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Potenciac¸a˜o
Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡
Universidade Federal Fluminense - UFF-RJ
rodrigo.uff.math@gmail.com
‡
1
Suma´rio
1 Potenciac¸a˜o 3
1.1 Potenciac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Definic¸a˜o de poteˆncia de base real e expoente inteiro. . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Propriedades ba´sicas de potenciac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2
Cap´ıtulo 1
Potenciac¸a˜o
Esse texto ainda na˜o se encontra na sua versa˜o final, sendo, por enquanto, cons-
titu´ıdo apenas de anotac¸o˜es informais. Sugesto˜es para melhoria do texto, correc¸o˜es da
parte matema´tica ou gramatical eu agradeceria que fossem enviadas para meu Email
rodrigo.uff.math@gmail.com.
1.1 Potenciac¸a˜o
1.2 Definic¸a˜o de poteˆncia de base real e expoente
inteiro.
Podemos definir a poteˆncia de base real e expoente natural da seguinte maneira
Definic¸a˜o 1 (Definic¸a˜o por produto´rio).
xn :=
n∏
k=1
x
para n natural e x real.
Propriedade 1. Para n = 0 o produto´rio e´ vazio, logo o resultado e´ 1 ( que e´ o elemento
neutro do produto), para qualquer valor de x real, incluindo 0, temos enta˜o
0∏
k=1
x = 1 = x0.
3
CAPI´TULO 1. POTENCIAC¸A˜O 4
Podemos definir tambe´m a potenciac¸a˜o, da seguinte maneira
Definic¸a˜o 2 (Definic¸a˜o por recorreˆncia).
x0 = 1
xn+1 = xn.x
para qualquer x real e n natural.
Vamos mostrar que as definic¸o˜es sa˜o equivalentes.
Partindo da primeira definic¸a˜o, vamos mostrar que vale a segunda definic¸a˜o
x0 =
0∏
k=1
x = 1
logo a primeira propriedade vale, mostrando a segunda
xn+1 =
n+1∏
k=1
x = [
n∏
k=1
x]x = xn.x
logo vale a segunda propriedade e definic¸a˜o.
Para mostrar que vale
n∏
k=1
x = xn
partindo da segunda definic¸a˜o, podemos usar induc¸a˜o sobre n, para n = 0 temos a propri-
edade verdadeira, pois temos 1 como resultado para ambas expresso˜es, supondo a validade
para n
n∏
k=1
x = xn
vamos provar para n+ 1
n+1∏
k=1
x = xn+1
Temos que
n+1∏
k=1
x = [
n∏
k=1
x]x = xn.x = xn+1
logo esta´ provado.
Propriedade 2. 0n = 0 para n > 0.
CAPI´TULO 1. POTENCIAC¸A˜O 5
Demonstrac¸a˜o. Temos que n > 0, enta˜o n − 1 ≥ 0, logo n − 1 e´ natural e pela
propriedade recursiva temos 0n = 0.0n−1 = 0.
Definic¸a˜o 3 (Poteˆncia de expoente inteiro negativo). Seja a 6= 0 um nu´mero real e n um
natural, definimos
a−n :=
1
an
.
Corola´rio 1. ana−n = 1, pois
ana−n = an
1
an
= 1
com a 6= 0 e n natural.
Propriedade 3. Vale
am
an
= am−n
para a 6= 0 e m e n, inteiros.
Demonstrac¸a˜o.
Definic¸a˜o 4 (Definic¸a˜o por extensa˜o do produto´rio). Podemos definir potenciac¸a˜o para
uma base real x 6= 0 e expoente inteiro n, da seguinte maneira
xn =:
n∏
k=1
x.
Observe que a definic¸a˜o e´ para n ∈ Z e na˜o n ∈ N.
Para x = 0 e n ∈ N usamos a definic¸a˜o ja´ usada aqui
0n =
n∏
k=1
0.
