Elétrica Aplicada 4

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Prof. Marco Valentim 
marco2valentim@gmail.com 
(24) 98112-1590 
UNIDADE 2 - Circuitos de 
 (Rev.T) Corrente Alternada 
= CCE 0013 = 
Eletricidade Aplicada 
PARTE 1 
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Prof. Marco Valentim © 
Currículo Resumido do Prof. Marco Valentim 
Engenheiro Eletrônico pela Faculdade Nuno Lisboa-RJ. MBA em Estratégia Industrial e 
Gestão de Negócios pela UFF. Pós-graduando em Gerenciamento de Projetos - Visão PMI 
pela UNESA. Professor do curso de Engenharia de Produção da UERJ. Professor da 
Universidade Estácio de Sá - UNESA Campus Resende-RJ (desde 2001). Foi membro da 
equipe que preparou a Xerox do Brasil para o Prêmio Nacional da Qualidade (Ganhadora 
do PNQ 1993). Com capacitação no Six Sigma System Inc. (Rochester/NY-USA), foi o 
responsável pela implantação do Programa Seis Sigma na área de Operações Industriais 
da Xerox do Brasil. É qualificado pelo Lean Institute Brasil em Mapeamento Lean. 
Participou em vários treinamentos no Brasil, América do Norte, Europa e Ásia, onde 
adquiriu fortes conhecimentos em Administração de Negócios, Manufatura, Introdução de 
Novos Produtos e Qualidade. Gerenciou as áreas de Engenharia, Operações de 
Produção, Projetos & Novos Negócios, Manutenção Industrial, Qualidade, Meio Ambiente 
& Segurança, Transporte de Funcionários e Segurança Patrimonial na Fábrica Resende da 
Xerox do Brasil e Flextronics International. Trabalhou na Flopetrol Schlumberger 
(Oil & Gas), na Cia. Brasileira de Trens Urbanos de Belo Horizonte-MG, na RCA-Philco 
Semicondutores Ltda. e na área comercial de atendimento corporativo do SENAC Rio. 
Atualmente trabalha como consultor na F2.Desenvolvimento Empresarial (Resende-RJ) e 
Diretor Regional da MEDIÇÃO – Soluções Metrológicas Integradas (Resende-RJ). 
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• Tensão Continua: a sua polaridade não se altera com o tempo. 
Tensão não muda de polaridade e permanece constante. 
Tensão Contínua 
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• A sua polaridade se modifica ao longo do tempo. 
• Conforme o seu comportamento, existem diferentes tipos 
de tensão alternada: senoidal, quadrada, triangular, 
pulsante, etc. 
• De todas essas, a senoidal é a que tem um maior 
interesse pois esta é a característica da tensão que é 
gerada nas Usinas de Energia Elétrica e que alimenta as 
industrias e residências. 
Tensão Alternada 
tempo 
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• Considere o circuito da figura abaixo, onde existem 
duas baterias e uma chave que ora conecta a bateria 
B1 e ora conecta a bateria B2 ao Resistor (R), 
• Vamos supor que cada bateria fique conectada ao 
Resistor (R) durante 1 seg. 
• Como seria o gráfico da Tensão (V) no Resistor (R) 
em função do tempo? 
EXEMPLO 
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Contínua X Alternada 
Nas figuras abaixo, são mostradas formas de onda: 
(a) representação gráfica da Tensão e Corrente Contínuas, onde 
as suas intensidades não variam ao longo do tempo. 
(b) onde as intensidades da Tensão e Corrente Alternadas 
variam ao longo do tempo, comportando-se graficamente, 
como uma curva senoidal. 
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Onda Senoidal 
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Onda Senoidal 
Algumas maneiras de se referir aos valores de uma onda senoidal 
• Valor de Pico  Up é o valor máximo que a onda atinge. 
 
