y ≤ |y| enta˜o x+ y ≤ |x|+ |y|,
da´ı se 0 ≤ x+ y temos
|x+ y| = x+ y ≤ |x|+ |y|.
Vale tambe´m que −x ≤ |x| e −y ≤ |y| enta˜o se x+ y < 0 segue |x+ y| = −(x+ y) ≤
|x|+ |y|. Em qualquer dos casos temos |x+ y| ≤ |x|+ |y|.
Corola´rio 4. Na desigualdade triangular
|a+ b| ≤ |a|+ |b|
tomando a = x− y , b = y − z segue
|x− z| ≤ |x− y|+ |y − z|
Propriedade 17 (Idempoteˆncia).
||a|| = |a|
para qualquer a real.
CAPI´TULO 1. MO´DULO E NORMA. 9
Demonstrac¸a˜o. |a| = b, com b ≥ 0, logo |b| = b = |a| = ||a||.
Propriedade 18.
||a| − |b|| ≤ |a− b|.
Demonstrac¸a˜o. Pela desigualdade triangular temos que
|a| ≤ |a− b|+ |b| logo |a| − |b| ≤ |a− b|
tem-se tambe´m que
|b| ≤ |a− b|+ |a| ⇒ |b| − |a| = −
(
|a| − |b|
)
≤ |a− b| ⇒ −|a− b| ≤ |a| − |b|
juntando as duas desigualdades
−|a− b| ≤ |a| − |b| ≤ |a− b|
que implica
||a| − |b|| ≤ |a− b|.
Propriedade 19. |a− b| < ε⇒ |a| < |b|+ ε.
Demonstrac¸a˜o. Partindo da desigualdade |a− b| < ε, somamos |b| a ambos lados
|a− b|+ |b| < ε+ |b|
e usamos agora a desigualdade triangular
|a| ≤ |a− b|+ |b| < ε+ |b|
da´ı segue
|a| ≤ ε+ |b|.
Da mesma forma vale se |a−b| < ε enta˜o |b| ≤ ε+|a| ⇒ |b|−ε ≤ |a| e com |a| ≤ ε+|b|.
temos
|b| − ε ≤ |a| ≤ ε+ |b|.
Vimos que |a− b| < ε implica |a| < |b|+ ε, mas como a ≤ |a| segue a < |b|+ ε.
Corola´rio 5. |x− y| ≤ |x|+ |y|, pois da desigualdadetriangular e de |y| = | − y| tem-se
|x− y| ≤ |x|+ | − y| = |x|+ |y|.
CAPI´TULO 1. MO´DULO E NORMA. 10
1.1.2 max(x, y) =
x+ y + |x− y|
2
e min(x, y) =
x+ y − |x− y|
2
.
Propriedade 20. Vale max(x, y) =
x+ y + |x− y|
2
e min(x, y) =
x+ y − |x− y|
2
.
Demonstrac¸a˜o. Se x ≥ y enta˜o x − y = |x − y| da´ı x+ y + x− y
2
= x como vale
max(x, y) + min(x, y) = x+ y enta˜o min(x, y) =
x+ y − |x− y|
2
.
1.2 Equac¸o˜es envolvendo mo´dulo
Corola´rio 6. Diretamente da definic¸a˜o podemos concluir que
|f(x)| = f(x)⇔ f(x) ≥ 0
pois se fosse f(x) < 0 enta˜o −f(x) = f(x) e da´ı f(x) = 0 o que e´ absurdo.
Exemplo 2. Quais sa˜o os valores de x tal que |3x− 2| = 3x− 2 ? pelo resultado anterior
3x− 2 ≥ 0⇔ x ≥ 2
3
.
1.3 Desigualdades com mo´dulo
Propriedade 21. Vale a desigualdade
|an − bn| ≤ nMn−1|a− b|
onde M = max{|a|, |b|}.
