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Transferencia de calor e Massa Luiz A. - Aula Condução IIII Geração de energia

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TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário
1.4 CONDUÇÃO DE CALOR COM GERAÇÃO DE ENERGIA TÉRMICA
• Taxa de geração em função de uma corrente I através de um meio
com resistência térmica .
A taxa volumétrica de geração (W/m³):
V
IR
V
E
q e
g
2
==
&
&
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário
1.4.1 Parede plana
0
2
2
=+
k
q
dx
Td &
A equação da condução de calor, 
para k constante e : 
Condução de calor em parede plana
com geração de calor constante;
condições de contorno assimétricas.
•Solução geral:
0Cx C
k2
xq
T 21
2
=++−=
&
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário
Condições de contorno:
C1 e C2 apresentam a seguinte forma:
A distribuição de temperaturas é:
( ) 2,S1,S T)L(T e TLT ==−
L2
TT
C
1,S2,S
1
−
=
2
TT
L
k2
q
C
2,S1,S2
2
+
+=
&
A distribuição de temperaturas é:
22
1
2
)(
2,1,1,2,
2
22
SSSS TT
L
xTT
L
x
k
Lq
xT
+
+
−
+





−=
&
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário
• O fluxo de calor qx (=- k A dT/dx) é função de x.
• Se as temperaturas das paredes são iguais, o problema é
simétrico em relação ao plano central:
Condições de contorno simétricas Superfície adiabática no plano central
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário
TS,1 = TS,2 ≡ TS
ST
L
x
k
Lq
xT +





−=
2
22
1
2
)(
&
A temperatura máxima ocorrerá no plano central:
( ) sT
k
Lq
TT +=≡
2
0
2
0
&
A distribuição de temperaturas:
( ) sT
k
TT +=≡
2
0 0
( ) 2
0
0 




=
−
−
L
x
TT
TxT
S
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário
Observação: No plano de simetria, dT/dx=0 →não há fluxo de calor
⇒ superfície adiabática.
Para condição de contorno de convecção:
( )∞
=
−=− TTh
dx
dT
k S
Lx
Substituindo dT/dx em x = L, segue que:
h
Lq
TTS
&
+= ∞ Permite determinar Ts para conhecido.
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário
1.4.2 Sistemas radiais
A equação do calor:
0
1
=+





k
q
dr
dT
r
dr
d
r
&
C
qdT
r +=
&
Condução em um cilindro sólido longo 
com geração de calor
122
C
r
q
dr
dT
r +=
&
( ) 212 ln
4
CrCr
k
q
rT ++−=
&
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário
0
0
=
=rdr
dT ( ) sTrT =0e
2
0s21 r
k4
q
TC e 0C
&
+==
A distribuição de temperaturas:A distribuição de temperaturas:
( ) ST
r
r
k
rq
rT +





−=
2
0
22
0 1
4
&
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário
Avaliando na linha de centro: (T(r) =T0), a temperatura
adimensional:
( ) 2
00
1 





−=
−
−
r
r
TT
TrT
S
s
Realizando um balanço de energia na superfície:
ou
( ) ( )( ) 0TTLr2hLrq s020 =−π−π ∞&
h
rq
TTS
2
0
&
+= ∞
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário
1.5 Transferência de calor em superfícies estendidas (aletas)
Superfície estendida: termo empregado para descrever um caso
especial envolvendo transferência de calor por condução no
interior de um sólido e transferência de calor por convecção e/ou
radiação na fronteira do mesmo.
O gradiente diminui
dx
dT
O gradiente diminui
dx
com o aumento de x.
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário
� Utilização de uma aleta para aumentar a transferência de calor de
uma superfície plana
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário
� Trocadores de calor com dutos aletados
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário
� Configurações típicas de aletas
Seção 
uniforme
Seção não 
uniforme
Aleta anular Aleta em forma 
de pino
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário
� Tubos aletados
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário
1.5.1 Análise geral da condução em superfícies estendidas
Balanço de energia
em uma superfície
estendida
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário
� Considerações:
• aleta é delgada e as variações de temperatura na direção x é muito 
maior do que na direção transversal: condução unidimensional;
• regime estacionário sem geração de calor; 
• efeitos da radiação desprezíveis; 
• condutividade térmica (k) e coeficiente convectivo (h) constantes.
� balanço de energia:
convdxxx dqqq += +
• condutividade térmica (k) e coeficiente convectivo (h) constantes.
Relembrando: q entra = q sai 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário
� Lei de Fourier:
dx
dT
kAq cx −=
Ac = área da seção reta que varia com x.
dx
dx
dq
qq xdxx +=+ dx
dx
dT
A
dx
d
k
dx
dT
kAq ccdxx 




