AULA 12 - Potencia Complexa

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ELETRICIDADE C 
Prof. Renan Caron Viero – rcviero@gmail.com 
Adaptado do Material do prof. Sérgio Haffner 
https://sites.google.com/site/rcviero/ 
 
Potência Complexa 
Aula 12 – Potência em CA 2 
FASORES - RESUMO 
( ) ( )max cosi t I tω φ= +
( ) ( ){ }maxRe j ti t I e ω φ+=
max
jI I e φ=
maxI I φ=
Aula 12 – Potência em CA 3 
FASORES - RESUMO 
• Representações 
 coordenada retangular 
• R – parte real 
• X – parte imaginária 
 coordenada polar 
• |Z| – magnitude (módulo) 
• θ – ângulo de fase (argumento) 
• Conversão retangular↔polar 
 P→R 
 
 
 R→P 
 
 
 
• Cuidado! A função tan-1 usual (com 1 
argumento) retorna valores apenas 
nos quadrantes 1º e 4º (entre -90º e +90º). 
Se R<0, deve-se somar 180º (ou π rad) à fase. 
 
Z R jX= +
Z Z θ=
cos senR Z X Zθ θ= =
2 2 1tan XZ R X
R
θ −  = + =  
 
Aula 12 – Potência em CA 4 
FASORES - RESUMO 
1 1 1 1 1 2 2 2 2 2z a j b r z a j b r z a j b rφ φ φ= + = = + = = + =
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
( ) ( )
( ) ( )
z z a a j b b
z z a a j b b
+ = + + +
− = − + −
1 1
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2
*
1 1
2
z rz z r r
z r
z r
z r
z a jb r
φ φ φ φ
φφ
φ
⋅ = ⋅ + = −
= − =
= − = −
Aula 12 – Potência em CA 5 
VALOR RMS DE UMA SENOIDE 
( )
 2
 0
1 T
RMSV v t dtT
=   ∫
( )
 2
 0
1 T
RMSI i t dtT
=   ∫
2
MAX
RMS
VV =
2
MAX
RMS
II =
Senoides com amplitudes Imax e/ou Vmax 
Aula 12 – Potência em CA 6 
POTENCIA INSTANTÂNEA EM CA 
 
V 
I 
Re 
Im 
vθ
iθ
Aula 12 – Potência em CA 7 
POTENCIA INSTANTÂNEA EM CA 
Aula 12 – Potência em CA 8 
POTENCIA INSTANTÂNEA EM CA 
2 2m RMS m RMSV V I I= ⋅ = ⋅
( ) ( )( ) cos cos 2RMS RMS v i RMS RMS v ip t V I V I tθ θ ω θ θ= − + + +
COM VALORES RMS 
( ) ( )1 1( ) cos cos 2
2 2m m v i m m v i
p t V I V I tθ θ ω θ θ= − + + +
Aula 12 – Potência em CA 9 
POTENCIA INSTANTÂNEA EM CA 
 Casos particulares 
Aula 12 – Potência em CA 10 
POTENCIA MEDIA EM CA 
( )
( )
1 cos
2
cos
m m v i
RMS RMS v i
P V I
P V I
θ θ
θ θ
= −
= −
A potência média independe 
do tempo ou da frequência 
das senoides. Depende tão 
somente da amplitude/valor 
RMS e do ângulo de fase entre 
a corrente e a tensão. 
(POTÊNCIA ATIVA) 
Aula 12 – Potência em CA 11 
POTENCIA EM CA 
• Potência ativa (eficaz, útil, média): P 
 valor médio da potência instantânea 
 
 [ ]
1 cos cos W
2 m m RMS RMS
P V I V Iθ θ= =
[ ]1 sen sen VAR
2 m m RMS RMS
Q V I V Iθ θ=
[ ]2 21 VA
2 m m RMS RMS
S V I V I P Q= = = +
 S 
P 
jQ Característica INDUTIVA 
S 
P 
jQ 
Característica 
CAPACITIVA 
v iθ θ θ= −
v iθ θ θ= −
• Potência reativa: Q 
• Potência aparente: S 
 obtida pela combinação das potências 
ativa e reativa 
 Convenção 
• INDUTOR: “consome” potência reativa 
• CAPACITOR: “gera” potência reativa 
 
V 
I 
Re 
Im 
vθ
iθ
Aula 12 – Potência em CA 12 
POTENCIA EM CA 
[ ]1 cos cos W
2 m m RMS RMS
P V I V Iθ θ= =
[ ]1 sen sen VAR
2 m m RMS RMS
Q V I V Iθ θ=
[ ]1 VA
2 m m RMS RMS
S V I V I= =
 S 
P 
jQ Característica INDUTIVA 
S 
P 
jQ 
Característica 
CAPACITIVA 
v iθ θ θ= −
v iθ θ θ= −
Aula 12 – Potência em CA 13 
POTENCIA COMPLEXA 
 
V 
I 
Re 
Im 
vθ
iθ
(ANÁLISE UTILIZANDO FASORES) 
*1
2 RMS RMS
S V I V I∗= =
2 2 2 2
m m
RMS v RMS v RMS i RMS i
V IV IV V I Iθ θ θ θ= = ∠ = ∠ = = ∠ = ∠
( ) ( ) ( )cos senRMS RMS v i RMS RMS v i RMS RMS v iS V I V I jV Iθ θ θ θ θ θ= ∠ − = − + −
Potência Ativa Potência Reativa 
Potência Complexa 
 
 S 
P 
jQ 
v iθ θ θ= −
Aula 12 – Potência em CA 14 
FATOR DE POTÊNCIA (FP) 
cos cosRMS RMS
RMS RMS
V IPFP
S V I
θ
θ= = =
A única potencia que realiza trabalho é a potência ativa... Assim, quanto menor o 
fator de potência de uma instalação (para uma mesma potência ativa consumida), 
maior a corrente fornecida para a instalação (pois a potência aparente será maior 
para uma mesma tensão). 
Desse modo, as concessionárias costumam cobrar acréscimos devido a operação 
com baixo fator de potencia (menor que 0,92). 
 
É a razão entre a potência ativa e a 
potência aparente: 
 
 
 S 
P 
jQ 
v iθ θ θ= −
( )cosS θ
( )senS θ
FP Atrasado: Carga com 
característica Indutiva 
FP Adiantado: Carga com 
característica Capacitiva 
Aula 12 – Potência em CA 15 
CORREÇÃO DO FP 
É adicionado um banco de 
capacitores para diminuir o 
ângulo entre a tensão e a 
corrente, adiando o FP! 
Aula 12 – Potência em CA 16 
EXERCÍCIOS 
Aula 12 – Potência em CA 17 
EXERCÍCIOS 
Aula 12 – Potência em CA 18 
EXERCÍCIOS 
Aula 12 – Potência em CA 19 
EXERCÍCIOS 
Aula 12 – Potência em CA 20 
EXERCÍCIOS 
Aula 12 – Potência em CA 21 
EXERCÍCIOS 
Calcule: 
a) Potencia Ativa Total; 
b) Potencia Reativa Total; 
c) Potência Aparente Total; 
d) Fator de Potência da Instalação; 
e) Corrente Consumida pela Instalação; 
f) Impedância equivalente da Instalação; 
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