Álgebra1-mod1

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A´LGEBRA I
Maria Lu´cia Torres Villela
Instituto de Matema´tica
Universidade Federal Fluminense
Junho de 2007
Revisa˜o em Fevereiro de 2008
Suma´rio
Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Parte 1 - Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Sec¸a˜o 1 - Noc¸o˜es sobre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Sec¸a˜o 2 - Func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Sec¸a˜o 3 - Relac¸o˜es de Equivaleˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Parte 2 - Ane´is . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Sec¸a˜o 1 - Conceito de anel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Sec¸a˜o 2 - Propriedades elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Sec¸a˜o 3 - Polinoˆmios com coeficientes em um anel comutativo 53
Sec¸a˜o 4 - Ane´is ordenados e ane´is bem ordenados . . . . . . . . . 63
Sec¸a˜o 5 - Induc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Sec¸a˜o 6 - Divisa˜o euclidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Parte 3 - Domı´nios Principais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Sec¸a˜o 1 - Divisibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Sec¸a˜o 2 - Ideais e ma´ximo divisor comum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Sec¸a˜o 3 - Domı´nios principais e a fatorac¸a˜o u´nica . . . . . . . . . 99
Sec¸a˜o 4 - Propriedades do Domı´nio Principal Z . . . . . . . . . 107
Sec¸a˜o 5 - Congrueˆncias mo´dulo n e os ane´is Zn . . . . . . . . . 117
Sec¸a˜o 6 - Homomorfismos de ane´is comutativos com unidade 137
Introduc¸a˜o
A Matema´tica faz parte do nosso cotidiano e, em particular, recorremos
aos nu´meros para descrever diversas situac¸o˜es do dia a dia.
Contamos com os nu´meros naturais, repartimos um bolo usando os
nu´meros racionais, medimos comprimentos com os nu´meros reais, contabili-
zamos preju´ızos com nu´meros negativos. Comparamos dois nu´meros inteiros,
dois nu´meros racionais e dois nu´meros reais. Calculamos ra´ızes de polinoˆmios
com coeficientes reais com os nu´meros complexos.
Estamos familiarizados com nu´meros naturais, inteiros, racionais, reais
e complexos, que esta˜o relacionados pelas seguintes incluso˜es:
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.
Esses conjuntos esta˜o munidos com operac¸o˜es de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o,
que teˆm diversas propriedades.
O objetivo deste texto e´ introduzir o estudo de estruturas alge´bricas,
abordando os conceitos de anel, domı´nio, corpos, domı´nio ordenado, corpo
ordenado e domı´nio principal.
O conjunto dos inteiros e´ o primeiro exemplo de domı´nio principal, sera´
estudado sob o ponto de vista alge´brico e aritme´tico e faremos um estudo
detalhado das suas propriedades no contexto dos domı´nios principais.
Outro exemplo de domı´nio principal que sera´ introduzido e´ o anel K[x]
de polinoˆmios com coeficientes no corpo K.
Estudaremos congrueˆncias de inteiros e introduziremos os ane´is Zn dos
inteiros mo´dulo n.
Mostraremos que Q e´ um corpo ordenado e e´ o corpo de frac¸o˜es de Z
e faremos a construc¸a˜o dos nu´meros racionais a partir dos nu´meros inteiros
no contexto dos domı´nios ordenados.
Mostraremos que, a menos de isomorfismo, Z e´ o u´nico domı´nio bem
ordenado.
Na˜o faremos a construc¸a˜o axioma´tica dos nu´meros naturais e dos nu´meros
inteiros, usaremos apenas as suas noc¸o˜es intuitivas.
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Parte 1
Preliminares
Consideraremos que a linguagem e as notac¸o˜es da teoria de conjuntos
sa˜o bem conhecidas, assim como as noc¸o˜es elementares de func¸o˜es.
Relembramos alguns conceitos elementares da teoria de conjuntos e
propriedades de func¸o˜es que faremos uso no texto.
Introduziremos os conceitos de relac¸a˜o de equivaleˆncia e de conjunto
quociente, que teˆm aplicac¸o˜es em diversas a´reas da Matema´tica, desempe-
nham um papel importante no contexto das estruturas alge´bricas e apresen-
taremos muitas aplicac¸o˜es interessantes.
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Noc¸o˜es sobre conjuntos
PARTE 1 - SEC¸A˜O 1
Noc¸o˜es sobre conjuntos
Denotamos conjuntos por letras maiu´sculas A, B, C, . . . e elementos de
um conjunto por letras minu´sculas a, b, c, . . . .
Para dizer que a e´ elemento do conjunto A ou a pertence a A, escre-
vemos a ∈ A.
Para dizer que a na˜o e´ elemento do conjunto A ou a na˜o pertence a A,
escrevemos a 6∈ A.
Chamamos de conjunto vazio o conjunto que na˜o tem nenhum elemento
e denotamos por ∅ ou { }.
Descrevemos um conjunto listando os seus elementos entre chaves ou
dando a propriedade dos seus elementos.
Exemplo 1
O conjunto dos nu´meros naturais, denotado por N, e´
N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . }.
Exemplo 2
A e´ o conjunto dos nu´meros naturais menores do que 5.
A = {0, 1, 2, 3, 4} = {x ∈ N ; x < 5}.
Exemplo 3
B e´ o conjunto dos nu´meros naturais entre 5 e 11.
B = { 6, 7, 8, 9, 10 } = { x ∈ N ; 5 < x < 11 } = { x ∈ N ; 6 ≤ x ≤ 10 }.
Exemplo 4
C e´ o conjunto dos nu´meros reais menores ou iguais a 11.
C = {x ∈ R ; x ≤ 11} = (−∞, 11].
Exemplo 5
D e´ o conjunto dos nu´meros inteiros mu´ltiplos de 2 entre −3 e 15.
D = {x ∈ Z ; −3 < x < 15 e 2 divide x}
= {−2, 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}
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Noc¸o˜es sobre conjuntos
Definic¸a˜o 1
Dizemos que A esta´ contido em B ou A e´ um subconjunto de B se, e somente
se, todo elemento de A e´ elemento de B. Nesse caso, escrevemos A ⊂ B.
A ⊂ B se, e somente se, para todo a ∈ A temos a ∈ B.O s´ımbolo ∀ significa
para todo.
Tambe´m dizemos que B conte´m A e escrevemos B ⊃ A.
Escrevemos A 6⊂ B, para dizer que A na˜o esta´ contido em B. Nesse
caso, existe a ∈ A tal que a 6∈ B.
O s´ımbolo ∃ significa existe. A 6⊂ B se, e somente, existe a ∈ A tal que a 6∈ B.
Tambe´m dizemos que B na˜o conte´m A e escrevemos B 6⊃ A.
Exemplo 6
Temos as seguintes relac¸o˜es entre os conjuntos dos exemplos anteriores:
A ⊂ N, A ⊂ C, B ⊂ N, B ⊂ C, A ⊂ C, D 6⊂ C, B 6⊂ D.
Escreva outras relac¸o˜es usando ⊂ ou 6⊂ e os conjuntos dos Exemplos 1 a 5.