• Valor de Pico a Pico  Upp é a diferença entre o máximo e mínimo da onda. 
Upp = Up - (- Up ) = 2 Up ou seja, Upp = 2 Up 
 
• Valor Eficaz (RMS - Root Mean Square)  URMS é o valor indicado por um 
voltímetro quando na escala CA. Este valor RMS, é definido como a Tensão 
CC que produz a mesma quantidade de calor que a onda senoidal. 
 Pode-se demonstrar que: 
 URMS = 0,707 Up (obs: 0,707 = 1/ ) 
 
• Valor Médio  é quantidade indicada em um voltímetro quando na escala 
CC. Este valor médio ao longo de um ciclo é igual a zero. Isto porque cada 
valor da primeira metade do ciclo tem um valor igual, mas de sinal contrário na 
segunda metade do ciclo. 
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• Denomina-se Período da tensão ou da corrente alternadas ao tempo 
necessário para que suas intensidades "percorram" a onda senoidal, isto é: 
irem de zero até o máximo positivo, voltarem a zero, irem até o mínimo 
negativo e, por fim, retornarem novamente a zero. 
• O número de períodos por segundo que a tensão e a corrente alternadas 
perfazem é denominado Frequência, medido em hertz [Hz] e designado 
pela letra f. 
• No Brasil, a frequência é padronizada em 60Hz, ou seja, a tensão (e a 
corrente) se inverte 60 vezes por segundo. 
Período e Frequência 
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• A grande vantagem da Tensão alternada em comparação à 
contínua, está na eficiência do transporte da energia. Na tensão 
alternada, pode-se utilizar um valor muito alto (“Alta Tensão”). 
• A tensão alternada produzida numa Usina Geradora de Energia 
é elevada por um transformador, que também diminui a 
Corrente aproximadamente na mesma proporção. 
• As perdas são menores em Alta Tensão do que seriam se a 
energia fosse transportada ao nível que é consumida nas 
residências. 
 Com isso, as seções (diâmetro) dos condutores elétricos 
 podem ser mais reduzidas (menor custo de material). 
Tensão Senoidal 
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ENERGIA 
POTENCIAL 
ACUMULADA 
ENERGIA 
CINÉTICA 
(movimento) 
Conceitos básicos 
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• A Figura mostra um Gerador Elétrico CA simplificado, o qual consiste de 
uma bobina de apenas uma espira em um campo magnético permanente. 
• Cada terminal da bobina é conectado a um anel coletor condutor. 
À medida que a bobina gira no campo magnético entre os pólos Norte (N) 
e Sul (S), o anel coletor também gira em contato com as escovas que 
conectam a bobina a uma carga externa (Tensão CA). 
Geração de uma Tensão Alternada (senoidal) 
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Posição do Plano da Bobina em relação à 
Direção do Campo Magnético 
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• Pelo fato dos ciclos de tensão corresponderem à rotação da 
espira em torno de um círculo, os trechos deste círculo são 
expressos em ângulos: 
 Um círculo completo = 360º 
 Meio círculo = 180º 
 Um quarto de círculo = 90º 
 
• Conversão de GRAU para RADIANO (rad): 
 360º = 2  rad  360º / 2  = 1 rad 
 180º /  = 1 rad 
 ou 
 1º = ( / 180) rad 
Tensão Senoidal 
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• É uma tensão que varia com o tempo de acordo com uma lei 
senoidal, que tem a seguinte expressão matemática: 
 
 v(t) = VM.sen (o + w.t) ou v() = VM.sen  
Valor Instantâneo da Tensão 
LEGENDA 
v(t) (em Volts) é o valor instantâneo da tensão 
VM (em Volts) é o valor de pico (ou seja, valor máximo que a tensão pode ter) 
w (em Radianos/seg) é a freqüência angular 
0 (em Radianos) é o angulo de rotação da fase inicial e  é o ângulo num 
determinado instante t. 
 
Observe que a relação entre ângulo e tempo é dada por: 
  = 0 + w.t 
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• Como foi mostrado, uma tensão senoidal varia em função do 
tempo de acordo com uma lei senoidal e a mesma tensão 
pode ser representada em função do ângulo (a função seno 
tem período de 360º ou de 2 rad), sendo a relação entre 
ângulo e tempo dada por:  = 0 + w.t 
Tensão Senoidal 
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• Os circuitos elétricos podem ter 1 Fase (monofásicos), 2 Fases 
(bifásicos) ou 3 Fases (trifásicos). 
 
• Circuitos bifásicos e trifásicos são circuitos onde existem mais 
de uma fonte de alimentação derivada de um mesmo gerador. 
 
• Dentre suascaracterísticas são que cada fonte de alimentação 
possui tensões iguais e cada fonte possui defasagem entre si. 
Circuitos elétricos 
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• Na geração de energia elétrica, (nuclear, hidroelétrica, eólica, etc) 
existe um gerador que basicamente é composto por 3 Bobinas 
separadas uma das outras e fixas no eixo do rotor. 
 