−−=+
� Taxa de transferência por convecção:
( )∞−= TTdA hdq sconv
As é área superficial do elemento diferencial
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário
Forma geral da equação da energia para uma superfície
estendida:
( ) 0=−−





∞TT
dx
dA
k
h
dx
dT
A
dx
d s
c
2 
ou
( ) 011
2
2
=−





−





+ ∞TT
dx
dA
k
h
Adx
dT
dx
dA
Adx
Td s
c
c
c
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário
• Uma solução utilizando condições de contorno apropriadas
fornece a distribuição de temperatura T(x) em qualquer ponto;
• T(x) pode ser utilizada para o cálculo da taxa de condução em
qualquer ponto x através da Lei de Fourier.
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário
1.5.2 Aletas com área de seção transversal constante
•Área de condução Ac = A = Constante;
•Área de convecção As = (perímetro).dx.
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário
� Considerações:
• T(0) = Tb : temperatura da base;
• Ac (área da seção transversal) = 
constante;
• As (área da superfície medida da 
base até x ) = Pxbase até x ) = Px
• P é o perímetro da seção 
transversal 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário
0=
dx
dAc P
dx
dAs =e ( ) 0
2
2
=−− ∞TT
kA
hP
dx
Td
c
Definindo:
( ) ( )−= TxTxθ dTd =θ
constante
Logo:
( ) ( ) ∞−= TxTxθ
dx
dT
dx
d
=
θ
02
2
2
=− θ
θ
m
dx
d
Onde:
ckA
hP
m =2
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário
A equação é uma equação diferencial de
segunda ordem, linear e homogênea, cuja solução é da forma:
02
2
2
=− θ
θ
m
dx
d
( ) mxmx eCeCx −+= 21θ
As condições de contorno:
•Em x = 0 : 
•Em x = L: quatro casos podem ocorrer.
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário
• Caso A: ocorre transferência de calor por convecção na
extremidade da aleta.
Aplicando um balanço de energia 
em uma superfície de controle na 
extremidade da aleta:
( )[ ] dT−=∞−( )[ ]
Lx
cc
dx
dT
kATLThA
=
−=∞−( )
Lxdx
dT
kLh
=
−=θ
ou
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário
( ) ( ) ( )
( ) mL senh mk/hmLcosh
xLm senh mk/hxLmcosh
b +
−+−
=
θ
θ
� A distribuição de temperaturas para o caso A é:
� Quantidade de calor que a aleta dissipa para o ambiente é igual a
quantidade calor que a aleta retira da placa por condução.
−==
d
kAqq
θ
0=
−==
x
cba
dx
d
kAqq
θ
( ) ( ) ( )
0
cosh
cosh/
=












+





−+−
=
x
bca
mLsenhmL
mk
h
xLmxLsenhmmkh
dx
d
kAq θou
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário
Assim:
( )
( ) mL senhmk/hmLcosh
mLcoshmk/hmL senh
 A k P hq bca +
+
θ=
• Caso B: extremidade adiabática (perda de calor por convecção 
é desprezível na extremidade da aleta).é desprezível na extremidade da aleta).
0=
=Lxdx
dT
0=
=Lxdx
dθ
ou
mL
xLmx
b cosh
)](cosh[)( −
=
θ
θ
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário
)mLtanh(.Mqa = cb A k P hM θ=
• Caso C: a temperatura na extremidade da aleta é especificada.
( ) LLx θθ ==
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( )mLsenh
xLmsenhmxsenhx bL
b
−+
=
θθ
θ
θ
( )b
( ) ( )
( ) 



