corpos finitos

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Anotac¸o˜es sobre corpos finitos.
Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡
rodrigo.uff.math@gmail.com
‡
1
Suma´rio
1 Corpos finitos 3
1.1 Homomorfismo e Isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Poteˆncias da caracterı´stica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2
Capı´tulo 1
Corpos finitos
Iremos considerar sempre K como um corpo finito.
Consideramos o conjunto
BK = {n > 0 ∈ N | n.1 = 0}
tal conjunto e´ na˜o vazio pois como o corpo K e´ finito tem-se m > n tal que
m.1 = n.1 e daı´ (m− n)︸ ︷︷ ︸
>0∈N
.1 = 0. logo o conjunto BK e´ na˜o vazio.
m Definic¸a˜o 1 (Caracterı´stica de um corpo finito). A caracterı´stica de um corpo
finito K e´ definida como
car(K) = minBK
o mı´nimo desse conjunto existe pelo princı´pio da boa ordenac¸a˜o, pois o conjunto
BK e´ na˜o vazio e e´ um conjunto de nu´meros naturais .
b Propriedade 1. car(K) = p e´ um nu´mero primo.
ê Demonstrac¸a˜o. Suponha por absurdo que na˜o seja um nu´mero primo, enta˜o
p.1 = (m.1).(n.1) = 0 onde 1 < m,n < p daı´ m.1 = 0 ou n.1 = 0 o que contradiz o
fato de p ser o elemento mı´nimo com essa propriedade, enta˜o p deve ser primo .
Iremos denotar em geral car(K) = p.
3
CAPI´TULO 1. CORPOS FINITOS 4
b Propriedade 2. Se m.a = 0 com m ∈ Z, a ∈ K enta˜o m = tp ou a = 0.
ê Demonstrac¸a˜o. Por propriedade de corpo tem-se m.a = 0 enta˜o m.1 = 0 ou
a = 0. Se m.1 = 0 tomamos a divisa˜o euclidiana de m por p
m = t.p+ r
e daı´
m.1 = t.p.1+ r.1 = r.1
como vale 0 ≤ r < p, na˜o pode valer 0 < r < p pois iria contradizer a minimalidade
de p, logo r = 0 e m = t.p.
1.1 Homomorfismo e Isomorfismo
m Definic¸a˜o 2 (Homomorfismo de corpos). Sejam A,B corpos. Uma func¸a˜o
f : A→ B chama-se um homomorfismo quando se tem
f(x+ y) = f(x) + f(y)
f(x.y) = f(x).f(y)
f(1A) = 1B
para quaisquer x, y ∈ K. Denotaremos nesse caso as unidades 1A e 1B pelos mesmos
sı´mbolos e escrevemos f(1) = 1.
b Propriedade 3. Se f e´ homomorfismo enta˜o f(0) = 0.
ê Demonstrac¸a˜o. Temos
f(0+ 0) = f(0) + f(0) = f(0)
somando −f(0) a ambos lados segue
f(0) = 0.
CAPI´TULO 1. CORPOS FINITOS 5
b Propriedade 4. Vale f(−a) = −f(a).
ê Demonstrac¸a˜o. Pois
f(a− a) = f(0) = 0 = f(a) + f(−a)
daı´ f(−a) = −f(a).
$ Corola´rio 1.
f(a− b) = f(a) + f(−b) = f(a) − f(b).
b Propriedade 5. Se a e´ invertı´vel enta˜o f(a) e´ invertı´vel e vale f(a−1) = f(a)−1.
ê Demonstrac¸a˜o.
f(a.a−1) = f(1) = 1 = f(a).f(a−1)
enta˜o pela unicidade de inverso em corpos segue que f(a)−1 = f(a−1).
b Propriedade 6. f e´ injetora.
ê Demonstrac¸a˜o. Sejam x, y tais que f(x) = f(y), logo f(x)−f(y) = 0, f(x−y) =
0, se x 6= y enta˜o x− y seria invertı´vel logo f(x− y) na˜o seria nulo, enta˜o segue que
x = y.
b Propriedade 7. f(A) e´ subcorpo de B.
