Relatório de Oscilador Linear (Lei de Hooke)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO SUL E SUDESTE DO PARÁ 
FACULDADE DE ENGENHARIA DE MATERIAIS 
CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA 
 
 
 
 
LEI DE HOOKE 
Oscilador Linear (Massa-Mola) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ADRIANO SOUZA DA COSTA 
JÉSSICA P. VEIGA W. RODRIGUES 
PABLO DA SILVA FERREIRA 
ROBERTO N. DA S. GONÇALVES 
 
 
 
 
 
 
 
Marabá/PA 
Março/2016
ADRIANO SOUZA DA COSTA 
JÉSSICA POLLYANNA VEIGA WANZELER RODRIGUES 
PABLO DA SILVA FERREIRA 
ROBERTO NAZARENO DA SILVA GONÇALVES 
 
 
 
 
 
 
LEI DE HOOKE 
Oscilador Linear (massa-mola) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Relatório de prática experimental “Lei de Hooke - 
Oscilador massa-mola”, realizada em março de 2016, da 
disciplina Física Geral II, turma IGEM01016, ministrada pelo 
Prof. Dr. José Elisandro de Andrade, na Universidade Federal 
do Sul e Sudeste do Pará. 
 
 
 
 
 
Marabá/PA 
Março/2016 
ÍNDICE 
1. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ........................................................................... 4 
2. OBJETIVOS ......................................................................................................... 7 
2.1. OBJETIVO GERAL ............................................................................................... 7 
2.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS ................................................................................. 7 
3. MATERIAIS E MÉTODOS .................................................................................... 7 
3.1 MATERIAIS UTILIZADOS ..................................................................................... 7 
3.2. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL.................................................................... 8 
4. RESULTADOS E DISCUSSÕES ....................................................................... 11 
5. CONCLUSÃO ..................................................................................................... 12 
6. BIBLIOGRAFIA .................................................................................................. 12 
 
 
1. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 
 
 
O oscilador linear é um sistema mecânico tipo massa-mola, constituído 
por uma mola espiral cilíndrica que possui constante elástica k e um corpo de massa 
m, sendo que quando está em atividade, há uma força restauradora F dada pela Lei 
de Hooke dada na Eq. (1). O corpo oscila quando está ligado à uma extremidade da 
mola enquanto a outra está fixada em outro lugar estático, e quando é esticada ou 
comprimida até uma posição 𝑥, realiza, um movimento harmônico simples (MHS) 
com amplitude 𝑥𝑚, como na Figura 1. 
 
 
 
 
Figura 1. Ilustração de um oscilador linear massa-mola (Fonte: os autores). 
 
 
O corpo de massa m oscila devido à força elástica, descrita pela Lei de 
Hooke, 
 
𝐹 = −𝑘𝑥, (1) 
 
na qual F é a força elástica dada em newtons, k é a constante elástica da mola (em 
N/m) e 𝑥 é a deformação (em metros). O sinal usado é negativo devido à força 
elástica ser uma força restauradora sempre contrária ao sentido do movimento. 
De acordo com a 2ª Lei de Newton, 
 
𝐹𝑅 = 𝑚𝑎, (2) 
 
em que FR é a força resultante, em newtons, atuando no sistema; m a massa em 
quilogramas e 𝑎 a aceleração. 
Como a força resultante no corpo é apenas a força elástica. 
 
−𝑘𝑥 = 𝑚𝑎, 
 
Analisando que no MHS, a aceleração 𝑎 pode ser escrita em função da 
posição 𝑥 e da frequência angular 𝜔, 
 
𝑎 = −𝜔2𝑥. 
 
Portanto, 
−𝑘𝑥 = −𝑚𝜔2𝑥 
 
𝜔2 =
𝑘
𝑚
. 
 
 
Como a frequência angular 𝜔 e o período 𝑇 estão relacionados através da 
Eq. 3, 
 
𝜔 =
2𝜋
𝑇
, (3) 
 
tem-se que 
 
𝑇 = 2𝜋√
𝑚
𝑘
. (4) 
 
em que o período é dado com unidade de segundos (s). 
 
Como foram realizadas várias medidas de oscilações, torna-se importante 
calcular a média, desvio-padrão e as incertezas, isso para ter um período de 
oscilação próximo do valor teórico. Portanto, para calcular o período médio 𝑡̅ das 
oscilações do sistema massa-mola, utiliza-se a Eq. 5 
 
�̅� =
1
𝑛
∑ 𝑇𝑖
𝑛
𝑖=1
, (5) 
 
onde t são as medidas dos períodos e n o número de medidas. 
 
