Espaços Métricos e Espaços Topológicos

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ESPAÇOS MÉTRICOS 
E 
ESPAÇOS TOPOLÓGICOS 
 
 
Nuno C. Freire e M. F. Veiga 
 
Setembro 2010 
 
 
 
 
 
 
ISBN 989-20-2175 
i
Prefácio
A aplicação da Matemática, em que se consideram unicamente conceitos
abstractos ao estudo da realidade Física, reflecte como o pensamento humano é
moldado à existência material.
Em Topologia obtem-se uma Teoria relativa aos conceitos de figura, pela
caracterização da forma_ Figuras que podem obter-se uma da outra por uma
deformação continuada são chamadas homeomorfas; homeomorfismo é um
conceito fundamental em Topologia; e distinguem-se figuras formadas por "um só"
ou "vários bocados"_ E de número, pela formulação geral rigorosa do conceito de
limite. Assim em particular a Topologia é fundamental em Análise Matemática.
Já da Antiguidade se recolhem os Elementos de Euclides, um primeiro
exemplo de uma Teoria Axiomática. Esta obtem-se na dedução de propriedades
feita a partir de outras e uma propriedade só é aceite como verdadeira_Um
Teorema da Teoria_ Se foi demonstrada ou seja, se ficou provado que é
consequência lógica de propriedades anteriores. Indispensável é assim a Lógica
Matemática; esta assenta na distinção entre os valores lógicos Verdadeiro e Falso,
e tem como Princípios fundamentais a não contradição (uma proposição não pode
ser simultaneamente Verdadeira e Falsa) e o terceiro excluído (dada uma
proposição, esta é Verdadeira ou é Falsa, não podendo dar-se outro caso). E a
Teoria de Conjuntos, que dá corpo rigoroso a toda a Matemática, que teve
avanços notáveis no séc. XIX. Este livro é inicialmente concebido como um texto
para o estudante que lhe dá chão seguro para proseguir em Análise e, de forma
geral para todo o Curso. A matéria é exposta na forma de exercícios resolvidos,
recolhida de obras consagradas. Sugere-se ao leitor que vá seguindo as
resoluções para de seguida, pouco a pouco, procurar por si resolver recorrendo
quando necessário a uma solução exposta. Inicia com uma abordagem intuitiva de
Teoria de Conjuntos e noções básicas de Lógica Matemática no Cap. I.
Aconselha-se a leitura atenta deste Capítulo. Da experiência de um dos Autores, o
Aproveitamento é muito melhor quando se começa pelos Espaços Métricos,
expostos no Cap. II; assim se facilita o processo de abstracção. Np Cap. III
trata-se a Topologia Geral. As matérias são desenvolvidas de modo a que
excedem um Curso habitual de Topologia de um Semestre. Nomeadamente o
Cap. IV não terá cabimento nesse âmbito. Para o estudo da Topologia incluímos
no Cap. III o esboço de uma Axiomática rigorosa de Teoria de Conjuntos, baseada
na Axiomática de Bernays-Gödel-von Neumann que é adoptada pelo texto de
referência [Dugundji]. Numa primeira abordagem (quiçá inevitavelmente para um
primeiro Curso) é suficiente o Cap. I. Motivados pelo interesse no tema,
apresentamos desenvolvimentos possivelmente apropriados para pós-graduação.
São indicadas referências bibliográficas para o aprofundamento em Topologia, que
esperamos possam ser úteis para Colegas interessados.
ii
ÍNDICE
Prefácio ..................................................................................................i
I RELAÇÕES, CONJUNTOS E FUNÇÕES .......................................1
I.1 Relações numa variável e conjuntos ...............................................2
I.2 Relações binárias e funções .......................................................... 21
I.3 Axioma de Zermelo e produto cartesiano infinito
Operação de Hilbert .......................................................... .............25
I.4 Funções associadas de conjuntos de uma função ........ .......... .... 26
I.5 Relações de equivalência e relações de ordem ............ .............. 29
I.6 O conjunto N. Noções de cardinalidade ......................... .............. 36
I.7 Filtros e ultrafiltros. Redes ..............................................................47
I. 8 Exercícios e complementos ............................................................ 54
Bibliografia do Capítulo I ................................................................ 57
II ESPAÇOS MÉTRICOS ................................................................ 58
II.1 Desigualdades de Cauchy-Schwarz, Hölder e Minkowski .............59
II.2 Distância num conjunto. Espaço métrico.
Sucessões convergentes .............................................................. 61
II.3 Vizinhanças de um ponto num espaço métrico ............................. 72
II.4 Métricas equivalentes .....................................................................75
II.5 Topologia de um espaço métrico .................................................. 80
II.6 Topologia de subespaço métrico. Separabilidade ......................... 97
II.7 Condições de cardinalidade em espaços métricos ...................... 103
II.8 Limite de uma função entre espaços métricos num ponto
e continuidade ..............................................................................111
II.9 Métricas sobre o produto cartesiano de espaços métricos ......... 126
II.10 Espaços métricos completos. Categoria ................................ ....130
II.11 Separação em espaços métricos ................................................143
II.12 Compacidade em espaços métricos ...........................................144
II.13 Conjuntos conexos em espaços métricos .................................. 154
II. 14 Exercícios e complemantos ................................................ .... 161
Bibliografia do Capítulo II ...................................................... ... 164
iii
III ESPAÇOS TOPOLÓGICOS .................................................................165
III.1 Uma axiomática da teoria de conjuntos..
Números ordinais e números cardinais ...................................................166
III.2 Espaço topológico e base de uma topologia .........................................178
III.3 Vizinhanças de um ponto .......................................................................185
III.4 Subespaços topológicos ........................................................................ 188
III.5 Conjuntos fechados. Definição da topologia pelo operador de fecho ....190
III.6 Conjuntos notáveis associados a um conjunto no espaço topológico ...192
III.7 Convergência no espaço topológico .....................................................197
III.8 Limites e continuidade .......................................................................... 201
III.9 Separação ............................................................................................ 210
III.10 Topologia produto e topologia ccociente.
Espaços completamente regulares.
Obtenção de topologias ...................................................................... 221
III.11 Compacidade .......................................................................................239
III.12 Conjuntos conexos ...............................................................................257
III. 13 Exercícios e complementos .................................................................268
IV METRIZABILIDADE ..............................................................................270
IV.1 Espaços topológicos metrizáveis separáveis .......................................271
IV.2 Teoremas complementares ................................................................. 275
IV.3 Exercícios e complementos ................................................................. 280
Bibliografia dos Capítulos III, IV ........................................................... 283
-1-
I RELAÇÕES, CONJUNTOS
E FUNÇÕES
-2-
I.1 RELAÇÕES NUMA VARIÁVEL E CONJUNTOS
Uma relação Rx numa variável x ∈ U (x pertence a U) é uma expressão em que
figuram palavras da linguagem comum, acrescidas ou não de sinais ou símbolos
matemáticos, que se transforma numa afirmação (proposição)para cada valor atribuido à
variável x, percorrendo o conjunto U. Neste Cap. I não distinguimos entre os conceitos de
colecção ou classe de entes, e o conjunto que constituem; o que é tema de III.1. em que
expomos uma teoria axiomática de conjuntos, a que seguimos neste livro. Podem ocorrer
numa Teoria matemática, relações numa variável x, que envolvam apenas símbolos
matemáticos e a variável x.
Sempre que não é claro no contexto, deve indicar-se expressamente o conjunto de
valores que se considera para a variável, escrevendo Rx x ∈ U.
I.1.1 Exemplos (1) Rx ≡ x é divisível por 3 x ∈ N é uma relação em x,
considerada para x variando no conjunto dos números naturais N  1,2, . . .;
(2) Rx ≡∣ x ∣ 1 x ∈ R é uma relação na variável x percorrendo o conjunto R
dos números reais;
(3) Rz ≡∣ z ∣ 1 z ∈ C é uma relação em C, o conjunto dos números
complexos;
(4) Rp ≡ p ∈ Q p ∈ N0 é uma relação na variável p, onde p varia no conjunto
dos inteiros não negativos N0 (Q representa o conjunto dos números racionais).
I.1.2 Observações (1) A cada conjunto dado A, podemos associar a relação
correspondente x ∈ A, que é uma relação na variável x. No entanto, uma relação numa
variável pode não definir nenhum conjunto. Aceitamos os princípios do terceiro excluido e
da não contradição (uma proposição é verdadeira ou é falsa, e não pode ser verdadeira e
falsa simultaneamente) da Lógica Clássica, e conclui-se facilmente que a relação x ∉ x não
define nenhum conjunto: se A é o conjunto dos elementos x tais que x ∉ x, suponhamos
A ∈ A; então A ∉ A, de modo que não pode ser A ∈ A, pelo princípio da não contradição.
Pelo princípio do terceiro excluído, deve ter-se portanto A ∉ A; mas então A ∈ A, pela
definição do conjunto A, o que não pode ser, de novo pelo princípio da não contradição.
(2) O aluno já terá distinguido que expressões como "x ∉ x" , "x ∈ x" , serão
”absurdas”. Esta última, por exemplo porque uma vez conceptualizado um conjunto X, há
que distinguir o conjunto dos elementos que lhe pertencem, e que são exactamente os
objectos que satisfazem a relação x ∈ X. Deste modo deve escrever-se 1 ∈ 0,1,4 no
lugar de 1 ∈ 0,1,4,  ∈  em vez de  ∈ ; em ambos os casos, se X é um conjunto
formado por elementos a,b,u, escrevemos X  a,b,u por exemplo. (A relação
Rx ≡ x ∈  x ∈ N não é ”absurda”, recorde-se, mas uma relação impossível pois não é
verificada por nenhum número natural). Questões como estas inserem-se na Teoria da
Lógica Matemática aprofundada, e neste curso aceitaremos tacitamente axiomas de
regularidade (numa Teoria Matemática, aceitam-se como verdadeiras certas hipóteses sem
necessidade de demonstração, que se chamam axiomas), que dão lugar aos conceitos e
notações habituais em Teoria dos Conjuntos.
-3-
I.1.3 Substituições numa relação
Se Rx x ∈ U é uma relação em x, e c ∈ U, diz-se que a proposição Rc é obtida
por substituição da variável x pela constante c
I.1.4 Os valores lógicos V,F
Segundo os princípios do terceiro excluido e da não contradição, a cada proposição P
corresponde ou o valor lógico V, se a proposição é verdadeira, ou o valor lógico F, se é
falsa; e não pode ocorrer um terceiro caso. Para simplificar, escreve-se P  V, P  F
respectivamente no primeiro (segundo) caso.
I.1.5 Exercício Em cada um dos exemplos (1),...,(4) anteriores, determine o valor
lógico das proposições R4 e R1. (Note que 1,4 pertencem ao conjunto relativo à
variável em cada exemplo).
Resolução
(1) R1  F. R4  F.
(2) R1 ≡∣ 1 ∣ 1  V. R4 ≡∣ 4 ∣ 1  4  1  F.
(3) R1 ≡∣ 1 ∣ 1  V. R4 ≡∣ 4 ∣ 1  4  1  F.
(4) R1 ≡ 1 ∈ Q  1 ∈ Q  V. R4 ≡ 4 ∈ Q  2 ∈ Q  V.
I.1.6 Formação de novas relações e tabelas de verdade
Sendo Rx,Sx duas relações numa variável x percorrendo um mesmo conjunto U,
então para cada substituição de x por uma constnte c ∈ U a proposição Rc ou Sc pode
não significar o mesmo que Rc, nem que Sc. A proposição Rc ou Sc, ou mais
geralmente R ou S, em que R,S são quaisquer proposições, designa-se por R ∨ S, neste caso
Rc ∨ Sc. Uma vez que podemos considerar a proposição Rc ∨ Sc para cada valor da
constante c tomada em U, faz sentido considerar a relação Rx ∨ Sx x ∈ U.
Analogamente, dadas Rx,Sx, ambas relações em x ∈ U pode considerar-se a relação
Rx e Sx, que se representa por Rx ∧ Sx. E assim como dada uma proposição R
podemos considerar a sua negação, que notamos ~R, a negação da relação Rx x ∈ U é a
relação ~Rx x ∈ U, sendo ~Rc a negação da proposição Rc, para cada substituição
da variável x pela constante c fixada em U. Importante é também saber se uma relação Rx
implica uma relação Sx, para a variável x tomando valores em U. Isto é verdade sse
(abreviatura de ”se e só se”) para cada substituição da variável x por um elemento c ∈ U, as
proposições obtidas Rc, Sc respectivamente verificam Rc  Sc isto é, se sempre
que se dá Rc  V então tem-se Sc  V; escreve-se neste caso Rx  Sx x ∈ U.
Rx,Sx são equivalentes quando Rx  Sx e reciprocamente Sx  Rx, nota-se
então Rx  Sx. Frequentemente, interessa ter informação sobre o valor lógico de uma
proposição, ou de uma relação numa variável, obtida a partir de outras por utilização dos
símbolos lógicos ∨,∧, ~,, não apenas no caso em que a proposição obtida é verdadeira
(ou a proposição obtida por substituições numa relação), para estudar um problema; para
isso utilizam-se as tabelas de verdade do cálculo proposicional, que indicam a variação dos
valores lógicos.