• Ao se aplicar um movimento no eixo 
do rotor, a Bobina A irá produzir a 
Tensão A, depois de uma fração de 
segundo, a Bobina B produzirá a 
Tensão B, e mais uma fração de 
segundo a Bobina C irá produzir 
a Tensão C. 
O que é defasagem? 
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• Esse atraso entre uma bobina e outra é chamado de defasagem. 
Essa defasagem é de 120 graus entre cada Bobina, devido a 
existência de uma distância entre as Bobinas A, B, C. 
 
• Cada bobina tem sua etapa na produção de energia elétrica: 
 A primeira etapa é a Bobina A. 
 A segunda é a Bobina B. 
 A terceira etapa é a Bobina C. 
 
• Pode-se substituir a palavra "etapa" por a palavra "fase“, surgindo 
as “famosas fases" que os profissionais do setor elétrico falam 
tanto. 
O que é defasagem? 
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• Vantagens de se utilizar mais de uma Fase: 
- Alguns equipamentos, como os motores elétricos, conseguem 
uma melhor performance (potência) quando funcionam com 
mais de uma fase. 
- Melhor distribuição de cargas e o seu balanceamento: não há 
sobrecargas nos sistemas elétricos. 
- Pode-se utilizar equipamentos de maior potência. 
 
• Tensão Residencial (em Resende): 
- Entre fases: 220 Volts 
- Entre fase e neutro: 127 Volts 
Circuitos elétricos 
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Algumas características dos circuitos trifásicos 
• A tensão alternada é gerada em grande quantidade e com 
baixo custo. 
• A energia é gerada através da indução eletromagnética. 
• Os geradores usados são trifásicos. 
• Possuem três grupos de bobinas. 
• A cada grupo de bobina é chamada de FASE. 
• Devido a sua disposição física, cada grupo de bobina gera 
energia elétrica em momentos distintos. 
• Isto provoca uma defasagem entre as tensões geradas. 
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Embora funcionem de maneira totalmente 
diferente, tanto os capacitores como as 
baterias armazenam energia elétrica. 
Capacitores 
Em resumo: 
• Uma pilha (ou uma bateria) possui dois terminais (ou pólos). 
Dentro da pilha, reações químicas produzem elétrons em um 
terminal e absorvem elétrons no outro. 
• Já o capacitor é um dispositivo muito mais simples, pois 
não produz novos elétrons - ele apenas os armazena. 
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Capacitores 
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• O capacitor possui dois terminais que se conectam a duas 
placas metálicas separadas por um dielétrico. 
• O dielétrico pode ser ar, papel, plástico ou qualquer outro 
material que não conduza eletricidade (isolante) e impeça que as 
placas se toquem. 
• Como exemplo, um capacitor pode ser feito facilmente a partir de 
dois pedaços de papel alumínio e um pedaço de papel comum 
(dielétrico). Não seria um capacitor muito bom em termos de 
capacidade de armazenamento, porém iria funcionar. 
• Em um circuito eletrônico, o capacitor é indicado assim: 
 
Capacitores 
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Ao se conectar um capacitor a uma pilha: 
• A placa do capacitor conectada ao terminal negativo da pilha 
aceita os elétrons que a pilha produz. 
• A placa do capacitor conectada ao terminal positivo da pilha 
perde os elétrons para a pilha. 
 