Se os conjuntos A e B teˆm exatamente os mesmos elementos, dizemos
que A = B.Para demonstrar a afirmac¸a˜o
A = B devemos provar,
primeiramente, que A⊂ B e
depois que B⊂ A.
Exemplo 7
Seja A = { |x| ; x ∈ Z }, onde |x| =
{
x, se x ≥ 0
−x, se x < 0
Facilmente, verificamos que A = N.
Exemplo 8
Seja A o conjunto dos triaˆngulos retaˆngulos iso´sceles e seja B o conjunto dos
triaˆngulos retaˆngulos cujos aˆngulos dos catetos com a hipotenusa sa˜o iguais.
Enta˜o, A = B.
Definic¸a˜o 2
Se A ⊂ B, mas A 6= B, enta˜o A e´ chamado um subconjunto pro´prio de B.
Quando consideramos subconjuntos de um conjunto fixado, chamamos
esse conjunto de conjunto universo e denotamos por U .
Exemplo 9
Se estamos considerando figuras geome´tricas planas, podemos tomar U como
o conjunto dos pontos do plano.
Nos Exemplo 2 e Exemplo 3 podemos considerar U = N.
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Noc¸o˜es sobre conjuntos
PARTE 1 - SEC¸A˜O 1
As operac¸o˜es com conjuntos sa˜o unia˜o, intersec¸a˜o e complementar e sa˜o
utilizadas para construir outros conjuntos.
Definic¸a˜o 3
O conjunto A unia˜o B, denotado por A ∪ B, e´ o conjunto dos elementos de
pelo menos um dos conjuntos A ou B.
A ∪ B = { x ; x ∈ A ou x ∈ B }.
x ∈ A∪B⇐⇒
x ∈ A ou x∈ B.
O conjunto A intersec¸a˜o B, denotado por A ∩ B, e´ o conjunto dos
elementos que esta˜o, simultaneamente, em ambosos conjuntos A e B.
x ∈ A∩B⇐⇒
x ∈ A e x∈ B.
A ∩ B = { x ; x ∈ A e x ∈ B }.
Definic¸a˜o 4
Os conjuntos A e B sa˜o disjuntos se, e somente se, A ∩ B = ∅.
Definic¸a˜o 5
O complementar CU(A) de A ⊂ U e´ o conjunto dos elementos de U que na˜o
esta˜o em A.
CU(A) = { x ∈ U ; x 6∈ A }.
O complementar de A em B
tambe´m e´ chamado de
diferenc¸a de A e B.
O complementar de A em B, denotado por A\B (ou A−B), e´ o conjunto
dos elementos de A que na˜o esta˜o em B.
A\B = { x ∈ A ; x 6∈ B }.
Exemplo 10
Sejam A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }, B = {−2, 0, 2, 4, 6 } e C = {−2,−1, 0, 7}. Enta˜o,
A ∪ B = {−2, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 },
A ∩ B = { 2, 4, 6 },
A\B = { 1, 3, 5 },
B\A = {−2, 0 },
A ∩ C = ∅,
B ∩ C = {−2, 0 } e
C\B = {−1, 7 }.
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Noc¸o˜es sobre conjuntos
Proposic¸a˜o 1
Valem as seguintes propriedades para as operac¸o˜es:
(1) Comutativa:
A ∪ B = B ∪A A ∩ B = B ∩A
(2) Associativa:
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C)
(3) Distributiva:
A∩ (B∪C) = (A∩B)∪ (A∩C) A∪ (B∩C) = (A∪B)∩ (A∪C)
(4) Leis de Morgan:
CU(A ∪ B) = CU(A) ∩ CU(B) CU(A ∩ B) = CU(A) ∪ CU(B)
(5) Idempotente:
A ∪A = A A ∩A = A
(6) Dupla negac¸a˜o:
CU(CU(A)) = A
Demonstrac¸a˜o: Para ilustrar, vamos verificar (3).
x ∈ A ∩ (B ∪ C) ⇐⇒ x ∈ A e x ∈ B ∪ C⇐⇒ x ∈ A e (x ∈ B ou x ∈ C)⇐⇒ (x ∈ A e x ∈ B) ou (x ∈ A e x ∈ C)⇐⇒ x ∈ A ∩ B ou x ∈ A ∩ C⇐⇒ x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
x ∈ A ∪ (B ∩ C) ⇐⇒ x ∈ A ou x ∈ B ∩ C⇐⇒ x ∈ A ou (x ∈ B e x ∈ C)⇐⇒ (x ∈ A ou x ∈ B) e (x ∈ A ou x ∈ C)⇐⇒ x ∈ A ∪ B e x ∈ A ∪ C⇐⇒ x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) �
Proposic¸a˜o 2
Valem as seguintes propriedades para o conjunto vazio ∅ e para o conjunto
universo U :
Para qualquer conjunto A
temos ∅ ⊂ A
(i) A ∪ ∅ = A A ∩ ∅ = ∅.
(ii) A ∪ U = U A ∩ U = A.
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Noc¸o˜es sobre conjuntos
PARTE 1 - SEC¸A˜O 1
Definic¸a˜o 6
O produto cartesiano dos conjuntos A e B e´ o conjunto A × B de pares
ordenados (a, b), tais que a ∈ A e b ∈ B.
Se A ou B e´ vazio, enta˜o
A× B = ∅A× B = { (a, b) ; a ∈ A e b ∈ B }.
Exemplo 11
Sejam A = {1, 2, 3} e B = {4, 5}. Enta˜o,
A× B = {(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)} e
B×A = {(4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3)}.
Exemplo 12
Sejam A = {a, b} e B = {b, c}. Enta˜o,
A× B = {(a, b), (a, c), (b, b), (b, c)} e
B×A = {(b, a), (b, b), (c, a), (c, b)}.
Os exemplos acima mostram que em geral A× B 6= B×A.
Podemos generalizar a definic¸a˜o acima a n conjuntos.
Definic¸a˜o 7
Sejam n ≥ 2 um nu´mero natural e A1, A2, . . . , An conjuntos.
O produto cartesiano A1 × A2 × · · · × An e´ o conjunto das n-uplas
ordenadas (a1, a2, . . . , an), tais que a1 ∈ A1, a2 ∈ A2, . . . , an ∈ An.
A1×A2× · · · ×An = { (a1, a2, . . . , an) ; a1 ∈ A1, a2 ∈ A2, . . . , an ∈ An }.
Quando A = Ai para i = 1, 2, . . . , n, denotamos A
n = A× · · · ×A︸ ︷︷ ︸
n conjuntos
.
Exemplo 13
Sejam A = {a, b}, B = {c, d} e C = {e}. Enta˜o,
A× B× C = {(a, c, e), (a, d, e), (b, c, e), (b, d, e)}.
Sejam I um conjunto na˜o-vazio e, para cada i ∈ I, Ai um conjunto.
Dizemos que {Ai, i ∈ I} e´ uma famı´lia de conjuntos indexada por I.
As operac¸o˜es de unia˜o e intersec¸a˜o de conjuntos podem ser generaliza-
das a uma famı´lia de conjuntos.