-4-
I.1.7 Tabelas de verdade da disjunção, conjunção, negação, implicação e
equivalência
P Q P ∨ Q P ∧ Q ~P P  Q P  Q
V V V V F V V
V F V F F F F
F V V F V V F
F F F F V V V
I.1.8 Exemplos (1) Sabendo-se que uma disjunção P ∨ Q  V, e que P  F, pode
inferir-se pela observação da tabela, que Q  V;
(2) Se soubermos que uma implicação P  Q é verdadeira (i.e, P  Q  V, e
portanto se verifica o caso da 1ª linha, ou os casos da 3ª ou 4ª linhas da tabela de verdade),
e que o consequente Q da implicação é Q  F, podemos concluir que P  F pela
observação da tabela.
I.1.9 Observação As tabelas de verdade aplicam-se também a relações, indicando-se
o conjunto em que se considera a variável. Para uma relação Rx x ∈ U, põe-se
Rx  V x ∈ A se Rc  V para cada subtituição da variável por qualquer constante
c ∈ A ⊂ U. Por exemplo x2  0 x ∈ R é falsa, e x2  0 x ∈ R\0 é verdadeira.
Também x2  1  x  1 x ∈ R é falsa, e x2  1  x  1 x ∈ R0 é verdadeira, onde
R0 é o conjunto dos números reais não negativos. Para significar que duas relações
Rx,Sx x ∈ U têm o mesmo valor lógico (i.e., para cada substituição da variável por
uma constante c, as proposições Rc,Sc têm o mesmo valor lógico, Rc  Sc),
escreve-se Rx  Sx. Por exemplo as relações em x ∈ N, Rx ≡ x é divisível por 4, e
Sx ≡ x é divisível por 2 ,verificam Rx ∨ Sx  Sx, Rx ∧ Sx  Rx. Diz-se que
as proposições R,S (respectivamente as relações em x, Rx,Sx) são equivalentes sse
R  S (respectivamente Rx  Sx)
I.1.10 Exemplo Dadas quaisquer proposições R,S, as tabelas de verdade de R  S e
de ~R ∨ S mostram que R  S  ~R ∨ S:
R S ~R R  S ~R ∨ S R  S  ~R ∨ S
V V F V V V
V F F F F V
F V V V V V
F F V V V V
Uma proposição que assume sempre o valor lógico V diz-se uma tautologia. Assim
R  S  ~R ∨ S é uma tautologia. R ∨ S  S ∨ R, R ∧ S  S ∧ R são tautologias
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I.1.11 Exercícios (1) Verifique usando uma tabela de verdade, que ~ ~R  R é uma
tautologia.
(2) Mostre que são tautologias, utilizando tabelas de verdade:
(i) R  R ∨ S;
(ii) R ∧ S  R;
(iii) R  S  R  S ∧ S  R;
(iv) R  T ∧ S  T  R ∨ S  T;
(v) H  T  ~T  ~H;
(vi) R  S ∧ R  T  R  S ∧ T.
(vii) R  S  ~R ∨ S.
(3) Utilizando o exercício anterior, pode concluir quese R,S   0 são
relações na variável  ∈ R, onde R é o conjunto dos números reais positivos, então as
implicações
(i) R  R ∨ S e (ii) R ∧ S  R são verdadeiras? Porquê?
(4) Sendo x0 ∈ a,b  A ⊂ R,   0,
(i) determine o maior subconjunto E de R tal que R ≡ x0 − ,x0   ⊂ A é
verdadeira, com x0  ab2 , para todo o  ∈ E.
(ii) indique um valor de x0 tal que, para qualquer   0, sejam verdadeiras
simultãneamente x0 − ,x0   ∩ A ≠ , x0 − ,x0   ∩ Ac ≠ . (Ac  R\A é o
conjunto complementar de A em R).
Resolução
(1) R ~R ~ ~R
V F V
F V F
Uma vez que R, ~ ~R assumem sempre o mesmo valor lógico, conclui-se que
~ ~R  R é uma tautologia.
(2)
(i) R S R ∨ S R  R ∨ S
V V V V
V F V V
F V V V
F F F V
(ii) R S R ∧ S R ∧ S  R
V V V V
V F F V
F V F V
F F F V
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(iii) R S R  S R  S S  R R  S ∧ S  R
V V V V V V
V F F F V F
F V F V F F
F F V V V V
Uma vez que os valores lógicos nas 3ª e última coluna coincidem, conclui-se a
tautologia.
(iv) R S T R ∨ S R  T S  T R  T ∧ S  T R ∨ S  T
V V V V V V V V
V V F V F F F F
V F V V V V V V
V F F V F V F F
F V V V V V V V
F V F V V F F F
F F V F V V V V
F F F F V V V V
Uma vez que sempre que o antecedente R  T ∧ S  T na penúltima coluna é
verdadeiro, também o consequente R ∨ S  T na última coluna é verdadeiro, concluimos
que a implicação R  T ∧ S  T  R ∨ S  T é verdadeira.
(v) H T ~H ~T H  T ~T  ~H
V V F F V V
V F F V F F
F V V F F F
F F V V V V
Uma vez que os valores lógicos de H  T, ~T  ~H coincidem nas 5ª e 6ª colunas
coincidem, conclui-se que H  T  ~T  ~H.
(vi) R S T S ∧ T R  S R  T R  S ∧ R  T R  S ∧ T
V V V V V V V V
V V F F V F F F
V F V F F V F F
V F F F V V V V
F V V V V V V V
F V F F V V V V
F F V F V V V V
F F F F V V V V
Coincidindo os valores lógicos nas duas últimas colunas, conclui-se a equivalência.
(vii) R S ~R R  S ~R ∨ S R  S  ~R ∨ S
V V F V V V
V F F F F V
F V V V V V
F F V V V V
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(3) Sim, porque para cada substituição de  por uma constante 0, as implicações
R0  R0 ∨ S0 e R0 ∧ S0  R0 são verdadeiras ((2),(i),(ii)).
(4) (i) O maior valor de  para o qual  ab2 − , ab2   ⊂ a,b é o maior   0 tal
que ab2 −  ≥ a ∧ ab2   ≤ b  0   ≤ ab2 − a  b−a2 ∧  ≤ b−a2 ; é portanto   b−a2 .
Conclui-se   0, b−a2 .
(ii) x0  a.
I.1.12 Cálculo Proposicional e obtenção de conjuntos.
Dados conjuntos X,Y definidos respectivamente por relações Rx,Sx, obtêm-se
X  Y  x : Rx ∨ Sx  x : x ∈ X ∨ x ∈ Y (”x :” leia-se ”x tal que”),
X ∩ Y  x : Rx ∧ Sx  x : x ∈ X ∧ x ∈ Y e
Y\X  x : Sx ∧ ~Rx  x ∈ Y : x ∉ X, onde x ∉ Y significa ~x ∈ Y. Se se
consideram todos os conjuntos, como subconjuntos de um mesmo conjunto universal U,
nota-se apenas Xc no lugar de U\X.
Mais geralmente, se A1, . . . ,An são conjuntos, a reunião (resp. intersecção) finita dos
conjuntos Ak k  1, . . . ,n é o conjunto  Ak (resp.  Ak) definido por
k ∈ Sn k ∈ Sn
 Ak  x : x ∈ A1 ∨. . .∨x ∈ An
k ∈ Sn
(  Ak  x : x ∈ A1 ∧. . .∧x ∈ An)
k ∈ Sn
Para cada n ∈ N, Sn é a secção de índice n de N, Sn  1, . . . ,n.
I.1.13 Observação De I.1.11 (1) concluimos que se A é um subconjunto de um
conjunto universo U, tem-se Acc  U.
I.1.14 Exemplos (1) N0  0,1,2, . . .  N  0.
(2) Se k ∈ N, representa-se kN0  0,k, 2k, 3k, . . ., e para cada p ∈ N,
kN  p  k  p, 2k  p, 3k  p, . . .. Com k  3, obtem-se
 3N0  p  N,  3N0  p  .
p ∈ S3 p ∈ S3
I.1.15 Definição Se X ≠ ,Y ≠ , o par ordenado x,y (x ∈ X,y ∈ Y) pode definir-se
como sendo o conjunto x,x,y  x,y. Obtem-se então o conjunto produto cartesiano
de X por Y, X  Y  x,y : x ∈ X,y ∈ Y. O produto cartesiano X  X representa-se
também por X2. De modo análogo, sendo X1, . . . ,Xm conjuntos não vazios, m ∈ N,
define-se o produto cartesiano
X1 . . .Xm  k1m Xk  x1, . . . ,xm : xk ∈ Xk,k  1, . . . ,m
Nota-se X1 . . .Xm  Xm se Xk  X k  1, . . . ,m, para cada m ∈ N2, onde N2 
 2,3, . . ..
Exemplos (1) O plano cartesiano real é o produto cartesiano R2.
(2) i,−1,−i, 1 ∈ C4, onde C é o plano complexo.
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I.1.16 Exercícios (1) Mostre que dados conjuntos não vazios A,B,C,D tem-se:
(i) A  C  D  A  C  A  D; (ii) A  B  C  A  C  B  C (iii)
A  C ∩ D  A  C ∩ A  D; (iv) A ∩ B  C ∩ D  A ∩ C  B ∩ D.
(2) Mostre que se R,S são proposições, a) verificam-se as leis de De Morgan:
~R ∨ S  ~R ∧ ~S e ~R ∧ S  ~R ∨ ~S são tautologias. (Utilize uma tabela de
verdade grande); b) se P,A,B são proposições,
(i) P ∧ A ∧ B  P ∧ A ∧ P ∧ B; (ii) P ∧ A ∨ B  P ∧ A ∨ P ∧ B;
c) verifique também utilizando uma tabela de
verdade, que pode trocar-se em b) (i), (ii) ∧  ∨ obtendo outras equivalências.
d) Conclua de b) e a) que se P,R,S são
proposições, então (i) P ∧ ~R ∨ S  P ∧ ~R ∧ P ∧ ~S;
(ii) P ∧ ~R ∧ S  P ∧ ~R ∨ P ∧ ~S.
(3) Determine : (i)  4N0  p (ii)  4N0  p (iii) 2N ∩ 4N.
p ∈ S4 p ∈ S4
(4) Determine as intersecções, e interprete graficamente:
(i) x,x2 : x ∈ R ∩ x,x4 : x ∈ R0;
(ii) x, 2x  1 : x ∈ R ∩ x,x2 : x ∈ R;
(iii) x,x3 : x ∈ R ∩ x,x : x ∈ R0;
(iv) eit : t ∈ 0,2 ∩ z ∈ C : Rez  Imz, onde Rez  x, Imz  y para
z  x  iy ∈ C.
Resolução
(1) (i) x,y ∈ A  C  D  x ∈ A ∧ y ∈ C  D  x ∈ A ∧ y ∈ C ∨ y ∈ D 
x ∈ A ∧ y ∈ C ∨ x ∈ A ∧ y ∈ D  x,y ∈ A  C ∨ x,y ∈ A  D 
x,y ∈ A  C  A  D;
(ii)
x,y ∈ A  B  C  x ∈ A  B ∧ y ∈ C  x ∈ A ∨ x ∈ B ∧ y ∈ C 
x ∈ A ∧ y ∈ C ∨ x ∈ B ∧ y ∈ C  x,y ∈ A  C ∨ x,y ∈ B  C 
x,y ∈ A  C  B  C;
(iii) x,y ∈ A  C ∩ D  x ∈ A ∧ y ∈ C ∧ y ∈ D  x ∈ A ∧ y ∈ C ∧
x ∈ A ∧ y ∈ D  x,y ∈ A ∩ C  A ∩ D;
(iv) x,y ∈ A ∩ B  C ∩ D  x ∈ A ∩ B ∧ y ∈ C ∩ D 
x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ y ∈ C ∧ y ∈ D  x ∈ A ∧ y ∈ C ∧ x ∈ B ∧ y ∈ D 
x,y ∈ A ∩ C  B ∩ D.
-9-
2 a)
R S ~R ~S R ∨ S R ∧ S ~R ∨ S ~R ∧ ~S ~R ∧ S ~R ∨ ~S
V V F F V V F F F F
V F F V V F F F V V
F V V F V F F F V V
F F V V F F V V V V
Como os valores lógicos das colunas 7ª e 8ª (resp. 9ª e 10ª) coincidem, concluem-se
as leis de De Morgan.
b)
(i) P A B A ∧ B P ∧ A P ∧ B P ∧ A ∧ B P ∧ A ∧ P ∧ B
V V V V V V V V
V V F F V F F F
V F V F F V F F
V F F F F F F F
F V V V F F F F
F V F F F F F F
F F V F F F F F
F F F F F F F F
Coinicidindo as duas últimas colunas, conclui-se a equivalência
(ii) P A B A ∨ B P ∧ A ∨ B P ∧ A P ∧ B P ∧ A ∨ P ∧ B
V V V V V V V V
V V F V V V F V
V F V V V F V V
V F F F F F F F
F V V V F F F F
F V F V F F F F
F F V F F F F F
F F F F F F F F
Como a 5ª coluna coincide com a última, conclui-se a equivalência.
c) P A B A ∨ B P ∨ A P ∨ B P ∨ A ∨ B P ∨ A ∨ P ∨ B
V V V V V V V V
V V F V V V V V
V F V V V V V V
V F F F V V V V
F V V V V V V V
F V F V V F V V
F F V V F V V V
F F F F F F F F
Uma vez que as duas últimas colunas coincidem, concluimos a equivalência
P ∨ A ∨ B  P ∨ A ∨ P ∨ B.