Demonstrac¸a˜o. Vale an − bn = (a − b)
n−1∑
k=0
akbn−1−k, tomando o mo´dulo em ambos
lados segue
|an− bn| = |(a− b)||
n−1∑
k=0
akbn−1−k| ≤ |(a− b)|
n−1∑
k=0
|a|k|b|n−1−k ≤ |(a− b)|
n−1∑
k=0
|M |k|M |n−1−k
da´ı
|(a− b)| ≤ |a− b|nMn−1 .
CAPI´TULO 1. MO´DULO E NORMA. 11
1.3.1 |a 1n − b 1n | ≤ |a− b| 1n .
Propriedade 22. Sejam a ≥ 0, b ≥ 0 enta˜o
|a 1n − b 1n | ≤ |a− b| 1n
Demonstrac¸a˜o. Supondo a ≥ b , definindo c = a 1n e d = b 1n , enta˜o c − d ≥ 0 por
expansa˜o binomial tem-se
cn = ((c− d) + d)n =
n∑
k=0
(
n
k
)
(c− d)kdn−k ≥ dn + (c− d)n ≥ 0
da´ı cn − dn ≥ (c− d)n ≥ 0 implicando
|a− b| ≥ |a 1n − b 1n |n
e da´ı
|a 1n − b 1n | ≤ |a− b| 1n .
Propriedade 23. Suponha (bn) na˜o crescente com bn ≥ 0. Se
m ≤
n∑
k=1
ak ≤M
enta˜o
b1m ≤
n∑
k=1
akbk ≤ b1M.
Demonstrac¸a˜o. Vamos usar a soma por partes
n∑
k=1
g(k)∆f(k) = f(n+ 1)g(n+ 1)− f(1)g(1)−
n∑
k=1
f(k + 1)∆g(k)
tomando g(k) = bk e ∆f(k) = ak tem-se f(n) =
n−1∑
k=1
ak da´ı
n∑
k=1
bkak = b(n+ 1)
n∑
k=1
ak −
n∑
k=1
(
k∑
s=1
as)∆bk
b(n+ 1)
n∑
k=1
ak +
n∑
k=1
(
k∑
s=1
as)(−∆bk)
como m ≤
n∑
k=1
ak ≤ M podemos multiplicar por bn+1 de ambos lados sem alterar a
desigualdade, da´ı
CAPI´TULO 1. MO´DULO E NORMA. 12
1.3.2 |
b∑
k=a
g(k)| ≤
b∑
k=a
|g(k)|.
Propriedade 24 (Desigualdade triangular generalizada). Sejam g(k) definida para k
inteiro ,a, b ∈ Z, enta˜o vale
|
b∑
k=a
g(k)| ≤
b∑
k=a
|g(k)|.
Demonstrac¸a˜o. Para cada k vale
−|g(k)| ≤ g(k) ≤ |g(k)|
aplicando o somato´rio em ambos lados segue
−
b∑
k=a
|g(k)| ≤
b∑
k=a
g(k) ≤
b∑
k=a
|g(k)|
que implica
|
b∑
k=a
g(k)| ≤ |
b∑
k=a
|g(k)|| =
b∑
k=a
|g(k)|
pois os termos |g(k)| somados sa˜o na˜o negativos ,logo a soma desses termos e´ na˜o-negativa
e o mo´dulo da soma e´ igual a soma.
Propriedade 25. A identidade que provamos acima vale para nu´meros reais, vamos
provar agora por induc¸a˜o que se vale |z + w| ≤ |z|+ |w| para quaisquer z, w enta˜o vale
|
n∑
k=1
zk| ≤
n∑
k=1
|zk|
de maneira que possa ser usada para nu´meros complexos , normas e outras estruturas que
satisfazem a desigualdade triangular.
