AULA 11 - Analise de Circuitos em CA

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Circuitos CA 
ELETRICIDADE C 
Prof. Renan Caron Viero – rcviero@gmail.com 
Adaptado do Material do prof. Sérgio Haffner 
https://sites.google.com/site/rcviero/ 
 
Análise de Circuitos em CA 
Aula 11 – Análise de Circuitos em CA 2 
FASORES - RESUMO 
( ) ( )max cosi t I tω φ= +
( ) ( ){ }maxRe j ti t I e ω φ+=
max
jI I e φ=
rmsI I φ=
Aula 11 – Análise de Circuitos em CA 3 
FASORES - RESUMO 
• Representações 
 coordenada retangular 
• R – parte real 
• X – parte imaginária 
 coordenada polar 
• |Z| – magnitude (módulo) 
• θ – ângulo de fase (argumento) 
• Conversão retangular↔polar 
 P→R 
 
 
 R→P 
 
 
 
• Cuidado! A função tan-1 usual (com 1 
argumento) retorna valores apenas 
nos quadrantes 1º e 4º (entre -90º e +90º). 
Se R<0, deve-se somar 180º (ou π rad) à fase. 
 
Z R jX= +
Z Z θ=
cos senR Z X Zθ θ= =
2 2 1tan XZ R X
R
θ −  = + =  
 
Aula 11 – Análise de Circuitos em CA 4 
FASORES - RESUMO 
1 1 1 1 1 2 2 2 2 2z a j b r z a j b r z a j b rφ φ φ= + = = + = = + =
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
( ) ( )
( ) ( )
z z a a j b b
z z a a j b b
+ = + + +
− = − + −
1 1
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2
*
1 1
2
z rz z r r
z r
z r
z r
z a jb r
φ φ φ φ
φφ
φ
⋅ = ⋅ + = −
= − =
= − = −
Aula 11 – Análise de Circuitos em CA 5 
RELAÇÕES TENSÃO CORRENTE 
2
1 1
2
L
C
V Z I
Z R jX
X L fL
X
C fC
ω π
ω π
=
= +
= =
− −
= =
Aula 11 – Análise de Circuitos em CA 6 
LEIS DE KIRCHHOFF 
• Quando correntes e tensões são expressos por fasores, as duas 
leis básicas da teoria de circuitos são 
 
 1ª Lei de Kirchhoff ou Lei de Kirchhoff das Correntes (LKC) 
• A soma algébrica dos fasores corrente que chegam em qualquer nó de um 
circuito é nula 
 
 
 
 2ª Lei de Kirchhoff ou Lei de Kirchhoff das Tensões (LKT) 
• A soma algébrica dos fasores queda de tensão em qualquer caminho 
fechado de um circuito é nula 
 
 
 
• Observar que é necessário determinar sentidos positivos para as 
correntes e tensões. 
 
0
1
=∑
=
N
j
jI
1
0
N
j
j
V
=
=∑
Aula 11 – Análise de Circuitos em CA 7 
ASSOCIAÇÃO DE IMPEDÂNCIAS 
• Série 
 
 
 
 
• Paralela 
 
V 
 
+ 
– 
I 
1Z 2Z nZ V 
 
+ 
– 
I 
eqZ ≡ 
1I 2I nI 
 – – 
V 
 
+ 
– 
1V + I 2V + + 
1Z 2Z nZ 
V 
 
+ 
– 
I 
eqZ ≡ 
nV – 
1 2eq nZ Z Z Z= + + +
n
eq
ZZZ
Z 111
1
21
+++
=

Aula 11 – Análise de Circuitos em CA 8 
ASSOCIAÇÃO DE IMPEDÂNCIAS 
• Determinar a impedância equivalente considerando 
que o circuito opera na frequência de 5 rad/s. 
Aula 11 – Análise de Circuitos em CA 9 
ASSOCIAÇÃO DE IMPEDÂNCIAS 
• Determinar a impedância equivalente considerando que o circuito opera na 
frequência de 5 rad/s 
 Resposta: 4,255+j4,929 
Aula 11 – Análise de Circuitos em CA 10 
ASSOCIAÇÃO DE IMPEDÂNCIAS 
• Determinar a impedância equivalente entre os 
terminais ag, bg e ab do circuito a seguir. 
• Recalcular, para ω=10 rad/s. 
Aula 11 – Análise de Circuitos em CA 11 
DIAGRAMA FASORIAL 
 