-10-
A equivalência restante é P ∨ A ∧ B  P ∨ A ∧ P ∨ B:
P A B A ∧ B P ∨ A ∧ B P ∨ A P ∨ B P ∨ A ∧ P ∨ B
V V V V V V V V
V V F F V V V V
V F V F V V V V
V F F F V V V V
F V V V V V V V
F V F F F V F F
F F V F F F V F
F F F F F F F F
Como a 4ª e a última coluna coincidem, conclui-se a equivalência.
d) (i) Fazendo A ≡ ~R e B ≡ ~S, concluimos de 1 a) e b) (i) que
P ∧ ~R ∨ S  P ∧ ~R ∧ ~S  P ∧ A ∧ B  P ∧ A ∧ P ∧ B 
 P ∧ ~R ∧ P ∧ ~S, desde que provemos que se P1  P2 então P ∧ P1  P ∧ P2.
Determinando então as tabelas de verdade:
P P1 P2 P ∧ P1 P ∧ P2
V V V V V
V V F V F
V F V F V
V F F F F
F V V F F
F V F F F
F F V F F
F F F F F
Verifica-se que quando P1, P2 têm o mesmo valor lógico, nas 1ª, 4ª, 5ª e última
linhas,também P ∧ P1, P ∧ P2 assumem o mesmo valor lógico. Ou seja: se P1  P2, então
também P ∧ P1  P ∧ P2.
(ii) Utilizando o resultado provado em (2) b) (i) P1  P2  P ∧ P1  P ∧ P2,
(uma vez sabido que uma implicação P  Q é verdadeira, podemos utilizar este resultado,
e designá-lo escrevendo P  Q directamente), obtemos de (1) a), b) (ii):
P ∧ ~R ∧ S  P ∧ ~R ∨ ~S  P ∧ A ∨ B  P ∧ A ∨ P ∧ B
 P ∧ ~R ∨ P ∧ ~S, como queríamos.
(3) (i) Para cada p  1,2,3,4, tem-se: 4N0  p é o conjunto dos números naturais,
cujo resto da divisão por p  1,2,3 é p, e zero para p  4. Uma vez que cada número
natural verifica pelo menos um destes casos, obtem-se (i)  4N0  p  N.
p ∈ S4
Como nenhum número natural verifica dois destes casos simultãneamente, tem-se
também (ii) 4N0  p  .
p ∈ S4
-11-
(iii) Sendo todo o múltiplo de 4 um múltiplo de 2, tem-se 2N ∩ 4N  4N.
(4)
(i) O par ordenado x,y pertence à intersecção dos dois conjuntos sse a ordenada y é
da forma y  x2  x4, onde x ∈ R, x  0. A única raiz real positiva de x2  x4 sendo
x  1, concluimos que a intersecção é o conjunto 1,1.
(ii) Para x ∈ R, tem-se 2x  1  x2  x2 − 2x − 1  0  x  2  22 ; deste modo a
intersecção procurada é 2 − 22 , 5 − 2 , 2  22 , 5  2 .
(iii) 0,0, 1,1.
(iv) eit  cos t  i sin t verifica cos t  sin t 0 ≤ t  2 sse t  4 ∨ t  54 , portanto
a intersecção procurada é  22  i 22 ,− 22 − i 22 .
I.1.17 Axiomas da selecção e da extensão e inclusão de conjuntos.
I.1.18 Axioma da selecção
A relação Rx na variável x define um conjunto A se existe um conjunto E tal que
Rx  x ∈ E. Põe-se então A  x : Rx.
I.1.19 Inclusão de conjuntos
Se X,Y são conjuntos, pomos X ⊂ Y sse a implicação x ∈ X  x ∈ Y é verdadeira.
Diz-se então que X é um subconjunto de Y. Em particular, tem-se sempre X ⊂ X.
I.1.20 Axioma da extensão
Sendo Rx, Sx relações numa variável satisfazendo o axioma da selecção,
A  x : Rx, B  x : Sx, tem-se A  B sse Rx  Sx.
I.1.21 Observações (1) Destes dois axiomas, o axioma da extensão parece ”óbvio”
mas é aceitando-os em Teoria dos conjuntos, que podemos utilizar os conceitos intuitivos
habituais, lidando com conjuntos e relações. Em particular, resulta deste último axioma e da
definição de inclusão de conjuntos, que dados conjuntos A,B, tem-se
A  B  A ⊂ B ∧ B ⊂ A. (as tabelas de verdade mostram imediatamente que, dadas
proposições P,Q, tem-se P  Q  P  Q ∧ Q  P).
-12-
(2) Notando que o conjunto vazio pode ser definido por qualquer relação impossível,
por exemplo   x : Sx com Sx ≡ x ≠ x, ou, sendo Rx uma relação num conjunto,
  x : Rx ∧ ~Rx, ( duas relações impossíveis são equivalentes, pois assumem o
valor lógico F para qualquer substituição da variável por uma constante), reconhece-se,
pondo, para cada conjunto X, X  x : x ∈ X que X \ X  . Também
X \   x : x ∈ X ∧ ~x ≠ x  x : x ∈ X ∧ x  x  x : x ∈ X  X.
(3) Uma vez que Rx ∨ Rx  Rx, Rx ∧ Rx  Rx para qualquer relação
Rx, tem-se X  X  X, X ∩ X  X para cada conjunto X.
(4) Das equivalências Rx ∨ Sx  Sx ∨ Rx, Rx ∧ Sx  Sx ∧ Rx (as
tabelas de verdade mostram imediatamente que dadas proposições R,S tem-se
R ∨ S  S ∨ R e R ∧ S  S ∧ R, (ver I.1.6), concluimos que
X  Y  x : x ∈ X ∨ x ∈ Y  x : x ∈ Y ∨ x ∈ X  Y  X e X ∩ Y  Y ∩ X para
quaisquer conjuntos X,Y.
(5) Se P  Q, então P ∨ Q  Q é uma tautologia. Para o verificar, utilizando uma
tabela de verdade, basta verificar se, em cada linha tal que P  Q  V, as colunas de
P ∨ Q, Q assumem o mesmo valor lógico; o que é o mesmo que, supondo a hipótese
P  Q, constatar que P ∨ Q, Q são equivalentes:
P Q P  Q P ∨ Q
V V V V
V F F V
F V V V
F F V F
São os casos da 1ª e 3ª,4ª linhas. Podemos concluir que se Rx,Sx são relações na
variável x, tais que Rx  Sx então Rx ∨ Sx  Sx e, pondo para cada conjunto X,
X  x : x ∈ X, que se X ⊂ Y então X  Y  x : x ∈ X ∨ x ∈ Y  x : x ∈ Y  Y.
Analogamente, a tabela de verdade mostra que se R  S, então R ∧ S  R e portanto
se X ⊂ Y, tem-se X ∩ Y  X.
I.1.22 Exemplo Se X,Y são subconjuntos de um mesmo conjunto universal U, tem-se:
x ∈ X  Yc  x ∈ U ∧ ~x ∈ X  Y  x ∈ U ∧ ~x ∈ X ∨ x ∈ Y 
 x ∈ U ∧ ~x ∈ X ∧ x ∈ U ∧ ~x ∈ Y  x ∈ Xc ∧ x ∈ Yc  x ∈ Xc ∩ Yc,
donde X  Yc  Xc ∩ Yc. (Utilizando o Ex. 1.1.16 (1) d) (i).).
I.1.23 Exercícios (1) Prove que se X,Y ⊂ U então X ∩ Yc  Xc  Yc.
(2) No que segue, supomos todos os conjuntos sendo subconjuntos de um mesmo
conjunto U. Prove que:
(i) A ⊂ A  B e B ⊂ A  B;
(ii) A ∩ B ⊂ A e A ∩ B ⊂ B;
(iii) A ⊂ B  Bc ⊂ Ac;
(iv) A ⊂ B  A ∩ Bc  ;
-13-
(3) Se X é um conjunto, diz-se que A1, . . . ,Ap é uma partição de X sse cada Ai ⊂ X
, Ai ∩ Aj   sempre que i ≠ j 1 ≤ i, j ≤ p e  Ai  X.
i ∈ Sp
Prove que se p é um número natural, então pN0  m : 1 ≤ m ≤ p é uma partição
de N.
(4) Mostre que para quaisquer conjuntos A,B,C tem-se
(i) C \ A  B  C \ A ∩ C \ B;
(ii) C \ A ∩ B  C \ A  C \ B.
(5) Prove que A ⊂ A ′ e B ⊂ B ′ sse A  B ⊂ A ′  B ′.
Resolução
(1) x ∈ X ∩ Yc  x ∈ U ∧ ~x ∈ X ∩ Y x ∈ U ∧ ~x ∈ X ∧ x ∈ Y 
x ∈ U ∧ ~x ∈ X ∨ x ∈ U ∧ ~x ∈ Y  x ∈ Xc Yc, o que prova a igualdade.
(Utilizámos o anterior Ex. 1.1.16 (1) d) (ii)).
(2) (i) Uma vez que a tabela de verdade de  mostra que P  P ∨ Q (verifique que é
uma tautologia), encontra-se: x ∈ A  x ∈ A ∨ x ∈ B; isto prova, pela definição de A  B,
que A ⊂ A  B. Uma vez que P ∨ Q  Q ∨ P é uma tautologia, obtem-se A  B  B  A,
e a inclusão B ⊂ A  B conclui-se da demonstração anterior.
(ii) Tem-se P ∧ Q  P e P ∧ Q  Q (verifique estas tautologias; note que o símbolo
" " separa proposições formadas por outras utilizando os símbolos "∨" ,"∧" ). Então
x ∈ A ∩ B  x ∈ A ∧ x ∈ B  x ∈ A, donde A ∩ B ⊂ A e analogamente A ∩ B ⊂ B.
(iii) Suponhamos A ⊂ B; então x ∈ A  x ∈ B, e se x ∉ B (i.e., se x ∈ Bc), não
pode portanto ser x ∈ A, donde x ∉ A; assim x ∉ B  x ∉ A, i.e. Bc ⊂ Ac. Como ~
~P  P, tem-se Acc  A, Bcc  B, e da inclusão provada conclui-se
Bc ⊂ Ac  A ⊂ B, provando a equivalência.
(iv) Suponhamos A ⊂ B i.e., x ∈ A  x ∈ B. Então se x ∈ A não pode verificar-se
x ∉ B; assim nenhum x verifica x ∈ A ∧ x ∈ Bc donde A ∩ Bc  . Reciprocamente, se
A ∩ Bc  , e se x ∈ A, não pode ser x ∈ Bc, x ∉ B; conclui-se que se x ∈ A então x ∈ B,
i.e., A ⊂ B.
(3) O resto da divisão por p de um número natural n é zero (caso em que
n ∈ pN0  p), ou um número m, 1 ≤ m  p; desta forma, N  pN0  m
m ∈ Sp
porque pN0  m 1 ≤ m ≤ p é exactamente o conjunto dos números naturais, cujo resto da
divisão por p é m. Se 1 ≤ m,m′ ≤ p e m ≠ m′ então pN0  m ∩ pN0  m′  ; assim
pN0  m : 1 ≤ m ≤ p é uma partição de N.
(4) Notar que substituindo o conjunto universal U, por qualquer conjunto C, nos
anteriores Exemplo, e Ex (1), o essencial da demonstração se aplica, (X  A e Y  B)
obtendo-se as igualdades (i), (ii). (Isto mostra que o caso A,B ⊂ U anteriormente
considerado, é um caso particular).
(5) A  B ⊂ A ′  B ′  x,y ∈ A  B  x,y ∈ A ′  B ′  x ∈ A  x ∈ A ′ e
y ∈ B  y ∈ B ′ sse A ⊂ A ′ e B ⊂ B ′.
-14-
I.1.24 Exercícios (1) Mostre que se X,Y são conjuntos, (i) X ⊂ X  Y; (ii) X ∩ Y ⊂ X.
(Sug: I.1.11, (2) (i), (ii).
