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Lista 3 - Geometria Analítica

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Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Tecnologia e Ciências
Instituto de Matemática e Estatística
Departamento de Geometria e Representação Gráfica
Profa. Msc. Paula de Oliveira Ribeiro
Lista 3 de Geometria Analítica e Cálculo Vetorial I - 2013.2
Plano
1. Determine a equação geral do plano para os casos onde:
(a) o plano passa pelo ponto A(1,−3, 4) e é paralelo aos vetores ~v1 = (3, 1,−2) e ~v2 =
(1,−1, 1);
(b) o plano contém os pontos A(1,−2, 2) e B(−3, 1,−2) e é perpendicular ao plano pi: 2x+ y−
z + 8 = 0;
(c) o plano passe por A(2, 1,−1), B(0,−1, 1) e C(1, 2, 1);
(d) o plano que contém as retas:
r:

x = 1 + 2t
y = -2 + 3t
z = 3 - t
e s:

x = 1 - 2t
y = -2 - t,
z = 3 + 2t
onde t ∈ R.
(e) o plano que contém as retas:
r:

x = -2 + t
y = -t
z = -3
e s:
{
y = -x - 1
z = 3,
onde t ∈ R.
(f) o plano contém a reta:
r:
{
x = 4
y = 3 e o ponto B(−3, 2, 1).
2. Seja o plano pi que passa pelo ponto A(2, 2,−1) e é paralelo aos vetores ~u = (2,−3, 1) e ~v =
(−1, 5,−3). Obter uma equação vetorial, um sistema de equações paramétricas e uma equação
geral de pi.
3. Dado o plano pi de equação 2x − y − z + 4 = 0, determine um sistema de equações paramétricas
de pi. Dica: encontre três pontos A, B e C, não alinhados e pertencentes ao plano, e através
deles encontre dois vetores de base.
4. Estabeleça equações paramétricas do plano determinado pelos pontos A(1, 1, 0), B(2, 1, 3) e
C(−1,−2, 4).
1
5. Determinar o ângulo entre os seguintes planos:
(a) pi1 : x + 2y + z − 10 = 0 e pi2 : 2x + y − z + 1 = 0;
(b) pi1 : 2x − 2y + 1 = 0 e pi2 : 2x − y − z = 0;
(c) pi1 : 3x + 2y − 6 = 0 e pi2 : plano xz;
(d) pi1 : 3x + 2y − 6 = 0 e pi2 : plano yz.
6. Determine o valor de n para que seja de 30◦ o ângulo entre os planos:
pi1 : x + my + 2z − 7 = 0 e pi2 : 4x + 5y + 3z − 2 = 0.
7. Dada a reta r e o plano pi, determine o valor de m para que se tenha:
(I) r//pi;
(II) r ⊥ pi.
para os casos:
(a) r:

x = −3 + t
y = −1 + 2t
z = 4t
e pi: mx − y − 2z − 3 = 0;
(b) r: (x, y, z) = (1, 2, 0) + t(2,m,−1) e pi: 3x + 2y + mz = 0.
8. Determine o ângulo que a reta r : x−23 =
y
−4 =
z+1
5 forma com o plano pi : 2x − y + 7z − 1 = 0.
9. Determine os valores de m e n para que a reta:
r:

x = 3 + t
y = −1 − t
z = −2 − t,
esteja contida no plano pi : 2x + my + nz − 5 = 0.
10. Estabeleça as equações reduzidas, sendo x a variável independente, da reta de interseção entre
os planos:
(a) pi1 : 3x − y + z − 3 = 0 e pi2 : x + 3y + 2z + 4 = 0;
(b) pi1 : 3x − 2y − z − 1 = 0 e pi2 : x + 2y − z − 7 = 0.
11. Determine o ponto de interseção I(x, y, z) da reta r com o plano pi sendo:
(a) r: x = 2y − 3 = 2z−33 e pi : 2x − y + 3z − 9 = 0;
(b) r:

x = 1 + t
y = 2t
z = 5
e pi: x = 3.
2
(c) r:

x = t
y = 1 − 2t
z = −t
e pi: 2x + y − z − 4 = 0.
onde t ∈ R.
12. Calcule a distância do ponto P0(4, 2,−3) ao plano pi: 2x + 3y − 6z + 3 = 0.
13. Calcule a distância d entre os planos paralelos
(a) pi1 : 2x + 2y + 2z − 5 = 0 e pi2 : x + y + z − 3 = 0;
(b) pi1 : x − 2z + 1 = 0 e pi2 : 3x − 6z − 8 = 0.
14. Determine a distância da reta r:
r:
{
x = 3
y = 4
(a) ao plano xz;
(b) ao plano yz;
(c) ao eixo dos z;
(d) ao plano pi : x + y − 12 = 0.
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