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Noc¸o˜es sobre conjuntos
Definic¸a˜o 8
Seja a famı´lia de conjuntos {Ai, i ∈ I}. Enta˜o,
definimos a unia˜o dessa famı´lia como o conjunto dos elementos que esta˜o em
algum Ai
⋃
i∈I
Ai = {x ; x ∈ Ai, para algum i ∈ I}.
e definimos a intersec¸a˜o dessa famı´lia como o conjunto dos elementos que
esta˜o em todos Ai
⋂
i∈I
Ai = {x ; x ∈ Ai, para todo i ∈ I}.
Uma subdivisa˜o de um conjunto em subconjuntos disjuntos e na˜o-vazios
e´ chamada uma partic¸a˜o.
Definic¸a˜o 9
Seja A um conjunto. Uma famı´lia F de subconjuntos na˜o-vazios de A e´
chamada uma partic¸a˜o de A se, e somente se,
(i) A =
⋃
X∈F
X.
(ii) Se X, Y ∈ F e X 6= Y, enta˜o X ∩ Y = ∅.
Exemplo 14
Tomando X = {x ∈ Z ; x e´ par }, Y = {x ∈ Z ; x e´ ı´mpar }, F = {X, Y }
vemos que Z = X ∪ Y e X ∩ Y = ∅. Logo, F e´ uma partic¸a˜o de Z.
Lembre que . . .
A∩B = B∩A.
Exemplo 15
Os conjuntos X1 = { 1, 2, 4, 5, 6 }, X2 = { 3, 7, 8 } e X3 = { 9, 10 } definem uma
partic¸a˜o de A = { 1, 2, . . . , 10 }, pois A =
3⋃
i=1
Xi e Xi∩Xj = ∅, para quaisquer
i, j tais que 1 ≤ i < j ≤ 3.
Exerc´ıcio
1. Determine os conjuntos descritos a seguir:
(a) { x ∈ N ; 2x > 10 e 3x < 28 };
(b) { x ∈ Z ; 2x = n2, para algum n ∈ N };
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Noc¸o˜es sobre conjuntos
PARTE 1 - SEC¸A˜O 1
(c) { x ; x, y ∈ Z, x2 = 2y+ 1 e x + 1 = 4y }.
2. Deˆ uma descric¸a˜o de cada um dos conjuntos:
(a) { 1, 3, 5, 7, . . . , 25 };
(b)
{
8
2
, 8
3
, 8
4
, 8
5
, 8
6
, . . .
}
;
(c)
{
1
5
, 2
4
, 3
3
, 4
2
, 5
1
}
.
3. Sejam U = {x ∈ Z ; 0 < x < 8}, A = {1, 3, 5, 7}, B = {2, 3, 5, 6} e
C = {3, 4, 5, 6}. Determine:
(a) A ∪ B.
(b) CU(A ∩ B).
(c) CU(A ∪ (B ∩ C)).
(d) A ∩ (B ∪ C).
(e) (A ∩ B)\(A ∩ C).
4. Consideremos A = {x ∈ Z ; x divide 40} e B = {x ∈ Z ; x divide 60}.
Determine:
(a) A ∩ B.
(b) A ∪ B.
(c) A\B.
(d) B\A.
5. Consideremos A = {x ∈ Z ; 2 divide x }, B = {x ∈ Z ; 18 divide x },
C = {x ∈ Z ; 12 divide x } e D = {x ∈ Z ; 36 divide x }.
(a) Mostre que B ⊂ A, C ⊂ A, D ⊂ A, D ⊂ B e D ⊂ C.
(b) Mostre que D = B ∩ C.
6. Mostre que se A ⊂ B e B ⊂ C, enta˜o A ⊂ C.
7. Mostre que A∪B = (A\B)∪ (B\A)∪ (A∩B) e a unia˜o do lado direito
e´ disjunta.
8. Sejam A,B conjuntos. Mostre que (A\B)∪ (B\A) = (A ∪B)\(A∩B).
9. Mostre que A ⊂ B se, e somente se, A ∩ B = A.
10. Mostre que A ⊂ B se, e somente se, A ∪ B = B.
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Noc¸o˜es sobre conjuntos
11. Mostre que A ∪ B = A ∩ B se, e somente se, A = B.
12. Indicamos por |A| o nu´mero de elementos de um conjunto finito A.
Mostre que se B e C sa˜o conjuntos finitos, enta˜o
|B ∪ C| = |B| + |C| − |B ∩ C|.
13. Seja A um conjunto com n elementos, isto e´, |A| = n.
Seja P(A) = { B ; B ⊂ A }. Mostre que P(A) tem 2n elementos.
Sugesta˜o: Para cada natural
r com 0≤ r≤ n determine o
nu´mero mr de subconjuntos
de A com r elementos.
Conclua que |P(A)| =
n∑
r=0
mr
e determine a soma.
14. Sejam A,B, C conjuntos.
(a) Mostre que (A ∪ B)× C = (A× C) ∪ (B× C).
(b) Mostre que (A ∩ B)× C = (A× C) ∩ (B× C).
15. Demonstre as propriedades (1), (2), (4), (5) e (6) da Proposic¸a˜o 1.
16. Demonstre a Proposic¸a˜o 2.
17. Mostre que se A e B sa˜o subconjuntos na˜o-vazios de U com A 6⊂ B e
B 6⊂ A, enta˜o A∪B e´ um subconjunto na˜o-vazio de U , tal que A∪B 6= A
e A ∪ B 6= B.
18. Sejam B um conjunto e Ai, i ∈ I, uma famı´lia de conjuntos.
(a) Mostre que
(⋃
i∈I
Ai
)
× B =
⋃
i∈I
(Ai× B).
(b) Mostre que
(⋂
i∈I
Ai
)
× B =
⋂
i∈I
(Ai× B).
(c) Mostre que B\
(⋃
i∈I
Ai
)
=
⋂
i∈I
(B\Ai).
(d) Mostre que B\
(⋂
i∈I
Ai
)
=
⋃
i∈I
(B\Ai).
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Func¸o˜es
PARTE 1 - SEC¸A˜O 2
Func¸o˜es
Veremos alguns resultados importantes sobre func¸o˜es.
Definic¸a˜o 10 (Func¸a˜o, dom´ınio e contradom´ınio)
Sejam A e B conjuntos na˜o-vazios. Uma func¸a˜o f de A para B, denotada por
f : A −→ B, associa a cada a ∈ A exatamente um elemento b ∈ B; b e´ dito
o valor da func¸a˜o f em a ou a imagem de a e escrevemos b = f(a).
Tambe´m costumamos denotar a func¸a˜o f por
f : A −→ B
a 7−→ f(a)
O conjunto A e´ o domı´nio e o conjunto B e´ o contradomı´nio de f.
Definic¸a˜o 11 (Igualdade de func¸o˜es)
Sejam f : A −→ B e g : A −→ B func¸o˜es. f e g sa˜o iguais se, e somente se,
para cada a ∈ A temos f(a) = g(a).
Portanto, duas func¸o˜es sa˜o iguais se, e somente se, teˆm mesmos domı´nios
e contradomı´nios e teˆm valor igual em cada elemento dodomı´nio.
Exemplo 16
Sa˜o exemplos de func¸o˜es:
(1) f : Z −→ Z definida por f(x) = 2x, para cada x ∈ Z.