(2) Utilizando o axioma da extensão e a técnica em I.1.20, (2)...(5), prove que:
a) (i) X ∩ Y ∩ Z  X ∩ Y  Z; (ii) X  Y  Z  X  Y  Z. (Sug: I.15 b), c));
b) (i) X ∩ Y  Z  X ∩ Y  X ∩ Z;
(ii) X  Y ∩ Z  X  Y ∩ X  Z. (Sug: I.1.15 b), c)).
c) (i) A relação "X ⊂ Z e Y ⊂ Z" é equivalente a X  Y ⊂ Z. (Sug: I.1.11, (2) ((iv)).
(ii) A relação "Z ⊂ X e Z ⊂ Y" é equivalente a Z ⊂ X ∩ Y. (Sug: I.1.11, (2) (vi)).
Resolução
(1) (i) Uma vez que x ∈ X  x ∈ X ∨ x ∈ Y, concluimos X  x : x ∈ X ⊂
x : x ∈ X ∨ x∈ Y  X  Y.
(ii) Tendo-se x ∈ X ∧ x ∈ Y  x ∈ X conclui-se
X ∩ Y  x : x ∈ X ∧ x ∈ Y ⊂ x : x ∈ X  X.
(2) a) (i) X ∩ Y ∩ Z  x : x ∈ X ∧ x ∈ Y ∧ x ∈ Z 
x : x ∈ X ∧ x ∈ Y ∧ x ∈ Z  X ∩ Y ∩ Z;
(ii) X  Y  Z  x : x ∈ X ∨ X ∈ Y ∨ x ∈ Z 
x : x ∈ X ∨ x ∈ Y ∨ x ∈ Z  X  Y  Z.
b) (i) X ∩ Y  Z  x : x ∈ X ∧ x ∈ Y ∨ x ∈ Z 
x : x ∈ X ∧ x ∈ Y ∨ x ∈ X ∧ x ∈ Z  x : x ∈ X ∧ x ∈ Y  x : x ∈ X ∧ x ∈ Z 
X ∩ Y  X ∩ Z;
(ii) X  Y ∩ Z  x : x ∈ X ∨ x ∈ Y ∧ x ∈ Z 
x : x ∈ X ∨ x ∈ Y ∧ x ∈ X ∨ x ∈ Z  X  Y ∩ X  Z.
c) (i) x ∈ X  x ∈ Z ∧ x ∈ Y  x ∈ Z  x ∈ X ∨ x ∈ Y  x ∈ Z, donde se
conclui que X ⊂ Z ∧ Y ⊂ Z  X  Y ⊂ Z;
(ii) x ∈ Z  x ∈ X ∧ x ∈ Z  x ∈ Y  x ∈ Z  x ∈ X ∧ x ∈ Y e
conclui-se Z ⊂ X ∧ Z ⊂ Y  Z ⊂ X ∩ Y.
-15-
I.1.25 Exercícios (1) Prove que para quaisquer conjuntos A,B,C,D se tem:
(i) A  A \ B  A ∩ B e A \ B ∩ A ∩ B  ;
(ii) A \ B  A \ A ∩ B  A  B \ B;
(iii) A ∩ B \ C  A ∩ B \ A ∩ C;
(iv) A \ B \ C  A \ B  C;
(v) A \ B \ C  A \ B  A ∩ C;
(vi) A \ B ∩ C \ D  A ∩ C \ B  D.
(2) Prove que: a) A \ B  A se e só se A ∩ B  ;
b) A \ B  B  A  B \ B se e só se B  .
c) A ⊂ B  A ∩ B  A  A  B  B.
(Sug: Verifique, utilizando uma tabela de verdade, que se P,Q são proposições, Q
uma tautologia, então P  P ∧ Q (faça sempre V na coluna de Q) e portanto, se R é uma
relação impossível, P ∧ ~R  P; e que se Q é uma relação impossível então P ∨ Q  P.
Pode utilizar (1) (ii) para (2) a), b).
Resoluções
(1) (i) Uma vez que dadas proposições P,Q se tem P  P ∧ ~Q ∨ Q, conclui-se a
propriedade correspondente para relações numa variável, obtendo-se
x ∈ A  x ∈ A ∧ x ∉ B ∨ x ∈ B  x ∈ A ∧ x ∉ B ∨ x ∈ A ∧ x ∈ B, donde se
conclui A  A \ B  A ∩ B pelo princípio de extensão. A relação em x,
x ∈ A ∧ x ∉ B ∧ x ∈ A ∧ x ∈ B é equivalente à relação impossível x ∉ B ∧ x ∈ B que
define assim o conjunto .
Portanto A \ B ∩ A ∩ B  , pelo axioma da extensão.
(ii) Dadas proposições P,Q tem-se P ∧ ~Q  P ∧ P ∧ ~P ∨ P ∧ ~Q 
P ∧ P ∧ ~P ∨ ~Q  P ∧ P ∧ ~P ∨ ~Q  P ∧ ~P ∨ ~Q  P ∧ ~P ∧ Q donde
se conclui A \ B  A \ A ∩ B. Também P ∧ ~Q  P ∨ Q ∧ ~Q ∧ ~Q 
P ∨ Q ∧ P ∨ ~Q ∧ ~Q  P ∨ Q ∧ P ∨ ~Q ∧ ~Q  P ∨ Q ∧ ~Q (esta última
equivalência porque os valores lógicos de P ∨ ~Q ∧ ~Q e de ~Q são sempre o mesmo, já
que se S  R então R ∧ S  S, como mostram as 1ª, 3ª e 4ª linhas da tabela de verdade),
donde podemos concluir A \ B  A  B \ B.
(iii) x ∈ A ∩ B \ C  x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ x ∉ C 
x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ x ∉ C  x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ x ∉ A ∨ x ∉ C 
x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ ~x ∈ A ∨ ~x ∈ C  x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ ~x ∈ A ∧ x ∈ C 
x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ ~x ∈ A ∩ C  x ∈ A ∩ B \ A ∩ C, onde a terceira equivalência se
justifica porque se P,Q,R são proposições tais que P  Q e Q  R, então as proposições
P ∧ Q e P ∧ R são equivalentes, como mostra a tabela de verdade nas 1ª, 5ª, 7ª e 8ª linhas
(fazer P ≡ x ∈ A ∧ x ∈ B, Q ≡ x ∉ C, R ≡ x ∉ A ∨ x ∉ C):
P Q R P  Q Q  R P ∧ Q P ∧ R
V V V V V V V
V V F V F V F
V F V F V F V
V F F F V F F
F V V V V F F
F V F V F F F
F F V V V F F
F F F V V F F e assim
A ∩ B \ C  A ∩ B \ A ∩ C.
-16-
(iv) x ∈ A \ B \ C  x ∈ A ∧ ~x ∈ B ∧ ~x ∈ C 
x ∈ A ∧ ~x ∈ B ∧ ~x ∈ C  x ∈ A ∧ ~x ∈ B ∨ x ∈ C  x ∈ A \ B  C
(v) x ∈ A \ B \ C  x ∈ A ∧ ~x ∈ B ∧ ~x ∈ C 
x ∈ A ∧ ~x ∈ B ∨ x ∈ C  x ∈ A ∧ ~x ∈ B ∨ x ∈ A ∧ x ∈ C 
 x ∈ A \ B  A ∩ C.
(vi) x ∈ A \ B ∩ C \ D  x ∈ A ∧ ~x ∈ B ∧ x ∈ C ∧ ~x ∈ D 
x ∈ A ∧ x ∈ C ∧ ~x ∈ B ∧ ~x ∈ D  x ∈ A ∩ C ∧ ~x ∈ B ∨ x ∈ D 
x ∈ A ∩ C \ B  D.
(2) a) Por (1), (ii) tem-se A \ B  A \ A ∩ B. Logo se A ∩ B  , A \ A ∩ B  A \
  A (se Sx é uma relação impossível, então ~Sx é uma relação sempre verdadeira, e
x ∈ A ∧ ~Sx  x ∈ A). Portanto se A ∩ B   tem-se A \ B  A. Reciprocamente, se
A ⊂ A \ A ∩ B então tem-se x ∈ A  x ∈ A ∧ ~x ∈ A ∩ B  V; a tabela de verdade
mostra que, dadas proposições P,Q, se Q pode tomar o valor lógico F, então P  P ∧ Q
não toma sempre o valor lógico V. Portanto tem de se verificar ~c ∈ A ∩ B  V para cada
substituição de x pela consante c, i.e, c ∈ A ∩ B  F e x ∈ A ∩ B deve ser uma relação
impossível, i.e., A ∩ B  .
b) Utilizando (1), (ii) A  B \ B  A \ B. A igualdade referida é portanto a igualdade
de conjuntos A \ B  B  A \ B, que é verdadeira se B  , pois então B  x : Sx,
onde Sx é uma relação impossível, donde se verifica a equivalência x ∈ A \
B ∨ Sx  x ∈ A \ B (se S  F então P ∨ S  P para qualquer proposição P).
Reciprocamente, a inclusão A \ B  B ⊂ A \ B só se verifica se B ⊂ A \ B, porque dadas
proposições P,Q, P ∨ Q  P só assume o valor lógico V quando Q  P toma o valor
lógico V. Então tem de ser x ∈ B  x ∈ A ∧ ~x ∈ B, donde x ∈ B  ~x ∈ B, e por
isso tem de ser sempre c ∈ B  F para cada substituição de x pela constante c, i.e., x ∈ B é
impossível e B  .
c) Dadas proposições P,Q tem-se: P  Q  P ∧ Q  P é uma tautologia, como se
verifica pela tabela de verdade; assim A ⊂ B  A ∩ B  A. Também a proposição
P  Q  P ∨ Q  Q é uma tautologia, donde se conclui que A ⊂ B  A  B  B.
I.1.26 Quantificação
Vimos que dada uma relação numa variável Rx x ∈ E, a substituição de x por
uma constante c em E, transforma a relação Rx na proposição Rc. Sendo A ⊂ E,
podemos considerar as proposições ”para cada x ∈ A, Rx”, significando que todos os
objectos x ∈ A, satisfazem a relação Rx, e ”existe pelo menos um x ∈ A, Rx”,
significando que existe pelo menos um objecto x em A que verifica Rx. A proposição
”para cada x ∈ A, Rx”, ou doutro modo, ”para qualquer x ∈ A, Rx”, ou ainda ”para todo
o x ∈ A, Rx” escreve-se ∀x ∈ A, Rx, ou também ∀x ∈ A Rx. Convém, para clareza,
muitas vezes, colocar Rx entre parêntesis, pondo ∀x ∈ ARx, e pode escrever-se
também Rx ∀x ∈ A, utilizando ou não os parêntesis. A proposição ”existe pelo menos um
x ∈ A, Rx” escreve-se ∃x ∈ A, Rx, com a mesma ressalva para o uso de parêntesis. As
proposições assim obtidas, a partir de uma relação numa variável, dizem-se
proposições quantificadas, e ”∀”, ”∃” são respectivamente os quantificadores universal,
e existencial. Um outro quantificador, é o que afirma a existência de um único elemento
num dado conjunto, verificando a relação. Escreve-se então ∃1 x, Rx se o conjunto em
que x varia está subentendido, ou ∃1 x ∈ A, Rx (∃1 x ∈ ARx).
-17-
I.1.27 Exemplos (1) Dada a relação Rx ≡ x2  2 x ∈ R, podem considerar-se as
proposições quantificadas ∀x  0x2  2  F, ∃x ∈ Rx2  2  V;
∀x ∈ −, 2    2 ,x2  2, verdadeira, ∀x ∈ N2x2  2, verdadeira; assim
como ∃1x ∈ 1,2x2  2  V, ∃1x ∈ Qx2  2  F.
(2) Como vemos no exemplo acima, no primeiro e no terceiro casos, o mesmo
quantificador pode formar uma proposição falsa a partir da mesma relação numa variável,
quantificando a variável num conjunto, mas verdadeira quantificando noutro conjunto.
I.1.28 Exercício Dadas as seguintes relações numa variável, indique quais das
proposições quantificadas são verdadeiras ou falsas:
(1) Rx ≡ 3 x ∈ Q x ∈ R
(i) ∀x, Rx; (ii) ∃x ∈ Z 3 x ∈ Q; (iii) ∀x ∈ −1,0,1 Rx.
(2) Rx ≡∣ x ∣ a  x  a x ∈ R
(i) ∀x  0∣ x ∣ a  x  a (ii) ∃1x, ∣ x ∣ a  x  a (iii) ∀x, Rx
(3) R ≡ 2     0
(i) ∀  0,12  ; (ii) ∀  ∈ 0,1R; (iii) ∃  ∈ −1,1R.
Resolução
(1) (i) ∀x ∈ R 3 x ∈ Q  F, pois por exemplo 2 ∈ R, 3 2 ∉ Q.
(ii) V (considere-se x  8) (iii) V
(2)
(i) V; (ii) F; (iii) F
(3)
(i) V; (ii) F; (iii) V
I.1.29 Exercício Sendo 0    1 fixo, indique quais das proposições seguintes são
verdadeiras, ou falsas:
a) ∃ n ∈ N0  1n  ; b) ∀ n ∈ N 1n  ; c)  nn1 ∀n ∈ N.
Resolução
a) V; b) F; c) F.