Demonstrac¸a˜o.[2] Por induc¸a˜o sobre n, para n = 1 tem-se
|
1∑
k=1
zk| = |z1| ≤
1∑
k=1
|zk| = |z1|
logo vale. Supondo a validade para n
|
n∑
k=1
zk| ≤
n∑
k=1
|zk|
CAPI´TULO 1. MO´DULO E NORMA. 13
vamos provar para n+ 1
|
n+1∑
k=1
zk| ≤
n+1∑
k=1
|zk|.
Da hipo´tese da induc¸a˜o somamos |zn+1| em ambos lados, logo
|
n+1∑
k=1
zk| = |zn+1 +
n∑
k=1
zk| ≤ |zn+1|+ |
n∑
k=1
zk| ≤
n+1∑
k=1
|zk|
Vejamos outras1 demonstrac¸o˜es da desigualdade triangular
Demonstrac¸a˜o.[3] Vale
(
n∑
k=1
ak)
2 =
n∑
k=1
a2k +
∑
k 6=j
akaj
da´ı
(
n∑
k=1
|ak|)2 =
n∑
k=1
|ak|2 +
∑
k 6=j
|akaj| =
n∑
k=1
a2k +
∑
k 6=j
|akaj|
como |ak.aj| ≥ akaj enta˜o
∑
k 6=j
|akaj| ≥
∑
k 6=j
akaj, disso segue que
(
n∑
k=1
|ak|)2 ≥
n∑
k=1
a2k +
∑
k 6=j
akaj = (
n∑
k=1
ak)
2
disso segue que
(
n∑
k=1
|ak|)2 ≥ (|
n∑
k=1
ak|)2
logo
n∑
k=1
|ak| ≥ |
n∑
k=1
ak|.
Demonstrac¸a˜o.[4] Vale |a− b| ≤ |a|+ |b| de (ak)n1 sejam (ak)nj+1 os termos negativos
da sequeˆncia, enta˜o podemos escrever
|
n∑
k=1
ak| = |
j∑
k=1
|ak|︸ ︷︷ ︸
a
−
n∑
k=j+1
|ak|︸ ︷︷ ︸
b
| ≤ |a|+ |b|
pois
j∑
k=1
|ak| =
j∑
k=1
ak os termos sa˜o na˜o negativos e
n∑
k=j+1
|ak| = −
n∑
k=j+1
ak da´ı vale a
igualdade acima portanto
|
n∑
k=1
ak| ≤ |
n∑
k=1
|ak||+ |
n∑
k=j+1
|ak|| =
n∑
k=1
|ak|.
1Essas demonstrac¸o˜es aprendi com Pedro Kenzo, obrigado por compartilhar as soluc¸o˜es.
CAPI´TULO 1. MO´DULO E NORMA. 14
1.3.3 Valor absoluto de nu´meros complexos
Definic¸a˜o 2 (Valor absoluto-mo´dulo). Definimos o valor absoluto ou mo´dulo de um
nu´mero complexo z = x+ yi como
|z| =
√
x2 + y2.
Corola´rio 7. O mo´dulo de nu´meros complexos abrange o de nu´meros reais, pois se
z = a+ 0.i enta˜o |z| =
√
a2 + 02 =
√
a2 = |a| = |z|.
Corola´rio 8. Sendo z = a + bi enta˜o |iz| = |z| pois |i.z| = |ia − b| =
√
a2 + (−b)2 =√
a2 + (b)2 = |z|. Vale tambe´m que |−iz| = |z| pois |−i.z| = |−ia+b| =
√
(−a)2 + (b)2 =√
a2 + (b)2 = |z|. Em especial |i| = | − i| = 1.
Corola´rio 9. Vale tambe´m | − z| = |z| pois z = a + bi, −z = −a − bi e da´ı | − z| =√
(−a)2 + (−b)2 =
√
a2 + b2.
Propriedade 26 (Idempoteˆncia).
||z|| = |z|.
Demonstrac¸a˜o.
|z| =
√
a2 + b2
e como
√
a2 + b2 e´ positivo real, enta˜o |
√
a2 + b2| =
√
a2 + b2
|
√
a2 + b2| =
√
(
√
a2 + b2)2 =
√
a2 + b2.