(2) g : Z −→ {0, 1} definida por
g(x) =
{
0 , se x e´ par
1 , se x e´ ı´mpar
(3) h : Z\{0} −→ Q definida por h(x) = 1
x
, para cada x ∈ Z\{0}.
(4) u : R −→ R definida por u(x) = 4x+ 3, para cada x ∈ R.
Exemplo 17
A associac¸a˜o entre os conjuntos A = {0, 1, 2} e B = {3, 4, 5} definida a seguir
na˜o e´ uma func¸a˜o:
0 → 3ց
5
1 → 4
2 → 3
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15 UFF
Func¸o˜es
Nesse caso, o elemento x = 0 de A esta´ associado aos elementos de B y1 = 3
e y2 = 5.
Definic¸a˜o 12 (Composic¸a˜o)
Sejam f : A −→ B e g : B −→ C func¸o˜es. A composic¸a˜o ou func¸a˜o composta
de g e f, indicada por g ◦ f, e´ a func¸a˜o g ◦ f : A −→ C definida por
(g ◦ f)(x) = g(f(x)), para cada x ∈ A.
Observamos que a func¸a˜o g ◦ f tem o mesmo domı´nio de f, o mesmo
contradomı´nio de g e so´ esta´ definida quando o contradomı´nio de f coincide
com o domı´nio de g.
Exemplo 18
(1) Sejam f : R −→ R e g : R −→ R definidas, respectivamente, por f(x) =
3x − 5 e g(x) = e(2x+1), para cada x ∈ R.
Nesse caso, podemos determinar ambas as compostas.
Temos que f ◦ g : R −→ R e g ◦ f : R −→ R sa˜o dadas por
(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = 3e(2x+1) − 5, para cada x ∈ R e
(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = e(2(3x−5)+1) = e(6x−9), para cada x ∈ R.
(2) Sejam f : Z −→ N e g : N −→ {0, 1, 2} dadas por f(x) = |x| e g(x) = r,
onde r e´ o resto da divisa˜o de x por 3.
So´ faz sentido determinar a composta g ◦ f : Z −→ {0, 1, 2}.
Temos (g ◦ f)(x) = g(f(x)) =

0, se x ∈ {0,±3,±6, . . .}
1, se x ∈ {±1,±4,±7, . . .}
2, se x ∈ {±2,±5,±8, . . .}
Definic¸a˜o 13 (Func¸a˜o Identidade)
Seja A um conjunto na˜o-vazio. A func¸a˜o IA : A −→ A definida por
IA(a) = a, para cada a ∈ A, e´ chamada de func¸a˜o identidade.
Proposic¸a˜o 3
Consideremos as func¸o˜es f : A −→ B, g : B −→ C, h : C −→ D e as func¸o˜es
identidades IA : A −→ A e IB : B −→ B. Enta˜o,
A composic¸a˜o de func¸o˜es e´
associativa.
(i) h ◦ (g ◦ f) = (h ◦ g) ◦ f;
(ii) IB ◦ f = f;
(iii) f ◦ IA = f.
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UFF 16
Func¸o˜es
PARTE 1 - SEC¸A˜O 2
Demonstrac¸a˜o: (i) E´ claro que o domı´nio de ambas as func¸o˜es e´ A = Dom(f),
assim como o contradomı´nio e´ D, o contradomı´nio de h. Ale´m disso, para
cada x ∈ A, temos:
(h◦ (g◦ f))(x) = h((g◦ f)(x)) = h(g(f(x))) = (h◦g)(f(x)) = ((h◦g)◦ f)(x).
Logo, h ◦ (g ◦ f) = (h ◦ g) ◦ f.
(ii) A func¸a˜o IB ◦ f tem domı´nio A, igual ao domı´nio de f e contradomı´nio
B, o mesmo de f. Para cada x ∈ A, temos (IB ◦ f)(x) = IB(f(x)) = f(x).
Portanto, IB ◦ f = f.
(iii) A func¸a˜o f ◦ IA tem domı´nio A, igual ao domı´nio de f e contradomı´nio
B, o mesmo de f. Para cada x ∈ A, temos (f ◦ IA)(x) = f(IA(x)) = f(x).
Portanto, f ◦ IA = f. �
Definic¸a˜o 14 (Imagem)
Seja f : A −→ B uma func¸a˜o.
A imagem de f e´ o conjunto Imagem(f) = {f(a);a ∈ A} = f(A).
A imagem de f e´ um subconjunto de B, a saber,
Se f : A−→ B e´ uma func¸a˜o,
enta˜o
Imagem(f) = f(A)⊂ B.
Imagem(f) = {b ∈ B ; b = f(a) para algum a ∈ A}.
Exemplo 19
Seja h : Z\{0} −→ Q definida por h(x) = 1
x
, para cada x ∈ Z\{0}. Enta˜o,
Imagem(h) =
{±1,±1
2
,±1
3
,±1
4
, . . .
}
.
Definic¸a˜o 15 (Injetora, sobrejetora ou bijetora)
Seja f : A −→ B uma func¸a˜o.
f e´ injetora se, e somente se,
para a, a′ ∈ A a 6= a′ =⇒ f(a) 6= f(a′). f e´ injetora se, e somente se,para a,a′ ∈ A, f(a) = f(a′)implica a = a′.
f e´ sobrejetora se, e somente
se, a imagem de f e´ o seu
contradomı´nio.
f e´ sobrejetora se, e somente se, B = f(A); em outras palavras,
para cada b ∈ B, existe a ∈ A tal que b = f(a).
f e´ bijetora se, e somente se, e´ injetora e sobrejetora.
Exemplo 20
(1) Segue, imediatamente, das definic¸o˜es acima, que IA : A −→ A e´ bijetora.
(2) f : Z −→ Z definida por f(x) = 2x, para cada x ∈ Z, e´ injetora e na˜o e´
sobrejetora.
De fato, para x, x′ ∈ Z temos
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17 UFF
Func¸o˜es
f(x) = f(x′)⇐⇒ 2x = 2x′ ⇐⇒ x = x′,
mostrando que f e´ injetora.
Ale´m disso, qualquer inteiro ı´mpar na˜o esta´ na imagem de f, que se constitui
dos inteiros pares. Logo, Imagem(f) = 2Z 6= Z = contradomı´nio(f) e f na˜o e´
sobrejetora.
(3) g : Z −→ {0, 1} definida por
g(x) =
{
0 , se x e´ par
1 , se x e´ ı´mpar
claramente, na˜o e´ injetora e e´ sobrejetora.
(4) h : Z\{0} −→ Q definida por h(x) = 1
x
, para cada x ∈ Z\{0}, e´ injetora
e na˜o e´ sobrejetora.
Essa func¸a˜o na˜o e´ sobrejetora pois, por exemplo, o nu´mero racional 2
3
na˜o
pertence a` imagem de h.
Por outro lado, para x, x′ ∈ Z\{0},
h(x) = h(x′)⇐⇒ 1
x
= 1
x′
⇐⇒ x = x′,
mostrando que h e´ injetora.
Exemplo 21
A func¸a˜o f : Z −→ Z definida por f(x) = −x+ 3 e´ bijetora.