-18-
I.1.30 Observações (1) Quando se consideram proposições compostas por diversas
proposições quantificadas, a indicação, que deve constar em cada uma destas proposições
quantificadas, da variável que se quantifica e do respectivo conjunto, permite ler a
proposição obtida considerando de cada vez em cada uma, os símbolos relativos a variáveis
que não as quantificadas em cada proposição, como constantes. Em Análise real, segundo a
definição do limite u de uma sucessão un, recorde-se que u  limun s e só se é verdadeira
a proposição quantificada ∀   0∃ p ∈ Nn ≥ p ∣ un −u ∣ .
(2) Em expressões envolvendo mais que uma proposição quantificada, a ordem pela
qual são feitas as quantificações respeitantes é importante. Por exemplo considerando a
proposição quantificada acima, a proposição ∃ p ∈ N∀   0n ≥ p ∣ un − u ∣ 
significa que un é constante e igual a u a partir de uma ordem p; esta proposição é falsa se
considerarmos u ≠ 0, un  nun2 , mas lim nun2  u segundo a definição.
I.1.31 Exercícios (1) Indique quais das seguintes proposições são verdadeiras ou
falsas:
(i) ∀ a ∈ 0,1∃   0Ia, ⊂ 0,1, onde Ia,  a − ,a  ;
(ii) ∀ a ∈ 0,1∃   0Ia, ⊂ 0,1;
(iii) ∃ a ∈ 0,2 ∩ 0,1∀   0Ia, ⊂ 0,2 ∩ 0,1;
(iv) ∃ a ∈ 0,1∀   0Ia, ⊂ 0,1;
(v) ∃   0∀a ∈ 0,1Ia, ⊂ 0,1;
(vi) ∀x ∈ R∀   0∃ n ∈ N 1n ∣ x ∣  ;
(vii) ∀x ∈ R∃ n ∈ N∀   0 1n ∣ x ∣  ;
(viii) ∀ n ∈ N nn1  1  n1n ;
(ix) ∀ a ∈ Ra  1n ∀ n ∈ N  a ≤ 0;
(x) ∀x ∈ N∀   0∃ y ∈ R∣ x − y ∣  
 ∀x ∈ N∀  1∃ b ∈ R 1 ∣ xb ∣ 
(2) Indique, justificando, quais das seguintes proposições são ou não verdadeiras:
a) ∃ a ∈ Z∀ m ∈ Za  m  0;
b) ∀ m ∈ Z∃ a ∈ Za  m  0;
c) ∃  ∈ Q∀ q ∈ Qq  q  q.
Resolução
(1)
(i) F (a  1;
(ii) V;
(iii) F;
(iv) F;
(v) F ;
(vi) V;
(vii) F;
(viii) V;
(ix) V;
(x) V (ambas as proposições são verdadeiras).
-19-
(2) a) F. (O elemento m que satisfaz a  m  0, para cada a ∈ Z considerado, é
único, m  −a).
b) V.
c) V (  1).
I.1.32 Propriedade Seja Rx x ∈ X uma relação numa variável. Pelo significado da
proposição ∀x,Rx, ”para todo o x, verifica-se Rx”, a sua negação é a proposição ”existe
pelo menos um x que não verifica Rx”. Obtem-se assim a propriedade da negação do
quantificador universal, ~∀x,Rx  ∃x, ~Rx. A negação de ”existe pelo menos um x
tal que Rx” é ”para todo o x, ~Rx”, i.e., ~∃x,Rx  ∀x, ~Rx.
Para a negação de uma implicação ∀x,Px  Qx, atendendo a que
Px  Qx  ~Px ∨ Qx, e portanto
~Px  Qx  ~~Px ∨ Qx  ~~Px ∧ ~Qx  Px ∧ ~Qx, obtem-se
~∀x,Px  Qx  ∃x,Px ∧ ~Qx. Analogamente,
~∃x,Px  Qx  ∀x,Px ∧ ~Qx.
I.1.33 Exemplos (1) A negação de ∃x ∈ R,x2  −1 é ∀x ∈ R,x2 ≠ −1.
(2) Se xn é uma sucessão real, a ∈ R, a negação de limxn  a é
~∀  0,∃p ∈ N, ∀n ∈ N,n ≥ p ∣ xn − a ∣ , portanto é a proposição
∃  0,~∃p ∈ N, ∀n ∈ N,n ≥ p ∣ xn − a ∣  
∃  0,∀p ∈ N,∃n ∈ N,n ≥ p ∧∣ xn − a ∣≥ .
I.1.34 Exercícios (1) Negue as proposições quantificadas:
(i) ∀m ∈ Z,m2  m;
(ii) ∃q ∈ Q,q2  2;
(iii) ∀x ∈ R,∀y ∈ R,x2  y2  x  y.
(2) Explicite em linguagem lógica que a sucessão real un não é um infinitamente
grande positivo.
(3) Sendo f uma função real da variável real, exprima logicamente que não se verifica
limx→0 fx  1.
Resoluções
(1)
(i) ∃m ∈ Z,m2 ≤ m;
(ii) ∀q ∈ Q,q2 ≠ 2;
(iii) ∃x ∈ R, ∃y ∈ R,x2  y2 ∧ x ≤ y.
(2)
A negação de ∀  0,∃p ∈ N ∀n ∈,n ≥ p  un  1  é
∃  0,∀p ∈ N ∃n ∈ N,n ≥ p ∧ un ≤ 1 .
(3) Trata-se de negar a proposição
∀  0,∃  0 ∀x ∈ R, ∣ x ∣  ∣ fx − 1 ∣ . Obtem-se
∃  0,∀  0 ∃x ∈ R,∣ x ∣  ∧∣ fx − 1 ∣≥ .
-20-
I.1.35 Definição Se C  X :  ∈ A é uma classe não vazia de conjuntos, indiciada
num conjunto de índices A, dizemos que C é uma família de conjuntos. A reunião
generalizada (resp. intersecção generalizada) da classe é o conjunto
C  X :  ∈ A  x : ∃ ∈ A,x ∈ X (resp.C 
 X :  ∈ A  x : ∀ ∈ A,x ∈ X). Se todos os conjuntos X são subconjuntos
de um mesmo conjunto X, A  , põe-seX :  ∈ A   eX :  ∈ A  X.
I.1.36 Observações (1) Admitimos o Axioma da reuniâo: Para qualquer classe de
conjuntos C, existe sempre o conjutoC.
(2) Pelas definições tem-seX :  ∈ A ⊂ X ⊂ X :  ∈ A para cada
 ∈ A. (2) Se X :  ∈ A é tal que cada X verifica A ⊂ X ⊂ B então tem-se
A ⊂ X :  ∈ A eX :  ∈ A ⊂ B
I.1.37 Exercício Determine as intersecções e reuniões generalizadas:
(i)−n, 1 : n ∈ N (ii)0,1 − 1n  : n ∈ N;
(iii)−q.q : q ∈ Q (iv)−q,q : q ∈ Q (v)− 1n , 1n  : n ∈ N
(vi)1 − 1n , 1  1n  : n ∈ N.
I.1.38 Resolução (i) x ∈ R : ∃n ∈ N,−n  x ≤ 1  −, 1;
(ii) x ∈ R : ∃n ∈ N, 0 ≤ x ≤ 1 − 1n   0,1; (iii) R; (iv) 0;
(v) x ∈ R : ∀n ∈ N,− 1n  x  1n   0;
1 − 1n  x  1  1n ,∀n ∈ N  x  1,1 − 1n , 1  1n  : n ∈ N  1.
I.1.39 Definição Se X,Y são conjuntos não vazios, diz-se que uma parte não vazia
 ⊂ X  Y do conjunto produto cartesiano X  Y, é uma relação de X para Y. Se x,y ∈ ,
nota-se também xy. Por exemplo, com X  N, Y  Q,   n, 1n  : n ∈ N é uma
relação de N para Q. Tem-se 11, 2 12 , 23 123 , etc. Se A é um conjunto, representamos
PA  W : W ⊂ A o conjunto das partes de A. Sendo X ≠ ,Y ≠ ,   X  Y é uma
relação de X para Y tal que ∀x ∈ X,∀y ∈ Y,xy;   PX  PY é uma relação de PX
para PY tal que ∀A ⊂ X∀B ⊂ Y, AB.
I.1.40 Exercício Indique qual das seguintes afirmações é verdadeira:
(i) x,yV sse x,y ∈ V é uma relação de V2 para PV;
(ii) x,yV sse x,y ∈ V é uma relação de V  V para V.
Resolução
(i) é verdadeira, pois cada par ordenado x,y ∈ V2 verifica x,yV sse x,y,V é
um par ordenado tal que x,y ∈ V, onde V ∈ PV. (ii) é falsa.
-21
I.2 RELAÇÕES BINÁRIAS E FUNÇÕES
I.2.1 Definição Se X  Y ≠  uma relação d e X para Y diz-se uma relação binária em
X; assim uma relação binária em X é uma parte não vazia do produto cartesiano X2.
Por exemplo x0y sse ∃ m ∈ Ny  xm uma relação binária em R tal que
1,1 ∈ 0, 1,2 ∉ 0, 2,4, 2,8, 2,16 ∈ 0. Também a1b sse b  2a é a relação
binária em N, 1  1,2, 2,4, 3,6, . . ..
I.2.2 Definição (1) Se a relação f de X para Y verifica a propriedade de cada elemento
de X estar na relação  com exactamente um elemento de Y, i.e., se
x,y ∈ f ∧ x,y ′ ∈ f  y ′  y, dizemos que f é uma função de X em Y ou uma aplicação
de X em Y; nota-se y  fx sse x,y ∈ f. Em I.2.1, 0 não é função, 1 é uma função de N
em N. O conjunto das funções de X em Y nota-se YX.
(2) Se X é um conjunto não vazio, uma sucessão em X é uma função u : N → X,
habitualmente designada pondo u  un, un : n  un. O conjunto das sucessões em X é
portanto o conjunto XN.
I.2.3 Se f é uma função de X em Y, nota-se f : X → Y, x  fx  y sempre que
x,y ∈ f. Se X é um conjunto,  ≠ A ⊂ X, e f ⊂ A  Y é uma função, deve notar-se
f : A ⊂ X → Y.
O conjunto A  x ∈ X : ∃ fx  x ∈ X : ∃ y, x,y ∈ f é o domínio da função f,
e representa-se por dom f. O conjunto y ∈ Y : ∃ x ∈ dom f, x,y ∈ f é chamado o
conjunto imagem de f, codomínio ou contradomínio ou conjunto imagem de f, e
representa-se por Imf ou fX..
I.2.4. Exemplo Para a função fx  1senx deve pôr-se
f : R \ k : k ∈ Z ⊂ R → R. O domínio de 1senx é A  R \ k : k ∈ Z e o
codomínio é fA  R \ −1,1.
I.2.5 Definição Se f : X → Y é uma função,  ≠ A ⊂ X, então x, fx : x ∈ A é
uma função de A em Y, que se chama a função restrição de f a A. A função restrição de f a
A representa-se por f
∣ A.
-22-
I.2.6 Definição A função f : X → Y diz-se injectiva se
∀x,x ′ ∈ Xfx  fx ′  x  x ′; sendo ≠ A ⊂ X, f é injectiva em A sse a função
restrição de f a A é injectiva. Também se diz então que f é uma injecção de A em Y. f
diz-se que é sobrejectiva, ou que é uma sobrejecção de X em Y, sse fX  Y, i.e., sse todo
o elemento de Y é imagem de um elemento de X. Para significar que f é uma função
sobrejectiva de X em Y, diz-se também que f é uma função de X sobre Y. Se f : X → Y é
injectiva, então fx,x : x ∈ X é uma função de fX em X, chamada a
função inversa da função f, e que se represnta por f−1; dizemos então que f
admite uma inversa e, se f é injectiva e sobrejectiva dizemos que f é invertível com inversa
f−1. A função f−1 inversa de f : X → Y é a função f−1 : Y → X definida por
f−1  y,x : fx  y,x ∈ X,y ∈ Y  fx,x : x ∈ X, f−1y  x sse fx  y. Se f é
injectiva e sobrejectiva, diz-se que f é bijectiva, ou que é uma bijecção.
I.2.7 Exemplos (1) Se  ≠ A ⊂ X, a aplicação I : A → X, Ix  x diz-se a aplicação
de inclusão; I é injectiva. A aplicação IA : A → A, IAx  x, que se chama a identidade de
A, é uma bijecção.
(2) Dado um produto cartesiano de conjuntosk1m Xk, cada aplicação
prk : k1m Xk → Xk, prkx1, . . . ,xm  xk k  1, . . . ,m diz-se a projecção de índice k. prk
é sobrejectiva, não é injectiva em geral.
I.2.8 Exercício Determine subconjuntos A,B de R \ 0,1 e de Q respectivamente, tais
que a função restrição da função f : R \ 0,1 → Q, fx  1Ix2 , onde Ix ”maior
inteiro m ≤ x” é a função característica de x, a A,
(i) admita uma inversa;
(ii) seja invertível de A em B.