Propriedade 27. Valem as propriedades
Rez ≤ |Rez| ≤ |z| e Imz ≤ |Imz| ≤ |z|.
Seja z = a + bi, valem as desigualdades a2 < b2 + a2 e b2 < a2 + b2, tomando a raiz de
ambos lados segue |a| <
√
b2 + a2 e |b| <
√
b2 + a2 , enta˜o
Rez ≤ |Rez| ≤ |z| e Imz ≤ |Imz| ≤ |z|
pois Rez = a Imz = b e as desigualdades Rez ≤ |Rez| e Imz ≤ |Imz| sa˜o igualdade
conhecidas de mo´dulo de um nu´mero real.
CAPI´TULO 1. MO´DULO E NORMA. 15
Propriedade 28.
|z|2 = z.z.
Corola´rio 10. Se z 6= 0 enta˜o 1
z
=
z
|z|2 .
Demonstrac¸a˜o. |z|2 = a2+b2 e z.z = (a+bi)(a−bi) = a2+b2, enta˜o vale a igualdade.
Propriedade 29.
|z| = |z|.
Demonstrac¸a˜o. z = a + bi enta˜o |z| =
√
a2 + b2 e z = a − bi implica |z| =√
a2 + (−b)2 =
√
a2 + b2 .
Propriedade 30. |z.w| = |z| |w|
Demonstrac¸a˜o. Sendo z = a + bi, w = x + yi enta˜o z.w = (ax − by) + (ay + bx)i
da´ı |zw| =
√
(ax− by)2 + (ay + bx)2 =
√
a2x2 − 2axby + b2y2 + a2y2 + 2aybx+ b2x2 =√
a2x2 + b2y2 + a2y2 + b2x2 e
|z||w| =
√
a2 + b2
√
x2 + y2 =
√
(a2 + b2)(x2 + y2) =
√
a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2
logo |z||w| = |zw|.
Corola´rio 11. Se z 6= 0 enta˜o |1| = 1 = |z
z
| = |z|.|1
z
| da´ı |1
z
| = 1|z| . O mesmo valendo
para z, essas propriedades implicam que
|w|
|z| = |
w
z
|
w
z
=
w
z
.
Propriedade 31.
n∏
k=1
|zk| = |
n∏
k=1
zk|.
Demonstrac¸a˜o. Por induc¸a˜o sobre n. Para n = 1 vale, supondo para n, vamos
provar para n+ 1.
|
n∏
k=1
zk| = | (
n∏
k=1
zk)zn+1| = |
n∏
k=1
zk||zn+1| =
n∏
k=1
|zk|.|zn+1| = |
n+1∏
k=1
zk|.
CAPI´TULO 1. MO´DULO E NORMA. 16
Corola´rio 12. wz = wz pois wz = w z = wz.
Corola´rio 13. 2Re z.w = z.w + z.w = z.w + wz.
Corola´rio 14. |z + w|2 = |z|2 + 2Re z.w + |w|2 pois
|z + w|2 = (z + w)(z + w) = (z + w)(z + w) = z.z + z.w + zw + w.w =
= |z|2 + 2Re z.w + |w|2.
Corola´rio 15 (Desigualdade triangular). Como Re z.w ≤ |z.w| enta˜o
|z|2 + 2Re z.w + |w|2 ≤ |z|2 + 2|z.w|+ |w|2 = |z|2 + 2|z|.|w|+ |w|2 = (|z|+ |w|)2.
Enta˜o tem-se
|z + w|2 ≤ (|z|+ |w|)2
implicando |z + w| ≤ |z|+ |w|.
Corola´rio 16.|z−w| ≤ |z|+|w| pois |−w| = |w| da´ı aplicamos a desigualdade triangular.