ê Demonstrac¸a˜o.
• A adic¸a˜o e´ fechada, dados a = f(x) e b = f(y) enta˜o a+ b ∈ f(A) pois
f(x+ y) = f(x) + f(y) = a+ b.
• O produto e´ fechado, pois f(x.y) = f(x).f(y) = a.b.
• −a ∈ f(A) pois f(−x) = −f(x) = −a.
• Se a 6= 0 enta˜o a−1 ∈ f(A) pois f(x−1) = f(x)−1, x 6= 0 pois se fosse x = 0 enta˜o
a = 0, logo x e´ invertı´vel.
CAPI´TULO 1. CORPOS FINITOS 6
b Propriedade 8. Se f e´ bijetora enta˜o a func¸a˜o inversa f−1 de f e´ um homo-
morfismo.
ê Demonstrac¸a˜o. Sejam a = f−1(x) e b = f−1(y).
• f−1(1) = 1 pois f(1) = 1.
•
f−1(x+ y) = f−1(f(a) + f(b)) = f−1(f(a+ b)) = a+ b = f−1(x) + f−1(y).
•
f−1(x.y) = f−1(f(a).f(b)) = f−1(f(a.b)) = a.b = f−1(x).f−1(y).
m Definic¸a˜o 3 (Isomorfismo). Um Isomorfismo e´ um homomorfismo bijetor.
Dois corpos sa˜o ditos isomorfos se existir um isomorfismo entre eles. Para todos
os efeitos dois corpo isomorfos sa˜o considerados ideˆnticos.
b Propriedade 9. K com car(K) = p possui um subcorpo isomorfo a` Zp.
ê Demonstrac¸a˜o. Consideramos a func¸a˜o f : Zp → K definida como f(n) = n.1.
f e´ um homomorfismo pois
f(n+m) = (n+m).1 = n.1+m.1 = f(n) + f(m)
f(n.m) = n.m(1) = (n.1).(m.1) = f(n).f(m).
f(1) = 1.1 = 1.
$ Corola´rio 2. f(Zp) e´ um subcorpo de K isomorfo a Zp.
$ Corola´rio 3. Um corpo finito de caracterı´stica p possui pn elementos, para
algum n natural .
CAPI´TULO 1. CORPOS FINITOS 7
1.1.1 Poteˆncias da caracterı´stica
b Propriedade 10. Sejam K corpo finito de caracterı´stica p e com q = pn,
n > 0 ∈ N, vale
(a± b)q = aq ± bq
ê Demonstrac¸a˜o. Por induc¸a˜o sobre n, para n = 1 vale que
(a± b)p = ap ± bp,
pois
(a+ b)p =
p∑
k=0
(
p
k
)
ak.bp−k = ap + [
p−1∑
k=1
(
p
k
)
ak.bp−k] + bp,
pore´m p|
(
p
k
)
com 0 < k < p, pois vale se k = 1, e
(
p
1
)
= p, caso 1 < k < p, temos
(
p
k
)
=
p!
k!(p− k)!
=
p× · · · × (p− k+ 1)(p− k)!
k!(p− k)!
=
p× · · · × (p− k+ 1)
k!
,
daı´ k! e´ composto e por isso na˜o divide o primo p, por isso tal fator e´ mu´ltiplo de p
e portanto nulo num corpo de caracterı´stica p, de onde segue
(a+ b)p = ap + [
p−1∑
k=1
(
p
k
)
ak.bp−k]︸ ︷︷ ︸
0
+bp = ap + bp.
Isso prova o caso base. Supondo para n, vamos provar para n+ 1
(a± b)pn+1 = [(a± b)pn ]p = [apn ± bpn]p = apn+1 ± bpn+1 .
$ Corola´rio 4. Vale que
(
n∑
k=1
ak)
q =
n∑
k=1
aqk
e
(
n∑
k=1
akX
k)q =
n∑
k=1
aqkX
kq
CAPI´TULO 1. CORPOS FINITOS 8
b Propriedade 11. Seja K um corpo com car(K) = p, enta˜o a func¸a˜o f : K→ R
dada por f(x) = xq ( com q = pn ) e´ um isomorfismo.