Resolução
(i) A  N;
(ii) A  N, B   1
n2
: n ∈ N.
I.2.9 Exercício a) Esboce no plano cartesiano R2 as relações binárias
(i) M  x,y ∈ R2 : max∣ x ∣,∣ y ∣ ≤ 1;
(ii) e  x,y ∈ R2 : x2  y2 ≤ 1;
(iii) S  x,y ∈ R2 :∣ x ∣  ∣ y ∣≤ 1;
(iv) M  x,y ∈ R2 : max∣ x ∣,∣ y ∣  1;
(v) e  x,y ∈ R2 : x2  y2  1;
(vi) S  x,y ∈ R2 :∣ x ∣  ∣ y ∣ 1.
(vii) f  x,x2 : x ∈ R. (Sug: para (i), (iv), considere as rectas y  x  1).
b) Indique, justificando, quais das relações binárias anteriores são, ou não, funções.
c) Mostre que M  −1,12.
-23-
Resoluções
b) Apenas f em (vii) é uma função, pois em cada uma das outras alíneas, tem-se por
exemplo 0,−1, 0,1 ∈ , designando por  a respectiva relação binária.
c) Tem-se ∣ a ∣≤ 1  a ∈ −1,1 a ∈ R, e assim
x,y ∈ M  max∣ x ∣,∣ y ∣ ≤ 1  x,y ∈ −1,12.
I.2.10 Observação Considerando uma relação numa variável Rx x ∈ A, pode
suceder que a cada x ∈ A tal que Rx  V corresponda um único elemento bem
determinado y. Pode então considerar-se a relação em duas variáveis Rx,y definida por
Rx,y  V sse y verifica Rx, e não é inteiramente óbvio que exista um conjunto não
vazio B tal que Rx,y seja uma relação de A para B; se B existe, então R ⊂ A  B, R é uma
relação de A para B e é uma função f : A → B. Aceitamos o seguinte axioma, que assegura
que existe B.
Axioma da substituição
Sejam A um conjunto e Rx,y uma relação em duas variáveis. Se para cada x ∈ A,
existe um único y que verifica Rx,y, existe uma função f de domínio A tal que y  fx é
equivalente a x ∈ A ∧ Rx,y.
I.2.11 Definição Dadas funções f : X → Y,g : Y → Z, diz-se função composta de
g com f, ou composição de g com f, ou ainda função g após f, e representa-se por gof, a
função gof : X → Z definida por gofx  z sse fx  y e gy  z, ou seja,
gof  x, z ∈ X  Z : ∃y ∈ Y, x,y ∈ f ∧ y, z ∈ g. Nota-se gofx  gfx x ∈ X.
Se h : Z → W é outra função, define-se analogamente hogof : X → W que se representa
por hogof, hogofx  hgfx x ∈ X e o mesmo para a composição de funções em
qualquer número finito.
I.2.12. Observação Se f : X → Y,g : Imf → Z são funções injectivas, então a
função gof : X → Img é bijectiva, e tem-se gof−1  f−1og−1. Com efeito, para cada
z ∈ Img, f−1g−1z  f−1y  x sse gy  z, fx  y sse gofx  z, e dom
f−1og−1  dom gof−1.
I.2.13 Exemplo Para cada função f : X → Y tem-se foIXx  fIXx  fx x ∈ X
e assim foIX  f. Também IYfx  fx x ∈ X donde IYof  f.
I.2.14 Exercícios (1) Prove que: a) Se f : X → Y é bijectiva, então f−1of  IX e
fof−1  IY.
b) Se f : X → Y,g : Y → X são tais que gof  IX e fog  IY, então existe f−1  g.
(2) Se dadas f : X → Y,g : Y → X se verifica gof  IX então g é sobrejectiva e f é
injectiva.
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Resoluções
(1) a) Para cada x ∈ X é f−1fx  x0 se fx0  fx por definição de f−1 e então
x0  x ( f é injectiva) e f−1fx  x  IXx. Coincidindo f−1of com IX em cada ponto
x ∈ X, e tendo as duas funções o mesmo domínio, concluimos que f−1of  IX. Qualquer
que seja y ∈ Y, tem-se fof−1y  fx sse f−1y  x sse fx  y. Assim
fof−1y  y  IYy para cada y ∈ Y, e tendo ambas fof−1, IY domínio Y e coincidindo em
cada ponto, conclui-se que fof−1  IY.
b) Mostremos que f é injectiva e sobrejectiva. Se fa  fb,a,b ∈ X então pela
hipótese gfa  gofa  IX a  a e gfb  gofb  IX b  b donde a  b e f
é injectiva. Para cada y ∈ Y, tem-se também pela hipótese fgy  fogy  y, donde o
elemento x  gy ∈ X tem imagem fx  y por f e f é sobrejectiva. Tem-se: para cada
y ∈ Y, gy  x  fx  fogy  IYy  y e fx  y  gy  gofx  x. Portanto
gy  x sse fx  y, e como domg  Y concluimos que g  f−1.
(2) Para cada x ∈ X, tem-se gfx  gofx  IXx  x; pondo fx  y, existe
portanto y ∈ Y tal que gy  x, o que mostra que g é sobrejectiva.
f é ínjectiva, pois para cada a,b ∈ X, fa  fb  a  gfa  gfb  b.
I.2.15 Definição Se u  un é uma sucessão em X e  : N → N, k  k  nk é uma
função tal que k  k ′  nk  nk′ (estritamente crescente), diz-se que a sucessão vk obtida
pela composição vk  uo : N → N é uma subsucessão de un. Designa-se
habitualmente vk  unk.
I.2.16 Exemplos (1) 1/2k − 1 é a subsucessão da sucessão 1/n que corresponde à
função estritamente crescente k  2k − 1. (Subsucessão 1/3,1/5,1/7. . . dos termos de
ordem ímpar) (2) As sucessões 1/3,1/3,1/5,1/7, . . . e 1/3,1/7,1/5,1/9,1/13,1/11, . . . não são
subsucessões de 1/n.
I.2.17 Observação Pela definição em I.1.15, se X1, . . . ,Xm m ∈ N são conjuntos não
vazios, e representarmos uma função f : Sm  1, . . . ,m → X  Xk : k  1, . . . ,m
pondo f  f1, . . . , fm, entãok1m Xk é o conjunto destas m −sequências, e pode
identificar-se com o conjunto das funções f ∈ X1,...,mtais que fk ∈ Xk para cada
k  1, . . . ,m ( fk corresponde à coordenada−k da m −sequência).
-25-
I.3 AXIOMA DE ZERMELO E PRODUTO CARTESIANO INFINITO
OPERAÇÃO DE HILBERT
I.3.1 Definição Sendo X :  ∈ A uma classe não vazia de conjuntos não vazios, o
produto cartesiano da classe é, designando X  ∈A X, o conjunto das funções f ∈ XA
tais que f ∈ X para cada   ∈ A. Representamos este conjunto por  ∈A X;
cada f ∈  pode representar-se por f  x, onde x  f  ∈ A. Se A  N,
notamos  k1 Xk, f  xk k  1,2, . . .  para cada f ∈ k1 Xk. Os x  ∈ A são
as coordenadas de x. Para cada  ∈ A, a função p :  → X, px  x que faz
corresponder a x a coordenada− de x diz-se a projecção de índice . X é, para cada
índice  ∈ A, o conjunto das coordenadas−.
I.3.2 Observação Se em I.3.1 o conjunto de índices A é uma classe não vazia de
conjuntos não vaziosM e, para cada M ∈ M, o conjunto das coordenadas-M éM, então
M∈MM é, pela definição, o conjunto das funções x : M →M : M ∈ M tais que
xM  xM ∈ M para cada conjuntoM ∈ M. Estas funções são chamadas as funções de
escolha paraM, e não é inteiramente óbvio que exista, pelo menos uma tal função de
escolha. Aceitamos o seguinte axioma da Teoria de Conjuntos, que é equivalente a ser
M∈MM ≠ .
I.3.3 Axioma da Escolha de Zermelo. Se C é uma classe não vazia constituída por
conjuntosnão vazios, existe uma função  : C → C : C ∈ C tal que C ∈ C para
cada conjunto C ∈ C. A função  chama-se o selector de Zermelo; escolhe em cada
conjunto C da classe C um elemento C do qual se sabe apenas que C ∈ C.
I.3.4 Símbolo de escolha de Hilbert. Dada uma relação numa variável Rx tal que
∃x,Rx é verdadeira, pode fixar-se uma vez por todas um dos objectos que verificam Rx,
e se designa por xRx. A operação de Hibert, que consiste em obter xRx para cada
relação Rx tal que ∃x,Rx é verdadeira, dá um processo de obter uma constante a partir
de uma relação não impossível numa variável. Aceitando-a, como fazemos, fica implícito
que aceitamos também o Axioma de Zermelo, como se prova em Lógica Matemática.
-26-
I.4 FUNÇÕES ASSOCIADAS DE CONJUNTOS DE UMA FUNÇÃO
I.4.1 Definição Se f : X → Y é uma função, podemos considerar as funções
f : PX → PY, definida por fA  fx : x ∈ A A ⊂ X, e
f−B  x ∈ X : fx ∈ B, f− : PY → PX, associadas a f. f diz-se a
função associada de conjuntos directa de f, e a função f− chama-se a
função associada de conjuntos inversa de f. Põe-se f  , f−  .
I.4.2 Observação A função associada de conjuntos inversa de f existe sempre, ainda
que f não admita uma inversa. Sempre que não haja risco de confusão, representamos
fA  fA, f  f e f−B  f−1B, f−  f−1.
I.4.3 Exemplos (1) A função f : −1,1 ⊂ R → R, fx  11−∣x∣ não é injectiva, é
sobrejectiva. Tem-se f0  1; f−1,1,2   12 , 13 ; f 13 , 12    32 , 2.
(2) Para a função característica Ix tem-se I−1,1  0,1; IR  Z. Esta
função I : R → R não é injectiva nem sobrejectiva.
(3) Sendo f : Q → R, fs  s2 verifica-se fQ ⊂ Q, fZ ⊂ N0. Verifica-se
também que fZ \ 0 ⊂ N, f−1,1  0,1.
(4) Sendo Xi : i ∈ I uma classe de conjuntos, subconjuntos de um conjunto
universo X, Yj : j ∈ J uma classe de subconjuntos de Y, e f : X → Y uma função, tem-se:
y ∈ f∩Xi : i ∈ I  ∃x ∈ ∩Xi : i ∈ I,y  fx 
∀i ∈ I∃x ∈ Xiy  fx  ∀i ∈ Iy ∈ fXi  y ∈ ∩fXi : i ∈ I. Portanto
f∩Xi : i ∈ I ⊂ ∩fXi : i ∈ I. Notar que a inclusão recíproca não é verdadeira,.i.e.
pode suceder ∩ fXi : i ∈ I ⊈ f∩Xi : i ∈ I, como mostra o contra-exemplo
f0  0, fx  sin 1x x ≠ 0: tem-se f−1,0 ∩ 0,1  0,
f−1,0 ∩ f0,1  −1,1.
No entanto, para a função associada de conjuntos inversa, tem-se
x ∈ f−1∩Yj : j ∈ J  ∃y ∈ ∩Yj : j ∈ J, fx  y 
∃y ∈ Y∀j ∈ Jy ∈ Yj ∧ fx  y  ∀j ∈ J,x ∈ f−1Yj  x ∈ ∩f−1Yj : j ∈ J, e
assim f−1∩Yj : j ∈ J  ∩f−1Yj : j ∈ J.
I.4.4 Exercícios (1) Com f : R → R, fx  x4, determine: a) (i) f1; (ii)
f−1,1; (iii) f−1,1; (iv) fR; (v) fR \ 0, 12  (vi) f0,. b) (i) f−10; (ii)
f−1−1; (iii) f−1Q   2 ; (iv) f−10,; (v) f−11, (vi) f−1−2,.
(2) Mostre que nas hipóteses de I.4.3 (4), tem-se:
a) fXi : i ∈ I  fXi : i ∈ I;
b) f−1Yj : j ∈ J  f−1Yj : j ∈ J.
(3) Mostre que se f : X → Y é uma função, então f é injectiva de e só se
∀A,B ⊂ X, fA ∩ B  fA ∩ fB.
(4) Prove que se f : X → Y é uma função, A ⊂ B ⊂ X, A ′ ⊂ B ′ ⊂ Y, então tem-se
fA ⊂ fB e f−1.A ′ ⊂ f−1B ′.
(5) Seja f : X → Y uma função. Mostre que:
a) se f é injectiva, a função associada de conjuntos directa de f é injectiva;
b) se f é sobrejectiva, então a função associada de conjuntos directa é sobrejectiva.