Capacitores: funcionamento básico 
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• Depois de um certo tempo, o capacitor estará carregado e terá 
a mesma tensão que a pilha (1,5 volt na pilha e no capacitor). 
• A capacidade de armazenamento de um capacitor depende do 
seu tamanho físico. Ou seja, para capacitores de pequeno 
tamanho, significa que a capacidade de armazenamento será 
pequena (OBS: capacitores grandes podem armazenar uma 
carga considerável e também perigosa, para o ser humano). 
• Existem capacitores do tamanho de uma lata de refrigerante, 
que por exemplo, podem armazenar carga suficiente para 
manter uma lâmpada de flash acesa por um minuto ou mais. 
• Pode-se dizer que os relâmpagos no céu são as descargas de 
um “imenso capacitor” onde uma “placa é a nuvem” e a outra 
“placa é o solo” e o relâmpago é a liberação da carga entre 
essas duas "placas". 
Capacitores: funcionamento básico 
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Com base no ckt abaixo (uma pilha, uma lâmpada e um capacitor): 
Capacitores: funcionamento básico 
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• Quando se conecta a pilha, a lâmpada se acenderá porque a 
corrente está fluindo para carregar o capacitor. 
• A lâmpada diminuirá sua luminosidade progressivamente até 
finalmente apagar, assim que o capacitor estiver carregado. 
• Ou seja, o capacitor possuirá a mesma tensão que a pilha 
(1,5 volt na pilha = 1,5 volt no capacitor). 
• Quando isto acontecer, a pilha pode ser removida e substituida 
por um fio elétrico. A corrente fluirá de uma placa do capacitor 
para a outra e acenderá a lâmpada. 
• Com o passar do tempo, a lâmpada começará a diminuir cada 
vez mais sua luminosidade, até apagar assim que o capacitor 
estiver totalmente descarregado. 
Capacitores: funcionamento básico 
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• Outra maneira de visualizar o funcionamento do capacitor é 
imaginá-lo como uma torre de água (caixa d’água) conectada 
a uma tubulação e uma bomba. 
• Quando a torre de água está cheia, a bomba é desligada e a 
caixa d’água tem uma “pressão armazenada“ para ser usada 
quando necessário. 
• Da mesma forma, um capacitor armazena 
elétrons e pode liberá-los mais tarde. 
Como uma torre de água 
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• A unidade de capacitância é o Farad (símbolo F). 
• A capacitância é determinada pela quantidade de energia 
elétrica que pode ser armazenada em um capacitor por uma 
determinada tensão e pela quantidade de corrente que o 
atravessar numa determinada freqüência. 
• 1 (um) Farad é o valor que deixará passar uma corrente de 1A 
quando a tensão estiver variando na razão de 1V por segundo. 
 
 OBS: Um capacitor de 1 farad seria bem grande (tamanho de 
uma garrafa de 1 litro de refrigerante, dependendo da tensão 
que ele pode suportar). Então, normalmente, os capacitores 
são medidos em: microfarad (uF=10-6), nanofarad (nF=10-9) 
ou picofarad (pF=10-12). 
Capacitância 
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• Os capacitores são utilizados de várias maneiras em circuitos 
eletrônicos: algumas vezes, eles podem ser utilizados para 
armazenar carga para utilização rápida. 
• Como foi visto, diferença entre o capacitor e a pilha é que o 
capacitor pode descarregar toda sua carga em uma pequena 
fração de segundo, já uma pilha demoraria alguns minutos. 
• É por isso que o flash eletrônico em uma câmera utiliza um 
capacitor: a pilha carrega um capacitor e que depois 
descarrega instantaneamente toda a sua carga no flash. 
• Isto pode tornar um capacitor carregado 
extremamente perigoso. Os flashes, as 
TVs mais antigas, os Microondas, etc. 
têm avisos para não abri-los. 
Eles possuem grandes capacitores que 
poderiam matar um ser humano. 
Aplicações práticas 
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• Um Indutor (ou uma Bobina) é um componente 
elétrico muito simples, constituído por espiras de 
material condutor (por exemplo, um fio de cobre). 
• É um dispositivo elétrico passivo que armazena 
energia na forma de campo magnético, através 
do efeito de vários loopsda corrente elétrica. 