ê Demonstrac¸a˜o.
Vale que
f(a+ b) = (a+ b)q = aq + bq = f(a) + f(b)
,
f(a.b) = (a.b)q = aq.bq = f(a).f(b)
e
f(1) = 1q = 1
, logo temos um homomorfismo. Como f e´ injetora e K e´ finito, f e´ bijetora, logo
temos um isomorfismo.
b Propriedade 12. Seja K um corpo com car(k) = p e F = {a ∈ K|aq = a}
enta˜o F e´ subcorpo de K.
ê Demonstrac¸a˜o.
Basta mostrar que a, b ∈ F implica a− b ∈ F e a
b
∈ F.
(a− b)q = aq − bq = a− b
(
a
b
)q =
aq
bq
=
a
b
.
b Propriedade 13. Seja P(x) ∈ K[x] . Temos P ′(X) = 0 sse existe um polinoˆmio
Q(x) ∈ K[x] tal que [Q(x)]p = P(x)
ê Demonstrac¸a˜o. ⇒ P(x) e´ da forma P(x) = akxk, derivando
P ′(x) =
n∑
k=0
ak.kx
k−1 =
n∑
k=1
ak.kx
k−1 = 0
daı´ ak.k = 0, se ak 6= 0 enta˜o p|k o que nos permite escrever
P(x) =
n∑
k=0
a ′k.px
k.p
CAPI´TULO 1. CORPOS FINITOS 9
pelo resultado anterior a ′k.p = b
p
k enta˜o
P(x) =
n∑
k=0
bpkx
k.p = (
n∑
k=0
bkx
k)p.
⇐
P(x) =
n∑
k=0
apkx
k.p
derivando
P ′(x) =
n∑
k=0
apk(k.p)x
k.p−1 = 0.
b Propriedade 14. P(x) = xq − x na˜o possui fatores irredutı´veis mu´ltiplos em
F[x].
ê Demonstrac¸a˜o. Derivando temos P ′(x) = −1, daı´ P(x) e P ′(x) sa˜o primos
entre si .
b Propriedade 15. Seja K um corpo finito com n elementos, para todo a ∈ K∗
tem-se que
an−1 = 1.
ê Demonstrac¸a˜o. Considere a func¸a˜o f dada por
K∗ → K∗
x 7→ a.x
f e´ injetora e como K∗ e´ finito segue que f e´ bijetora, sendo
K∗ = {xk, k ∈ In−1}
vale que
{a.xk, k ∈ In−1} = {xk, k ∈ In−1}
tomando o produto de todos esses elementos tem-se
n−1∏
k=1
(a.xk) = a
n−1.
n−1∏
k=1
(xk) =
n∏
k=1
(xk)
logo an−1 = 1.
CAPI´TULO 1. CORPOS FINITOS 10
$ Corola´rio 5. Sendo K um corpo finito com n elementos, para todo x ∈ K e
para todo t ∈ N vale que
an
t
= a.
b Propriedade 16. Sejam K um corpo finito com car(K) = p e n elementos, F
uma extensa˜o de K, enta˜o os elementos de K sa˜o os elementos de F que sa˜o raı´zes
de Xn = X.
ê Demonstrac¸a˜o. Sabemos que os elementos de K sa˜o raı´zes do polinoˆmio
Xn = X, mas esse polinoˆmio tendo grau n possui no ma´ximo n raı´zes, logo suas
raı´zes sa˜o todos elementos de K.
m Definic¸a˜o 4 (Ordem de um elemento). A ordem de x ∈ K∗ e´ o natural n tal
que
ord(x) = min{n > 0 ∈ N | an = 1}
b Propriedade 17. Seja K um corpo finito com n elementos e seja a ∈ K∗.
Se para algum inteiropositivo m tem-se am = 1 enta˜o ord(a)|m, em especial
ord(a)|n− 1.
ê Demonstrac¸a˜o. Dividimos m por ord(a), m = ord(a).s + r onde 0 ≤ r <
ord(a) enta˜o
am = aord(a).sar = 1 = ar
daı´ r = 0 pois se na˜o a minimalidade de ord(a) estaria comprometida .
b Propriedade 18. Seja K um corpo finito, a, b ∈ K com mdc(ord(a), ord(b)) =
1 enta˜o ord(a.b) = ord(a).ord(b).