Usamos a definic¸a˜o extendida de produto´rio, que satisfaz condic¸a˜o inicial
a∏
k=a
f(k) = f(a)
recorreˆncia ( propriedade de abertura)
c∏
k=a
f(k) =
b∏
k=a
f(k).
c∏
k=b+1
f(k)
CAPI´TULO 1. POTENCIAC¸A˜O 6
produto vazio
a−1∏
k=a
f(k) = 1
e
c∏
k=a
f(k) =
1
a−1∏
k=c+1
f(k)
para a, b, c ∈ Z arbitra´rios, o limite superior do produto´rio1 podendo ser menor que o
inferior.
Com isso temos alguns corola´rios diretos
Corola´rio 2.
a0 =
0∏
k=1
a = 1
para todo a real, inclusive se a = 0.
Corola´rio 3. Dado n natural e a 6= 0 enta˜o
a−n =
−n∏
k=1
a =
1
0∏
k=−n+1
a
=
1
n∏
k=1
a
=
1
an
.
1.3 Propriedades ba´sicas de potenciac¸a˜o
Usaremos a u´ltima definic¸a˜o de potenciac¸a˜o de base real e expoente inteiro para de-
monstrar propriedades ba´sicas de potenciac¸a˜o, esse uso faz com que as demonstrac¸o˜es
sejam feitas de maneira ra´pida e abrangendo o caso em que n e´ positivo ou negativo na
poteˆncia xn. As demonstrac¸o˜es ficam mais curtas e sem necessidade de uso de induc¸a˜o
finita e separac¸a˜o em casos.
Propriedade 4.
aman = am+n
com a 6= 0 real e m,n inteiros.
1Mais detalhes sobre esse tipo de produto´rio escrevi em uma anotac¸a˜o chamada anotac¸o˜es sobre
produto´rios, onde tento explorar com mais detalhes essas propriedades
CAPI´TULO 1. POTENCIAC¸A˜O 7
Demonstrac¸a˜o. Usando produto´rio
[
m∏
k=1
a][
n∏
k=1
a] = [
m∏
k=1
a][
n+m∏
k=1+m
a] = [
m+n∏
k=1
a] = an+m.
Propriedade 5.
am
an
= am−n
com a 6= 0 e m,n inteiros .
Demonstrac¸a˜o. Podemos abrir o produto´rio
(
m∏
k=1
a)
n∏
k=1
a
=
(
n∏
k=1
a)(
m∏
k=1+n
a)
n∏
k=1
a
=
m∏
k=1+n
a =
m−n∏
k=1
a = am−n.
Propriedade 6.
(a.b)n = an.bn
n inteiro e a e b reais.
Demonstrac¸a˜o.
n∏
k=1
(a.b) =
n∏
k=1
(a)
n∏
k=1
(b) = an.bn.
Propriedade 7. (
a
b
)n
=
an
bn
a, b 6= 0 reais e n inteiro.
Demonstrac¸a˜o.
n∏
k=1
(
a
b
) = (
n∏
k=1
a
n∏
k=1
b
) =
an
bn
.
Propriedade 8.
(am)n = am.n
para a real e m, n inteiros.
CAPI´TULO 1. POTENCIAC¸A˜O 8
Demonstrac¸a˜o.
n∏
k=1
am = a
n∑
k=1
m
= am.n.
Propriedade 9.
1n = 1
para qualquer n inteiro.
Demonstrac¸a˜o.
1n =
n∏
k=1
1 = an
tomando o logaritmo
log(an) =
n∑
k=1
log(1) = 0
como log e´ injetora tem-se an = 1∀n ∈ Z, logo 1n = 1.
Demonstrac¸a˜o.[2]
Seja n fixo e x = 1n, vale que
(1n)2 = (12)n = 1n
da´ı x2 = x, como x 6= 0 enta˜o x = 1.
12 = 1 pois 12 = 1.1 = 1.
Propriedade 10. Se a > 0 e n > 0 enta˜o an > 0.
Demonstrac¸a˜o.
a > 0
aplicamos
n∏
k=1
de ambos lados
an > 0.
Corola´rio 4. Se a < 0 enta˜o a2n > 0 e a2n+1 < 0, pois
a2n = a2
n
> 0
a2n+1 = a2n.a < 0.