-27-
(6) Prove que sendo f : X → Y uma função, A ⊂ X, B ⊂ Y, tem-se:
a) A ⊂ f−1fA;
b) se f é injectiva, então f−1fA ⊂ A;
c) f é injectiva se e só se ∀A ⊂ X, f−1fA  A.
d) B ⊃ ff−1B e, se f é sobrejectiva, então B ⊂ ff−1B
(7) Mostre que se f : X → Y é uma função, A,B ⊂ X,
a) fB \ fA ⊂ fB \ A;
b) se f é sobrejectiva, então  fAc ⊂ fAc;
c) se f é injectiva, então fB \ A ⊂ fB \ fA e fAc ⊂ fAc;
d) a função f é bijectiva se e só se ∀A ⊂ X, fAc  fAc.
Resoluções
(1) Com f : R → R, fx  x4 tem-se: a) (i) f1  f1  1; (ii)
f−1,1  fx : x ∈ −1,1  1; (iii)
f−1,1  fx : −1 ≤ x ≤ 1  x4 : −1 ≤ x ≤ 1  0,1; (iv)
fR  x4 : x ∈ R  0,; (v) fR \ 0, 12   x4 : x ≤ 0 ∨ x  12   0,; (vi)
f0,  x4 : x  0  0,.
b) (i) f−10  x ∈ R : x4  0  0; (ii)
f−1−1  x ∈ R : x4  −1  ; (iii) f−1Q   2  
x ∈ R : x4 ∈ Q ∨ x4  2   x ∈ R : x4 ∈ Q; (iv) f−10, 
x ∈ R : x4 ≥ 0  R (v) f−11,  x ∈ R : x4  1  1,; (vi)
f−1−2,  x ∈ R : x4  −2  R.
(2) a) y ∈ fXi : i ∈ I  ∃x ∈ Xi : i ∈ I, fx  y  ∃i ∈ I, x ∈ Xi,
fx  y  ∃i ∈ I,y ∈ fXi  y ∈ fXi : i ∈ I.
b) x ∈ f−1Yj : j ∈ J  fx ∈ Yj : j ∈ J  ∃j ∈ J, fx ∈ Yj
 x ∈ f−1Yj : j ∈ J.
(3) Supondo f injectiva, consideremos y ∈ fA ∩ fB. Pela definição, tem-se então
y  fa,a ∈ A ∧ y  fb,b ∈ B; então fa  fb, o que implica a  b ∈ A ∩ B e
portanto y ∈ fA ∩ B e tem-se assim fA ∩ fB ⊂ fA ∩ B. Como é sempre
fA ∩ B ⊂ fA ∩ fB por I.4.3 (4), cocluimos que se f é injectiva então
fA ∩ B  fA ∩ fB. Reciprocamente, assumindo esta igualdade para todos os A,B ⊂ X
temos: para cada a,b ∈ X, se fa  fb então fa  fa ∩ fb  fa ∩ b
donde a  b e f é injectiva.
(4) A ⊂ B  ∀x,x ∈ A  x ∈ B  ∀y,y ∈ fA  ∃x ∈ A,y  fx 
∃x,x ∈ B,y  fx  ∀y,y ∈ fA  y ∈ fB  fA ⊂ fB. Também se A ′ ⊂ B ′
então ∀x,x ∈ f−1A ′  fx ∈ A ′  fx ∈ B ′  ∀x,x ∈ f−1A ′ 
x ∈ f−1B ′  f−1A ′ ⊂ f−1B ′.
(5) a) Mostremos que se f é injectiva e fA ⊂ fB então A ⊂ B, donde se conclui o
resultado. Supondo que para todo o a ∈ A se verifica fa ∈ fB, i.e., existe b ∈ B tal que
fa  fb, concluimos a  b e assim a ∈ B e portanto A ⊂ B.
b) Sendo B ⊂ Y temos: se B  , então B  f, ∈ PX; se B ≠ , e f é
sobrejectiva, então para cada b ∈ B existe pelo menos um a ∈ X tal que
fa  b,a ∈ f−1b ⊂ f−1B. Portanto o conjunto A  b∈B f−1b ⊂ X satisfaz a
condição de, para cada b ∈ B, existir pelo menos um a ∈ A com fa  b ou seja,
B ⊂ fA; como obviamente fA ⊂ B conclui-se fA  B e f : PX → PY é
sobrejectiva.
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(6) a) pois x ∈ A  fx ∈ fA;
b) suponhamos f injectiva; se então x ∈ f−1fA tem-se fx ∈ fA pela definição e,
de novo pela definição, fx  fa,a ∈ A. Concluimos x  a ∈ A e portanto
f−1fA ⊂ A.
c) Das alíneas a), b) concluimos que se f é injectiva, então para cada A ⊂ X,
A  f−1fA. Reciprocamente, se esta inclusão é verdadeira, consideremos a,b ∈ X tais
que fa  fb; então a,b  f−1fa,b  f−1fa, fb  f−1fa  a o
que implica a  b e f é injectiva.
d) Pelas definições, y ∈ ff−1B sse y  fx para algum x ∈ f−1B i.e., tal que
fx ∈ B, o que mostra que então y ∈ B; portanto B ⊃ ff−1B. Supondo que f é
sobrejectiva, seja b ∈ B. Existe pelo menos um x ∈ X verificando fx  b, o que implica
x ∈ f−1b ⊂ f1B (pela (4)), e então b  fx ∈ ff−1B o que mostra que
B ⊂ ff−1B.
(7) a) Seja y ∈ fB \ fA. Então ∃b ∈ B,y  fb ∧ ∀a ∈ A,y ≠ fa o que
implica ∃b ∈ B \ A,y  fb e portanto y ∈ fB \ A e fB \ fA ⊂ fB \ A;
b) por a), fAc  Y \ fA  fX \ fA ⊂ fX \ A  fAc;
c) y ∈ fB \ A  ∃x ∈ B \ A, fx  y  ∃x ∈ B \ A, fx  y ∧ y ∉ fA  y ∈ fB
\ fA pois sendo f injectiva, y não é imagem de nenhum outro elemento, a não ser x ∈ B;
não pode ser y  fa,a ∈ A porque isto implicaria a  b ∉ A o que é impossível.
Concluimos assim a inclusão. Fazendo B  X obtemos fAc  fX \ A ⊂ fX \ fA ⊂ Y \
fA  fAc;
d) Pelas alíneas anteriores concluimos que se f é bijectiva então fAc  fAc.
Reciprocamente, se esta igualdade se verifica, então fX  fc  fc  c  Y e f é
sobrejectiva. Também f é injectiva, pois se b ≠ a então b ∈ ac e
fb ∈ fac  fac,o que mostra que fb ≠ fa.
I.4.5 Observação Dadas funções f : X → Y,g : Y → Z encontra-se, para C ⊂ Z:
gof−1C  x ∈ X : gfx ∈ C  x ∈ B : fx ∈ g−1C  f−1g−1C, em
analogia com I.2.12. Se f e g são bijectivas, então I.4.4 (5) e I.2.14 (1) b) mostram que a
função associada de conjuntos directa de f (de g) tem por inversa a função associada de
conjuntos inversa de f (de g) e para cada C ⊂ Z, gof−1C  f−1og−1C.
I.4.6 Se f : X → Y é uma função, y ∈ Y, o conjunto f−1y chama-se a fibra
de f em y; a fibra de f em y é não vazia se e só se y ∈ Imf, onde Imf é o contradomínio
ou conjunto imagem de f.
-29-
I.5 RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA E RELAÇÕES DE ORDEM
I.5.1 Definição Uma relação binária  em X diz-se uma relação de equivalência em X
se verifica as propriedades:
reflexiva: ∀x ∈ X,xx;
simétrica: ∀x,y ∈ X,xy  yx;
transitiva: ∀x,y, z ∈ X,xy ∧ yz  xz.
I.5.2 Exemplos (1) Se X é um conjunto não vazio, a relação  definida por xy sse
"x,y ∈ X e x  y" (relação de igualdade em X) é uma relação de equivalência em X.
(2) Com  ≠ A ⊂ X, a relação  definida por xy sse "x ∈ A ∧ y ∈ A" é uma relação
de equivalência em A, mas não é uma relação de equivalência em X se A ≠ X.
(3) Dada uma função f : X → Y, a relação binária f em X definida por xf y sse
"x,y ∈ X e fx  fy" é uma relação de equivalência em X, chamada a relação de
equivalência associada à função f.
I.5.3 Definições Seja  uma relação de equivalência em X. Para cada x ∈ X, o
conjunto Cx  y ∈ X : xy chama-se a classe de equivalência de x. O conjunto das
classes de equivalência Cx x ∈ X diz-se o conjunto cociente de X segundo , e
representa-se por X / . Assim X /   Cx : x ∈ X ⊂ PX.
A aplicação  : X → X / ,  : x  Cx que faz corresponder a cada x ∈ X a
respectiva classe de equivalência chama-se a aplicação canónica de X sobre X / _Esta
aplicação é obviamente sobrejectiva_.
I.5.4 Exemplo Para a relação de igualdade no conjunto não vazio A, a classe de
equivalência de a ∈ A é Ca  a, e o conjunto cociente é a : a ∈ A; a aplicação
canónica associa a cada elemento, o ”singleton” por ele constituído, a  a.
I.5.5 Exercício Determine o conjunto cociente e a aplicação canónica, nos exemplos
I.5.2 (2), (3).
I.5.6 Resolução
(2) Com xy sse "x ∈ A ∧ y ∈ A" x,y ∈ A tem-se
Cx  y ∈ A : x ∈ A ∧ y ∈ A  A; assim  : A → A / , x  Cx  A. A aplicação
canónica é constante, e A /   A.
(3) Sendo xf y sse "x,y ∈ X e fx  fy" tem-se: Cx  f−1fx é a fibra de f em
fx. X / f  f−1fx : x ∈ X e x  f−1fx.
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I.5.7 Teorema Sejam X um conjunto e  uma relação de equivalência em X. Então:
(a) Cada elemento x ∈ X pertence à sua classe de equivalência Cx;
(b) dois elementos x,y ∈ X são equivalentes para  se e só se têm a mesma classe de
equivalência, i.e., para cada x,y ∈ X, tem-se xy sse Cx  Cy;
(c) o conjunto cociente X /  é uma partição de X.
Dem. (a) É consequência de xx para cada x ∈ X;
(b) supondo xy, seja a ∈ Cx; então xa e, como xy, tem-se também yx, pela
simetria. Da propriedade transitiva conclui-se ya, donde ay e a ∈ Cy. Isto mostra que
Cx ⊂ Cy e portanto Cx  Cy. Reciprocamente, se Cx  Cy, então pela (a) tem-se x ∈ Cy
donde xy pela definição de Cy;
(c) Pela alínea (a), tem-se x ∈ Cx,∀x ∈ X. Portanto X  x∈X Cx. Para mostrar que X
/  é uma partição de X, basta provar que se Cx ≠ Cy então Cx ∩ Cy  ; efectivamente, se
existe a ∈ Cx ∩ Cy concluimos que Cx  Cy do modo seguinte: a hipótese a ∈ Cx,a ∈ Cy
implica ax e ay. Então pela simetria e transitividade de , tem-se ax e ya donde yx.
De (b) concluimos Cx  Cy, provando (c). C.Q.D.
1.5.8 Observação Pela propriedade (c) no teorema, duas classes de equivalência ou
são disjuntas, ou coincidem. Dada uma relação de equivalência  num conjunto X, o
conjunto cociente X /  dá uma partição do conjunto X. Reciprocamente, cada partição
X :  ∈ A de um conjunto não vazio X permite definir uma relação binária  em X, que
é uma relação de equivalência, pondo xy sse "∃ ∈ A,x,y ∈ X" . Esta relação binária é
obviamente reflexiva, simétrica e transitiva. A aplicação canónica é x  X sse x ∈ X;
o conjunto cociente é exactamente a partição X :  ∈ A.
I.5.9 Exemplo A relação binária em N definida por xy sse "x,y são da mesma
paridade" é uma relação de equivalência em N, que pode ser definida pela partição
2N − 1,2N do conjunto dos números naturais, onde 2N  2x : x ∈ N é o conjunto dos
números pares e 2N − 1  2x − 1 : x ∈ N é o conjunto dos números ímpares.
I.5.10 Exercício Com  ≠ A ⊂ X, explicite a relação de equivalência  em X cujo
cociente X /  é a partição A,Ac de X e indique a aplicação canónica.
I.5.11 Resolução
xy sse "x,y ∈ X e x,y ∈ A ∨ x,y ∈ Ac" x  A se x ∈ A,x  Ac se x ∉ A.
I.5.12 Definição Sejam  uma relação de equivalência em X e f : X → Y uma função.
Diz-se que f é compatível com  se ∀x,y ∈ X,xy  fx  fy.
-31-
I.5.13 Exemplo A relação de equivalência f associada à função f : X → Y em I.5.2
Exemplos (3), xf y sse "x,y ∈ X ∧ fx  fy" é compatível com f.
I.5.14 Teorema Sejam  uma relação de equivalência em X e f : X → Y uma
função.As seguintes condições são equivalentes:
(i) f é compatível com ;
(ii) existe uma única aplicação f : X /  → Y tal que f  fo, onde  : X → X /  é a
aplicação canónica.