 −
=
mLsenh
mL
Mq bLa
θθ /cosh
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário
• Caso D: aleta muito longa.
0, →∞→ LL θ
( ) mx
b
e
x −=
θ
θ
bθ
Mqa =
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário
Resumo dos casos A a D
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário
1.5.3 Desempenho de aletas
As aletas aumentam a troca de calor crescendo a área superficial de
troca. Porém, a aleta é também uma resistência adicional a troca de
calor original.
Efetividade da aleta: razão entre a taxa de transferência de calor
da aleta e a taxa de transferência de calor caso não houvesseda aleta e a taxa de transferência de calor caso não houvesse
aleta.
bc
f
f
A h
q
θ
=ε
Ac é a área da seção reta da aleta na sua base.
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário
A presença de uma aleta é justificada para .2≥fε
bcA h θ
Taxa de transferência de calor que existiria sem a
presença da aleta
• Para o caso D: 
⇒⇒maior k → maior
⇒maior P/Ac (aletas mais finas) → maior
⇒menor h (gases) → maior a uDlização de aletas
⇒ máximo quando L→∞
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário
Eficiência da aleta: razão entre a taxa de transferência de calor
pela aleta e a taxa máxima de calor que existiria pela aleta.
bS
a
max
a
a
A h
q
q
q
θ
==η
� AS é área superficial da aleta;� AS é área superficial da aleta;
� qa calculado de acordo com a condição de contorno na ponta. 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário
Eficiência de aletas planas (perfis retangular, triangular e parabólico)
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário
Eficiência de aletas anulares de perfil retangular
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário
� Sistemas com várias aletas
Taxa total de transferência de calor:
bbft A hq Nq θ+=
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário
onde:
N = número de aletas;
qf = taxa de calor transferida por uma aleta;
Ab = área da superfície exposta – área da base das aletas.
ou:
bbbSft A h A h Nq θ+θη=
eficiência de uma única aleta
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário
( )[ ] ( ) bf
t
S
tbStSft 1
A
NA
1A hA NAA Nhq θ





η−−=θ−+η=
A equação anterior pode ser escrita na forma:
A eficiência global (total) da superfície é expressa por: 
tt qq ==η
bt
t
max
t
0
 A h
q
q
q
θ
==η
área total exposta
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário
ou ainda:
( )
f
t
S
A
NA
ηη −−= 110
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário
Exercício: O cilindro do pistão do motor de uma motocicleta é
construído em liga de alumínio (k=186 W/m.K), com uma altura H =
0,15 m e um diâmetro externo D = 50 mm. Sob condições típicas de
operação a superfície externa do cilindro está a uma temperatura de
500 K e encontra-se exposta ao ar ambiente a 300 K, com um
coeficiente de transferência de calor por convecção de 50 W/m².K.
Aletas anulares são fundidas integralmente com o cilindro do pistão,
a fim de aumentar a transferência de calor para a vizinhança.a fim de aumentar a transferência de calor para a vizinhança.
Considere cinco destas aletas, com espessura t = 6 mm,
comprimento L = 20 mm e igualmente espaçadas entre si. Qual é o
aumento na taxa de transferência de calor devido ao uso das aletas?
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário
� Aletas de resfriamento de 1 mm de diâmetro e 25,4 mm de
comprimento, feitas de cobre com condutividade térmica de 400
W/(m.K) são usadas para aumentar a transferência de calor de uma
superfície que é mantida a uma temperatura Ts1 = 132ºC. Cada haste
possui uma extremidade ligada a esta superfície (x =0)., enquanto a
extremidade oposta (x = L) está ligada a uma outra superfície, que é
mantida a uma temperatura Ts2 = 0 ºC. Ar escoa através das
superfícies e das hastes a uma temperatura de 0 ºC, e o coeficientesuperfícies e das hastes a uma temperatura de 0 ºC, e o coeficiente
de convecção é h = 100 W/(m².K).
a) Expresse a função ao longo da aleta, e calcule a
temperatura em x = L/2.
b) Determine a taxa de calor transferido da superfície quente através
de cada aleta, e determine também a efetividade da aleta. O uso
de aletas se justifica? Porque?
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário
c) Qual é a taxa total de calor transferido de uma uma seção de 10 x 
10 cm de parede, que possui 625 aletas distribuídas uniformente? 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário
� Vapor escoa em um sistema de aquecimento através de tubos com
diâmetro externo de 5 cm, enquanto as paredes são mantidas a uma
temperatura de 180 ºC. Aletas de alumínio (k = 186 W/(m.ºC)) de
diâmetro externo de 6 cm e espessura constante de 1 mm são ligadas
ao tubo. O espaçamento entre as aletas é de 3 mm e existem 250
aletas por metro de comprimento do tubo. Calor é transferido para o
ar ambiente a 25 ºC, com um coeficiente de transferência de calor
h=40 W/m².ºC. Determine o aumento na transferência de calor doh=40 W/m².ºC. Determine o aumento na transferência de calor do
tubo por metro de comprimento, como resultado da adição das
aletas.
Resp: 2639 W.
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I Condução de Calor em Regime Estacionário

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