AULA 08 - Capacitores e Indutores

Prévia do material em texto

Circuitos CC 
ELETRICIDADE C 
Prof. Renan Caron Viero – rcviero@gmail.com 
Adaptado do Material do prof. Sérgio Haffner 
https://sites.google.com/site/rcviero/ 
 
Capacitores e Indutores 
Aula 08 – Capacitores e Indutores 2 
CAPACITOR IDEAL 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
0
0
2
1 1 
1
2
t t
t
q t C v t
dq t dv t
i t C
dt dt
v t i d v t i d
C C
p t v t i t
W t C v t
τ τ τ τ
−∞
=
= =
= = +
=
=
∫ ∫
• Elemento passivo 
 incapaz de fornecer potência média durante um intervalo de tempo infinito 
 capaz de armazenar energia e fornecer esta energia posteriormente 
 C dado em farad (F) 
Aula 08 – Capacitores e Indutores 3 
CAPACITOR IDEAL 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
0
0
2
1 1 
1
2
t t
t
q t C v t
dq t dv t
i t C
dt dt
v t i d v t i d
C C
p t v t i t
W t C v t
τ τ τ τ
−∞
=
= =
= = +
=
=
∫ ∫
Em CC é um circuito aberto... 
Não permite variações instantâneas de tensão... 
Possui memória 
Aula 08 – Capacitores e Indutores 4 
INDUTOR IDEAL 
• Elemento passivo 
 incapaz de fornecer potência média durante um intervalo de tempo infinito 
 capaz de armazenar energia e fornecer esta energia posteriormente 
 L dado em henry (H) 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
0
0
2
1 1 
1
2
t t
t
di t
v t L
dt
i t v d i t v d
L L
p t v t i t
W t L i t
τ τ τ τ
−∞
=
= = +
=
=
∫ ∫
Aula 08 – Capacitores e Indutores 5 
INDUTOR IDEAL 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
0
0
2
1 1 
1
2
t t
t
di t
v t L
dt
i t v d i t v d
L L
p t v t i t
W t L i t
τ τ τ τ
−∞
=
= = +
=
=
∫ ∫
Em CC é um curto circuito... 
Não permite variações instantâneas de corrente... 
Possui memória 
Aula 08 – Capacitores e Indutores 6 
RESPOSTA NATURAL RC 
• Circuito sem fontes no qual a condição inicial é 
• Equação do nó superior (corrente saindo positiva) 
 
 
 
 
• A solução desta equação 
diferencial tem a seguinte forma 
• Substituindo a solução na equação homogênea, tem-se 
( ) ( ) ( ) ( )1 10 ou 0
dv t dv t
C v t v t
dt R dt RC
+ = + =
equação diferencial linear homogênea 
( ) stv t Ke=
{ } 1 10 0
1 10
st st st st
st
d Ke Ke Ke s Ke
dt RC RC
s Ke s
RC RC
+ = ⇒ + =
− + = ⇒ = 
 
( )
1
0
t
RCv t V e
−
=
( ) 00v V=
Aula 08 – Capacitores e Indutores 7 
RESPOSTA NATURAL RC 
• Característica da tensão 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
– Forma de onda não depende da condição inicial 
– Duração depende da constante de tempo (τ, dada em segundo) 
( ) 00v V=
( )
1
0
t
RCv t V e
−
=
( ) 0
t
v t V e
RC
τ
τ
−
=
=
Aula 08 – Capacitores e Indutores 8 
RESPOSTA NATURAL RC 
Aula 08 – Capacitores e Indutores 9 
RESPOSTA NATURAL RC 
• No circuito da figura, sabendo que a chave ficou muito tempo fechada, 
determinar o valor da tensão v em t=200µs 
 
 Determinar circuito antes (condição 
inicial) e depois (situação final) 
da abertura da chave 
 
Aula 08 – Capacitores e Indutores 10 
RESPOSTA NATURAL RL 
• Circuito sem fontes no qual a condição inicial é 
• Equação de malha (sentido horário) 
 
 
 
 
• A solução desta equação 
diferencial tem a seguinte forma 
• Substituindo a solução na equação homogênea, tem-se 
( ) ( ) ( ) ( )0 ou 0
di t di t RRi t L i t
dt dt L
+ = + =
( ) 00i I=
equação diferencial linear homogênea 
( ) sti t Ke=
{ } 0 0
0
st st st st
st
d R RKe Ke Ke s Ke
dt L L
R Rs Ke s
L L
+ = ⇒ + =
− + = ⇒ = 
 
( ) 0
Rt
Li t I e
−
=
Aula 08 – Capacitores e Indutores 11 
RESPOSTA NATURAL RL 
• Característica da corrente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
– Forma de onda não depende da condição inicial 
– Duração depende da constante de tempo (τ, dada em segundo) 
( ) 00i I=
( ) 0
Rt
Li t I e
−
=
( ) 0
t
i t I e
L
R
τ
τ
−
=
=
Aula 08 – Capacitores e Indutores 12 
RESPOSTA NATURAL RL 
• No circuito da figura, sabendo que a chave ficou muito tempo fechada, 
determinar o valor da tensão v em t=200ms 
 
 Determinar circuito antes (condição 
inicial) e depois (situação final) 
da abertura da chave 
Aula 08 – Capacitores e Indutores 13 
RESPOSTA FORÇADA RC 
• Circuito com fonte e condição inicial nula 
• Equação do nó superior (corrente saindo positiva) 
 
 
 
 
 
• A solução desta equação é 
 
 
 
• No regime permanente, tende para a forma da fonte. 
• Exercício – Determinar a forma de onda da corrente no capacitor. 
 
( )
( ) ( )
0 0
1 0S
v t t
dv t
C v t I t
dt R
= <
+ = ≥
( )
t
S Sv t RI RI e τ
−
= − RCτ =
( )0 0v =
Aula 08 – Capacitores e Indutores 14 
RESPOSTA FORÇADA RL 
• Circuito com fonte e condição inicial nula 
• Equação de malha (sentido horário) 
 
 
 
 
 
• A solução desta equação é 
 
 
 
• No regime permanente, tende para a forma da fonte. 
( )
( ) ( )
0 0
0S
i t t
di t
Ri t L V t
dt
= <
+ = ≥
( )0 0i =
( )
t
S SV Vi t e
R R
τ
−
= − L
R
τ =
Aula 08 – Capacitores e Indutores 15 
RESPOSTA FORÇADA RL 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Exercício – Determinar a forma de onda da tensão no indutor. 
L
R
τ =( )
t
S SV Vi t e
R R
τ
−
= −
Aula 08 – Capacitores e Indutores 16 
RESPOSTA COMPLETA RL & RC 
• Obtida por superposição → soma das parcelas 
 resposta natural – depende dos parâmetros do circuito 
 resposta forçada – depende da fonte 
 
• Circuito RL 
 
 
 
 
• Circuito RC 
( )
( ) ( )
00
0S
i I
di t
L Ri t V t
dt
=
+ = ≥
( ) 0
t
S SV Vi t I e
R R
τ
− = − 
 
L
R
τ =
( )
( ) ( )
00
1 0S
v V
dv t
C v t I t
dt R
=
+ = ≥
( ) ( )0
t
S Sv t RI V RI e τ
−
= −
RCτ =
	Slide Number 1
	Slide Number 2
	Slide Number 3
	Slide Number 4
	Slide Number 5
	Slide Number 6
	Slide Number 7
	Slide Number 8
	Slide Number 9
	Slide Number 10
	Slide Number 11
	Slide Number 12
	Slide Number 13
	Slide Number 14
	Slide Number 15
	Slide Number 16