Dado y ∈ Z, existe x ∈ Z tal que y = f(x), pois y = −x + 3 se, e somente
se, x = 3 − y. Logo, dado y, tomamos x = −y + 3 e f(x) = f(3 − y) =
−(3− y) + 3 = y. Portanto, f e´ sobrejetora.
Da unicidade de x, obtida acima, temos que f e´ injetora.
Teorema 1
Seja f : A −→ B uma func¸a˜o.
(i) f e´ injetora se, e somente se, existe uma func¸a˜o g : B −→ A, tal que
g ◦ f = IA.
Nesse caso, dizemos que g e´ uma inversa a` esquerda de f.
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UFF 18
Func¸o˜es
PARTE 1 - SEC¸A˜O 2
(ii) f e´ sobrejetora se, e somente se, existe uma func¸a˜o h : B −→ A, tal que
f ◦ h = IB.
Nesse caso, dizemos que h e´ uma inversa a` direita de f.
Demonstrac¸a˜o:
(i) (⇐=:) Suponhamos que existe g : B −→ A, tal que g ◦ f = IA. Sejam
a, a′ ∈ A, tais que f(a) = f(a′). Enta˜o,
a = IA(a) = (g ◦ f)(a) = g(f(a)) = g(f(a′)) = (g ◦ f)(a′) = IA(a′) = a′.
Logo, f e´ injetora.
(=⇒:) Suponhamos que f : A −→ B e´ injetora. Enta˜o, para cada
b ∈ Imagem(f) = f(A) existe um u´nico a ∈ A, tal que b = f(a).
Escolhemos a1 ∈ A e definimos g : B −→ A por
{
g(b) = a, se b = f(a)
g(b) = a1, se b ∈ B\f(A)
Para cada a ∈ A temos (g ◦ f)(a) = g(f(a)) = a = IA(a). Logo,
g ◦ f = IA.
(ii) (⇐=:) Suponhamos que existe h : B −→ A, tal que f ◦ h = IB. Enta˜o,
para cada b ∈ B temos b = IB(b) = (f ◦ h)(b) = f(h(b)) ∈ Imagem(f),
mostrando que f e´ sobrejetora.
(=⇒:) Suponhamos que f : A −→ B e´ sobrejetora. Enta˜o, para cada
b ∈ B existe a ∈ A, tal que b = f(a). Escolhemos ab ∈ A com f(ab) = b.
Seja h : B −→ A definida por h(b) = ab. Portanto, para cada b ∈ B temos
(f ◦ h)(b) = f(h(b)) = f(ab) = b = IB(b), mostrando que f ◦ h = IB. �
Vamos analisar o que ocorre quando f : A −→ B e´ bijetora. Pelo
Teorema 1, f tem uma inversa a` esquerda g : B −→ A e uma inversa a`
direita h : B −→ A, tais que g ◦ f = IA e f ◦ h = IB. Portanto,
g = g ◦ IB = g ◦ (f ◦ h) = (g ◦ f) ◦ h = IA ◦ h = h.
E´ claro, pelo mesmo Teorema, que g tambe´m e´ bijetora.
Obtivemos parte do seguinte Corola´rio.
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Func¸o˜es
Corola´rio 1
Seja f : A −→ B uma func¸a˜o. Enta˜o, f e´ bijetora se, e somente se, existe
uma func¸a˜o g : B −→ A tal que g ◦ f = IA e f ◦ g = IB.
Demonstrac¸a˜o: Falta apenas mostrar que a condic¸a˜o e´ suficiente. Da com-
posic¸a˜o g ◦ f = IA e do item (i) do Teorema 1, segue que f e´ injetora e, da
composic¸a˜o f ◦g = IB e do item (ii) do Teorema 1, segue que f e´ sobrejetora.
�
Definic¸a˜o 16 (Func¸a˜o inversa)
Seja f : A −→ B uma func¸a˜o. Dizemos que f e´ invert´ıvel se, e somente se, f
e´ bijetora.
Nesse caso, a func¸a˜o g : B −→ A tal que g ◦ f = IA e f ◦ g = IB e´
chamada de inversa de f e a denotamos por f−1.
f−1 : B−→ A, a inversa de
f : A−→ B, e´ definida por
f−1(b) = a⇐⇒ f(a) = b
Exerc´ıcio
1. Sejam f : R\{−3} −→ R e g : R\{−3} −→ R definidas por f(x) = x − 2
e g(x) = x
2+x−6
x+3
. Mostre que f e g sa˜o func¸o˜es iguais.
2. Sejam f : R −→ [0,+∞) e g : [0,+∞) −→ R definidas por f(x) = x2,
se x ∈ R, e g(x) = √x, se x ∈ [0,+∞).
(a) Mostre que f na˜o e´ injetora e e´ sobrejetora.
(b) Mostreque g e´ injetora e na˜o e´ sobrejetora.
(c) Determine as func¸o˜es f ◦ g e g ◦ f.
3. Sejam s : [0,+∞) −→ [0,+∞) e t : [0,+∞) −→ [0,+∞) definidas por
s(x) = x2 e t(x) =
√
x, para x ∈ [0,+∞).
(a) Mostre que s e´ bijetora.
(b) Mostre que t e´ bijetora.
(c) Determine as func¸o˜es s ◦ t e t ◦ s.
4. Sejam r : (−∞, 0] −→ [0,+∞) e t : [0,+∞) −→ [0,+∞) definidas por
r(x) = x2, se x ∈ (−∞, 0] e t(x) = √x, se x ∈ [0,+∞) .
(a) Mostre que r e´ bijetora.
(b) Determine a func¸a˜o t ◦ r.
(c) Determine r−1.
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UFF 20
Func¸o˜es
PARTE 1 - SEC¸A˜O 2
5. Mostre que a func¸a˜o f : R −→ R definida por f(x) = 3x+ 2, para cada
x ∈ R, e´ bijetora.
6. Mostre que a func¸a˜o f : Z −→ Z definida por f(x) = 3x+ 2, para cada
x ∈ Z, e´ injetora e na˜o e´ sobrejetora. Determine a imagem de f.
7. Sejam f, g, h : Z −→ Z definidas por f(x) = −x, g(x) = 3x e h(x) = x2.
(a) Mostre que f e´ bijetora.
(b) Mostre que g e´ injetora e na˜o e´ sobrejetora.
(c) Mostre que h na˜o e´ injetora nem sobrejetora.
(d) Determine f−1.
8. Sejam f : A −→ B e g : B −→ C func¸o˜es e considere a func¸a˜o composta
g ◦ f : A −→ C. Mostre que:
(a) se f e g sa˜o injetoras, enta˜o g ◦ f e´ injetora;
(b) se f e g sa˜o sobrejetoras, enta˜o g ◦ f e´ sobrejetora;
(c) se g ◦ f e´ injetora, enta˜o f e´ injetora;
(d) se g ◦ f e´ sobrejetora, enta˜o g e´ sobrejetora.
9. Seja A um conjunto na˜o-vazio com n elementos. Seja f : A −→ A uma
func¸a˜o. Mostre que :
(a) f e´ injetora se, e somente se, f e´ sobrejetora;
(b) ha´ n! func¸o˜es bijetoras f : A −→ A.
