Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO CAMPUS MACAE´ Engenharia 02 de Maio de 2016. Professor Roberto Mamud NOME: NOTA: Prova 1 – Ca´lculo 2 - Engenharia– 2016/01 Justifique todas as suas respostas. 1a Questa˜o. (3,0 pontos) Considere uma curva C, parametrizada por σ(t) = ( sen t, cos t, 3 cos t− 4 sen t), para t ∈ [0, 2pi]. (a) Determine os vetores σ′(t) e σ′′(t); (b) Mostre que os vetores σ(t) e σ′′(t) sa˜o paralelos; (c) Determine a equac¸a˜o da reta tangente a` curva C, no ponto (√ 2 2 , √ 2 2 ,− √ 2 2 ) , e suas equac¸o˜es cartesianas. 2a Questa˜o. (2,0 pontos) Considere a he´lice definida por σ(t) = (a cos t, a sen t, bt), a, b > 0. (a) Mostre que a reta tangente, em cada ponto da he´lice, faz um aˆngulo constante com o eixo z; (b) Mostre que o cosseno deste aˆngulo, encontrado no item a), e´ igual a b√ a2 + b2 . 3a Questa˜o. (2,0 pontos) Considere a curva C de equac¸a˜o z = 4 + y2, no plano yz. (a) Determine a equac¸a˜o da superf´ıcie de revoluc¸a˜o gerada pela rotac¸a˜o da curva C em torno do eixo z. Fac¸a um esboc¸o desta superf´ıcie; (b) Considere o cilindro cuja curva diretriz seja a curva C. Fac¸a um esboc¸o deste cilindro e escreva uma parametrizac¸a˜o da curva de intersec¸a˜o entre este cilindro e o plano x = 1. 4a Questa˜o. (3,0 pontos) Considere a superf´ıcie de pontos P = (x, y, z) cuja distaˆncia ao eixo z e´ metade da distaˆncia de P ao plano xy. (a) Encontre a equac¸a˜o desta superf´ıcie; (b) Determine as intersec¸o˜es desta superf´ıcie com os planos z = k e y = k, onde k ∈ R; (c) Identifique esta superf´ıcie e fac¸a um esboc¸o desta. Boa Prova! Scanned by CamScanner Scanned by CamScanner Scanned by CamScanner Scanned by CamScanner Scanned by CamScanner Scanned by CamScanner
Compartilhar