Para obter o desvio padrão 𝑆 das medidas dos períodos das oscilações 
realizadas foi utilizada a Eq. 6, 
 
𝑆 = √
1
𝑛 − 1
∑(𝑇𝑖 − �̅�𝑖)2
𝑛
𝑖=1
. (6) 
 
Para realizar os cálculos das incertezas deve-se utilizar as equações 7, 8 
e 9, respectivamente. A incerteza do tipo a 𝜎𝑎 que está associada ao número de 
medidas é obtida pela Eq. 7, 
𝜎𝑎 = 
𝑆
√𝑛
. (7) 
A incerteza do tipo b 𝜎𝑏 é a incerteza do instrumento de medição utilizado 
no procedimento experimental. Por fim, a incerteza do tipo c, 𝜎𝑐, é a incerteza 
combinada entre as duas incertezas citadas anteriormente calculada pela Eq. 8 
𝜎𝑐 = √𝜎𝑎2 + 𝜎𝑏2. (8) 
 
 
2. OBJETIVOS 
 
2.1. OBJETIVO GERAL 
 Determinar experimentalmente o valor do período em um sistema massa-
mola. Além disso, discutir acerca dos valores obtidos experimental e 
teoricamente. 
 
2.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS 
 Estudar o movimento harmônico simples (MHS) de um oscilador linear; 
 Calcular o período teórico 𝑇teórico; 
 Determinar o período experimental (𝑇experimental) da oscilação; 
 Determinar o erro relativo (𝜀) entre o período teórico e experimental. 
 
 
 
3. MATERIAIS E MÉTODOS 
 
3.1 MATERIAIS UTILIZADOS 
 
A Figura 2, mostra o aparato utilizado para a realização do procedimento 
experimental composto por um arete da marca Cidepe (1); uma mola com constante 
elástica de 20 N/m (2); um conjunto de massa (3); balança digital (4); e um celular 
com cronômetro (5). 
 
 
 
Figura 2. Aparato experimental utilizado (Fonte: os autores). 
 
 
3.2. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 
 
Primeiramente, mediu-se o conjunto massa na balança digital e obteve-se 
0,158 kg. Prendeu-se uma extremidade da mola no conjunto massa e outra no arete. 
O conjunto massa-mola foi distendido até uma um deslocamento 
arbitrário, então foi solto. Foi utilizado o cronômetro de um celular para medir o 
período de três oscilações completas do sistema por dez vezes. Os valores obtidos 
foram inseridos na Tabela 1. 
 
 
Nº da medida Período (s) 
1 1,71 
2 1,75 
3 1,65 
4 1,62 
5 1,80 
6 1,71 
7 1,70 
8 1,63 
9 1,62 
10 1,62 
 
Tabela 1. Período de oscilação do sistema massa-mola. 
 
 
A partir dos dados da Tabela 1, pode-se calcular o período médio �̅�, o 
desvio padrão 𝑆 e as incertezas 𝜎𝑎, 𝜎𝑏 e 𝜎𝑐. Para o período médio de oscilação, foi 
utilizada a Eq. 5, 
 
�̅� =
16,81
10
= 1,681 𝑠. 
 
O desvio-padrão 𝑆 das medidas é obtida é dado pela Eq. 6, 
 
𝑆 = 0,06297265721 𝑠. 
 
Sabendo-se que a incertezas 𝜎𝑎 é determinada por meio da relação entre o desvio-
padrão e a raiz do número de medidas conforme a Eq. 7, 
 
𝜎𝑎 = 
0,06297265721
√10
= 0,02 𝑠. 
 
Visto que a incerteza tipo b 𝜎𝑏 é obtida por meio da precisão do instrumento de 
medida, tem-se que 𝜎𝑏 = 0,01 𝑠. Por fim, a incerteza tipo c 𝜎𝑐 resulta a partir da Eq. 8 
que relaciona as duas incertezas obtidas anteriormente. 
 
𝜎𝑐 = √(0,02)2 + (0,01)2 = 0,02 𝑠. 
 
Feito isso, os resultados podem ser vistos na Tabela 2. 
 