10. Sejam f : A −→ B uma func¸a˜o e S ⊂ A. A imagem de S por f e´
f(S) = {f(a) ; a ∈ S} = {b ∈ B ; b = f(s) para algum s ∈ S}.
Determine f(S), para cada f e S dados:
(a) f : R −→ R definida por f(x) = x2, S = [−5, 2).
(b) f : R −→ R definida por f(x) = |x|, S = (−5, 2).
(c) f : Z\{0} −→ Q definida por f(x) = 1
x
, S = {−2,−1, 1, 2, 3, . . .}.
(d) f : N −→ {0, 1, 2} definida por f(x) = r, onde r e´ o resto da divisa˜o
de x por 3 e S = {a ∈ N ; a ≥ 6}.
11. Sejam f : A −→ B uma func¸a˜o e T ⊂ B. A imagem inversa de T pela
func¸a˜o f e´
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21 UFF
Func¸o˜es
f−1(T) = {a ∈ A ; f(a) ∈ T }.
Determine f−1(T), para cada f e T dados.
(a) f : R −→ R definida por f(x) = x2, T = (−3, 7].
(b) f : R −→ R definida por f(x) = |x|, T = (−3,+∞).
(c) f : Z\{0} −→ Q definida por f(x) = 1
x
, T = {y ∈ Q ; −3
7
< y ≤ 2
3
}.
(d) f : N −→ {0, 1, 2} definida por f(x) = r, onde r e´ o resto da divisa˜o
de x por 3, T = {1}.
12. Seja f : A −→ B uma func¸a˜o. Mostre que:
(a) se S ⊂ A, enta˜o f−1(f(S)) ⊃ S;
(b) se T ⊂ B, enta˜o f(f−1(T)) ⊂ T ;
(c) se {Ti ; i ∈ I} e´ uma famı´lia de subconjuntos de B, enta˜o
f−1
(⋃
i∈I
Ti
)
=
⋃
i∈I
f−1(Ti) e f
−1
(⋂
i∈I
Ti
)
=
⋂
i∈I
f−1(Ti) .
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UFF 22
Relac¸o˜es de equivaleˆncia
PARTE 1 - SEC¸A˜O 3
Relac¸o˜es de equivaleˆncia
Frequentemente, temos relac¸o˜es entre dois objetos de um conjunto. Ve-
jamos alguns exemplos:
- No conjunto dos nu´meros inteiros: menor ou igual, divide, mu´ltiplo.
- Numa famı´lia de conjuntos: inclusa˜o.
- No conjunto dos triaˆngulos: semelhanc¸a, congrueˆncia.
- No conjunto das retas no plano: paralelismo, perpendicularismo.
- No conjunto dos moradores de um edif´ıcio: residir no mesmo andar, residir
em apartamento de frente, residir na mesma coluna.
Definic¸a˜o 17
Dados um conjunto A, denotaremos por ∼ uma relac¸a˜o bina´ria em A. Dados
a, b ∈ A indicamos que a esta´ relacionado com b escrevendo a ∼ b.
Caso contra´rio, dizemos que a na˜o esta´ relacionado com b e escrevemos
a 6∼ b.
Exemplo 22
Sejam A = {1, 2, 3} e a, b ∈ A. Definimos a ∼ b⇐⇒ a ≤ b.
Enta˜o, 1 ∼ 1, 1 ∼ 2, 1 ∼ 3, 2 ∼ 2, 2 ∼ 3 e 3 ∼ 3.
Tambe´m, 2 6∼ 1, 3 6∼ 2 e 3 6∼ 1.
Exemplo 23
Sejam A = {1, 2, 3} e a, b ∈ A. Definimos a ∼ b⇐⇒ a < b.
Enta˜o, 1 ∼ 2, 1 ∼ 3, 2 ∼ 3.
Tambe´m, 1 6∼ 1, 2 6∼ 2, 2 6∼ 1, 3 6∼ 3, 3 6∼ 2 e 3 6∼ 1.
Exemplo 24
Seja A o conjunto das retas do plano. Sejam r, s ∈ A.
Definimos r ∼ s⇐⇒ r ‖ s.
Nesse caso, duas retas do plano na˜o esta˜o relacionadas se, e somente se, se
intersectam em um u´nico ponto.
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23 UFF
Relac¸o˜es de equivaleˆncia
Exemplo 25
Seja Z o conjunto dos nu´meros inteiros. Sejam a, b ∈ Z.
Definimos a ∼ b⇐⇒ a− b e´ par.
Temos que 1 ∼ 3, −2 ∼ 4 e 135 ∼ −1, enquanto 1 6∼ 2 e −2 6∼ 3.
Observamos que :
a ∼ b ⇐⇒ { a e b sa˜o pares ou
a e b sa˜o ı´mpares
a 6∼ b ⇐⇒ { a e´ par e b e´ ı´mpar ou
a e´ ı´mpar e b e´ par
Exemplo 26
Sejam Π um plano e O um ponto fixado de Π. Para cada ponto P ∈ Π
consideramos d(O, P) a distaˆncia entre os pontos O e P.
Dados P,Q ∈ Π definimos P ∼ Q⇐⇒ d(O, P) = d(O,Q).
O u´nico ponto relacionado a O e´ o ponto O.
Dois pontos P e Q, tais que P 6= O e Q 6= O, esta˜o relacionados se, e somente
se, d(O, P) = d(O,Q) > 0 se, e somente se, P,Q esta˜o situados no mesmo
c´ırculo de centro O e raio r = d(O, P) = d(O,Q).
Exemplo 27
Sejam Π um plano e r uma reta fixada.
Dados P,Q ∈ Π, definimos:
P ∼ Q⇐⇒ existe s, uma reta paralela a r, tal que P,Q ∈ s .
Nesse caso, dois pontos distintos do plano esta˜o relacionados se, e somente
se, a u´nica reta determinada por eles e´ paralela a r.
Fixado um ponto P do plano, sabemos que existe uma u´nica reta s paralela a
r passando por P. Todos os pontos Q ∈ s esta˜o relacionados com P, inclusive
P.
A seguir definimos treˆs tipos de propriedades que uma relac¸a˜o bina´ria
pode ter.
Definic¸a˜o 18 (Relac¸a˜o reflexiva, sime´trica ou transitiva)
Seja ∼ uma relac¸a˜o bina´ria no conjunto A. Dizemos que
∼ e´ reflexiva se, e somente se, a ∼ a, para todo a ∈ A;
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UFF 24
Relac¸o˜es de equivaleˆncia
PARTE 1 - SEC¸A˜O 3
∼ e´ sime´trica se, e somente se, para quaisquer a, b ∈ A, tais que a ∼ b,
enta˜o b ∼ a;
∼ e´ transitiva se, e somente se, para quaisquer a, b, c ∈ A, tais que
a ∼ b e b ∼ c, enta˜o a ∼ c.
Exemplo 28
A relac¸a˜o bina´ria do exemplo 22 e´ reflexiva e transitiva e na˜o e´ sime´trica.
A relac¸a˜o bina´ria de exemplo 23 e´ transitiva e na˜o e´ reflexiva nem sime´trica.