• Em um esquema elétrico, um Indutor é mostrado da seguinte 
maneira: 
Indutores 
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• Para entender como um Indutor se comporta em um circuito, 
veja a figura abaixo: 
Indutores: funcionamento básico 
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• O ckt básico da página anterior é uma lanterna, onde a lâmpada 
está em paralelo com um Indutor. Ou seja, se o Indutor não 
existisse, quando o interruptor fosse ligado a lâmpada acenderia. 
• Com a presença do Indutor, o funcionamento do circuito fica 
completamente diferente: como a lâmpada se comporta como 
um Resistor (resistência do filamento) e o Indutor é feito de um 
fio de cobre (tem muito menos resistência), seria esperado que a 
corrente passasse menos pela lâmpada e que ela acendesse 
fracamente (pois a corrente deveria seguir o caminho de baixa 
resistência, através do Indutor). 
• Mas o que acontece é que a lâmpada brilha intensamente e, na 
seqüência, fica mais fraca. Quando o interruptor é desligado a 
lâmpada brilha com muita intensidade e, então, apaga 
rapidamente. 
Indutores: funcionamento básico 
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• A razão para esse comportamento diferente do ckt é o Indutor, 
pois quando a corrente começa a fluir, ela tende a estabelecer 
um campo magnético (por causa das espiras da bobina). 
• Enquanto o campo está sendo estabelecido, o Indutor bloqueia 
o fluxo de corrente. Assim que o campo já esteja estabelecido, 
a corrente volta a fluir normalmente através do fio. 
• Quando o interruptor é desligado, o campo magnético do 
Indutor mantém a corrente fluindo até que o campo seja nulo. 
Essa corrente mantém a lâmpada acesa por um período de 
tempo (mesmo que o interruptor esteja desligado). 
Indutores: funcionamento básico 
Em outras palavras, um Indutor pode armazenar energia 
no seu campo magnético e tende a resistir a qualquer 
mudança na quantidade de corrente que flui através dele. 
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Uma das maneiras de visualizar a ação de um Indutor (Bobina) 
é imaginar um canal estreito com água fluindo por ele e uma 
roda hidráulica pesada com suas pás imergindo no canal. 
• Imagine que a água não está fluindo (tudo “parado”). 
• Agora, ao iniciar o fluxo, as pás da roda irão tentar impedir a 
passagem da água, até elas alcançarem uma certa velocidade. 
• No entanto, ao tentar impedir o fluxo de água, a roda tentará 
manter a água se movendo até a sua velocidade de rotação 
diminuir e atingir a velocidade da água. 
• Um Indutor faz a mesma coisa com o 
fluxo de elétrons em um fio: resiste à 
mudança no fluxo dos elétrons. 
Como uma roda hidráulica 
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• Suponha uma bobina, com aprox. 2 metros de diâmetro, 
contendo cinco ou seis espiras e elas são fixadas em 
canaletas no asfalto em ruas ou estradas. Desta maneira, isto 
funciona como um medidor de indução à bobina. Agora, 
quando um carro passar sobre bobina, a sua indutância irá se 
modificar. 
• Motivo  quando o automóvel passa (ou pára) sobre a 
bobina ele está agindo como o núcleo do indutor e a sua 
presença muda a indutância. A maioria dos sensores de 
sinais de trânsito usa uma bobina como esta. Um circuito 
eletrônico fica monitorando a indutância da bobina e quando 
ela aumenta, existe ali a presença de um veículo. 
Aplicações práticas: Sensor de sinal de trânsito 
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• O circuito RC em paralelo com a chave evita o aparecimento 
de faíscas no instante de abertura/fechamento da chave. 
• O capacitor atua armazenando as cargas que circulariam no 
referido instante. 
Aplicações práticas: Circuito RC 
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A capacidade de um Indutor é controlada por quatro fatores: 
1) Número de espiras (mais espiras = maior indutância). 
2) Material em que as bobinas são enroladas (o núcleo). 
3) Área da seção transversal da bobina (maior a área significa 
maior indutância). 
4) Comprimento da bobina (uma bobina curta significa espiras 
mais estreitas ou sobreposição = maior indutância) 
 