ê Demonstrac¸a˜o. Seja m = ord(a) e n = ord(b). Vale que (a.b)n.m = 1 e se
(a.b)t = 1 enta˜o
1 = (a.b)t.m = bt.m
CAPI´TULO 1. CORPOS FINITOS 11
da mesma maneira
1 = (a.b)t.n = at.n
isso significa que m|tn e n|tm por termos mdc(n,m) = 1 segue que m.n|t daı´
m.n = min{t > 0 | (a.b)t = 1}
logo ord(a.b) = ord(a).ord(b).
b Propriedade 19. Seja K um corpo finito a ∈ K∗ e n ∈ N, se ord(a) = m
enta˜o
ord(an) =
m
mdc(m,n)
.
ê Demonstrac¸a˜o. Seja t = ord(an) logo t e´ o menor tal que
an.t = 1,
t e´ o menor nu´mero tal que m|n.t, daı´ n.t = mmc(m,n)
t =
mmc(m,n)
n
=
m
mdc(m,n)
onde usamos a identidade m.n = mmc(m,n).mdc(m,n).
F Teorema 1. Para cada primo P e n ≥ 1 natural existe um corpo finito de ordem
pn denotado por Fpn , unicamente determinado como um subcorpo de um fecho
alge´brico Fap, sendo o corpo de decomposic¸a˜o do polinoˆmio Xp
n
− X, os elementos
de Fpn sa˜o as raı´zes de tal polinoˆmio. Cada corpo finito e´ isomorfo a exatamente
um corpo FPn , usualmente denotamos pn = q e daı´ Fq no lugar de Fpn .
ê Demonstrac¸a˜o.
b Propriedade 20. Seja Fq um corpo finito n ≥ 1 ∈ N, em um dado fecho
alge´brico Faq existe uma e apenas extensa˜o de Fq de grau n e tal extensa˜o e´ o corpo
Fqn .
ê Demonstrac¸a˜o.
CAPI´TULO 1. CORPOS FINITOS 12
F Teorema 2. O grupo multiplicativo de um corpo finito e´ cı´clico .
ê Demonstrac¸a˜o.
m Definic¸a˜o 5 (Func¸a˜o de Frobenius). A func¸a˜o f : Fq → Fq com f(x) = xp e´
um automorfismo que fixa Fp, chamada func¸a˜o de Frobenius.
F Teorema 3. O grupo de automorfismos de Fq e´ cı´clico de grau n e gerado por
f, func¸a˜o de Frobenius .
ê Demonstrac¸a˜o. Seja G o grupo gerado por f, notamos que fn = I, pois
fn(x) = xp
n
= x ∀ x ∈ Fq.
Seja d p perı´odo para f, d ≥ 1, temos
fd(x) = xp
d
= x ∀ x ∈ Fq
enta˜o x ∈ fq e´ raiz da equac¸a˜o
xp
d
− x = 0
que tem ate´ pd raı´zes, logo d ≥ n, usando d ≤ n enta˜o d = n. Falta mostrar que G
e´ o grupo de todos automorfismos de Fq. Qualquer autormorfismo de Fq deve deixar
Fp fixado enta˜o e´ um automorfismo de Fq sobre Fp. O nu´mero de tais automorfismos
e´ ≤ [Fq : Fp] = n, Fq na˜o pode ter outro automorfismo exceto aqueles de G.
b Propriedade 21. Sejam m, n inteiros ≥ 1, em qualquer fecho alge´brico de
Fp, o subcorpo Fpn esta´ contido em Fpm ⇔ n|m . Se esse e´ o caso seja q = pn e
m = nd, enta˜o Fpm e´ normal e separa´vel sobre Fq, e o grupo de automorfismos de
Fpm sobre Fq e´ cı´clico de ordem d, gerado por fn.
ê Demonstrac¸a˜o.
	Corpos finitos
	Homomorfismo e Isomorfismo
	Potências da característica