Exemplo 22: 1∼ 2, mas
2 6∼ 1.
Exemplo 23: 1 6∼ 1 e 1∼ 2,
mas 2 6∼ 1.
Basta exibir treˆs pontos
P,Q,R, tais que d(P,Q)≤ 1
e d(Q,R)≤ 1 com
d(P,R) > 1.
Exemplo 29
A seguinte relac¸a˜o bina´ria em um plano Π e´ reflexiva e sime´trica, mas na˜o e´
transitiva:
P,Q ∈ Π, P ∼ Q se, e somente se, d(P,Q) ≤ 1.
Desempenham um papel importante as relac¸o˜es bina´rias que teˆm, si-
multaneamente, as treˆs propriedades: reflexiva, sime´trica e transitiva.
Definic¸a˜o 19 (Relac¸a˜o de equivaleˆncia)
Dizemos que uma relac¸a˜o bina´ria ∼ em A e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia se,
e somente se, para quaisquer a, b, c ∈ A
(i) (reflexiva) a ∼ a;
(ii) (sime´trica) se a ∼ b, enta˜o b ∼ a;
(iii) (transitiva) se a ∼ b e b ∼ c, enta˜o a ∼ c.
Exemplo 30
Vamos verificar que a relac¸a˜o bina´ria ∼ do exemplo 25 e´ uma relac¸a˜o de
equivaleˆncia em Z. De fato, se a, b, c ∈ Z, enta˜o
(i) como 0 = a− a e´ par, enta˜o a ∼ a;
(ii) se a ∼ b, enta˜o a − b e´ par, logo b− a = −(a− b) e´ par, provando que
b ∼ a;
(iii) se a ∼ b e b ∼ c, enta˜o a − b e b − c sa˜o ambos pares e
a− c = (a− b) + (b− c) e´ par, logo a ∼ c.
Exemplo 31
Sa˜o relac¸o˜es de equivaleˆncia as relac¸o˜es bina´rias dos exemplos 24, 26 e 27.
Na˜o sa˜o relac¸o˜es de equivaleˆncia as relac¸o˜es bina´rias dos exemplos 22 e 23.
Em geral visualizamos um conjunto pelos seus elementos. Uma relac¸a˜o
de equivaleˆncia em um conjunto permite visualizar o conjunto por meio dos
seus subconjuntos chamados classes de equivaleˆncia. Com esse objetivo, in-
troduzimos o conceito de classe de equivaleˆncia.
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25 UFF
Relac¸o˜es de equivaleˆncia
Definic¸a˜o 20 (Classe de equivaleˆncia)Seja ∼ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia em A.
Para cada a ∈ A, a classe de equivaleˆncia a de a e´
a = { x ∈ A ; x ∼ a }.
Exemplo 32
No exemplo 24, onde A e´ o conjunto de todas as retas do plano, a classe de
equivaleˆncia de cada reta r ∈ A e´
r = { s ∈ A ; s ‖ r }.
Exemplo 33
No exemplo 25 a relac¸a˜o de equivaleˆncia foi definida no conjunto dos nu´meros
inteiros, que e´ a unia˜o dos subconjuntos dos inteiros pares com os inteiros
ı´mpares, a saber
Z = { 0,±1,±2,±3, . . . } = { 0,±2,±4, . . . } ∪ {±1,±3,±5 . . . }.
Para cada a ∈ Z, temos que: ou a e´ par ou a e´ ı´mpar. Logo,
a = { x ∈ Z ; 2 divide x− a } =
{
{ 0,±2,±4, . . . }, se a e´ par
{±1,±3,±5 . . . }, se a e´ ı´mpar
Exemplo 34
No exemplo 26 o conjunto e´ um plano Π, onde fixamos um ponto O para
definir a relac¸a˜o de equivaleˆncia entre os pontos do plano. Temos:
O = {P ∈ Π ; d(O, P) = d(O,O) = 0 } = {O } e
P = c´ırculo de centro O e raio r = d(O, P), para todo P ∈ Π com P 6= O.
Exemplo 35
No exemplo 27 o conjunto e´ um plano Π, onde fixamos uma reta r para
definir a relac¸a˜o de equivaleˆncia entre os pontos do plano. Nesse caso, para
cada P ∈ Π, temos:
P = reta s passando por P e paralela a` reta r.
Exemplo 36
Consideremos um edif´ıcio com 6 andares, 3 apartamentos por andar dis-
tribu´ıdos em 3 colunas, sendo a coluna 01 de frente e com treˆs quartos, as
colunas 02 e 03 de fundos com um e dois quartos, respectivamente.
Seja A o conjunto dos apartamentos desse edif´ıcio.
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Relac¸o˜es de equivaleˆncia
PARTE 1 - SEC¸A˜O 3
Para a, b ∈ A, consideremos as seguintes relac¸o˜es bina´rias em A:
a ∼1 b⇐⇒ a e b esta˜o no mesmo andar.
a ∼2 b⇐⇒ a e b esta˜o na mesma coluna.
a ∼3 b⇐⇒ a e b sa˜o ambos de frente ou ambos de fundos.
Cada uma das relac¸o˜es bina´rias acima e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia em A.
Sabendo que cada apartamento e´ identificado por n01, n02 ou n03, onde
n = 1, . . . , 6 e´ o andar em que esta´ situado e os dois u´ltimos d´ıgitos corres-
pondem a` sua coluna, temos que:
601
1
= { x ∈ A ; x ∼1 601 } = { 601, 602, 603 },
602
1
= { x ∈ A ; x ∼1 602 } = { 601, 602, 603 },
601
2
= { x ∈ A ; x ∼2 601 } = { 601, 501, 401, 301, 201, 101 },
602
2
= { x ∈ A ; x ∼2 602 } = { 602, 502, 402, 302, 202, 102 }
601
3
= { x ∈ A ; x ∼3 601 } = { 601, 501, 401, 301, 201, 101 },
602
3
= { x ∈ A ; x ∼3 602 }
= { 602, 603, 502, 503, 402, 403, 302, 303, 202, 203, 102, 103 }.
Observamos que 603
1
= 602
1
= 601
1
, enquanto 601
2 ∩ 6022 = ∅. Por queˆ?
As seguintes propriedades de uma relac¸a˜o de equivaleˆncia desempe-
nham um papel muito importante.
Proposic¸a˜o 4
Seja ∼ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia em A. Valem as seguintes propriedades:
(i) Se a ∩ b 6= ∅, enta˜o a ∼ b.
(ii) a ∼ b se, e somente se, a = b.
(iii) A =
⋃
a∈A
a.
Demonstrac¸a˜o:
(i) Como a ∩ b 6= ∅, enta˜o existe c ∈ A tal que c ∈ a ∩ b. Logo, c ∼ a e
c ∼ b. Pela simetria, a ∼ c e, pela transitividade, obtemos a ∼ b.
Lembre que . . .
Os conjuntos X e Y sa˜o
iguais se, e somente se,
X⊂ Y e Y ⊂ X.
(ii) (=⇒ :) Suponhamos que a ∼ b. Vamos mostrar que a ⊂ b.
Seja x ∈ a. Enta˜o, x ∼ a. Como a ∼ b, pela transitividade, temos
x ∼ b. Logo, x ∈ b.