OBS: um núcleo de ferro oferece à Bobina muito mais indutância 
do que o ar ou do que qualquer outro material ofereceria. 
Henry 
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Reatância 
• Reatância é a oposição à variação de Tensão (Capacitores) e 
Corrente Elétrica (Indutores) em circuitos CA. 
• É dada em Ohms, que constitui juntamente com a resistência 
elétrica, a grandeza Impedância. 
 
CIRCUITOS DE TENSÃO E CORRENTE CONTÍNUA 
• Resistores  Resistência 
CIRCUITOS DE TENSÃO E CORRENTE ALTERNADA 
• Capacitores  Reatância Capacitiva (XC) 
• Indutores  Reatância Indutiva (XL) 
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• Quando uma carga ideal é alimentada por uma tensão 
alternada, a Corrente e a Tensão variam da mesma maneira, 
ou seja, estão em fase, conforme mostra a figura abaixo. 
Fator de Potência 
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• Quando em um ciclo a Tensão aumenta (ou diminui) e a 
Corrente também aumenta (ou diminui) na mesma proporção, 
temos a condição ideal . 
• Nesse caso, toda a energia gerada será transferida para a 
carga , ou seja, a carga recebe a Potência Real. 
• No entanto, no “mundo real”, as cargas não se comportam 
dessa forma, pois não são resistivas puras. As cargas podem 
ter componentes capacitivos ou indutivos que afetam seu 
comportamento. 
• Uma carga que tenha uma componente denominada Reativa 
(indutiva ou capacitiva) faz com que a Corrente se defase em 
relação à Tensão. 
Fator de Potência 
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• Conforme seu comportamento seja indutivo ou capacitivo, a 
Corrente pode adiantar-se ou atrasar-se em relação à Tensão. 
Fator de Potência 
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• O resultado disso, é que a Potência nesse circuito se altera, 
pois apresenta uma componente Reativa, conforme a figura: 
Fator de Potência 
• Então, o circuito passa a consumir uma Potência Aparente 
que é maior do que a Potência Real que ele usa. 
• Tanto maior a componente Reativa, maior será a Potência 
Aparente em relação à Potência Real (maior Ângulo ). 
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Fator de Potência 
• Quanto menor for a Potência Reativa maior será o cosseno do 
Ângulo . (OBS: quando o ângulo tende a zero, seu cosseno tende a 1) 
Fator de Potência 
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Fator de Potência 
LEGENDA: 
Pág. 47 
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• Assim, na condição ideal de melhor aproveitamento da 
Energia, o cosseno de deve estar o mais próximo de 1 
quanto seja possível, ou seja, o Fator de Potência (FP) deve 
se aproximar de 1. 
• As empresas de energia elétrica exigem que os equipamentos 
sejam fabricados com um Fator de Potência elevado. 
A legislação exige um mínimo de 0,92 e no futuro esse Fator 
de Potência deve passar para 0,98. 
• Com estes valores, a energia gerada e levada até o aparelho 
tem seu aproveitamento próximo do ideal e um mínimo de 
Energia Reativa é desperdiçada. 
Fator de Potência 
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• Um FP baixo significa que Energia Reativa está sendo gerada 
e não é aproveitada. Se somarmos toda a Energia que é 
desperdiçada dessa forma, por todos equipamentos existentes 
que não tenham Fatores de Potência de acordo como exigido, 
o valor obtido pode ser significativamente elevado. 
• Por esse motivo, preocupar-se com o Fator de Potência é algo 
importante quando se projetada qualquer equipamento. 
• Nas indústrias e em muitas instalações que podem usar 
equipamentos cujos Fatores de Potência tendam a ser 
inerentemente baixos, devido às suas características, como 
motores que são altamente indutivos, são usados bancos de 
capacitores para corrigir o Fator de Potência. 
Fator de Potência 
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• É possível corrigir o Fator de Potência mediante o acoplamento 
de Bancos de Capacitores, com uma potência reativa contrária 
ao da carga, tentando ao máximo anular essa componente. 
• Por exemplo, o efeito indutivo de motores pode ser anulado 
com a conexão em paralelo de um capacitor (ou banco) junto ao 
equipamento. 
Correção do Fator de Potência 
(Banco de Capacitores) 
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Correção do Fator de Potência 
(Banco de Capacitores) 
Pág. 51 
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• O uso desses capacitores é obrigatório por Lei, e as empresas 
que tiverem alto consumo de energia reativa, as quais 
aparecem nas contas, são obrigadas a pagar valores elevados 
ou então investir na sua redução com procedimentos como o 
uso dos Bancos de Capacitores. 
• Para o usuário comum, cabe ao fabricante dos equipamentos 
elétricos e eletrônicos que usamos garantir que o Fator de 
Potência de seu produto esteja dentro das especificaçõe 
exigidas por lei, para que eles não desperdicem Energia. 
Correção do Fator de Potência 
(Banco de Capacitores) 
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Correção do Fator de Potência 
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Considerar uma instalação de 80kW que tenha um 
Fator de Potência de 0,8 e se queira corrigir para 90%. 
Pede-se determinar a potência reativa a ser instalada 
para se obter o resultado desejado. 
EXERCÍCIO 
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• Em circuitos onde existem apenas tensões contínuas, a tarefa 
de analisar e compreender seu funcionamento não representa 
grande dificuldade tendo em vista que os valores são estáticos 
e podem ser medidos a qualquer momento. 
 
• Já nos circuitos alimentados por CA, ou onde existem sinais 
alternados, a análise tende a se tornar mais trabalhosa devido 
ao fato dos valores de tensão e corrente estarem em constante 
modificação. 
 
• Por isso, é comum apresentar os parâmetros elétricos de um 
circuito CA através de vetores, o que simplifica principalmente 
a determinação de valores através de cálculos. 
Representação vetorial de grandezas elétricas CA 
FONTE: Apostila Análise de Circuitos Elétricos. SENAI/SP 
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• Existem grandezas que podem ser expressas simplesmente 
por um número e uma unidade (Ex: valor da temperatura 
ambiente medida em um laboratório é de 20ºC). Esse tipo de 
grandeza é chamado de grandeza escalar. 
 