Dem. (i)  (ii) Supondo f compatível com , a função f : X /  → Y, fCx  fx é
bem definida com valores em Y: pois Cx  Cy implica xy (Teorema I.5.7) donde
fx  fy. Tem-se f  fo pela definição de f. Além disso f é única, porque se g : X /
 → Y verifica fx  gCx então obviamente gCx  fx.
(ii)  (i) Se existe f nas condições dadas, suponhamos x,y ∈ X e xy; então
x  Cx  Cy  y (teorema I.5.7) donde deve ser fx  fCx  fCy  fy. Isto
mostra que f é compatível com . C.Q.D.
I.5.15 Observação A função f no teorema anterior é injectiva se e só se ∀x,y ∈ X,
f Cx  fCy  Cx  Cy sse ∀x,y ∈ X, fx  fy  Cx  Cy sse ∀x,y ∈ X,
fx  fy  xy; uma vez que f é compatível com , i.e., ∀x,y ∈ X,xy  fx  fy,
vemos que f é injectiva se e só se  é a relação de equivalência associada a f.
I.5.16 Seja f : X → Y uma função, e designe R  f a relação de equivalência em X
associada à função f. Chama-se aplicação cociente de f por R e nota-se f/R a função
f/R : X/R → Y definida por f/R Cx  fx x ∈ X. Conclui-se de I.1.15 que f / R é
injectiva, e Imff/R  Imf.
I.5.17 Observação. Segundo I.2.1, uma relação binária no conjunto não vazio X é uma
parte não vazia  do produto cartesiano X2.  é uma relação de equivalência se e só se para
cada x ∈ X, x,x ∈  ∧ y,x ∈  sempre que x,y ∈  ∧ x, z ∈  sempre que
x,y, y, z ∈ , correspondendo a  ser reflexiva, simétrica e transitiva. Facilmente se
verifica que se i : i ∈ I é um conjunto não vazio de relações de equivalência em X,
então   ∩i : i ∈ I é uma relação de equivalência em X. Além disso, se R é uma
relação binária em X, existe uma relação de equivalência 0 em X que contém R a saber,
0  X2; existe portanto, e é bem determinada, a relação de equivalência  em X que é a
intersecção de todas as relações de equivalência em X que contêm R.
I.5.18 Definição (1) Se X é um conjunto não vazio e R é uma relação binária em X,
diz-se que a intersecção  das relação de equivalência em X que contêm R é a relação de
equivalência gerada por R. (2) Se  ≠ A ⊂ X, a relação de equivalência determinada pelo
conjunto A é a relação de equivalência  em X gerada pela relação binária
xRAy  x,y ∈ A,RA  A2. Nota-se X/A o conjunto cociente X/RA, X/A é o conjunto
cociente de X pelo subconjunto A.
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I.5.19 Observação Verifica-se facilmente que a relação de equivalência gerada por RA
em I.5.19 (2) é   A2  x,x : x ∈ X. O conjunto cociente X/A  A,x: x ∈ X
”reduz” o conjunto A a um ponto.
I.5.20 Definição Uma relação binária ≤ num conjunto E diz-se uma relação de
ordem parcial, ou uma ordem parcial em E se verifica as propriedades de:
reflexividade: ∀a ∈ E,a ≤ a;
anti-simetria: ∀a,b ∈ E,a ≤ b ∧ b ≤ a  a  b;
transitividade: ∀a,b,c ∈ E,a ≤ b ∧ b ≤ c  a ≤ c.
E,≤ (ou E) diz-se um conjunto parcialmente ordenado. Se também ∀a,b ∈ E, a ≤ b
ou b ≤ a diz-se que ≤ é uma ordem total e que E é totalmente ordenado ou uma cadeia. .
I.5.21 Exemplos (1) A relação de ordem usual em R, x ≤ y sse y − x ≥ 0, é uma
ordem total em R;
(2) a relação binária ≤ em N definida por n ≤ m sse "n é um divisor de m" é uma
ordem parcial em N.
I.5.22 Exercício Prove que a relação de inclusão de conjuntos em PX é uma ordem
parcial em PX.
I.5.23 Resolução
Reflexividade: Uma vez que P  P para qualquer proposição P, se A ∈ PX tem-se
x ∈ A  x ∈ A donde ∀A ∈ PX,A ⊂ A;
anti-simetria: para cada A,B ∈ PX, se A ⊂ B e B ⊂ A então x ∈ A  x ∈ B e
x ∈ B  x ∈ B donde x ∈ A  x ∈ B e A  B;
transitividade: quaisquer que sejam A,B,C ∈ PX, se A ⊂ B e B ⊂ C então
x ∈ A  x ∈ B, x ∈ B  x ∈ C e então x ∈ A  x ∈ C concluindo-se A ⊂ C.
I.5.24 Definições Seja E,≤ um conjunto parcialmente ordenado, e seja  ≠ A ⊂ E.
a) Um elemento m ∈ E é um minorante de A (respectivamente um majorante de A) se
satisfaz ∀a ∈ A,m ≤ a (resp. ∀a ∈ A,a ≤ M); se o conjunto A tem pelo menos um
minorante (majorante), A diz-se um conjunto minorado (resp.um conjunto majorado);
b) se de entre os minorantes (majorantes) de A, existe um maior minorante i resp. um
menor majorante s, então diz-se que i é o ínfimo de A, e nota-se i  infA;
respectivamente, diz-se que s é o supremo de A, e representa-se s  supA; no caso
particular infA ∈ A diz-se que infA é o mínimo de A, e nota-se infA  minA e,
respectivamente, se supA ∈ A diz-se que supA é o máximo de A e designa-se
supA  maxA.
c) diz-se que uma parte não vazia M de E é uma cadeia se ∀x,y ∈ M,x ≤ y ∨ y ≤ x.
d) um elemento v ∈ E é minimal (resp. w é um elemento maximal) se
∀a ∈ E,a ≤ v  a  v (resp. se ∀a ∈ E,w ≤ a  a  w).
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I.5.25 Observação Se A é uma parte não vazia no conjunto parcialmente ordenado
E,≤, tem-se i  infA se e só se
(inf 1) ∀a ∈ A, i ≤ a;
(inf 2) ∀m ∈ E,m ≤ a ∀a ∈ A  m ≤ i.
Também s  supA sse
(sup 1) ∀a ∈ A,a ≤ s;
(sup 2) ∀M ∈ E,a ≤ M ∀a ∈ A  s ≤ M.
No caso particular E,≤  R,≤, (inf 2) e (sup 2) podem tomar a forma
(Rinf) ∀  0,∃a ∈ A,a  i  ;
(Rsup)∀  0,∃a ∈ A,a  s − .
I.5.26 Observação Num conjunto parcialmente ordenado, o ínfimo (resp. o supremo)
de uma parte não vazia, se existe, é único.
I.5.27 Exemplos (1) Em R munido da ordem usual, todo o conjunto não vazio e
minorado (resp. majorado) tem ínfimo (resp. supremo).
(2) Em PX,⊂ os conjuntos ,X são respectivamente um elemento minimal, e um
elemento maximal; além disso, tem-se   infX  minX e X  supX  maxX. Se
existem pelo menos dois elementos diferentes em X, PX não é uma cadeia.
(3) Em PN,⊂, C  Sn  1, . . . ,n : n ∈ N é uma cadeia;  é um minorante de
C, S1  1  minC e sup C  N, não existe maxC.
I.5.28 Exercícios (1) Mostre que se X ≠  então cada conjunto xc x ∈ X no
conjunto parcialmente ordenado PX \ X,⊂ é um conjunto maximal.
(2) Considere a relação binária  em N2  2,3, . . . definida por nm sse
"n,m ∈ N2 e n divide m" .
a) Mostre que o conjunto 2N  2k : k ∈ N não tem majorantes;
b) determine inf2N; este ínfimo é um mínimo ?
c) prove que C  3k : k ∈ N é uma cadeia em N2,.
I.5.29 Resoluções
(1) Se A ⊂ X, A ≠ X e x ∈ X, a hipótese xc ⊂ A é equivalente a Ac ⊂ x e, como
Ac ≠ , tem de ser Ac  x i.e., A  xc. Portanto xc é um elemento maximal, para
cada x ∈ X.
(2) a) Para ser 2kM tem de verificar-se também 2k ≤ M "≤" a ordem usual em
R, e não existe nenhum número naturalM tal que ∀k ∈ N, 2k ≤ M. Portanto o conjunto
2N não tem nenhum majorante em N2,.
b) Para todo o númrero da forma 2k, k ∈ N, 2 divide 2k; e se m ∈ N2 e, para todo o
k ∈ N, m2k então m2 fazendo k  1. Portanto 2  inf2N pela definição de ínfimo. É
2  min2N, já que 2 ∈ 2N.
c) Para cada 3n, 3m ∈ C, tem-se n ≤ m ou m ≤ n e, no primeiro caso, 3n3m tendo-se
3m3n no segundo caso. Assim C é uma cadeia em N2,.
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I.5.30 Definição Se E, é um conjunto parcialmente ordenado,  ≠ F ⊂ E, a
restrição 0 da ordem parcial  a F é obviamente uma ordem parcial em F, que se diz a
ordem parcial induzida por  em F. Habitualmente escreve-se F, para significar o
conjunto parcialmente ordenado F,0.
I.5.31 Lema de Zorn Se no conjunto parcialmente ordenado M,≤ toda a cadeia não
vazia tem pelo menos um majorante, então existe emM pelo menos um elemento
maximal.
I.5.32 Observação O lema de Zorn é equivalente ao axioma da Escolha de Zermelo
I.3.3.
I.5.33 Definição Seja X um conjunto não vazio. Se  é uma relação binária em X tal
que
(i)  é reflexiva, i.e., ∀x ∈ X,x  x;
(ii)  é transitiva, i.e., ∀x,y, z ∈ X,x  y ∧ y  z  x  z;
(ii) ∀x,y ∈ X,∃a ∈ X,x  a ∧ y  a, então o par X, (ou somente X) diz-se um
conjunto dirigido.
I.5.34 Observação Um conjunto parcialmente ordenado X,≤ diz-se filtrante ou
superiormente filtrante se a ordem parcial verifica, além das propriedades de reflexividade,
anti-simetria e transitividade (ver I.5.17), a propriedade de, para cada x,y ∈ X, existir pelo
menos um elemento a ∈ X tal que x ≤ a e y ≤ a. Assim, um conjunto parcialmente
ordenado filtrante é também um conjunto dirigido. Certos autores chamam a uma relação
binária  num conjunto X verificando as propriedades reflexiva e transitiva, uma
quase-ordem. Pode suceder, segundo a definição I.1.28, X, ser um conjunto dirigido e
no entanto a relação binária  em X não ser uma ordem parcial. Um exemplo importante, de
que veremos uma aplicação adiante, é o seguinte: consideremos um conjunto não vazioM,
e uma classe de conjuntos F ⊂ PM tal que ∀F ∈ F,F ≠  e se verifique
∀F,F ′ ∈ FF ∩ F ′ ∈ F..
Sendo  : F → F : F ∈ F o selector de Zermelo em I.3.3, podemos considerar a
relação binária  em A  F : F ∈ F definida por a  a′ sse existem F,F ′ ∈ F tais
que a  F, a′  F ′ e F ′ ⊂ F. Então A, é um conjunto dirigido, mas em geral, da
hipótese a  a′ e a′  a não pode concluir-se a  a′ e  não é uma ordem parcial em A.
I.5.35 Observação Se E,≤ é um conjunto parcialmente ordenado, pode existir um
subconjunto F não vazio de E tal que não exista minF. Por exemplo, com E  Q e ≤ a
ordem parcial usual de R induzida sobre Q, não existe min 2 ,2 ∩ Q. O que não que
dizer que, para outra ordem parcial sobre Q, não possa suceder que cada subconjunto não
vazio tenha um mínimo. Se E,≤ é um conjunto parcialmente ordenado, e existe o mínimo
de uma parte A de E, diz-se também que minA é o primeiro elemento de A.
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I.5.36 Definição Um conjunto parcialmente ordenado E,≤ diz-se um
conjunto bem ordenado se toda a parte não vazia de E tem primeiro elemento. Diz-se então
também que ≤ é uma boa ordem em E.
I.5.37 Observação Todo o conjunto bem ordenado é totalmente ordenado, como se
reconhece considerando dois quaisquer elementos e o mínimo do conjunto por eles
formado.
Uma propriedade dos conjuntos parcialmente ordenados, equivalente ao axioma da
Escolha de Zermelo, é que dado qualquer conjunto não vazio E, existe pelo menos uma
ordem parcial ≤ em E, para a qual E,≤ é um conjunto bem ordenado.
I.5.38 Princípio da boa ordenação Se E é um conjunto não vazio, existe pelo menos
uma boa ordem em E.
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I.6 O CONJUNTO N. NOÇÕES DE CARDINALIDADE.
I.6.1 O conjunto N  1,2, . . . dos números naturais pode ser caracterizado pela
axiomática de Peano:
(I) existe um número natural chamado ”um” e representado por 1;
(II) cada número natural a tem um sucessor a′ que é também um número