A outra inclusa˜o e´ ana´loga, usando a simetria.
(⇐= :) Suponhamos a = b. Enta˜o, a ∩ b 6= ∅ e, pelo item (i), a ∼ b.
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27 UFF
Relac¸o˜es de equivaleˆncia
(iii) E´ claro, por definic¸a˜o de classe de equivaleˆncia, que a ⊂ A. Logo,⋃
a∈A
a ⊂ A.
Por outro lado, pela propriedade reflexiva, a ∈ a, mostrando que
A ⊂
⋃
a∈A
a. �
A propriedade (ii) da proposic¸a˜o anterior motiva a seguinte definic¸a˜o.
Definic¸a˜o 21 (Representante)
Seja A um conjunto e ∼ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia em A. Dizemos que
b ∈ A e´ representante de uma classe de equivaleˆncia a se, e somente se,
b ∼ a.
As classes de equivaleˆncia de uma relac¸a˜o de equivaleˆncia ∼ em A sa˜o
subconjuntos de A na˜o-vazios, pois para cada a ∈ A temos a ∈ a. Mais
ainda, pelo item (iii) da proposic¸a˜o anterior, cobrem A e, pelo item (ii),
classes distintas sa˜o conjuntos disjuntos.
Portanto, as classes de equivaleˆncia distintas de uma relac¸a˜o de equi-
valeˆncia de um conjunto A da˜o uma subdivisa˜o de A em subconjuntos dis-
juntos e na˜o-vazios, isto e´, definem uma partic¸a˜o de A.
Com a observac¸a˜o acima obtivemos a primeira parte do seguinte teo-
rema.
Teorema 2
Se ∼ e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia no conjunto A, enta˜o as classes de equi-
valeˆncia distintas de ∼ definem uma partic¸a˜o de A. Reciprocamente, dada
uma partic¸a˜o de A, digamos A =
⋃
i∈I
Ai, onde Ai 6= ∅ e Ai ∩ Aj = ∅, para
quaisquer i, j ∈ I, i 6= j, existe uma u´nica relac¸a˜o de equivaleˆncia ∼ em A, tal
que as classes de equivaleˆncia distintas de ∼ sa˜o os subconjuntos Ai, i ∈ I.
Demonstrac¸a˜o: Falta apenas demonstrar a rec´ıproca. Digamos que a famı´lia
{Ai ; i ∈ I} e´ uma partic¸a˜o do conjunto A.
Como A =
⋃
i∈I
Ai, enta˜o para cada a ∈ A existe i ∈ I, tal que a ∈ Ai,
seguindo a unicidade do ı´ndice i do fato de Ai e Aj serem disjuntos para
i 6= j.
Para a, b ∈ A definimos a ∼ b se, e somente se, para algum i ∈ I,
a, b ∈ Ai.
E´ fa´cil a verificac¸a˜o de que ∼ e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia em A.
M.L.T.Villela
UFF 28
Relac¸o˜es de equivaleˆncia
PARTE 1 - SEC¸A˜O 3
Com a definic¸a˜o de ∼ temos a = Ai, onde i e´ o u´nico ı´ndice de I tal
que a ∈ Ai. �
Definic¸a˜o 22 (Conjunto quociente)
Seja A um conjunto na˜o-vazio e ∼ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia em A.
O conjunto quociente A/ ∼ e´ definido por
A/ ∼ = { a ; a ∈ A}.
Exemplo 37
Consideremos em Z a relac¸a˜o de equivaleˆncia
a, b ∈ Z, a ∼ b⇐⇒ a− b e´ mu´ltiplo de 2.
Temos apenas duas classes de equivaleˆncia, a saber, P a classe dos nu´meros
pares e I a classe dos nu´meros ı´mpares.
Logo, Z/ ∼ = { P, I }.
Exemplo 38
Consideremos a relac¸a˜o de equivaleˆncia no plano Π do Exemplo 26, dada por
P,Q ∈ Π, P ∼ Q⇐⇒ d(O, P) = d(O,Q),
onde O e´ um ponto fixado em Π.
Vimos que O = {O} e P = c´ırculo de centro O e raio r = d(O, P) }, se
P 6= O.
Para cada nu´mero real r > 0 seja Cr o c´ırculo de centro O e raio r. Enta˜o,
Π/ ∼ = { {O} ; Cr, r > 0 }.
Exerc´ıcios
1. Mostre que sa˜o relac¸o˜es de equivaleˆncia as relac¸o˜es bina´rias dos Exem-
plos 24, 26 e 27.
2. Mostre que na˜o sa˜o relac¸o˜es de equivaleˆncia as relac¸o˜es bina´rias dos
Exemplos 22 e 23, indicando quais das propriedades (reflexiva, sime´trica
ou transitiva) na˜o teˆm.
3. Seja A = {x ∈ N ; x ≤ 15}. Para x, y ∈ A definimos
x ∼ y⇐⇒ 3 divide x− y.
Instituto de Matema´tica
29 UFF
Relac¸o˜es de equivaleˆncia
(a) Mostre que ∼ e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia em A.
(b) Determine as classes de equivaleˆncia: 0, 1 e 2.
(c) Ha´ quantas classes de equivaleˆncia distintas?
4. Seja A o conjunto dos triaˆngulos no plano. Seja ∼ a congrueˆncia de
triaˆngulos.
Mostre que a congrueˆncia de triaˆngulos e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia.
5. Seja A o conjunto dos triaˆngulos no plano. Seja ∼ a semelhanc¸a de
triaˆngulos.
Mostre que a semelhanc¸a e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia.
6. Seja A = Z× (Z\{0}) = {(a, b) ; a, b ∈ Z e b 6= 0}.
Para (a, b), (c, d) ∈ A definimos
(a, b) ∼ (c, d)⇐⇒ a · d = b · c.
(a) Mostre que ∼ e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia em A.
(b) Determine a classe de equivaleˆncia de (a, b).
7. Seja A = R2\{(0, 0)}. Para (x, y), (x′, y′) ∈ A definimos
(x, y) ∼ (x′, y′)⇐⇒ x = λx′ e y = λy′, para algum λ ∈ R\{0}.
(a) Mostre que ∼ e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia em A.
(b) Interprete, geometricamente, a classe de equivaleˆncia de (x, y).
8. Sejam V um espac¸o vetorial real e W um subespac¸o de V.
Para u, v ∈ V definimos
u ∼ v se, e somente se, u − v ∈W.
(a) Mostre que ∼ e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆnciaem V.
(b) Determine a classe de equivaleˆncia de v, para cada v ∈ V.
(c) Sejam V = R2, (a, b) 6= (0, 0) e W = {(x, y) ∈ R2 ; ax+ by = 0}.
Interprete, geometricamente, a classe de equivaleˆnvia de (x0, y0).
(d) Sejam V = R3 e (a, b, c) 6= (0, 0, 0).
Consideremos o subespac¸oW = {(x, y, z) ∈ R3 ; ax+by+cz = 0}.
Interprete, geometricamente, a classe de equivaleˆnvia de (x0, y0, z0).
M.L.T.Villela
UFF 30