• Para algumas grandezas, um número e uma unidade não são 
suficientes. Se, por exemplo, uma pessoa está com o carro 
enquiçado a 4Km de Resende e passa esta informação para 
o socorro da NovaDutra, o atendente ficará certamente 
confuso pois não foi informado o sentido do deslocamento, ou 
seja, norte, sul, etc. Esse tipo de grandeza é chamado de 
grandeza vetorial. 
Vetores 
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• Uma grandeza vetorial pode ser representada graficamente 
através de um segmento de reta orientado denominado de vetor. 
• A representação gráfica fornece as 3 informações necessárias a 
respeito da grandeza vetorial, ou seja: 
- Módulo é o comprimento do segmento. 
- Direção é a direção da reta suporte do segmento. 
- Sentido é a orientação sobre a reta suporte. 
Vetores 
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• Suponha que uma pessoa deseje levar uma mesinha com 
uma televisão do canto esquerdo de uma sala para o canto 
direito. 
• Será necessário puxar ou empurrar a mesinha com uma 
determinada força para que isso aconteça. O ponto de 
aplicação da força (a mesinha) é denominado de ponto P. 
• Essa força pode ser representada através de um vetor: 
- Módulo valor numérico da força para movimentar a mesinha; 
- Direção horizontal; 
- Sentido da esquerda para a direita. 
EXEMPLO: Vetores 
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• Em muitas situações, existe mais de uma força atuando sobre 
o mesmo ponto e ao mesmo tempo. Nesses casos, o emprego 
de uma representação gráfica simplifica a determinação de 
uma solução. 
• Suponha que uma pessoa tem que puxar uma caixa pesada. 
Ao tentar, essa pessoa conclui que não consegue movimentar 
a caixa sozinha. 
Resultante de um sistema de vetores 
(mesma direção e mesmo sentido) 
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• A solução é pedir ajuda, incluindo mais uma força no sistema. 
A resultante será a soma das forças atuando na mesma 
direção e sentido das forças individuais. 
Resultante de um sistema de vetores 
(mesma direção e mesmo sentido) 
• Assim, se duas forças F1 e F2 aplicadas a um mesmo ponto 
atuam na mesma direção e mesmo sentido a resultante será: 
- Módulo = F1 + F2 
- Direção = reta que contém as duas forças 
- Sentido = o mesmo das forças 
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• Duas pessoas puxam, na mesma direção e sentido, uma corda 
presa a uma carga. A primeira exerce uma força de 45 N 
(Newton: unidade de medida de força) e a segunda uma força 
de 55 N. Qual o módulo, direção e sentido da força resultante? 
 