Propriedade 32. Se z = x+ yi e w = a+ bi enta˜o
z
w
=
ax+ by
a2 + b2
+ i
ay − bx
a2 + b2
.
Demonstrac¸a˜o.
z
w
= z
1
w
=
z.w
|2|2 =
ax+ by
a2 + b2
+ i
ay − bx
a2 + b2
.
Propriedade 33. |z| = 0 sse z = 0.
Demonstrac¸a˜o. Se z = 0 enta˜o |z| =
√
0 = 0, se |z| = 0 enta˜o |z|2 = 0 e da´ı
a2 + b2 = 0, que so´ acontece quando a = b = 0.
Propriedade 34. Se z = cosx+ isenx para algum x enta˜o |z| = 1.
Demonstrac¸a˜o. |z| = cos2x+ sen2x = 1.
Propriedade 35. Vale a desigualdade
||zn| − |z|| ≤ |zn − z|.
CAPI´TULO 1. MO´DULO E NORMA. 17
Demonstrac¸a˜o. Por desigualdade triangular valem as desigualdades
|zn| − |z| ≤ |zn − z| e − |zn|+ |z| ≤ |zn − z|
enta˜o
||zn| − |z|| ≤ |zn − z|.
Exemplo 3. Se z = reiθ enta˜o |eiz| = e−rsen(θ). Vale
iz = ir(cos(θ) + isen(θ)) = ircos(θ)− rsen(θ)
enta˜o
eiz = eircos(θ)e−rsen(θ)
tomando o mo´dulo
|eiz| = |eircos(θ)|︸ ︷︷ ︸
=1
| e−rsen(θ)︸ ︷︷ ︸
>0
| = e−rsen(θ).
1.4 Norma
Definic¸a˜o 3 (Espac¸o vetorial normado). Um espac¸o vetorial V e´ dito ser normado se para
cada elemento v de V e´ associado um nu´mero real ‖v‖ tal que valem as propriedades:
1.
Positividade ‖v‖ = 0 ⇔ v = 0.
2.
Produto por constante ‖av‖ = |a|‖v‖.
3.
Desigualdade triangular ‖u+ v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖.
sendo u ∈ V e a um escalar. Nesse caso dizemos que (V, ‖ ‖) e´ um espac¸o vetorial
normado.
Propriedade 36. Vale ‖ − v‖ = ‖v‖ para todo v ∈ V.
CAPI´TULO 1. MO´DULO E NORMA. 18
Demonstrac¸a˜o.
‖ − v‖ = | − 1|‖v‖ = ‖v‖.
Propriedade 37. Vale ‖x‖ ≥ 0 para todo x ∈ V .
Demonstrac¸a˜o. Pela desigualdade triangular
‖u+ v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖
tomando u = x e v = −x segue
‖x− x‖ = 0 ≤ ‖x‖+ ‖ − x‖ = 2‖x‖
da´ı ‖x‖ ≥ 0.
Propriedade 38. Vale que
| ||x|| − ||y|| | ≤ ||x− y||, ∀x, y ∈ V.
Demonstrac¸a˜o. Pela desigualdade triangular, temos que
||x|| ≤ ||y||+ ||x− y||,
||y|| ≤ ||x||+ ||x− y||︸ ︷︷ ︸
=||y−x||
,
por isso temos que ||y||+ ||x− y|| ≥ ||x|| − ||y||.
Definic¸a˜o 4. Seja V um espac¸o com produto interno 〈, 〉, definimos a norma (ou compri-
mento) de um vetor v em relac¸a˜o a esse produto interno por
‖v‖ :=
√
〈v, v〉.
Definic¸a˜o 5. Se ‖v‖ = 1 v e´ chamado vetor unita´rio e dizemos que v esta´ normalizado.
A seguir propriedades va´lidas para quaisquer v, w em um espac¸o vetorial V com pro-
duto interno e a ∈ R.
Propriedade 39. ‖v‖ ≥ 0 e ‖v‖ = 0 sse v = 0.
