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TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário 1.4 CONDUÇÃO DE CALOR COM GERAÇÃO DE ENERGIA TÉRMICA • Taxa de geração em função de uma corrente I através de um meio com resistência térmica . A taxa volumétrica de geração (W/m³): V IR V E q e g 2 == & & TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário 1.4.1 Parede plana 0 2 2 =+ k q dx Td & A equação da condução de calor, para k constante e : Condução de calor em parede plana com geração de calor constante; condições de contorno assimétricas. •Solução geral: 0Cx C k2 xq T 21 2 =++−= & TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário Condições de contorno: C1 e C2 apresentam a seguinte forma: A distribuição de temperaturas é: ( ) 2,S1,S T)L(T e TLT ==− L2 TT C 1,S2,S 1 − = 2 TT L k2 q C 2,S1,S2 2 + += & A distribuição de temperaturas é: 22 1 2 )( 2,1,1,2, 2 22 SSSS TT L xTT L x k Lq xT + + − + −= & TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário • O fluxo de calor qx (=- k A dT/dx) é função de x. • Se as temperaturas das paredes são iguais, o problema é simétrico em relação ao plano central: Condições de contorno simétricas Superfície adiabática no plano central TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário TS,1 = TS,2 ≡ TS ST L x k Lq xT + −= 2 22 1 2 )( & A temperatura máxima ocorrerá no plano central: ( ) sT k Lq TT +=≡ 2 0 2 0 & A distribuição de temperaturas: ( ) sT k TT +=≡ 2 0 0 ( ) 2 0 0 = − − L x TT TxT S TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário Observação: No plano de simetria, dT/dx=0 →não há fluxo de calor ⇒ superfície adiabática. Para condição de contorno de convecção: ( )∞ = −=− TTh dx dT k S Lx Substituindo dT/dx em x = L, segue que: h Lq TTS & += ∞ Permite determinar Ts para conhecido. TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário 1.4.2 Sistemas radiais A equação do calor: 0 1 =+ k q dr dT r dr d r & C qdT r += & Condução em um cilindro sólido longo com geração de calor 122 C r q dr dT r += & ( ) 212 ln 4 CrCr k q rT ++−= & TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário 0 0 = =rdr dT ( ) sTrT =0e 2 0s21 r k4 q TC e 0C & +== A distribuição de temperaturas:A distribuição de temperaturas: ( ) ST r r k rq rT + −= 2 0 22 0 1 4 & TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário Avaliando na linha de centro: (T(r) =T0), a temperatura adimensional: ( ) 2 00 1 −= − − r r TT TrT S s Realizando um balanço de energia na superfície: ou ( ) ( )( ) 0TTLr2hLrq s020 =−π−π ∞& h rq TTS 2 0 & += ∞ TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário 1.5 Transferência de calor em superfícies estendidas (aletas) Superfície estendida: termo empregado para descrever um caso especial envolvendo transferência de calor por condução no interior de um sólido e transferência de calor por convecção e/ou radiação na fronteira do mesmo. O gradiente diminui dx dT O gradiente diminui dx com o aumento de x. TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário � Utilização de uma aleta para aumentar a transferência de calor de uma superfície plana TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário � Trocadores de calor com dutos aletados TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário � Configurações típicas de aletas Seção uniforme Seção não uniforme Aleta anular Aleta em forma de pino TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário � Tubos aletados TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário 1.5.1 Análise geral da condução em superfícies estendidas Balanço de energia em uma superfície estendida TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário � Considerações: • aleta é delgada e as variações de temperatura na direção x é muito maior do que na direção transversal: condução unidimensional; • regime estacionário sem geração de calor; • efeitos da radiação desprezíveis; • condutividade térmica (k) e coeficiente convectivo (h) constantes. � balanço de energia: convdxxx dqqq += + • condutividade térmica (k) e coeficiente convectivo (h) constantes. Relembrando: q entra = q sai TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário � Lei de Fourier: dx dT kAq cx −= Ac = área da seção reta que varia com x. dx dx dq qq xdxx +=+ dx dx dT A dx d k dx dT kAq ccdxx −−=+ � Taxa de transferência por convecção: ( )∞−= TTdA hdq sconv As é área superficial do elemento diferencial TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário Forma geral da equação da energia para uma superfície estendida: ( ) 0=−− ∞TT dx dA k h dx dT A dx d s c 2 ou ( ) 011 2 2 =− − + ∞TT dx dA k h Adx dT dx dA Adx Td s c c c TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário • Uma solução utilizando condições de contorno apropriadas fornece a distribuição de temperatura T(x) em qualquer ponto; • T(x) pode ser utilizada para o cálculo da taxa de condução em qualquer ponto x através da Lei de Fourier. TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário 1.5.2 Aletas com área de seção transversal constante •Área de condução Ac = A = Constante; •Área de convecção As = (perímetro).dx. TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário � Considerações: • T(0) = Tb : temperatura da base; • Ac (área da seção transversal) = constante; • As (área da superfície medida da base até x ) = Pxbase até x ) = Px • P é o perímetro da seção transversal TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário 0= dx dAc P dx dAs =e ( ) 0 2 2 =−− ∞TT kA hP dx Td c Definindo: ( ) ( )−= TxTxθ dTd =θ constante Logo: ( ) ( ) ∞−= TxTxθ dx dT dx d = θ 02 2 2 =− θ θ m dx d Onde: ckA hP m =2 TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário A equação é uma equação diferencial de segunda ordem, linear e homogênea, cuja solução é da forma: 02 2 2 =− θ θ m dx d ( ) mxmx eCeCx −+= 21θ As condições de contorno: •Em x = 0 : •Em x = L: quatro casos podem ocorrer. TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário • Caso A: ocorre transferência de calor por convecção na extremidade da aleta. Aplicando um balanço de energia em uma superfície de controle na extremidade da aleta: ( )[ ] dT−=∞−( )[ ] Lx cc dx dT kATLThA = −=∞−( ) Lxdx dT kLh = −=θ ou TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário ( ) ( ) ( ) ( ) mL senh mk/hmLcosh xLm senh mk/hxLmcosh b + −+− = θ θ � A distribuição de temperaturas para o caso A é: � Quantidade de calor que a aleta dissipa para o ambiente é igual a quantidade calor que a aleta retira da placa por condução. −== d kAqq θ 0= −== x cba dx d kAqq θ ( ) ( ) ( ) 0 cosh cosh/ = + −+− = x bca mLsenhmL mk h xLmxLsenhmmkh dx d kAq θou TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário Assim: ( ) ( ) mL senhmk/hmLcosh mLcoshmk/hmL senh A k P hq bca + + θ= • Caso B: extremidade adiabática (perda de calor por convecção é desprezível na extremidade da aleta).é desprezível na extremidade da aleta). 0= =Lxdx dT 0= =Lxdx dθ ou mL xLmx b cosh )](cosh[)( − = θ θ TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário )mLtanh(.Mqa = cb A k P hM θ= • Caso C: a temperatura na extremidade da aleta é especificada. ( ) LLx θθ == ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )mLsenh xLmsenhmxsenhx bL b −+ = θθ θ θ ( )b ( ) ( ) ( ) − = mLsenh mL Mq bLa θθ /cosh TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário • Caso D: aleta muito longa. 0, →∞→ LL θ ( ) mx b e x −= θ θ bθ Mqa = TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário Resumo dos casos A a D TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário 1.5.3 Desempenho de aletas As aletas aumentam a troca de calor crescendo a área superficial de troca. Porém, a aleta é também uma resistência adicional a troca de calor original. Efetividade da aleta: razão entre a taxa de transferência de calor da aleta e a taxa de transferência de calor caso não houvesseda aleta e a taxa de transferência de calor caso não houvesse aleta. bc f f A h q θ =ε Ac é a área da seção reta da aleta na sua base. TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário A presença de uma aleta é justificada para .2≥fε bcA h θ Taxa de transferência de calor que existiria sem a presença da aleta • Para o caso D: ⇒⇒maior k → maior ⇒maior P/Ac (aletas mais finas) → maior ⇒menor h (gases) → maior a uDlização de aletas ⇒ máximo quando L→∞ TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário Eficiência da aleta: razão entre a taxa de transferência de calor pela aleta e a taxa máxima de calor que existiria pela aleta. bS a max a a A h q q q θ ==η � AS é área superficial da aleta;� AS é área superficial da aleta; � qa calculado de acordo com a condição de contorno na ponta. TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário Eficiência de aletas planas (perfis retangular, triangular e parabólico) TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário Eficiência de aletas anulares de perfil retangular TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário � Sistemas com várias aletas Taxa total de transferência de calor: bbft A hq Nq θ+= TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário onde: N = número de aletas; qf = taxa de calor transferida por uma aleta; Ab = área da superfície exposta – área da base das aletas. ou: bbbSft A h A h Nq θ+θη= eficiência de uma única aleta TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário ( )[ ] ( ) bf t S tbStSft 1 A NA 1A hA NAA Nhq θ η−−=θ−+η= A equação anterior pode ser escrita na forma: A eficiência global (total) da superfície é expressa por: tt qq ==η bt t max t 0 A h q q q θ ==η área total exposta TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário ou ainda: ( ) f t S A NA ηη −−= 110 TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário Exercício: O cilindro do pistão do motor de uma motocicleta é construído em liga de alumínio (k=186 W/m.K), com uma altura H = 0,15 m e um diâmetro externo D = 50 mm. Sob condições típicas de operação a superfície externa do cilindro está a uma temperatura de 500 K e encontra-se exposta ao ar ambiente a 300 K, com um coeficiente de transferência de calor por convecção de 50 W/m².K. Aletas anulares são fundidas integralmente com o cilindro do pistão, a fim de aumentar a transferência de calor para a vizinhança.a fim de aumentar a transferência de calor para a vizinhança. Considere cinco destas aletas, com espessura t = 6 mm, comprimento L = 20 mm e igualmente espaçadas entre si. Qual é o aumento na taxa de transferência de calor devido ao uso das aletas? TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário � Aletas de resfriamento de 1 mm de diâmetro e 25,4 mm de comprimento, feitas de cobre com condutividade térmica de 400 W/(m.K) são usadas para aumentar a transferência de calor de uma superfície que é mantida a uma temperatura Ts1 = 132ºC. Cada haste possui uma extremidade ligada a esta superfície (x =0)., enquanto a extremidade oposta (x = L) está ligada a uma outra superfície, que é mantida a uma temperatura Ts2 = 0 ºC. Ar escoa através das superfícies e das hastes a uma temperatura de 0 ºC, e o coeficientesuperfícies e das hastes a uma temperatura de 0 ºC, e o coeficiente de convecção é h = 100 W/(m².K). a) Expresse a função ao longo da aleta, e calcule a temperatura em x = L/2. b) Determine a taxa de calor transferido da superfície quente através de cada aleta, e determine também a efetividade da aleta. O uso de aletas se justifica? Porque? TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário c) Qual é a taxa total de calor transferido de uma uma seção de 10 x 10 cm de parede, que possui 625 aletas distribuídas uniformente? TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário � Vapor escoa em um sistema de aquecimento através de tubos com diâmetro externo de 5 cm, enquanto as paredes são mantidas a uma temperatura de 180 ºC. Aletas de alumínio (k = 186 W/(m.ºC)) de diâmetro externo de 6 cm e espessura constante de 1 mm são ligadas ao tubo. O espaçamento entre as aletas é de 3 mm e existem 250 aletas por metro de comprimento do tubo. Calor é transferido para o ar ambiente a 25 ºC, com um coeficiente de transferência de calor h=40 W/m².ºC. Determine o aumento na transferência de calor doh=40 W/m².ºC. Determine o aumento na transferência de calor do tubo por metro de comprimento, como resultado da adição das aletas. Resp: 2639 W. TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário
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