0<φ 
jXRZ += 
abV + – 
I 
( ) ZV
Z
VIIZIZV
Z
V
Z
VIIZIZV
Z
VIIZV
ab
ab
ab
abab
ab
ab
ab
∠−∠=







∠=∠⇒∠+∠=∠=∠
==⇒==
=⇒=
 
a b 
abV 
( ) capacitivoI Z 
( ) indutivoI Z 
a b 0>φ 





−= −
R
X1tanφ
 
( )positivo sentidoω
 
Aula 11 – Análise de Circuitos em CA 12 
DIAGRAMA FASORIAL 
• Uma fonte de tensão senoidal de 100 V e 
velocidade angular de 400 rad/s está ligada 
em série com um resistor de 3 Ω, um capacitor 
de 625 µF e um indutor de 20 mH. 
Determinar: 
 
1. O diagrama do circuito em grandezas fasoriais. 
2. A impedância série total. 
3. O fasor corrente e a expressão da corrente 
instantânea. 
4. Um diagrama fasorial contendo as tensões nos 
bipolos e a corrente do circuito. 
Aula 11 – Análise de Circuitos em CA 13 
DIAGRAMA FASORIAL 
• Uma fonte de tensão senoidal de 100 V e velocidade angular 
de 400 rad/s está ligada em série com um resistor de 3 Ω, um 
capacitor de 625 µF e um indutor de 20 mH. Determinar: 
1. O diagrama do circuito em grandezas fasoriais. 
j8
CV+ –
3
I
–j4
+
0100=V
RV+ –
LV
+
–
A
D
B C
Aula 11 – Análise de Circuitos em CA 14 
DIAGRAMA FASORIAL 
• Uma fonte de tensão senoidal de 100 V e velocidade angular de 
400 rad/s está ligada em série com um resistor de 3 Ω, um 
capacitor de 625 µF e um indutor de 20 mH. Determinar: 
2. A impedância série total. 
 
 
 
3. O fasor corrente e a expressão da corrente instantânea. 
 
 
 
 
 
 
( )3 4 8 3 4 5 5 3,1eq i
i
Z Z j j j= = − + = + Ω = Ω∑ 
100 0= = = 20 53,1 A
5 53,1eq
VI
Z
−



( ) ( ) ( )
( )
0,927 400Re 20 = 20cos 400 0,927 A
20cos 400 53,1 A
j j ti t e e t
t
−= −
= − 
Aula 11 – Análise de Circuitos em CA 15 
DIAGRAMA FASORIAL 
• Uma fonte de tensão senoidal de 100 V e velocidade angular 
de 400 rad/s está ligada em série com um resistor de 3 Ω, um 
capacitor de 625 µF e um indutor de 20 mH. Determinar: 
4. Um diagrama fasorial contendo as tensões nos bipolos e a corrente do 
circuito. 
 
CV
I
V
RV
LV
AD
B
C
IjVV
IjVV
IVV
VVVVE
L
C
R
RCL
8
4
3
==
−==
==
=++=
CD
BC
AB
AD
1,53
Aula 11 – Análise de Circuitos em CA 16 
EXERCÍCIOS 
• Obter a corrente i(t) no circuito. 
 
Aula 11 – Análise de Circuitos em CA 17 
EXERCÍCIOS 
• Obter a corrente i(t) 
no circuito. 
 
Aula 11 – Análise de Circuitos em CA 18 
EXERCÍCIOS 
• No circuito no domínio da frequência da figura, 
determinar os fasores corrente de 1 a 3. 
Aula 11 – Análise de Circuitos em CA 19 
EXERCÍCIOS 
• No circuito no domínio da frequência da figura, 
determinar os fasores tensão dos nós 1 e 2. 
Aula 11 – Análise de Circuitos em CA 20 
EXERCÍCIOS 
• No circuito no domínio da frequência da figura, 
determinar os fasores tensão dos nós 1 e 2. 
Aula 11 – Análise de Circuitos em CA 21 
EXERCÍCIOS 
• Determinar a corrente i(t). 
Aula 11 – Análise de Circuitos em CA 22 
EXERCÍCIOS 
• No circuito no domínio da frequência da figura, determinar os 
fasores corrente 1 e 2. 
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