CAPI´TULO 1. MO´DULO E NORMA. 19
Demonstrac¸a˜o. Temos
‖v‖ =
√
〈v, v〉
e como 〈v, v〉 ≥ 0 segue
√
〈v, v〉 ≥ 0 e 〈v, v〉 = 0 sse v = 0, segue
√
〈v, v〉 = 0 sse v = 0.
Propriedade 40.
‖av‖ = |a| ‖v‖.
Demonstrac¸a˜o.
‖av‖ =
√
〈av, av〉 =
√
a2〈v, v〉 = |a|
√
〈v, v〉 = |a| ‖v‖.
Propriedade 41 (Desigualdade de Schwarz).
‖w‖ ‖v‖ ≥ |〈v, w〉|.
Demonstrac¸a˜o. Para v = 0 vale a igualdade, pois ‖v‖ = 0 e 〈0, w〉 = 0, enta˜o seja
v 6= 0, para qualquer t real vale
〈tv + w, tv + w〉 ≥ 0
logo
t2〈v, v〉+ 2t〈v, w〉+ 〈w,w〉 ≥ 0
(tentar ver potenciac¸a˜o de produtos internos) como 〈v, v〉 e´ sempre positivo, temos que
ter o discriminante negativo, logo
4〈v, w〉2 − 4〈v, v〉 〈w,w〉 ≤ 0
donde segue
‖w‖ ‖v‖ ≥ |〈v, w〉|.
Se 〈v, w〉 ≥ 0 temos
‖w‖ ‖v‖ ≥ 〈v, w〉
se 〈v, w〉 < 0 ainda temos
‖w‖ ‖v‖ ≥ 〈v, w〉
pois a norma e´ um nu´mero na˜o negativo.
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Propriedade 42. Vale a seguinte identidade
‖u+ v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 + 2〈u, v〉.
Demonstrac¸a˜o.
‖u+ v‖2 =
√
〈u+ v, u+ v〉2 = 〈u+ v, u+ v〉 = 〈u, u〉+ 2〈u, v〉+ 〈v, v〉 =
= ‖u‖2 + ‖v‖2 + 2〈u, v〉.
Propriedade 43 (Desigualdade triangular).
‖u‖+ ‖v‖ ≥ ‖u+ v‖
Da identidade
‖u+ v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 + 2〈u, v〉
e da desigualdade
‖u‖ ‖v‖ ≥ 〈u, v〉
segue
‖u+ v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 + 2〈u, v〉 ≤ ‖u‖2 + ‖v‖2 + 2‖u‖ ‖v‖ = (‖u‖+ ‖v‖)2
logo
(‖u‖+ ‖v‖)2 ≥ ‖u+ v‖2
de onde segue
‖u‖+ ‖v‖ ≥ ‖u+ v‖.
1.4.1 Aˆngulo entre dois vetores
A desigualdade de Schwarz nos possibilita definir aˆngulo entre vetores na˜o nulo em
um espac¸o vetorial V munido de um produto interno, da desigualdade de Schwarz temos
|〈v, w〉|
‖v‖ ‖w‖ ≤ 1
de onde temos se 〈v, w〉 < 0
−〈v, w〉
‖v‖ ‖w‖ ≤ 1
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〈v, w〉
‖v‖ ‖w‖ ≥ −1
e se 〈v, w〉 > 0
〈v, w〉
‖v‖ ‖w‖ ≤ 1
logo
−1 ≤ 〈v, w〉‖v‖ ‖w‖ ≤ 1
portanto existe aˆngulo α em [0, pi] tal que
cosα =
〈v, w〉
‖v‖ ‖w‖ .
Propriedade 44. Se v⊥w, temos 〈v, w〉 = 0 logo cosα = 0 em [0, pi] enta˜o α = pi/2, isto
e´ , se os vetores sa˜o ortogonais enta˜o aˆngulo entre eles e´ de pi/2.