�̅� 1,681 𝑠 
Desvio padrão (S) 0,06297265721 𝑠 
𝜎𝐴 0,02 𝑠 
𝜎𝐵 0,01 𝑠 
𝜎𝐶 0,02 𝑠 
�̅� ± 𝜎𝐶 1,68 ± 0,02 𝑠 
 
Tabela 2.Dados das oscilações do sistema massa-mola. 
 
Sabendo-se que 𝑚 = 0,158 𝑘𝑔 e 𝑘 = 20 𝑁 𝑚⁄ , tem-se, o período teórico 
𝑇teórico é obtido pela Eq. 4, 
 
𝑇teórico = 2𝜋√
0,158
20
= 0,56 𝑠. 
 
Por outro lado, o período experimental equivale ao períodode três 
oscilações. Logo, 𝑇experimental é obtido pela Eq. 9, 
 
𝑇experimental =
�̅�
3
. (9) 
 
Sabendo-se que o período médio é �̅� = 1,68 𝑠, e a incerteza 𝜎𝑐 = 0,02 𝑠, o 
tempo experimental será 
𝑇experimental = 
1,68
3
= (0,56 ± 0,02)𝑠. 
 
A partir dos tempos obtidos teoricamente e experimentalmente, pôde-se calcular o 
erro relativo 𝜀 em porcentagem utilizando a Eq. 10, 
 
𝜀 = (
𝑇teórico − 𝑇experimental
𝑇𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜
) × 100 (10) 
 
Desta forma, tem-se que o erro relativo 
 
𝜀 = 
0,56 − 0,56
0,56
× 100 = 0 %. 
 
 
 
4. RESULTADOS E DISCUSSÕES 
 
Conforme descrito no procedimento experimental, mediu-se o tempo 
necessário para o conjunto massa-mola realizar três oscilações, sendo que este 
procedimento se repetiu por dez vezes com os tempos obtidos estão dispostos na 
Tabela 1. Posteriormente obteve-se o período teórico de apenas uma oscilação, o 
período experimental e o erro relativo, conforme a Tabela 2. 
 
𝑇experimental + 𝜎𝑐 (s) 𝑇teórico (s) 𝜀 (%) 
0,56 ± 0,02 0,56 0 
 
Tabela 2. Resultados dos períodos oscilatórios e o erro relativo. 
 
De acordo com a Tabela 2, observa-se que o período experimental é igual 
ao período teórico, isso se deu por conta dos arredondamentos estabelecidos para 
duas casas decimais após a virgula. Portanto, como os períodos são iguais a 0,56 s, 
o erro relativo é nulo. No entanto, é importante ressaltar que segundo a literatura, 
nenhuma grandeza física é exata. Desta forma, deve-se considerar a incerteza de 
0,02 s para o período experimental, assim, tem-se um erro relativo máximo de 
± 3,57 %. 
Por fim, os resultados obtidos são bastante precisos, pois possuem uma 
pequena incerteza e, consequentemente, um pequeno erro relativo, mostrando 
assim a eficácia do experimento realizado. 
 
 
 
5. CONCLUSÃO 
 
De acordo os resultados obtidos experimentalmente, conclui-se que há 
uma pequena variação do período em relação à teoria, isso ocorreu por conta da 
imprecisão humana ao medir o tempo de oscilação do sistema massa-mola 
No entanto, a incerteza de 0,02 s determina um erro de 3,57% que está 
dentro dos padrões literários. Pode-se afirmar, então, que o procedimento 
experimental está dentro dos padrões previsto pela teoria do Movimento Harmônico 
Simples (MHS), uma vez que os períodos encontrados são de 0,56 s para o 
experimento e para a teoria. Este erro estimado pode ser minimizado ainda mais a 
partir do momento em que o procedimento experimental for realizado em um local 
que não haja interferência do ar, utilizando-se um cronômetro acoplado ao sistema 
para que não haja interferências externas na obtenção do período de oscilação do 
sistema harmônico simples. 
 
 
 
6. BIBLIOGRAFIA 
 
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física: Gravitação, 
ondas e termodinâmica. 9 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012. 
TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros. Mecânica, oscilações 
e ondas, termodinâmica. 6 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009. 
JEWETT JR, J. W.; SERWAY, R. A. Física para cientistas e engenheiros: Oscilações, 
ondas e ondas, termodinâmica. São Paulo: Cengage Learning, 2011.