 
• Diagrama de vetores: 
 FR = 45 + 55 = 100N 
 Módulo resultante = 100N 
 Direção da Resultante = a mesma das forças aplicadas 
(horizontal); 
 Sentido da Resultante = o mesmo das forças aplicadas 
(da direita para a esquerda). 
EXEMPLO: Vetores 
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• Por exemplo, a brincadeira do "cabo de guerra". 
Resultante de um sistema de vetores 
(mesma direção e sentido oposto) 
• O sistema pode ser representado da seguinte maneira: 
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• A resultante será o resultado da subtração de uma força da outra, 
com a direção mantida (a da corda) e o sentido da força maior. 
Resultante de um sistema de vetores 
(mesma direção e sentido oposto) 
• Se duas forças F1 e F2 aplicadas ao mesmo ponto, atuam na 
mesma direção e em sentidos opostos, tem-se como resultante: 
- Módulo = F1 - F2 (a maior menos a menor) 
- Direção = reta que contém as duas forças 
- Sentido = o da força maior 
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• Determinar a resultante do sistema de forças da figura abaixo: 
EXEMPLO: Vetores 
Resultante: 
- Módulo = 15N 
- Direção = da corda 
- Sentido = esquerda 
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• Em uma terceira situação, forças que são aplicadas a um 
mesmo ponto não têm a mesma direção. 
• Por exemplo, dois rebocadores puxando um transatlântico 
através de dois cabos. O ponto de aplicação das forças é o 
mesmo (no transatlântico), porém as direções são diferentes. 
Resultante de um sistema de vetores 
(mesmo ponto P e direções diferentes) 
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• Pela regra do paralelogramo a direção e o sentido ficam 
estabelecidos automaticamente no traçado gráfico. 
Resultante de um sistema de vetores 
(mesmo ponto P e direções diferentes) 
• Neste caso, calcula-se matematicamente o vetor resultante pela 
seguinte fórmula: 
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• Um caso particulardesta situação, é quando há um ângulo 
de 90º (reto) entre as forças. 
Resultante de um sistema de vetores 
(mesmo ponto P e direções diferentes) 
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• A resolução gráfica mostra que 
o paralelogramo formado é um 
retângulo onde a resultante é 
uma diagonal. 
Resultante de um sistema de vetores 
(mesmo ponto P e direções diferentes) 
• Trocando-se o vetor F1 de posição, 
forma-se um triângulo retângulo em 
que F1 e F2 são os catetos e R é a 
hipotenusa. 
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• Neste caso, o módulo dos vetores se relaciona segundo o 
teorema de Pitágoras. 
• Se duas forças F1 e F2 aplicadas a um mesmo ponto 
formam um ângulo de 90º entre si, a resultante é dada pelo 
teorema de Pitágoras: 
Resultante de um sistema de vetores 
(mesmo ponto P e direções diferentes) 
• O ângulo formado entre os vetores 
componentes e a resultante é dado 
pelas relações trigonométricas. 
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• Dois rebocadores de 15.000N cada um, tracionam um 
transatlântico. Sabendo-se que o ângulo entre os dois cabos 
dos dois rebocadores é de 90º, determinar o módulo da 
resultante e o ângulo desta com relação ao rebocador 2. 
EXEMPLO: Vetores 
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EXEMPLO: Vetores 
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• A análise do comportamento e dos parâmetros de um circuito 
em CA apresenta certas dificuldades porque os valores de 
tensão e corrente estão em constante modificação. 
 
• Mesmo os gráficos senoidais, que podem ser usados com 
este objetivo, tornam-se complexos quando há várias tensões 
ou correntes envolvidas com defasagem entre si. 
 
• Por isso, é muito comum empregar gráficos vetoriais em 
substituição aos senoidais. 
Representação vetorial parâmetros elétricos CA 
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• Nos gráficos vetoriais, o comprimento dos vetores pode ser 
usado para representar a tensão ou corrente eficaz 
correspondente a uma CA senoidal. 
Representação vetorial parâmetros elétricos CA 
• O sistema de gráficos vetoriais permite a representação de 
qualquer número de tensões em quaisquer defasagens. 
• O ângulo de defasagem entre as CA é representado 
graficamente por um ângulo entre os vetores. 
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• Quando duas formas de ondas CA estão em fase, pode-se 
dizer que o ângulo de defasagem entre elas é de 0º. 
Representação vetorial de grandezas CA em fase 
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Isto pode ser representado vetorialmente considerando-se 
3 aspectos: 
• Um vetor representa o valor eficaz da CA1. 
• Outro vetor representa o valor eficaz da CA2. 
• O ângulo entre os dois vetores representa a defasagem, 
que neste caso é de 0º. 
Representação vetorial de grandezas CA em fase 
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Prof. Marco Valentim © 
Para representar grandezas CA defasadas, os princípios são os 
mesmos: 
• Um vetor para cada grandeza. 
• Um ângulo entre os vetores que expressa a defasagem. 
 
Observação 
• Sempre que se observa um gráfico de grandezas CA defasadas 
toma-se uma das grandezas como referência para depois 
verificar se as outras estão adiantadas ou atrasadas em relação 
à referência. 
• Para os gráficos vetoriais o princípio da observação acima 
também é obedecido. Em geral, traça-se um sistema de eixos 
ortogonais que servirá de base para o gráfico e traça-se depois 
o vetor de referência no sentido horizontal para a direita. 
Representação vetorial de grandezas CA defasadas 
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• A partir do vetor de referência, os demais são posicionados. 
• Vetores colocados na sentido horário estão atrasados com 
relação à referência e vice-versa. 
Representação vetorial de grandezas CA defasadas 
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• No gráfico senoidal abaixo a CA2 está atrasada 90º com relação 
a CA1 de forma que o gráfico vetorial se apresenta conforme a 
figura que segue. 
EXEMPLOS 
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EXEMPLOS 
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EXEMPLOS 
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EXERCÍCIO 
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EXERCÍCIO 
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EXERCÍCIO 
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EXERCÍCIO